Apostila Fenômenos de Transportes 2015-2

FENÔMENOS DE TRANSPORTES CCE0187

Engenharia Civil 2015/2

Prof. Paulo Cesar Martins Penteado

Fenômenos de Transporte CCE 0187 2

FENÔMENOS DE TRANSPORTES CCE0187

Aula 1 Ementa: Fundamentos de Hidrostática:

Propriedades dos fluidos

Densidade e pressão

Pressão hidrostática

Teorema de Stevin

Princípio de Pascal

Princípio de Arquimedes Fundamentos de Hidrodinâmica

Definição de Hidrodinâmica

Linhas de corrente

Equação de continuidade (Euler)

Tipos de escoamento e suas classificações segundo o critério de Reynolds

Equação de Bernoulli

Tensões em fluidos Processos de Propagação e Transmissão de Calor

Definição de calor e seus modos de propagação

Propagação do calor por condução

Propagação do calor por convecção

Propagação do calor por irradiação Bibliografia Básica:

Hallyday, R.. Fundamentos de Física vol 2 . 8 ed. São Paulo: LTC, 2009.

Çengel, Y. A. et al. Mecânica dos fluidos: Fundamentos e Aplicações 1 ed.. AMGH, 2008.

Assy, T. M.- Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações- 1 ed- Rio de Janeiro: LTC, 2004.

Bibliografia Complementar

Munson, B. R. et al- Introdução à Engenharia de Sistemas Térmicos- 1 ed- Rio de Janeiro: LTC, 2005.

McDonald, A.T.- Introdução à Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações- 6 ed- Rio de Janeiro: LTC, 2006.

Cutnell, J. D.- Física vol 1: Fundamentos e Aplicações- 6 ed- Rio de Janeiro: LTC, 2006.

Tipler, P. A.- Física para cientistas e Engenheiros vol 1- 6 ed- Rio de Janeiro: LTC, 2009.

Serway, R. A.- Princípios de Física vol 2- 1 ed- Rio de Janeiro: Cangage Learning, 2004

Horário das aulas:

Aulas às sextas-feiras, das 21:00 às 22:40 Data das avaliações (presenciais):

AV1 em 25/SET AV2 em 27/NOV AV3 em 11/DEZ


Cronograma das aulas (presenciais):

Data Atividade

07/AGO Aula 1 INTRODUÇÃO AOS FENÔMENOS DE TRANSPORTES

14/AGO Aula 2 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E CONVERSÃO DE UNIDADES

21/AGO Aula 3 FUNDAMENTOS DE HIDROSTÁTICA E TEOREMA DE STEVIN

28/AGO Aula 4 PRINCÍPIO DE PASCAL E SUAS APLICACÕES

04/SET Aula 5 TEOREMA DE ARQUIMEDES E SUAS APLICACÕES

11/SET Aula 6 HIDRODINÂMICA - REGIMES DE ESCOAMENTO

18/SET Aula 7 ANÁLISE DE VAZÕES E PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE I

25/SET AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV1

02/OUT Aula 8 ANÁLISE DE VAZÕES E PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE II

09/OUT Aula 9 TEOREMA DE BERNOULLI

16/OUT Aula 10 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE BERNOULLI

23/OUT Aula 11 EQUAÇÃO DA ENERGIA E MÁQUINAS HIDRÁULICAS

30/OUT Aula 12 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONDUÇÃO I

06/NOV Aula 13 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONDUÇÃO II

13/NOV Aula 14 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONVECÇÃO I

20/NOV Aula 15 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONVECÇÃO II

27/NOV AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV2

04/DEZ Aula 16 TRANSMISSÃO DE CALOR: RADIAÇÃO

11/DEZ AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV3

Conteúdo das aulas Aula 1 - INTRODUÇÃO AOS FENÔMENOS DE TRANSPORTES Introdução à disciplina e suas principais aplicações cotidianas e industriais; Apresentação dos tópicos de aula gerais; Critério de avaliação e condições para aprovação na disciplina; Aula 2 - PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS FLUÍDOS E CONVERSÃO DE UNIDADES Definição de fluido; Apresentação das principais propriedades de um fluído (densidade, tensão superficial, capilaridade, viscosidade, etc.); Apresentação de métodos de conversão das principais unidades utilizadas ao longo do curso (comprimento, área, volume, massa, energia, pressão, etc.). Aula 3 - FUNDAMENTOS DE HIDROSTÁTICA E TEOREMA DE STEVIN Introdução à Hidrostática: principais conceitos e aplicações; Conceito de densidade de uma substância e densidade de misturas; Conceito de pressão normal, pressão hidrostática e pressão efetiva; Apresentação do teorema de Stevin e suas principais aplicações. Aula 4 - HIDROSTÁTICA- PRINCÍPIO DE PASCAL E SUAS PRINCIPAIS APLICACÕES Definição do Princípio de Pascal e apresentação do seu equacionamento; Principais aplicações do Princípio de Pascal. Aula 5 - HIDROSTÁTICA- TEOREMA DE ARQUIMEDES E SUAS PRINCIPAIS APLICACÕES Definição de Empuxo; Apresentação do teorema de Arquimedes; Conceito de peso aparente e peso real; Aplicações do teorema de Arquimedes. Aula 6 - INTRODUÇÃO À HIDRODINÂMICA E A REGIMES DE ESCOAMENTO Introdução à Hidrodinâmica e seus principais fundamentos e aplicações;


Conceito de linhas de corrente e escoamento de fluidos; Apresentação dos principais tipos de escoamento existentes e suas características; Aula 7 - ANÁLISE DE VAZÕES Conceito de vazão; Apresentação das principais unidades de vazão e suas conversões; Cálculo de vazões em condutos abertos e forçados. Aula 8 - CÁLCULO DE VAZÕES E APLICACÕES DO PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE Conceito de vazão e metodologia de cálculo; Apresentação da Equação de Euler da continuidade e suas principais aplicações; Aula 9 - EQUACÃO DE BERNOULLI E SUAS APLICAÇÕES Conceito de perda de carga; Apresentação da equação de Bernoulli; Aplicações da equação de Bernoulli; Aula 10 - ESTUDO DE CASOS ESPECIAIS DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI Apresentação dos casos especiais da Equação de Bernoulli; Buracos em tanques de água; Medidores de Venturi Tubo de Pitot; Dimensionamento de asas de aviões. Aula 11 - ESTUDO DOS ESCOAMENTOS E CLASSIFICAÇÕES SEGUNDO O CRITÉRIO DE REYNOLDS Definição do número de Reynolds e sua importância na análise dos escoamentos; Classificação dos regimes de escoamento segundo o critério de Reynolds. Conceito e cálculo de perdas de carga. Aula 12 - PRINCIPAIS PROCESSOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR E SUAS EQUAÇÕES Conceito de condução de calor; Processos de transmissão de calor; Transmissão de calor por condução (Lei de Fourier); Aula 13 - PRINCIPAIS PROCESSOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR E SUAS EQUAÇÕES II Conceito de convecção térmica; Modelo de visualização da convecção térmica num líquido em aquecimento; Fenômenos climáticos relacionados ao processo de convecção térmica. Aula 14 - PRINCIPAIS PROCESSOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR E SUAS EQUAÇÕES III Conceito de irradiação térmica; Apresentação da Lei de Stefan- Boltzmann para cálculo de poder emissivo e suas principais aplicações. Aula 15 - APRESENTAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES E SUAS APLICAÇÕES Equações de Navier-Stokes; Aplicações práticas das equações de Navier-Stokes. Aula 16 - REVISÃO GERAL Tópicos de Hidrostática Tópicos de Hidrodinâmica Processos de condução de calor Este texto, uma seleção de tópicos e exercícios de diferentes fontes, tem por objetivo oferecer aos acadêmicos um breve resumo dos conceitos, leis e princípios a serem desenvolvidos durante o curso de Fenômenos de Transporte. Longe de pretender ser original, tem por objetivo apenas facilitar o estudo do acadêmico. É também importante


destacar que o acadêmico deve ter sempre em mente que a consulta aos originais citados nas Referências Bibliográficas, além de outros, é imprescindível para a evolução de seus estudos. Aula 2 Introdução A mecânica dos fluidos é a parte da mecânica aplicada que se dedica à análise do comportamento dos líquidos e gases, tanto em equilíbrio como em movimento. Obviamente, o campo de estudo da mecânica dos fluidos abrange um vasto conjunto de problemas. Por exemplo, estes podem variar do estudo do escoamento de sangue nos capilares (que apresentam diâmetro da ordem de poucos mícrons) até o escoamento de petróleo através de um oleoduto (alguns com diâmetro igual a 1,2 m e comprimento de mais de 1000 km). Os princípios da mecânica dos fluidos são necessários para explicar porque o voo dos aviões com formato aerodinâmico e com superfícies lisas é mais eficiente e também porque a superfície das bolas de golfe deve ser rugosa. Muitas questões interessantes podem ser respondidas se utilizarmos modelos simples da mecânica dos fluidos. Por exemplo: Como um foguete gera empuxo no espaço exterior (na ausência de ar para empurrá-lo)? Por que você não escuta o ruído de um avião supersônico até que ele passe por cima de você? Por que um rio escoa com uma velocidade significativa apesar do declive da superfície ser pequeno (o desnível não é detectado com um nível comum)? Como as informações obtidas num modelo de avião podem ser utilizadas no projeto de um avião real? Por que a superfície externa do escoamento de água numa torneira às vezes parece ser lisa e em outras vezes parece ser rugosa? Qual é a economia de combustível que pode ser obtida melhorando-se o projeto aerodinâmico dos automóveis e caminhões? A lista das possíveis aplicações práticas, e também das perguntas envolvidas, é infindável. Mas, todas elas têm um ponto em comum – a mecânica dos fluidos. É muito provável que, durante a sua carreira de engenheiro, você utilizará vários conceitos da mecânica dos fluidos na análise e no projeto dos mais diversos equipamentos e sistemas. Assim, torna-se muito importante que você tenha um bom conhecimento desta disciplina. Nós esperamos que este texto lhe proporcione uma base dos aspectos fundamentais da mecânica dos fluidos. Algumas características dos fluidos Uma das primeiras questões que temos de explorar é ‒ o que é um fluido? Outra pergunta pertinente é ‒ quais são as diferenças entre um sólido e um fluido? Todas as pessoas, no mínimo, tem uma vaga ideia destas diferenças. Um sólido é “duro” e não é fácil deformá-lo enquanto um fluido é “mole” e é muito fácil deformá-lo. Estas observações sobre as diferenças entre sólidos e fluidos, apesar de serem um tanto descritivas, não são satisfatórias do ponto de vista científico ou da engenharia. As análises da estrutura molecular dos materiais revelam que as moléculas de um material dito sólido (aço, concreto, etc.) são pouco espaçadas e stão sujeitas a forças intermoleculares intensas e coesivas. Esta configuração permite ao sólido manter sua forma e lhe confere a propriedade de não ser deformado facilmente. Entretanto, num material dito líquido (água, óleo, etc.), o espaçamento entre as moléculas é maior e as forças intermoleculares são fracas (em relação àquelas dos sólidos). Por estes motivos, as moléculas de um líquido apresentam maior liberdade de movimento e, assim, os líquidos podem ser facilmente deformados (mas não comprimidos), ser vertidos em


reservatórios ou forçados a escoar em tubulações. Os gases (ar, oxigênio, etc.) apresentam espaços intermoleculares ainda maiores e as forças intermoleculares são desprezíveis (a liberdade de movimento das moléculas é ainda maior do que àquela dos líquidos). As consequências destas características são: os gases podem ser facilmente deformados (e comprimidos) e sempre ocuparão totalmente o volume de qualquer reservatório que os armazene. Apesar da estrutura molecular dos fluidos ser importante para distinguir um fluido de outro, não é possível descrever o comportamento dos fluidos, em equilíbrio ou em movimento, a partir da dinâmica individual de suas moléculas. Mais precisamente, nós caracterizaremos o comportamento dos fluidos considerando os valores médios, ou macroscópicos, das quantidades de interesse. Note que esta média deve ser avaliada em um volume pequeno, mas que ainda contém um número muito grande de moléculas. Assim, quando afirmamos que a velocidade num ponto do escoamento tem certo valor, na verdade, nós estamos indicando a velocidade média das moléculas que ocupam um pequeno volume que envolve o ponto. Este volume deve ser pequeno em relação às dimensões físicas do sistema que estamos analisando, mas deve ser grande quando comparado com a distância média intermolecular. Resumindo, fluidos são substâncias sem forma própria, isto é, adaptam-se à forma do recipiente que os contém. Ao ser confinado, o fluido reage aos esforços que as paredes do recipiente exercem sobre ele, obrigando-o a assumir a mesma forma delas; essa reação sobre as paredes do recipiente se traduz pela pressão exercida pelo fluido, grandeza que será estudada neste capítulo. Dimensões, Homogeneidade Dimensional e Unidades O estudo da mecânica os fluidos envolve uma variedade de grandezas. Assim, torna-se necessário desenvolver um sistema para descrevê-las de modo qualitativo e quantitativo. O aspecto qualitativo serve para identificar a natureza, ou tipo, da grandeza (como comprimento, tempo, massa, velocidade) enquanto o aspecto quantitativo fornece uma medida numérica para a grandeza. A descrição quantitativa requer tanto um número quanto um padrão para que as várias quantidades possam ser comparadas. O conjunto de padrões é denominado sistema de unidades. A descrição qualitativa é convenientemente realizada quando utilizamos certas

quantidades (como o comprimento L, a massa M, o tempo T e a temperatura ) ditas grandezas fundamentais. Estas grandezas fundamentais podem ser combinadas e utilizadas para descrever, qualitativamente, outras quantidades ditas grandezas derivadas, por exemplo: [área] = L2; [velocidade] = LT‒1; [massa específica] = ML‒3. Os coclchetes [ ] são utilizados para indicar a dimensão da grandeza derivada em função das dimensões das grandezas fundamentais. É importante ressaltar que são necessárias apenas três grandezas fundamentais (M, L e T) para descrevr um grande número de grandezas derivadas da mecânica dos fluidos. Nós também podemos utilizar um sistema com grandezas fundamentais composto por L, T e F, em que F é a dimensão da força. Isto é possível porque a 2ª lei de Newton estabelece que a força é igual ao produto da massa pela aceleração. Assim, podemos descrever qualitativamente uma força como: [força] = MLT‒2 = F A descrição qualitativa de uma grandeza derivada é denominada equação dimensional da respectiva grandeza. Neste curso de Fenômenos de Transporte usaremos, principalmente, o Sistema Internacional de Unidades (SI), adotado oficialmente no Brasil. O SI, adota 7 grandezas fundamentais e 2 grandezas suplementares de caráter geométrico. O esquema abaixo mostras essas grandezas.


Visando facilitar ainda mais a notação das grandezas, é bastante comum a utilização de prefixos representando as potências de dez. A tabela a seguir traz a denominação dos principais prefixos de acordo com regulamentação do Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (Inmetro).

Neste ponto, é importante destacar que, ao longo de nosso estudo, faremos uso de um grande número de grandezas físicas e muitas delas serão simbolizadas por letras minúsculas ou maiúsculas do alfabeto grego.

ALFABETO GREGO


Principais propriedades dos fluidos Densidade A densidade ρ de um fluido, por definição, é dada pela relação entre sua massa m e o correspondente voluma V ocupado pelo fluido. Assim:

V

m

No SI, a unidade de medida da densidade é o kg/m3.

Para a água, a 4 °C e sob pressão de 1 atm: 3

água kg/m1000

Quando a densidade se refere a um corpo homogêneo, líquido, gasoso ou sólido, usa-se também o termo massa específica, em vez de densidade. Densidade relativa A densidade relativa (SG specific gravity) de um dado material é a grandeza adimensional dada pela relação entre a massa específica do material e a massa específica da água.

Então: C4aágua

SG

É importante destacar que o valor da densidade relativa não depende do sistema de unidades utilizado. Peso específico

O peso específico, representado pela letra grega é, por definição, a relação entre o

peso do corpo e seu volume. Temos, então:

gV

m

V

gm g

No SI, o peso específico é medido em N/m3. Tensão superficial A tensão superficial é um efeito físico que faz com que a camada superficial de um líquido venha a se comportar como uma membrana elástica. Este efeito é causado pelas forças de coesão entre moléculas semelhantes, cuja resultante vetorial é diferente na superfície. Enquanto as moléculas situadas no interior de um líquido são atraídas em


todas as direções pelas moléculas vizinhas, as moléculas da superfície do líquido sofrem apenas atrações laterais e internas. Este desbalanço de forças de atração que faz a interface se comportar como uma película elástica como um látex. Devido à tensão superficial, alguns objetos mais densos que o líquido podem flutuar na superfície, caso estes se mantenham secos sobre a interface. Este efeito permite, por exemplo, que alguns insetos caminhem sobre a superfície da água, como mostrado na foto ao lado.

Capilaridade A tensão superficial também é responsável pelo efeito de capilaridade. A capilaridade é a propriedade física que permite aos fluidos subirem ou descerem em tubos extremamente finos. Quando um líquido entra em contacto com uma superfície sólida, o líquido fica sujeito a dois tipos de forças que atuam em sentidos contrários: a força de adesão e a força de coesão. A força de adesão é a atração entre moléculas diferentes, ou seja, a afinidade das moléculas do líquido com as moléculas da superfície sólida. Atua no sentido de o líquido molhar o sólido. A força de coesão é a atração intermolecular entre moléculas semelhantes, ou seja, a afinidade entre as moléculas do líquido. Atua no sentido de manter o líquido em sua forma original. Se a força de adesão for superior à de coesão, o líquido vai interagir favoravelmente com o sólido, molhando-o, e formando um menisco. Se a superfície sólida for um tubo de raio pequeno, como um capilar de vidro, a afinidade com o sólido é tão grande que líquido sobe pelo capilar. No caso do mercúrio, acontece o contrário, pois este não tem afinidade com o vidro (a força de coesão é maior). Viscosidade A viscosidade é uma medida da resistência interna de um fluido (gás ou líquido) ao fluxo, ou seja, é a resistência oferecida pelo líquido quando uma camada se move em relação a uma camada vizinha. Quanto maior a viscosidade, maior é a resistência ao movimento e menor é sua capacidade de escoar (fluir). Assim, um líquido como o mel, que resiste grandemente ao movimento, possui elevada viscosidade, ao contrário da água, na qual a viscosidade é muito menor, o que torna menor a sua resistência ao movimento. Em outras


palavras, a viscosidade de um fluido é a propriedade que determina o valor de sua resistência ao cisalhamento. É a propriedade principal de um lubrificante, pois está diretamente relacionada com a capacidade de suportar cargas. Para definir quantitativamente a viscosidade, vamos considerar um líquido preenchendo o espaço entre duas placas planas paralelas de área A cada uma e separadas por uma distância h. Supondo a placa inferior fixa, então é necessária uma força F para mover a placa superior, paralelamente à inferior, com velocidade U. Sob certas condições, pode-se obter uma distribuição linear de velocidades u dos pontos do líquido, como mostrado na figura a seguir.

Neste caso, a força por unidade de área necessária para mover a placa, isto é, a tensão

de cisalhamento (medida em N/m2 = Pa) é diretamente proporcional a U e inversamente proporcional a h. Usando uma constante de proporcionalidade μ, isto pode ser escrito como:

h

U

A

F

A constante de proporcionalidade μ é denominada viscosidade absoluta (ou viscosidade dinâmica). A dimensão da viscosidade absoluta é [M·L-1·T-1] e, no SI, a unidade de medida da viscosidade é o kg/(m·s) = Pa·s.

Também se usa o conceito de viscosidade cinemática, 𝝂, que é a razão entre a

viscosidade absoluta e a densidade:

.

A dimensão da viscosidade cinemática é [L2/T]. No SI, a unidade de viscosidade cinemática é, portanto, m2/s. Exercícios 1. Determine a equação dimensional das grandezas físicas relacionadas abaixo e a correspondente unidade de medida no SI. a) Área b) Volume c) Velocidade d) Aceleração

e) Vazão (em volume) f) Vazão (em massa) g) Força h) Massa específica

i) Peso específico j) Pressão k) Energia l) Potência

2. Se p é uma pressão, V uma velocidade e ρ a massa específica de um fluido, quais serão, no sistema MLT, as dimensões de: a) p/ρ b) p·V·ρ c) p/(ρ·V2)


3. A equação usualmente utilizada para determinar a vazão em volume, Q, do escoamento líquido através de um orifício localizado na lateral de um tanque é

hgAQ 20,61

em que A é a área do orifício, g é a aceleração da gravidade e h é a altura da superfície livre do líquido em relação ao orifício. Verifique a homogeneidade desta equação. 4. Uma joia feita com platina pura (ρ = 21,5 g/cm3) tem 50 g de massa. a) Determine o volume dessa joia. b) Se uma joia idêntica fosse feita de prata (ρ = 10,5 g/cm3), qual seria sua massa? 5. Dois cilindros são aparentemente iguais, com 10 cm2 de área na base e 5,0 cm de altura. Entretanto, enquanto um deles é de ouro maciço (ρ = 19,3 g/cm3), o outro tem o interior vazio, tendo apenas as paredes de ouro, correspondendo a 10% de seu volume total. a) Compare percentualmente as massas dos dois cilindros. b) Calcule a densidade do segundo cilindro. 6. a) Misturam-se 400 mL de um líquido A, de massa específica 1,50 g/cm3, com 300 mL de outro líquido B, de massa específica 0,80 g/cm3. Determine a densidade (média) da mistura assim obtida. b) Qual deve ser o volume de líquido B a ser misturado com 400 mL do líquido A, para que a mistura tenha densidade igual a 1,00 g/cm3? Aula 3 Pressão Segure entre as mãos uma caneta esferográfica, das que têm a tampa mais afunilada, devidamente tampada, como mostra a figura ao lado. A seguir, aperte-a levemente entre as mãos. Não use muita força. Ao apertar a caneta, você perceberá que a extremidade mais afunilada deforma mais a palma da mão com a qual está em contato. A força que a caneta exerce em cada uma das palmas das mãos é a mesma. Entretanto, na extremidade afunilada essa força se distribui por uma superfície de área menor. Dizemos, então, que aí a pressão é maior que na outra extremidade.

Podemos definir pressão (p) como a razão entre a intensidade de um diferencial de força dF que age perpendicularmente sobre uma superfície e um infinitésimo de área dA dessa superfície na qual a força se distribui:

A

Fp

d

d

Sendo dada pela relação entre a intensidade de uma força, cuja unidade no SI é o newton (N), e a área de uma superfície, cuja unidade no SI é o metro quadrado (m2), a pressão tem como unidade o newton por metro quadrado (N/m2), unidade que recebe o nome de pascal (Pa), em homenagem ao matemático, físico e filósofo francês Blaise Pascal (1623-1662).


Portanto: Pa1m

N1

2 .

É importante ressaltar que a pressão sempre atua perpendicularmente às superfícies. Relação de Stevin Sabemos intuitivamente que a pressão no interior de um líquido aumenta com a profundidade. Isto pode ser imediatamente percebido por aqueles que praticam mergulho. A lei fundamental da fluidostática foi elaborada pelo matemático, físico e engenheiro flamengo Simon Stevin (1548-1620). Esta lei permite calcular a diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em equilíbrio. Para demonstrar esta lei, consideremos um líquido, de densidade ρ, em equilíbrio em um recipiente e, no interior do líquido, um cilindro desse mesmo líquido com altura h e área da base A, como mostra a figura a seguir. Seja um ponto 1 na base superior e um ponto 2 na base inferior.

Devido à pressão exercida pelo líquido, as paredes do cilindro estarão submetidas a forças perpendiculares às superfícies. Na base superior do cilindro atua uma força Fsup = p1·A, vertical para baixo, e em sua base inferior a força Finf = p2·A, vertical para cima. Observe que na superfície lateral do cilindro as forças de pressão se anulam, pois atuam diametralmente em sentidos opostos. O peso P do cilindro de líquido é dado por:

ghAPgVPgmP Para o equilíbrio do cilindro devemos ter: 0 yF

Então: ghAApApPFF 12supinfhhgpp 12

Esta relação que fornece a diferença de pressão entre dois pontos de um líquido em equilíbrio é conhecida como relação de Stevin. Observações Pontos situados em um mesmo líquido e em um mesmo nível (mesma horizontal) estarão submetidos a uma mesma pressão. A diferença de pressão entre dois pontos no interior do líquido depende apenas da

natureza do líquido (de sua densidade ρ ou de seu peso específico = ρ·g) e do desnível (h) entre os pontos. Essa diferença de pressão, devida apenas à coluna de líquido entre os pontos é denominada pressão hidrostática ou pressão relativa.

Para a pressão hidrostática p = ρ·g·h = ·h. A grandeza

ph costuma ser chamada de

carga de pressão. Se tivéssemos considerado a base superior do cilindro coincidente com a superfície do líquido, então a pressão nesta base seria igual à pressão exercida pelo fluido em contato com ela. Se o fluido for o ar atmosférico, então esta pressão seria a pressão atmosférica,

patm, e a pressão em um ponto à profundidade h seria: hgpp atm .


A soma da pressão atmosférica e da pressão relativa, ou seja, a pressão total é

denominada pressão absoluta: relativaatmabs ppp .

A experiência de Torricelli Quem, pela primeira vez, percebeu que o ar exercia pressão e propôs uma experiência para medir a pressão atmosférica foi o físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647). Torricelli encheu com mercúrio um tubo de vidro com cerca de 1 m de comprimento. Tampou com o dedo sua extremidade aberta e inverteu-o no interior de um recipiente contendo mercúrio. Verificou que, no local em que fez o experimento, a coluna de mercúrio desceu até se manter a 76 cm do nível de mercúrio no recipiente. Concluiu, daí, que a pressão exercida pelo ar, isto é, a pressão atmosférica no ponto A (pA), equivalia à pressão exercida no ponto B (pB) por uma coluna de mercúrio com 76 cm de altura.

Podemos usar a relação de Stevin para calcular o valor numérico da pressão atmosférica. Como os pontos A e B estão em um mesmo líquido e numa mesma horizontal, então, estão submetidos à mesma pressão. Mas, a pressão em A é a pressão atmosférica e a pressão em B é a pressão hidrostática da coluna de mercúrio, pois a pressão do vapor de

mercúrio a baixa pressão é desprezível. Então: ghppp atmBA Hg

Considerando ρHg = 13,6·103 kg/m3 e g = 9,8 m/s2, vem:

Pa101,013259,80,761013,6 53 atmatm pp

Unidades práticas de pressão Existem algumas unidades práticas de pressão, derivadas da pressão hidrostática phidr exercida por colunas de líquido. As mais importantes derivam da clássica experiência de Torricelli. Conforme foi visto, uma coluna de mercúrio com 76 cm de altura equilibra a pressão atmosférica patm ao nível do mar. Podemos dizer, então, que a pressão atmosférica ao nível do mar vale uma atmosfera (1 atm) ou 76 centímetros de mercúrio (76 cmHg) ou ainda 760 milímetros de mercúrio (760 mmHg). Essas unidades podem ser assim definidas:

atmosfera (atm): pressão que exerce na sua base uma coluna de mercúrio de 76 cm de altura, a 0 °C e num local onde g = 9,8 m/s2.

centímetro de mercúrio (cmHg): pressão que exerce na sua base uma coluna de mercúrio de 1 cm de altura, a 0 °C e num local onde g = 9,8 m/s2.


milímetro de mercúrio (mmHg): pressão que exerce na sua base uma coluna de mercúrio de 1 mm de altura, a 0 °C e num local onde g = 9,8 m/s2. Essa unidade é denominada torricelli (Torr) e vale 133,322 Pa.

Usa-se também uma unidade de pressão denominada bar (símbolo bar) tal que: 1 bar = 0,1 MPa = 105 Pa

No sistema britânico, a unidade de medida da pressão é o psi (pounds per square inch, ou libra-força/polegada2). Nesse sistema:

1 atm ≈ 14,696 psi. Podemos ainda, de forma geral, medir pressões em quilograma-força por centímetro quadrado (kgf/cm2). Neste caso:

1 atm = 1,033 kgf/cm² Força atuante em uma superfície plana submersa Nós sempre detectamos a presença de forças nas superfícies dos corpos que estão submersos nos fluidos. A determinação destas forças é importante no projeto de tanques para armazenamento de fluidos, navios, barragens e de outras estruturas hidráulicas. Também sabemos que o fluido, quando está em repouso, exerce uma fora perpendicular nas superfícies submersas, pois as tensões de cisalhamento não estão presentes, e que a pressão varia linearmente com a profundidade se o fluido se comportar como incompressível. Vamos apresentar agora o desenvolvimento de uma interpretação gráfica da força desenvolvida por um fluido numa superfície plana. Considere a distribuição de pressão ao longo da parede vertical de um tanque com

largura b e que contém um líquido de peso específico . Podemos representar a distribuição de pressão do modo mostrado na figura a seguir porque a pressão varia linearmente com a profundidade.

Note que a pressão relativa é nula na superfície livre do líquido, igual a ·h na superfície inferior do líquido e que a pressão média ocorre num plano com profundidade h/2. Assim, a força resultante que atua na área retangular A = b·h é:

bh

Fhbh

FApF RRmédR 22

2

.


A distribuição de pressão da figura anterior é adequada para toda a superfíce vertical e, então, podemos representar tridimensionalmente a distribuição de pressão do modo mostrado na figura ao lado. A base deste “volume” no espaço pressão-área é a superfície plana que estamos analisando e a altura em cada ponto é dada pela pressão. Este “volume” é denominado prisma das pressões e é claro que o módulo da força resultante que atua na superfície vertical é igual ao volume deste prisma:

bh

Fbhh

FF RRR

2

pressõesdasprismadovolume""2N

2

Observe que a linha de ação da força resultante precisa passar pelo centroide do prisma de pressões. O centroide do prisma mostrado acima está localizado no eixo vertical de simetria da superfície vertical e dista h/3 da base, pois o centroide de um triângulo está localizado a h/3 de sua base. O ponto de aplicação da força resultante é denominado centro de pressão (CP). A mesma abordagem gráfica pode ser utilizada nos casos onde a superfície plana está totalmente submersa, como mostrado na figura ao lado. Nestes casos, a seção transversal do prisma das pressões é um trapézio. Entretanto, o módulo da força resultante que atua sobre a superfície ainda é igual ao volume do prisma das pressões e sua linha de ação passa pelo centroide do volume. A figura ao lado mostra que o módulo da força resultante pode ser obtido decompondo o prisma das pressões em duas partes (ABDE e BCD). Deste modo: FR = F1 + F2 E estas componentes podem ser determinadas facilmente. A localização da linha de ação de FR pode ser determinada a partir da soma de seus momentos em relação a algum eixo conveniente. Por exemplo, se considerarmos o eixo que passa pelo ponto A: FR· yA = F1 ·y1 + F2 · y2

O prisma das pressões também pode ser desenvolvido para superfície planas inclinadas e, geralmente, a seção transversal do prisma será um trapézio, como mostrado na figura ao lado. Apesar de ser conveniente medir as distãncias ao longo da superfície inclinada, a pressão que atua na superfície é função da distância vertical entre o ponto que está sendo analisado e a superfície livre do líquido.


A teoria desenvolvida até este ponto é muito útil quando a superfície plana submersa é retangular, pois o volume do prisma das pressões e a posição de seu centroide podem ser facilmente encontrados. Entretanto, quando o formato da superfície não é retangular, a determinação do volume e a localização do centroide podem ser realizadas por meio de integrações. Exercícios 1. Para impedir que a pressão interna de uma panela de pressão ultrapasse certo valor, em sua tampa há um dispositivo formado por um pino acoplado a um tubo cilíndrico, como esquematizado na figura ao lado.

Enquanto a força resultante sobre o pino for dirigida para baixo, a panela está perfeitamente vedada. Considere o diâmetro interno do tubo cilíndrico igual a 4 mm e a

massa do pino igual a 48 g. Adotando g = 10 m/s2; = 3 e 1 atm = 1·105 Pa, determine a pressão absoluta máxima no interior da panela, em atm, na situação em que apenas a força gravitacional, a pressão atmosférica e a exercida pelos gases na panela atuam no pino. 2. O tubo em U da figura ao lado contém, no trecho destacado na ramificação da esquerda, uma coluna de óleo de 200 mm de altura e uma coluna de água de 120 mm. Determine a altura da coluna de água na ramificação direita do tubo. Dados: g = 9,8 m/s2; ρágua = 1,0·103 kg/m3; ρóleo = 8,0·102 kg/m3.

3. A pressão em um reservatório de gás é medida por um tubo em U contendo mercúrio (Hg),manômetro de mercúrio. Considerando as medidas da figura ao lado e que a pressão atmosférica local é patm = 700 mmHg, determine a pressão do gás em: a) mmHg; b) Pa

4. O tubo em U da figura ao lado contém água a uma distância de 12 cm de sua extremidade na parte superior. Colocando óleo na ramificação esquerda até seu limite máximo, determine a altura da coluna de óleo no final do preenchimento. Considere ρágua = 1,0·103 kg/m3 e ρóleo = 8,0·102 kg/m3.


5. Um tubo em U está parcialmente cheio de água. Outro líquido que não se mistura com a água é colocado em um dos ramos do tubo até que sua superfície livre esteja a uma distância d acima do nível livre da água, no outro ramo, que, por sua vez, elevou-se de uma altura L em relação ao seu nível primitivo, conforme a figura. Determine a densidade relativa do líquido em relação à água.

6. Um tanque fechado, esboçado na figura ao lado, contém ar comprimido e um óleo que apresenta densidade 0,9 g/cm3. O fluido manométrico utilizado no manômetro em U, conectado ao tanque, é mercúrio (densidade igual a 13,6 g/cm3). Se h1 = 914 mm; h2 = 152 mm e h3 = 229 mm, determine a leitura da pressão absoluta no manômetro localizado no topo do tanque. Adote: g = 9,81 m/s2.

7. A figura abaixo mostra o esboço de um dispositivo utilizado para medir a vazão em volume em tubos, Q, assunto que estudaremos adiante. O bocal convergente cria uma queda de pressão pA ‒ pB no escoamento que está relacionada com a vazão em volume através da equção Q = K·( pA ‒ pB)1/2, em que K é uma constante que é função das dimensões do bocal e do tubo. A queda de pressão normalmente é medida com um manômetro em U do tipo ilustrado na figura.

a) Determine uma equação para pA ‒ pB em função do peso específico do fluido que

escoa 1, do peso específico do fluido manométrico, 2, e das várias alturas indicadas na figura.

b) Determine a queda de pressão se 1 = 9,80 kN/m3; 2 = 15,6 kN/m3; h1 = 1,0 m e h2 = 0,5 m. Sugestão: Tente relacionar pA e pB com as pressões nos pontos destacados (1), (2), (3), (4) e (5). 8. A face vertical de uma barragem retém água à altura D, como mostra a figura abaixo. Seja W a largura da barragem. a) Determine a força resultante exercida pela água na barragem e o momento desta força em relação a O. b) Qual é a linha de ação desta força?


9. A figura ao lado mostra o esboço de um tanque pressurizado que contém óleo (densidade 0,9 g/cm3). A plca de inspeção instalada no tanque é quadrada e apresenta largura igual a 0,6 m. Qual é o módulo, e a localização da linha de ação, da força resultante que atua na placa quando a pressão relativa no topo do tanque é igual a 50 kPa? Admita que o tanque esteja exposto à pressão atmosférica e adote g = 9,81 m/s2.

10. A figura ao lado mostra uma comporta rígida OAB, articulada em O, e que repousa sobre um suporte B. Qual é o módulo da mínima força horizontal P necessária para manter a comporta fechada? Admita que a largura da comporta é igual a 3 m e despreze tanto o peso da comporta quanto o atrito na articulação. Observe que a superfície externa da comporta está

exposta à atmosfera. Considere: água = 10 kN/m3.

Aula 4 O princípio de Pascal O princípio de Pascal é uma lei física elaborada pelo físico, matemático, filósofo moralista e teólogo francês Blaise Pascal (1623-1662). Em Física, Pascal estudou a mecânica dos fluidos, e esclareceu os conceitos de pressão e vácuo, ampliando o trabalho de Evangelista Torricelli, além de aperfeiçoar seu barômetro. Um dos seus tratados sobre hidrostática, Traité de l'équilibre des liqueurs, só foi publicado um ano após sua morte (1663). Pascal também esclareceu os princípios barométricos da prensa hidráulica e da transmissibilidade de pressões. De acordo com o princípio de Pascal O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido e às paredes do recipiente que o contém. Este princípio é a base para o funcionamento do freio hidráulico, do macaco hidráulico e da prensa hidráulica. Prensa hidráulica O dispositivo denominado prensa hidráulica tem seu funcionamento explicado pelo princípio de Pascal. Ele consta de dois recipientes com diâmetros diferentes ligados por sua parte inferior, formando assim um sistema de vasos comunicantes. Dentro dele é colocado um líquido e sobre as superfícies de cada lado são colocados êmbolos ou pistões.


Sendo A1 a área do êmbolo menor e A2 a área do êmbolo maior, se aplicarmos uma força de intensidade F1 no primeiro êmbolo, o outro ficará sujeito a uma força de intensidade F2, como mostrado na figura ao lado. A variação de pressão Δp será a mesma nos dois lados, em vista do princípio de Pascal. Então:

1

1

A

Fp e

2

2

A

Fp

Igualando, vem: 2

2

1

1

A

F

A

F

Dessa forma, na prensa hidráulica, a intensidade da força é diretamente proporcional à área do êmbolo. Por isso diz-se que a prensa hidráulica é um multiplicador de força, pois a intensidade da força transmitida ao segundo êmbolo será tantas vezes maior quantas vezes maior for a área deste. Essa propriedade é muito utilizada em postos de serviços automotivos, no elevador hidráulico, pois, exercendo-se uma força de pequena intensidade no êmbolo menor, consegue-se no outro êmbolo força de intensidade suficiente para levantar um automóvel. Observe, entretanto, que, ao deslocar o êmbolo menor para baixo, estaremos transferindo um determinado volume líquido para o cilindro maior e, consequentemente, o êmbolo maior terá que subir. Os deslocamentos dos dois êmbolos da prensa hidráulica serão iguais? Vejamos. Da igualdade dos volumes transferidos, temos:

221121 hAhAVV1

2

2

1

A

A

h

h

Dessa relação, concluímos que os deslocamentos dos êmbolos são inversamente proporcionais às suas áreas, ou seja, o êmbolo de maior área sofre um deslocamento menor. Por exemplo, se o êmbolo maior tiver uma área 100 vezes maior que a do êmbolo menor, seu deslocamento será 100 vezes menor. Podemos, portanto, concluir que a prensa hidráulica, apesar de ser uma multiplicadora de força, não multiplica trabalho. Exercícios 1. Uma aplicação sempre citada do “Princípio de Pascal” é o elevador hidráulico (figura abaixo).


Considerando que o carro do desenho tenha 1200 kg (correspondente a 1200 kgf) de massa e que a área sob o carro seja 15 vezes a área do êmbolo de acionamento do elevador, determine a força, em kgf, necessária para acionar o elevador. 2. A figura abaixo mostra, de forma simplificada, o sistema de freios a disco de um automóvel. Ao se pressionar o pedal do freio, este empurra o êmbolo de um primeiro pistão que, por sua vez, através do óleo do circuito hidráulico, empurra um segundo pistão. O segundo pistão pressiona uma pastilha de freio contra um disco metálico preso à roda, fazendo com que ela diminua sua velocidade angular.

Considerando o diâmetro d2 do segundo pistão duas vezes maior que o diâmetro d1 do primeiro, qual a razão entre a força aplicada ao pedal de freio pelo pé do motorista e a força aplicada à pastilha de freio? 3. O esquema ilustra uma prensa hidráulica, operada manualmente, constituída de um sistema de vasos comunicantes 1 e 2, com êmbolos de áreas de seção transversal respectivas S1 e S2. O sistema é preenchido com um líquido homogêneo e viscoso. O êmbolo 2 é ligado a uma alavanca inter-resistente articulada em sua extremidade A. O operador aplica forças verticais F na extremidade B da alavanca para transmitir forças F1 através do êmbolo 1.

Determine a intensidade da força F, em função de F1, S1, S2, AB e AC, que permite obter vantagem mecânica. 4. Um pistão de pequena área a da seção transversal é usado em prensa hidráulica, para exercer uma força f no líquido contido na prensa. Um tubo faz a ligação deste líquido com outro pistão, de área A maior, como mostra a figura.


a) Que força F suportará o pistão de maior diâmetro? b) Se o pistão menor tem diâmetro de 4,0 cm e o maior de 50 cm, qual é a massa deve ser colocada sobre o menor para suportar 2,0 toneladas colocadas sobre o pistão maior? 5. A figura representa uma prensa hidráulica rudimentar de uma pequena empresa rural, usada para compactar fardos de algodão. Por meio de uma alavanca, o operador exerce uma força de intensidade igual a 100 N no êmbolo menor da máquina, cuja área é de 400 cm2. Cada fardo é prensado por meio de um êmbolo de área seis vezes maior. a) Qual é a intensidade da força exercida sobre um fardo na sua prensagem? b) Qual é a variação de pressão que se transmite pelo fluido do dispositivo em cada operação?

Aula 5 Introdução Você já deve ter reparado que, quando está flutuando na água de uma piscina, você se sente mais leve. Ou você pode ter se perguntado como um grande navio de aço, com algumas dezenas de toneladas, pode flutuar na água enquanto uma moedinha, quando colocada na água, simplesmente afunda. Qualquer pessoa que já tenha erguido uma grande pedra submersa para fora d’água deve ter percebido que essa é uma tarefa relativamente fácil enquanto a rocha estiver abaixo da superfície. Entretanto, quando erguida acima da superfície, a força requerida para erguê-la aumenta consideravelmente. O que provoca essa aparente mudança no peso da pedra? A resposta para essas perguntas está relacionada à pressão que os fluidos exercem nos corpos neles imersos. Empuxo – Teorema de Arquimedes Conta a história que, no século III a.C., Heron, rei da antiga cidade grega de Siracusa, mandou uma certa quantidade de ouro a um ourives da Corte para que lhe fizesse uma coroa. Ao receber a coroa já pronta, o rei Heron desconfiou que o ourives substituíra parte do ouro por prata. Pediu então a Arquimedes (298 a.C. -212 a.C.), um dos maiores matemáticos de todos os tempos, para verificar se tal fato tinha realmente acontecido. Arquimedes resolveu o problema durante um banho quando, submerso na água, sentiu-se mais leve. Teria saído nu pelas ruas de Siracusa gritando “Eureka, eureka!” (“Encontrei, encontrei!”). Arquimedes havia encontrado a sua lei de flutuação dos corpos: “Quando um corpo é mergulhado em água ele perde, em peso, uma quantidade que corresponde ao peso do volume de água que foi deslocado pela imersão do corpo.” Isso se deve a uma resultante das forças de pressão que o líquido aplica no corpo. Esse mesmo tipo de força é a responsável pela flutuação de um grande navio de aço ou pela ascensão de um balão de ar quente. O teorema de Arquimedes, como enunciado hoje, estabelece que:


Um corpo, total ou parcialmente, imerso em um fluido em equilíbrio recebe desse fluido uma força, vertical, de baixo para cima e com intensidade igual ao peso do fluido deslocado pela imersão do corpo, chamada EMPUXO.

Vamos agora determinar como podemos calcular a intensidade da força empuxo. Para isso, consideremos um recipiente qualquer completamente preenchido por um líquido em equilíbrio. No interior desse líquido consideremos, ainda, uma porção do mesmo fluido, de formato cilíndrico e com eixo vertical, como mostrado na figura ao lado. Logicamente esse último corpo cilíndrico, dentro do líquido, também estará em equilíbrio.

As forças devido à pressão exercida pelo restante do líquido e que agem horizontalmente sobre a porção cilíndrica que estamos considerando se equilibram, duas a duas, como podemos observar na figura ao lado. Na direção vertical, três

forças atuam sobre o cilindro: 1F

na base inferior e 2F

na base

superior, devidas à pressão do líquido, além, é claro, do peso

fluidoP

do corpo cilíndrico.

Pfluido

F1

F2

Como tal corpo se encontra em equilíbrio, devemos ter: F1 = F2 + Pfluido A diferença entre as forças hidrostáticas (F1 – F2) é a força empuxo, que representaremos por E.

Assim: gmEPEPFF fluidofluidofluido21

Mas, m = ρ · V Então, finalmente, obtemos:

gVE deslocado fluidofluido

É claro que se substituirmos o corpo cilíndrico de fluido por outro corpo sólido de mesmo formato e dimensões, o restante do fluido continuará a atuar sobre o corpo sólido com as

mesmas forças hidrostáticas 1F

e 2F

, cuja resultante é o empuxo E

.

Nesse novo corpo atuam, então, o empuxo, E

, e o peso próprio do corpo, P

. Observe que o empuxo que atua em um corpo depende apenas da densidade do fluido e do volume de fluido que o corpo desloca. O empuxo não depende da massa do corpo e nem da profundidade em que o corpo é colocado no interior do fluido. Para comparar a intensidade do empuxo com a do peso do corpo, podemos expressar esse peso em função da densidade e do volume do corpo: P = ρcorpo · Vcorpo · g. Para um corpo totalmente imerso em fluido devemos ter: Vcorpo = Vfluido deslocado. Então, se:

EPfluidocorpo a força resultante sobre o corpo é dirigida para baixo

e, por esse motivo, o corpo afundará. Tal força resultante R é, geralmente, denominada peso aparente e dada por R = P – E.

EPfluidocorpo a força resultante sobre o corpo é nula e o corpo

permanecerá em equilíbrio em qualquer posição quando abandonado no interior do fluido.

EPfluidocorpo a força resultante R, denominada força ascensional

e dada por R = E – P, é dirigida para cima e, devido a essa força ascensional o corpo subirá até atingir o equilíbrio, quando passará a flutuar, parcialmente imerso, na superfície do fluido.


Peso aparente Considere um corpo cujo peso seja medido com um dinamômetro e obtém-se o valor P. Se este corpo for, agora, imerso em um líquido, a nova leitura de seu peso será menor que P, pois o corpo está sujeito agora a um empuxo E. Define-se peso aparente (Pap), para um corpo to-talmente mergulhado em um fluido, como a di-ferença entre as intensidades do peso do corpo e do empuxo recebido.

Então:

EPPap

Dessa forma, a leitura do dinamômetro, para o corpo totalmente submerso, corresponderá ao peso aparente do corpo: Exercícios 1. Um balão cheio de hidrogênio, de peso igual a 600 N, está preso por um fio vertical e encontra-se em equilíbrio estático. Seu volume é igual a 80,0 m3. Adote g =10 m/s2, ρar = 1,25 kg/m3 e determine: a) o empuxo sofrido pelo balão; b) a intensidade da força tensora no fio que prende o balão. 2. Um cilindro rola e cai dentro de uma pequena piscina, onde permanece flutuando, com 30% de seu volume fora d'água. Se o volume d'água, na piscina, aumentou 2 m3, qual a massa do cilindro, em toneladas? Dados: massa específica da água = 1 g/cm3, aceleração da gravidade = 10 m/s2. 3. Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha d'água quando o calado é de 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, qual a massa de carga que pode ser colocada no navio antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Observação: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a parte inferior do casco. 4. Um corpo homogêneo de massa m e volume 75 cm3 flutua no óleo com 1/5 de seu volume submerso (figura A). Um bloco de chumbo é colocado sobre o corpo, de modo que este fique com a metade de seu volume submerso (figura B). Considere a massa específica do óleo igual a 0,80 g/cm3 e a aceleração da gravidade 10 m/s2. Calcule o valor da massa do bloco de chumbo.

figura A figura B


5. Um cubo de aresta a, feito de material homogêneo, possui uma cavidade prismática, de base quadrada de lado b e altura c. Quando a cavidade está totalmente preenchida com um determinado líquido, o cubo flutua em equilíbrio num recipiente que contém esse mesmo líquido, de tal maneira que a face superior do cubo fica ao nível da superfície livre do líquido do recipiente. Retirando-se o líquido da cavidade o cubo aflora, flutuando com sua face superior a uma altura x dessa superfície. Determine x.

a

a

b

cx

6. Duas esferas A e B ligadas por um fio inextensível de massa e volume desprezíveis encontram-se em equilíbrio, imersas na água contida num recipiente conforme ilustra a figura. A esfera A possui volume de 20 cm3 e densidade igual a 5,0 g/cm3. A esfera B possui massa de 120 g e densidade igual a 0,60 g/cm3. Sendo de 1,0 g/cm3 a densidade da água, determine: a) o empuxo sobre a esfera B; b) a tração no fio que liga as esferas.

A

B

Água

7. Deseja-se que um corpo formado de madeira e aço fique flutuando em equilíbrio quando totalmente imerso em água. Sabendo-se que as massas específicas da madeira, água e aço são, respectivamente, 0,25 g/cm3, 1 g/cm3 e 8 g/cm3, calcule a relação entre o volume de madeira V1 e o volume de aço V2 do corpo, de modo que ocorra o equilíbrio. 8. Um conjunto formado por dois cilindros impermeáveis, de mesma seção reta, colados base a base, é colocado na água, ficando 2 cm de sua altura fora da água. O cilindro que serve de lastro tem 1 cm de altura e foi construído com um material de massa específica igual a 8,6 g/cm3. O outro cilindro é de madeira maciça de massa específica igual a 0,8 g/cm3. Com base nesses dados, e considerando que a massa específica da água é 1 g/cm3 e a aceleração da gravidade 10 m/s2, calcule a altura do cilindro de madeira. Aula 6 Introdução Até este ponto do nosso curso de Fenômenos de Transporte temos estudado apenas o equilíbrio estático dos fluidos, denominado fluidostática ou hidrostática. Na hidrostática são discutidos, principalmente, os conceitos de pressão em um ponto no interior de um líquido em equilíbrio e o empuxo exercido em um corpo imerso em um fluido em repouso. Iremos agora fazer um estudo mais complexo, os fluidos em movimento. Nesse ramo da Física, denominado hidrodinâmica, muitos aspectos dos movimentos dos fluidos ainda estão sendo objeto de estudo. Entretanto, supondo algumas simplificações, podemos ter um bom entendimento sobre o assunto. Tipos de escoamento Para começar, vamos fazer uma rápida classificação dos diferentes tipos de escoamento de um fluido. Dizemos que um fluido escoa em regime estacionário (ou em regime permanente) quando a velocidade das partículas de fluido que passam em um ponto qualquer não


varia com o passar do tempo. Assim, no regime permanente, em qualquer ponto, a velocidade, a pressão e a densidade do fluido permanecem constantes. O esquema a seguir ilustra uma situação prática de escoamento em regime permanente. Nesse esquema, o nível da água permanece constante, no reservatório, apesar da saída de água pelas tubulações 1 e 2.

Por outro lado, se a velocidade das partículas, em um dado ponto do escoamento, variar com o passar do tempo, teremos um escoamento em regime variado (ou em regime transitório). Mais uma vez, o esquema a seguir ilustra uma situação prática de escoamento em regime transitório. Observe que, neste exemplo, o nível de água no reservatório varia com o passar do tempo.

Outra classificação a respeito do escoamento pode ser feita se observarmos, por exemplo, água, na qual estão dispersas partículas coloridas, fluindo através de um tubo de vidro. Podemos perceber que, de modo bastante frequente, o fluido não se move em linhas paralelas às paredes do tubo, mas de uma maneira bastante irregular. Além do movimento ao longo do eixo do tubo, podemos observar que ocorrem movimentos na direção perpendicular ao eixo do tubo. Nesse caso, o fluxo é denominado fluxo turbulento. Entretanto, quando a velocidade de escoamento do fluido diminui abaixo de certo valor, que depende de uma série de fatores, as partículas do fluido passam a se movimentar em trajetórias paralelas às paredes do tubo. Nesse caso, o fluxo de fluido é suave e passa a ser denominado fluxo laminar. Em 1883, o físico irlandês Osborne Reynolds (1842-1912) identificou experimentalmente estes dois tipos de escoamento levando em consideração o efeito da viscosidade do fluido. Reynolds utilizou a montagem mostrada a seguir.


Para identificar o tipo de escoamento, Reynolds estabeleceu uma grandeza adimensional, atualmente conhecida como número de Reynolds, dada por:

dVRe

ou

dVRe

Nessa relação, Re é o número de Reynolds (adimensional), V é a velocidade do fluido (m/s), é a viscosidade cinemática do fluido (m2/s), ρ é a massa específica (kg/m3), μ é a viscosidade dinâmica (Pa·s) e d é o diâmetro do tubo (m). Lembre-se que a viscosidade cinemática está relacionada à viscosidade dinâmica μ e à

massa específica ρ:

O parâmetro com dimensão de comprimento no número de Reynolds depende da geometria do sistema. Teremos, então, de acordo com o número de Reynolds:

Re ≤ 2000 (Escoamento laminar)

2000 < Re < 2400 (Escoamento de transição)

Re ≥ 2400 (Escoamento turbulento)

O número de Reynolds pode ser interpretado como uma relação entre as forças de inércia e as forças viscosas existentes no escoamento. Num escoamento laminar, que ocorre para números de Reynolds baixos, tem-se que a turbulência é amortecida pelos efeitos viscosos. Linhas de corrente Na hidrodinâmica, visando facilitar a visualização do fluxo de um fluido, é útil o conceito de linha de corrente.


Qualquer que seja o tipo de fluxo, a velocidade de uma partícula do fluido é uma quantidade vetorial, ou seja, apresenta módulo, direção e sentido. Assim, quando a partícula muda de posição, ela segue uma trajetória particular cujo formato é definido pela velocidade da partícula. A localização da partícula o longo da trajetória depende da posição ocupada pela partícula no instante inicial e de sua velocidade ao longo da trajetória. Se o escoamento é em regime permanente, isto é, se nada mudar ao longo do tempo em todo o escoamento, então, todas as partículas que passam num dado ponto P seguirão uma mesma trajetória. Para estes casos, a trajetória é uma linha fixa. As partículas vizinhas, que passam nas vizinhanças imediatas do ponto P, seguem outras trajetórias que podem apresentar formatos diferentes daquele relativo às partículas que passam por P. A trajetória seguida pelas partículas do fluido recebe o nome de linha de corrente. Portanto, a linha de corrente é, por definição, a curva cuja direção em cada ponto é tangente ao vetor velocidade do fluido. Dessa maneira, a partir das linhas de corrente podemos visualizar o comportamento do fluido durante seu movimento. A figura abaixo mostra as linhas de corrente de um fluxo de fluido (por exemplo, ar) ao redor de um corpo (por exemplo, um aerofólio). Observe o comportamento das linhas de corrente no fluxo laminar e compare com o fluxo turbulento.

É importante destacar que duas linhas de corrente nunca podem se cruzar, pois elas são linhas tangentes ao vetor velocidade das partículas em cada ponto do escoamento. A visualização das linhas de corrente em um escoamento geralmente é obtida com o auxílio de um fluido colorido, como mostrado na foto abaixo.

Exercícios 1. Conceitue escoamento laminar e escoamento turbulento. 2. Descreva a experiência de Reynolds.


3. Conceitue linha de corrente. 4. A viscosidade da água a 20 °C é, aproximadamente, = 1,01·10‒6 m2/s. Em um

experimento, água deverá fluir através de uma tubulação de diâmetro 1 polegada (2,54 cm) em regime laminar. Determine a máxima velocidade do fluxo de água para que este tipo de regime de escoamento seja estabelecido. 5. Um fluido, que apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N·s/m2 e densidade relativa 0,91, escoa num tubo de 25 mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds e classifique o escoamento.

6. O reservatório da figura seguinte é abastecido com água por uma tubulação com diâmetro de 25 mm. A velocidade do fluxo é de 0,3 m/s.. A viscosidade cinemática da água a 20 °C é 1,0·10‒6 m2/s. Determine o tipo de escoamento.

7. Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2·10‒3 Pa·s e a massa específica é de 800 kg/m3. Aula 7 / Aula 8 Vazão Em um escoamento, denomina-se vazão à grandeza que indica a quantidade de fluido que passa por uma seção de um conduto, livre ou forçado, na unidade de tempo. Assim, se considerarmos o volume de fluido, teremos a vazão volumétrica, Q, dada por:

t

VQ

No SI, ΔV é medido em m3, Δt medido em s e Q medido em m3/s. Consideremos, então, um fluido escoando, com velocidade constante v, por uma tubulação de seção transversal constante, com área A, como esquematizado a seguir.

Observe que o volume de fluido que passa por uma dada seção, em um determinado intervalo de tempo é constante.

Como V = A·Δx, teremos, então: t

xAQ

t

VQ

.


Mas, a relação t

x

é a velocidade v do escoamento. Portanto: vAQ

A vazão também pode ser medida em termos de massa de fluido que passa pela seção.

Nesse caso, a vazão correspondente passa a ser chamada de fluxo de massa,

m , dada por:

t

mm

No SI, o fluxo de massa é medido em kg/s. A equação da continuidade A equação da continuidade é a equação que mostra a conservação da massa de líquido no conduto, ao longo de todo o escoamento. Pela condição de escoamento em regime permanente, podemos afirmar que entre as seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, nem falta de massa: m1 = m2 = m = cte.

Consideremos um fluido em um fluxo laminar estacionário no interior de um tubo de diâmetro variável como o mostrado na figura a seguir.

Vamos calcular o fluxo de massa do fluido através da secção transversal de área A1. Observe que o volume de fluido que passa através dessa secção transversal, no intervalo de tempo Δt é dado por A1·Δx1, em que Δx1 é a distância percorrida pelo fluido no intervalo de tempo Δt. Então, sendo ρ1 a densidade do fluido nessa região do tubo temos:

11111111 vAρ

Δt

ΔxAρ

Δt

ΔVρ

Δt

Δm

De maneira análoga, na região do tubo onde a secção transversal tem área A2, teremos:

22222222 vAρ

Δt

ΔxAρ

Δt

ΔVρ

Δt

Δm

Observe que a massa de fluido que passa por uma dada secção transversal do tubo, em um dado intervalo de tempo, é a mesma, qualquer que seja a posição do tubo em que a secção é considerada.


Portanto, como o fluxo de massa é constante ao longo do tubo devemos ter:

222111 vAvA (Equação da continuidade)

Se o fluido é incompressível, o que é uma excelente aproximação no caso dos líquidos na maioria das situações (e algumas vezes até mesmo para os gases), então ρ1 = ρ2 e a equação da continuidade torna-se mais simples:

2211 vAvA (quando ρ1 = ρ2)

A partir dessa relação simplificada, podemos concluir que se o diâmetro do tubo diminuir, então a velocidade de escoamento do fluido no interior do tubo deverá aumentar e vice-versa. Isso faz sentido e pode ser observado no escoamento das águas de um rio. Nas regiões em que o rio é largo, a correnteza é mansa e a água flui calmamente. Entretanto, quando o rio se estreita e as margens estão mais próximas, a correnteza atinge velocidades bem maiores e a água flui de maneira turbulenta. Portanto, a equação da continuidade impõe que a vazão em volume através da tubulação é constante em qualquer secção transversal que se considere. Exercícios 1. O raio da aorta é cerca de 1,0 cm e o sangue flui através dela com velocidade de 30,0 cm/s. Calcule a velocidade média do sangue nos capilares dado que, cada capilar tem um diâmetro interno de cerca de 8·10-4 cm, e que existem literalmente bilhões deles, de modo que a área de secção transversal total dos capilares é de cerca de 2.000 cm2. 2. Um líquido incompressível escoa através de uma mangueira cilíndrica de raio r e enche um recipiente de volume V em um intervalo de tempo Δt. A velocidade média de escoamento do líquido é:

a) tr

V

c)

tr

V

2 e)

t

rV

2

b) tr

V

2 d) trV 2

3. Uma mangueira, com diâmetro interno de 8,0 cm, é usada para encher uma piscina circular com diâmetro de 2,4 m. A água flui através da mangueira com uma velocidade média de 0,5 m/s. Por quanto tempo essa mangueira deverá ser usada até a água na piscina atingir a profundidade de 0,6 m? 4. Uma mangueira com diâmetro de 2 cm é usada para encher um balde de 20 litros. a) Se leva 1 minuto para encher o balde. Qual é a velocidade com que a água passa pela mangueira? b) Um brincalhão aperta a saída da mangueira até ela ficar com um diâmetro de 5 mm, e acerta o vizinho com água. Qual é a velocidade com que a água sai da mangueira? 5. Considere duas regiões distintas do leito de um rio: uma larga A, com 200,0 m2 de área na secção transversal, onde a velocidade média da água é de 1,0 m/s; outra estreita B, com 40,0 m2 de área na secção transversal. Calcule: a) a vazão volumétrica do rio, em m3/s;


b) a velocidade média da água do rio, em m/s, na região estreita B. 6. Uma mangueira de jardim tem diâmetro interno de 1,8 cm e está ligada a um irrigador que consiste apenas de um recipiente com 24 orifícios, cada um com diâmetro de 0,12 cm. Se a velocidade da água na mangueira é de 0,90 m/s, qual sua velocidade ao sair dos orifícios? 7. A figura abaixo mostra dois riachos, A e B, que se unem para formar um rio. O riacho A tem largura de 2,0 m, profundidade 0,50 m e a água flui com velocidade de 4,0 m/s. O riacho B tem largura 3,0 m, profundidade 1,0 m e, nesse riacho, a água flui a 2,0 m/s.

Determine a profundidade do rio, sabendo-se que sua largura é de 5,0 m e que a velocidade de suas águas é de 2,5 m/s. 8. Qual deverá ser a área de secção transversal de uma tubulação, em que ar se move a 3,0 m/s, de modo a permitir a renovação do ar, a cada 15 minutos, em um quarto com 300 m3 de volume? Admita que a densidade do ar permaneça constante. 9. Um duto circular, com raio de 15 cm, é usado para renovar o ar em uma sala, com dimensões 10 m × 5,0 m × 4,5 m, a cada 10 minutos. Qual deverá ser a velocidade média do fluxo de ar através do duto para que a renovação de ar ocorra conforme desejado? Aula 9 Introdução Você já deve ter se perguntado como um grande avião, com muitas toneladas, pode permanecer no ar apesar de todo o seu peso? Ou como funciona um aerofólio de um carro de Fórmula 1? A resposta a essas perguntas está em um teorema estabelecido, em 1738, por Daniel Bernoulli (1700-1782), matemático e físico suíço e publicado em sua obra Hydrodynamica. O teorema de Bernoulli, em essência, estabelece que a energia, em um fluxo estacionário, é constante ao longo do caminho descrito pelo fluido. Este teorema não é, portanto, um princípio novo, mas uma relação obtida a partir das leis básicas da Mecânica Clássica. O teorema de Bernoulli pode ser deduzido a partir do teorema da energia cinética: "O trabalho da resultante das forças agentes em um corpo entre dois instantes é igual à variação da energia cinética experimentada pelo corpo naquele intervalo de tempo." A figura a seguir mostra um fluido escoando no interior de uma tubulação que se eleva gradualmente desde uma altura h1 até uma altura h2, medidas em relação a um plano horizontal de referência. Na região mais baixa, o tubo tem área de secção transversal A1, e na mais alta, área A2. A pressão do fluido na região inferior do tubo é p1 e na superior, p2.


Consideremos, então, o deslocamento da porção sombreada de fluido desde a região mais baixa do tubo até a região mais alta. Nesse deslocamento, a porção de fluido assinalada com hachuras tracejadas permanece invariável. O trabalho realizado pela força resultante sobre a porção sombreada de fluido é calculado considerando-se que: o trabalho realizado sobre a porção de fluido pela força de pressão p1·S1 é p1·S1·Δx1; o trabalho realizado sobre a porção de fluido pela força de pressão p2·S2 é – p2·S2·Δx2 (negativo, pois a força de pressão tem sentido oposto ao do deslocamento da porção fluida); o trabalho realizado pela força peso para elevar o fluido desde a altura h1 até a altura h2 é igual a – m·g·(h2 – h1) (negativo pois o deslocamento ocorre em sentido contrário ao da força peso). O trabalho resultante realizado sobre o sistema é dado pela soma dos três termos considerados. Assim, temos:

)(tan 12222111 hhgmxApxApteresul

Mas, observe que A1·Δx1 (= A2·Δx2) corresponde ao volume da porção de fluido considerado e pode ser expresso como a relação entre a massa de fluido e a sua

densidade

m, em que ρ, a densidade do fluido, é suposta constante.

Observe também que estamos considerando que o fluido seja incompressível, pois admitimos que A1·Δx1 = A2·Δx2 . Assim, o trabalho da força resultante sobre o sistema pode ser escrito como:

)(resultante 1221 hhgmm

pp

A variação da energia cinética do sistema é dada por:

22

2

1

2

2 vmvmEc

O teorema da energia cinética estabelece que o trabalho resultante realizado sobre o sistema deve ser igual à variação de sua energia cinética. Temos, então:

22

2

1

2

21221

vmvmhhgm

mpp

)(

Multiplicando-se todos os termos da expressão por m

e rearranjando-se as parcelas

teremos, finalmente:


2

2

221

2

11 hg

vphg

vp

22 (Teorema de Bernoulli)

Como os índices 1 e 2 referem-se a duas posições quaisquer do fluido no tubo podemos suprimi-los e escrever, para qualquer ponto do fluido, que:

constante2

hgv

p 2

Essa relação nos mostra –principalmente– que, em uma canalização horizontal, um estrangulamento implica –pela equação da continuidade– em um aumento na velocidade do fluxo e, consequentemente, em uma diminuição de pressão. Nessa relação, a soma hgp é denominada pressão estática, já estudada

anteriormente, enquanto o termo 2

2v é a pressão dinâmica, exercida pelo fluido em

movimento. É importante ressaltar que a correta utilização da equação de Bernoulli está baseada nas hipóteses usadas em sua obtenção: o fluido é incompressível; o escoamento ocorre em regime uniforme e permanente; o escoamento é invíscido, isto é, fluido sem viscosidade; não há trocas de calor, ou seja, o escoamento é adiabático; não existem máquinas –bombas ou turbinas- no trecho considerado. aplicável a pontos em uma mesma linha de corrente. Observação:

Se dividirmos a última equação de Bernoulli, obtida acima, pelo peso específico, = ρ·g, do fluido, chegamos a:

Hhvp

g2

2

Nessa relação, a constante H, denominada carga total, é, como veremos adiante, a energia total por unidade de peso do fluido. Exercícios 1. Água quente circula pela tubulação de um sistema de aquecimento em uma casa. Se a água é bombeada, no térreo, com velocidade de 0,50 m/s através de um cano com 4,0 cm de diâmetro sob pressão de 3,0 atm, determine a velocidade de escoamento e a pressão da água em um cano com 2,6 cm de diâmetro, localizado no andar superior, 5 m acima do térreo. Considere: g = 10 m/s2, ρ = 1,0.103 kg/m3 e 1 atm = 1,0·105 N/m2. 2. Determinar a velocidade média e a pressão na seção (2) de uma tubulação circular e horizontal, pela qual escoa um fluido incompressível e ideal em regime permanente.


Dados:

D1 = 15 cm; D2 = 10 cm; p1 = 50.000 N/m2; V1 = 3 m/s; fluido=10.000 N/m3 ; g = 10 m/s2.

3. Um tanque contém água até a altura H; faz-se um orifício na sua parede lateral, à profundidade h abaixo da superfície da água. Determine: a) a velocidade v com que a água emerge pelo orifício; b) o alcance horizontal x do jato d'água ao atingir o piso.

4. Água, cuja densidade é 103 kg/m3, escoa através de um tubo horizontal, com velocidade de 2 m/s, sob pressão de 2·105 N/m2. Em certo ponto, o tubo apresenta um estreitamento pelo qual a água flui à velocidade de 8 m/s. A pressão, nesse ponto, em N/m2, é: a) 0,5·105 c) 1,7·105 e) 8,0·105 b) 1,0·105 d) 4,2·105 5. Um galpão é coberto por um telhado com área de 400 m2. Um vento forte sopra a 72 km/h sobre esse telhado. O ar dentro do galpão está em repouso e sob pressão de 1 atm. Considere que a densidade do ar seja ρ = 1,29 kg/m3 e adote 1 atm = 1,0·105 N/m2. Determine: a) a diferença de pressão do ar que circunda o telhado; b) a força resultante que atua sobre ele. 6. Um tanque, com área de secção transversal S = 0,07 m2, contém água (ρ = 103 kg/m3). Um êmbolo, com massa total m = 10 kg, repousa sobre a superfície da água. Um orifício circular, com diâmetro 1,5 cm é aberto na parede lateral do reservatório a uma profundidade de 60 cm abaixo da superfície da água. Qual é a vazão inicial de água, em litros/s, através do orifício? Adote: g = 10 m/s2.

7. A figura abaixo representa um grande reservatório de água de uma represa, com uma canalização nele acoplada, cujas áreas das secções são 900 cm2 em 1 e 600 cm2 em 2.

Admita que a água possa ser considerada um fluido ideal e que escoe em regime permanente. Sabendo-se que a aceleração da gravidade vale 10 m/s2 e que a pressão atmosférica é igual a 105 N/m2, pede-se:


a) a velocidade, em m/s, com que a água flui no ponto 2; b) a vazão, em m3/s, da água; c) a pressão, em N/m2, no ponto 1. Aula 10 Aplicações do Teorema de Bernoulli O teorema de Bernoulli pode ser aplicado a um grande número de situações práticas. A seguir, analisaremos as principais aplicações desse teorema em situações do nosso dia-a-dia e também em situações mais técnicas. O Tubo de Venturi O Tubo de Venturi é um medidor de vazão formado por 3 partes importantes: o cone de entrada, a garganta e o cone de saída. Ele deve ser inserido em uma canalização de secção transversal A para se medir a velocidade de escoamento v1 de um fluido incompressível, de massa específica ρ, através dela. Um manômetro tem uma de suas extremidades inserida num estrangulamento, com área de secção transversal a, e a outra extremidade na canalização de área A. Seja ρm a densidade do líquido manométrico (mercúrio, por exemplo).

Por simplificação, vamos considerar que a tubulação é horizontal.

Pelo teorema de Bernoulli, devemos ter: 22

2

22

2

11

vp

vp

(I)

Mas, pela equação da continuidade: a

AvvvavA 1221 (II)

Então, substituindo (II) em (I) teremos:

2

222

121

22

121

2

1

2

221 1a

aAvpp

a

Avppvvpp

222

(III)

A relação de Stevin, da hidrostática, permite obter:

hgpphghHgpHgp mm 2121 (IV)

Finalmente, substituindo (III) em (IV), chegamos a:

221

aA

hgav m

2

Os modelos industriais, como o da foto ao lado, são normalizados pela ISO 5167 sendo conhecidos como Venturi Clássico, tendo os seguintes tipos: Tubo Venturi Clássico com cone convergente fundido (aplicação em tubulações de 100 a 800 mm); Tubo Venturi Clássico com cone convergente usinado (aplicação em tubulações de 50 a 250 mm); Tubo Venturi Clássico com cone convergente em chapa


soldada (aplicação em tubulações de 200 a 1200 mm). Existem outros tipos de Tubo Venturi normalizados: o Venturi Excêntrico, o Venturi Truncado e os de Perfil Retangular. O tubo de Pitot O tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para medir a velocidade de escoamento de um gás –ar, por exemplo. Tal dispositivo está ilustrado na figura abaixo. As aberturas a são paralelas à direção de escoamento do ar e bastante afastadas da parte posterior para que a velocidade v do fluxo de ar e a pressão fora dela não sejam perturbadas pelo tubo. Seja pa a pressão estática do ar no ramo esquerdo do manômetro, que está ligado a essas aberturas. A abertura do ramo direito do manômetro é perpendicular à corrente e, em b, a velocidade reduz-se a zero; logo, nessa região a pressão total do ar é pb (maior que pa, como nos mostra a figura).

O teorema de Bernoulli fornece, então: ba pv

p

2

2 (I)

A relação de Stevin, aplicada ao líquido do manômetro, fornece: bma phgp (II)

Comparando (I) e (II), obtemos:.

hgv

m

2

2

hgv m

2

O tubo de Pitot pode ser convenientemente calibrado de modo a fornecer o valor da velocidade v diretamente. Nesse caso, o tubo de Pitot torna-se um velocímetro e seu uso é bastante comum em aviões. Geralmente, o tubo de Pitot é colocado sob as asas do avião.

A bomba spray O esquema ao lado ilustra uma bomba spray (atomizador) do tipo utilizada em frascos de perfume. A bomba de borracha ao ser comprimida expele o ar, contido em seu interior, a uma alta velocidade. De acordo com o teorema de Bernoulli, a pressão do ar fluindo a alta velocidade através da região superior do tubo vertical é menor que a pressão atmosférica normal atuando na superfície do líquido contido no frasco.

Dessa maneira, o líquido é empurrado tubo acima devido à diferença de pressão. Ao atingir o topo do tubo, a coluna líquida é fragmentada em pequenas gotículas (spray). Atualmente, existem diversos modelos de bomba spray para uso com produtos cotidianos, como perfumes, remédios, produtos de limpeza, etc.


O empuxo dinâmico em uma asa O empuxo dinâmico é a força exercida sobre um corpo devida ao movimento desse corpo em um fluido. Uma superfície aerodinâmica –como uma asa de avião ou um aerofólio de carro de corrida, ou mesmo as aletas de uma lancha– é desenhada de tal maneira que, ao se movimentar através de um fluido perturba-o de tal maneira que, em algumas regiões as linhas de corrente são mais próximas e em outras regiões elas não são afetadas. A figura abaixo mostra as linhas de corrente de um fluxo de ar nas proximidades de uma asa de avião, mostrada em corte. Observe que acima da asa as linhas de corrente estão mais comprimidas, indicando que nessa região a velocidade do fluido é maior. Assim, pelo teorema de Bernoulli

constante

2

2vp

, a pressão na região acima da asa deve ser menor e, portanto,

existirá uma força resultante dirigida para cima (empuxo dinâmico). Esse empuxo dinâmico é, geralmente, chamado de sustentação.

O empuxo dinâmico em uma bola girante O empuxo dinâmico também pode ser observado numa bola girante. Tal efeito é bastante explorado no mundo esportivo, principalmente no tênis, no golfe e no futebol. É muito comum no futebol, na cobrança de uma falta com bola parada, a bola, depois de chutada, descrever uma curva e enganar o goleiro. A figura seguinte mostra as linhas de corrente de um fluido em torno de uma bola que translada sem girar (I), as linhas de corrente em torno de uma bola que apenas gira (II) e a superposição dos dois movimentos (III). Note que o empuxo dinâmico, mostrado em (III), faz com que a bola seja desviada de sua direção original.

O empuxo dinâmico em uma vela O teorema de Bernoulli também pode explicar como um veleiro pode se deslocar quase que contra o vento. Para melhor entender como isso acontece, observe a figura abaixo.


Quando navegando contra o vento, a vela mestra deve ser posicionada a meio ângulo entre a direção do vento e o eixo do barco (linha da quilha). Assim, a pressão atmosférica normal atrás da vela mestra é maior que a pressão à sua frente, onde a velocidade do fluxo de ar é maior devido ao estreitamento entre a bujarrona e a vela mestra, e isso origina uma força Fvento, conforme mostrado na figura, que impulsiona o barco. A força resultante no barco, devido ao vento e ao efeito de Bernoulli, atua quase que na perpendicular à vela e isso tenderia a deslocar o barco lateralmente se não houvesse uma porção da quilha estendendo-se verticalmente abaixo da linha d'água, a bolina. A água exerce, então, uma força quase que perpendicular à bolina (Fágua) , ou seja, quase perpendicular à quilha do barco. A resultante dessas duas forças, a força Fres, é quase que diretamente dirigida para a frente do barco, de modo que o barco desloca-se contra o vento. Observação: Deve-se ressaltar que o empuxo dinâmico é diferente do empuxo estático. O empuxo estático corresponde a uma força vertical e dirigida para cima, com intensidade igual ao peso de fluido deslocado e que atua em um corpo imerso em um fluido em repouso, como em um balão por exemplo. O empuxo dinâmico está sempre associado ao movimento relativo entre um corpo –uma asa de avião, um aerofólio, uma vela ou uma bola girante– e um fluido. Exercícios 1. Em 5 minutos, um carro tanque descarrega 5.000 litros de gasolina, através de um mangote cuja seção transversal tem área igual a 0,00267 m2 (ver figura ao lado).

Pergunta-se: a) Qual a vazão volumétrica média desse escoamento, em litros/segundo? b) Considerando os dados indicados na figura e g = 9,8 m/s2 , qual a vazão volumétrica, em litros/segundo, no início do processo de descarga do combustível, quando o nível de líquido no tanque está no ponto A? c) O valor obtido no item b deve ser maior, menor ou igual ao do item a?


2. Uma bomba de recalque é usada para bombear água para fora de um navio. A mangueira da bomba tem um diâmetro de 3,0 cm e a bomba drena a água, através da mangueira, até a saída, 5 m acima da linha d'água, abandonando-a com velocidade de 4,0 m/s. Adote para a água ρ = 103 kg/m3 e considere 1 hp = 746 W.

Determine: a) a vazão de água através da mangueira; b) a diferença de pressão fornecida pela bomba de recalque; c) a potência da bomba. 3. Na figura abaixo representamos um objeto de perfil triangular dentro de um túnel de vento. A área total do túnel de vento é 2·A, e a área acima do topo da seção triangular é B. Admitindo que o escoamento do ar é estacionário e que este se comporta como um fluido ideal (incompressível, sem atrito), responda as questões abaixo.

a) A velocidade do ar no topo do triângulo (região 2) é maior ou menor que a velocidade do ar na parte inferior (região 1)? Explique.

b) Utilizando a equação de Bernoulli, ( casoesteparaconstante,2

2v

p

), calcule a

relação entre as pressões nas regiões 1 e 2. c) Com base nas respostas dos itens a) e b) explique como um planador pode voar. 4. Uma asa de avião tem área de 5 m2 e massa de 200 kg. A velocidade do fluxo de ar acima da face superior é de 70 m/s e sob a face inferior, 50 m/s. Considere que a densidade do ar seja igual a 1,29 kg/m3 e adote g = 10 m/s2. Determine: a) a diferença de pressão entre a face superior e a face inferior da asa; b) a força de sustentação da asa; c) a força resultante na asa. 5. Um medidor de Venturi tem diâmetro de 10 cm no tubo e de 5,0 cm no estreitamento. A pressão da água no tubo é de 0,85 atm e no estreitamento é de 0,35 atm. Determine a vazão de água em litros/s. Considere 1 atm = 1,0·105 N/m2 e ρágua =1,0·103 kg/m3. 6. Água escoa em regime permanente no Venturi da figura.


No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades da água uniformes. A seção (1) tem uma área de 20 cm2 enquanto a seção (2) é de 10 cm2.

Um manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio (Hg = 136.000 N/m3), é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Considerando que

água = 10.000 N/m3, pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi. 7. Um tubo de Pitot é montado na asa de um avião, para determinar a velocidade da aeronave em relação ao ar. O tubo contém mercúrio (ρ = 13,6·103 kg/m3) e indica uma diferença de nível de 11 cm. Considerando que g = 10 m/s2 e que a densidade do ar seja ρ = 1,29 kg/m3, qual é a velocidade do avião em relação ao ar, em km/h? Aula 11 Equação da energia para regime permanente Baseando-se no princípio da conservação da energia não é possível desenvolver uma equação que permitirá fazer o balanço das energias em um escoamento, da mesma forma como foi feito para as massas, ao deduzir a equação da continuidade. A equação que permite balanço é denominada equação da energia a qual permitirá resolver uma variedade de problemas práticos como, por exemplo, a determinação da potência de máquinas hidráulicas (bombas e turbinas) e a determinação de perdas em escoamento, Perda de carga pode ser definida como sendo a perda de energia que o fluido sofre durante o escoamento em uma tubulação. Essa perda de energia é devida ao atrito entre o fluido e a tubulação, quando o fluido está em movimento, mas que pode ser maior ou menor devido a outros fatores tais como o tipo de fluido (viscosidade do fluido), ao tipo de material do tubo (um tubo com paredes rugosas causa maior turbulência), o diâmetro do tubo e a quantidade de conexões, registros, etc. existentes no trecho analisado. As perdas de carga têm por consequência: uma queda de pressão global, em uma rede por gravidade, um gasto de energia suplementar com bombeamento, no recalque. Formas de energia de um fluido em um escoamento Numa quantidade de massa fluida escoando em uma tubulação existirão diferentes formas de energia que dependerá de sua posição, em relação ao um referencial, de seu movimento e da pressão atuante. Energia potencial gravitacional (Ep) É a modalidade de energia devida à posição ocupada pela massa fluida no campo gravitacional, em relação a um plano horizontal de referencia (PHR).

Essa energia é calculada por: zgmE p .

Energia potencial de pressão (Epr)


Considere na figura a seguir um fluido líquido escoando sob pressão num conduto. Ao instalar um piezômetro na parede superior do conduto uma coluna de fluido subirá uma altura (y). A magnitude da altura (y) dependerá da pressão interna do tubo.

Neste caso o trabalho será realizado pela referida pressão, ou admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido na interface de área A será:

F = p · A. Num determinado intervalo de tempo dt, o fluido irá se deslocar de um dx, sob a ação da força F, realizando um trabalho:

dW = F · dx = p · A · dx = p · dV = dEpr A energia de pressão referente a toda área A será:

VpdVpdVpEVV

pr

Como V

m , ficamos com:

mpE pr .

Energia cinética (Ec) É a modalidade de energia associada ao movimento do fluido. Para uma massa fluida m

em movimento com uma velocidade v, a energia cinética é dada por: 2

2

c

vmE

.

Energia total por unidade de massa fluida Observe que se considerarmos que o regime é permanente; sem nenhuma máquina hidráulica (bomba ou turbina) posicionada entre as seções que estão sendo analisadas; sem perdas por atrito no escoamento do fluido ou fluido ideal; propriedades uniformes nas seções; fluido incompressível e sem trocas de calor, então a energia total se conserva e teremos: E = Ep + Epr + Ec = constante

constante2

2vmm

pzgmE

Dividindo esta relação pelo peso (m·g) do fluido, teremos a energia por unidade de peso da massa fluida, H, grandeza denominada, como vimos anteriormente, carga total:

constanteg2

2

v

gpzH

1

Observações: Se multiplicarmos todos os termos desta equação por ρ·g chegamos à equação de Bernoulli:

constante2

constanteg2

22

vpgz

vg

g

gpgz


Na equação da energia por unidade de peso, z sendo uma cota, então será medida em unidade de comprimento (por exemplo, em metros); logo, tanto v2/(2·g) como p/(ρ·g) também serão medidos dessa forma. Não devemos esquecer que cada uma dessas parcelas tem o significado de energia por unidade de peso, ou seja, J/N. Equação de energia e máquinas hidráulicas Máquina hidráulica é qualquer dispositivo mecânico que forneça ou retire energia do fluido, sob a forma de trabalho. As máquinas hidráulicas são classificadas como: BOMBAS, quando fornecem energia ao fluido; TURBINAS, quando retiram energia do fluido. Nas figuras a seguir, consideramos uma máquina hidráulica instalada entre as seções (1) e (2). A energia total por unidade de peso nas seções (1) e (2) serão, respectivamente, H1 e H2. Se a energia referente à máquina for HB, para a bomba, e HT, para a turbina, então a equação da energia fica:

21 HHH B 21 HHH T

Potência da máquina hidráulica e rendimento

A potência (P) de uma máquina hidráulica corresponde ao trabalho, realizado ou recebido

pela máquina, por unidade de tempo. Uma vez que trabalho é uma energia (EM = energia referente à máquina), pode-se generalizar definindo potência como sendo a energia por unidade de tempo (t), assim:

t

EMP

Dividindo e multiplicando esta equação pelo peso (P) da massa fluida deslocada pela máquina fica:

t

P

P

EM P

Nessa expressão, P

EM = HMP é a energia da máquina por unidade de peso do fluido e t

P é

a vazão em peso.

Mas: Qt

P , em que Q é a vazão em volume.

Portanto: QHMP P

Para uma bomba, esquematizada a seguir, a energia HMP = HB é a carga recebida pelo fluido e fornecida pela bomba.


Então, a potência PRF, recebida pelo fluido ao

passar pela bomba é:

BRF HQ P

O rendimento desta bomba é dado por:

1,0

B

BB

HQ

P

Para uma turbina, esquematizada a seguir, a energia HMP = HT é a carga retirada do fluido pela turbina.

Então, a potência PFT, fornecida pelo fluido ao

passar pela turbina é:

TFT HQ P

O rendimento desta turbina é dado por:

1,0

T

TT

HQ

P

Exercícios 1. O diâmetro de uma tubulação cresce, gradativamente, de D1 = 175 mm para

D2 = 500 mm. A vazão é de 200 L/s de álcool etílico ( = 8·103 N/m³). O centro da seção (2) está 420 cm acima do centro da seção (1). As pressões do álcool nesses pontos são p1 = 1,1·105 N/m² e p2 = 0,75 ·105 N/m². Determine: a) a energia em (1) e em (2); b) o sentido do escoamento; c) a perda de carga neste trecho.

2. Um líquido com peso especifico = 8000 N/m³, apresenta as pressões p1 = 4000 N/m² e p2 = 7200 N/m² nas seções de diâmetro D1 = 6 cm e D2 = 7,5 cm, respectivamente, de um tubo de eixo horizontal. Para uma vazão de 8 L/s, calcular a) as velocidades médias nas duas seções; b) a perda de carga no trecho. Aula 12 / Aula 13 A condução de calor Imagine-se segurando a extremidade de um pedaço reto de arame que tem a outra ponta em contato com a chama de uma vela. O que você espera que aconteça? Não é preciso realizar esse experimento para concluir que a temperatura do arame aumenta gradativamente da extremidade em contato com a chama até a extremidade em contato com sua mão e que você corre o risco de queimar as pontas dos dedos, se não estiver usando uma luva protetora.


Você poderia se perguntar como o calor da chama, distante de sua mão, chegou até as pontas de seus dedos. A única resposta é que o calor foi transmitido da chama até seus dedos através do arame, mas como isso aconteceu? O arame é constituído de partículas (átomos) que, como sabemos, estão em constante estado de agitação. Quanto mais intensa a agitação dessas partículas, maior a temperatura do arame. As partículas da extremidade do arame em contato direto com a chama da vela recebem energia térmica e, consequentemente, seu estado de agitação aumenta, ou seja, sua temperatura se eleva. Como a taxa de transferência de energia é constante, as partículas da extremidade do arame continuam a receber energia, aumentam seu estado de agitação e passam a colidir mais intensamente com as partículas vizinhas. Estas, por sua vez, também passam a se agitar mais intensamente. O processo se repete e, assim, a energia da chama é transmitida ao longo do arame, transferindo-se de uma partícula para outra, resultando em um aumento de temperatura de todo o arame. No processo de transmissão de calor por condução, a energia térmica é transmitida diretamente de uma partícula (átomo, molécula ou íon) para outra através material que constitui o corpo. A quantidade de calor transmitida por condução depende das ligações das partículas que formam o corpo. Alguns sólidos, por exemplo, são formados por átomos que possuem elétrons livres em sua estrutura, ou seja, elétrons cuja ligação com o núcleo do átomo é mais fraca. Esses elétrons livres podem transmitir mais facilmente a energia por meio de colisões. Os metais possuem muitos elétrons livres e por isso são bons condutores de calor e de eletricidade. Dentre os metais, a prata é o melhor condutor de calor, seguida do cobre, do alumínio e do ferro. Por outro lado, os materiais com poucos elétrons livres ou cujas partículas estão relativamente distantes umas das outras conduzem mal o calor. Os materiais maus condutores de calor também são chamados isolantes. Os gases são formados por partículas relativamente distantes umas das outras e são, portanto, maus condutores de calor. O ar seco é melhor isolante térmico que o ar úmido porque este último contém partículas de água, que conduz em melhor o calor que os gases do ar seco. Além dos gases, também podemos citar como exemplos de isolantes térmicos a madeira, o vidro, o isopor, os plásticos, o gelo, a lã. Hipóteses simplificadoras A partir deste ponto, vamos analisar com mais detalhes o processo da condução de calor. Adotaremos as seguintes hipóteses simplificadoras, visando facilitar o estudo da condução: a taxa de transferência de calor é unidimensional, ou seja, ocorre em uma única direção; as superfícies perpendiculares ao fluxo de calor são isotérmicas (T = cte) o regime é permanente, logo o fluxo de calor é constante e a temperatura, em dado ponto, não muda com o tempo A lei de Fourier


A condução é regida pela lei de Fourier, estabelecida experimentalmente pelo matemático e físico francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) em 1811. Vamos considerar uma parede plana, de espessura L e área A, cujas faces sejam mantidas às temperaturas T1 e T2, com T1 > T2, como mostrado ao lado.

L

A

T1

T2

T

x

T x( )

qx

.

0

De acordo com Fourier, a taxa de transferência de calor,

Q , através da barra é:

diretamente proporcional à diferença de temperaturas entre as extremidades da barra,

isto é, 21 TTQ

;

diretamente proporcional à área da seção transversal, isto é, AQ

;

inversamente proporcional ao comprimento da barra, isto é, L

Q1

.

Juntando estas conclusões, chegamos a: L

TTAQ

)( 21

.

Introduzindo-se uma constante de proporcionalidade, que leva em conta as características do material da barra, a lei de Fourier assume a forma:

L

TTAkQ

)( 21

(Lei de Fourier)

A constante de proporcionalidade k é denominada condutividade térmica e depende de características do material. Na SI, a condutividade térmica é medida em W/(m·K).

Observe que podemos expressar a lei de Fourier em função do fluxo de calor, A

Qq

:

L

TTkq

)( 21

Na forma diferencial, a lei de Fourier assume a forma:

dx

dTAkQ

e dx

dTkq

É importante destacar que o sinal negativo faz-se necessário, pois o fluxo de calor acontece no sentido da temperatura decrescente. Condutividade térmica A condutividade térmica é uma propriedade específica de cada material, e depende fortemente tanto da pureza como da própria temperatura na qual esse se encontra (especialmente em baixas temperaturas). Em geral, a condução de energia térmica nos materiais, aumenta à medida que a temperatura aumenta.


Os materiais que apresentam altos valores de condutividade térmica são chamados condutores de calor, enquanto os materiais com baixos valores de condutividade térmica são denominados isolantes. A tabela abaixo mostra o valor da condutividade térmica k de alguns materiais em W/(m·K).

Metais k em W/(m·K) Outros materiais k em W/(m·K)

Aço Carbono 38,0 Vidro 0,79 (valor médio)

Alumínio 237 Tijolo 0,6 (valor médio)

Cobre 401 Madeira (pinho) 0,13 (valor médio)

Ferro 80,2 Fibra de vidro 0,05

Ouro 317 Espuma de poliestireno

0,03

Prata 429 Polipropileno 0,25

Tungstênio 174 Espuma de poliuretano

0,02

Água 0,61

Ar 0,03

Analogia elétrica – Parede composta Podemos dizer que dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações semelhantes. Isto significa que a equação de descrição de um sistema pode ser convertida em uma equação para o outro sistema pela simples troca dos símbolos das variáveis. Sabemos que um resistor, com resistência elétrica R, quando submetido a uma diferença de potencial U é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i dada pela lei de Ohm:

R

Ui

R

VVi BA (Lei de Ohm)

A transmissão de calor por condução em regime permanente através de uma parede plana é análoga à passagem de corrente elétrica através de um resistor pois:

a taxa de transferência de calor,

Q , é análoga à corrente elétrica i (um movimento

ordenado de cargas elétricas) o gradiente de temperatura, TA ‒ TB, é análogo à diferença de potencial U = VA ‒ VB, que provoca o surgimento da corrente elétrica.

A lei de Fourier estabelece que: L

TTAkQ

)( 21

Podemos reescrever a lei de Fourier como:

Ak

L

TTQ

)( 21 (Lei de Fourier)


Por comparação, concluímos que a grandeza Ak

L

é equivalente a uma resistência

térmica, RT, imposta pela parede à passagem de calor através dela. Portanto:

Ak

LRT

(resistência térmica)

Apresentada esta analogia, é comum a utilização de uma representação semelhante à usada em circuitos elétricos quando apresentamos a resistência de uma parede à passagem de calor através dela, como mostra a figura ao lado.

A vantagem de se trabalhar com a resistência térmica é que, no caso da transmissão de calor por um sistema constituído por diferentes materiais, com áreas e espessuras diferentes, podemos calcular a resistência térmica total da mesma maneira que o faríamos com uma associação de resistores, em série ou em paralelo. Em um conjunto de elementos em paralelo, mesmo tendo-se a transferência de calor bidimensional, geralmente é aceitável adotar condições undimensionais. Nestas condições, admite-se que as superfícies normais à direção x são isotérmicas. Porém, à medida que a diferença entre as condutividades térmicas das paredes aumenta, os efeitos bidimensionais tornam-se cada vez mais importantes. A figura abaixo mostra o circuito térmico correspondente a uma parede composta submetida a uma diferença de temperatura, nas condições citadas no parágrafo anterior.

A condução de calor radial em regime permanente A transferência de calor unidimensional em regime permanente pode ocorrer em geometrias em que o gradiente de temperatura é radial, caso dos cilindros e esferas. Condução de calor através de paredes cilíndricas

Vamos considerar um tubo cilíndrico, de raio interno r1, raio externo r2 e comprimento L, submetido a um gradiente de temperatura entre a superfície interna e a superfície externa, como mostrado na figura ao lado. Se a temperatura da superfície interna for constante e igual a T1 e se a temperatura da superfície externa também for constante, mas igual a T2, teremos uma transferência de calor por condução no regime permanente na direção radial.

T1T2

r2 r1

r

L

T

A lei de Fourier, ainda pode ser utilizada para determinar a taxa de transferência de calor que atravessa a parede cilíndrica. Entretanto, deveremos utilizá-la na forma


diferencial, �̇� = −𝑘 ∙ 𝐴 ∙𝑑𝑇

𝑑𝑟 , pois a área através do qual o calor flui varia continuamente

com o raio r.

A área cilíndrica através da qual o calor flui é dada por: 𝐴 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿

Introduzindo essa área na lei de Fourier, ficamos com: �̇� = −𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿 ∙𝑑𝑇

𝑑𝑟

Rearranjando as variáveis, obtemos: �̇� ∙𝑑𝑟

𝑟= −𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝐿 ∙ 𝑑𝑇

Integrando entre T1, em r1, e T2, em r2, vem: ∫ �̇� ∙𝑑𝑟

𝑟

𝑟2

𝑟1= ∫ −𝑘 ∙ (2 ∙ 𝜋 ∙ 𝐿) ∙ 𝑑𝑇

𝑇2

𝑇1

Retirando as constantes dos integrandos, fica: �̇� ∙ ∫𝑑𝑟

𝑟

𝑟2

𝑟1= −𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝐿 ∙ ∫ 𝑑𝑇

𝑇2

𝑇1

Após a integração, teremos: �̇� ∙ (ln 𝑟)|𝑟1

𝑟2 = −𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝐿 ∙ (𝑇|𝑇1

𝑇2 )

Substituindo os extremos de integração: �̇� ∙ (ln 𝑟2 − ln 𝑟1) = −𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝐿 ∙ (𝑇2 − 𝑇1)

Usando a propriedade dos logaritmos e eliminando o sinal negativo: �̇� ∙ (ln𝑟2

𝑟1) = 𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙

𝐿 ∙ (𝑇1 − 𝑇2) Chegamos, então, à taxa de transferência de calor numa parede cilíndrica:

�̇� =𝑘∙2∙𝜋∙𝐿∙(𝑇1−𝑇2)

(ln𝑟2𝑟1

) (Lei de Fourier)

O conceito de resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da mesma forma como o fizemos para paredes planas compostas.

Reescrevendo a expressão anterior, teremos: �̇� =(𝑇1−𝑇2)

(ln𝑟2𝑟1

)

𝑘∙2∙𝜋∙𝐿

Note que o denominador dessa expressão corresponde à resistência térmica, RT, da parede cilíndrica. Então, para uma parede cilíndrica, a resistência térmica é dada por:

𝑅𝑇 =(ln

𝑟2𝑟1

)

𝑘∙2∙𝜋∙𝐿 (Resistência térmica)

Observe que a espessura da parede cilíndrica é dada pela diferença entre os raios, r2 ‒ r1. Condução de calor através de paredes esféricas Da mesma forma como fizemos há pouco, vamos considerar uma esfera oca, de raio interno r1, submetido a um gradiente de temperatura entre a superfície interna e a superfície externa, como mostrado na figura ao lado. Se a temperatura da superfície interna for constante e igual a T1 e se a temperatura da superfície externa também for constante, mas igual a T2, teremos, mais uma vez, uma transferência de calor por condução no regime permanente na direção radial.

r1

r2

T1

T2

Para determinar a taxa de transferência de calor que atravessa a parede esférica

usaremos novamente a lei de Fourier na forma diferencial, �̇� = −𝑘 ∙ 𝐴 ∙𝑑𝑇

𝑑𝑟 , pois, mais uma

vez, a área através do qual o calor flui varia continuamente com o raio r.

A área esférica através da qual o calor flui é dada por: 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2

Introduzindo essa área na lei de Fourier, ficamos com: �̇� = −𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 ∙𝑑𝑇

𝑑𝑟

Rearranjando as variáveis, obtemos: �̇� ∙𝑑𝑟

𝑟2 = −𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑇

Integrando entre T1, em r1, e T2, em r2, vem: ∫ �̇� ∙𝑑𝑟

𝑟2

𝑟2

𝑟1= ∫ −𝑘 ∙ (4 ∙ 𝜋) ∙ 𝑑𝑇

𝑇2

𝑇1

Rearranjando e retirando as constantes dos integrandos, fica:


�̇� ∙ ∫ 𝑟−2𝑑𝑟𝑟2

𝑟1= −𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ ∫ 𝑑𝑇

𝑇2

𝑇1

Após a integração, teremos: �̇� ∙ (−𝑟−1)|𝑟1

𝑟2 = −𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ (𝑇|𝑇1

𝑇2 )

Substituindo os extremos de integração: �̇� ∙ [−1

𝑟2− (−

1

𝑟1)] = −𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ (𝑇2 − 𝑇1)

Que pode ser reescrita como: �̇� ∙ (1

𝑟1−

1

𝑟2) = 𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ (𝑇1 − 𝑇2)

Chegamos, então, à taxa de transferência de calor numa parede esférica:

�̇� =𝑘∙4∙𝜋∙(𝑇1−𝑇2)

(1

𝑟1−

1

𝑟2)

(Lei de Fourier)

O conceito de resistência térmica pode ser usado para paredes esféricas compostas, da mesma forma como o fizemos para paredes planas e paredes cilíndicas compostas.

Reescrevendo a expressão anterior, teremos: �̇� =(𝑇1−𝑇2)

(1

𝑟1−

1𝑟2

)

𝑘∙4∙𝜋

Novamente, o denominador dessa expressão corresponde à resistência térmica, RT, da parede esférica. Então, para uma parede esférica, a resistência térmica é dada por:

𝑅𝑇 =(

1

𝑟1−

1

𝑟2)

𝑘∙4∙𝜋 (Resistência térmica)

Observe que a espessura da parede esférica é dada pela diferença entre os raios, r2 ‒ r1. Portanto, nos casos em que temos paredes compostas (planas, cilíndricas ou esféricas), a taxa de transferência de calor pode ser obtida fazendo-se:

�̇� =Gradiente de temperatura

Resistência térmica equivalente=

𝑇1 − 𝑇2

𝑅equivalente

Exercícios 1. Uma barra de prata com comprimento 1,0 m e área de secção transversal igual 25 cm2 está isolada lateralmente. A extremidade A da barra é mantida em contato com a parede de um forno à temperatura constante de 200 °C e a extremidade B em gelo fundente a 0 °C. Sabendo-se que o coeficiente de condutividade térmica da prata vale aproximadamente 1,0 cal/(s·cm·°C), determine:

a) a função T = f(x), que fornece a temperatura T da barra ao longo de seu comprimento. b) a temperatura da barra no ponto C, a 30 cm da extremidade A; c) a taxa de transferência de calor através da barra; d) a massa de gelo que se funde em 10 minutos. 2. Seja considerada a parede de um ambiente condicionado com 0,20 m de espessura. Admitindo-se que as temperaturas nas superfícies externa e interna são, respectivamente, 36 °C e 20 °C determine: a) a equação da distribuição de temperatura; b) o fluxo de calor através da parede; c) a temperatura no centro da parede. Considerar: k = 0,72 W/(m·K)


3. Uma barra metálica é aquecida conforme a figura; A, B e C são termômetros. Admita a condução em regime estacionário e no sentido longitudinal da barra. Quando os termômetros das extremidades indicarem 200 °C e 80 °C, qual será a indicação do termômetro intermediário?

4. A condutividade térmica de certo vidro utilizado em vidraças é de 1,0 W/(m·°C). Calcular a taxa de transferência de calor através de uma vidraça de área 2,0 m2 e espessura 5,0 mm se a diferença de temperaturas entre as faces é de 20 °C. 5. O fluxo térmico através de uma lâmina de madeira, com espessura de 50 mm, cujas temperaturas são de 40 °C e 20 °C, foi determinado como de 40 W/m2. Qual é a condutividade térmica da madeira? 6. Deseja-se que o fluxo de calor através de um bloco de amianto (k = 0,74 W·m‒1·K‒1) seja de 5000 W/m², para uma diferença de temperatura de 200 °C entre as faces do bloco. Qual deve ser a espessura do bloco? 7. Através de que distância deve fluir calor por condução dos capilares sangüíneos para a superfície da pele humana se a diferença de temperatura é de 0,50 °C? Considere que a condutibilidade térmica do tecido humano vale 0,2 W/(m·°C) e que 200 W devem ser transferidos através de toda a superfície do corpo cuja área total é de 1,5 m2. 8. Um recipiente tem paredes com espessura 1,0 cm, área total efetiva de 3000 cm2 e é constituído por um material com condutividade térmica 2·10‒5 cal/(s·cm·°C). O recipiente contém oxigênio líquido na temperatura de ebulição (‒188 °C) e está em contato com ar atmosférico a 12 °C. Sabendo-se que o calor latente de vaporização do oxigênio é 60 cal/g, determine a velocidade de vaporização (massa vaporizada por unidade de tempo) do mesmo. 9. Uma casa tem cinco janelas, tendo cada uma um vidro de área 1,5 m2 e espessura 3·10‒3 m. A temperatura externa é ‒5 °C e a interna é mantida a 20 °C, através da queima de carvão. Considerando que a condutividade térmica do vidro vale 0,72 kcal/(h·m·°C) e que o calor de combustão do carvão é de 6·103 cal/g, qual é a massa de carvão consumida no período de 12 h para repor o calor perdido apenas pelas janelas? 10. Tem-se três cilindros de secções transversais iguais de cobre, latão e aço, cujos comprimentos são, respectivamente, 46 cm, 13 cm e 12 cm. Soldam-se os cilindros, formando o perfil em Y, indicado na figura. O extremo livre do cilindro de cobre é mantido a 100 °C, e os cilindros de latão e aço a 0 °C. Suponha que a superfície lateral dos cilindros esteja isolada termicamente. As condutividades térmicas do cobre, latão e aço valem, respectivamente: 0,92, 0,26 e 0,12, expressas em cal·cm‒1·s‒1·°C‒1. No regime estacionário de condução, qual é a temperatura na junção?

11. A parede de um forno industrial é construída em tijolo refratário com 0,15 m de espessura, cuja condutividade térmica é 1,7 W/(m·K). Medidas efetuadas ao longo da


operação em regime estacionário revelam temperaturas de 1400 e 1150 K nas paredes interna e externa, respectivamente. Determine: a) o fluxo térmico através da parede; b) a taxa de calor perdida através de uma parede que mede 0,5 m por 1,2 m. 12. A parede da fornalha de uma caldeira é construída de tijolos refratários com 0,20 m de espessura e condutividade térmica de 1,3 W/(m·K). A temperatura da parede interna é de 1127 °C e a temperatura da parede externa é de 827 °C. Determine a taxa de calor perdido através de uma parede com 1,8 m por 2,0 m. 13. Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 °C. As paredes da sala, de 25 cm de espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 kcal/(h·m·°C) e a área das janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das paredes pode estar até a 40 °C em um dia de verão. Desprezando a troca de calor pelo piso e pelo teto, que estão bem isolados, pede-se o calor a ser extraído da sala pelo condicionador (em HP). Considere: 1 HP = 641,2 kcal/h. 14. Uma parede de 2 cm de espessura é construída de um material com condutibilidade térmica de 0,35 W/(m·°C), de tal modo que a perda de calor por unidade de superfície não excede 1.830 W/m2. Admitindo que as temperaturas interior e exterior da parede isolada são, respectivamente, 1300 °C e 30 °C, determine a espessura de isolamento necessária. 15. Uma câmara de congelador é um espaço cúbico de lado 2 m. Considere que a sua base seja perfeitamente isolada. Qual é a espessura mínima de um isolamento à base de espuma de estireno [k = 0,030 W/(m·K)] que deve ser usada no topo e nas paredes laterais para garantir uma carga térmica menor do que 500 W, quando as superfícies interna e externa estiverem a ‒10 °C e 35 °C? 16. Através de uma placa de aço carbono (k = 60,5 W·m‒1·K‒1) de 50 por 75 cm, com 2 cm de espessura, existe uma taxa de transferência de calor da ordem de 2500 W. A temperatura de uma face da placa é 250 °C. Calcule a temperatura da outra face da placa. 17. A base de concreto de um porão tem 11 m de comprimento, 8 m de largura e 0,20 m de espessura. Durante o inverno, as temperaturas são normalmente de 17 °C e 10 °C em suas superfícies superior e inferior, respectivamente. Se o concreto tiver uma condutividade térmica de 1,4 W/(m·K), qual é a taxa de perda de calor através da base? Se o porão é aquecido por um forno a gás operando com eficiência de 90% e o gás natural estiver cotado a R$ 0,0285/MJ, qual é o custo diário da perda térmica? 18. Qual é a espessura requerida para uma parede de alvenaria com condutividade térmica igual a 0,75 W/(m·K), se a taxa de calor deve ser 80% da taxa através de uma parede estrutural composta com uma condutividade térmica de 0,25 W/(m·K) e uma espessura de 100 mm? A diferença de temperaturas imposta nas duas paredes é a mesma. 19. Uma parede de alvenaria de 2,5 m por 3,0 m e espessura de 30 cm tem, entre suas faces, uma diferença de temperaturas de 30°C. Considere a condutividade térmica da alvenaria igual a 1,0 W/(m·K) e determine: a) a resistência térmica de condução da parede; b) a taxa de transferência de calor.


20. Uma fornalha industrial tem parede de tijolo refratário com 0,2 m de espessura e k = 1,0 W/(m·K). Esta parede é revestida externamente com uma camada isolante de k = 0,07 W/(m·K). A superfície interna da fornalha está a 980 °C e a externa a 38 °C. Determine: a) a espessura do isolante que permite um fluxo de calor de 900 W/m2; b) a temperatura da junção da parede com o isolante.

21. Um vidro duplo é composto por duas lâminas de vidro (k = 0,93 W·m‒1·K‒1) de 4 mm de espessura separadas por uma camada de 2 mm de ar (k = 0,024 W·m‒1·K‒1). De um lado do vidro a temperatura é 28 °C, do outro 21 °C, como indicado na figura ao lado. Determine: a) o fluxo de calor por condução através do vidro duplo; b) as temperaturas nos pontos B e C.

22. As paredes de uma câmara frigorífica são construídas com uma placa de cortiça de 10 cm de espessura comprimida entre duas placas de pinho com 1,3 cm de espessura cada uma. A face interna, em contato com o espaço resfriado está a ‒12 °C e a externa à temperatura ambiente de 27 °C. Considerando que as condutividades térmicas da cortiça e do pinho são, respectivamente, iguais a 0,036 kcal/(h·m·°C) e 0,092 kcal/(h·m·°C), determine: a) o fluxo de calor por condução através da parede composta; b) a temperatura na interface entre a placa externa e a cortiça. 23. Uma parede plana de 2 cm de espessura deve ser construída com material que tem condutividade térmica de 1,3 W/(m·°C). A parede deve ser isolada com um material cuja condutividade térmica é 0,35 W/(m·°C), de tal forma que a perda de calor por m2 não seja superior a 1830 W. Considerando que as temperaturas das superfícies interna e externa da parede composta são 1300 °C e 30 °C, determine: a) a espessura mínima do isolante. b) a temperatura na interface parede-isolante. 24. Uma parede composta é formada por uma placa de cobre de 2,5 cm, uma camada de amianto de 3,2 mm e uma camada de fibra de vidro de 5 cm. A parede é submetida a uma diferença de temperatura de 560 °C. Calcule o fluxo de calor através da estrutura composta. Dados: kcobre = 401 W/(m·°C); kamianto = 0,166 W/(m·°C); kfibra vidro = 0,048 W/(m·°C). 25. Um tubo de aço carbono (k = 60,5 W·m‒1·K‒1) de 10 cm de diâmetro externo e 2 cm de espessura conduz vapor de água superaquecido. Se a temperatura da parede interna do tubo é mantida a 200 °C e a superfície externa encontra-se a 20 °C, calcule a perda de calor por metro de comprimento de tubo. 26. Uma fábrica de condutores elétricos produz fios de 3 mm de raio com resistência de

10,3 /m nos quais deve passar uma corrente de 4 A. Deseja-se isolá-los térmica e eletricamente, usando um material plástico de condutividade 0,2 kcal/(h·m·°C). Sabendo-se que o setor de engenharia fixou a temperatura de operação do fio em 65 °C e supondo


que a temperatura externa do isolante seja 25 °C, determinar a espessura da capa isolante a ser utilizada. 27. Um tubo metálico de 20 m de comprimento, 5 cm de diâmetro interno e 1,5 cm de espessura é feito de um material de condutividade k = 65 kcal/(h·m·°C). O tubo é revestido com um isolante térmico de k = 0.04 kcal/(h·m·°C), e espessura de 10 cm. Sabendo-se que as temperaturas interna e externa são 250 °C e 30 °C, respectivamente, calcular: a) a taxa de transferência de calor. b) a temperatura na superfície que separa o tubo do isolante. 28. Um tubo de parede grossa de aço inoxidável (1,8%Cr; 8%Ni, k = 19 W/m oC) com 2 cm de diâmetro interno e 4 cm de diâmetro externo é coberto com uma camada de 3 cm de isolamento de amianto (k= 0,2 W/m oC). Se a temperatura da parede interna do tubo é mantida a 600 oC e a superfície externa do isolamento a 100 oC, calcule a perda de calor por metro de comprimento, e a temperatura na interface aço inox/amianto. 29. Uma tubulação de aço de 8 cm de diâmetro externo é revestida com uma camada de 1,5 cm de amianto (k = 0,208 W·m‒1·K‒1). Cobrindo o amianto há uma camada de 5 cm de lã de vidro com condutividade k = 0,055 W·m‒1·K‒1. A temperatura da interface lã de vidro-amianto é 182 °C. A temperatura da superfície mais externa é 40 °C. Determine: a) a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento; b) a temperatura na superfície externa da tubulação de aço; c) o raio da superfície isotérmica de 100 °C. 30. Calcular a perda de calor e as temperaturas nas interfaces de uma tubulação de 1 metro de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e diâmetro externo de 220 mm, de material com condutividade k = 50 W/(m·°C). Esta tubulação deverá ser isolada com 50 mm de espessura de um material com k1 = 0,2 W/(m·°C) e, também, com 80 mm de espessura de material com k2 = 0,1 W/(m·°C). Prever que a temperatura interna no tubo será 327 °C e a externa no isolamento será 47 °C. 31. Um reservatório esférico destinado a encerrar oxigênio líquido, tem raio interno igual a 1,5 m e é feito de vidro com espessura igual a 0,03 m (k = 0,6 kcal·h‒1·m‒1·°C‒1). O reservatório é revestido externamente por uma camada de lã de vidro (k = 0,03 kcal·h‒

1·m‒1·°C‒1) de espessura igual a 0,35 m. A temperatura na face interna do vidro é ‒180 °C e na face externa do isolamento é 10 °C. Calcular: a) a taxa de transferência de calor através da parede; b) a temperatura na interface vidro-isolante. 32. Um tanque de aço, k = 40 kcal/(h·m·°C), de formato esférico, raio interno de 0,5 m e espessura de 5 mm, é isolado com 1½" de lã de rocha, k = 0,04 kcal/(h·m·°C). A temperatura da face interna do tanque é 220 °C e a da face externa do isolante é 30 °C. Após anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de 1½" de espessura, tendo sido notado então um aumento de 10% no calor perdido para o ambiente. Determinar: a) a taxa de transferência de calor pelo tanque isolado com lã de rocha; b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; c) qual deve ser a espessura do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor antes trocado com a lã de rocha.


33. Um tanque de oxigênio líquido tem diâmetro de 1,20 m, um comprimento de 6 m e as extremidades hemisféricas. O ponto de ebulição do oxigênio é ‒182,8 °C. Procura-se um isolante térmico que reduza a taxa de evaporação em regime permanente a não mais que 10 kg/h. O calor de vaporização do oxigênio é 51,82 kcal/kg. Sabendo que a temperatura ambiente varia entre 15 °C (inverno) e 40 °C (verão) e que a espessura do isolante não deve ultrapassar 75 mm, qual deverá ser a condutividade térmica do isolante? Aula 14 / Aula 15 Introdução A convecção é o processo de transmissão do calor entre uma superfície sólida e um fluido no qual a energia térmica se propaga pela movimentação de massas líquidas ou gasosas, que alternam suas posições no meio devido à diferença de densidade. Por exemplo, quando você aquece um líquido numa chama, as camadas inferiores, ao se aquecer, ficam menos densas e sobem, enquanto as camadas superiores menos quentes descem, pois têm maior densidade. Dessa forma, vai ocorrendo a mistura das partes aquecidas com as menos aquecidas e o conjunto acaba por se esquentar como um todo. Se você colocar pequenas partículas (por exemplo, macarrão “estrelinha”) no líquido que está sendo aquecido dessa maneira, poderá ver as partículas se movimentando, acompanhando as correntes de convecção que se formam durante o aquecimento.

Observe que esse processo de transferência de calor não pode ocorrer nos sólidos. Ele é exclusivo dos líquidos e gases (genericamente denominados fluidos). As brisas que ocorrem nas regiões litorâneas podem ser explicadas pela existência de correntes de convecção, associadas à diferença de aquecimento da terra e do mar no decorrer do dia. Durante o dia, a terra está mais quente que o mar, pois a água é uma substância que precisa de muito calor para se aquecer (veremos adiante que isso está associado a uma característica especial desse líquido: seu alto calor específico). Então o ar mais quente, em contato com a terra, sobe por convecção e produz uma região de baixa pressão que “aspira” o ar que está sobre o oceano. Sopra então a brisa marítima. À noite o processo se inverte, e agora a água, sem o aquecimento do Sol, demora mais para esfriar, mantendo-se mais quente que a terra. Então, o ar sobre o mar sobe por convecção, produzindo uma região de baixa pressão que “aspira” o ar que está sobre a terra. Sopra assim a brisa terrestre.


Convecção natural e convecção forçada Consideremos o resfriamento de um bloco quente exposto ao ar frio. Na ausência de qualquer movimento da massa fluida, a transferência de calor entre a superfície sólida e o fluido adjacente se dá por condução. Esse calor é, então, transportado para longe da superfície por convecção, isto é, pelo efeito combinado de condução dentro do ar causado por movimentos aleatório das moléculas do ar e por movimento da massa macroscópica do ar, uqe remove o ar aquecido próximo à superfície e o substitui por ar mais frio. Dizemos que, nesse caso, o resfriamneto do bloco ocorreu por uma convecção natural. A convecção é chamada convecção forçada se o fluido é obrigado a fluir sobre a superfície do bloco por meios externos, com o uso de um ventilador, uma bomba ou mesmo com a presença de vento.

Convecção natural Convecção forçada Processos de transferência de calor que envolvem mudança de estado físico de fluido são considerados convecção por causa do movimento de fluido induzido ao longo do processo, como a subida de bolhas de vapor durante a ebulição ou a queda de gotículas de líquido durante a condensação. A lei de Newton do refriamento Apesar da complexidade, observa-se que a taxa

de transferência de calor por convecção, �̇�conv, depende, basicamente: da diferença de temperatura entre a da superfície, TS, e a do meio externo longe da superfície, T∞; • da área de superfície As do corpo exposta ao fluido; • das condições do ambiente no qual este corpo

Bloco quente

Q.

Ts

TT

As

Variação da temperaturado ar


foi colocado. Observe que, na superfície, a temperatura do fluido é igual à temperatura da superfície sólida. A expressão matemática dessa dependência foi proposta originalmente pelo físico inglês Isaac Newton em 1701 e é conhecida hoje como lei de resfriamento de Newton. De acordo com Newton:

�̇� = ℎ ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠 − 𝑇∞) Nessa expressão, h é o coeficiente de transferência de calor por convecção ou coeficiente de película. No SI, o coeficiente de transferência de calor por convecção é medido em W/(m2·K). Os engenheiros têm usado esta relação durante anos, ainda que ela seja uma definição de h, e não uma lei fenomenológica da convecção. A avaliação do coeficiente de película é difícil, porque a convecção é um fenômeno bastante complexo. O coeficiente de película h não é uma propriedade do fluido. Trata-se de um parâmetro determinado experimentalmente, cujo valor depende de todas as variáveis que influenciam a convecção, como geometria da superfície, natureza do movimento do fluido, propriedades do fluido e velocidade da massa de fluido. Como essas grandezas não são necessariamente constantes ao longo de toda a superfície, o coeficiente de transferência de calor por convecção também pode variar de ponto para ponto. Por esta razão, deve-se distinguir entre um coeficiente de transferência de calor por convecção médio e um local. Na maioria das aplicações de engenharia, estaremos interessados em valores médios de h, cujos valores típicos são apresentados na tabela a seguir.

Tipo de convecção h [W/(m2·K)]

Convecção natural de gases

2-25

Convecção natural de líquidos

10-1.000

Convecção forçada de gases

25-250

Convecção forçada de líquidos

50-20.000

Ebulição e condensação 2.500-100.000

Resistência térmica na convecção Da mesma forma como fizemos com a transferência de calor por condução, na transferência de calor por convecção também podemos fazer uma analogia com a passagem de corrente elétrica através de um resistor:

a taxa de transferência de calor, �̇�, é análoga à corrente elétrica i (um movimento ordenado de cargas elétricas) o gradiente de temperatura, 𝑇𝑠 − 𝑇∞, é análogo à diferença de potencial, U = VA ‒ VB, que provoca o surgimento da corrente elétrica.

A lei de Newton do resfriamento estabelece que: �̇� = ℎ ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠 − 𝑇∞) Podemos reescrever a lei de Newton como:

�̇� =(𝑇𝑠−𝑇∞)

1

ℎ∙𝐴𝑠

(Lei de Newton)


Por comparação, concluímos que a grandeza 1

ℎ∙𝐴𝑠 é equivalente a uma resistência térmica,

RT, imposta pela parede à passagem de calor através dela. Portanto:

𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 =1

ℎ∙𝐴𝑠 (resistência térmica)

Mecanismos combinados de condução e convecção Consideremos uma parede plana situada entre dois fluidos a diferentes temperaturas, como mostrado na figura a seguir.

Se as temperaturas T1 e T4 dos fluidos são constantes, será estabelecido um fluxo de calor único e constante através da parede (regime permanente). Um bom exemplo desta situação é a transferência de calor gerado pela combustão dentro de um forno, que atravessa a parede por condução e se dissipa no ar atmosférico. Portanto, também quando ocorre a ação combinada dos mecanismos de condução e convecção, a analogia com um circuito elétrico continua válida; sendo que a resistência total é igual à soma das resistências que estão em série, não importando se por convecção ou condução. Exercícios 1. Um fio elétrico de 2 m de comprimento e 0,3 cm de diâmetro se estende por uma sala a 15 °C. Calor é gerado no fio como resultado do aquecimento da resistência. A medida da temperatura na superfície do fio é 152 °C, em funcionamento estável. Além disso, as medidas da queda de tensão e da corrente elétrica através do fio são 60 V e 1,5 A, respectivamente. Ignorando qualquer transferência por radiação, determine o coeficiente de transmissão de calor por convecção para a transferência de calor entre a superfície externa do fio e o ar da sala. 2. Um condutor de uma linha de transmissão de 5000 A, com diâmetro de 1 polegada, comprimento de 1 m e resistência elétrica de 3,28·10‒6 Ω, dissipa calor no ambiente a 35 °C. Considerando que o coeficiente de transmissão de calor por convecção para a transferência de calor entre a superfície externa do fio e o ar vale 10 W/(m2·°C), determine a temperatura externa do condutor. 3. Por um fio de aço inoxidável de 3 mm de diâmetro passa uma corrente elétrica de 20 A.

A resistividade do aço pode ser tomada como 70 Ω·m, e o comprimento do fio é 1 m. O fio está imerso num fluido a 110 °C e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 4 kW/(m2·°C. Calcule a temperatura do fio. 4. A superfície de uma placa de aço de 8 m2 é mantida a uma temperatura de 150 °C. Uma corrente de ar é soprada por um ventilador e passa sobre a superfície da placa. O ar se encontra a uma temperatura de 25 °C. Calcular a taxa de transferência de calor


trocado por convecção entre a placa e o ar, considerando um coeficiente de troca de calorpor convecção de 150 W/(m2·K). 5. Ar a 20 °C escoa sobre uma placa aquecida de 50 x 75 cm2, mantida a 250 °C. o coeficiente de transferência de calor por convecção é 25 W/(m2·°C). Calcule o taxa de calor transferido da placa para o ar. 6. Uma placa de gelo com 10 mm de espessura e 300 mm em cada lado é colocada sobre uma superfície bem isolada. Na superfície superior, a placa está exposta ao ar ambiente em um local onde a temperatura é 25 °C e o coeficiente de película é 30 kcal/(h·m2·°C). Desprezando a transferência de calor pelas laterais da placa e supondo que a mistura gelo-água permanece a 0 °C, quanto tempo é necessário para a fusão completa da placa? A densidade e o calor latente de fusão do gelo são 935 kg/m3 e 80,3 kcal/kg, respectivamente. 7. A parede de um reservatório tem 10 cm de espessura e condutividade térmica de 5 kcal/(h·m·°C). A temperatura dentro do reservatório é 150 °C e o coeficiente de transmissão de calor na parede interna é 10 kcal/(h·m2·°C). A temperatura ambiente é 20 °C e o coeficiente de transmissão de calor na parede externa é 8 kcal/(h·m2·°C). Calcular a taxa de transferência de calor para 20 m2 de área de troca. 8. A parede de um forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de tijolo refratário, com condutividade 1,2 kcal/(h·m·°C) e 0,13 m de tijolo isolante, com condutividade 0,15 kcal/(h·m·°C). A temperatura dos gases dentro do forno é 1.700 °C e o coeficiente de película na parede interna é 58 kcal/(h·m2·°C). A temperatura ambiente é 27 °C e o coeficiente de película na parede externa é 12,5 kcal/(h·m2·°C). Desprezando a resistência térmica das juntas de argamassa, determine : a) o fluxo de calor por m2 de parede; b) a temperatura nas superfícies interna e externa da parede. 9. A parede de um edifício tem 30,5 cm de espessura e foi construída com um material de k = 1,31 W/(m·K). Em um dia de inverno as seguintes temperaturas foram medidas: temperatura do ar interior = 21,1 °C; temperatura do ar exterior = ‒9,4 °C; temperatura da face interna da parede = 13,3 °C; temperatura da face externa da parede = ‒6,9 °C. Determine: a) o fluxo de calor através da parede; b)Calcular os coeficientes de película interno e externo à parede. 10. A parede de uma fornalha é constituída de três camadas: 10 cm de tijolo refratário (0,6 kcal·h‒1·m‒

1·°C‒1), 20 cm de amianto (0,09 kcal·h‒1·m‒1·°C‒1) e 5 cm de argamassa (3 kcal·h‒1·m‒1·°C‒1). A temperatura dentro da fornalha é de 1000 °C e o coeficiente de transmissão de calor na parede interna é 10 kcal/(h·m2·°C). A temperatura ambiente é 30 °C e o coeficiente de transmissão de calor na parede externa é 2 kcal/(h·m2·°C).

Calcular a taxa de transferência de calor, sabendo-se que a área de troca é 30 m2. 11. No exercício anterior, determine a espessura da camada de amianto de modo a reduzir a taxa de transferência de calor para 5.000 kcal/h.


12. Um reator de paredes planas foi construído em aço inox e tem formato cúbico com 2 m de lado. A temperatura no interior do reator é 600 °C e o coeficiente de película interno é 45 kcal/(h·m2·°C). Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isolá-lo com lã de rocha, cuja condutividade é 0,05 kcal/(h·m·°C), de modo a reduzir a transferência de calor. Considerando desprezível a resistência térmica da parede de aço inox e que o ar ambiente está a 20 °C com coeficiente de película 5 kcal/(h·m2·°C), determine : a) a taxa de transferência de calor antes da aplicação do isolamento; b) a espessura do isolamento a ser usado, sabendo-se que a temperatura do isolamento na face externa deve ser igual a 62 °C; c) A redução (em %) da taxa de transferência de calor após a aplicação do isolamento. 13. A parede plana de um tanque para armazenagem de produtos químicos é constituída de uma camada interna à base de carbono, k = 10 kcal/(h·m·°C), de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário, k = 0,14 kcal/(h·m·°C) e um invólucro de aço, k = 45 kcal/(h·m·°C) com 10 mm de espessura. Com a superfície interna da camada carbono a 190 °C e o ar ambiente a 30 °C, a temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60 °C por motivos de segurança dos trabalhadores. Considerando que o coeficiente de película no ar externo é 12 kcal/(h·m2·°C), determine: a) a espessura mínima do refratário; b) a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for trocada por uma de isolante com condutividade 0,03 kcal/(h·m·°C) de mesma espessura. 14. Um delgado chip de silício de resistência térmica desprezível e uma base de alumínio de 8 mm de espessura, kalumíno = 238 W/(m·K), são separados por uma cola de epoxy de resistência térmica 0,9·10‒4 K/W. A face superior do chip e a face inferior da base de alumínio estão expostas ao ar na temperatura de 298 K e com coeficiente de película de 100 W/(m2·K). O chip dissipa calor na razão de 104 W por m2 de superfície (inferior e superior) e sua temperatura deve ser mantida abaixo de 358 K (desprezar a transferência de calor pelas áreas laterais).

a) Responda se a temperatura do chip ficará abaixo da máxima temperatura permitida. b) Calcule qual deveria ser a resistência da cola para que o limite de temperatura do chip seja ultrapassado em 1 K.

15. Determine a perda de calor, por metro linear, de um tubo (diâmetro externo = 88,9 mm; diâmetro interno = 77,9 mm; k = 37 kcal·h‒1·m‒1·°C‒1), coberto com isolação de amianto de 13 mm de espessura (k = 0,16 kcal·h‒1·m‒1·°C‒1). O tubo transporta um fluido a 150 °C com coeficiente de transmissão de calor interno de 195 kcal/(h·m2·°C), e está exposto a um meio ambiente a 27 °C, com coeficiente de transmissão de calor médio, do lado externo, de 20 kcal/(h·m2·°C).


16. Para o tubo mostrado na figura ao lado são dados: L = 300 m; R1 = 10 cm; e1 = 1,8 cm; e2 = 15 cm; k1 = 50 kcal/(h·m·°C); k2 = 0,15 kcal/(h·m·°C); h1 = 10 kcal/(h·m2·°C); h2 = 8 kcal/(h·m2·°C) Determine: a) a taxa de transferência de calor; b) as temperaturas T1, T2 e T3 nas faces.

17. Um recipiente esférico é usado para armazenar nitrogênio líquido a 77 K (ponto de ebulição). O recipiente tem 0,5 m de diâmetro interno e é isolado com uma camada de pó de sílica, k = 0,0017 W/(m·K). O isolamento tem 25 mm de espessura e sua superfície externa está exposta ao ar a 300 K. O coeficiente de película externo é 20 W/(m2·K). O calor latente de vaporização e a densidade do nitrogênio são 2·105 J/Kg e 804 kg/m3, respectivamente. Desprezando as resistências térmicas da película interna e das paredes metálicas do recipiente, calcule: a) a taxa de calor transferido para o nitrogênio; b) a taxa de evaporação do nitrogênio em litros/dia (existe um respiro para a saída dos gases). Aula 16 Introdução A radiação pode se definida como o processo pelo qual calor é transferido de uma superfície em temperatura mais alta para um superfície em temperatura mais baixa quando tais superfícies estão separados no espaço, ainda que exista vácuo entre elas. A energia assim transferida é chamada radiação térmica e é feita sob a forma de ondas eletromagnéticas, com comprimentos de onda na faixa de 0,1 μm a 1 μm. O exemplo mais evidente que podemos dar é o próprio calor que recebemos do Sol. Neste caso, mesmo havendo vácuo entre a superfície do Sol (cuja temperatura é aproximadamente 5500 K) e a superfície da terra, a vida na terra depende desta energia recebida. Esta energia chega até nós na forma de ondas eletromagnéticas. As ondas eletromagnéticas são comuns a muitos outros fenômenos e o tipo de onda depende basicamente de sua frequência: ondas de rádio e TV, infravermelho, luz visível, ultravioleta, raios-X e raios gama, como mostrado no espectro eletromagnético a seguir.

10-6

10-4

10-2

100

102

104

106

0,1 10l ( m)

Luz visível

Radiação térmica

Raios gamae raios X

Microondase ondas de rádio

0,4 0,8

As emissões de ondas eletromagnéticas podem ser atribuídas a variações das configurações eletrônicas dos constituintes de átomos e moléculas, e ocorrem devido a vários fenômenos, porém, para a transferência de calor interessa apenas as ondas eletromagnéticas resultantes de uma diferença de temperatura (radiações térmicas). As suas características são:


Todos os corpos em temperatura acima do zero absoluto emitem continuamente radiação térmica; A radiação térmica, concentrada na faixa de ultravioleta, visível e infravermelho, propaga-se na velocidade da luz (300.000 km/s); A intensidade da radiação varia com o comprimento de onda. O poder de emissão ou poder emissivo (E) é a energia radiante total emitida por um corpo, por unidade de tempo e por unidade de área (kcal·h‒1·m‒2; W/m2), ou seja,

corresponde ao fluxo de calor, �̇�. A análise espectroscópica mostra que a intensidade das radiações térmicas varia como mostrado na figura a seguir. O pico máximo de emissão ocorre para um comprimento de

onda (lmáx), cuja posição é função da temperatura absoluta do corpo emissor (radiador).

Do exposto até aqui, duas conclusões importantes podem ser tiradas: ao contrário da condução e da convecção, não há necessidade de um meio material para ocorrer a transferência de calor por radiação; esta pode ocorrer até mesmo no vácuo; qualquer corpo emite calor por radiação; quanto mais quente estiver o corpo, maior a quantidade de calor emitida por ele; Propriedades dos materiais em relação à radiação Quando uma energia radiante atinge a superfície de um corpo, parte da energia total é refletida, parte é absorvida, e parte é transmitida através do corpo como mostra a figura a seguir.

Vamos considerar que: ρ - fração de energia refletida (refletividade) α - fração de energia absorvida (absortividade)

- fração de energia transmitida através do corpo (transmissividade)

Aplicando o princípio da conservação da energia, tem-se que: ρ + α + = 1 A refletividade ρ, a absortividade α e a transmissividade τ são propriedades térmicas dos materiais.


A maioria dos corpos sólidos não transmite radiação térmica (são opacos à esta radiação). Sendo assim, para muitos problemas aplicados, a transmissividade pode ser

considerada igual a zero ( = 0). Assim: ρ + α = 1 Lei de Stefan-Boltzmann ‒ Corpo negro e corpo cinzento Corpo negro é um conceito teórico padrão que estabelece um limite superior de radiação, de acordo com a segunda lei da termodinâmica, com o qual as características de radiação dos outros meios são comparadas. Portanto, é uma superfície ideal que tem as seguintes propriedades: absorve toda a radiação incidente (α = 1), independente do comprimento de onda e da direção; para uma temperatura e comprimento de onda dados, nenhuma superfície pode emitir mais energia do que um corpo negro; embora a radiação emitida por um corpo negro seja uma função do comprimento de onda e da temperatura, ela é independente da direção, ou seja, o corpo negro é um emissor difuso. O limite superior para o poder emissivo de um corpo negro foi determinado experimentalmente em 1879 pelo físico esloveno Josef Stefan e matematicamente pelo seu aluno Ludwig Eduard Boltzmann em 1884:

𝐸𝑛 = 𝜎 ∙ 𝑇4 (Lei de Stefan-Boltzmann) ⟹ �̇�𝑛 = 𝜎 ∙ 𝐴 ∙ 𝑇4 Na lei de Stefan-Boltzmann, T é a temperatura absoluta (K) na superfície do corpo negro e σ é a constante de Stefan-Boltzmann:

𝜎 = 5,669 ∙ 10−8W

m2∙K4

= 4,88 ∙ 10−8kcal

h∙m2∙K4

= 0,173 ∙ 10−8Btu

h∙ft2∙R

4

Portanto, a máxima taxa de transferência de calor que um corpo pode emitir, de acordo com a Lei de Stefan-Boltzmann, é a de um corpo negro. Porém, no mundo físico real, nenhum material se comporta exatamente como um corpo negro. Alguns materiais podem chegar bem próximos deste comportamento. Outros materiais, porém, possuem um poder de emissão de radiação térmica bem inferior. Tais corpos são denominados corpos cinzentos. Corpo cinzento é o corpo cuja energia emitida ou absorvida é uma fração da energia emitida ou absorvida por um corpo negro, aproximando-se das características dos corpos reais, como mostra a figura seguinte.

Desta maneira, torna-se necessário definir uma nova propriedade física do material, chamada emissividade, representada por ε. Fisicamente falando, a emissividade de uma superfície, representa a relação entre o poder emissivo desta superfície, e o poder emissivo de um corpo negro à mesma


temperatura, ou seja: 𝜀 =𝐸𝑐

𝐸𝑛 , em que Ec é o poder emissor do corpo cinzento e En é o

poder emissor de um corpo negro. A partir da lei de Kirchhoff do estado da radiação, pode-se provar que esta relação é igual à absortividade (α) da superfície ou do corpo. Ou seja, a capacidade de emissão de energia radiante de um corpo é igual à sua capacidade de absorção desta mesma

energia. Assim: 𝜀 = 𝛼 . Assim como a absortividade, o valor da emissividade está na faixa 0 ≤ 𝜀 ≤ 1. Um corpo negro absorve toda a radiação incidente sobre ele. Isto é, um corpo negro é um perfeito

absorvedor (α = 1) e um perfeito emissor ( = 1). Os corpos cinzentos têm emissividade

() sempre menor que 1.

Portanto, para um corpo cinzento: 𝐸𝑐 = 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ 𝑇4 ⟹ �̇�𝑐 = 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ 𝐴 ∙ 𝑇4 As tabelas a seguir mostram os valores utilizados para a emissividade de alguns materiais. Tabela 1 – Emissividade de metais

SUPERFÍCIE EMISSIVIDADE ε

Alumínio película 0,04 folha comercial 0,09 placa polida 0,039 - 0,057 oxidado 0,20 - 0,31 anodizado 0,82 Latão polido 0,03 placa opaca 0,22 Cobre polido 0,023 - 0,052 placa, aquecida por muito tempo, coberta de óxido 0,78 Aço, polido 0,066 Ferro polido 0,14 - 0,38 fundido 0,44 fundido, aquecido 0,60 - 0,70 Superfícies oxidadas placa de ferro, ferrugem vermelha 0,61 ferro, superfície cinza-escuro 0,31 folha de aço, fortemente oxidada 0,80 Aço inoxidável polido 0,074 comum, polido 0,19 comum, limpo 0,24 comum 0,54 - 0,63 Zinco, placa de ferro galvanizada 0,23


Tabela 2 – Emissividade de materiais refratários e de construção, tintas e materiais diversos

SUPERFÍCIE EMISSIVIDADE ε

Amianto, placa 0,93 - 0,96 Teflon 0,85 Tijolos bruto, sem irregularidades (tijolo vermelho) 0,93 - 0,96 refratário 0,75 refratário de alumina 0,40 refratário de magnésia 0,45 Concreto 0,88 - 0,93 Madeira 0,82 - 0,92 Vidro liso, de janela 0,90 - 0,95 pyrex 0,80 - 0,82 Tintas negra 0,98 branca (acrílica) 0,90 branca, zincada (óxido de zinco) 0,92 esmalte sobre ferro, branco 0,90 laca preta brilhante sobre ferro 0,875 Borracha 0,94 Solo 0,93 - 0,96 Areia 0,90 Pedras 0,88 - 0,95 Vegetação 0,92 - 0,96 Asfalto 0,85 - 0,93 Água 0,95 - 0,96 Neve 0,82 - 0,90 Gelo 0,95 - 0,98 Pele humana 0,95 Tecidos 0,75 - 0,90 Papel 0,92 - 0,97


A diferença entre as taxas de radiação emitida pela superfície e de radiação absorvida é a transferência de calor líquida por radiação. Se a taxa de absorção de radiação é maior do que a taxa de emissão da radiação, a superfície está ganhando energia. Caso contrário, a superfície está perdendo energia por radiação. Em geral, a determinação da taxa líquida de transferência de calor por radiação entre duas superfícies é uma questão complicada, uma vez que depende das propriedades das superfícies, das orientações de uma em relação às outras e da interação no meio entre as superfícies com radiação.

Quando uma superfície de emissividade 𝜀 e área superficial As a uma temperatura termodinâmica Ts é completamente delimitada por superfície maior (ou negra) a uma temperatura termodinâmica Tcir separadas por um gás (como o ar) que não intervém na radiação, a taxa líquida de transferência de calor por radiação entre essas duas superfícies é dada por:

�̇�rad = 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠4 − 𝑇cir

4 )

QemitQinc

Superfícies vizinhas em Tcir

, , A Ts s

Ar

Nesse caso específico, emissividade e área da superfície envolvente não tem nenhum efeito sobre a transferência de calor líquida por radiação. Mecanismos combinados de convecção e radiação A transferência de radiação de calor de ou para uma superfície cercada de gás, como o ar, ocorre paralelamente por condução (ou convecção, se houver um movimento da massa de gás) entre a superfície e o gás. Assim, a transferência total de calor é determinada pela adição das contribuições de ambos os mecanismos de transferênciade calor. Portanto, a taxa total de transferência de calor a partir de ou para uma superfície por convecção e por radiação é expressa como:

�̇�total = �̇�conv + �̇�rad

�̇�total = ℎconv ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠 − 𝑇𝑐𝑖𝑟𝑐) + 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠4 − 𝑇cir

4 ) (I)

Por simplicidade e conveniência, isso é muitas vezes feito por meio da definição de um coeficiente combinado de transferência de calor hcombinado, que inclui tanto os efeitos da radiação quanto os da convecção. Então, podemos dizer que:

�̇�total = ℎcombinado ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠 − 𝑇𝑐𝑖𝑟𝑐) (II)

Da matemática básica, temos que: 𝑎4 − 𝑏4 = (𝑎2 + 𝑏2) ∙ (𝑎2 − 𝑏2) = (𝑎2 + 𝑏2) ∙ (𝑎 + 𝑏) ∙(𝑎 − 𝑏)

Então, comparando (I) e (II), obtemos: ℎcombinado = ℎconv + 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ (𝑇𝑠 + 𝑇𝑐𝑖𝑟) ∙ (𝑇𝑠2 + 𝑇𝑐𝑖𝑟

2 ) Note que o coeficiente de transferência de calor combinado é essencialmente um coeficiente de transferência de calor por convecção modificado para incluir os efeitos da radiação. Em geral, a radiação é significativa em relação à condução ou à convecção natural, mas insignificante em relação à convecção forçada. Assim, em aplicações de convecção forçada, a radiação é geralmente ignorada, sobretudo quando as superfícies têm emissividade baixa e temperatura baixa a moderada. Exercícios 1. A superfície de uma placa de aço polido, de 8 m² de superfície, é mantida a uma temperatura de 150 °C. O ar, bem como o ambiente que a cerca, se encontra a uma temperatura de 25 °C. Considere que a emissividade do aço polido vale 0,07. Calcule a taxa de transferência de calor trocado por radiação, entre a placa e o ar.


2. Considere uma pessoa em pé em uma sala mantida a 22 °C durante todo o tempo. As superfícies interiores de paredes, pavimento e teto estão em uma temperatura média de 10 °C no inverno e 25 °C no verão. Determine a taxa de transferência de calor por radiação entre essa pessoa e as superfícies ao seu redor, se a área e a temperatura média das superfíces expostas da pessoa são 1,4 m2 e 30 °C, respectivamente. Considere que a emissividade da pessoa vale 0,95. Dado: σ = 5,67·10‒8 W·m‒2·K‒4. 3. Considere uma pessoa em pé em uma sala a 20 °C. Determine a taxa total de transferência de calor dessa pessoa considerando que a superfície exposta e a temperatura da superfície da pessoa são 1,6 m2 e 29 °C, respectivamente. O coeficiente de transferência de calor por convecção é de 6 W/(m2·K) e a emissividade da pessoa é 0,95. Dado: σ = 5,67·10‒8 W·m‒2·K‒4. 4. Uma fina placa metálica é isolada na parte traseira e exposta à radiação solar na superfície frontal. A superfície exposta da placa tem absortividade de 0,6 para radiação solar. Considerando que a radiação solar incide sobre a placa a uma taxa de 700 W/m2 e a temperatura do ar nas vizinhanças é de 25 °C, determine a temperatura da superfície da placa quando a perda de calor por convecção e radiação iguala-se à energia solar absorvida pela placa. Assuma o coeficiente combinado de transferência de calor por convecção e radiação de 50 W/(m2·K). 5. Uma tubulação de vapor d’água sem isolamento térmico atravessa uma sala na qual o ar e as paredes se encontram a 25 °C. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, a temperatura de sua superfície é de 200 °C e esta superfície tem emissividade 0,8. a) Quais são os valores do fluxo de calor emitido por radiação pela superfície do tubo e a recebida das paredes da sala? b) Sendo o coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural da superfície para o ar de 15 W/(m2·K), qual é a taxa de calor perdida pela superfície por unidade de comprimento do tubo? 6. Um tubo longo, de 10 cm de diâmetro, que conduz vapor d'água, fica exposto em uma casa de máquinas, onde a temperatura ambiente é 25 °C. A temperatura da parede externa do tubo é medida em 120 °C. Calcule a taxa de transferência de calor total do tubo para o ambiente. O comprimento total de tubo que percorre a casa de máquinas é de 6 m. A emissividade do tubo é 0,7, e o coeficiente de transferência de calor por convecção para essa situação é de 8,5 W/(m²·K).


Respostas e Soluções dos Exercícios Aula 2 1. a) [Área] = L2 b) [Volume] = L3 c) [Velocidade] = LT‒1 d) [Aceleração] = LT‒2 e) [Vazão (em volume)] = L3T‒1 f) [Vazão (em massa)] = MT‒1 g) [Força] = MLT‒2 h) [Massa específica] = ML‒3 i) [Peso específico] = ML‒2T‒2 j) [Pressão] = ML‒1T‒2 k) [Energia] = ML2T‒2 l) [Potência] = ML2T‒3

2. a) [p/ρ] = 22

3

21

TLML

TML

b) [p·V·ρ] = ML‒1T‒2 · LT‒1 · ML‒3 = M2L‒3T‒3

c) [p/(ρ·V2)] = nal)(adimensioTLMTML

TML

)(LTML

TML 000

21

21

213

21

3. A equação é homogênea se a equação dimensional do 1º membro for igual à equação dimensional do 2º membro. O primeiro membro da equação, Q, tem dimensão:

[Q] = L3T‒1

O segundo membro, hgA 20,61 , tem dimensão:

13122122 TLLTLLLTLhgA/

Portanto, a equação é homogênea.

4. a) 3cm2,3250

21,5 VVV

m

b) g24,42,32

10,5 mm

V

m

5. Dois cilindros são aparentemente iguais, com 10 cm2 de área na base e 5,0 cm de altura. Entretanto, enquanto um deles é de ouro maciço (ρ = 19,3 g/cm3), o outro tem o interior vazio, tendo apenas as paredes de ouro, correspondendo a 10% de seu volume total. a) Compare percentualmente as massas dos dois cilindros. b) Calcule a densidade do segundo cilindro. a) O volume de ambos os cilindros é de 50 cm3.

Para o cilindro maciço, temos: g96550

19,3 maciço

maciçom

m

V

m .


Para o cilindro oco, o volume de ouro é de 5 cm3, correspondendo a 10% de seu volume

total. Então: g96,55

19,3 ocooco m

m

V

m .

Logo, a massa do cilindro oco é 10% da massa do cilindro maciço.

b) Para o cilindro oco: 3

ocooco g/cm1,9350

96,5

V

m

6. a) Para o líquido A, temos: g600400

1,50 AA m

m

V

m .

E, para o líquido B: g240300

0,80 BB m

m

V

m .

Então, para a mistura: 3

mm g/cm1,20300400

240600

V

m.

b) Se a densidade média da mistura é de 1,00 g/cm3, então:

mL1000400

0,804001,501,00

B

B

B

BA

BBAAmistura V

V

V

VV

VV

Aula 3 1. No pino atuam quatro forças: seu peso P (vertical, para baixo), a força F0 exercida pela pressão atmosférica (vertical para baixo), a força F exercida pelos gases no interior da panela (vertical, para cima), e a reação normal do apoio N (vertical, para cima), conforme mostra a figura ao lado. Para o equilíbrio do pino, estas forças devem se anular, isto é:

F + N = P + F0. Entretanto, como o peso P do pino e F0 são constantes, à medida que a pressão p no interior da panela aumenta, a força F também aumenta e, consequentemente, a reação normal do apoio N deve diminuir.

Quando a pressão no interior da panela atingir o valor máximo, F atinge seu valor máximo, a força N anula-se e o pino fica na iminência de se movimentar e liberar vapor. Então, lembrando que p = F/A, teremos: F = P + F0 pmáx.· A = m · g + p0 · A pmáx.= m · g/A + p0 Com os valores fornecidos, teremos: pmáx.= = (48 · 10-3 · 10)/[3 · (2 · 10-3)2] + 105 pmáx.= 0,4 · 105 + 105 pmáx. = 1,4 · 105 N/m2 = 1,4 atm 2. Apliquemos a relação de Stevin aos pontos A e B, no mesmo líquido e na mesma horizontal, conforme a figura abaixo:

Teremos: pA= pB patm + ρóleo·g·hóleo + ρágua·g·hágua = patm + ρágua·g·h’água

Com os valores fornecidos, vem: 0,8·200 + 1,0·120 = 1,0· h’água h’água = 280 mm


3. Vamos aplicar a relação de Stevin aos pontos A e B, destacados na figura ao lado pressão atmosférica local é patm = 700 mmHg, determine a pressão do gás em:

a) pA = pB pGás = patm + pcoluna de Hg

pGás = 700 + (200 ‒ 40) pGás = 860 mmHg

b) pGás = ρHg·g·hHg pGás = 13,6·103·9,8·0,860

pGás = 1,146·105 Pa

4. Ao atingir a borda do ramo esquerdo (limite máximo), o óleo provocará um rebaixamento do nível da água no ramo esquerdo e um aumento no ramo direito conforme a figura ao lado. Da relação de Stevin, aplicada aos pontos A e B,

vem: pA = pB patm + ρóleo·g·hóleo = patm + ρágua·g·hágua

8,0·102· (12 + x) = 1,0·103·2·x x = 8 cm Portanto, a coluna de óleo terá altura de 20 cm. 5. Da relação de Stevin, aplicada aos pontos A e B, vem: pA = pB patm + ρlíquido·g·hlíquido = patm + ρágua·g·hágua ρlíquido·(2·L + d) = ρágua·2·L

dL

L

2

2

água

líquido

6. Vamos considerar o ponto A localizado na interface de separação óleo-mercúrio no ramo da esquerda do tubo em U e o ponto B, no mesmo nível e no ramo da direita do tubo em U. A pressão no ponto A é dada pela soma da pressão do ar comprimido e a pressão hidrostática da coluna de óleo: pA = par + ρóleo · g · H A pressão no ponto B é dada pela soma da pressão atmosférica e a pressão hidrostática da coluna de mercúrio: pB = patm + ρHg · g · h

Então: pA = pB par + ρóleo · g · H = patm + ρHg · g · h Com os valores fornecidos, obtemos: par + 0,9 · 103 · 9,81 ·(0,914 + 0,152) = 1,013 · 105 + 13,6 · 103 · 9,81 · 0,229 par + 9,41 · 103 = 1,013 · 105 + 30,55 · 103 par ≈ 1,22 · 105 N/m2 7. a) Apesar de o fluido no tubo estar escoando, o que está contido no manômetro está em repouso. Portanto, as variações de pressão nos tubos do manômetro são hidrostáticas. Teremos, então:

pA = p1 + 1·h1 (I) p1 = p2 = p3 (II)

p3 = p4 + 2·h2 (III) p4 = p5 (IV)

pB = p5 + 1·(h1 + h2) (V)

Com (IV) em (V), vem: pB = p4 + 1·(h1 + h2)

Com (III): pB = p3 ‒ 2·h2 + 1·(h1 + h2)


Com (II) e (I): pB = pA ‒ 1·h1 ‒ 2·h2 + 1·(h1 + h2)

Portanto: pA ‒ pB = 1·h1 + 2·h2 ‒ 1·(h1 + h2) pA ‒ pB = (2 ‒ 1)·h2 b) Com os valres fornecidos, teremos:

pA ‒ pB = (15,6 ‒ 9,80)·103·0,5 pA ‒ pB = 2,90·103 Pa

8. Seja o peso específico da água. O prisma de pressões está representado na figura abaixo. a) A força resultante exercida pela água na barragem tem módulo igual ao “volume” do prisma de pressões:

22

WDFW

DDF

2

O momento deta forã em relação ao ponto O é:

632

WDM

DWDMdFM OOO

32

b) A linha de ação dessa força está situada perpendicularmente ao plano de simetria da barragem e a uma altura D/3 em relação à base (ver figura anterior). 9. Como a pressão indicada pelo manômetro é relativa, não devemos considerar a pressão atmosférica que atua na face externa da janela. A pressão num dado ponto da placa é composta por uma parcel devida à pressão do ar comprimido na superfície do óleo, ps = 50 kPa, e outra devida à presença do óleo, pressão

esta que varia linearmente com a profundidade, sendo óleo·h1,

na borda superior, e óleo·h2, na borda inferior. A figura ao lado mostra o prisma de pressões que atua na janela de inspeção.

O peso específico do óleo é: óleo = 0,9·103·9,81 óleo = 8,83·103 kN/m3.

Na borda superior: p1 = 50·103 + 8,83·103·2 p1 = 67,66·103 Pa

Na borda inferior: p1 = 50·103 + 8,83·103·2,6 p1 = 72,96·103 Pa A força resultante é, numericamente, igual ao volume do prisma de pressões:

kN25,3N311250,60,62

1067,66)(72,96 3

FFF

10. A pressão a uma profundidade h é, de acordo com a relação de Stevin, dada por:

p = ρ·g·h = ·h. A figura abaixo mostra os prismas de pressões que atuam na parede vertical, OA, e na parede horizontal, AB, da comporta, com 3 m de largura, e as correspondentes forças atuantes nas paredes.


O módulo da força de pressão é numericamente igual ao volume do prisma de pressões. Observe que, na parede vertical dividimos o prisma em duas partes: um de seção retangular e outro de seção triangular. Para garantir o equilíbrio da comporta, devemos impor que o momento resultante das forças, em relação a qualquer ponto, é nulo. A figura ao lado mostra as forças que atuam na comporta OAB. Impondo o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto O, temos:

0OM

04142043

22402360 P

kN445 P

Aula 4 1. O princípio de Pascal estabelece que quando um líquido incompressível está confinado num recipiente, todo acréscimo de pressão sobre o líquido é igualmente transmitido a todas as outras partes do líquido e também para as paredes do recipiente que o contém.

Dessa forma: 2

2

1

1

A

F

A

F

2

2

2 A

F

A15

1200

F2 = 80 kgf

2. Seja F1 a força aplicada ao pedal do freio e F2 a força aplicada à pastilha de freio. De acordo com o princípio de Pascal: F1/A1 = F2/A2, em que A1 e A2 são as áreas dos respectivos pistões. Como o diâmetro do segundo pistão é duas vezes maior que o do primeiro, sua área será

quatro vezes maior, pois A = · d2/4. Então: 4

1

F

F

A4

F

A

F

2

1

1

2

1

1

3. Para o equilíbrio da alavanca AB, teremos, ao impor o equilíbrio de rotação em torno do ponto A: F · AB = F2 · AC F2 = F · (AB/AC) Para a prensa hidráulica, pelo princípio de Pascal: F2/S2 = F1/S1 Então: F · (AB/AC)/ S2 = F1/S1 F = F1 · (S2/S1) · (AC/AB)

4. a) Pelo princípio de Pascal: a

AfF

A

F

a

f .

b) Considerando g = 10 m/s2, a força exercida sobre o êmbolo maior será: F = 2,0·104 N.

Então: Nff

A

F

a

f128

25

102,0

2 2

4

2

Essa força corresponde ao peso de uma massa de 12,8 kg.

5. a) Pelo princípio de Pascal: 2

2

1

1

A

F

A

F

4006

F

400

100 2

F2 = 600 N

b) A variação de pressão é dada por: Pa2500m10400

N10024

pp

Aula 5 1. a) O empuxo é dado por: E = ρ·V·g.


Então: E = 1,25·80,0·10 E = 1000 N b) O balão tende a subir, pois o empuxo é maior que seu peso. Como o fio mantém o balão em equilíbrio, a força tensora T, no fio, é tal que: P + T = E.

Então: 600 + T = 1000 T = 400 N 2. O empuxo exercido pela água equilibra o peso do cilindro. Então: P = E. Assim: mcilindro·g = ρágua·Vdeslocado·g.

Com os valores fornecidos, teremos: mcilindro = 1·103·2 mcilindro = 2·103 kg = 2,0 t 3. O aumento no valor do empuxo, ao aumentar o calado de 9 m para 9,2 m, deverá ser, em módulo, igual ao peso da carga adicional. Então:

ΔP = ΔE ΔP = ρ·ΔV·g ΔP = ·ΔV ΔP = 10·103·3000·0,2 ΔP = 6·106 N Considerando g = 10 m/s2, a massa correspondente será de 6·105 kg, ou seja, 600 t. 4. O aumento no valor do empuxo exercido pelo óleo sobre o corpo equilibra o peso adicional do bloco de chumbo. Para o corpo: V1 = 0,2·75 cm3 = 15 cm3 e V2 = 0,5·75 cm3 = 37,5 cm3.

Então: P = ΔE m·g = ρ·ΔV·g m = (37,5 ‒ 15)·0,80 m = 18 g

5. Com a cavidade vazia: Pcorpo = E Pcorpo = ρL·a2·(a ‒ x)·g (I)

Com a cavidade cheia de líquido: Pcorpo + PL = ρL·a3·g (II)

Mas: PL = ρL·b2·c·g (III)

Com (I) e (III) em (II), vem:

ρL·a2·(a ‒ x)·g + ρL·b

2·c·g = ρL·a3·g

2

23

a

cbaax

6. a) Para a esfera B, temos: 3cm200

1200,60 B

B

VVV

m .

Então, o empuxo sobre ela será: EB = 1,0·103·200·10‒6·10 EB = 2 N b) Para que a esfera B se mantenha em equilíbrio, devemos ter: T + PB = EB.

Então: T + 0,120·10 = 2 T = 0,8 N Observação: para a esfera A, teríamos: mA = 100 g; PA = 1 N e EA = 0,2 N.

E, para esta esfera ficar em equilíbrio: EA + T = PA T = 0,8 N 7. Usando a definição de densidade de um corpo: temos: m1 = 0,25·V1 e m2 = 8·V2. Para o corpo ficar em equilíbrio quando totalmente imerso, o empuxo exercido pela água deverá equilibrar seu peso. Isto equivale a dizer que a densidade do corpo deverá ser igual à densidade da água.

Então: 3

287

4

380,25

80,251

2

1212121

21

21

V

VVVVVVV

VV

VV

8. Sejam x a altura imersa do cilindro de madeira e S a área da base comum dos cilindros. Para o equilíbrio, devemos ter: Pmadeira + Plastro = E.

Então: 0,8·(x + 2)·S·g + 8,6·1·S·g = 1·(1 + x)·S·g

0,8·(x + 2) + 8,6·1 = 1· (1 + x) x = 46 cm. Portanto, a altura do cilindro de madeira é de 48 cm. Aula 6


1. Escoamento laminar: caracterizado pelo movimento do fluido em lâminas ou camadas, não havendo mistura macroscópica de camadas de fluido adjacentes. As diferentes secções do fluido se deslocam em planos paralelos e o vetor velocidade é aproximadamente constante em cada ponto do fluido Escoamento turbulento: caracterizado pelo movimento tridimensional aleatório das partículas do fluido sobreposto ao movimento da corrente. A velocidade apresenta componentes transversais ao movimento geral do conjunto e as partículas do fluido descrevem trajetórias que variam de instante a instante. 2. Na experiência de Reynolds, um fluido colorido é liberado no interior de um tubo por onde escoa outro fluido. Dependendo das características do fluido e do escoamento pode se observar três situações: no regime laminar, o filete colorido permanece íntegro e retilíneo; no regime de transição, o filete colorido começa a oscilar e a se espalhar; no regime turbulento, o filete colorido se desfaz totalmente 3. A linha de corrente é, por definição, a curva cuja direção em cada ponto é tangente ao vetor velocidade do fluido e correspondem diretamente à trajetória da partícula do fluido. O conjunto de todas as linhas de corrente que passam por uma pequena curva fechada é definido como um tubo de corrente. 4. Para que o escoamento seja laminar, o número de Reynolds deverá ser menor que

2000. Então Re ≤ 2000 m/s0,0802000101,01

0,02542000

6

VVdV

Portanto, a velocidade máxima do fluxo de água deverá ser de 0,08 m/s, ou seja, 8 cm/s. 5. São dados: μ = 0,38 N·s/m2; ρ = 0,9·1·103 kg/m3, d = 0,025 m e V = 2,6 m/s.

Então: 1540,38

0,0252,6100,9 3

ReRedV

Re

Como Re = 194 ≤ 2000, o escoamento ocorre em regime laminar.

6. Temos: d = 25 mm = 0,025 m; V = 0,3 m/s; = 1,0·10‒6 m2/s.

Então: 7500101

0,0250,36

ReRe

dVRe

Como Re > 2400, então o escoamento ocorre em regime turbulento. 7. Temos: d = 30 cm = 0,30 m; μ = 2·10‒3 Pa·s e ρ = 800 kg/m3. Para que o escoamento seja laminar, o número de Reynolds deve ser tal que: Re ≤ 2000.

Então: m/s0,0172000102

0,308002000

3

V

VdVRe

Portanto, a velocidade máxima do escoamento deverá ser de 0,017 m/s, ou seja, 17 cm/s. Aula 7 e Aula 8

1. Seja A1 = ·r 2, em que r = 1,0 cm, a área da secção transversal da aorta e v1 a velocidade do fluxo sanguíneo através dela. Para os capilares, seja A2 a área de secção transversal total e v2 a velocidade do fluxo sanguíneo através de cada capilar. Pela

equação da continuidade devemos ter: 2211 vAvA

Então: 2

2 2.00030,01,0 v mm/s0,5cm/s0,05 2v


2. Pela equação da continuidade:

tr

Vv

t

Vvr

t

xAvrvAvA

211

2221

2

2211

A resposta encontra-se na alternativa c.

3. Pela equação da continuidade: t

Vvr

t

xAvrvAvA

1

2221

2

2211

Então: min18s10800,61,2

0,50,042

2

t

t

4. a) A vazão Q da mangueira é de 20 L/min, o que corresponde a 20·10‒3 m3/min.

Então: Q = A·v m/s1,060,0160

1020 23

vv

b) Se a área de saída é reduzida, então a velocidade do fluxo aumenta, mas a vazão

permanece a mesma. Então: Q = A·v m/s170,002560

1020 23

vv

5. a) A vazão volumétrica é dada por: Q = A·v.

Então: Q = 200·1,0 Q = 200 m3/s

b) Na região estreita: Q = A·v 200 = 40,0·v2 v2 = 5,0 m/s 6. Uma mangueira de jardim tem diâmetro interno de 1,8 cm e está ligada a um irrigador que consiste apenas de um recipiente com 24 orifícios, cada um com diâmetro de 0,12 cm. Se a velocidade da água na mangueira é de 0,90 m/s, qual sua velocidade ao sair dos orifícios?

Pela equação da continuidade: 2vAvA 211

Então: m/s8,40,006240,900,009 22 22 vv

7. A vazão do rio é igual à soma das vazões dos riachos. Então: Ario·vrio = AA·vA + AB·vB.

Com os valores dados, teremos: 5,0·hrio·2,5 = 2,0·0,50·4,0 + 3,0·1,0·2,0 hrio = 0,80 m 8. Podemos aplicar a equação da continuidade a esse problema se admitirmos que o ambiente seja parte da tubulação através da qual o ar irá fluir.

Pela equação da continuidade: t

VvA

t

xAvAvAvA

2

112

211211 2 .

Usando os valores numéricos fornecidos no enunciado, obtemos:

6015

3003,01A 2

1 m0,11A

Se a tubulação tiver uma secção transversal circular, então A = ·r 2, e encontramos que o raio da tubulação a ser usada deve ser de, aproximadamente, 0,19 m ou 19 cm.

9. Semelhante ao anterior. Temos:

6010

4,55100,15 1

2 v v1 = 5,3 m/s

Aula 9


1. A velocidade de escoamento no andar superior pode ser obtida com a equação da

continuidade: 2vAvA 211

Teremos: ·22·0,50 = ·1,32·v2 v2 = 1,18 m/s A pressão na água, no pavimento superior, é obtida com o teorema de Bernoulli. Tomando como nível de referência (h = 0) o pavimento inferior, teremos:

2

22

21 hgρvρ

phgρvρ

p22

21

1

21 hhgvv

pp

2

22

21

12

5010101,02

1,180,50101,0103,0 3

2235

2p

atm2,5N/m102,49 25

2 p

2. A velocidade média na seção 2 é obtida com a equação da continuidade.

Teremos, então: 2vAvA 211 ·7,52·3 = ·52·v2 v2 = 6,75 m/s

Como fluido = 10.000 N/m3, e g = 10 m/s2, então ρfluido = 103 kg/m3. Além disso, como o trecho é horizontal, as pressões hidrostáticas (ρ·g·h) são iguais nas duas seções.

Pelo teorema de Bernoulli:

2

22

21 hgρvρ

phgρvρ

p22

21

1

Então, com os dados fornecidos:

2

6,7510

2

31050000

23

2

23

p p2 = 31.720 N/m2

3. a) Seja o ponto 1 do líquido um ponto de sua superfície livre e o ponto 2, um ponto do líquido junto à abertura lateral do recipiente. Se considerarmos que o recipiente é bastante largo, então a velocidade da água na superfície livre do líquido (ponto 1) é praticamente nula (v1 = 0). Adotaremos o nível de referência passando pelo orifício de saída o que torna h2 = 0 e h1 = h. Note ainda que, devido ao fato de os pontos 1 e 2 do líquido estarem em contato com o ar atmosférico, devemos ter p1 = p2 = patm. Para a determinação da velocidade v da água na saída do orifício (ponto 2), devemos aplicar o teorema de Bernoulli. Então, temos:

2

22

21

21

1 hgv

phgv

p

22

2atmatm

2vphgp

hgv 2

b) O alcance horizontal x do jato pode ser facilmente calculado a partir da teoria do lançamento horizontal. Observe que, na direção vertical, a água cai com aceleração igual à aceleração gravitacional g. Para cair de uma altura (H – h) levará um tempo t dado por:

g

hHttghHtgtvy

2

2

1(MUV)

2

1 22

0

Na direção horizontal, a velocidade da água é constante, pois a aceleração é nula. Então, no intervalo de tempo Δt = t, com velocidade v, o jato percorre uma distância Δx = x dada por:

g

hH

xhg

t

xv

22)MU( hHhx 2

4. Como o tubo está disposto na horizontal, h1 = h2. Com a equação de Bernoulli obtemos:

25

2

23

2

235 N/m101,7

2

810

2

210102

22

pp

vp

vp

22

2

21

1

A resposta corresponde à alternativa C.


5. a) Considerando h1 = h2 e com a equação de Bernoulli, obtemos:

22

N/m2582

201,29

222

2121

22

21

22

2

21

1 ppppv

ppv

pv

p

b) A pressão no interior do galpão é maior que a pressão externa e, portanto, a força resultante é dirigida para cima. Sua intensidade é dada por:

F = Δp·A F = 258·400 F = 103,2 kN 6. Um tanque, com área de secção transversal S = 0,07 m2, contém água (ρ = 103 kg/m3). Um êmbolo, com massa total m = 10 kg, repousa sobre a superfície da água. Um orifício circular, com diâmetro 1,5 cm é aberto na parede lateral do reservatório a uma profundidade de 60 cm abaixo da superfície da água. Qual é a vazão inicial de água, em litros/s, através do orifício?

Vamos considerar o nível de referência horizontal passando pelo orifício (ponto 1)e que, no instante inicial, a velocidade do êmbolo é desprezível. A aplicação da equação de Bernoulli ao ponto 1 e ao ponto 2, ponto do fluido em contato com o êmbolo, fornece:

m/s3,850,6010100,07

1010

2

10

2 1

32

1

321

atm

vv

hgρA

gmp

vρp atm 2

Com a equação da vazão Q, obtemos:

Q = v·A Q = ·0,00752·3,5 Q = 6,8·10‒4 m3/s = 0,68 L/s 7. A figura abaixo representa um grande reservatório de água de uma represa, com uma canalização nele acoplada, cujas áreas das secções são 900 cm2 em 1 e 600 cm2 em 2.

Admita que a água possa ser considerada um fluido ideal e que escoe em regime permanente. Sabendo-se que a aceleração da gravidade vale 10 m/s2 e que a pressão atmosférica é igual a 105 N/m2, pede-se: a) a velocidade, em m/s, com que a água flui no ponto 2; b) a vazão, em m3/s, da água; c) a pressão, em N/m2, no ponto 1. a) Consideremos o nível de referência passando pelo ponto 2. Vamos aplicar a equação de Bernoulli ao ponto 2 e a um ponto na superfície do reservatório:

2

22

21

21

1 hgv

phgv

p

22

2sup

22v

hg

m/s252

v1031,251010 2

2

2

33

v

b) Aplicando a equação da vazão Q ao ponto 2, temos:

Q = v·A Q = 25·600·10‒4 Q = 1,5 m3/s


c) A velocidade do escoamento na seção 1 pode ser obtida com a equação da

continuidade: A1·v1 = A2·v2 900·v1 = 600·25 v1 = 16,7 m/s Com o NHR no ponto 1, vamos aplicar a equação de Bernoulli ao ponto 1 e a um ponto na superfície:

2sup

22

2

vphgpatm

2523

35 N/m101,1062

16,710151010101

11 pp

Aula 10 1. Em 5 minutos, um carro tanque descarrega 5.000 litros de gasolina, através de um mangote cuja seção transversal tem área igual a 0,00267 m2 (ver figura ao lado).

Pergunta-se: a) Qual a vazão volumétrica média desse escoamento, em litros/segundo? b) Considerando os dados indicados na figura e g = 9,8 m/s2, qual a vazão volumétrica, em litros/segundo, no início do processo de descarga do combustível, quando o nível de líquido no tanque está no ponto A? c) O valor obtido no item b deve ser maior, menor ou igual ao do item a?

a) A vazão volumétrica média é dada por: L/s16,7s300

L5000

QQ

t

VQ

b) A equação de Bernoulli aplicada aos pontos A e C e com o NHR em C, temos:

CC

CAA

A hgv

phgv

p

22

22

Mas pA = pC = patm; vA = 0 e hC = 0. Então: m/s72

2,59,8 2

2

c vv

Com a equação da vazão: Q = 0,00267·7 Q = 0,0187 m3/s = 18,7 L/s c) O valor obtido no item b é maior que o obtido no item a, pois no início do processo de descarga (nível da gasolina no ponto A) a velocidade na saída do mangote é 7 m/s e, ao final do processo (com o nível da gasolina no ponto B), a velocidade na saída diminui para

5,4 m/s (vC = m/s5,4m/s1,59,82 ). Dessa forma, a vazão média assume um valor

intermediário entre o da vazão inicial e o da vazão final. 2. a) Pela equação da vazão:

Q = A·v Q = ·0,0152·4,0 Q = 2,83·10‒3 m3/s = 2,83 L/s b) Seja um ponto 1 na entrada da mangueira e 2 um ponto na saída desta. Com o NHR na entrada da mangueira, h1 = 0, e sendo v1 = 0, com a equação de Bernoulli obtemos:

2

22

21

21

1 hgv

phgv

p

22

2

22

21 hgv

pp

2

24323

N/m105,8510102

410

2121 pppp

c) A potência Pot da bomba é dada pela relação entre o trabalho por ela realizado e o

correspondente intervalo de tempo: t

vhgV

t

mvhgmPot

)/2()2/( 22

Como Qt

V

, ficamos com: )/2( 2vhgQPot .


Então: Pot = 103·2,83·10‒3·(10·5 + 42/2) Pot = 164 W = 0,22 hp 3. a) A velocidade do ar na região 2 é maior que na região 1. A equação da continuidade, aplicada à região superior da asa, estabelece que:

1221 vB

AvBvAv

Então, como A > B, podemos concluir que v2 > v1. b) O teorema de Bernoulli estabelece que a soma da pressão estática (p) com a pressão

dinâmica

2

2

1v deve ser constante. Então, como no ponto 2 a pressão dinâmica é maior

(devido à maior velocidade do fluxo de ar), concluímos que a pressão estática será menor, isto é: p2 < p1. c) Na região inferior da asa a pressão estática é maior. Assim, a força de pressão do ar é maior na região inferior da asa quando comparada à força de pressão que atua na região superior. A resultante dessas forças de pressão, a sustentação, é uma força dirigida para cima. 4. a) Seja o ponto 1 acima da asa e o ponto 2 abaixo dela. A equação de Bernoulli

fornece: 2

501,29

2

701,29

22

22

212

22

21

21

1 pphgv

phgv

p

Portanto: p2 ‒ p1 = 1548 N/m2 b) A força de sustentação é devida à diferença de pressão já calculada.

Então: Fsust = (p2 ‒ p1)·A Fsust = 1548 · 5 Fsust = 7740 N (dirigida para cima) c) A força resultante é dada pela diferença entre a força de sustentação e o peso P.

Então: FR = 7740 ‒ 200·10 FR = 5740 N (dirigida para cima) 5. A área do tubo é quatro vezes maior que a área do estreitamento. Então, pela equação

da continuidade, temos: 4·A·v1 = A·v2 v2 = 4·v1 Pela equação de Bernoulli, temos:

2

)4(101101,00,35

2

101101,00,85

22

35

35

2

1

2

122

2

21

1

vvvp

vp

v1 = 2,58 m/s

Portanto: Q = A·v Q = ·0,052·2,58 Q = 0,020 m3/s = 20 L/s

6. Com a equação deduzida, temos:

221aA

hgav m

2.

Então:

m/s2,90)10(10)10(20101

0,101000013600021010

24243

4

11 vv

Portanto: Q = A·v Q = 20·10‒4·2,90 Q = 5,8·10‒3 m3/s = 5,8 L/s

7. Para o tubo de Pitot:

hgv m

2.

Então: km/h548m/s152,31,29

0,11101013,62 3

vv

Aula 11


1. a) Como conhecemos a vazão volumétrica e os diâmetros das seções, podemos obter as velocidades do fluido nas respectivas seções.

Como: Q= A·v m/s8,324

0,1750,200

2

11 vv , para a seção (1).

E, para a seção (2): m/s1,024

0,5000,200

2

22 vv .

Temos então:

A carga (energia por unidade de peso do fluido) é dada por: g2

2

vpzH

Para a seção (1): m17,2120

8,32

108

101,10

2

3

5

11 HH .

E, para a seção (1): m13,6320

1,02

108

100,754,2

2

3

5

22 HH .

b) Como não existe uma máquina hidráulica no trecho entre (1) e (2), o sentido do fluxo é da maior para a menor carga (diminuição da energia por unidade de peso do fluido). Assim, o fluxo ocorre da seção (1) para a seção (2). c) A perda de carga hf no trecho é dada por:

hf = H1 ‒ H2 hf = 17,21 ‒ 13,63 hf = 3,58 m 2. a) A partir da equação da vazão, Q = A·v, temos:

m/s2,834

0,060,008

2

11 vv e m/s1,814

0,0750,008

2

22 vv

b) Aplicando-se a equação da carga total, g2

2

vpzH

,obtemos:

m0,16102

1,81

8000

72000

102

2,83

8000

40000

22

ff hh

Aula 12 / Aula 13 1. a) T = 200 ‒ 200·x, com x em m e T em °C); b140 °C; c) 50 cal/s; d) 375 g. 2. a) T = 36 ‒ 80·x, com x em m e T em °C; b) 57,6 W/m2; c) 28 °C. 3. 125 °C 4. 8.000 W

5. 0,10 W/(m⋅K) 6. 3 cm) 7. 0,75 mm) 8. 0,2 g/s) 9. 90 kg)


10. 40 °C 11. a) 2.833 W/m2; b) 1.700 W. 12. 7.020 W 13. 2 HP 14. 24,3 cm 15. 54 mm 16. 247,8 °C ou 252,2 °C. 17. 4.312 W; R$ 11,80. 18. 375 mm 19. a) 0,04 W/K; b) 750 W. 20. a) aproximadamente 5,9 cm; b) 800 °C. 21. a) 76,1 W/m2; b) 27,67 °C e 21,33 °C. 22. a) 12,7 kcal(h·m2); b) 25,2 °C. 23. a) 24 cm; b) 1272 °C. 24. 528 W/m2 25. 133,9 kW/m 26. 1,26 mm 27. a) 882 kcal/h; b) 249,9 °C. 28. 680 W; 595,8 °C. 29. a) 1380 W/m; b) 252 °C; c) 8 cm. 30. 296,7 W; 326,9 °C; 238,5 °C. 31. a) 585,5 kcal/h; b) ‒178,98 °C. 32. a) 687,40 kcal/h; b 42,2 mm = 1⅔" 33. 0,0052 kcal/(h·m·°C)] Aula 14 e Aula 15 1. 34,9 W/m2·K


2. 138 °C 3. 215 °C 4. 37,5 kW 5. 2,16 kW 6. 1 h 7. 10.608 kcal/h 8. a) 1480,6 kcal/(h·m2); b) 1675 °C; 145 °C 9. a) 86,76 W/m2; b) 11,12 W/(m2·K) e 34,72 W/(m2·K)] 10. 9.682 kcal/h 11. 45,3 cm 12. a) 62.640,4 kcal/h; b) 12,73 cm; c) 91,95% 13. a) 50 mm; b) 37,6 °C 14. a) Sim, ficará. b) 5,607·10‒3 k/W 15. 296 kcal/h 16. a) 48.900 kcal/h; b) 174 °C; 173,9 °C; 32 °C 17. a) 13,06 W; b) 7 L/dia Aula 16 1. 765,6 W 2. 152 W, no inverno, e 40,9 W, no verão. 3. 168 W 4. 33,4 °C 5. a) 2.270 W/m2; 447 W/m2; b) 998 W/m 6. Resp: 2716,6 W

Documents

Apostila Fenômenos de Transportes 2015-2