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1INTRODUO

1.1. PANORAMA HISTRICO

Toda Cincia tem suas razes na histria do homem;A Matemtica que considerada A Cincia que une a clareza do raciocnio sntese da linguagem,originou-se do convvio social, das trocas, da contagem, com caracter prtico, utilitrio e emprico;A Estatstica um ramo da Matemtica que teve origem semelhante;Desde a Antigidade vrios povos j registravam o nmero de habitantes, de nascimento, de bitos, faziamestimativas de riquezas individuais e sociais, etc;Na idade mdia colhiam-se informaes, geralmente com a finalidade tributria;A partir do sculo XVI comearam a surgir s primeiras anlises de fatos sociais, como batizados,casamentos, funerais, originando as primeiras tbuas e tabelas e os primeiros nmeros relativos;No sculo XVII o estudo de tais fatos foi adquirindo propores verdadeiramente cientficas;Godofredo Achenwall, batizou a nova cincia (ou mtodo) com o nome de ESTATSTICA, determinandoassim o seu objetivo e suas relaes com a cincia.

1.2. MTODO

Existem vrias definies para mtodos, Lakatos e Marconi (1982:39-40) mencionaram diversasdefinies, entre elas:

Mtodo o caminho pelo qual se chega a um determinado resultado... (Hegemberg, 1976: II-115)Mtodo um procedimento regular, explcito e passvel de ser repetido para conseguirmos alguma coisa,seja material ou conceitual (Bunge 1980: 19).

1.3. A ESTATSTICA

A definio de estatstica no nica, a estatstica abrange muito mais do que um simples traado degrficos e clculos de medidas. Uma definio seria:

A estatstica uma coleo de mtodos para planejar experimentos, obter dados e organiz-los, resumi-lo, analis-los interpret-los e deles extrair concluses.

1.4. O MTODO ESTATSTICO

Dois mtodos cientficos podemos destacar: o mtodo Experimental e o Mtodo Estatstico. O mtodo experimental consiste em manter constante todas as causas (fatores) menos uma e variar estacausa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos caso existam. O mtodo estatstico diante da impossibilidade de se manter causas constantes, admite todas essascausas presentes variando-as registrando essa variao e procurando determinar no resultado final queinfluncias cabem a cada uma delas.

2RESUMO DA PROFISSOO Estatstico promove o levantamento de pesquisas estatsticas em suas aplicaes tcnicas e cientficas,investigando, elaborando e testando mtodos matemticos e sistema de amostragem, bem como coletando,analisando e interpretando os dados relacionados com os fenmenos estatsticos, e ainda estudando erenovando a metodologia estatstica a fim de estabelecer a sua evoluo e desenvolvimento.ALGUMAS ESPECIALIZAESVinculam-se aos campos profissionais que exigem ou permitem o exerccio do estatstico. Resultam da prticaprofissional e decorrem quase sempre da demanda decorrente no mercado de trabalho.

DemografiaBioestatsticaEstatstico MatemticoEstatstico de Estatstica Aplicada, Etc.

CARGOS PROCURADOSEstatsticoEstatstico MatemticoEstatstico de Estatstica Aplicada

1.5. A NATURZA DA ESTATSTICA

Podemos descrever duas variveis para um estudo:

VARIVEIS QUALITATIVAS (ou dados categricos) podem ser separados em diferentescategorias, atributos, que se distinguem por alguma caracterstica no numrica.

VARIVEIS QUANTITATIVAS consistem em nmeros que representam contagens ou medidias.Divide-se em:

VARIVEIS QUANT. DISCRETAS resultam de um conjunto finito, enumervel de valorespossveis. Ex: nmero de filhos. VARIVEIS QUANT. CONTNUAS resultam de nmeros infinitos de valores possveis quepodem ser associados a pontos em uma escala contnua. Ex: peso, altura.

Medida de DesobedinciaComo coletar dados sobre algo que no se apresente mensurvel, como o nvel de desobedincia do povo? Opsiclogo Stanley Milgran planejou o seguinte experimento: Um pesquisador determinou que um voluntrioacionasse um painel de controle que dava choques eltricos crescentemente dolorosos em uma terceira pessoa.Na realidade, no eram dados choques e a terceira pessoa era um ator. O voluntrio comeou com 15 volts e foiorientado a aumentar os choques de 15 em 15 volts. O nvel de desobedincia era o ponto em que a pessoa serecusava a aumentar a voltagem. Surpreendentemente, dois teros dos voluntrios obedeceram s ordensmesmo que o ator gritasse e simulasse um ataque cardaco.

Texto extrado do livro: Tiola, Mario F. Introduo Estatstica. 7 ed. Rio de Janeiro RJ. LTC. 1999.

31.6. USOS E ABUSOS DA ESTATSTICA

USOS DA ESTATSTICA As Aplicaes da estatstica se desenvolveram de tal forma que, hoje, praticamente todo ocampo de estudo se beneficia da utilizao de mtodos estatsticos. Os fabricantes fornecem melhores produtos acustos menores atravs de tcnicas de controle de qualidade. Controlam-se doenas com o auxilio de anlisesque antecipam epidemias. Espcies ameaadas so protegidas por regulamentos e leis que reagem a estimativasestatsticas de modificao de tamanho da populao. Visando reduzir as taxas de casos fatais, os legisladorestm melhor justificativas para leis como as que regem a poluio atmosfrica, inspees de automveis,utilizao de cinto de segurana, etc.

ABUSOS DA ESTATSTICA No de hoje que ocorrem abusos com a estatstica. Assim que , h cerca de um sculo, oestadista Benjamin Disraeli disse: H trs tipos de mentiras: as mentiras, as mentiras srias e as estatsticas. Jse disse tambm que os nmeros no mentem; mas os mentirosos forjam os nmeros (Figures dont lie; liarsfigure) e que se torturarmos os dados por bastante tempo, eles acabam por admitir qualquer coisa. Ohistoriador Andrew Lang disse que algumas pessoas usam a estatstica como um bbado utiliza um poste deiluminao para servir de apoio e no para iluminar. Todas essa afirmaes se referem aos abusos daestatstica quando os dados so apresentados de forma enganosa. Eis alguns exemplos das diversas maneirascomo os dados podem ser distorcidos.

Pequenas amostrasNmeros imprecisosEstimativas por suposioPorcentagens distorcidasCifras parciaisDistores deliberadasPerguntas tendenciosasGrficos enganososPresso do pesquisadorMs amostras

Os motoristas mais Idosos so mais Seguros do que os mais Moos?A American Association of Retired People AARP (Associao Americana de Aposentados) alega que osmotoristas mais idosos se envolvem em menor nmero de acidentes do que os mais jovens. Nos ltimos anos,os motoristas com 16-19 anos de idades causaram cerca de 1,5 milhes de acidentes em comparao comapenas 540.000 causados por motoristas com 70 anos ou mais, de forma que a alegao da AARP parecevlida. Acontece, entretanto que os motoristas mais idosos no dirigem tanto quanto os mais jovens. Em lugarde considerar apenas o nmero de acidentes, devemos examinar tambm as taxas de acidentes. Eis as taxas deacidentes por 100 milhes de milhas percorridas: 8,6 para motoristas com idade de 16 a 19, 4,6 para os comidade de 75 a 79, 8,9 para os com idade 80 a 84 e 20,3 para os motoristas com 85 anos de idade ou mais.Embora os motoristas mais jovens tenham de fato o maior nmero de acidentes, os mais velhos apresentam asmais altas taxas de acidente.

Texto extrado do livro: Tiola, Mario F. Introduo Estatstica. 7 ed. Rio de Janeiro RJ. LTC. 1999.

41.7. ESTATSTICA DEDUTIVA E INDUTIVA

A estatstica dedutiva tambm conhecida como Descritiva se encarrega de descrever o conjunto dedados desde a elaborao da pesquisa at o clculo de determinada medida.

A estatstica Indutiva ou inferencial est relacionada a incerteza. Inicia-se no clculo das Probabilidadese se desenvolve por todo a rea da inferncia.

5UNIDADE I CONCEITOS INICIAIS EM ESTATSTICADEFINIES:

POPULAO: um conjunto de indivduos ou objetos que apresentam pelo menos uma caracterstica emcomum.

CENSO a coleo de dados relativos a todos os elementos da populao.

AMOSTRA: Considerando a impossibilidade, na maioria das vezes do tratamento de todos os elementos dapopulao, necessitaremos de uma parte representativa da mesma. A esta poro da populao chamaremos deamostra.

ESTATSTICA: a medida numrica que descreve uma caracterstica da amostra.

PARMETRO a medida numrica que descreve uma caracterstica da populao.

RAMOS DA ESTATSTICA

A estatstica possui trs ramos principais:

ESTATSTICA DESCRITIVA: envolve a organizao e sumarizao dos dados atravs demetodologias simples;

TEORIA DA PROBABILIDADE: que proporciona uma base racional para lidar com situaesinfluenciadas por fatores que envolvem o acaso.

TEORIA DA INFERNCIA: que envolve a anlise e interpretaes da amostra.

ESTATSTICA DESCRITIVA

A Estatstica Descritiva pode ser resumida no diagrama a seguir:

ColetaDe dados

CrticaDos dados

ApresentaoDos dados

Tabelas

Grficos

Anlise

6COLETA DOS DADOS:

Aps a definio do problema a ser estudado e o estabelecimento do planejamento da pesquisa (formapela qual os dados sero coletados; cronograma das atividades; custos envolvidos; exame das informaesdisponveis; delineamento da amostra, etc.), o passo seguinte a coleta dos dados, que consiste na busca oucompilao dos dados das variveis, componentes do fenmeno a ser estudado. A coleta dos dados direta quando os dados so obtidos diretamente da fonte originria, como no casoda empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferncia dos consumidores pela sua marca. A coleta dos dados indireta quando inferida a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta.

CRTICA DOS DADOS

A reviso crtica dos dados procede com a finalidade de suprimir os valores estranhos ao levantamento,os quais so capazes de provocar futuros enganos.

APRESENTAO DOS DADOS

Convm organizarmos o conjunto de dados de maneira prtica e racional. Tal organizao denomina-seSrie Estatstica (que ser abordado na prxima unidade). Sua apresentao pode ocorrer por meio de Tabelase/ou Grficos.

TCNICAS DE AMOSTRAGEM

As regras de Amostragem podem ser classificadas em duas categorias gerais:

PROBABILSTICA - So amostragem em que a seleo aleatria de tal forma que cada elemento temigual probabilidade de ser sorteado para a amostra.

NO-PROBABILISTICAS OU INTENCIONADAS - So amostragem em que h uma escolhadeliberada dos elementos da amostra.

TIPOS DE AMOSTRAGEM

AMOSTRAGEM ALEATRIA SIMPLES

Tambm conhecida por amostragem ocasional, acidental, casual, randmica, etc. A amostragem simplesao acaso destaca-se por ser um processo de seleo bastante fcil e muito usado. Neste processo, todos oselementos da populao tm igual probabilidade de serem escolhidos, desde o incio at completo processo decoleta.

7 PROCEDIMENTO1. Devemos enumerar todos os elementos da populao2. Devemos efetuar sucessivos sorteios com reposio at completar o tamanho da amostra (n)

Para realizarmos este sorteio devemos fazer uso das tbuas de nmeros aleatrios (veja pginaseguinte). Estas apresentam os dgitos de 0 a 9 distribudos aleatoriamente.

EXEMPLO:Supor que ns tenhamos uma populao com 1.000 elementos, que numeramos de 000 a 999, para

selecionarmos uma amostra aleatria, de 200 elementos, basta escolhermos uma posio de qualquer linha eextrairmos conjuntos de trs algarismos, at completarmos os 200 elementos da amostra. O processo terminaquando for sorteado o elemento 200. Se o nmero sorteado no existia na populao simplesmente no oconsideramos, e prosseguimos com o processo.

AMOSTRAGEM SISTEMTICA

Trata-se de uma variao da amostragem simples ao acaso, muito conveniente quando a populao estnaturalmente ordenada, como fichas em um fichrio, listas telefnicas etc. Requer uma lista dos itens dapopulao, e, assim, padece das mesmas restries j mencionadas na aleatria ao acaso. Se os itens da lista nose apresentarem numa ordem determinada amostragem Sistemtica pode dar uma amostra realmente aleatria.

PROCEDIMENTO Sejam os seguintes elementos:

N: tamanho da populao;n: tamanho da amostra.

Ento, calcula-se o intervalo de amostragem atravs da razo nNa (onde a o inteiro mais prximo).Sorteia-se, utilizando a tbua de nmeros aleatrios, um nmero x entre 1 e a formando-se a amostra doselementos correspondentes ao conjunto de nmeros:

x; x+a;x+2a;...; x+(n-1)a.EXEMPLO: Seja N = 500, n = 50. Ento 1050500a Sorteia-se um nmero de 1 a 10. Seja 3 (x = 3) o nmero sorteado. Logo, os elementos numerados por3;13;23;33;... sero os componentes da amostra.

AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA

No caso de possuir uma populao com uma certa caracterstica heterognea, na qual podemosdistinguir subpopulaes mais ou menos homogneas, denominadas de estratos, podemos usar a amostragemestratificada. Estratificar uma populao em L subpopulaes denominada estratos, tais que:

8n1 + n2 + ... + nL = nOnde os estratos so mutuamente exclusivos. Aps a determinao dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatria de cada sub-populao. Se as diversas sub-amostras tiverem tamanhos proporcionais ao respectivo nmero de elementos nosestratos, teremos a estratificao proporcional.

9Stevenson, William J. Estatstica aplicada administrao. Harper & Row do Brasil, So Paulo, 1986, p.165

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EXERCCIOS

1. Populao ou universo :a) Um conjunto de pessoas;b) Um conjunto de elementos quaisquerc) Um conjunto de pessoas com uma caracterstica comum;d) Um conjunto de elementos com pelo menos uma caracterstica em comum;e) Um conjunto de indivduo de um mesmo municpio, estado ou pas.

2. Uma parte da populao retirada para analis-la denomina-se:a) Universo;b) Parte;c) Pedao;d) Dados Brutos;e) Amostra.

3. A parte da estatstica que se preocupa somente com a descrio de determinadas caractersticas de umgrupo, sem tirar concluses sobre um grupo maior denomina-se:a) Estatstica de Populao;b) Estatstica de Amostra;c) Estatstica Inferenciald) Estatstica Descritiva;e) Estatstica Grupal.

4. Diga qual tipo de variveis estamos trabalhando nos casos abaixo:a. No. de inscries no Seguro Socialb. No. de passageiros no nibus da linha Rio-So Pauloc. Escolaridaded. Peso Mdio dos Recm Nascidose. Altitude acima do nvel do marf. Uma pesquisa efetuada com 1015 pessoas indica que 40 delas so assinantes de um servio de

computador on-lineg. Cada cigarro Camel tem 16,13mg de alcatroh. O radar indique que Nolan Ryan rebateu a ultima bola a 82,3mi/hi. O tempo gasta para uma pessoa fazer uma viagem de carro de Braslia at Belo Horizonte de

aproximadamente 8:00h a uma velocidade mdia de 93,75km/hs

5. Classifique as seguintes variveis:a) Cor dos olhos

i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

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b) Nmero de filhos de um casal:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

c) Peso de um indivduo:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

d) Altura de um indivduo:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

e) Nmero de alunos de uma escola:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

f) Tipo sangneo:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

g) Fator RH:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

h) Valor obtido na face superior de um dado:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

i) Sexo:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

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j) Resultado da extrao da loteria Federal:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

k) Comprimento de um seguimento de reta:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

l) rea de um Crculo:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

m) Raa:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

n) Quantidade de livro de uma biblioteca:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

o) Religio:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

p) Salrio dos Empregados de uma empresa:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

q) Estado Civil:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

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r) Profisso:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

s) Volume de gua contido numa piscina:i) Qualitativa;ii) Qualitativa discreta;iii) Quantitativa contnua;iv) Quantitativa discreta;v) Qualitativa contnua.

6. Suponha que existem N = 1.000 fichas de pacientes das quais uma amostra aleatria de n = 20 deve serselecionada. Determine que fichas devem ser escolhidas na amostra de tamanho n = 20. Diga que tipo deamostragem foi feito e como foram selecionadas as fichas.

7. Suponha que uma pesquisa de opinio pblica deve ser realizada em um estado que tem duas grandescidades e uma zona rural. Os elementos na populao de interesse so todos os homens e mulheres doestado com idade acima de 21 anos. Diga que tipo de amostragem utilizar?

8. Servio florestal do estado est conduzindo um estudo das pessoas que usam as estruturas de um campingoperado por ele. O estado tem duas reas de camping, uma localizada nas montanhas e outra localizada aolongo da costa. O servio florestal deseja estimar o nmero mdio de pessoas por acampamento e aproporo de acampamento ocupada por pessoas de fora do estado, durante o fim de semana em particular,quando se espera que todos os acampamentos estejam ocupados. Sugira um plano amostral e expliquerapidamente como devem ser feitos.

9. Um mdico est interessado em obter informao sobre o nmero mdio de vezes em que 15.000especialistas prescreveram certa droga no ano anterior (N = 15.000). Deseja-se obter n = 1.600. Que tipo deamostragem voc sugeriria e por que?

10. Um hematologista deseja fazer uma nova verificao de uma amostra de n = 10 dos 854 espcimes desangue analisados por um laboratrio mdico em um determinado ms. Que tipo de amostragem vocsugeriria e por que?

11. Um reprter da revista Business Week obtm uma relao numerada de 1.000 empresas com maiores decotaes de aes na bolsa. Ele entrevistar 100 gerentes gerais das empresas correspondentes a estaamostra. Que tipo de amostragem voc sugeriria e por que?

12. Comente rapidamente sobre a pesquisa abaixo

Um relatrio patrocinado pela Flrida Citrus Comission concluiu que os nveis de colesterol podem serreduzidos mediante ingesto de produtos ctricos.

Por que razo a concluso poderia ser suspeita

13. Dada uma populao com seis elementos, A, B, C, D, E e F, explique como voc faria para obter, dessapopulao, uma amostra aleatria simples com trs elementos.

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14. Descreva uma forma de se obter uma amostra sistemtica com 10 elementos de uma populao comtamanho 100.

15. Explique a forma de se obter uma amostragem estratificada dos empregados de uma firma, considerandoque existem empregados de escritrio, de oficina e representantes da mesma.

16. Imagine que se pretenda fazer um levantamento de opinio pblica para verificar se as pessoas so contra oua favor do uso gratuito de nibus pelos idosos. Pense em trs maneiras distintas de elaborar uma perguntaque induza a resposta positiva, outra que induza a resposta negativa e uma outra que no ocorra nenhum tipode tendncia na resposta.

17. Identifique o tipo de amostragem utilizado para cada uma das situaes abaixo:a. Quando escreveu Woman in Love: A Cultural Revolution, a autora Shere Hite baseou suas

concluses em 4.500 respostas a 100.000 questionrios distribudos a mulheres.b. Uma psicloga da Universidade de Nova York faz uma pesquisa sobre alguns alunos

selecionados aleatoriamente de todas as 20 turmas que participaram desta pesquisa.c. Um socilogo da Universidade Charleston seleciona 12 homens e 12 mulheres de cada uma de

quatro turmas de ingls.d. A empresa Sony seleciona cada 200o CD de sua linha de produo e faz um teste de qualidade

rigoroso.e. Um cabo eleitoral escreve o nome de cada senador dos EUA em cartes separados, mistura-os

e extrai 10 nomes.f. Gerente comercial da America OnLine testa uma nova estratgia de vendas selecionando

aleatoriamente 250 consumidores com renda inferior a US$50.000,00 e 250 consumidores comrenda de ao menos de US$50.000,00.

g. O programa Planned Parenthood (Planejamento Familiar) pesquisa 500 homens e 500mulheres sobre seus pontos de vista sobre o uso de anticoncepcionais.

h. Um reprter da revista Business Week Entrevista todo o 50o gerente geral constante da relaodas 1.000 empresas com maior cotao de suas aes.

i. Um reprter da revista Business Week obtm uma relao numerada das 1.000 empresas commaior cotao de aes na bolsa, utiliza um computador para gerar 20 nmeros aleatrios eento entrevista gerentes gerais das empresas correspondentes aos nmeros extrados.

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UNIDADE II - NORMAS PARA CONSTRUO DE TABELAS

TABELAS ESTATSTICAS

Um dos objetivos da estatstica sintetizar os valores que uma ou mais variveis podem assumir, paraque tenhamos uma viso global da variao das mesmas.

Tabela uma maneira de apresentar de forma resumida um conjunto de dados.

ELEMENTOS DE UMA TABELA

A tabela se apresenta da seguinte forma:

TTULO DA TABELA

CORPO

DA

TABELA

RODAP

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EXEMPLO:Tabela 1 Produo de Caf Brasil 1991 a 1995

Anos Produo(1.000 t)

1991 2.5351992 2.6661993 2.1221994 3.7501995 2.007

Fonte: IBGETTULO DA TABELA:

Conjunto de informaes, as mais completas possveis, respondendo s perguntas: O que?, Quando? eOnde?, Localizado no topo da tabela, alm de conter a palavra TABELA e sua respectiva numerao.

CORPO DA TABELA:

o conjunto de Linhas e Colunas que contm informaes sobre a varivel em estudo.a) Cabealho da Coluna Parte superior da tabela que especifica o contedo das colunas;b) Coluna Indicadora Parte da tabela que especifica o contedo das linhas;c) Linhas retas imaginrias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seuscruzamentos com as linhas;d) Casa ou Clula espao destinado a um s nmero;e) Total deve ser SEMPRE destacado de alguma forma;f) Laterais da tabela no devem ser fechadas. Caso as feche, passa a ser chamada de QUADRO.g) Nmero preferencialmente utilizar separador de 1000 (por exemplo: 1.854.985 ao invs de 1854985).

H ainda a considerar os elementos complementares da tabela, que so a fonte, as notas, e as chamadas,localizadas, de preferncia, no rodap.a) Fonte identifica o responsvel (pessoa fsica ou jurdica) ou responsvel pelos dados numricos;b) Notas o texto que ir esclarecer o contedo estudado, que poder ser de carter geral ou especfico deuma tabela;c) Chamadas smbolo remissivo atribudo a algum elemento de uma tabela que necessita de uma notaespecfica.

SINAL CONVENCIONAL:A substituio de uma informao da tabela poder ser feita pelos sinais abaixo:

a) - dado numrico igual a zero;b) ... Quando no temos os dados;c) ? Quando temos dvida na informao;d) 0 quando o valor for muito pequeno.

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SRIES ESTATSTICAS

Introduo

Uma vez que os dados foram coletados, muitas vezes o conjunto de valores extenso edesorganizado, e seu exame requer ateno, pois h o risco de se perder a viso global do fenmeno analisado.Para que isto no ocorra faz-se necessrio reunir os valores em tabelas convenientes, facilitando suacompreenso. Alm da apresentao do conjunto de valores na forma tabulada, tem-se tambm a formagrfica, que por sua vez, representa uma forma mais til e elegante de representar o conjunto dos valores. Qualquer que seja a forma de representao do conjunto de valores, desde de que no hajaalteraes em seus valores iniciais, quer seja o de caracterizao de um conjunto, ou de comparao com outrossemelhantes ou ainda o de previso de valores possveis, facilitar sua compreenso de qualquer estudo. o casoda srie estatstica.

Definio de Srie Estatstica

Uma srie estatstica define-se como toda e qualquer coleo de dados estatsticos referidos auma mesma ordem de classificao: QUANTITATIVA. Em um sentido mais amplo, SRIE uma seqncia denmeros que se refere a uma certa varivel. Caso estes nmeros expressem dados estatsticos a srie chamada de srie estatstica. Em umsentido mais restrito, diz-se que uma srie estatstica uma sucesso de dados estatsticos referidos a caracteresquantitativos. Para diferenciar uma srie estatstica de outra, temos que levar em considerao trs fatores:

A POCA (fator temporal ou cronolgico) a que se refere o fenmeno analisado;O LOCAL (fator espacial ou geogrfico) onde o fenmeno acontece;O FENMENO (espcie do fator ou fator especfico) que descrito.

Tipos de Sries Estatsticas

So quatro os tipos de sries estatsticas conforme a variao de um dos fatores:

SRIE TEMPORAL

A srie temporal, igualmente chamada srie cronolgica, histrica, evolutiva ou marcha,identifica-se pelo carter varivel do fator cronolgico. Assim deve-se ter:

VARIVEL: a pocaFIXO: o local e o fenmeno

SRIE GEOGRFICA

Tambm denominadas sries territoriais, espaciais ou de localizao, esta srie apresenta comoelemento ou carter varivel somente o fator local. Assim:

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VARIVEL: o localFIXO: a poca e o fenmeno

SRIE ESPECFICA

A srie especfica recebe tambm outras denominaes tais como srie categrica ou srie porcategoria. Agora o carter varivel o fenmeno.

VARIVEL: o fenmenoFIXO: a poca e o local

DISTRIBUIO DE FREQNCIA

Neste caso todos os elementos (poca, local e fenmeno) so fixos. Embora fixo, o fenmenoapresenta-se agora atravs de graduaes, isto , os dados referentes ao fenmeno que se est representando soreunidos de acordo com a sua magnitude. Normalmente os problemas de tabulao so enquadrados neste tipo desrie, que iremos estudar com maior detalhe mais adiante neste curso.

Proporo, Porcentagem e Razo.

Introduo Do ponto de vista estatstico, estas podem ser consideradas como medidas muito simples quepermitem estabelecer comparaes entre diversos grupos.

Proporo Considere um nmero de empregados que foi distribudo em quatro reparties de uma certaempresa de acordo com sua funo. Estas reparties so mutuamente exclusivas (cada pessoa somente poderser alocada em uma nica repartio) e exaustivas (todas as pessoas devero ser alocadas). Em termos simblicos podemos escrever: N1 = nmero de pessoas alocadas na repartio 1 N2 = nmero de pessoas alocadas na repartio 2 N3 = nmero de pessoas alocadas na repartio 3 N4 = nmero de pessoas alocadas na repartio 4 N = N1 + N2 + N3 + N4 = nmero total de empregados Neste caso, a proporo de empregados pertencentes primeira repartio determinadamediante o clculo do quociente NN

1 ; para as demais reparties segue o mesmo procedimento: NN2 , NN

3 eNN4 .

Note que o valor de uma proporo no pode exceder a unidade, e que a soma de todas aspropores ser sempre igual unidade. Assim,

NN

NN

NN

NN

NN

1 2 3 4 1

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Exemplo:Tabela 01. Nmero de empregados contratados (consultores) e com carteira assinada em dois rgos pblicos

EMPREGADO RGO PBLICO 1 RGO PBLICO 2CONSULTOR:

TEMPO INTEGRAL 580 680MEIO EXPEDIENTE 430 1.369

CARTEIRA ASSINADA 4.810 10.811TOTAL 5.820 12.860

FONTE: Departamento de Recursos Humanos destes rgos Pblicos

No simples raciocinar em termos absolutos e dizer qual dos dois rgos pblicos conta commaior nmero de empregados consultores em suas duas modalidades de expedientes porque o nmero total deempregados difere muito entre si. Por outro lado, a comparao direta pode ser estabelecida rapidamente, se osdados forem expressos em propores. A proporo de consultores com tempo integral no rgo pblico 1 :

NN1 580

5 820 0 099 0 1. , , E no rgo pblico 2, seguindo o mesmo raciocnio temos:

NN1 680

12 860 0 0528 0 053. , , Note que, em nmeros absolutos, estes valores so muito prximos (580 e 680). Entretanto, orgo pblico 2 apresenta uma proporo inferior de consultores com tempo integral. Analogamente, fazendo os clculos para ambos os rgos pblicos, tm:

RGO PBLICO 1

Consultores com expediente: NN2 430

5 820 0 0738 0 074. , ,

Carteira assinada: NN3 4 810

5 820 0 8264 0 826.. , ,

RGO PBLICO 2

Consultores com expediente: NN2 1369

12 860 0 1064 0 106.. , ,

Carteira assinada: NN3 10 811

12860 0 8406 0 841. , ,

Assim, temos a seguinte tabela de propores:

Tabela 02. Proporo de empregados contratados (consultores) e com carteira assinada em dois rgos pblicos

20

EMPREGADO RGO PBLICO 1 RGO PBLICO 2CONSULTOR:

TEMPO INTEGRAL 0,100 0,053MEIO EXPEDIENTE 0,074 0,106

CARTEIRA ASSINADA 0,826 0,841TOTAL 1 1


Porcentagem As porcentagens so obtidas a partir do clculo das propores, simplesmente multiplicando-seo quociente obtido por 100. A palavra porcentagem significa, portanto, por cem. Uma vez que a soma daspropores igual a 1, a soma das porcentagens igual a 100, a menos que as categorias no sejam mutuamenteexclusivas e exaustivas.Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior e multiplicando as propores por 100 teremos a seguintetabela:

Tabela 03. Percentual de empregados contratados (consultores) e com carteira assinada em dois rgos pblicosEMPREGADO RGO PBLICO 1 RGO PBLICO 2

ABSOLUTO RELATIVO (%) ABSOLUTO RELATIVO (%)CONSULTOR:

TEMPO INTEGRAL 580 10,0 680 5,3MEIO EXPEDIENTE 430 7,4 1.369 10,6

CARTEIRA ASSINADA 4.810 82,6 10.811 84,1TOTAL 5.820 100 12.860 100


As porcentagens e propores, em Estatstica, tm como principal finalidade estabelecercomparaes relativas. Como um outro exemplo, as vendas de duas empresas foram as seguintes em dois anosconsecutivos:

Tabela 4. Faturamento anual das Empresas A e B em 1994 e 1995 dados em nmeros absoluto e relativo(%)

EMPRESA FATURAMENTO (por 1.000 reais) CRESCIMENTO CRESCIMENTO1994 1995 ABSOLUTO RELATIVO (%)

A 2.000 3.000 1.000 50B 20.000 25.000 5.000 25

FONTE: Departamento de Finanas das Empresas A e B

Em valores absolutos, a empresa B teve um crescimento no faturamento maior que a empresaA. Contudo, na realidade, comparando estes valores em termos percentuais, a empresa A foi a que apresentouum desempenho superior (crescimento de 50% na empresa A e de 25% na empresa B).

Razo A razo de um nmero A em relao a outro nmero B define-se como A dividido por B Aquantidade precedente posta no numerador e a seguinte, no denominador.

21

Exemplo: Atravs de uma pesquisa realizada em uma certa cidade, descobriu-se que, das pessoas entrevistadas,300 se manifestaram a favor a uma determinada medida adotada pela prefeitura local, 400 contra e 70 eramindiferentes. Neste caso, a razo daquelas pessoas contra a medida para aquelas a favor foi de:

400300

43 4 3 133 1 ou ou ou para: ,

E a razo daquelas a favor e contra para aquelas indiferentes foi de:400 300

70707 7 1 ou ou 70 ou 10 para:

EXERCCIOS1. Uma srie estatstica denominada evolutiva quando?

a) O elemento varivel o tempo;b) O elemento varivel o local;c) O elemento varivel a espcie;d) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;e) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

2. Uma srie estatstica denominada espacial quando?f) O elemento varivel o tempo;g) O elemento varivel o local;h) O elemento varivel a espcie;i) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;j) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

3. Uma srie estatstica denominada cronolgica quando?a) O elemento varivel o tempo;b) O elemento varivel o local;c) O elemento varivel a espcie;d) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;e) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

4. Uma srie estatstica denominada categrica quando?a) O elemento varivel o tempo;b) O elemento varivel o local;c) O elemento varivel a espcie;d) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;e) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

5. Uma srie estatstica denominada marcha quando?a) O elemento varivel o tempo;b) O elemento varivel o local;c) O elemento varivel a espcie;d) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;e) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

6. Uma srie estatstica denominada geogrfica quando?a) O elemento varivel o tempo;b) O elemento varivel o local;c) O elemento varivel a espcie;d) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;e) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

7. Uma srie estatstica denominada composta quando?a) O elemento varivel o tempo;

22

b) O elemento varivel o local;c) O elemento varivel a espcie;d) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;e) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

8. Uma srie estatstica denominada qualitativa quando?a) O elemento varivel o tempo;b) O elemento varivel o local;c) O elemento varivel a espcie;d) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;e) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

9. Uma srie estatstica denominada especfica quando?a) O elemento varivel o tempo;b) O elemento varivel o local;c) O elemento varivel a espcie;d) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;e) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

10. Uma srie estatstica denominada mista quando?a) O elemento varivel o tempo;b) O elemento varivel o local;c) O elemento varivel a espcie;d) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;e) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

11. Uma srie estatstica denominada Temporal quando?a) O elemento varivel o tempo;b) O elemento varivel o local;c) O elemento varivel a espcie;d) o resultado da combinao de sries estatsticas de tipos diferentes;e) Os dados so agrupados em subintervalos do intervalo observado.

12. A representao tabular de dados no Brasil obedece s normasa) Da SUNAB;b) Da Receita Federal;c) Do IBGE;d) Do Governo Federal;e) Da Secretaria Municipal de Estatstica.

13. De acordo com as normas para representao tabular de dados, quando o valor de um dado zero, deve-secolocar na clula correspondente:

a) Zero (0);b) Trs pontos (...);c) Um trao horizontal (-)d) Um ponto de interrogao (?);e) Um ponto de exclamao (!).

14. De acordo com as normas para representao tabular de dados, quando o valor de um dado no estdisponvel, deve-se colocar na clula correspondente.


23

15. De acordo com as normas para representao tabular de dados, quando o valor de um dado muito pequeno,para ser expresso com o nmero de casa decimais utilizadas ou com a unidade de medida utilizada, deve-secolocar na clula correspondente.


16. De acordo com as normas para representao tabular de dados, quando h dvida, na exatido do valor deum dado, deve-se colocar na clula correspondente.


17. Assinale a alternativa verdadeiraa) Tanto a nota quanto a chamada so usadas para esclarecimento geral sobre um quadro e uma tabela.b) Tanto a nota quanto a chamada so usadas para esclarecer detalhes em relao casa, linhas ou colunas

de um quadro ou uma tabela.c) A nota usada para esclarecer detalhes em relao a casas, linhas ou colunas enquanto a chamada

usada para um esclarecimento geral sobre um quadro ou uma tabela.d) A nota usada para esclarecimento geral sobre um quadro ou tabela enquanto a chamada usada para

esclarecer detalhes em relao a casas, linhas ou colunas.e) Todas as afirmativas anteriores so falsas.

18. Para cada tabela abaixo, calcule a proporo e a porcentagem e responda s perguntas:Tabela 01. Quociente de Inteligncia (QI) de uma certa faculdade brasileira

QI No. DE ALUNOS PROPORO PORCENTAGEM092 |- 107 31107 |- 122 39122 |- 137 21137 |- 152 12152 |- 167 4

TOTAL 107a) Qual o nvel de QI que possui a maior proporo/percentual? E a menor?b) Calcule e interprete as seguintes razes:

i) Alunos com QI entre 92 e 122 (exclusive) para aqueles com QI entre 137 e 152 (exclusive).ii) Alunos com QI entre 107 e 152 (exclusive) para os demais.iii) Alunos com QI entre 92 e 107 (exclusive) para aqueles com QI entre 152 e 167 (exclusive).iv) Alunos com QI inferior a 122 para aqueles com QI maior ou igual a 137.

24

Tabela 02. Notas de candidatos de um certo concurso pblico realizado em uma cidadeNOTAS FREQUNCIA PROPORO PORCENTAGEM00|-20 2020|-40 6540|-60 23060|-80 16080|-100 25TOTAL 500

a) Dado que a nota de corte seja de 60 pontos, qual a proporo/percentual dos candidatos que foramaprovados?

b) Calcule e interprete as seguintes razes:i) Candidatos com nota menor que 20 para aqueles com nota de 40 a 60 (exclusive).ii) Candidatos com nota menor que 40 para aqueles com nota mnima de 60.iii) Candidatos com nota de 40 a 60 (exclusive) para aqueles com nota igual ou superior a 80.iv) Candidatos com nota mxima de 40 para aqueles com nota maior ou igual a 60.v) Candidatos com nota de 20 a 60 (exclusive) para os demais.

Tabela 03. rea das Regies BrasileirasREGIO REA PROPORO PORCENTAGEMNORTE 3.581.180

NORDESTE 1.546.672SUDESTE 924.935SUL 577.723

C.OESTE 1.879.455TOTAL 8.509.965

a) Qual a regio que ocupa a maior rea do Brasil e qual a sua proporo/porcentagem?b) Calcule e interprete as seguintes razes:

i) rea da regio Norte para a da regio Nordeste.ii) rea das regies Norte e Nordeste para o da regio Centro-Oeste.iii) rea da regio Sudeste para o das regies Sul e Centro-Oeste.iv) rea da regio Norte para as demais.

25

UNIDADE III - NORMAS PARA CONSTRUO DE GRFICOSIntroduo

Tem como finalidade:Representar os resultados de forma simples, clara e verdadeira.Demonstrar a evoluo do fenmeno em estudoObservar a relao dos valores da srie

Normas para construo de grficosA disposio dos elementos idntica das tabelas:

CABEALHO DO GRFICO

CORPO DO GRFICO

RODAP

26

TIPOS DE GRFICOSGRFICO EM COLUNAS

Conjunto de retngulos dispostos verticalmente separados por um espao.

Tabela 01. Efetivo do CBMDF em Cinco Regies Administrativas do DF - 1998

FONTE: Banco de Dados do Distrito Federal 1998NOTAS: Os efetivos especializados (emergncia mdica, incndio florestal e guarda e

segurana) esto alocados nas regies administrativas.

Grfico 01. Efetivo do CBMDF em algumas Regies Administrativas do DF - 1998

Fonte: Tabela 01GRFICOS EM BARRAS

Semelhante ao grfico em colunas, porm os retngulos so dispostos horizontalmente.

Regio EfetivoAdministrativaRA I - Braslia 867RA III - Taguatinga 443RA V - Sobradinho 116RA XIII - Santa Maria 77RA XVIII - Lago Norte 203Total 1.706

0100200300400500600700800900

1.000

RA I - Braslia RA III - Taguatinga RA V - Sobradinho RA XIII - Santa Maria RA XVIII - Lago NorteRegio Administrativa

27

Tabela 02. Efetivo do CBMDF em Cinco Regies Administrativas do DF - 1998

FONTE: Banco de Dados do Distrito Federal 1998NOTAS: Os efetivos especializados (emergncia mdica, incndio florestal e guarda e

segurana) esto alocados nas regies administrativas.

Grfico 02. Efetivo do CBMDF em algumas Regies Administrativas do DF - 1998

Fonte: Tabela 02

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000

RA I - Braslia

RA III - Taguatinga

RA V - Sobradinho

RA XIII - Santa Maria

RA XVIII - Lago Norte

Efetivo

Regio EfetivoAdministrativaRA I - Braslia 867RA III - Taguatinga 443RA V - Sobradinho 116RA XIII - Santa Maria 77RA XVIII - Lago Norte 203Total 1.706

28

GRFICO EM SETORES a representao atravs de um crculo, por meio de setores.Muito utilizado quando pretendemos comparar cada valor da srie com o total - proporo.Forma de clculo:

Tabela 03. Efetivo (valores absoluto e relativo) do CBMDF em Cinco Regies Administrativas do DF - 1998FONTE: Banco de Dados do Distrito Federal 1998

NOTAS: Os efetivos especializados (emergncia mdica, incndio florestal e guarda esegurana) esto alocados nas regies administrativas.

Total 360oparte xo

Efetivo xoRA I - Braslia 867 183,0RA III - Taguatinga 443 93,5RA V - Sobradinho 116 24,5RA XIII - Santa Maria 77 16,2RA XVIII - Lago Norte 203 42,8Total 1.706 360,0

RegioAdministrativa Absoluto Relativo (%)RA I - Braslia 867 50,82RA III - Taguatinga 443 25,97RA V - Sobradinho 116 6,80RA XIII - Santa Maria 77 4,51RA XVIII - Lago Norte 203 11,90Total 1.706 100,00

Efetivo

29

Grfico 03.a. Comparativo (percentual) do Efetivo do CBMDF em Cinco Regies Administrativas do DF 1998

FONTE: Tabela 03Grfico 03.b. Comparativo (percentual) do Efetivo do CBMDF em Cinco Regies Administrativas do DF

1998

FONTE: Tabela 03

RA I - Braslia50,82%

RA III - Taguatinga25,97%

RA V - Sobradinho6,80%

RA XIII - SantaMaria4,51%

RA XVIII - LagoNorte11,90%

RA I - Braslia50,82%

RA III - Taguatinga25,97%

RA V - Sobradinho6,80%

RA XIII - SantaMaria4,51%

RA XVIII - LagoNorte11,90%

30

GRFICO EM CURVAS / LINHASMuito utilizado para representar dados temporais.

Tabela 04. Populao da RA XIV So Sebastio 1991 a 1995

FONTE: Censo Demogrfico de 1991 IBGE Estimativas para 1992 a 1995 - CODEPLAN

Grfico 04. Populao da RA XIV So Sebastio 1991 a 1995

FONTE: Tabela 04


Ano Populao1991 17.3991992 20.9711993 25.2711994 30.4571995 36.703

15.000

20.000

25.000

30.000

35.000

40.000

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996Ano

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996Ano

FONTE: Tabela 04

31

GRFICO POLAR / RADARRepresentao por meio de um polgonoGeralmente presta-se para apresentao de sries temporais


FONTE: Tabela 04

0

10.000

20.000

30.000

40.0001991

1992

19931994

1995

32

EXERCCIOS1. Assinale a afirmativa verdadeira:

a) Um grfico de barras ou colunas aquele em que os retngulos que o compem esto dispostoshorizontalmente.

b) Um grfico de barras ou colunas aquele em que os retngulos que o compem esto dispostosverticalmente.

c) Um grfico de barras aquele em que os retngulos que o compem esto dispostos verticalmente e umgrfico de colunas, horizontalmente.

d) Um grfico de barras aquele em que os retngulos que o compem esto dispostos horizontalmente e umgrfico de colunas, verticalmente.

e) Todas as alternativas anteriores so falsas.2. O grfico mais comumente utilizado quando se deseja evidenciar a participao de um dado em relao ao total denominado:

a) Grfico em barras;b) Grficos em colunas;c) Grfico em setores;d) Grfico pictrico ou pictograma;e) Grfico decorativo.

3. Uma representao grfica comumente encontrada em jornais e revistas que inclui figuras de modo a torn-lasmais atraente denominada:

a) Grfico em barras;b) Grficos em colunas;c) Grfico em setores;d) Grfico pictrico ou pictograma;e) Grfico decorativo.

4. A tabela abaixo mostra o consumo de determinada bebida durante um baile de carnaval:Bebida Consumo (l)

Vinho 100Suco de Frutas 200gua Mineral 400Refrigerante 700Cerveja 1600

Foi construdo um grfico em setores para melhor representar o fenmeno acima.a) Qual o ngulo do setor correspondente ao vinho?

i) 6ii) 10iii) 12iv) 24v) 100

b) Qual o ngulo do setor correspondente ao suco de frutas?i) 12ii) 20iii) 24iv) 48v) 200

c) Qual o ngulo do setor correspondente gua mineral?

33

i) 24ii) 40iii) 48iv) 84v) 100

d) Qual o ngulo do setor correspondente aos refrigerantes?i) 42ii) 70iii) 84iv) 192v) 700

e) Qual o ngulo do setor correspondente s cervejas?i) 12ii) 96iii) 160iv) 192v) 1600

34

UNIDADE IV - DISTRIBUIO DE FREQNCIA

REPRESENTAO DA AMOSTRA:Podemos observar que a estatstica tem como objetivo encontrar leis de comportamento para todo o

conjunto, por meio da sintetizao dos dados numricos, sob a forma de tabelas, grficos e medidas.

PROCEDIMENTO COMUM PARA A REPRESENTAO DAS DISTRIBUIES DE FREQNCIA(MANEIRA DE SUMARIZAR OS DADOS)1) DADOS BRUTOS: O conjunto dos dados numricos obtidos aps a crtica dos valores coletados constitui-se nos dados brutos. Assim:

24 23 22 28 35 21 23 23 33 3424 21 25 36 26 22 30 32 25 2633 34 21 31 25 31 26 25 35 33

4) ROL: o arranjo dos dados brutos em ordem de freqncias crescente ou decrescente: Assim:21 21 21 22 22 23 23 23 24 2425 25 25 25 26 26 26 28 30 3131 32 33 33 33 34 34 35 35 36

3) AMPLITUDE TOTAL OU RANGE R : a diferena entre o maior e o menor valor observado. No exemplo: R = 36 - 21 = 15

4) FREQNCIA ABSOLUTA (Fi): o nmero de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o nmero deelementos pertencentes a uma classe.No exemplo F(21) = 3.5) DISTRIBUIO DE FREQNCIA: o arranjo dos valores e suas respectivas freqncias. Assim, adistribuio de freqncia para o exemplo ser:

Xi Fi21 322 223 324 225 426 328 130 131 232 133 334 235 236 1

30

35

Para a varivel contnua:Seja Xi peso de 100 indivduos:

CLASSE Fi45 |- 55 1555 |- 65 3065 |- 75 3575 |- 85 1585 |- 95 5

100

6) NUMERO DE CLASSES (K): No h frmula exata para o nmero de classes (arredondar para o inteiromais prximo). Solues:

25nse,n25nse5,K

Frmula de Sturges: K= 1 + 3,32 log(n)Onde: n = tamanho da amostra.

EXEMPLO:Considere o exemplo apresentado no ROL:

6K5,9K30log3,321KPortanto, a tabela ir conter 6 classes.

7) AMPLITUDE DA CLASSE (h): KRh (aproximar para o maior inteiro).

EXEMPLO:Considere novamente o exemplo apresentado no ROL:

3h5,2h615h

8) LIMITE DE CLASSES: Representado por

10 |-| 12: valores entre 10 e 12;10 -| 12: valores de 10 a 12, excluindo o 10;10 |- 12: valores de 10 a 12, excluindo o 12.Obs.: Neste curso iremos utilizar a ltima representao.

36

EXEMPLO:Considere o exemplo apresentado no ROL:

9) PONTO MDIO DA CLASSE (xi): a mdia aritmtica entre o limite superior (Li) e o inferior da classe(li).

2Llx iii

EXEMPLO:Da tabela acima:

10) FREQNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (Fac): a soma das freqncias dos valores inferiores ouiguais ao valor dado.Exemplo:

Classe Fi21 |- 24 824 |- 27 927 |- 30 130 |- 33 433 |- 36 736 |- 39 1TOTAL 30

Classe Fi xi21 |- 24 8 22,524 |- 27 9 25,527 |- 30 1 28,530 |- 33 4 31,533 |- 36 7 34,536 |- 39 1 37,5TOTAL 30 -

Classe Fi xi Fac21 |- 24 8 22,5 824 |- 27 9 25,5 1727 |- 30 1 28,5 1830 |- 33 4 31,5 2233 |- 36 7 34,5 2936 |- 39 1 37,5 30TOTAL 30 - -

37

11) FREQNCIA RELATIVA SIMPLES ( fi ): A freqncia relativa de um valor dada por,i

ii F

Ff , ouser a percentagem daquele valor na amostra caso multiplique por 100.

Exemplo:

12) FREQNCIA RELATIVA ACUMULADA (fac): a soma das freqncias relativas dos valores inferioresou iguais ao valor dado.Exemplo:

13) HISTOGRAMA: a representao grfica de uma distribuio de FREQNCIA por meio de retngulosjustapostos (veja exemplo a seguir).

14) POLGONO DE FREQNCIA: a representao grfica de uma distribuio por meio de um polgono.Exemplo:

HISTOGRAMA E POLGONO DE FREQUNCIA SIMPLES DA TABELA ACIMA

Classe Fi xi Fac fi21 |- 24 8 22,5 8 0,26724 |- 27 9 25,5 17 0,30027 |- 30 1 28,5 18 0,03330 |- 33 4 31,5 22 0,13333 |- 36 7 34,5 29 0,23336 |- 39 1 37,5 30 0,033TOTAL 30 - - 1,000

Classe Fi xi Fac fi fac21 |- 24 8 22,5 8 0,267 0,26724 |- 27 9 25,5 17 0,300 0,56727 |- 30 1 28,5 18 0,033 0,60030 |- 33 4 31,5 22 0,133 0,73333 |- 36 7 34,5 29 0,233 0,96636 |- 39 1 37,5 30 0,033 1,000TOTAL 30 - - 1,000 -

0123456789

10

Classes

21 24 27 30 33 36 39

38

15) POLGONO DE FREQNCIA ACUMULADA:Exemplo:

POLGONO DE FREQUNCIA ACUMULADA DA TABELA ACIMA

05

1015202530

Classes

21 24 27 30 33 36 39

39

EXERCCIOS1. Um dado foi lanado 50 vezes e foram registrados os seguintes resultados

5 4 6 1 2 5 3 1 3 34 4 1 5 5 6 1 2 5 13 4 5 1 1 6 6 2 1 14 4 4 3 4 3 2 2 2 36 6 3 2 4 2 6 6 2 1

Construa uma distribuio de freqncia sem intervalo de classe e determine:a) A Amplitude Total

i) 5ii) 6iii) 7iv) 10v) 50

b) A freqncia totali) 5ii) 6iii) 7iv) 10v) 50

c) A freqncia simples absoluta do primeiro elemento:i) 10%ii) 20%iii) 1iv) 10v) 20

d) A freqncia simples relativa do primeiro elemento:i) 10%ii) 20%iii) 1iv) 10v) 20

e) A freqncia acumulada do primeiro elemento:i) 10%ii) 20%iii) 1iv) 10v) 20

f) A freqncia acumulada relativa do primeiro elemento:i) 10%ii) 20%iii) 1iv) 10v) 20

g) A freqncia simples absoluta do segundo elemento:i) 19ii) 9iii) 2iv) 38%

40

v) 18%h) A freqncia simples relativa do quinto elemento:

i) 12%ii) 84%iii) 5iv) 6v) 42

i) A freqncia acumulada relativa do sexto elemento:i) 50ii) 8iii) 6iv) 100%v) 16%

3. Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 indivduos de uma faculdade:151 152 154 155 158 159 159 160 161 161161 162 163 163 163 164 165 165 165 166166 166 166 167 167 167 167 167 168 168168 168 168 168 168 168 168 168 169 169169 169 169 169 169 170 170 170 170 170170 170 171 171 171 171 172 172 172 173173 173 174 174 174 175 175 175 175 176176 176 176 177 177 177 177 178 178 178179 179 180 180 180 180 181 181 181 182182 182 183 184 185 186 187 188 190 190

Calcule:a) A amplitude amostral;b) O nmero de classes;c) A amplitude de classes;d) Os limites de classes;e) As freqncias absolutas das classes;f) As freqncias relativas;g) Os pontos mdios das classes;h) As freqncias acumuladas;i) O histograma e o polgono de freqncia;j) O polgono de freqncia acumulada;k) Faa um breve comentrio sobre os valores das alturas desta amostra atravs da distribuio de frequncia.

4. Os dados seguintes representam 20 observaes relativas ao ndice pluviomtrico em determinadomunicpio do Estado:

Milmetros de chuva

a) Determinar o nmero de classes pela regra de Sturges;b) Construir a tabela de freqncias absolutas simples;

144 152 159 160160 151 157 146154 145 151 150142 146 142 141141 150 143 158

41

c) Determinar as freqncias absolutas acumuladas;d) Determinar as freqncias simples relativas;5. Considere a seguinte distribuio de frequncia correspondente aos diferentes preos de um determinadoproduto em vinte lojas pesquisadas.

a) Quantas lojas apresentaram um preo de R$52,00?b) Construa uma tabela de freqncias simples relativas.c) Construa uma tabela de freqncias absolutas acumuladas.d) Quantas lojas apresentaram um preo de at R$52,00 (inclusive)?e) Qual o percentual de lojas com preo maior de que R$51,00 e menor de que R$54,00?6. O quadro seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe.

a) Calcular a amplitude total.b) Admitindo-se 6 classes, qual a amplitude do intervalo de classe?c) Construir uma tabela de frequncia das alturas dos alunos.d) Determinar os pontos mdios das classes.7. Vinte alunos foram submetidos a um teste de aproveitamento cujos resultados so.

Pede-se agrupar tais resultados em uma distribuio de freqncias:

Preos No. De lojas50 251 552 653 654 1

Total 20

162 163 148 166 169 154 170 166164 165 159 175 155 163 171 172170 157 176 157 157 165 158 158160 158 163 165 164 178 150 168166 169 152 170 172 165 162 164

26 28 24 13 1818 25 18 25 2420 21 15 28 1727 22 13 19 28

42

UNIDADE V - MEDIDAS DE POSIO E SEPARATRIZES

MEDIDAS DE POSIO

As medidas de posio, tambm chamada de medidas de tendncia central, possuem trs formasdiferentes para trs situaes distintas:

MDIA ARITMTICAExistem duas mdias:

POPULACIONAL, representada letra gregaAMOSTRAL, representada por x

1a SITUAO: Dados no agrupadosSejam os elementos x1, x2, x3,...,xn de uma amostra, portanto n valores da varivel X. A mdia aritmticada varivel aleatria de X definida por,

nx

x 1i

n

i ou simplesmente, nxx

Onde n o nmero de elementos do conjunto.

Exemplo:Suponha o conjunto de tempo de servio de cinco funcionrios: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar a mdia aritmticasimples deste conjunto de dados.

8,7539

51110873x

Interpretao: o tempo mdio de servio deste grupo de funcionrios de 7,8 anos.

2a SITUAO: Dados agrupados em uma distribuio de frequncia por valores simplesQuando os dados estiverem agrupados numa distribuio de freqncia usaremos a mdia aritmtica dos

valores x1, x2, x3,...,xn, ponderados pelas respectivas freqncias absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn. Assim

nFx

x 1ii

n

i

Exemplo:Em um determinado dia foi registrado o nmero de veculos negociados por uma amostra de 10

vendedores de uma agncia de automveis obtendo a seguinte tabela:

43

Portanto:

6,21026x

Interpretao: em mdia, cada vendedor negociou 2,6 veculos.

3a SITUAO: Dados agrupados em uma distribuio de frequncia por classesQuando os dados estiverem agrupados numa distribuio de freqncia usaremos a mdia aritmtica dos

pontos mdios x1, x2, x3,...,xn de cada classe, ponderados pelas respectivas freqncias absolutas: F1, F2, F3, ... ,Fn. Desta forma, o clculo da mdia passa a ser igual ao da 2a situao. Assim

nFx

x 1ii

n

i

Exemplo:A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinadadisciplina:

Portanto,

62,24=583610x

Interpretao: o desempenho mdio deste grupo de alunos foi de 62,24 pontos nesta disciplina.

ESCORES ALUNOS xi xi Fi(Fi)

35 |- 45 5 40 20045 |- 55 12 50 60055 |- 65 18 60 1.08065 |- 75 14 70 98075 |- 85 6 80 48085 |- 95 3 90 270

TOTAL 58 - 3.610

veculos nmero denegociados vendedores xi Fi

(xi) (Fi)1 1 12 3 63 5 154 1 4

TOTAL 10 26

44

MODA - Mo Dentre as principais medidas de posio, destaca-se a moda. o valor mais freqente da distribuio.

1a SITUAO: Dados no agrupadosSejam os elementos x1, x2, x3,...,xn de uma amostra, o valor da moda para este tipo de conjunto de dados simplesmente o valor com maior frequncia.

Exemplo 1:Suponha o conjunto de tempo de servio de cinco funcionrios: 3, 7, 8, 8 e 11. Determinar a moda desteconjunto de dados.

8Mo Distribuio unimodal ou modalInterpretao: o tempo de servio com maior frequncia de 8 anos.

Exemplo 2:Suponha o conjunto de tempo de servio de cinco funcionrios: 3, 3, 7, 8, 8 e 11. Determinar a moda desteconjunto de dados.

8Mo3Mo Distribuio bimodal

Interpretao: os tempos de servio com maior frequncia foram de 3 e 8 anos.

Exemplo 3:Suponha o conjunto de tempo de servio de cinco funcionrios: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar a moda desteconjunto de dados.

Moexisteno Distribuio amodalInterpretao: no existe o tempo de servio com maior frequncia.

2a SITUAO: Dados agrupados em uma distribuio de frequncia por valores simplesPara este tipo de distribuio, a identificao da moda facilitada pela simples observao do elemento que

apresenta maior freqncia. Assim, para a distribuio.



veculos nmero denegociados vendedores

(xi) (Fi)1 12 33 54 1

TOTAL 10

45

Portanto, se a maior frequncia Fi = 5, logo Mo = 3.Interpretao: A quantidade de veculos comercializados no dia com maior frequncia foi de trs veculos.

3a SITUAO: Dados agrupados em uma distribuio de frequncia por classes Para dados agrupados em classes, temos diversas frmulas para o clculo da moda. A utilizada ser:

Frmula de CzuberProcedimento:

a) Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior freqncia) CLASSE(Mo).b) Utiliza-se a frmula:

h++lMo 211

i

em que:

modalclassedaamplitudehFFFF

modalclassedainferiorlimitel

posti,i2

anti,i1

i


4141861218

:61Mo6551046

655Mo65|55MoCLASSE

2

1

onde

Interpretao: O escore com maior frequncia entre o grupo de 58 alunos foi de 61 pontos.

ESCORES ALUNOSFi

35 |- 45 545 |- 55 1255 |- 65 1865 |- 75 1475 |- 85 685 |- 95 3

TOTAL 58

46

MEDIANA - Md Construdo o ROL, o valor da mediana o elemento que ocupa a posio central, ou seja, o elementoque divide a distribuio em 50% de cada lado:

1a SITUAO: Dados no agrupadosSejam os elementos x1, x2, x3,...,xn de uma amostra, portanto n valores da varivel X. A mediana davarivel aleatria de X definida por,

21nposionalocalizado valorosermedianada valoroentompar,

21nposioadjacentessobservaeduasdasmdiaasermedianada valoroentopar,

nse

Exemplo 1:Suponha o conjunto de tempo de servio de cinco funcionrios: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar a mediana desteconjunto de dados.Como 32

15posionalocalizadoestarmedianada valoroento5,n . Portanto,

8MdInterpretao: 50% dos funcionrios possuem at oito anos de tempo de servio, ou, 50% dos funcionrios

possuem no mnimo oito anos de tempo de servio.

Exemplo 2:Suponha o conjunto de tempo de servio de cinco funcionrios: 3, 7, 8, 10, 11 e 13. Determinar a mediana desteconjunto de dados.Como 5,32

16posionalocalizadoestarmedianada valoroento6,n . Portanto,

92108Md

Interpretao: 50% dos funcionrios possuem at nove anos de tempo de servio, ou, 50% dos funcionriospossuem no mnimo nove anos de tempo de servio.

2a SITUAO: Dados agrupados em uma distribuio de frequncia por valores simplesQuando os dados estiverem agrupados numa distribuio de freqncia identificaremos a mediana dos

valores x1, x2, x3,...,xn pela posio da mediana 2nMdPOS atravs da frequncia absoluta acumulada - Fac,

100%50%0%

Md

47



Portanto:

3Md5210MdPOS

Interpretao: 50% dos vendedores comercializaram no mximo trs veculos, ou ento, metade dos vendedorescomercializou pelo menos trs veculos.

3a SITUAO: Dados agrupados em uma distribuio de frequncia por classes

Procedimento:

1. Calcula-se a posio da mediana: 2nMdPOS

2. Pela Fac identifica-se a classe que contm o valor da mediana - CLASSE(Md)3. Utiliza-se a frmula: hF

F-MdPOS+l=Mdi

antac,i

Onde: li = Limite inferior da classe mediana n = Tamanho da amostra ou nmero de elementos Fac,ant = Frequncia acumulada anterior classe mediana h = Amplitude da classe mediana Fi = Freqncia absoluta simples da classe mediana


veculos nmero denegociados vendedores Fac

(xi) (Fi)1 1 12 3 43 5 94 1 10

TOTAL 10 -

48

Portanto,

61,67Md67,655101817-2955Md.3

65|55CLASSE(Md).2292

58POS(Md).1

Interpretao: 50% dos alunos obtiveram escore mximo de 61,67 pontos, ou ento, metade dos alunosobtiveram escore maior que 61,67 pontos..

SEPARATRIZES

QUARTIS Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais.

Assim:Onde:Q1 = 1 quartil, deixa 25% dos elementos.Q2 = 2 quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos.Q3 = 3 quartil, deixa 75% dos elementos.

Procedimento:

1. Calcula-se a posio do quartil:1,2,3i:onde

i4nQPOS i

2. Pela Fac identifica-se a classe que contm o valor do quartil - CLASSE(Qi)

100%

Q1 Q2 = Md Q3

0% 25% 50% 75%

ESCORES ALUNOS Fac(Fi)

35 |- 45 5 545 |- 55 12 1755 |- 65 18 3565 |- 75 14 4975 |- 85 6 5585 |- 95 3 58

TOTAL 58 -

49

3. Utiliza-se a frmula: hFF-QPOS+l=Q

i

antac,iii

onde: li = Limite inferior da classe quartlica n = Tamanho da amostra ou nmero de elementos Fac,ant = Frequncia acumulada anterior classe quartlica h = Amplitude da classe quartlica Fi = Freqncia absoluta simples da classe quartlica

Exemplo:A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada

disciplina. Calcule o primeiro e o terceiro quartil.

Portanto,

2,925Q92,74510125-14,554Q.3

55|45)CLASSE(Q.25,1414

58)POS(Q.1

11

1

1

Interpretao: 25% dos alunos obtiveram escore mximo de 52,92 pontos, ou ento, 75% dos alunos obtiveramescore maior que 52,92 pontos.

07,71Q07,665101435-43,556Q.3

75|65)CLASSE(Q.25,4334

58)POS(Q.1

33

1

3

Interpretao: 75% dos alunos obtiveram escore menor que 71,07 pontos, ou ento, 25% dos alunos obtiveramescore de pelo menos 71,07 pontos.


35 |- 45 5 545 |- 55 12 1755 |- 65 18 3565 |- 75 14 4975 |- 85 6 5585 |- 95 3 58

TOTAL 58 -

50

DECIS So valores que divide a srie em dez partes.

Procedimento:

1. Calcula-se a posio da medida:6,7,8,91,2,3,4,5,i:onde

i10nPOS iD

2. Pela Fac identifica-se a classe que contm o valor do decil - CLASSE(Di)3. Utiliza-se a frmula: hF

F-DPOS+l=Di

antac,iii

Onde: li = Limite inferior da classe do decil n = Tamanho da amostra ou nmero de elementos Fac,ant = Frequncia acumulada anterior classe do decil h = Amplitude da classe do decil Fi = Freqncia absoluta simples da classe do decil

Exemplo:A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinadadisciplina. Calcule o sexto decil.

Portanto,


35 |- 45 5 545 |- 55 12 1755 |- 65 18 3565 |- 75 14 4975 |- 85 6 5585 |- 95 3 58

TOTAL 58 -

D8 D9D2 D3 D4 D5 D6 D7

90% 100%0%

D1

50% 60% 70% 80%10% 20% 30% 40%

51

89,64D89,955101817-34,855D.3

65|55)CLASSE(D.28,34610

58)POS(D.1

66

6

6

Interpretao: 60% dos alunos obtiveram escore inferior a 64,89 pontos, ou ento, 40% dos alunos obtiveramescore mnimo de 64,89 pontos.PERCENTIS

So as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. A frmula ser:

Procedimento:

1. Calcula-se a posio da medida:98,991,2,3,...,i:onde

i100nPOS iP

2. Pela Fac identifica-se a classe que contm o valor do percentil - CLASSE(Pi)3. Utiliza-se a frmula: hF

F-PPOS+l=Pi

antac,iii

onde: li = Limite inferior da classe do percentil n = Tamanho da amostra ou nmero de elementos Fac,ant = Frequncia acumulada anterior classe do percentil h = Amplitude da classe do percentil Fi = Freqncia absoluta simples da classe do percentil

Exemplo:A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinadadisciplina. Calcule o percentil de ordem 23.

.. .

.30%..

.P80 .. .P90 ...P20 .. .P30 .. .P40 .. .P50 .. .P60 .. .P70 ..

.90%.. .100% 0%..

.P10 ..

.50%.. .60%.. .70%.. .80%...10%.. .20%.. .40%..


35 |- 45 5 545 |- 55 12 1755 |- 65 18 3565 |- 75 14 4975 |- 85 6 5585 |- 95 3 58

TOTAL 58 -

52

Portanto,

95,51P95,64510125-13,3454P.3

55|45)CLASSE(P.234,1323100

58)POS(P.1

2323

23

23

Interpretao: 23% dos alunos com os menores escores obtiveram pontuao inferior a 51,95 pontos, ou ento,77% dos alunos obtiveram escore maior que 51,95 pontos.

53

EXERCCIOS

1. Dado o rol do nmero de erros de impresso da primeira pgina de um jornal durante 50 dias, obteve-se osseguintes resultados:

5 5 5 6 6 6 7 7 7 77 8 8 8 8 8 8 8 9 910 10 10 10 10 11 11 11 11 1212 12 12 12 12 12 12 12 13 1414 14 14 14 14 14 15 16 19 22

a) Complete a tabela de distribuio de frequncia:Classe Fi xi Fac f i

05 |- 0808 |- 1111 |- 1414 |- 1717 |- 2020 |- 23

Total - -

Segundo nos mostra a tabela acima responda:i) Qual a amplitude total (r)?ii) Qual o valor de k (nmero de classe)?iii) Qual o intervalo de cada classe (h)?2. Complete a tabela a seguir:

3. Considere a seguinte tabela:Fi

2,75 |- 2,80 22,80 |- 2,85 32,85 |- 2,90 102,90 |- 2,95 112,95 |- 3,00 243,00 |- 3,05 143,05 |- 3,10 93,10 |- 3,15 83,15 |- 3,20 63,20 |- 3,25 3

90

classes

Total

Identificar os seguintes elementos da tabela:a) Frequncia simples absoluta da quinta classe.b) Frequncia total.

Classes f P.M. Fi fr0,02

1262 - 65 0,06

66,5 84126

36225

0,15300

Total - -

54

c) Limite inferior da sexta classe.d) Limite superior da quarta classe.e) Amplitude do intervalo de classe.f) Amplitude total.g) Ponto mdio da terceira classe.h) Nmero total de classe.i) Frequncia absoluta acumulada alm da sexta classe.j) Porcentagem de valores iguais ou maiores que 3,20.

4. Responda as questes abaixo:I) Mdia, Mediana e Moda so medidas de :a) ( ) Disperso b) ( ) posioc) ( ) assimetria d) ( ) curtoseII) Na srie 10, 20, 40, 50, 70, 80 a mediana ser:a) ( ) 30 b) ( ) 35c) ( ) 40 d) ( ) 45III) 50% dos dados da distribuio situa-se:a) ( ) abaixo da mdia c) ( ) abaixo da modab) ( ) acima da mediana d) ( ) acima da mdia8. Calcule para cada caso abaixo a respectiva mdia.a) 7, 8, 9, 12, 14

b)Xi 3 4 7 8 12Fi 2 5 8 4 3

c)Classes 68 - 72 72 - 76 76 - 80 80 - 84

Fi 8 20 35 40

9. Calcule o valor da mediana.a) 82, 86, 88, 84, 91, 93

b)Xi 73 75 77 79 81Fi 2 10 12 5 2

c)Classes 1 - 3 3 - 5 5 - 7 7 - 9 9 - 11 11 - 13Fi 3 5 8 6 4 3

10. Calcule a modaa) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10

b)Xi 2,5 3,5 4,5 6,5Fi 7 17 10 5

c)Classes 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50

Fi 7 19 28 32

11. Para a distribuio abaixo calcular D2, P4Q3.

a)Classes 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70

Fi 3 8 18 22 24

55

UNIDADE VI - MEDIDAS DE DISPERSO

MEDIDA DE DISPERSO As medidas de disperso indicam se os valores esto relativamente prximos um dos outros, ouseparados em torno de uma medida de posio: a mdia. Consideraremos quatro medidas de disperso: Desvio-mdio, Varincia, Desvio Padro e Coeficiente de Variao.

DESVIO-MDIO O desvio-mdio analisa a mdia dos desvios em torno da mdia.

1a SITUAO: Dados no agrupadosSejam os elementos x1, x2, x3,...,xn de uma amostra, portanto n valores da varivel X, com mdia igual ax . O desvio-mdio da varivel aleatria de X ,

nxxDM i

onde n o nmero de elementos do conjunto.

Exemplo:Suponha o conjunto de tempo de servio de cinco funcionrios: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar o desvio-mdiodeste conjunto de dados.

2,24DM52,11

58,7118,7108,788,777,8-3DMento

8,7xcomo

Interpretao: em mdia, o tempo de servio deste grupo de funcionrios se desvia em 2,24 anos em torno dos7,8 anos de tempo mdio de servio.

2a SITUAO: Dados agrupados em uma distribuio de frequncia por valores simplesQuando os dados estiverem agrupados numa distribuio de freqncia usaremos o desvio-mdio dos

valores x1, x2, x3,...,xn, ponderados pelas respectivas freqncias absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn, como no clculo damdia aritmtica. Assim

nFxxDM ii


vendedores de uma agncia de automveis como mostra a tabela abaixo. O clculo do desvio-mdio ser:

56

68,0108,6DMento

2,6xcomo

Interpretao: em mdia, a quantidade de veculos negociada de cada vendedor possuiu uma distncia de 0,68em torno dos 2,6 veculos comercializados em mdia por vendedor.

3a SITUAO: Dados agrupados em uma distribuio de frequncia por classesQuando os dados estiverem agrupados numa distribuio de freqncia usaremos o desvio-mdio dos pontos

mdios x1, x2, x3,...,xn de cada classe, ponderados pelas respectivas freqncias absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn.Desta forma, o clculo do desvio-mdio passa a ser igual ao da 2a situao. Assim

nFxxDM ii

Exemplo:A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinadadisciplina. O clculo do desvio-mdio ser:

Portanto,

29,1058597DMento

62,24=xcomo

veculos nmero denegociados vendedores |xi-mdia| |xi-mdia|*Fi

(xi) (Fi)1 1 1,60 1,602 3 0,60 1,803 5 0,40 2,004 1 1,40 1,40

TOTAL 10 4,00 6,80

ESCORES ALUNOSFi xi |xi-mdia| |xi-mdia|*Fi

35 |- 45 5 40 22 11145 |- 55 12 50 12 14755 |- 65 18 60 2 4065 |- 75 14 70 8 10975 |- 85 6 80 18 10785 |- 95 3 90 28 83

TOTAL 58 - - 597

57

Interpretao: Em mdia, a nota de cada aluno deste grupo teve um distanciamento de 10,29pontos em torno dodesempenho mdio deste grupo de alunos foi de 62,24 pontos nesta disciplina.

VARINCIA E DESVIO-PADRO A varincia de um conjunto de dados a mdia dos quadrados dos desvios dos valores a contar damdia. A frmula da varincia poder ser calculada de duas formas:

POPULACIONAL, representada letra grega 2

AMOSTRAL, representada por s2.

1a SITUAO: Dados no agrupadosSejam os elementos x1, x2, x3,...,xn, portanto n valores da varivel X, com mdia igual a x . A varincia davarivel aleatria de X ,

nxx1-n

11-nxxS

ouNxxN

1N

x

2i2

i

2i2

2i2

i

2i2

Obs: A Segunda frmula chamada de Frmula Desenvolvida.Exemplo:Suponha o conjunto de tempo de servio de cinco funcionrios: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar o desvio-padrodeste conjunto de dados.

2222222

2 anos7,9S48,38

158,7118,7108,788,777,8-3Sento

8,7xcomo

Interpretao: encontramos ento uma varincia para o tempo de servio de 9,7anos2. Para eliminarmos oquadrado da unidade de medida, extramos a raiz quadrada do resultado da varincia, que chegamos a umaterceira medida de disperso, chamada de DESVIO-PADRO:

POPULACIONAL, representada letra grega 2

AMOSTRAL, representada por 2SSPortanto, o desvio-padro do exemplo foi de 3,11anos. Ou seja, se calcularmos um intervalo utilizando umdesvio-padro em torno da mdia, encontraremos a concentrao da maioria dos dados.

2a SITUAO: Dados agrupados em uma distribuio de frequncia por valores simplesQuando os dados estiverem agrupados numa distribuio de freqncia usaremos a varincia dos valores x1,x2, x3,...,xn, ponderados pelas respectivas freqncias absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn. Assim

58

nFxFx1-n

11-n

FxxS

ouN

FxFxN1

NFx

2ii

i2i

i2

i2

2ii

i2i

i2

i2


vendedores de uma agncia de automveis como mostra a tabela abaixo. O clculo do desvio-mdio ser:

veculos84,0os0,71veculSveculos71,09

4,6Sento2,6xcomo

2

22

veculos84,0os0,71veculS

veculos71,01026749

1S2

22

2

Interpretao: Portanto, o desvio-padro do exemplo foi de 0,84 veculos. Ou seja, se calcularmos um intervaloutilizando um desvio-padro em torno da mdia, encontraremos a concentrao da maioria dos veculosnegociados por vendedor.

3a SITUAO: Dados agrupados em uma distribuio de frequncia por classesQuando os dados estiverem agrupados numa distribuio de freqncia usaremos a varincia dos pontos

mdios x1, x2, x3,...,xn de cada classe, ponderados pelas respectivas freqncias absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn.Desta forma, o clculo da varincia passa a ser igual ao da 2a situao. Assim

nFxFx1-n

11-n

FxxS

ouN

FxFxN1

NFx

2ii

i2i

i2

i2

2ii

i2i

i2

i2

veculos nmero de veculos nmero denegociados vendedores (xi-mdia)2 (xi-mdia)2*Fi negociados vendedores xi*Fi xi2*Fi

(xi) (Fi) (x i) (Fi)1 1 2,56 2,56 1 1 1 12 3 0,36 1,08 OU 2 3 6 123 5 0,16 0,80 3 5 15 454 1 1,96 1,96 4 1 4 16

TOTAL 10 5,04 6,40 TOTAL 10 26 74

59

Exemplo:A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinadadisciplina. O clculo do desvio-mdio ser:

pontos85,12pontos1,165Spontos1,16557

409.9Sento24,26xcomo

2

22

pontos85,12pontos1,165S

pontos1,16558610.3100.23457

1S2

22

Interpretao: Portanto, o desvio-padro do exemplo foi de 12,85 pontos. Ou seja, se calcularmos um intervaloutilizando um desvio-padro em torno do escore mdio de 62,24 pontos, encontraremos a concentrao damaioria dos alunos dentro deste intervalo de pontuao.

COEFICIENTE DE VARIAO Trata-se de uma mdia relativa disperso, til para a comparao e observao em termos relativos dograu de concentrao em torno da mdia de sries distintas. dada por:

100xSCVOU100CV

Classificao da distribuio quanto disperso:DISPERSO BAIXA: CV 15%DISPERSO MDIA: 15% < CV < 30%DISPERSO ALTA: CV 30%

ESCORES ALUNOS ESCORES ALUNOSFi xi (xi-mdia)2 (xi-mdia)2*Fi Fi xi xi*Fi xi2*Fi

35 |- 45 5 40 495 2.473 35 |- 45 5 40 200 8.00045 |- 55 12 50 150 1.798 45 |- 55 12 50 600 30.00055 |- 65 18 60 5 90 OU 55 |- 65 18 60 1.080 64.80065 |- 75 14 70 60 843 65 |- 75 14 70 980 68.60075 |- 85 6 80 315 1.893 75 |- 85 6 80 480 38.40085 |- 95 3 90 771 2.312 85 |- 95 3 90 270 24.300

TOTAL 58 - - 9.409 TOTAL 58 - 3.610 234.100

60

Exemplo:Numa empresa o salrio mdio dos funcionrios do sexo masculino de R$ 4.000,00, com um desvio

padro de R$ 1.500,00, e os funcionrios do sexo feminino em mdia de R$ 3.000,00, com um desvio padrode R$ 1.200,00. Ento:

%4010030001200CV:femininoSexo

%5,3710040001500CV:masculinoSexo

Interpretao: Logo, podemos concluir que o salrio das mulheres apresenta maior disperso relativa que a doshomens. Para obtermos o resultado de C.V basta multiplicarmos por 100.EXERCCIOS

1. Desvio Mdio para o conjunto de dados abaixo ser:xi Fi5 27 38 59 411 2

a) ( ) 1,28 c) ( ) 1,00b) ( ) 1,20 d) ( ) 0,832. O Desvio Padro de um conjunto de dados 9. A varincia :a) ( ) 3 c) ( ) 81b) ( ) 36 d) ( ) 183. Na distribuio de valores iguais, o Desvio padro :a) ( ) negativo c) ( ) zerob) ( ) a unidade d) ( ) positivo4. O calculo da varincia supe o conhecimento da:a) ( ) Fac c) ( ) medianab) ( ) mdia d) ( ) moda5. A varincia do conjunto de dados tabelados abaixo ser:

Classes Fi03 |- 08 508 |- 13 1513 |- 18 2018 |- 23 10

a) ( ) 1,36 c) ( ) 4,54b) ( ) 18,35 d) ( ) 20,66

61

UNIDADE VII - MEDIDAS DE ASSIMETRIA E DE CURTOSE

MEDIDAS DE ASSIMETRIADEFINIO: grau de deformao de uma distribuio em relao ao eixo de simetria.

Podemos observar os tipos de assimetria abaixo:a)

MoMdx

b)

MoMdx

c)

xMdMo

Existem vrias coeficientes com o objetivo de quantificar tais assimetrias. Estudaremos dois destescoeficientes que veremos a seguir:

COEFICIENTE DE PEARSON O coeficiente de Pearson apresentado pela seguinte frmula:

SMoxAsouMoAs

Classificao do coeficiente de Pearson:0As DISTRIBUIO SIMTRICA

1As0 DISTRIBUIO ASSIMTRICA POSITIVA FRACA1As DISTRIBUIO ASSIMTRICA POSITIVA FORTE

0As1- DISTRIBUIO ASSIMTRICA NEGATIVA FRACA-1As DISTRIBUIO ASSIMTRICA NEGATIVA FORTE

62

COEFICENTE DE BOWLEY

1313QQ

Md2QQAsClassificao do coeficiente de Bowley:

0As DISTRIBUIO SIMTRICA1,0As0 DISTRIBUIO ASSIMTRICA POSITIVA FRACA0,3As0,1 DISTRIBUIO ASSIMTRICA POSITIVA MODERADA1As0,3 DISTRIBUIO ASSIMTRICA POSITIVA FORTE0As0,1- DISTRIBUIO ASSIMTRICA NEGATIVA FRACA0,1As0,3- DISTRIBUIO ASSIMTRICA NEGATIVA MODERADA

-0,3As1- DISTRIBUIO ASSIMTRICA NEGATIVA FORTE

MEDIDA DE CURTOSE

Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma distribuio. Podemos ter:

CURVA PLATICRTICA

CURVA MESOCRTICA

CURVA LEPTOCRTICA

63

Para medir o grau de curtose utilizaremos o coeficiente

109013P-P2

Q-Q=K

Classificao do coeficiente de Curtose:0,263K CURVA MESOCRTICA0,263K CURVA PLATICRTICA0,263K CURVA LEPTOCRTICA

EXERCCIOS1. Analisando as curvas abaixo marque a resposta correta.

(I) (II) (III)a) a curva I simtrica - x > med > mo ;b) a curva II assimtrica positiva - mo > > x2 ;c) a curva I simtrica x = med = mo ;d) a curva III simtrica positiva x = med = mo ;2. Para as distribuies abaixo foram calculados Distrib. A Distrib. B Distrib. C

x = 12KgMed = 12Kg Mo = 12Kg S = 4,42Kg

x = 12,9KgMed = 13,5Kg Mo = 16Kg S = 4,20Kg

x = 11,1KgMed = 10,5Kg Mo = 8Kg S = 4,20Kg

Marque a alternativa correta:a) a distribuio I assimtrica negativa;b) a distribuio II assimtrica positiva;c) a distribuio III assimtrica negativa moderada.d) a distribuio I simtrica;3. Sabe-se que uma distribuio apresentou as seguintes medidas:Q1 = 24,4cm Q3 = 41,2cm P10=20,2cm P90 = 49.5cm,Com tais medidas a curtose :a) ( ) Leptocrtica c) ( ) Mesocrticab) ( ) Platicrtica d) ( ) Assimtrica.

Classes Fi Classes Fi Classes Fi02 |- 06 6 02 |- 06 6 02 |- 06 606 |- 10 12 06 |- 10 12 06 |- 10 3010 |- 14 24 10 |- 14 24 10 |- 14 2414 |- 18 12 14 |- 18 30 14 |- 18 1218 |- 22 6 18 |- 22 6 18 |- 22 6

64

UNIDADE VIII INTRODUO TEORIA DA PROBABILIDADE

EXPERIMENTO ALEATRIO OU NO DETERMINISTICO - EDefinio:1. o processo de observao ou medida de um determinado fenmeno em estudo.2. o experimento que repetido sob as mesmas condies, conduz a resultados, em geral, distintos.

Exemplos:E1 lanamento de um dado e observar o nmero na face superior.E2 lanamento de uma moeda e observar o valor na face superior.E3 lanamento de um dado e uma moeda, nesta seqncia, observar os valores nas faces superiores.E4 um casal deseja ter trs filhos e observar o sexo, de acordo com a ordem de nascimentos das crianas.

ESPAO AMOSTRAL - SDefinio: Um espao amostral um conjunto de todas as ocorrncias possveis de um determinado experimentoaleatrio E.Exemplos: Considere os experimentos aleatrios apresentados anteriormente: No E1 - S={1, 2, 3, 4, 5, 6} No E2 - S={k, c}, onde k=cara, C=coroa. No E3 - S={1k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c} No E4 - S={MMM, MMF, MFM, MFF, FMM, FMF, FFM, FFF}EVENTOS (qualquer letra maiscula do alfabeto)Definio: Um evento qualquer subconjunto de ocorrncias de um determinado espao amostral S.

Exemplo: Considere o experimento aleatrio E3, com seu respectivo espao amostral S:S={1k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c}

Determine os seguintes eventos:A = ocorrncia de valor cara (K)B = ocorrncia de valor parC = ocorrncia de valor coroa (C)D = ocorrncia de valor mparE = ocorrncia de nmero primoF = ocorrncia de valor maior que 4G = ocorrncia de valor menor ou igual a 3H = ocorrncia de valor par ou cara (K)I = ocorrncia de valor par ou mpar

65

J = ocorrncia de valor par e cara (K)K = ocorrncia de valor par e mparL = ocorrncia de valor maior que 7

TIPOS DE EVENTOSEVENTO CERTO

Definio: aquele evento que se igual ao espao amostral S.Exemplo: O evento I acima um evento certo.

EVENTO IMPOSSVELDefinio: aquele evento que no possui elemento algum.Exemplo: Os eventos K e L acima so eventos impossveis.

EVENTOS MUTUAMENTES EXCLUSIVOSDefinio: Dois eventos A e B quaisquer so chamados de mutuamente exclusivos, se eles no podem ocorrersimultaneamente, isto ,

A B =Exemplo: Considere os eventos descritos acima: Os eventos A e C so mutuamente exclusivos, pois A C = .

Os eventos B e D so mutuamente exclusivos, pois B D = .Os eventos C e J so mutuamente exclusivos, pois C J = .

Os eventos H e J no so mutuamente exclusivos, pois H J .

EVENTOS COMPLEMENTARESDefinio: Dois eventos A e B quaisquer so chamados de complementares se:

A B =A B = S

Exemplo: Considere os eventos descritos no exemplo acima: Os eventos A e C so complementares, pois A C = e A C = S.

Os eventos B e D so complementares, pois B D = e B D = S. Os eventos H e J no so complementares, pois H J e H J S. Os eventos F e K no so complementares, pois F K apesar de F K = S. Os eventos C e J no so complementares, pois C J S apesar de C J = .

66

PROBABILIDADE:Enfoque Terico A probabilidade de ocorrncia de um evento A, P(A), um nmero real que satisfaz as seguintescondies:a) 0 P(A) 1b) P(S) = 1c) Se A e B so eventos mutuamente exclusivos ento P(A B) = P(A) + P(B)d) Se A1, A2, ...,A , ... So mutuamente exclusivos, dois a dois, ento:

Principais teoremas:I) P(A ) = 1 - P(A)II) Se A um evento impossvel de ocorrer (A= ), ento P(A) = P( ) =0.III) Se A e B so eventos quaisquer, ento: P(A B) = P(A) + P(B) - P(B A).

CLCULO DA PROBABILIDADE A probabilidade dever ser calculada a partir da frmula: P(A) = n(S)

n(A)

Exemplo:Seja o Experimento E o lanamento de um dado e o seu espao amostral dado por: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Qual aprobabilidade do evento A Nmeros maiores e iguais a 2? O Evento A pode ser descrito na forma: A ={2, 3, 4, 5, 6}n(A) = 5 e n(S) = 6. Logo a probabilidade do evento A P(A) = n(S)

n(A) = 5/6.

PROBABILIDADE CONDICIONALIlustrao:Seja o experimento aleatrio E: lanar um dado e o evento A = {sair o nmero 3}. Ento:

P(A) = 61

Seja o evento B = {sair o nmero impar} = {1, 3, 5}

Podemos estar interessados em avaliar a probabilidade do evento A estar condicionado ocorrncia do evento B,designado por P(A|B), onde o evento A o evento condicionado e o evento B o condicionante.

Assim P(A|B) = 31

Formalmente a probabilidade condicionada definida por:Dado dois eventos quaisquer A e B, denotaremos P(A|B), por.

67

BnBAn

BPBAPBAP ,

Com P(B) 0, pois B j ocorreu.

TEOREMA DO PRODUTO A probabilidade da ocorrncia simultnea de dois eventos quaisquer A e B, do mesmo espao amostra, igual ao produto da probabilidade de ocorrncia do primeiro deles pela probabilidade condicional do outro,dado que o primeiro ocorreu. Assim:

BAPBPBAPBPBAPBAP

INDEPENDNCIA ESTATSTICAUm evento A considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A igual

probabilidade condicional de A dado B, isto , se:BAPAP

Considerando o teorema do produto podemos afirmar que:BPAPBAP

TEOREMA DE BAYES Suponha que os eventos A1, A2, ...,An formam uma partio de um espao amostral S; ou seja, oseventos Ai so mutuamente exclusivos e sua unio S. Seja B outro evento qualquer. Ento: B = S B = (A1 A2 ... An) B = (A1 B) (A2 B) ... (An B)Onde os Ai B so tambm mutuamente exclusivos.

Consequentemente, P(B) = P(A1 B) + P(A2 B) +... +P(An B) Assim pelo teorema da multiplicao, P(B) = P(A1)P(B\ A1)+ P(A2)P(B\ A2)+...+ P(AN)P(B\ AN) Por outro lado, para qualquer i, a probabilidade condicional de Ai dado B definida como

68

P(Ai\B) =P(B)

B)P(A i

Nesta equao, usamos (1) para substituir P(B) e P(Ai B) = P(Ai)P(B\ Ai) para substituir P(Ai B),obtendo assim o:Teorema de Bayes: Suponha A1, A2, ...,An ser uma partio de S e B, um evento qualquer. Ento, para qualqueri,

)A\)P(BP(A...)A\)P(BP(A)A\)P(BP(A)A\)P(BP(AB)\P(A

nn2211ii

i

Exemplos: Trs mquinas, A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente do total de peas de uma fbrica.As percentagens de produo defeituosa destas mquinas so 3%, 4% e 5%. Se uma pea selecionadaaleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Suponha agora que uma pea selecionadaaleatoriamente seja defeituosa. Encontre a probabilidade de ela ter sido produzida pela mquina A

EXERCCIOS1. Lance um dado e uma moeda um aps o outro nesta seqncia.a) Construa o espao amostralb) Enumere os resultados seguintes

I. A ={coroa marcada por par}II. B = {cara marcada por mpar}III. C = {Mltiplo de 3}

c) Expresse os eventosI. B complementarII. A ou B ocorremIII. B ou C ocorremIV. A ou B complementar

c) Calcule as probabilidades abaixo:P(A), P(B), P(C), P(A ),P(B ), P(A B) e P(B C)2. Um revendedor de carros tem dois carros, corsas 1996, na sua loja para serem vendidos, interessa-nos saberquanto cada um dos dois vendedores vender ao final de uma semana. Como representar o primeiro vendedorno vende nenhum carro e depois o segundo vendedor vende ao menos um dos carros.3. Se A o evento Um estudante fica em casa para estudar. E B o evento o estudante vai ao cinema,P(A) = 0,64 e P(B) = 0,21. Determine:

P(Ac), P(Bc), P(B/A)4. Se P(A) = ; P(B) = e A e B so mutuamente exclusivos ento:a) P(Ac)b) P(Bc)c) P(A B)5. Se P(A) = ; P(B) = 1/3 e P(A B) = calcule P(AUB).6. Quantas comisses de trs pessoas podem formar com um grupo de 10 pessoas?

69

7. A probabilidade de trs jogadores acertarem um pnalti so respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10. Se cada umcobrar uma nica vez, qual a probabilidade de:a) Todos acertaremb) Ao menos um acertarc) Nenhum acertar8. Qual a probabilidade de duas pessoas aniversariarem no mesmo dia da semana?

9. Sr Ray Moon Dee, ao dirigir-se ao trabalho, usa um nibus ou o metr com probabilidade de 0,2 e 0,8, nessaordem. Quando toma o nibus, chega atrasado 30% das vezes. Quando toma o metr, atrasa-se 20% dosdias. Se o Sr Ray Moon Dee Chegar atrasado ao trabalho em determinado dia, qual a probabilidade delehaver tomado um nibus?

10. Em certo colgio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais que 1,80m de altura. Por outro lado, 60%dos estudantes so homens. Se um estudante selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de altura,qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?

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