Upload
wylliam-salviano-gongora
View
131
Download
64
Embed Size (px)
Citation preview
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
GERAÇÃO, TRANSMISSÃO E DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA
AUTORES
Prof. LUIZ FERNANDO BOVOLATO Profa. MARIÂNGELA DE CARVALHO BOVOLATO
MARÇO / 2009
2a
PARTE
PREFÁCIO
Este material didático foi preparado pelo Professor Luiz Fernando Bovolato e pela Professora Mariângela de Carvalho Bovolato tendo como base, principalmente, o livro de Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977 e o livro de Stevenson Jr., William D., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, São Paulo, Editora McGraw – Hill do Brasil, Ltda, 1974, 1ª Edição em língua portuguesa, com o objetivo de suprir a pequena quantidade de exemplares destes livros, existentes na biblioteca e, por estarem esgotadas todas as edições da primeira referência e a 1ª edição da segunda referência bibliográfica citadas. Estes livros, principalmente o primeiro citado, tratam o conteúdo da disciplina Transmissão de Energia Elétrica em sua totalidade e com a profundidade adequada. Os autores deste material didático desconhecem a existência de referência bibliográfica tão completa neste assunto. Com isto desejamos registrar nosso reconhecimento e homenagem à memória do Professor Rubens Dario Fuchs. A segunda referência bibliográfica é um clássico e também aborda com qualidade diversos tópicos necessários ao desenvolvimento da referida disciplina.
Pelos motivos expostos estes livros formam a base do curso ministrado e deste material.
Finalizando desejamos registrar nossos sinceros agradecimentos aos alunos Matheus Bernado Menossi, Rodrigo Mazo Rocha, Rafael Borges Rodrigues e as alunas Talita Tozetto Esteves e Vanessa Rodrigues Puggina, pela colaboração na digitação deste material. Pelo desprendimento, construção de uma vida acadêmica séria e participativa e ainda pelo trabalho em grupo, não temos dúvidas de que serão excelentes profissionais. A todos, o nosso muito obrigado.
Os autores
9.
Indutâncias e reatâncias indutivas
9.1.
Introdução
A expressão linha de transmissão se aplica em todos os elementos de circuitos, que se destinam ao transporte de energia, independente da quantidade transportada.
Nosso enfoque será dado apenas às linhas clássicas, considerando apenas aquelas formadas por ligações físicas entre uma fonte geradora de energia e um elemento consumidor dessa energia. Essa ligação física é feita através de condutores, os quais são mantidos sob diferença de potencial e através dos quais circula corrente elétrica.
Centro de Produção
ou Geração de Energia
Elétrica
Centro de Consumo
ou Distribuição de Energia Elétrica
Linha de Transmissão
Fig. 9.01 – Representação clássica de uma linha de transmissão O transporte de energia elétrica é diretamente influenciado pelos parâmetros
elétricos das linhas. Assim, é necessário o desenvolvimento de equacionamento por meio do qual seja possível a determinação dos valores destes parâmetros, para as mais diferentes configurações das linhas. Neste desenvolvimento serão consideradas as linhas aéreas alimentadas por tensões e correntes que variam senoidalmente no tempo. O equacionamento envolve a determinação de indutâncias, resistências, capacitâncias e condutâncias.
Este transporte pode ocorrer em diferentes níveis de tensão, em geral, influenciado pela quantidade de energia a ser transportada.
9.2.
Conceitos básicos
Serão empregados alguns conceitos básicos, já abordados na disciplina eletromagnetismo, cuja revisão torna-se necessária dada à importância que desempenham desenvolvimento do equacionamento citado.
As soluções matemáticas de fenômenos físicos exigem, em geral, simplificações e idealizações. Assim, a obtenção de uma expressão matemática, a partir de princípios fundamentais deve, além da fórmula, fornecer todas as informações referentes às restrições, aproximações e limitações que são impostas.
9.2.1. Noção de enlace de fluxo ou fluxo concatenado Considere um condutor metálico percorrido pela corrente i[A]. Esta corrente dá
origem a um fluxo magnético φ[Wb], cujas linhas de fluxo enlaçam ou se concatenam com o condutor ou com a corrente que lhes deu origem, conforme figura 9.02. O enlace de fluxo magnético ocorre tanto interna quanto externamente ao condutor.
Fig. 9.02. – (a) Fluxo concatenado com o condutor, (b) Enlaces de fluxos interno e
externo. 9.2.2. Noção de indutância 9.2.2.1. Indutância própria ou auto-indutância(L) Considere o condutor de um circuito conduzindo a corrente i e seja φ o fluxo
gerado por esta corrente que enlaça o circuito, conforme mostra a figura 9.03.
Fig. 9.03. – Enlace de fluxo magnético com o condutor do circuito. Sendo considerada constante a permeabilidade magnética(µ) do meio onde o fluxo
se estabelece, pode-se afirmar que o fluxo varia linearmente com a corrente, conforme mostrado na figura 9.04.
Fig. 9.04. – Variação linear do fluxo magnético com a corrente. Nestas condições pode-se definir indutância própria como sendo fluxo
concatenado por unidade de corrente, isto é:
iL ϕ= [H] (9.01)
9.2.2.2. Indutância mútua(M) Considere o circuito (1) percorrido pela corrente i1 e o circuito (2) conduzindo a
corrente i2. Seja φ12 o fluxo concatenado com o circuito (2) e gerado pela corrente i1 e φ21 o fluxo concatenado com o circuito (1) e criado pela corrente i2
, conforme ilustrado pela figura 9.05.
i
φ
i φ
(a)
r ϕi i
ϕ i
(b)
ϕe
Fig. 9.05. – Enlace de fluxo magnético entre dois circuitos. Define-se indutância mútua como sendo a relação do fluxo concatenado por um
circuito pela corrente que circula no outro, ou seja, pela corrente que deu origem a este fluxo, isto é:
2
21
1
12
iiM ϕ
=ϕ
= [H] (9.02)
9.2.2.3. Reatância indutiva( Xl
)
Considere a indutância L, mostrada na figura 9.06, percorrida por uma corrente •I .
Fig. 9.06. – Queda de tensão entre os terminais da indutância L.
A queda de tensão •
∆V entre os terminais da indutância é dada por:
••=∆ IXjV l [V] (9.03)
Sendo Xl
a reatância indutiva, calculável por:
Lf2Xl π= [Ω] (9.04) Onde: f = freqüência [Hz] 9.2.2.4. Lei circuital de Ampère
“Estabelece que a integral de linha da intensidade de campo magnético(→H ) em
qualquer percurso fechado é igual à corrente(i) enlaçada pelo percurso”.
idlH =⋅∫→→
(9.05)
Dados os vetores →→BeA , conforme mostrado na figura 9.07, o produto escalar
entre eles é dado pela expressão (9.06).
L
(1) (2) ϕ21 ϕ12
M
i1 i2
Fig. 9.07. – Produto escalar entre dois vetores. Com base nos elementos da figura 9.07 o produto escalar é dado pela expressão a
seguir.
ABcosBABA θ=⋅→→
(9.06)
Caso os vetores →→BeA tenham a mesma direção, isto é, sejam paralelos entre si, o
que equivale adotar θAB = 0o
, a equação 9.06 reduz-se a:
BABA =⋅→→
9.3. Indutância de um condutor Considere um condutor cilíndrico, maciço, retilíneo, de comprimento infinito,
homogêneo e perfeitamente isolado ( nenhuma influência externa altera o campo magnético estabelecido pela corrente que circula no próprio condutor ), tal que as linhas de fluxo que enlaçam o mesmo possam ser consideradas concêntricas ao eixo deste condutor.
O campo magnético gerado pela corrente que circula no condutor da origem às linhas de fluxo magnético que se concatenam tanto interna quanto externamente ao mesmo. O enlace de fluxo magnético total será a soma das parcelas de fluxo que enlaçam o condutor interna ( iϕ ) e externamente ( eϕ ), isto é:
ei ϕ+ϕ=ϕ (9.07)
9.3.1. Indutância devido ao enlace de fluxo interno ao condutor Seja r[m] o raio do condutor descrito no item anterior e i[A] a corrente que
percorre o mesmo, conforme mostra a figura 9.08.
Fig. 9.08. – Secção transversal do condutor de raio r percorrido pela corrente i.
x dx
dα
r ϕi
i
θAB
Aplicado a Lei circuital de Ampère na situação representada pela figura 9.08 e
observando que a direção do vetor intensidade de campo magnético (→H ) e a direção do
deslocamento elementar (→dl ) são coincidentes, tem-se:
idlH ′∫ = (9.08)
Sendo i’ a corrente que atravessa a área limitada pela distância radial x, conforme
mostrado na figura 9.08. Da figura 9.08 pode-se extrair que o deslocamento elementar dl pode ser obtido
por: α= dxdl , com α variando no intervalo [0, 2π]. Levando estas considerações na expressão 9.06, resulta:
idxH2
0′=α∫
π
Logo, devido à simetria, H é constante para todos os pontos eqüidistantes do eixo
do condutor, tem-se:
i2xH ′=π (9.09) Considerando que a corrente se distribui uniformemente pela secção transversal do
condutor, isto é, a densidade de corrente é uniforme, com base na figura 9.08, pode-se escrever:
22 ri
xi
π=
π
′
Logo
irxi 2
2=′ (9.10)
Substituindo a expressão 9.08 na igualdade 9.07, obtém-se:
ir2
xH 2π= [A/m] (9.11)
Do eletromagnetismo sabe-se que a densidade de campo magnético(B) é
calculável por:
HB µ= [Wb / m2
] (9.12)
Sendo μ [H/m] a permeabilidade magnética do meio, obtida por: or µµ=µ , onde μr é a permeabilidade relativa do meio e μo
Substituindo a equação (9.09) na expressão (9.10), resulta; é a permeabilidade magnética do vácuo.
ir2xB 2π
µ= (9.13)
A energia armazenada pelo campo magnético no interior de um condutor de raio r
e percorrido pela corrente i pode ser determinada pela expressão dada a seguir.
i21dvB
21E i
r
0
2 ϕ=∫µ
= [W s] (9.14)
Sendo φi
o enlace de fluxo magnético internamente ao condutor e dv o volume de um elemento tubular cilíndrico infinitesimal, de espessura dx, interno ao condutor e cujo eixo coincide com o eixo do mesmo, dado por:
dxx2dv π= (9.15)
Onde ℓ é o comprimento do condutor e x a distância da parede interna do elemento tubular, na direção radial, a partir do eixo do condutor.
Substituindo–se as expressões 9.12 e 9.13 na equação 9.14, resulta:
πµ
=ϕ8
ii
(9.16)
Tomando o fluxo interno para um condutor de comprimento unitário, a expressão
9.14. pode ser reescrita como segue.
πµ
=ϕ8
ii (9.17)
9.3.2. Indutância devido ao enlace de fluxo externo ao condutor Seja r[m] o raio do condutor descrito no item 9.3. Isto é, maciço, retilíneo, de
comprimento infinito, homogêneo e perfeitamente isolado ( nenhuma influência externa altera o campo magnético estabelecido pela corrente i[A] que circula no condutor), tal que as linhas de fluxo que enlaçam o mesmo possam ser consideradas concêntricas ao eixo deste condutor, conforme figura 9.09.
Fig. 9.09. – Secção transversal do condutor de raio r percorrido pela corrente i.
dϕe
d1
P1
P2
d d2
dS dx x
r
i
P
Sejam P1 e P2 dois pontos externos ao condutor, distantes d1 e d2 respectivamente do mesmo. Considere o enlace de fluxo externo ( φe
Aplicado a Lei circuital de Ampère na situação representada pela figura 9.09 e
observando que a direção do vetor intensidade de campo magnético (
) ao condutor compreendido pelas linhas de fluxo que passam por estes dois pontos.
→H ) e a direção do
deslocamento elementar (→dl ) são coincidentes, tem-se:
x2iHπ
= [A/m] (9.18)
Do eletromagnetismo sabe-se que a densidade de campo magnético( B ) é
calculável por:
HB µ= (9.19) Logo
x2iBπµ
= (9.20)
Ainda do eletromagnetismo, sabe-se que o fluxo magnético elementar através de
uma superfície elementar de área dS é dado por:
dSBd =φ (9.21) Com base na figura 9.09, pode-se escrever que a área elementar é dada por:
dxdS = (9.22) Sendo ℓ o comprimento do condutor. Logo.
dxx2id e πµ
=ϕ (9.23)
O enlace externo de fluxo magnético compreendido pelas linhas que passam pelos
pontos P1 e P2
é dado por:
∫π
µ=∫ ϕ=ϕ
2d
1d
2d
1dee x
dx2
id
Logo
1
2e d
dln2
iπ
µ=ϕ
(9.24)
Considerando o fluxo magnético externo para um condutor de comprimento
unitário, tem-se:
1
2e d
dln
2iπ
µ=ϕ (9.25)
Deslocando o ponto P1 para a superfície do condutor e o ponto P2
para uma distância d, além da qual o fluxo pode ser desprezado, resulta:
rdln
2i
e πµ
=ϕ (9.26)
O enlace total de fluxo é obtido substituindo-se na expressão (9.07) as equações
(9.17) e (9.26), resultando.
rdln
2i
8i
πµ
+πµ
=ϕ (9.27)
Colocando π
µ2
i em evidência, tem-se:
4/14/1
erdln
2i
)rdlneln(
2i
)rdln
41(
2i
−πµ
=+π
µ=+
πµ
=ϕ
Fazendo-se r7788,0err 4/1' == − , resulta:
'rdln
2iπ
µ=ϕ (9.28)
Considerando os valores de permeabilidade magnética relativa, mostrados na
tabela (10.1), pode-se assumir que: μr
≈ 1,0.
Tabela 10.1 – Valores típicos de permeabilidade magnética relativa.
Material μr prata 0,9999800 cobre 0,9999910 vácuo 1,0000000
ar 1,0000004 alumínio 1,0000200
Sendo a permeabilidade magnética do vácuo igual a: μo = 4π10-4
[H/km], a equação (9.28.), fica reduzida a:
'4
rdlni10x2 −=ϕ [Wb / km] (9.29)
A grandeza r’ pode ser interpretada como sendo o raio de um condutor fictício, sem enlace de fluxo interno, e que tem a mesma indutância do condutor de raio r.
9.4. Enlace de fluxo magnético entre dois condutores sendo que o retorno de
corrente ocorre por um deles Considere dois condutores maciços, de raios ra e rb, conduzindo respectivamente
as correntes ia e ib
. Seja P um forme ponto imerso no campo magnético gerado pelas correntes que circulam pelos condutores, conforme mostrado na figura 9.10.
Figura 9.10. – Fluxo concatenado entre dois condutores conduzindo correntes. Assumindo que ia + ib = 0, que ra, rb <<< daP, dbP e ainda que ra, rb <<<dab
. Com base nas expressões (9.25) e (9.29), pode-se escrever que o enlace de fluxo com o condutor a, devido a todas às correntes presentes é dado por:
bab
bP4a'
a
aP4a i
dd
ln10x2ir
dln10x2 −− +=ϕ (9.30)
Desmembrando e reagrupando a expressão (9.30), tem-se:
]id1lni
dd
lnir1[ln10x2
]idlnid1lnidlni
r1[ln10x2
bab
abP
aPa'
a
4a
abPbab
aaPa'a
4a
++=ϕ
−++=ϕ
−
−
Deslocando-se o ponto P para o infinito, a relação daP/dbP tende para a unidade e
ln 1 tende para zero, ou seja: P → ∞ daP/dbP Assim, a expressão do fluxo concatenado com o condutor a toma a seguinte
forma.
→ 1 ln 1 → 0
]id1lni
r1ln[10x2 b
aba'
a
4a +=ϕ − (9.31)
Procedendo da mesma forma para o condutor b e adotando notação matricial,
tem-se:
ra,ia rb,ib
daP dbP
P
a
dab
b
=
ϕϕ
−−
−−
b
a
'b
4
ba
4
ab
4'a
4
b
aii
r1ln10x2
d1ln10x2
d1ln10x2
r1ln10x2
(9.32)
Como a distância dab é igual à distância dba
Lembrando da definição de indutância, pode-se afirmar que os elementos da matriz da expressão (9.32) têm dimensão de indutância, são denominados coeficientes de campo magnético e considerando dois condutores genéricos i e j podem ser escritos de forma genérica, como segue.
a matriz da expressão (9.32) é simétrica.
1. Na diagonal principal – coeficiente de campo magnético próprio
]km/H[r1ln10x2 'i
4ii
−= (9.33)
2. Fora da diagonal principal – coeficiente de campo magnético mútuo
]km/H[d1ln10x2ij
4ij
−= (9.34)
9.5. Enlace de fluxo magnético entre dois condutores com retorno de corrente
pelo solo Considere dois condutores maciços, de raios ra e rb, conduzindo respectivamente
as correntes ia e ib
Seja P um ponto imerso no campo magnético gerado pelas correntes que circulam pelos condutores e condutores imagens, conforme mostrado na figura 9.11.
e suspensos acima do nível do solo, conforme mostrado na figura (9.11). Considere ainda o solo ideal ( condutor perfeito ). Como o retorno da corrente pelo solo não é possível de ser estabelecido, admite-se que este retorno se de pelos condutores imagens, também mostrados na figura a seguir.
Figura 9.11. – Fluxo concatenado entre dois condutores com retorno pelo solo.
b
P
dbP daP
dab
a
a’
b’
rb,ib
rb,-ib
ra,ia
ra,-ia
ha
ha
hb
hb
da’P db’P
Dab
Assumindo que, ra, rb <<< daP, dbP e ainda que ra, rb <<<dab
. Com base nas expressões (9.25) e (9.29), pode-se escrever que o enlace de fluxo com o condutor a, devido a todas às correntes presentes é dado por:
bab
P'b4a
a
P'a4b
ab
bP4a'
a
aP4a i
Dd
ln10x2ih2
dln10x2i
dd
ln10x2ir
dln10x2 −−−− −−+=ϕ
(9.35) Desmembrando e reagrupando a expressão (9.35), tem-se:
]idD
lnidd
lnirh2
[ln10x2
]idlnidD
lnidlnirh2
[ln10x2
bab
aba
bP
aPa'
a
a4a
abPbab
abaaPa'
a
a4a
++=ϕ
−++=ϕ
−
−
Deslocando-se o ponto P para o infinito, a relação daP/dbP tende para a unidade e
ln 1 tende para zero, ou seja: P → ∞ daP/dbP Assim, a expressão do fluxo concatenado com o condutor a toma a seguinte
forma.
→ 1 ln 1 → 0
]idD
lnirh2
ln[10x2 bab
aba'
a
a4a +=ϕ − (9.36)
Procedendo da mesma forma para o condutor b e adotando notação matricial,
tem-se:
=
ϕϕ
−−
−−
b
a
'b
b4
ba
ba4
ab
ab4'a
a4
b
aii
rh2
ln10x2dD
ln10x2
dD
ln10x2rh2
ln10x2 (9.37)
Como são iguais as distâncias dab = dba e
Lembrando da definição de indutância, pode-se afirmar que os elementos da matriz da expressão (9.37) têm dimensão de indutância, são denominados coeficientes de campo magnético e, considerando dois condutores genéricos i e j podem ser escritos de forma genérica, como segue.
Dab = Dba, a matriz da expressão (9.37) é simétrica.
1. Na diagonal principal – coeficiente de campo magnético próprio
]km/H[rh2ln10x2 'i
i4ii
−= (9.38)
2. Fora da diagonal principal – coeficiente de campo magnético mútuo
]km/H[dD
ln10x2ij
ij4ij
−= (9.39)
Demonstra-se que grandeza Dij,
distância entre um condutor genérico i e a imagem de um condutor genérico j, de uma configuração qualquer, é determinável pela expressão mostrada a seguir.
ji2ijij hh4dD += (9.40)
9.6. Cabos condutores em linhas de transmissão Nos desenvolvimentos anteriores os condutores foram considerados maciços.
Entretanto, os condutores das linhas de transmissão não são maciços, mas sim encordoados devido a fatores mecânicos e elétricos.
Os cabos condutores podem ser formados por diversos fios ou filamentos de cobre, alumínio ou ainda alumínio com alma de aço, agrupados em coroas superpostas.
Assim, adaptações devem ser feitas nas expressões desenvolvidas anteriormente. Para tanto é necessário o conceito de raio médio geométrico. Este conceito será ampliado quando for considerado o emprego de condutores múltiplos.
Quando for abordado o desenvolvimento de linhas trifásicas ficará explícita a utilização de um recurso denominado transposição. Daí surge a necessidade do conceito de distância média geométrica.
Assim, estes conceitos serão apresentados considerando situações que ocorrem freqüentemente.
9.6.1. Raio médio geométrico 9.6.1. Raio médio geométrico de uma área Considere uma área qualquer representada na figura (9.12.), segmentada em um
número n de áreas elementares.
Figura 9.12. – Área dividida em n áreas elementares. Define-se raio médio geométrico desta área como sendo: “ o limite para o qual
tende a média geométrica das distâncias de cada área elementar a si mesma e a todas as demais quando o número de áreas elementares tende para o infinito. “
Usando notação matemática, tem-se:
2nnn2n1nn22221n11211n d...ddx...xd...ddxd...ddlimrmg ∞→= (9.41)
2
1
n
d12
dn2
d1n
No caso das áreas elementares terem seção circular de raio r, as distâncias de cada área elementar a ela mesma serão todas iguais a: r’ = 0,7788 r.
Considerando os condutores encordoados, formados com diferentes números de
fios de secção circular e sendo r o raio externo deste condutor, seus rmg podem ser colocados em função de r, conforme mostrado na tabela 10.2.
Tabela 10.2. – Raio médio geométrico de condutores encordoados em função de
seus raios externos.
Cabo de raio externo r / formação Raio médio geométrico Cabo com 7 fios homogêneos rmg = 0,726 r Cabo com 19 fios homogêneos rmg = 0,758 r Cabo com 37 fios homogêneos rmg = 0,768 r Cabo com 61 fios homogêneos rmg = 0,772 r Cabo com 91 fios homogêneos rmg = 0,774 r Cabo com 127 fios homogêneos rmg = 0,776 r Cabo maciço rmg = 0,7788 r
O raio médio geométrico de uma coroa circular, onde ri é o raio interno e re
o raio externo da coroa de material condutor, é calculável por:
( )( ) ( )2
i2e
2e
2i
i
e22
i2e
4i
e rr4rr3
rr
lnrr
rrlnrmgln−−
+−
−=
9.7. Distância média geométrica 9.7.1. Distância média geométrica de um ponto a um grupo de pontos Por definição é a média geométrica das distâncias do ponto considerado aos
pontos do grupo. Considerando o grupo de pontos dispostos sobre uma circunferência, conforme a figura 9.13., a dmg do ponto P aos pontos A, B, C e D será dada pela expressão 9.42.
Figura 9.13. – Distâncias do ponto externo aos pontos sobre a circunferência.
4dcba dddddmg = (9.42.)
A da
db B
d O r
dc C
D
dd
P
Aumentando-se indefinidamente o número de pontos sobre a circunferência, a dmg dada pela equação (9.42.) converge para a dmg do ponto externo à circunferência, cujo valor é igual à distância do ponto ao centro da circunferência, ou seja:
dmg = d
Ainda com base na definição anterior e na figura (9.13.) pode-se afirmar que a
dmg de qualquer ponto sobre a circunferência a todos os demais, também sobre a mesma, será igual ao raio, ou seja:
dmg = r 9.7.2. Distância média geométrica de um ponto a uma área Trata-se de um conceito importante uma vez que é grandemente empregado nos
equacionamentos de linhas de transmissão. Considere uma área dividida em n áreas elementares e seja P um ponto externo a
esta área conforme a figura (9.14.).
Figura 9.14. – Distâncias do ponto externo às áreas elementares da área
considerada. Define-se dmg do ponto à área considerada ao limite para o qual tende a dmg do
ponto às áreas elementares que é igual à média geométrica das distâncias do ponto às áreas elementares, quando o número destas áreas elementares tende para infinito.
Empregando notação matemática, a definição acima pode ser colocada sob a seguinte forma.
n
n21n d...ddlimdmg ∞→= (9.43.) Sendo a área circular, a dmg dada pela equação (9.43.) será igual à distância do
ponto ao centro da área, isto é:
dmg = d 9.7.3. Distância média geométrica entre duas áreas Considere duas áreas quaisquer dividas em áreas elementares. Seja m o número
de áreas elementares de uma das áreas e n o número de áreas elementares da outra área, conforme a figura (9.15.).
1
2
n
dn
d2
d1
P
Figura 9.15. – Distâncias entre as áreas elementares de duas áreas quaisquer. Define-se a distância média geométrica entre duas áreas como sendo: “ o limite da
raiz mn-ésima, dos mn produtos das distâncias entre as m áreas elementares de uma das áreas e as n áreas elementares da outra, quando m e n tendem para infinito.”
Em notação matemática, tem-se:
mn mn1mn221n111nem d...dx...xd...dxd...dlimdmg ∞→= (9.44.) Com base na definição é possível concluir que a dmg entre duas áreas circulares é
igual à distância entre os seus centros. Demonstra-se também que a dmg entre duas coroas circulares, também é igual à distância entre os seus centros.
9.8. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas Considera-se, no desenvolvimento a seguir, que os sistemas de energia elétrica
são em geral trifásicos e ainda alimentados, sob condições normais de operação, por tensões simétricas. A determinação de parâmetros elétricos seqüenciais torna-se necessária em decorrência de possível análise de situações desequilibradas.
As indutâncias das fases de uma linha de transmissão trifásica, quando forem, devido à simetria na disposição dos condutores, iguais entre si, não constituem desequilíbrio para a mesma. Entretanto, quando não houver esta simetria as indutâncias das fases serão diferentes entre si provocando desequilíbrio nas correntes das fases, em geral desprezado em conseqüência das assimetrias não serem acentuadas. Quando se deseja reduzi-lo ou mesmo eliminá-lo deve-se empregar um recurso denominado transposição, que consiste em fazer com que cada uma das fases ocupe a posição física das demais por distâncias iguais ao longo do comprimento da linha. Com isto obtém-se uma simetria elétrica média entre os extremos da linha e como conseqüência o equilíbrio eletromagnético independentemente da disposição dos condutores das fases. Desta forma obtém-se a mesma indutância média por fase ao longo do comprimento total da linha.
A não adoção da transposição provoca desequilíbrios que embora possam ser considerados pequenos, provocam deslocamentos no ponto de neutro, que devem ser mantidos em limites reduzidos para que as correntes de seqüência zero resultantes não provoquem atuações indevidas do sistema de proteção.
A figura (9.16.) ilustra um ciclo completo de transposição.
m
2
d2n
d1n
n 1
1
m
dm1
n
d11 d21
dmn
Figura 9.16. – Ilustração esquemática de um ciclo completo de transposição. A finalidade dos cabos pára-raios é proteger as linhas contra descargas
atmosféricas diretamente nos condutores das fases. A presença destes cabos tem sido desprezada no cálculo de indutâncias de seqüência positiva, não o sendo no cálculo das indutâncias de seqüência nula.
Estes cabos podem ser isolados ou múltiaterrados. Quando isolados, empregam-se isoladores de baixa tensão disruptiva que permitem a abertura de arcos nos pontos de aterramento assim que são atingidos por descargas atmosféricas. Formados os arcos estes pára-raios passam a comportar-se como pára-raios aterrados.
9.8.1. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem
cabos pára-raios Considere os condutores das fases a, b e c, percorridos respectivamente pelas
correntes ia, ib e ic
, conforme a figura (9.17.). Considere ainda, por construção, que os condutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg.
Figura 9.17. – Representação esquemática de uma linha de transmissão trifásica a circuito simples e sem cabo pára-raios.
Fundamentado em desenvolvimentos anteriores e na figura (9.17.) é possível
escrever a expressão que relaciona o fluxo concatenado com cada uma das fases com as correntes que circulam pelas mesmas, como segue.
b
b’
Dab
c’
c
a’
a
ha
ha
dab
ℓ
ia
i
ic
ic
ib
ia ic
ib i
ℓ/3 ℓ/
ℓ/3
A
B
C
=
ϕϕϕ
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
iii
(9.45.)
A matriz dos coeficientes de campo magnético da equação (9.45.) é simétrica e
seus elementos próprios e mútuos também podem ser calculados por meio de equações desenvolvidas anteriormente.
Considerando o sistema equilibrado tem-se:
ia + ib + ic
= 0 (9.46.)
Neste caso quando a corrente em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas outras duas fases a corrente passa pela metade do valor máximo negativo. Considerando a fase a, tem-se:
ia = imáx ⇒ ib = ic = - (1/2) imáx
(9.47.)
Levando a condição estabelecida na igualdade (9.47.) na expressão (9.45.) e isolando-se a fase a, resulta:
máxacabaamáxa i])(
21[ +−=ϕ
Fazendo-se: máx
máxa
a iL ϕ
= , resulta:
])(21[L acabaaa +−= (9.48.)
Com procedimento idêntico para as fases b e c, tem-se:
])(21[L bcbabbb +−= (9.49.)
])(21[L cbcaccc +−= (9.50.)
As grandezas La, Lb e Lc
denominam-se indutâncias aparentes. Não possuem significado físico, entretanto são aquelas sentidas pela fonte de alimentação da linha, conforme pode ser constatado na figura (9.18.).
Figura 9.18. – (a) Coeficientes de campo magnético, (b) Indutâncias aparentes
“vistas” pela fonte. Conforme citado anteriormente a matriz dos coeficientes de campo magnético da
equação (9.45.) é simétrica e seus elementos próprios e mútuos podem ser calculados por meio das equações desenvolvidas anteriormente e colocadas em função das condições estabelecidas.
9.8.1a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem
cabos pára-raios, desprezando-se o efeito do solo - linha não transposta Neste caso os coeficientes de campo magnético próprio e mútuo são calculados
pelas expressões (9.33.) e (9.34.), respectivamente. Assim, os elementos da matriz da equação (9.45.) podem ser escritos para a
situação da figura (9.17.), conforme segue: 1. Coeficiente de campo magnético próprio Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e
ainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico rmg, resulta:
rmg1ln10x2 4
ccbbaa−=== (9.51.)
2. Coeficiente de campo magnético mútuo
Considerando as distâncias entre as fases, mostradas na figura (9.17.), diferentes
entre si, os coeficientes também serão diferentes entre si.
cabcab ≠≠
ca
4ca
bc
4bc
ab
4ab d
1ln10x2;d1ln10x2;
d1ln10x2 −−− === (9.52.)
Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.48.), (9.49.) e
(9.50.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ LcNestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a média
aritmética das indutâncias aparentes e, calculável pela equação (9.53.).
L1 = Ls = (La + Lb + Lc
) / 3 (9.53.)
(a)
ia
ib
ic
ℓaa
ℓbb
ℓcc
ℓab
ℓbc
ℓca ia
ic
ib
La
Lb
Lc
(b)
Caso os condutores das fases ocupem os vértices de um triângulo eqüilátero, as distâncias ( dab = dbc = dca ), entre as fases, serão iguais entre si e igualmente os coeficientes de campo magnéticos mútuos, isto é: ℓ ab = ℓbc = ℓca
. Nestas condições as indutâncias aparentes serão iguais entre si e iguais à indutância de seqüência positiva ou serviço, ou seja:
La = Lb = Lc = L1 = Ls = ℓaa - ℓab
(9.54.)
9.8.1b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem cabos pára-raios, considerando-se o efeito do solo ideal - linha não transposta
Neste caso os coeficientes de campo magnético próprio e mútuo são calculados
pelas expressões (9.38.) e (9.39.), respectivamente. Assim, os elementos da matriz da equação (9.45.) podem ser escritos para a
situação da figura (9.17.); 1. Coeficiente de campo magnético próprio
Considerando que, por construção, os condutores das fases sejam encordoados,
que os mesmos sejam idênticos, isto é, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg e ainda que estes condutores encontrem-se suspensos em alturas diferentes (ha ≠ hb ≠ hc
) acima do solo, os coeficientes próprios são calculáveis pela equação (9.38.). Logo.
ccbbaa ≠≠ Sendo:
rmgh2
ln10x2;rmg
h2ln10x2;
rmgh2
ln10x2 c4cc
b4bb
a4aa
−−− === (9.55.)
2. Coeficiente de campo magnético mútuo
Considerando que: 1. as três distâncias entre as fases não são iguais; 2. as três alturas com relação à superfície do solo são diferentes entre si. Com base nas considerações, ocorrerá que as distâncias entre os condutores das
fases e as imagens dos condutores adjacentes, também serão diferentes entre si, conforme mostra a figura (9.19.). Com isto os coeficientes mútuos também não terão valores iguais, podendo ser calculados pela expressão (9.39.), isto é:
cabcab ≠≠
Sendo:
ca
ca4ca
bc
bc4bc
ab
ab4ab d
Dln10x2;
dD
ln10x2;dD
ln10x2 −−− === (9.56.)
Com as distâncias Dab, Dbc e Dca calculáveis por:
ac2cacacb
2bcbcba
2abab hh4dD;hh4dD;hh4dD +=+=+=
Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.48.), (9.49.) e
(9.50.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ LNestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a média
aritmética das indutâncias aparentes, calculável pela equação (9.51.), conforme segue.
c
L1 = Ls = (La + Lb + Lc
) / 3
Com a consideração do efeito da presença do solo não existe disposição dos condutores das fases que satisfaça a condição de igualdade entre os coeficientes próprios e mútuos. A disposição horizontal dos condutores satisfaz a condição de igualdade entre os coeficientes próprios, porém o mesmo não ocorre entre os coeficientes mútuos.
9.8.2. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem
cabos pára-raios - linhas transpostas Considere os condutores das fases a, b e c, percorridos respectivamente pelas
correntes ia, ib e ic
Ao considerar-se um ciclo completo de transposição composto por três trechos de igual comprimento e tomando a fase a para desenvolvimento, a expressão (9.45.) pode ser desmembrada, conforme segue.
Considere ainda, por construção, que os condutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg.
Logo.
1o )iii(31
cacbabaaaT1
a ++=ϕ Trecho: (9.57.)
2o )iii(31
cbabbcabbT2
a ++=ϕ Trecho: (9.58.)
3o )iii(31
ccbbcaaccT3
a ++=ϕ Trecho: (9.59.)
Somando membro a membro as equações (9.57.), (9.58.) e (9.59.), resulta:
i][i][i][31
ccbbaacbcabcabaccbbaaa ++++++++=ϕ
Fazendo-se:
][31
ccbbaaaa ++=−
(9.60.)
e
][31][
31
cbbaaccabcabab ++=++=−
(9.61.)
Resulta:
i][i][i][31
cabbabaaaa
−−−++=ϕ
Sendo que aa− representa o coeficiente médio próprio e ab
− o coeficiente médio
mútuo considerando o ciclo completo de transposição. É importante observar que no caso de linhas transpostas os coeficientes próprios e mútuos, independentemente da disposição dos condutores e das considerações quanto ao efeito da presença ou não do solo, são todos iguais aos respectivos valores médios.
Considerando o sistema equilibrado tem-se:
ia + ib + ic
= 0
Neste caso quando a corrente em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas outras duas fases a corrente passa pela metade do valor máximo negativo. Considerando a fase a, tem-se:
ia = imáx ⇒ ib = ic = - (1/2) i
máx
Logo, tem-se:
máxababaamáxa i])(
21[
−−−+−=ϕ
Fazendo-se: máx
máxa
a iL ϕ
= , resulta:
abaaaL−−
−= (9.62.) Adotando-se procedimento idêntico para as fases b e c encontra-se o mesmo valor
para as indutâncias aparentes destas fases, isto é:
abaacba LLL−−
−=== (9.63.) Assim, verifica-se que no caso de linhas transpostas as fases apresentam a mesma
indutância aparente média por fase e neste caso a indutância de serviço ou de seqüência positiva poderá ser qualquer uma delas, ou seja:
cba1s LLLLL ==== (9.64.)
9.8.2a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem
cabos pára-raios, desprezando-se o efeito do solo - linha transposta Neste caso os coeficientes médios próprios e mútuos são calculados pelas
expressões (9.60.) e (9.61.), nas quais são substituídos os valores de ℓ aa , ℓbb , ℓcc e ℓab , ℓbc , ℓca
, respectivamente, sendo estes últimos definidos pelas expressões (9.51.) e (9.52.), respectivamente.
1. Coeficiente de campo magnético próprio médio Considerando que, por construção, os condutores das fases sejam encordoados,
resulta:
rmg1ln10x2 4
ccbbaa−
−−−=== (9.65.)
2. Coeficiente de campo magnético mútuo médio Independentemente da igualdade ou não das distâncias entre as fases, mostradas
na figura (9.17.), estes coeficientes serão iguais entre si com seu valor dado pela seguinte equação, obtida considerando os valores dos coeficientes ℓ ab , ℓ bc e ℓca,
definidos pelas expressões (9.52.).
3cabcab
4cabcab
ddd1ln10x2 −
−−−===
Fazendo-se: 3
cabcab ddddmg = , resulta.
dmg1ln10x2 4
cabcab−
−−−===
Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pela equação (9.63.) apresentarão
os mesmos valores, isto é: cba LLL == Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será igual a
qualquer das indutâncias aparentes, ou seja: a1s LLL == 9.8.2b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem
cabos pára-raios, considerando-se o efeito do solo ideal - linha transposta
Neste caso os coeficientes de campo magnético médios, próprio e mútuo, são
calculados pelas expressões (9.60.) e (9.61.), respectivamente. Assim, para a situação da figura (9.17.) os coeficientes podem ser calculados
conforme segue. 1. Coeficiente de campo magnético próprio Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e
ainda que estes condutores encontrem-se suspensos em alturas diferentes(ha ≠ hb ≠ hc
) acima do solo, estes coeficientes são calculáveis por meio da equação (9.60.). Logo.
rmghmg2ln10x2 4
ccbbaa−===
Sendo: 3
cba hhhhmg =
2. Coeficiente de campo magnético mútuo Considerando que as alturas das fases e que as distâncias elas são diferentes entre
si, ocorre em conseqüência, que as distâncias entre os condutores das fases e as imagens dos condutores adjacentes, também serão diferentes entre si, conforme pode ser observado por meio da figura (9.17.). Entretanto, com o emprego da transposição estes coeficientes serão iguais entre si e calculáveis por:
dmgDMGln10x2 4
cabcab−===
Sendo: 3
cabcab DDDDMG = e 3cabcab ddddmg =
Com as distâncias Dab, Dbc e Dca
calculáveis por:
ac2cacacb
2bcbcba
2abab hh4dD;hh4dD;hh4dD +=+=+=
Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pela equação (9.63.), terão o
mesmo valor, isto é: cba LLL == . Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será igual a
qualquer das indutâncias aparentes, ou seja: .LLL a1s == 9.8.3. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com
um cabo pára-raios - linhas não transpostas Considere os condutores das fases a, b e c, percorridos respectivamente pelas
correntes ia, ib e ic, conforme a figura (9.19.). Considere ainda, por construção, que os condutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg. O cabo pára-raios é representado por r e seu raio médio geométrico é rmgr
.
Figura 9.19. – Representação esquemática de uma linha de transmissão trifásica a circuito simples e com um cabo pára-raios.
ha
r
Dab
b
b’
c’
c
a’
a
ha
dab
r’
dar
Dar
Fundamentado em desenvolvimentos anteriores e na figura (9.19.) é possível escrever a expressão que relaciona o fluxo concatenado com cada um dos cabos com as correntes que circulam pelos mesmos, como segue.
=
ϕϕϕϕ
r
c
b
a
rrrcrbra
crcccbca
brbcbbba
aracabaa
r
c
b
a
iiii
(9.66.)
A matriz dos coeficientes de campo magnético da equação (9.66.) é simétrica e
seus elementos próprios e mútuos também podem ser calculados por meio de equações desenvolvidas anteriormente, dependendo das condições estabelecidas.
A queda de tensão em um trecho desta linha pode ser calculada pela expressão (9.67.) escrita a seguir.
=
∆∆∆∆
r
c
b
a
rrrcrbra
crcccbca
brbcbbba
aracabaa
r
c
b
a
iiii
jw
VVVV
(9.67.)
Representando a equação (9.67.) na forma compacta, tem-se:
[ ] [ ] [ ]
=
∆
∆
pifi
pppf
fpffjwpVfV
(9.68.)
Desmembrando a expressão (9.68.), resulta:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] pfpffff iijwV +=∆ (9.69.)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] pppfpfp iijwV +=∆ (9.70.) No caso de uma linha sem pára-raios a equação (9.69.) fica reduzida à equação
(9.71.) e a equação (9.70.) deixa de existir.
[ ] [ ] [ ] ffff ijwV =∆ (9.71.) Conforme já citado anteriormente o cabo pára-raios pode ser isolado ou aterrado.
Caso seja isolado não haverá corrente induzida circulando pelo pára-raios, ou seja, [ ip ] = [ 0 ]. Levando essa condição na expressão (9.69.) verifica-se que o cabo pára-raios não provoca nenhum efeito sobre os condutores das fases, isto é, os valores das indutâncias não são alterados pela presença dos mesmos. Entretanto as correntes nas fases induzem uma diferença de potencial no cabo pára-raios, conforme pode ser verificado por meio da equação (9.70.). Caso o pára-raios seja aterrado ocorrerá circulação de correntes pelo mesmo e solo. Essa corrente exerce influência nos
condutores das fases conforme pode ser comprovado pela equação (9.69.). Nesse caso a diferença de potencial sobre o cabo pára-raios será nula, isto é, [ ∆V p
] = [ 0 ]. Levando essa condição na expressão (9.70.), pode-se determinar a corrente no pára-raios conforme equação (9.72.).
[ ] [ ] [ ] [ ]fpppfp ii 1−−= (9.72.) Substituindo-se a equação (9.72.) na equação (9.69.), obtém-se:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]fpf1
ppfpfff ijwV −−=∆ (9.73.) Expandindo a expressão (9.73.), resulta:
−−−
−−−
−−−
=
∆∆∆
c
b
a
rr
2cr
ccrr
crbacb
rr
crraca
rr
brrcbc
rr
2br
bbrr
brraba
rr
arrcac
rr
arrbab
rr
2ar
aa
c
b
a
iii
jwVVV
(9.74.)
Sendo: ℓar = ℓra, ℓbr = ℓrb e ℓcr = ℓrcConsiderando o sistema equilibrado tem-se:
.
ia + ib + ic
= 0
Neste caso quando a corrente em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas outras duas fases a corrente passa pela metade do valor máximo negativo. Considerando a fase a, tem-se:
ia = imáx ⇒ ib = ic = - (1/2) i
máx
Levando a condição estabelecida na igualdade anterior na expressão (9.74.) e isolando-se a fase a, resulta:
máxrr
arrcac
rr
arrbab
rr
2ar
aamáxa i])(
21[
−+
−−
−=ϕ
Fazendo-se: máx
máxa
a iL ϕ
= , resulta:
)(21L
rr
crarac
rr
brarab
rr
2ar
aaa
−+
−−
−=
(9.75.)
Com procedimento idêntico para as fases b e c, tem-se:
)(21L
rr
crbrbc
rr
arbrba
rr
2br
bbb
−+
−−
−=
(9.76.)
)(21L
rr
brcrcb
rr
arcrca
rr
2cr
ccc
−+
−−
−=
(9.77.)
Assim, pelas expressões (9.75.), (9.76.) e (9.77.), pode-se afirmar que o cabo
pára-raios exerce influência sobre as indutâncias aparentes de uma linha, embora esta contribuição seja pequena porque a assimetria entre as fases e o pára-raios não representa grandes diferenças entre os coeficientes de campo magnético próprio e mútuo envolvendo estes cabos.
A equação (9.74.) representa a queda de tensão nas fases de uma linha trifásica sem pára-raios equivalente a uma linha trifásica com um cabo pára-raios.
9.8.3a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com
um cabo pára-raios e desprezando-se o solo - linhas não transpostas Assim, os elementos da matriz da equação (9.66.) podem ser escritos para a
situação da figura (9.19.), conforme segue: 1. Coeficiente de campo magnético próprio Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e
ainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico rmg, e ainda que o cabo pára-raios, também encordoado, tenha raio médio geométrico rmgr
r
4ar
4ccbbaa
rmg1ln10x2
rmg1ln10x2
−
−
=
===
, resulta:
(9.78.)
2. Coeficiente de campo magnético mútuo
Considerando todas as distâncias, mostradas na figura (9.19.), diferentes entre si,
os coeficientes também serão diferentes entre si.
cabcab ≠≠
ca
4ca
bc
4bc
ab
4ab d
1ln10x2;d1ln10x2;
d1ln10x2 −−− === (9.79.)
crbrar ≠≠
cr
4cr
br
4br
ar
4ar d
1ln10x2;d1ln10x2;
d1ln10x2 −−− === (9.80.)
Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.75.), (9.76.) e
(9.77.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ LNestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a média
aritmética das indutâncias aparentes.
c
9.8.3b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com
um cabo pára-raios, considerando-se o solo ideal - linha não transposta Assim, os elementos da matriz da equação (9.66.) podem ser escritos para a
situação da figura (9.19.). 1. Coeficiente de campo magnético próprio
Considerando que, por construção, os condutores das fases e o pára-raios sejam
encordoados e que tenham, respectivamente, os seguintes raios médios geométricos rmg e rmgr, e ainda que estes cabos encontrem-se suspensos em alturas diferentes( ha ≠ hb ≠ hc ) e hr
, acima do solo, os coeficientes próprios são calculáveis por:
ccbbaa ≠≠
r
r4rr
c4cc
b4bb
a4aa
rmgh2ln10x2
rmgh2ln10x2;
rmgh2ln10x2;
rmgh2ln10x2
−
−−−
=
===
(9.81)
2. Coeficiente de campo magnético mútuo
Considerando que: 1. As distâncias entre as fases, assim como as distâncias entre as fases e o pára-
raios, não são iguais entre si; 2. Todas as alturas com relação à superfície do solo são diferentes entre si. Com base nas considerações 1 e 2 acima, ocorrerá que as distâncias entre os
condutores das fases e as imagens dos condutores adjacentes, assim como as distâncias entre os condutores das fases e a imagem do pára-raios, também serão diferentes entre si. Com isto os coeficientes mútuos também não terão valores iguais, podendo ser calculados pelas expressões mostradas a seguir.
cr
cr4cr
br
br4br
ar
ar4ar
crbrar
ca
ca4ca
bc
bc4bc
ab
ab4ab
cabcab
dDln10x2;
dDln10x2;
dDln10x2
dDln10x2;
dDln10x2;
dDln10x2
−−−
−−−
===
≠≠
===
≠≠
(9.82.)
Com as distâncias Dab , Dbc , Dca , Dar , Dbr e Dcr
calculáveis por:
rc2crcrrb
2brbrra
2arar
ac2cacacb
2bcbcba
2abab
hh4dD;hh4dD;hh4dD
hh4dD;hh4dD;hh4dD
+=+=+=
+=+=+=
Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.75.), (9.76.) e (9.77.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ L
Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a média aritmética das indutâncias aparentes, calculável pela equação abaixo, conforme segue.
c
L1 = Ls = (La + Lb + Lc
) / 3
Com a consideração do efeito da presença do solo não existe disposição dos condutores das fases que satisfaça a condição de igualdade entre os coeficientes próprios e mútuos. A disposição horizontal dos condutores satisfaz a condição de igualdade entre os coeficientes próprios, porém o mesmo não ocorre entre os coeficientes mútuos.
9.8.4. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com
um cabo pára-raios - linhas transpostas Ao considerar-se um ciclo completo de transposição composto por três trechos de
igual comprimento e tomando a fase a para desenvolvimento, a expressão (9.66.) pode ser desmembrada, conforme segue.
Logo.
1o )iiii(31
rarcacbabaaaT1
a +++=ϕ Trecho: (9.83.)
2o )iiii(31
rbrcbabbcabbT2
a +++=ϕ Trecho: (9.84.)
3o )iiii(31
rcrccbbcaaccT3
a +++=ϕ Trecho: (9.85.)
Somando membro a membro as equações (9.83.), (9.84.) e (9.85.), resulta:
i][
i][i][i][31
rcrbrar
ccbbaacbcabcabaccbbaaa
+++
+++++++++=ϕ
Fazendo-se:
][31
][31][
31
][31
crbrarar
cbbaaccabcabab
ccbbaaaa
++=
++=++=
++=
−
−
−
(9.86.)
Resulta:
i][i][i][i][31
rarcabbabaaaa
−−−−+++=ϕ
Sendo que aa− representa o coeficiente médio próprio, ab
− o coeficiente médio
mútuo envolvendo as fases e ar− o coeficiente médio mútuo envolvendo as fases e o
pára-raios, considerando o ciclo completo de transposição. É importante observar que no caso de linhas transpostas os coeficientes próprios e mútuos, independentemente da disposição dos condutores e das considerações quanto ao efeito da presença ou não do solo, são todos iguais aos respectivos valores médios. Nesta condição a equação (9.74.) pode ser reescrita como segue.
−−−
−−−
−−−
=
∆∆∆
c
b
a
rr
2ar
aarr
2ar
abrr
2ar
ab
rr
2ar
abrr
2ar
aarr
2ar
ab
rr
2ar
abrr
2ar
abrr
2ar
aa
c
b
a
iii
jwVVV
(9.87.)
Considerando o sistema equilibrado, isto é: ia + ib + ic
abaacbas1 LLLLL−−
−=====
= 0. Logo, tem-se:
(9.88.) Assim, verifica-se que no caso de linhas transpostas as fases apresentam a mesma
indutância aparente média por fase e neste caso a indutância de serviço ou de seqüência positiva poderá ser qualquer uma delas. A equação (9.88.) mostra também que o cabo pára-raios não exerce influência sobre as indutâncias ali definidas.
9.8.4a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com
um cabo pára-raios, desprezando-se o efeito do solo - linha transposta Neste caso os coeficientes médios próprios e mútuos são calculados pelas
expressões definidas a seguir. 1. Coeficiente de campo magnético próprio médio Considerando que, por construção, os condutores das fases e o pára-raios sejam
encordoados, resulta:
r
4rr
4ccbbaa
rmg1ln10x2
rmg1ln10x2
−
−−−−
=
===
2. Coeficiente de campo magnético mútuo médio Independentemente da igualdade ou não das distâncias entre as fases e das fases e
pára-raios, mostradas na figura (9.19.), estes coeficientes serão iguais entre si com seus valores dado pelas seguintes equações.
3crbrar
4crbrar
3cabcab
4cabcab
ddd1ln10x2
ddd1ln10x2
−−−−
−−−−
===
===
Fazendo-se: 3
crbrarr3
cabcab ddddmgeddddmg == , resulta.
r
4crbrar
4cabcab
dmg1ln10x2
dmg1ln10x2
−−−−
−−−−
===
===
Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pela equação (9.88.) apresentarão
os mesmos valores, isto é: cba LLL == . Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será igual a
qualquer das indutâncias aparentes, ou seja: a1s LLL == . 9.8.4b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com
um cabo pára-raios, considerando-se o efeito do solo ideal - linha transposta
Assim, para a situação da figura (9.19.), os coeficientes podem ser calculados
conforme segue. 1. Coeficiente de campo magnético próprio
r
r4rr
4ccbbaa
rmgh2ln10x2
rmghmg2ln10x2
−
−
=
===
Sendo 3
cba hhhhmg = , hr a altura e rmgr
o raio médio geométrico do cabo pára-raios.
2. Coeficiente de campo magnético mútuo Considerando as condições estabelecidas na figura (9.19.) e com o emprego da
transposição estes coeficientes serão iguais entre si e calculáveis por:
r
r4crbrar
4cabcab
dmgDMGln10x2
dmgDMGln10x2
−
−
===
===
Sendo as distâncias médias geométricas dadas pelas expressões apresentadas a
seguir.
3crbrarr
3crbrarr
3cabcab
3cabcab
ddddmg
DDDDMG
ddddmg
DDDDMG
=
=
=
=
Com as distâncias Dab, Dbc, Dca, Dar, Dbr e Dcr
calculáveis por:
rc2crcrrb
2brbrra
2arar
ac2cacacb
2bcbcba
2abab
hh4dD;hh4dD;hh4dD
hh4dD;hh4dD;hh4dD
+=+=+=
+=+=+=
Com isto as indutâncias aparentes, terão o mesmo valor e serão calculáveis por:
abaacba LLL −=== . Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será igual a qualquer uma das indutâncias aparentes, ou seja: a1s LLL == .
Para uma linha trifásica a circuito simples com um cabo pára-raios, mostrada na figura (9.19.), os vetores e as matrizes representadas na equação (9.68.), são da seguinte ordem:
[ ] [ ] [ ]
=
∆
∆
1x1
1x3
1x13x1
1x33x3
1x1
1x3
pifi
pppf
fpffjw
pVfV
Assim, neste caso, é possível desenvolver literalmente a expressão (9.68.). O
produto matricial, mostrado na expressão (9.89.), decorrente do desenvolvimento da expressão acima, resulta em uma matriz de ordem 3x3, cujos elementos podem ser visualizados nas expressões (9.74.) ou (9.87.), onde se encontram sendo subtraídos dos elementos da matriz [ ]
3x3ff .
[ ] [ ] [ ][ ]
3x33x1pf1
1x1pp1x3fp −− (9.89.)
Com isto é possível obter equações para o cálculo das indutâncias aparentes
considerando o cabo pára-raios aterrado, conforme mostrado pelas expressões (9.75.), (9.76.) e (9.77).
Quando a linha é de circuito simples com dois cabos pára-raios o equacionamento e desenvolvimento da situação anterior continua válido, embora a ordem dos vetores e das matrizes na expressão (9.68.), mostradas a seguir, impossibilite que o desenvolvimento possa ser feito literalmente, devido ao tamanho das expressões daí decorrentes.
[ ] [ ] [ ]
=
∆
∆
1x2
1x3
2x23x2
2x33x3
1x2
1x3
pifi
pppf
fpffjw
pVfV
9.8.5. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito duplo e com dois cabos pára-raios - linhas não transpostas
Considere os condutores a, b e c, do circuito I, percorridos respectivamente pelas
correntes ia, ib e ic . Os condutores d, e, e f, do circuito II, percorridos respectivamente pelas correntes id, ie e if , conforme a figura (9.20.). Considere ainda, por construção, que os condutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg. Os cabos pára-raios são representados por r e s e têm o mesmo raio médio geométrico, isto é, rmgr
.
Figura 9.20. – Representação esquemática de uma linha de transmissão trifásica a circuito duplo e com dois cabos pára-raios – algumas distâncias.
Fundamentado em desenvolvimentos anteriores e na figura (9.20.) é possível
escrever a expressão que relaciona o fluxo concatenado com cada um dos cabos presentes na configuração com as correntes que circulam pelos mesmos ou ainda as quedas de tensão nos cabos com as correntes nos mesmos. Neste caso utilizar a queda de tensão é mais conveniente.
=
∆∆∆∆∆∆∆∆
f
e
d
s
r
c
b
a
fffefdfsfrfcfbfa
efeeedeserecebea
dfdedddsdrdcdbda
sfsesdsssrscsbsa
rfrerdrsrrrcrbra
cfcecdcscrcccaca
bfbebdbsbrbcbbba
afaeadasaracabaa
f
e
d
s
r
c
b
a
iiiiiiii
jw
VVVVVVVV
(9.90.)
Adotando notação compacta a equação (9.90.) pode ser reescrita conforme segue.
II I
a s r
r’ s’
b c e f
d
f’
d’
e’ c’ b’
a’
das
dad
daf dae
dab dac
Dab
Dar
Dae
dar
hr
hr ha
ha
[ ][ ][ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ][ ][ ]
=
∆∆∆
1x3II
1x2p
1x3I
3x3II,II2x3p,II3x3I,II
3x2II,p2x2p,p3x2I,p
3x3II,I2x3p,I3x3I,I
1x3II
1x2p
1x3I
iii
jwVVV
(9.91.)
Os dois circuitos podem ser idênticos ou ter características diferentes e ainda,
estar suspensos por uma mesma estrutura ou por estruturas distintas em uma mesma faixa de servidão e operando em paralelismo físico e/ou elétrico.
Considerando os dois circuitos idênticos, a igualdade [ ] [ ]III ii = é verdadeira. Levando esta condição na equação (9.91.) e desmembrando a mesma, resulta:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]iijwV pp,IIII,II,II ++=∆ (9.92.)
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]iijwV pp,pIII,pI,pp ++=∆ (9.93.)
Considerando apenas o circuito I e voltando a expandir as expressões (9.92.) e
(9.93.), tem-se:
+++++++++++++++
=
∆∆∆∆∆
s
r
c
b
a
sssrsfscsesbsdsa
rsrrrfrcrerbrdra
cscrcfcccecbcdca
bsbrbfbcbebbbdba
asarafacaeabadaa
s
r
c
b
a
iiiii
jw
VVVVV
(9.94)
Como já visto o cabo pára-raios pode ser isolado ou aterrado. No caso do pára-
raios ser isolado não há correntes induzidas nos mesmos, isto é, o vetor corrente nos pára-raios tem todos seus elementos nulos ( [ ip ] = [ 0 ] ). Esta condição, levada na expressão (9.94.), mostra mais uma vez que este tipo de pára-raios não exerce influência na queda de tensão nos cabos presentes na configuração. Estando os pára-raios aterrados haverá circulação de corrente nos mesmos e esta condição levada na equação (9.94.) revela sua influência na queda de tensão nos cabos. Considerando que nesta condição o vetor da queda de tensão nos pára-raios tem todos os elementos nulos( [∆Vp] = [ 0 ] ), pode-se reduzir a ordem da matriz da equação (9.94.), incorporando a influência dos pára-raios nos elementos das fases, conforme mostrado na expressão (9.95.), decorrente das expressões (9.92.) e (9.93.). Com isto obtém-se a equação de uma linha trifásica a circuito simples e sem pára-raios equivalente a uma linha trifásica a circuito duplo com dois pára-raios. Com [∆Vp
] = [ 0 ] na expressão (9.93.) obtém-se [ ip ] que substituído na equação (9.92.), resulta:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]III,pI,p1
p,pp,III,II,II ijwV +−+=∆ − (9.95) O resultado do produto matricial ( [ ] [ ] [ ] [ ][ ]II,pI,p
1p,pp,I +− − ) é uma matriz
de ordem 3x3, assim como [ ] [ ][ ]II,II,I + também é uma matriz de ordem 3x3.
Conforme observado em resultados anteriores, o efeito do solo ideal e do pára-raios pode ser desprezado no cálculo das indutâncias de seqüência positiva. Levando esta consideração na expressão (9.94.), a mesma pode ser reduzida para:
+++++++++
=
∆∆∆
c
b
a
cfcccecbcdca
bfbcbebbbdba
afacaeabadaa
c
b
a
iii
jwVVV
(9.96.)
Considerando o sistema equilibrado as indutâncias aparentes serão calculáveis
pelas expressões definidas a seguir.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )][21L
][21L
][21L
cecbcdcacfccc
bfbcbdbabebbb
afacaeabadaaa
+++−+=
+++−+=
+++−+=
(9.97.)
Com procedimento análogo pode-se obter os valores de Ld, Le e Lf . Caso os
circuitos sejam idênticos verifica-se que: La = Ld , Lb = Le e Lc = Lf
1. – Desprezando o efeito do solo, considerado ideal, e o efeito da presença dos pára-raios fazer com que os condutores fase ocupem os vértices de um hexágono;
. As indutâncias aparentes definidas pelas equações (9.97.) são diferentes entre si. Para que venham ser iguais as condições a seguir devem ser preenchidas, isto é:
2. – Empregar transposição. Assim, as indutâncias de serviço ou de seqüência positiva para linhas transposta,
podem ser confundidas com o valor médio das indutâncias aparentes de uma linha não transposta, ou seja:
Ls = ( La + Lb + Lc
)/3 (9.98.)
Levando as equações definidas em (9.97.) na expressão (9.98.), resulta:
Ls = 1/3 ( ℓaa + ℓbb + ℓcc ) + (ℓad + ℓbc + ℓcf ) – 1/2[ 2(ℓab + ℓbc + ℓca
) +
(ℓae + ℓaf + ℓbd + ℓbf + ℓcd + ℓce
)] (9.99.)
Desconsiderando a presença do solo os coeficientes de campo magnético são definidos genericamente por: ℓ ii = 2x10-4 ln ( 1/rmg ) e ℓij = 2x10 -4 ln ( 1/dij
). Escrevendo estes coeficientes para a situação da figura (9.20.) e substituindo-os na equação (9.99.), resulta:
)dddddd
1ln
ddd1ln
ddd1ln
rmg1ln(10x2LL
6cecdbfbdafae
3cabcab
3cfbead
41s
−
+−+== −
(9.100.)
Fazendo-se:
3cabcab ddddmg= - distância média geométrica entre condutores do circuito I;
3
cfbeadI dddD = - distância média geométrica entre os condutores dos circuitos I e II que conduzem corrente de mesma fase;
6cecdbfbdafaeII ddddddD = - distância média geométrica entre os condutores
dos circuitos I e II que conduzem corrente de fases distintas. Logo a equação (9.100.) toma a seguinte forma.
)DDln
rmgdmgln(10x2LL
I
II4s1 +== − (9.101.)
Esta equação difere da sua correspondente para linha de circuito simples pelo
segundo termo do segundo membro, que representa a indutância mútua entre circuitos. Em geral, no caso de linhas a circuito duplo, os dois circuitos são idênticos,
entretanto, pode ocorrer que os circuitos apresentem características diferentes. Por outro lado é freqüente que linhas diferentes encontrem-se operando em paralelo e na mesma faixa de servidão. Nas duas condições descritas as correntes nas fases poderão ser diferentes em módulo e fase.
Para linhas de uma mesma classe de tensão a defasagem entre as correntes é pequena, sendo em geral desprezada.
Quando duas ou mais linhas ocupam a mesma faixa de servidão, ou uma mesma estrutura, mesmo que alimentadas por uma mesma barra, as defasagens entre as correntes podem ser maiores. Nestas condições o valor da indutância mútua é, em geral, muito menor, podendo ser desconsiderada.
Assim, o cálculo das indutâncias para cada um dos circuitos é feito considerando apenas as diferenças físicas.
Logo.
)DDln
rmgdmgln(10x2LL
I
II
I
I4I,sI,1 +== −
)DDln
rmgdmgln(10x2LL
I
II
II
II4II,sII,1 +== −
Nos cálculos de desempenho é de praxe substituir-se uma linha por seu circuito
elétrico equivalente, isto é:
II,1I,1
II,1I,1eq,1 LL
LLL
+=
Quando houver várias linhas em paralelo o procedimento a ser adotado é o
mesmo, isto é, consideram-se todas as indutâncias mútuas entre o circuito sob análise e
os demais. Assim, na equação (9.101.), bastaria ir acrescentando os termos que representam as indutâncias mútuas envolvendo o circuito considerado com os outros circuitos.
9.8.6. Condutores múltiplos em linhas de transmissão - bundle No cálculo da indutância de um condutor múltiplo, considera-se este condutor
substituído por um condutor fictício equivalente. O raio médio geométrico do condutor equivalente deverá ser tal que o fluxo magnético produzido seja igual ao fluxo magnético total a ser produzido pelos subcondutores que formam o condutor múltiplo. Assim tudo se resume na determinação do raio médio geométrico ( RMG ) do condutor equivalente.
Considere um condutor múltiplo formado por n subcondutores iguais e distribuídos sobre um círculo de raio R, conforme a figura (9.21.).
Figura 9.21. – Representação de um condutor múltiplo formado por n
subcondutores iguais e de raio médio geométrico igual a rmg. Demonstra-se que o raio médio geométrico deste condutor múltiplo é dado pela
expressão definida a seguir.
nn1k111 d...d...dRMG =
Onde a variável d11 é o próprio raio médio geométrico de um subcondutor, isto é:
rmg. As grandezas dij
são as distâncias entre os subcondutores que compõe o condutor múltiplo. Logo.
nn1k1 d...d...rmgRMG = (9.102.)
A expressão (9.102.) fornece o raio médio geométrico ( RMG ) de um condutor
múltiplo formado por n subcondutores de raio médio geométrico ( rmg ), podendo ser determinada por meio da definição de raio médio geométrico, desenvolvida no item 9.6.1. O desenvolvimento por meio da definição não leva em conta alguns aspectos físicos que introduzem erros, felizmente suficientemente pequenos para que possam ser desconsiderados.
Os condutores múltiplos empregados em linhas de transmissão são padronizados podendo ser formados por 2, 3, 4 e 6 subcondutores, espaçados entre si por 6, 9, 12, 15 e 18 polegadas.
1
2
d12 d1n
d1k
k
n
R
9.8.7. Correção da altura dos condutores As linhas de transmissão aéreas têm seus condutores suspensos a alturas finitas
acima da superfície do solo. Em condições normais de operação, nas quais as correntes nas linhas podem ser
consideradas equilibradas, o retorno de corrente pelo solo pode ser considerado insignificante e seu efeito sobre os valores das indutâncias pode ser desprezado. Quando ocorrerem faltas assimétricas em sistemas aterrados o retorno da corrente pelo solo influencia no valor das indutâncias. Sendo o solo um condutor não ideal, possui resistência e ainda deve-se atribuir-lhe indutância, seu efeito deve ser considerado nos cálculos, conforme será desenvolvido mais à frente.
Ao serem suspensos os condutores tomam a forma aproximada de catenárias e sua altura com relação à superfície do solo será variável. Nas expressões desenvolvidas emprega-se a altura média dos condutores, calculável pela equação definida a seguir.
h = H – 0,7 f (9.103.)
Onde: h = altura média corrigida, a ser empregada nas expressões desenvolvidas; H = altura de fixação dos condutores na cadeia de isoladores; f = flecha. Esta equação é empregada com a finalidade de promover a correção das alturas
dos condutores com relação à superfície do solo e sua demonstração não é trivial. 9.8.8. Reatância indutiva – emprego de tabelas Conforme já visto, a reatância indutiva é calculável pela seguinte expressão.
xL1 = 2 π f L1,IOnde:
[ Ω / km ] (9.104.)
f = freqüência, [ Hz ]; L1,I
– indutância, [ H / km ].
Assim, levando a expressão mais geral para cálculo da indutância, dada pela equação (9.101.), na expressão (9.104.), tem-se:
)DDln
rmgdmgln(10xf4x
I
II4L I,1
+π= −
A expressão anterior pode ser decomposta em três parcelas conforme segue.
]km
[)DD(ln10xf4)dmg(ln10xf4)
rmg1(ln10xf4x
I
II444L I,1
Ωπ+π+π= −−−
A primeira parcela é denotada por:
)rmg
1(ln10xf4x 4'L
−π=
Denomina-se reatância indutiva para espaçamento unitário e seus valores encontram-se tabelados para condutores singelos e múltiplos em função das características destes condutores e para as freqüências de 50 e 60 Hz. No caso dos condutores singelos as características necessárias são: a bitola e/ou o código e a freqüência. Para os condutores múltiplos necessita-se do código e/ou bitola e ainda do número de subcondutores e espaçamento entre eles. A expressão acima mostra que esta parcela depende da freqüência e do raio médio geométrico do condutor.
A segunda parcela é denotada por:
)dmg(ln10xf4x 4''L
−π=
Esta parcela é denominada fator de espaçamento indutivo e seus valores encontram-se tabelados em função da freqüência e da distância média geométrica – dmg calculada para a linha ou circuito em estudo. Considere que o valor calculado da dmg foi de XY, ZW. Com a parte inteira ( XY, 00 ) do valor da dmg entra-se na escala vertical da tabela calibrada para o intervalo [ 0,00, 20,00 ] e com a parte fracionária ( 0, ZW ) entra-se na escala horizontal cujo intervalo é [ 0,00, 0,90 ]. No cruzamento dos valores definidos nas escalas obtém-se o correspondente valor do fator de espaçamento indutivo. A expressão acima mostra que esta parcela depende da freqüência e da distância média geométrica entre os condutores do circuito.
A terceira parcela é denotada por:
)DD(ln10xf4x
I
II4'''L
−π=
A parcela acima é denominada reatância indutiva mútua entre circuitos e seus
valores encontram-se tabelados em função da freqüência e da relação ( DII/DI) entre as distâncias médias geométricas DII e DI
Caso exista mais do que dois circuitos em paralelo, basta acrescentar as parcelas mútuas entre circuitos correspondentes, conforme expressão a seguir.
calculadas para as distâncias envolvendo os condutores dos dois circuitos. Considere que o valor encontrado para a relação entre as distâncias médias geométricas seja igual a X, YZ. Com a parte até a primeira casa decimal ( X, Y ) do valor da relação entra-se na escala vertical da tabela calibrada para o intervalo [ 0,5, 1,5 ] e com o valor centesimal ( 0, 0Z ) entra-se na escala horizontal cujo intervalo é [ 0,00, 0,09 ]. No cruzamento dos valores definidos nas escalas obtém-se o correspondente valor da reatância indutiva mútua entre circuitos. A expressão acima mostra que esta parcela depende da freqüência e relação entre as distâncias médias geométricas entre os condutores dos circuitos I e II. Verifica-se que esta parcela não existe para linhas de circuito simples.
( ) ( ) ( ) ...xxxxxx 3
'''L2
'''L1
'''L
''L
'LL I,1
+++++=
Onde: ( )1'''
Lx = reatância indutiva mútua entre os circuitos I e II;
( )2'''Lx = reatância indutiva mútua entre os circuitos I e III;
( )3'''Lx = reatância indutiva mútua entre os circuitos I e IV.
10. Resistências e efeito pelicular 10.1. Introdução Constitui-se na principal causa de perda de energia na transmissão. Sabe-se que os condutores apresentam diferentes valores de resistências à
passagem de correntes com diferentes freqüências, sendo esta diferença tanto maior quanto maior for a diferença de freqüências.
Assim, define-se resistência efetiva ou resistência à corrente alternada pela relação definida a seguir.
2ca ]correntedaeficazValor[]condutornodisipadaPotência[r = [Ω/km]
Sendo a potência dissipada no condutor em [KW / km] e a corrente em [A]. Esta
resistência será efetivamente obtida se for medida à mesma freqüência com que as perdas foram determinadas.
Por outro lado a resistência à corrente contínua é definida por meio da expressão mostrada a seguir.
Arcc
ρ= [Ω] (10.01.)
Onde: ρ = resistividade do material do condutor à determinada temperatura, [Ω mm2
ℓ = comprimento do condutor, [m]; /m];
A = área da seção transversal do condutor, [mm2
].
A resistividade de um condutor metálico é afetada pelos seguintes fatores: 1. – Têmpera do material: a resistividade do cobre recozido é menor do que a do
cobre têmpera dura; 2. – Pureza do material: em geral, as impurezas aumentam a resistividade do
material; 3. – Temperatura: a resistividade dos condutores metálicos cresce com o aumento
da temperatura. A tabela apresentada a seguir mostra algumas características de alguns condutores
metálicos mais empregados à temperatura de 20º C. Tabela 10.01. – Características de alguns condutores metálicos.
Material Condutibilidade Resistividade [Ω mm2
T /m] [oC]
Cobre recozido(*) 100% 0,017241 234,5 Cobre têmpera dura 97,3% 0,017720 241,0 Alumínio 61,0% 0,026260 228,0 (*) tomado como padrão
10.2. Efeito da variação da temperatura na resistência A resistividade e em conseqüência a resistência de um condutor metálico variam
com a temperatura conforme indicado na figura a seguir.
Figura 10.01. – Variação da resistência de condutores metálicos com a
temperatura. Sabe-se que a variação é linear dentro dos limites normais de operação a que é
submetido um condutor. Com base na figura (10.01.) e na equação da reta é possível escrever uma
expressão para promover correções nas variações da resistência com a temperatura. A equação da reta que passa por dois pontos (x1, y1) e (x2, y2
) é dada por:
y - y1 = m(x - x1 b = (x
) = m x + b, sendo m = (y2 – y1) / (x2 – x1) e 2y1 – x1y2) / (x2 – x1
)
Representando a temperatura t no eixo y e a resistência r no eixo x, conforme a figura (10.01.) tem-se:
Para x1 = 0 → y1 = -T e para x2 = r2 → y2 = tLogo, levando esta condição na equação da reta acima[ y - y
2.
1 = m(x - x1) ], resulta: t + T = [(t2 + T) / r2
Para x] r.
1 = 0 → y1 = -T e para x2 = r1 → y2 = tLogo, levando esta condição na equação da reta acima[ y - y
1. 1 = m(x - x1) ],
resulta: t + T = [(t1 + T) / r1Igualando-se estas duas expressões resultantes, tem-se:
] r.
[(t2 + T) / r2] r = [(t1 + T) / r1
] r
Logo, resulta:
r2 / r1 = (t2 + T) / (t1
+ T)
Ou ainda
r2 = r1 [(t2 + T) / (t1 + T)] (10.02.)
Onde: r1 = resistência na temperatura t1, r2 = resistência na temperatura t2 T = constante característica do material condutor, conforme tabela (10.01.).
e
A expressão (10.02.) pode ainda ser colocada na seguinte forma:
r2 = r1 [ 1 + αt1(t2 – t1
)]
Sendo αt1 = 1,0 / (t1 + T) [oC]-1
No processo de fabricação os filamentos que compõe o cabo são agrupados em forma de espiral em torno do fio central, resultando em filamentos com comprimento maior que o do próprio cabo. Assim, grosseiramente, estima-se um aumento da resistência, devido ao encordoamento, da ordem de 1% a 2% do valor calculado para um condutor cilíndrico de mesma seção.
o coeficiente de aumento da resistência com a temperatura.
10.3. Contribuição do efeito pelicular na resistência à corrente alternada Em um condutor cilíndrico percorrido longitudinalmente por uma corrente
alternada, a densidade de corrente varia em função da distância radial com relação ao seu eixo longitudinal, sendo máxima junto à superfície. Este fenômeno é conhecido como efeito pelicular (skin effect). Como conseqüência, tem-se um aumento na resistência do condutor à corrente alternada e uma diminuição em sua reatância indutiva interna.
A determinação rigorosa das conseqüências do fenômeno envolve equacionamento com funções de Bessel, segundo expressão apresentada a seguir.
]))mr(ber())mr(bei([)mr(ber)mr(bei)mr(bei)mr(ber
2mr
rr
2'2'
''
cc
ca
+−
= (10.03.)
A dedução desta equação encontra-se desenvolvida na referência: STEVENSON,
W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.
O argumento mr que aparece na equação (10.03.) é definido como segue:
ρµω
=m (10.04.)
Sendo: r0 µµ=µ ;
mH104 7
0−π=µ ;
f2π=ω ;
2cc
ccrr
Ar
π=ρ⇒ρ= .
Tomando ρ por unidade de comprimento, resulta: 2cc rr π=ρ . Levando todas
estas igualdades na expressão (10.04.), resulta:
mi/emrpara1098,635m/emrpara1085,15kcom
rfkmr
cc4
cc4
cc
r
ΩΩ
=
µ=
−
− (10.05.)
Onde: f = freqüência e rcc
= resistência à corrente contínua na temperatura desejada.
Com base na tabela (10.02.) a expressão (10.05.) fica reduzida à equação (10.06.), definida a seguir.
Tabela 10.02. – Valores de permeabilidade magnética relativa de alguns materiais. .
Material Permeabilidade Relativa ( μr )
Prata 0, 9999800 Cobre 0, 9999910 Vácuo 1,0000000 Ar 1,0000004 Alumínio 1,0000200
ccrfkmr = (10.06.)
As funções de Bessel podem ser obtidas por:
Bessel real: ...)!4(
)2/mr()!2()2/mr(1)mr(ber 2
8
2
4−+−=
Bessel imaginária: ...)!5()2/mr(
)!3()2/mr()2/mr()mr(bei 2
10
2
62 −+−=
Os termos )mr(ber' e )mr(bei' são obtidos dividindo-se por m as derivadas em
relação à x de )mx(ber e )mx(bei , fazendo x = r, sendo r o raio externo do condutor. Normalmente os valores de resistência utilizados encontram-se tabelados para
toda a gama de condutores. Entretanto é possível obter estes valores por meio de procedimento bastante prático, como desenvolvido a seguir.
Procedimento: 1. Obtém-se rcc2. Calcula-se mr para a freqüência desejada por meio da expressão
(10.06.);
do condutor maciço desejado e na temperatura desejada;
3. Com o valor de mr calculado entra-se na curva representada na figura (10.02.) obtendo-se o valor da relação rca / rcc. Conhecendo-se rcc, determina-se rca
.
Observações: 1. Nos cálculos de desempenho em linhas de transmissão, a resistência dos
condutores é, em geral, considerada na temperatura de 75o
2. A curva da figura (10.02.) foi obtida por meio da equação (10.03.) para condutores maciços, com r
C como forma de compensar o aumento da temperatura provocado pelo sol e efeito Joule das correntes;
cc em Ω/mi, considerando que o encordoamento tem efeito desprezível na relação rca / rcc , para freqüências até 60Hz.
Figura (10.02.) – Relação rca / rcc para um condutor cilíndrico, com rcc
em Ω/mi. Fig. 4.4, página 76, extraída da referência: STEVENSON, W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.
No caso dos cabos condutores com alma de aço a experiência demonstra que estes cabos comportam-se como condutores tubulares uniformes e como no caso dos condutores homogêneos a sua resistência efetiva pode ser obtida por meio de procedimento idêntico ao do caso anterior, empregando as curvas representadas na figura (10.03.).
Figura (10.03.) – Relação rca / rcc para cabos CAA, com rcc em Ω/mi. Figura 9.2,
página 454, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.
10.4. Contribuição do efeito pelicular na indutância interna de um condutor A indutância interna de um condutor também é alterada em conseqüência deste
fenômeno, e como no caso da resistência pode ser determinada por meio da expressão definida a seguir.
]))mr(ber())mr(bei([)mr(ber)mr(ber)mr(bei)mr(bei
mr4
LL
2'2'
''
i
i
++
= (10.07.)
Sendo ]m/H[8
Li πµ
= a indutância interna de um condutor admitindo
distribuição uniforme de corrente. A relação definida pela expressão (10.07.) aumenta à medida que a freqüência
diminui, tornando-se unitária quando a freqüência cai para zero. À medida que a freqüência aumenta a relação diminui em conseqüência do efeito pelicular que provoca maior concentração de corrente junto à superfície do condutor, provocando a redução do enlace de fluxo magnético interno.
Figura (10.04.) – Relação
i
i
LL para um condutor cilíndrico, com iL calculada pela
expressão acima. Fig. 4.5, página 78, extraída da referência: STEVENSON, W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.
A figura (10.04.) representa os valores extraídos da equação (10.07.) e permite obter, com procedimento similar ao empregado para as resistências, Li
iLtendo-se os
valores de mr e . Nas tabelas o valor da reatância indutiva para espaçamento unitário encontra-se
ajustado para a freqüência especificada. Nas expressões definidas para o cálculo dos coeficientes de campo magnético próprio ou da reatância indutiva para espaçamento unitário a correção é feita por meio do valor do raio médio geométrico que é ajustado para a freqüência que o acompanha. Desta forma o efeito pelicular fica incorporado nos cálculos das indutâncias e/ou reatâncias indutivas.
11. Impedâncias das linhas de transmissão São constituídas por uma componente real ( resistência à corrente alternada ) e
uma componente imaginária ( reatância indutiva na freqüência do sistema ). É representada por:
Lcaca xjrLf2jrz +=π+=•
Caso a linha seja formada por condutores múltiplos e sendo n o número de
subcondutores por condutor múltiplo, a resistência a ser empregada na expressão da impedância será 1/n do valor da resistência de um subcondutor.
Da mesma forma que para as indutâncias, pode-se definir uma matriz de impedâncias, cuja ordem depende do número de circuitos e pára - raios.
11.1. Componentes real e imaginária da impedância de circuitos com retorno
pelo solo As expressões desenvolvidas anteriormente, para o cálculo das reatâncias
indutivas, consideram o sistema equilibrado. Estas reatâncias nos sistemas desequilibrados são as de seqüência positiva e negativa. Para que os sistemas desequilibrados possam ser analisados é necessário obter-se também as reatâncias de seqüência nula ou zero.
As componentes de seqüência nula das correntes, em sistemas trifásicos, são iguais em módulo e fase, fluindo pelos condutores das fases e retornando pelo solo, condutor neutro, pára – raios ou uma combinação destes percursos. Como, em geral, o solo é envolvido, sua resistividade deve ser considerada, bem como a distribuição das correntes no mesmo. Com este objetivo foram desenvolvidos os métodos desenvolvidos a seguir.
11.1.1. Método de Carson – “exato” No desenvolvimento do método os condutores foram considerados paralelos ao
solo e este com resistividade uniforme em todas as direções e tendo extensão infinita. Mostrou que as impedâncias próprias e mútuas de circuitos com retorno pelo solo,
considerado real, são iguais às impedâncias para um circuito envolvendo solo ideal corrigida por um fator definido por: ∆R + j ∆XL
Considere a figura (11.01.) onde estão representados dois condutores suspensos acima do solo e seus retornos através dos respectivos condutores imagens.
.
Figura 11.01. – Condutores com retornos individuais pelo solo.
Com base nos elementos da figura (10.01.), Carson definiu as impedâncias
próprias e mútuas para circuitos com retorno pelo solo. 1.1.a. – Impedância própria de circuitos com retorno pelo solo:
)XjR(f108rmg
h2lnf104jrz L4
i
i4iiii ∆+∆π+π+= −−
• [ Ω / km] (11.01.)
1.1.b. – Impedância mútua de circuitos com retorno pelo solo:
)XjR(f108dDlnf104jz L
4
ik
ik4ik ∆+∆π+π= −−•
[ Ω / km] (11.02.)
O fator de correção (∆R + j ∆ XL
) é função de duas variáveis, definidas por Carson como segue.
a.1. - Para as impedâncias próprias:
0ii =θ
ρ= − fh10620,5p i
3ii , com ρ em [Ω / m3
]
b.1. - Para as impedâncias mútuas:
]hh
x[tgarcki
ikik +
−=θ
ρ= − fD101004,28p ik
4ik , com ρ em [Ω / m3
]
Sendo as componentes ∆R e ∆XL
definidas por.
]km/[]1536
4cosp2453cosp
2sen16p)
p2ln6728,0(2cos
16pcos
23p
8 [R
33
22
Ωθπ
−θ
+
+θθ++θ+θ−π
=∆
(11.03.)
]km/[])0895,1p2ln(
384cosp
3844senp
2453cosp
642cospcosp
231
p2ln
210386,0[X
44
32
L
Ω+θ
−θθ
−
+θ
+θπ
−θ++−=∆
(11.04.)
Assim, a matriz de impedâncias corrigidas por meio da metodologia de Carson, considerando o solo um condutor real, será dada por:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
f108sendo
XXjRrZ4
LLc,b,a
corr−π=ξ
∆ξ++∆ξ+= (11.05.)
A matriz [ r ] é diagonal e as demais são cheias. A ordem da matriz
[ ] c,b,acorrZ depende do número de circuitos e do número de pára-raios. Caso este seja
aterrado esta matriz pode ser reduzida à ordem 3x3, representativa de uma linha trifásica equivalente a circuito simples e sem pára - raios.
11.1.2. Método aproximado Trata-se de uma simplificação do método de Carson, denominado exato.
Resultados analisados mostram que as simplificações introduzem erros aceitáveis. A simplificação consiste em desprezar os termos das equações de ∆R e ∆XL
8 R π
=∆
que contenham θ. Nestas condições resulta:
p2ln
210386,0XL +−=∆
Ou seja, o termo ξ [∆R] torna-se constante e proporcional à freqüência da rede enquanto que o termo ξ [∆XL
Com isto as impedâncias próprias e mútuas passam a ser calculadas por:
] é proporcional à resistividade do solo e inversamente proporcional à freqüência.
1.2.a. – Impedância própria de circuitos com retorno pelo solo:
i
442iiii rmg
f37,658
lnf104j)f10r(z
ρ
π+π+= −−•
[ Ω / km ] (11.06.)
1.2.b. – Impedância mútua de circuitos com retorno pelo solo:
ik
442ik d
f37,658
lnf104jf10z
ρ
π+π= −−•
[ Ω / km ] (11.07.)
Sendo f
37,658Deρ
= em metros.
Os termos imaginários das expressões (11.06.) e (11.07.) são os coeficientes de
campo magnético próprios e mútuos, multiplicados por 2πf, corrigidos pela substituição de 2hi por De , na expressão dos coeficientes próprios e Dik por De , na expressão dos coeficientes mútuos. A distância De
pode ser interpretada como sendo aquela entre os condutores e um único condutor de retorno de corrente e de diâmetro unitário, conforme mostrado na figura (11.02.).
Figura 11.02. – Retorno de corrente por meio de um condutor de retorno único. A tabela mostrada a seguir traz alguns valores típicos de resistividade e valores da
distância equivalente De para a freqüência de 60 Hz, e mostra que os valores desta distância são muito grandes quando comparados com as distâncias horizontais xik
entre os condutores i e k.
Tabela 11.01. – Valores típicos de resistividade e distâncias equivalentes – tabela 7.1., página 332, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.
Elemento Resistividade
[ Ω /m3D
] [ m ] e
Água do mar 0,01 a 1,0 8,5 a 85,0 Solo pantanoso 10,0 a 100,0 268,8 a 850,0 Terra seca 1.000 2.688,0 Pedregulho 1,0 x 10 268.800,0 7 Arenito 1,0 x 10 2.688.000,0 9 Valor médio de um grande número de medições
100,0
850,0
Embora a simplificação do método de Carson possa parecer drástica, o método
vem sendo empregado pela sua simplicidade mesmo diante de diferenças da ordem de 10% em cálculos comparativos, pois nem mesmo este grau de certeza pode-se ter com relação aos valores de resistividade do solo. A resistividade de um mesmo tipo de solo varia muito em função da umidade do mesmo. Medições realizadas obtiveram valores de resistividade da ordem de 10.000 [ohm/m3] em época de seca e 1.000 [ohm/m3
] em período de chuva, para o solo de arenito.
11.2. Impedâncias seqüenciais das linhas de transmissão A forma mais rápida e direta de obter as impedâncias seqüenciais de linhas de
transmissão é por meio de transformação matricial. Este procedimento fornece as impedâncias de seqüência positiva, negativa e nula. Além destas fornece ainda possíveis impedâncias interseqüenciais.
Considere o trecho de linha mostrado na figura a seguir.
Figura 11.03. – Segmento de uma linha trifásica. A queda de tensão entre os extremos R e S, em componentes de fase, da linha é
dada por:
[ ] [ ] [ ] c,b,ac,b,a3x3
c,b,aRS IZV =∆ (11.08.)
A queda de tensão e a corrente colocadas em termos de componentes simétricas
podem ser escritas conforme segue.
[ ] [ ] [ ] 2,1,0RS
c,b,aRS VAV ∆=∆ (11.09.)
[ ] [ ] [ ] 2,1,0c,b,a IAI = (11.10.) Substituindo-se as expressões (11.09.) e (11.10.) em (11.08.), resulta:
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] 2,1,0c,b,a3x3
12,1,0RS IAZAV −=∆ (11.11.)
Sendo as matrizes [ A ] e [ A ]-1
definidas por:
[ ] [ ]
=
= −
aa1aa1111
31Ae
aa1aa1111
A2
21
2
2
O produto matricial na equação (11.11.) é a matriz de impedâncias seqüenciais,
sendo designada por:
[ ] [ ] [ ] [ ]AZAZ c,b,a3x3
12,1,03x3
−= (11.12.) A matriz de impedâncias em componentes de fase [ ] c,b,a
3x3Z pode representar a matriz de qualquer linha trifásica, seja ela sem, com um ou dois pára-raios e ainda com um ou mais circuitos, reduzida à ordem 3x3, cujos elementos podem agregar os efeitos dos outros circuitos e ainda o efeito de pára-raios aterrados.
Considerando a matriz resultante do processo de redução [ ] c,b,a3x3Z dada a seguir, o
desenvolvimento do produto matricial, mostrado na expressão (11.12.), fornece a matriz de impedâncias seqüenciais [ ] 2,1,0
3x3Z , também definida a seguir.
[ ]
=
cccbca
bcbbba
acabaac,b,a
3x3
ZZZZZZZZZ
Z
(11.13.)
[ ]
=
222120
121110
0201002,1,0
3x3
ZZZZZZZZZ
Z
(11.14.)
Expandindo, os elementos da matriz definida na expressão (11.14.), são
calculáveis por.
)ZZZ(32)ZZZ(
31Z cabcabccbbaa00
+++++= (11.15.)
)ZZZ(31)ZZZ(
31ZZ cabcabccbbaa2211
++−++== (11.16.)
As impedâncias 00Z , 11Z e 22Z são respectivamente as impedâncias de seqüência
nula, positiva e negativa da linha. As impedâncias interseqüenciais 01Z , 02Z , 10Z , 12Z , 20Z e 21Z se forem
diferentes de zero anulam a simplificação introduzida pela ferramenta componente simétrica. Estas impedâncias são calculáveis por:
)ZaZZa(32)ZaZaZ(
31Z ca
2bcabccbb
2aa12
+++++=
)ZaZZa(32)ZaZaZ(
31Z cabcab
2cc
2bbaa21
+++++=
)ZaZZa(31)ZaZaZ(
31ZZ cabcab
2cc
2bbaa0210
++−++==
)ZaZZa(31)ZaZaZ(
31ZZ ca
2bcabccbb
2aa2001
++−++==
A simplificação ocorre quando estas últimas são iguais a zero. Para que as
impedâncias interseqüenciais sejam nulas é necessário que haja transposição, fazendo com que as impedâncias próprias sejam iguais entre si e as mútuas também sejam iguais entre si, ou seja:
cabcab
ccbbaa
ZZZ
ZZZ
==
==(11.17.)
Considerando-se as igualdades definidas a seguir, as impedâncias seqüenciais
mostradas nas equações (11.15.) e (11.16.) ficam reduzidas às equações (11.18.) e (11.19.).
)ZZZ(31Z
)ZZZ(31Z
cabcabab
ccbbaaaa
++=
++=
Logo.
abaa00 Z2ZZ += (11.18.)
abaa2211 ZZZZ −== (11.19.) E a matriz de impedâncias seqüenciais passa a ser definida por.
[ ]
=
22
11
002,1,0
3x3
Z000Z000Z
Z
12. Capacitâncias, reatâncias e susceptâncias capacitivas. 12.1. Introdução Para o desenvolvimento das equações que definem as capacitâncias das linhas de
transmissão são feitas idealizações que irão agregar erros aos valores calculados. Estas idealizações são: considerar os condutores com secção cilíndrica, retilíneos, isolados entre si e com relação ao solo, e ainda paralelos entre si e ao solo. Estas considerações não são verdadeiras em linhas reais. Os condutores por serem formados por diversos filamentos não possuem curvatura única. Os cabos suspensos entre estruturas assumem a forma de catenária, tendo sua altura variável ao longo do vão. As estruturas de sustentação quando metálicas estão ao mesmo potencial do solo, comportando-se como eletrodos, provocam o aumento das capacitâncias parciais entre os condutores e o solo. Os isoladores, ou as cadeias de isoladores, se comportam como capacitores inseridos entre os condutores e a estrutura.
Todas estas idealizações são fontes de erros. Entretanto, apenas a primeira não é a mais significativa devido ao fato de que todas as distâncias envolvidas são muito maiores que o diâmetro dos condutores. Além disso, os condutores das linhas, em geral, apresentam grandes diâmetros e elevado número de filamentos na camada externa, tornando a curvatura quase que única. No caso de condutores múltiplos, os campos de cada subcondutor se compõem com os demais para formar um único. Assim, torna-se suficiente o emprego do raio externo do condutor para o cálculo das capacitâncias. A variação das alturas é compensada com a correção segundo procedimento apresentado no cálculo das indutâncias. Embora, não possa ser considerado exato, verifica-se que o procedimento é satisfatório. No tocante às outras idealizações, recomenda-se um aumento no valor das capacitâncias parciais entre fase e terra, em torno de 5%.
Embora pequeno, o erro por considerar a superfície do solo como uma eqüipotencial de potencial nulo, pode suplantar os demais. Talvez este plano devesse ser considerado coincidente com o lençol freático, que se encontra a uma desconhecida profundidade sob a linha, cuja determinação é impraticável. Com relação a esta idealização não é feita nenhuma correção.
Os condutores de uma linha de transmissão, quando energizados, ficam sujeitos a uma diferença de potencial entre si e com relação ao solo. No processo de energização, a linha absorve cargas da fonte da mesma forma que um capacitor. Quando submetida a uma tensão alternada, em um ponto qualquer dos condutores, a carga elétrica varia segundo a variação do valor instantâneo da tensão. Esta movimentação de cargas constitui-se em uma corrente, denominada de corrente de carregamento(carga ou capacitiva). Para linhas aéreas curtas seu efeito é geralmente desprezado, não podendo ser desconsiderado no caso de linhas longas de tensões elevadas onde seu efeito pode afetar o comportamento da linha.
12.2. Conceitos básicos 12.2.1. Lei de Gauss “ O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é numericamente igual à
carga envolvida por esta superfície “
Figura 12.01. – Fluxo elétrico através de uma superfície fechada. Onde: Q = carga envolvida pela superfície – [ Coulombs – C ]; S = área da superfície fechada – [ metro2 – m2
Φ = fluxo elétrico que atravessa a superfície. ];
Com base na definição pode-se escrever:
QN=ϕ (12.01.)
Define-se densidade de fluxo elétrico por:
SQ
SD =
ϕ= [ C/m2
] (12.02.)
Do eletromagnetismo sabe-se que a intensidade de campo elétrico, no espaço livre, pode ser obtida por:
ε=
DE [ V/m] (12.03.)
Onde ε é a permissividade elétrica do meio – [ F/m ], sendo dada por: r0 εε=ε
Como a permissividade relativa do meio( εr
), para o espaço livre(ar) vale 1(um), a expressão (12.03.) reduz-se a:
0
DEε
= [ V/m] (12.04.)
12.2.2. Campo elétrico devido a um condutor longo e retilíneo carregado Considere o condutor maciço, longo e retilíneo mostrado na figura (12.02.).
Considere ainda que este condutor esteja carregado com uma densidade linear de cargas e afastado da influência de cargas externas. Nestas condições o fluxo elétrico será radial e todos os pontos eqüidistantes do condutor estarão sobre uma superfície equipotencial e terão a mesma densidade de fluxo elétrico.
Figura 12.02. – Condutor retilíneo carregado. Sendo l o comprimento do condutor, a área da superfície equipotencial será:
S = 2 π x l Considerando a área por unidade do condutor tem-se: S = 2 π x . Assim, a
densidade de fluxo elétrico através da superfície será:
x2QDπ
= [ C/m2
]
Onde Q é o valor instantâneo da carga por unidade de comprimento do condutor considerada uniformemente distribuída em sua superfície e x é à distância do centro do condutor à superfície equipotencial. Assim, para estas condições a intensidade de campo elétrico será dada por:
x2QE
0επ= [V/m] (12.05.)
12.2.3. Diferença de potencial entre dois pontos situados no campo de uma
carga Q Considere um condutor longo e retilíneo mostrado na figura (12.03.) carregado
com carga Q[C/m].
Figura 12.03. – Pontos situados no campo de uma carga Q distribuída na
superfície de um condutor. O ponto P1 por estar mais próximo da carga encontra-se a um potencial mais
elevado que o ponto P2. Portanto para deslocar uma carga q, também positiva, do ponto P2 ao ponto P1 realiza-se trabalho contra as forças do campo. Para que a carga q vá de P1 para P2
Do eletromagnetismo sabe-se que a diferença de potencial entre dois pontos, situados no campo elétrico de uma carga Q, é numericamente igual ao trabalho(Joules/Coulomb) necessário para levar uma carga de prova q(q=1C) de um destes pontos ao outro, independentemente do percurso realizado. Assumindo o percurso P
o campo realiza trabalho.
1P’2P2
tem-se:
+
=2
'2
'21
12 PparaPde
qvarleparaTrabalho
PparaPde
qvarleparaTrabalhov (12.06.)
A segunda parcela da expressão (12.06.) é nula considerando que os pontos P’2 e
P2Define-se trabalho como sendo o produto da força pelo deslocamento.
estão ao mesmo potencial, isto é, sobre a mesma superfície equipotencial.
Ainda do eletromagnetismo sabe-se que sobre uma carga q colocada em um campo elétrico aparece uma força dada por:
EqF
= [N] Assim, a integral de linha entre dois pontos, da força que age sobre a carga de
prova é o trabalho realizado para movimentar esta carga entre os pontos considerados. Logo, como q = 1C resulta:
∫ ∫== 21
'2
1
PP
PP12 xd.Eld.Ev
Como xdeE
tem a mesma direção tem-se:
dxx2
Qdx.Ev 21
21
dd
dd
012 ∫ ∫
επ==
Assim o valor instantâneo da diferença de potencial entre os pontos P1 e P2
será:
1
2
012 d
dln2
Qvεπ
= [V] (12.07.)
O valor de v12 pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de Q ou ainda
do valor de d2 ser maior ou menor do que o valor de d1
.
12.2.4. Diferença de potencial entre dois condutores carregados Considere os dois condutores cilíndricos, paralelos entre si, cujos raios valem r1 e
r2, conforme mostrado na figura (12.04.)
Figura 12.04 – Dois condutores cilíndricos, maciços e carregados. Considere inicialmente que apenas o condutor 1 encontra-se carregado com uma
carga Q1 enquanto que o condutor 2 encontra-se descarregado. Verifica-se que o campo criado pela carga Q1
Assim, assumindo o ponto P
deforma-se nas proximidades do condutor 2, isto porque este último é uma superfície equipotencial e encontra-se ao potencial da superfície que o corta. Isto, entretanto, não altera a d.d.p. entre os condutores, uma vez que esta d.d.p. pode ser determinada passando por percursos que não atravessam a região distorcida. É sabido que qualquer caminho adotado leva ao mesmo resultado.
1 sobre o condutor 1 e o ponto P2 sobre o condutor 2, resulta d1 = r1 e d2 = d12
Logo a d.d.p. devido apenas à carga Q.
1
é dada por:
1
12
0
1Q12 r
dln2
Qv 1
επ=
Supondo agora que apenas o condutor 2 encontra-se carregado com carga Q2,
resulta d1 = d12 e d2 = rLogo a d.d.p. devido apenas à carga Q
2 2
será dada por:
12
2
0
2Q12 d
rln2Qv 2
επ= (12.08.)
Considerando a superposição de efeitos tem-se:
12
2
0
2
1
12
0
112 d
rln2Q
rdln
2Qv
επ+
επ= (12.09.)
Fazendo-se Q1 = Q e Q2
= -Q a expressão (12.09.), reduz-se a:
]drln
rdln[
2Q
v12
2
1
12
012 −
επ= (12.10.)
Considerando que r1 = r2
= r, a expressão (12.10.) transforma-se em:
rdln
Qv 12
012 επ
= (12.11.)
Para a condição em que Q1 = + Q, Q2 = -Q e r1 = r2 = r e estando os condutores
paralelos entre si, existirá entre os mesmos à distância d12
/2 um plano sobre os qual todos os pontos estão ao potencial zero. Assim, este plano pode ser confundido com um condutor neutro.
12.2.5. Diferença de potencial entre condutor carregado e o solo. Considere um condutor de raio r e carregado com uma carga Q suspenso acima
do solo conforme mostrado na figura (12.05.).
Figura 12.05 – Condutor carregado com carga Q e suspenso acima do solo. Conforme visto anteriormente o solo pode ser representado por um condutor
fictício, denominado condutor imagem, carregado com uma carga –Q e a uma profundidade h com relação à superfície do solo.
Com base na equação (12.11.) e com as condições estabelecidas na figura (12.05.), tem-se:
rh2ln
Qv
011 επ=′ (12.11.)
Desta forma tomando-se o potencial do condutor com relação a um condutor
neutro de potencial nulo, resulta:
rh2ln
2Q
v21v
011n1 επ== ′ (12.12.)
12.2.6. Diferença de potencial entre condutores carregados e o solo. Considere a situação da figura (12.06.) onde dois condutores de raios r1 e r2,
carregados com cargas Q1 e Q2 respectivamente, instantâneas e uniformemente distribuídas ao longo de seus comprimentos, encontram-se suspensos acima do solo.
Figura 12.06 – Condutores carregados e suspensos acima do solo. A d.d.p. instantânea do condutor 1 com relação ao solo devido a todas as cargas
presentes pode ser escrita com base em resultados anteriores. Assim, considerando o condutor 1 e, empregando as expressões (12.08.) e (12.12.), resulta:
12
2
0
2
12
2
0
2
10
1n1 D
rln2Q
drln
2Q
rh2ln
2Qv
επ−
επ+
επ= (12.13.)
Manipulando a expressão (12.13.), obtêm-se:
12
12
0
2
1
1
0
1n1 d
Dln2Q
rh2ln
2Qv
επ+
επ= (12.14.)
Considerando o condutor 2 e precedendo de forma análoga, resulta:
2
2
0
2
21
21
0
1n2 r
h2ln2Q
dDln
2Qv
επ+
επ=
Adotando notação matricial, tem-se:
επ=
2
1
2
2
21
21
12
12
1
1
0n2
n1
rh2ln
dDln
dDln
rh2ln
21
vv
(12.15.)
Considerando notação compacta a equação (12.15.) transforma-se em:
[ ] [ ] [ ]QEv = (12.16.)
A matriz [ E ] denomina-se matriz dos coeficientes de potencial elétrico ou ainda matriz dos coeficientes de campo elétrico. Para ε 0
dado em [F/km], a unidade dos elementos da matriz será [km/F]. Estes elementos podem ser escritos na forma genérica para diversos condutores i e j que estejam presentes na configuração, conforme segue:
a. Coeficientes de campo elétrico próprios: i
i
0ii r
h2ln2
1eεπ
= [km/F]
b. Coeficientes de campo elétrico mútuos: ji
ji
0ji d
Dln
21eεπ
= [km/F]
Onde: hir
= altura média do i-ésimo condutor; i
D = raio do i-ésimo condutor; i j
d = distância do i-ésimo condutor à imagem do j-ésimo condutor;
i j
= distância do i-ésimo ao j-ésimo condutor.
12.2.7. Definição de capacitância. Define-se capacitância entre dois condutores como sendo a carga nos condutores
pela diferença de potencial entre eles, isto é:
vQC = [ F/km ] (12.17.)
Onde: Q = carga nos condutores – [ C/km]; v = diferença de potencial entre os condutores – [ V ]. Exemplo: aplicação dos conceitos no cálculo da capacitância entre dois
condutores. Considere a figura mostrada a seguir, onde dois condutores de raios r1 e r2
encontram-se carregados respectivamente com as cargas +Q e –Q.
Com base em definições e resultados anteriores é possível escrever:
]drln
rdln[
2
]drln
rdln[
2Q
QvQC
12
2
1
12
0
12
2
1
12
0
1212
−
επ=
−επ
==
Considerando r1 = r2 = r a equação anterior fica reduzida a:
rdln
C12
012
επ=
No cálculo da capacitância de linhas de transmissão é de grande interesse
conhecê-las com relação a elementos de potencial nulo. Como a d.d.p. entre condutores e neutro é a metade da d.d.p. entre condutores, a capacitância do condutor para o neutro será o dobro da capacitância entre condutores.
A figura mostrada a seguir ilustra esta situação.
Sendo:
rdln
2C2CC 012n2n1
επ===
No cálculo da d.d.p. entre condutores carregados e solo chegou-se a uma
formulação matricial representada pela equação (12.16.).
[ ] [ ] [ ]QEv = A partir desta equação, tem-se:
[ ] [ ] [ ]vEQ 1−= (12.18.) Considerando a definição de capacitância para uma configuração de múltiplos
condutores, pode-se escrever:
[ ] [ ] [ ] 1vQC −= (12.19.) Da expressão (12.19.) obtêm-se:
[ ] [ ] [ ]vCQ = (12.20.) Comparando a expressão (12.18.) com a equação (12.20.), resulta:
[ ] [ ] 1EC −= (12.21.) A igualdade representada pela equação (12.21.) revela que a inversa da matriz dos
coeficientes de potencial elétrico é a própria matriz de capacitâncias escrita para a mesma configuração de condutores.
A figura (12.07.) mostra dois condutores carregados e suspensos acima do solo e as capacitâncias envolvendo os condutores( C12 ) e ainda as capacitâncias envolvendo os condutores e o solo( C1n e C2n ).
Figura 12.07 – Capacitâncias entre condutores e condutores e solo. Para o arranjo representado na figura (12.07.), pode-se escrever:
=
2
1
2221
1211
n2
n1
eeee
vv
(12.22.)
Onde: vi ne
= ddp entre o i-ésimo condutor e o solo; i i e ei j
Q são os coeficientes de potencial elétrico próprios e mútuos para o arranjo;
i
= carga do i-ésimo condutor.
Da equação (12.22.) obtêm-se:
∆∆
∆∆=
n2
n1
2221
1211
2
1
vv
ff
ff
(12.23.)
Onde: ∆ = determinante da matriz [ E ]; fii e fij
são os menores co-fatores da matriz adjunta da matriz [ E ] transposta.
A partir da definição de capacitância e considerando o arranjo da figura (12.07.) pode-se escrever:
Q1 = C1n v1n + C12 v12 = C1n v1n + C12 (v1n – v2n) = ( C1n + C12 ) v1n – C12 v
2n
Q2 = C21 v21 + C2n v2n = C21 (v2n – v1n) + C2n v2n = – C21 v1n + ( C2n + C21 ) v
2n
Adotando notação matricial, resulta:
+−
−+=
n2
n1
21n221
1212n1
2
1
vv
CCCCCC
(12.24.)
Comparando as matrizes das expressões (12.23.) e (12.24.), tem-se:
∆+
=⇒
∆−=⇒−=
∆
+=∆ 1211
n112
121212
12n111
ffCfCCf
CCf
∆+
=⇒
+=∆
∆−=⇒−=
∆ 2221n2
21n222
212121
21ffC
CCf
fCCf
O determinante da matriz [ E ] vale: Δ = e11 e22 – e12 e21. Considerando o método
clássico de inversão de matrizes, os menores co-fatores valem: f11 = e22, f12 = -e12, f21 = -e21 e f22 = e11
Logo as capacitâncias definidas pelas expressões acima podem ser colocadas em função dos coeficientes de campo elétrico, próprios e mútuos, conforme segue.
.
∆−
= 1222n1
eeC ∆
= 1212
eC
∆−
= 2111n2
eeC ∆
= 2121
eC
Como a matriz dos coeficientes de campo elétrico é simétrica, os coeficientes
mútuos são iguais entre si, isto é, e12 = e21, portanto as capacitâncias C12 e C21
]dDln
dDln
rh2ln
rh2ln[
21
dDln
rh2ln
C
21
21
12
12
2
2
1
1
0
12
12
2
2
n1−
επ
−=
também serão iguais entre si. Considerando que os coeficientes são determináveis pelas expressões desenvolvidas anteriormente, as capacitâncias ficam perfeitamente definidas, ou seja:
]dDln
dDln
rh2ln
rh2ln[
21
dDln
rh2ln
C
21
21
12
12
2
2
1
1
0
21
21
1
1
n2−
επ
−=
]dDln
dDln
rh2ln
rh2ln[
21
dDln
CC
21
21
12
12
2
2
1
1
0
12
12
2112−
επ
==
As capacitâncias C1n e C2n são as parciais entre os condutores 1, 2 e solo. A
capacitância C12 é a parcial entre os condutores 1 e 2. A figura (12.07.) mostra que as capacitâncias parciais C1n e C2n estão em série e a resultante desta associação, em paralelo com a capacitância parcial C12
.
n2n1
n2n1
n2n1
n CCCC
C1
C1
1C+
=+
=
A fonte de alimentação enxerga a resultante final desta associação, ou seja:
n2n1
n2n112n12 CC
CCCCCC+
+=+=
A capacitância definida pela expressão anterior denomina-se aparente. NOTA: Inversão clássica de matrizes Considere a matriz [ E ] a ser invertida, dada por:
[ ]
=
333231
232221
131211
eeeeeeeee
E
O determinante desta matriz, ∆, é obtido por meio da regra de Kramer. ∆ = e11 e22 e33 + e12 e23 e31 + e13 e21 e32 – ( e13 e22 e31 + e11 e23 e32 + e33 e12 e21
)
Ou ainda
3231
222113
)31(
3331
232112
)21(
3332
232211
)11( )1()1()1(eeee
eeeee
eeeee
e +++ −+−+−=∆
A matriz transposta da matriz [ E ] é dada por:
[ ]
=
332313
322212
312111T
eeeeeeeee
E
A matriz adjunta é obtida a partir da matriz [ E ]T
conforme segue.
−−−
−−−
−−−
=
+++
+++
+++
2212
2111)33(
3212
3111)23(
3222
3121)13(
3332
2322)32(
3313
3111)22(
3323
3121)12(
2313
2212)31(
3313
3212)21(
3323
3222)11(
eeee
)1(eeee
)1(eeee
)1(
eeee
)1(eeee
)1(eeee
)1(
eeee
)1(eeee
)1(eeee
)1(
]E[adj
Ou seja:
=
333231
232221
131211
fffffffff
]E[adj
Sendo:
f11 = e22 e33 – e23 e
32 f12 = - e12 e33 + e13 e f32 13 = e12 e23 – e13 e
f
22
21 = - e21 e33 + e23 e
31 f22 = e11 e33 – e13 e f31 23 = - e11 e23 + e13 e
f
21
31 = e21 e32 – e22 e
31 f32 = - e11 e32 + e12 e F31 33 = e11 e22 – e12 e
21
A matriz inversa da matriz [ E ] será:
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
=∆
=−
333231
232221
131211
1
fff
fff
fff
]E[adj]E[
12.3. Capacitâncias de linhas trifásicas. 12.3.1. Introdução Cada condutor está acoplado capacitivamente aos demais condutores, pára-raios e
solo. Estas capacitâncias são aquelas denominadas parciais. A representação de um acoplamento equivalente pode ser complexa, dependendo do numero de condutores e pára-raios presentes na configuração da cabeça de torre da linha.
As denominadas capacitâncias aparentes são grandezas fictícias entre os condutores e um elemento de potencial nulo(solo), que produzem sobre a fonte de alimentação da linha o mesmo efeito que as capacitâncias associadas. É por meio destas capacitâncias que se pode evidenciar possíveis desequilíbrios eletrostáticos existentes nas linhas, anulado pelo emprego da transposição.
Nos circuitos e modelos das linhas, são empregadas as capacitâncias de serviço ou de seqüência positiva, obtidas a partir das aparentes ou por meio de transformação direta.
As capacitâncias de seqüência nula, usadas em cálculos de curtos-circuitos assimétricos, também podem ser obtidas a partir das capacitâncias aparentes ou ainda por transformação direta.
12.3.2. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito simples sem pára-raios. Considere a figura (12.08.) representativa destas linhas, onde estão mostradas
todas as capacitâncias parciais presentes.
Figura 12.08. – Linha trifásica a circuito simples e sem pára-raios. Para a linha da figura (12.08.) a matriz dos coeficientes de potencial elétrico será
simétrica e dada por:
[ ]
=
cccbca
bcbbba
acabaa
eeeeeeeee
E
Sendo sua inversa a matriz fornecida a seguir.
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
=−
cccbca
bcbbba
acabaa
1
fff
fff
fff
]E[ (12.25.)
Ainda com base em desenvolvimentos anteriores a matriz de capacitâncias escrita
para a mesma configuração - figura (12.08.) é fornecida pela expressão (12.26.), isto é:
++−−−++−−−++
=
cn
bn
an
cbcacncbca
bcbcbabnba
acabacaban
c
b
a
vvv
CCCCCCCCCCCCCCC
QQQ
(12.26.)
Comparando a matriz da expressão (12.25.), com a matriz da expressão (12.26.),
elemento por elemento, encontram-se os valores da todas as capacitâncias parciais presentes, definidas por:
∆−= ab
abfC
∆++
= acabaaan
fffC
∆−= bc
bcfC
∆++
= bcbbbabn
fffC
∆−= ca
cafC
∆++
= cccbcacn
fffC
Como os menores co-fatores e o determinante da matriz [E] são definidos em função dos coeficientes de campo elétrico, todas as capacitâncias parciais ficam perfeitamente determinadas, uma vez que a matriz de capacitâncias é simétrica.
Em um sistema equilibrado quando a tensão em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas demais passa por metade do valor máximo com o sinal trocado. Assim, considerando a expressão (12.26.) e isoladamente a fase a, quando a tensão passa pelo valor máximo( Vmáx. ), a carga nesta fase também assume o valor máximo( Qmáx.
), permitindo escrever:
.máxacabacabana
.máx V])CC(21)CCC([Q ++++= (12.27.)
Fazendo .máx
a.máx
a VQC = na equação (12.27.), resulta:
)CC(23CC acabana ++= [F/km] (12.28.)
Com procedimento análogo para as demais fases, tem-se:
)CC(23CC bcbabnb ++= [F/km] (12.29.)
)CC(23CC cbcacnc ++= [F/km] (12.30.)
Desta forma, o arranjo de capacitâncias parciais pode ser substituído por outro
com três capacitâncias equivalentes, ligadas conforme mostrado na figura (12.09.).
Figura 12.09. – Ligação das capacitâncias equivalentes. É por meio destas capacitâncias que se podem evidenciar possíveis desequilíbrios
eletrostáticos. O equilíbrio é verificado para o caso em que as capacitâncias equivalentes são iguais entre si( Ca = Cb = Cc ). Para que a igualdade entre os valores seja verificada é necessário que os coeficientes de campo elétrico próprios sejam iguais entre si( eaa = ebb = ecc ) e ainda que os mútuos também sejam iguais entre si( eab = ebc = eca
a. coeficientes médios próprios de campo elétrico.
). Estas igualdades ocorrem somente, independentemente do arranjo da cabeça de torre, para o caso destas linhas serem transpostas. Neste caso os coeficientes de campo elétrico, próprios e mútuos, assumirão valores médios definidos pelas expressões genéricas apresentadas a seguir.
]F
km[r
hmg2ln2
1ei0
ii επ= (12.31.)
b. coeficientes médios mútuos de campo elétrico.
]F
km[dmg
DMGln2
1e0
ji επ= (12.32.)
Onde: hmg – altura média geométrica das alturas dos condutores; riDMG – distância média geométrica das distâncias entre os condutores e a imagem
dos condutores adjacentes;
– raio externo do i – ésimo condutor;
dmg – distância média geométrica das distâncias entre os condutores. Para a silhueta da linha representada na figura (12.08.) e considerando ainda que a
linha é transposta, pode-se escrever:
rhhh2
ln2
1)eee(31eee
3cba
0ccbbaaccbbaa επ
=++=== (12.33.)
3cabcab
3cabcab
0cabcabcabcab ddd
DDDln
21)eee(
31eee
επ=++=== (12.34.)
Sendo a linha transposta a matriz dos coeficientes de campo elétrico será:
[ ]
=
aaabab
abaaab
ababaa
eeeeeeeee
E (12.35.)
Logo, a sua inversa será:
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
=−
aaabab
abaaab
ababaa
1
fff
fff
fff
]E[ (12.36.)
Onde:
2ab
2aaccbbaa eefff −=== (12.37.)
aaab2abcabcab eeefff −=== (12.38.)
)e2e()ee( abaa2
abaa +−=∆ (12.39.)
E as capacitâncias parciais serão dadas por:
∆+
==++
=== abaa0
cnbnancnbnan
f2fC3
CCCCCC (12.40.)
∆−=== ab
cabcabfCCC (12.41.)
Levando as expressões (12.37.), (12.38.) e (12.39.) em (12.40.) resulta:
abaa eeC
21
0 += [ F/km] (12.42.)
Substituindo (12.38.) e (12.39.) na expressão (12.41.), obtém-se:
)e2e()ee(eC
abaaabaa
abab +−= [F/km] (12.43.)
Para uma linha transposta as capacitâncias equivalentes, calculáveis pelas
expressões (12.28.), (12.29.) e (12.30.), tornam-se iguais entre si, assumindo o valor médio entre os valores de Ca, Cb e Cc
e ficam reduzidas à seguinte expressão:
aban1cba
cba C3CC3
CCCCCC +==++
=== (12.44.)
Substituindo em (12.44.) as expressões (12.42.) e (12.43.), tem-se:
abaa1 ee
1C−
= [F/km] (12.45.)
A capacitância média entre fases e solo, C0, é a capacitância de seqüência zero
desta linha e a capacitância C1Substituindo os coeficientes de campo elétrico médios na expressão (12.45.),
resulta:
é a de serviço ou de seqüência positiva da linha.
dmgDMGln
rhmg2ln
2C 01
−
επ=
Como por conta da construção das linhas, em geral, as quantidades 2hmg e DMG,
assumirem valores muito próximos, ocorre a seguinte simplificação:
rdmgln
2C 01
επ= (12.46.)
A forma representada pela equação (12.46.) é aquela encontrada nos textos sobre o assunto. Devido a esta consideração pode-se afirmar que a presença do solo não exerce influência na capacitância de seqüência positiva de linhas de transmissão de energia elétrica transposta.
12.3.3. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito simples com um pára-raios. Considere a silhueta representada pela figura (12.10.) a seguir, onde a, b, c
representam os condutores das fases e r representa o cabo pára-raios.
Figura 12.10. – Silhueta de uma linha trifásica com um cabo pára-raios. Para a situação da figura (12.10.) e considerando os desenvolvimentos feitos
anteriormente, pode-se escrever para este caso as seguintes equações:
=
r
c
b
a
rrrcrbra
crcccbca
brbcbbba
aracabaa
rn
cn
bn
an
QQQQ
eeeeeeeeeeeeeeee
vvvv
(12.47.)
e
+++−−−−+++−−−−+++−−−−+++
=
rn
cn
bn
an
rcrbrarnrcrbra
crcrcbcacncbca
brbcbrbcbabnba
aracabaracaban
r
c
b
a
vvvv
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
QQQQ
(12.48.)
Sendo os coeficientes de campo elétrico, próprios e mútuos, envolvendo os pára-
raios determináveis pelas seguintes expressões:
]F
km[rh2ln
21e
r
r
0rr επ=
]F
km[dDln
21e;
dDln
21e;
dDln
21e
cr
cr
0cr
br
br
0br
ar
ar
0ar επ
=επ
=επ
=
Sabe-se que os pára-raios podem estar isolados ou aterrados. As duas situações
podem ser analisadas a partir do conjunto de equações (12.47.) (12.48.), bastando utilizar as condições de contorno adequadas em cada um dos casos.
12.3.3.a. Pára-raios isolados. Na figura (12.11.) estão representadas todas as capacitâncias parciais presentes
para esta situação.
Figura 12.11. – Linha com pára-raios isolado. O cabo pára-raios não tem cargas próprias, isto é: QrLevando a condição Q
= 0 r
= 0 na equação (12.47.) verifica-se que os potenciais dos condutores das fases com relação ao solo não são afetados. Entretanto, as cargas nos condutores das fases induzirão eletrostaticamente uma d.d.p. entre o solo e o pára-raios. Substituindo-se esta condição na última equação do sistema, representado em (12.48.), é possível obter a igualdade mostrada na equação (12.49.) que permite a determinação do valor desta d.d.p. induzida, empregada para efeito de dimensionamento da isolação do cabo pára-raios.
rcrbrarn
cnrcbnrbanrarn CCCC
vCvCvCv+++
++= (12.49.)
A d.d.p. definida na expressão (12.49.) exerce influência sobre as cargas dos
condutores das fases, como pode ser comprovado na equação (12.48.) Para a determinação das capacitâncias parciais é necessária a inversão da matriz
dos coeficientes de potencial elétrico definida na expressão (12.47.) e a posterior comparação com a matriz das capacitâncias parciais mostrada na expressão (12.48.), resultando em:
∆−= ab
abfC
∆+++
= aracabaaan
ffffC
∆−= bc
bcfC
∆+++
= brbcbbbabn
ffffC
∆−= ca
cafC
∆+++
= crcccbcacn
ffffC
∆−= ar
arfC
∆+++
= rrrcrbrarn
ffffC
∆−= br
brfC
∆−= cr
crfC
Verifica-se que todas as capacitâncias parciais definidas pelas expressões
imediatamente anteriores encontram-se representadas na figura (12.11.). 12.3.3.b. Pára-raios aterrados. Na figura (12.12.) estão representadas todas as capacitâncias parciais presentes
para esta situação.
Figura 12.12. – Linha com pára-raios aterrado. Pelo fato do pára-raios estar aterrado a d.d.p. entre o mesmo e o solo será nula
(vrn = 0). Como conseqüência capacitância parcial entre o pára-raios e o solo ( Crn ) não pode ser definida e não é representada na figura (12.12.). É importante observar que as capacitâncias parciais entre os condutores das fases e o solo estão em paralelo com as capacitâncias parciais entre as fases e o cabo pára-raios. Assim, em termos práticos esta associação paralela pode ser substituída pelo valor resultante. Com isto valores individuais são perdidos sem comprometer os resultados. Estando o pára-raios aterrado, por condução desde o solo, este absorve cargas fazendo com que: Qr
Seu valor irá influenciar no valor das capacitâncias parciais, aparentes e de seqüência nula, não afetando as capacitâncias de seqüência positiva.
≠ 0
Neste caso a matriz dos coeficientes de potencial elétrico, definida em (12.47.), deve ser reduzida a uma matriz equivalente de ordem 3x3 representativa de uma linha trifásica a circuito simples sem pára-raios. Este processo de redução conhecido como método de Kron, agrega aos coeficientes de potencial elétrico, próprios e mútuos das fases, a contribuição da presença do cabo pára-raios, conforme expressão (12.50.) mostrada a seguir.
−−−
−−−
−−−
=
c
b
a
rr
2cr
ccrr
brcrcb
rr
arcrca
rr
crbrbc
rr
2br
bbrr
arbrba
rr
crarac
rr
brarab
rr
2ar
aa
cn
bn
an
QQQ
eee
eeee
eeee
eeee
eee
eeee
eeee
eeee
eee
vvv
(12.50.)
Adotando notação simplificada a expressão representada em (12.50.) pode ser
escrita na seguinte forma.
=
c
b
a
ccc
ccb
cca
cbc
cbb
cba
cac
cab
caa
cn
bn
an
QQQ
eeeeeeeee
vvv
(12.51.)
Qualquer das matrizes mostradas nas expressões (12.50.) ou (12.51.),
denominadas por [Ec
], uma vez invertida fornecerá os elementos para a determinação das capacitâncias parciais, lembrando que deverá ser escrita uma matriz de capacitâncias compatível para a situação de uma linha trifásica equivalente sem pára-raios. Assim procedendo pode-se escrever:
∆−=
cab
abfC
∆++
=cac
cab
caa
anfffC
∆−=
cbc
bcfC
∆++
=cbc
cbb
cba
bnfffC
∆−=
cca
cafC
∆++
=ccc
ccb
cca
cnfffC
Onde as grandezas c
jicii fef são os menores co-fatores da adjunta da matriz [Ec] e
Δ é o determinante da mesma matriz [Ec]. Os valores das capacitâncias parciais Car , Cbr e Ccr foram perdidos individualmente embora estejam incorporados aos valores das capacitâncias parciais Can , Cbn e Ccn
As capacitâncias equivalentes podem ser obtidas empregando-se as mesmas equações definidas para linhas trifásicas a circuito simples sem pára-raios, isto é:
, respectivamente.
)CC(23CC acabana ++= )CC(
23CC bcbabnb ++= )CC(
23CC cbcacnc ++=
Considerando a linha transposta os coeficientes de campo elétrico, próprios e
mútuos, assumirão valores médios definidos pelas equações (12.33.), (12.34.) e pela equação (12.52.) definida a seguir.
3crbrar
3crbrar
0crbrarcrbrar ddd
DDDln
21)eee(
31eee
επ=++=== (12.52.)
O coeficiente próprio do cabo pára-raios, por ser único, continua sendo definido
pela expressão, já mostrada anteriormente e fornecida novamente a seguir.
r
r
0rr r
h2ln2
1eεπ
=
Assim, os elementos próprios e mútuos da matriz definida na expressão (12.51.)
passarão a ser calculados pelas seguintes expressões:
rr
2ar
aaccc
cbb
caa e
eeeee −=== (12.53.)
rr
2ar
abcca
cbc
cab e
eeeee −=== (12.54.)
Logo as capacitâncias de seqüência positiva e zero passam a ser definidas pelas
seguintes expressões:
abaacab
caa
1 ee1
ee1C
−=
−= (12.55.)
rr
2ar
abaa
cab
caa
0
ee3e2e
1e2e
1C−+
=+
= (12.56.)
A equação (12.55.) demonstra a afirmação feita anteriormente de que a presença
do cabo pára-raios não afeta a capacitância de seqüência positiva. 12.3.4. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito simples com dois pára-raios. Considere a figura (12.13.) representativa destas linhas. Onde a, b e c são os
condutores das fases e r e s os cabos pára-raios.
Figura 12.13. – Linha a circuito simples com dois pára-raios. Neste caso a matriz dos coeficientes de potencial elétrico será de ordem 5x5
conforme representação definida a seguir.
[ ]
=
sssrscsbsa
rsrrrcrbra
cscrcccbca
bsbrbcbbba
asaracabaa
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
E (12.57.)
A matriz mostrada em (12.57.) pode ser subdividida conforme segue:
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
=
2x2pp3x2pf
2x3fp3x3ff
EEEE
E (12.58.)
Considerando os pára-raios aterrados, a matriz representada em (12.58.) pode ser reduzida à ordem 3x3 representativa de uma linha trifásica a circuito simples sem pára-raios equivalente à linha trifásica a circuito simples com dois pára-raios, conforme procedimento empregado quando do desenvolvimento de indutâncias, isto é:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]
3x33x2pf1
2x2pp2x3fp3x3ff3x3c EEEEE −−= (12.59.)
Com isto o efeito da presença dos pára-raios é incorporado aos coeficientes de
campo elétrico, próprios e mútuos, das fases, presentes na matriz [Eff]3x3Admitindo a transposição, é possível demonstrar que o produto matricial
mostrado na expressão (12.59.) resulta em uma matriz de ordem 3x3, cujos elementos são para efeitos práticos aproximadamente iguais a:
.
rsrr
2ar
eee2e+
≅∆ (12.60.)
Neste caso o coeficiente médio, devido à existência de dois pára-raios, que
aparece na expressão (12.60.) é calculável por:
6csbsascrbrar
6csbsascrbrar
0ar dddddd
DDDDDDln
21eεπ
= (12.61.)
Os demais coeficientes presentes na expressão (12.60.) são determinados por
expressões desenvolvidas em tópicos anteriores e reapresentadas a seguir.
r
r
0rr r
h2ln2
1eεπ
=
rs
rs
0rs d
Dln2
1eεπ
=
Sendo Drs a distância do cabo r à imagem do cabo s e drs
Assim, as capacitâncias seqüenciais são calculáveis por equações já definidas em (12.55.) e (12.56.) empregando os coeficientes médios corrigidos, definidos como segue:
é a distância do cabo r ao cabo s.
rsrr
2ar
aacaa ee
e2ee+
−= (12.62.)
rsrr
2ar
abcab ee
e2ee+
−= (12.63.)
Logo, tem-se:
abaacab
caa
1 ee1
ee1C
−=
−=
rsrr
2ar
abaa
cab
caa
0
eee6e2e
1e2e
1C
+−+
=+
=
As capacitâncias parciais e equivalentes têm seus valores afetados pela presença
dos pára-raios aterrados e a determinação delas segue procedimento idêntico ao de uma linha a circuito simples com um pára-raios, lembrando que neste caso os fatores de correção serão obtidos por meio de um produto matricial, definido na expressão (12.59.).
12.3.5. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito duplo com dois pára-raios. Considere a figura (12.14.) mostrada a seguir representativa destas linhas e na
qual será baseado o desenvolvimento do equacionamento. Para efeito de equacionamento a silhueta mostrada na figura (12.14.) pode ser representativa de uma linha a circuito duplo com dois pára-raios, assim como, duas linhas idênticas a circuito simples com um pára-raios e em paralelo. O equacionamento é aplicável em ambos os casos.
Figura 12.14. – Linha a circuito duplo com dois pára-raios. Neste caso a matriz dos coeficientes de potencial elétrico [E] será de ordem 8x8,
conforme representado na expressão (12.64.).
=
f
e
d
s
r
c
b
a
fffefdfsfrfcfbfa
efeeedeserecebea
dfdedddsdrdcdbda
sfsesdsssrscsbsa
rfrerdrsrrrcrbra
cfcecdcscrcccaca
bfbebdbsbrbcbbba
afaeadasaracabaa
fn
en
dn
sn
rn
cn
bn
an
QQQQQQQQ
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
vvvvvvvv
(12.64.)
Adotando notação compacta a equação (12.64.) pode ser reescrita conforme
segue. [ ][ ][ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ][ ][ ]
=
1x3II
1x2p
1x3I
3x3II,II2x3p,II3x3I,II
3x2II,p2x2p,p3x2I,p
3x3II,I2x3p,I3x3I,I
1x3N,II
1x2N,p
1x3N,I
QQQ
EEEEEEEEE
vvv
(12.65.)
Considerando a sobreposição de efeitos é possível realizar o desenvolvimento
para cada um dos circuitos isoladamente. Assim, admitindo que os circuitos são idênticos, é possível estabelecer as
seguintes igualdades: [ ] [ ]N,IIN,I vv = (12.66.)
[ ] [ ]III QQ = (12.67.)
Desmembrando a equação (12.65.), levando em conta apenas o circuito I e
considerando ainda as igualdades representadas nas equações (12.66.) e (12.67.), resulta:
[ ][ ]
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
++
=
1x2p
1x3I
2x2p,p3x2II,p3x2I,p
2x3p,I3x3II,I3x3I,I
1x2N,p
1x3N,I
EEEEEE
v
v (12.68.)
Expandindo o conjunto (12.68.), tem-se:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
+++++++++++++++
=
s
r
c
b
a
sssrsfscsesbsdsa
rsrrrfrcrerbrdra
cscrcfcccecbcdca
bsbrbfbcbebbbdba
asarafacaeabadaa
sn
rn
cn
bn
an
QQQQQ
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
vvvvv
(12.68.a.)
Desmembrando o conjunto (12.68.), tem-se:
[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]1x2p2x2p,p1x3I3x2II,p3x2I,p1x2N,p
1x2p2x3p,I1x3I3x3II,I3x3I,I1x3N,I
QEQEEv
QEQEEv
++=
++=
(12.68.b.)
Admitindo que os pára-raios sejam aterrados, o conjunto (12.68.) de ordem 5x5
pode ser reduzido à ordem 3x3 representativo de uma linha de circuito simples sem pára-raios equivalente à linha trifásica de circuito simples e dois pára-raios.
Para a condição de pára-raios aterrado, tem-se: [ ] [ ]0v1x2N,p = . Logo isolando
[ ]1x2pQ na segunda expressão do conjunto (12.68.b.) e substituindo este resultado na
primeira expressão do mesmo conjunto, resulta: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ][ ][ ] 1x3I3x2II,p3x2I,p
12x2p,p2x3p,I3x3II,I3x3I,I1x3N,I QEEEEEEv +−+= −
Assim, obtém-se a matriz dos coeficientes de potencial elétrico da linha
equivalente, cujos elementos incorporam a contribuição do circuito II e dos pára-raios, isto é:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]
3x33x2II,p3x2I,p1
2x2p,p2x3p,I3x33x3II,I3x3I,I3x3c EEEEEEE +−+= − (12.69.)
Os elementos próprios e mútuos da matriz [Ec
] podem ser representados genericamente pelas expressões escritas a seguir.
ii'iiiicii e)ee(e ∆−+= (12.70.)
ji'jijic
ji e)ee(e ∆−+= (12.71.) Considerando i e j condutores genéricos do circuito I, i’ e j’ condutores genéricos
do circuito II, os coeficientes presentes em (12.70.) (12.71.) serão obtidos por;
ji
ji
0ji
i
i
0ii d
Dln
21ee
rh2ln
21e
επ=
επ=
'ji
'ji
0'ji
'ii
'ii
0'ii d
Dln
21ee
dD
ln2
1eεπ
=επ
=
Onde: hir
= altura do i-ésimo condutor do circuito I; i
d = raio externo do i-ésimo condutor do circuito I; i j
D = distância do i-ésimo condutor ao j-ésimo condutor,ambos do circuito I;
i j
d
= distância do i-ésimo condutor à imagem do j-ésimo condutor, ambos do circuito I;
i i’
D
= distância do i-ésimo condutor do circuito I ao i’-ésimo condutor do circuito II;
i i’
d
= distância do i-ésimo condutor do circuito I à imagem do i’-ésimo condutor do circuito II;
i j’
D
= distância do i-ésimo condutor do circuito I ao j’-ésimo condutor do circuito II;
i j’
= distância do i-ésimo condutor do circuito I à imagem do j’-ésimo condutor do circuito II.
É pertinente observar que a sistemática de indexação impõe que os condutores i e i’ sejam condutores dos circuitos I e II, respectivamente e que estão ao mesmo potencial.
O produto matricial mostrado na expressão (12.69.) e reescrito abaixo, representa a matriz que define os fatores de correção, próprios(Δeii) e mútuos(Δeij
), que incorporam o efeito da presença dos pára-raios aos elementos representativos fases do circuito I.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]3x2II,p3x2I,p
12x2p,p2x3p,I3x3
c EEEEE +=∆ − (12.72.)
As capacitâncias parciais e equivalentes são obtidas com procedimento idêntico ao empregado na determinação destas grandezas, para o caso de linha a circuito simples com um pára-raios, observando que neste caso existem três capacitâncias parciais conectadas entre cada condutor fase e o solo. Os termos de correção que representam o efeito da presença dos pára-raios são decorrentes de um produto matricial(eq. 12.72.).
A determinação das capacitâncias seqüenciais segue procedimento análogo ao do item anterior, porém com os coeficientes de potencial elétrico médios, próprios e mútuos, corrigidos, definidos por:
e)ee(e adaa
caa ∆−+= (12.73.)
e)ee(e aeabcab ∆−+= (12.74.)
Sendo:
rhmg2ln
21eee
0ccbbaa επ
=== ;
dmgDMGln
21eee
0cabcab επ=== ;
I
3cfbead
0cfbead D
DDDln
21eeeεπ
=== ;
II
6cecdbfbdafae
0cecdbfbdafae D
DDDDDDln
21eeeeeeεπ
====== ;
6csbsascrbrar
6csbsascrbrar
0csbsascrbrar dddddd
DDDDDDln
21eeeeeeεπ
====== .
Onde: 3
cba hhhhmg = = altura média geométrica dos condutores do circuito I; 3
cabcab DDDDMG = = distância média geométrica entre os condutores e as respectivas imagens de condutores adjacentes, todos do circuito I;
3cabcab ddddmg = = distância média geométrica entre os condutores do circuito
I; 3
cfbeadI dddD = = distância média geométrica entre os condutores dos circuitos I e II que estão ao mesmo potencial;
6cecdbfbdafaeII ddddddD = = distância média geométrica entre os condutores
dos circuitos I e II que estão em diferentes potenciais;
rsrr
2ar
eee2e+
≅∆ - como definido na expressão (12.60).
Substituindo-se os coeficientes definidos nas equações (12.73.) e (12.74.) na
equação da capacitância de seqüência positiva, definida em (12.65.), resulta:
)ee()ee(1
ee1C
aeabadaacab
caa
1 +−+=
−=
Levando os coeficientes correspondentes na expressão anterior obtém-se:
)D
DDDDDDln
dmgDMGln
DDDD
lnr
hmg2ln(2
11C
II
6cecdbfbdafae
I
3cfbead
0
1
−−+επ
=
Como visto anteriormente 2hmg ≈ DMG. Levando esta consideração na expressão
de C1 acima e reagrupando convenientemente a expressão, tem-se:
)DDDDDD
DDDln
DDln
rdmgln(
2C
6cecdbfbdafae
3cfbead
I
II
01
++
επ= (12.75.)
Devido à proximidade entre os valores dos dois radicais mostrados na expressão
anterior, o terceiro termo do denominador desta mesma expressão pode ser desprezado. Assim, a expressão para cálculo da capacitância de seqüência positiva assume a seguinte forma:
)DDln
rdmgln(
2C
I
II
01
+
επ= (12.76.)
A capacitância de seqüência nula definida em (12.66.), assume a seguinte forma:
e3)ee(2)ee(1
]e)ee[(2e)ee(1
e2e1C
aeabadaa
aeabadaacab
caa
0
∆−+++=
=∆−++∆−+
=+
=
Logo.
rsrr
2ar
aeabadaa
0
eee6)ee(2)ee(
1C
+−+++
= (12.77.)
12.3.6. Condutores múltiplos. Considere um condutor múltiplo representado na figura (12.15.). Este condutor é
formado por n subcondutores iguais e de raio r, uniformemente distribuídos sobre um círculo de raio R, cujo centro encontra-se a uma altura h acima da superfície do solo, tal que h >> R. Suponha que o condutor múltiplo encontra-se carregado com uma carga Q, uniformemente distribuída e que cada subcondutor fique carregado com uma carga Q/n.
Figura 12.15. – Condutor múltiplo. Netas condições é possível demonstrar que este condutor múltiplo pode ser
substituído por um condutor fictício único e cilíndrico cujo raio externo Rc
é dado por:
nn1k112c s...s...srR = (12.78.)
A grandeza Rc
Nas linhas reais isto não ocorre. As cargas elétricas presentes nas demais fases irá provocar deformidade na distribuição do campo elétrico em torno dos condutores múltiplos, fazendo com que os subcondutores externos fiquem mais expostos a esta deformação e consequentemente apresentarão gradiente de potencial mais elevado.
pode ser interpretada como o raio de um condutor cilíndrico fictício que possuindo a mesma carga Q, gera o mesmo campo elétrico que o condutor múltiplo. A condição h >> R garante que o condutor fictício tem o mesmo gradiente de potencial que cada um dos subcondutores, em conseqüência do campo elétrico não sofrer deformações devido à presença das cargas do solo.
Assim, nas linhas com condutores múltiplos, nas expressões dos coeficientes de campo elétrico próprios, o raio do condutor singelo deverá ser substituído pelo raio equivalente do condutor múltiplo ( Rc
), isto é:
c
i
0ii R
h2ln2
1eεπ
= (12.79.)
A aplicabilidade das equações desenvolvidas verifica-se nas seguintes situações: a. para linhas ou circuitos idênticos, em paralelo e simétricos com relação a um
eixo de simetria; b. para linhas ou circuitos diferentes, operando em paralelismo elétrico( mesma
tensão ) e físico; c. linhas em simples paralelismo físico – em geral é desprezada a iteração entre
circuitos. Havendo necessidade de incluir a iteração, é preciso conhecer as defasagens das fases de um circuito com relação ao outro.
Nas análises e estudos de desempenho, as linhas paralelas ou de circuito duplo podem ser substituídas por linhas de circuito simples equivalente. Para tanto é preciso
determinar a capacitância se serviço ou de seqüência positiva da linha equivalente, associando em paralelo às capacitâncias de serviço das linhas ou circuitos.
12.3.7. Definição de reatâncias capacitivas e emprego de tabelas. A reatância capacitiva é definida pela expressão (12.80.), dada a seguir.
Cf21xc π
= [ Ω km] (12.80.)
Para uma linha de comprimento ℓ[km], a capacitância total será ( Cℓ ) , isto é, ℓ capacitâncias por unidade de comprimento associadas em paralelo. Para esta condição a reatância capacitiva total será dada por:
Cf21Xc π
= [ Ω ]
Sendo C[ F/km ] qualquer das capacitâncias definidas por condutor da linha. A unidade Farad[ F ] pode ser colocada em termos de unidades básicas, isto é,
[ F ] = [ A s / V]. Logo a unidade de capacitância pode ser escrita como: [ A s / V km]. A unidade de freqüência é [ 1 / s]. Levando estas grandezas na expressão (12.80.), obtém-se para xc
A reatância de serviço ou de seqüência positiva pode ser determinada por meio de tabelas pré-definidas. Assim substituindo-se C
a unidade [ V km / A ], ou seja: [ Ω km ]. Com isto demonstrou-se que a unidade de reatância capacitiva é [ Ω km ] e não [ Ω / km ], como encontrado, as vezes, em textos sobre o assunto.
1, calculada pela expressão (12.76.), com ε0 = (1/36 π) 10-6
+
π×
=+
I
II
cm
6
1 DDln
rourdmgln
f109x
F/km, na equação (12.80.) e agrupando os termos convenientemente, resulta:
[ Ω km ] (12.81.)
Desmembrando a expressão (12.81.) de forma conveniente, resulta:
I
II66
c
6
1 DDln
f109dmgln
f109
Rour1ln
f109x
π×
+π×
+π×
=+++
(12.82.)
Fazendo-se:
c
6
c Rour1ln
f109xπ×
=′+
;
dmglnf
109x6
c π×
=′′+
;
I
II6
c DDln
f109xπ×
=′′′+
.
A equação (12.82.) pode ser escrita como segue.
ccc1 xxxx ′′′+′′+′= (12.83.) A parcela cx′ , denominada como reatância capacitiva para espaçamento unitário,
pode ser encontrada, em função do raio dos condutores - r, nas tabelas III.1(condutores singelos de cobre, para 50 e 60 Hz), III.2(condutores singelos de alumínio – CA, para 50 e 60 Hz), III.3(condutores singelos de alumínio com alma de aço – CAA, para 50 e 60 Hz) e, em função do raio equivalente do condutor múltiplo - Rc
A parcela
, na tabela III.3b(condutores múltiplos, para 60 Hz).
cx ′′ , denominada fator de espaçamento capacitivo, pode ser determinada em função dos valores da dmg entre os condutores, nas tabelas III. 8. e III.9., respectivamente para as freqüências de 50 e 60 Hz.
A parcela cx ′′′ , denominada reatância capacitiva unitária entre circuitos, pode ser encontrada, em função dos valores da relação DII / DI
, nas tabelas III.10. e III.11., respectivamente para as freqüências de 50 e 60 Hz.
12.3.8. Definição de susceptâncias capacitivas. Nos estudos de desempenho dos sistemas elétricos de potência, nos quais as linhas
são representadas por seus circuitos unipolares, as capacitâncias de serviço ou de seqüência positiva são introduzidas como admitâncias, ou seja, na forma de susceptâncias.
É definida como sendo o inverso da reatância capacitiva, sendo representada por:
Cf2x1b
cc π== [ Siemens / km] (12.84.)
Para uma linha de comprimento ℓ[km], resulta;
Cf2x1B
cc π== [ Siemens ] (12.85.)
12.3.9. Reatâncias e susceptâncias capacitivas seqüenciais obtidas por meio de
tranformação direta. A partir da matriz dos coeficientes médios e corrigidos de potencial elétrico, de
uma linha equivalente a uma linha real com qualquer configuração, é possível determinar por transformação linear as grandezas seqüenciais por meio da equação (12.86.) definida a seguir.
[ ] [ ] [ ] [ ]TETf2
1X 33c1
cseq ×−
π= (12.86.)
Sendo
[ ]
=−
aa1aa1111
31T
2
21 ; [ ]
=
2
2
aa1aa1111
T ; 120jea = e 120j2 ea −=
Sendo a matriz dos coeficientes médios e corrigidos dada por:
[ ]
=caa
cab
cab
cab
caa
cab
cab
cab
caa
c
eeeeeeeee
E
O produto matricial representado na expressão (12.86.) gera uma matriz, também
de ordem 3x3, com elementos diferentes de zero somente na diagonal principal, calculáveis pelas seguintes equações:
Na posição (1,1): )e2e(f2
1x cab
caac00+
π=
Na posição (2,2): )ee(f2
1x cab
caac11−
π=
Na posição (3,3):
1122 cc xx = Caso a linha não seja transposta os elementos da matriz [ ]cE não serão valores
médios e o produto matricial mostrado na equação (12.86.) gera elementos diferentes de zero fora da diagonal principal, que serão os acoplamentos capacitivos mútuos entre os circuitos seqüenciais.
Lembrando da definição de susceptância capacitiva pode-se escrever para o arranjo de uma linha qualquer a seguinte equação:
[ B ] = 2 π f [ C ] [ Siemens/km ] (12.87.)
Onde: [ B ] – matriz de susceptâncias capacitivas da linha considerada; [ C ] – matriz de capacitâncias escrita para o arranjo da linha considerada. Como [ C ] = [ E ]-1
a expressão (12.87.) pode ser escrita como segue.
[ B ] = 2 π f [ E ]-1
[ Siemens/km ] (12.88.)
Lembrando que a matriz [ E ]-1
Fundamentado na teoria de componentes simétricas, resulta:
é a inversa da matriz dos coeficientes de potencial elétrico da linha trifásica a circuito simples sem cabos pára-raios, equivalente á linha real considerada.
[ ] [ ] [ ] [ ]TBTB 33
1seq ×
−= (12.89.) Da diagonal principal da matriz [ Bseq ] são extraídos os elementos b00, b11 e b22
Substituindo a equação (12.88.) na expressão (12.89.), obtém-se:
, nas posições (1,1), (2,2) e (3,3) respectivamente.
[ ] [ ] [ ] [ ] TETf2B 1
331
seq−×
−π= [ Siemens/km ] (12.90.) O resultado obtido com a equação (12.90.) exige a inversão da matriz [ E ], sendo
mais demorado que o cálculo empregando as reatâncias capacitivas seqüenciais. As susceptâncias capacitivas seqüenciais são determináveis por meio do inverso
das respectivas reatâncias capacitivas seqüenciais, ou seja:
00c00 x
1b = 11c
11 x1b =
22c22 x
1b =
13. Condutância de dispersão e efeito corona. 13.1. Introdução. A condutância de dispersão é um parâmetro com característica de admitância e
que aparece nos modelos das linhas como elemento em derivação entre a fase e o neutro, representando as perdas que são proporcionais à tensão da linha.
É definida por: 3
2 10V
Pg −∆= [ S/km] (13.01.)
Onde: ∆P – soma das perdas de energia, por dispersão, em uma fase da linha em
[kW/km]; V – tensão de operação entre fase e neutro em [kV]. As perdas por dispersão incluem as perdas devido ao efeito corona e as perdas nos
isoladores. 13.2. Perdas nos isoladores. Concentram-se nos isoladores, entretanto, para efeito prático, são consideradas
uniformemente distribuídas ao longo do comprimento da linha. São caracterizadas pela fuga de corrente em freqüência normal, através do
material que compõe os isoladores( porcelana ou vidro ). A determinação destas perdas de energia, provocada por estas correntes é bastante
complexa, sendo seu valor dependente de um grande número e fatores, cabendo destacar:
1. Qualidade do material do isolador; 2. Condições superficiais do isolador; 3. Geometria do isolador; 4. Freqüência da tensão aplicada; 5. Potencial a que são submetidos; 6. Condições meteorológicas.
Experiências realizadas em uma linha experimental de 275kV revelam que estas perdas variam muito com as condições meteorológicas, como mostram os valores extraídos dos ensaios e registrados a seguir.
• Com tempo bom: 0,25 - 1,50 W/isolador; • Sob chuva fraca: 2,5 W/isolador; • Sob chuva forte: 25 W/isolador.
Em geral, são suficientemente pequenas podendo ser desprezadas na maioria das
situações. 13.3. O efeito corona. Este efeito manifesta-se na superfície dos condutores das linhas de transmissão
aéreas quando o valor da intensidade de campo elétrico ( ou gradiente de potencial elétrico ), aí existente, supera o valor da intensidade crítica disruptiva do ar, que é controlada por algumas condições, tais como:
• Pressão atmosférica; • Presença de vapor de água; • Poeira em suspensão; • Etc.
É caracterizado por descargas individuais na superfície do condutor. Estas
descargas representam perdas de energia para a rede elétrica. Estas perdas, em geral, relacionam-se com:
• Geometria do condutor e as condições superficiais do mesmo; • Tensão de operação; • Campo elétrico na superfície do condutor; • Condições meteorológicas – principalmente.
Além das perdas de energia, este fenômeno provoca ainda a rádiointerferencia e
ruídos acústicos. As descargas individuais de corona provocam pulsos de tensão e corrente de curta duração que se propagam ao longo das linhas, resultando em campos eletromagnéticos em suas proximidades, que interferem na recepção de rádio, mesmo fora da faixa de servidão da linha. O ruído auditivo, também conseqüência dos eflúvios corona, é função dos máximos gradientes de potencial elétrico na superfície dos condutores. Assim, observa-se que o dimensionamento criterioso de uma linha de transmissão, em extra e ultra-alta tensão, está diretamente relacionado com a escolha do gradiente de potencial máximo admissível na superfície dos condutores.
13.4. Formação dos eflúvios corona. O pesquisador Peek observou experimentalmente que o fenômeno começa com
valores de gradientes de potencial na superfície dos condutores mais elevados que o valor eficaz do gradiente crítico disruptivo do ar ( da ordem de 21,6 kV/cm em atmosfera padrão de 20o C e 760 mm de Hg), quando se iniciam também as manifestações luminosas. Denominou este valor de gradiente crítico visual e observou ainda que um condutor atinge o gradiente crítico visual quando o gradiente crítico
disruptivo é atingido a uma distância do condutor, denominada distância de energia, calculável por 0,301 / r [cm] em atmosfera padrão, sendo r o raio do condutor
De acordo com este pesquisador o valor eficaz do gradiente crítico visual é obtido por meio da seguinte expressão:
Ecrv r = 21,6 [ 1 + ( 0,301 / )] [kV/cm] (13.02.)
Outro pesquisador, Miller, verificou que o gradiente crítico visual depende muito
mais das dimensões dos condutores e propôs a expressão mostrada a seguir.
]r
54187,01[m1,18Eeq
crv δ+δ= [ kV / cm ] (13.03.)
Sendo δ é a pressão atmosférica relativa e calculável pela expressão que segue.
t0,273)h086,00,760(386,0
+−
=δ (13.04.)
Onde: t – valor da temperatura média anual em graus Celsius; h – altitude média local em metros. A grandeza m, denominada fator de superfície, encontra-se definido para
diferentes condições superficiais dos condutores na tabela (13.01.). Tabela 13.01. – Fatores de superfície.
Condições superficiais dos condutores m Condutores cilíndricos polidos e secos 1,00 Cabos novos, secos, limpos e sem abrasão 0,92 Cabos de cobre expostos ao tempo em atmosfera limpa 0,82 Cabos de cobre expostos ao tempo em atmosfera agressiva 0,72 Cabos de alumínio novos, limpos e secos com condições superficiais decorrentes do grau de cuidado com que foram estendidos
0,53 a 0,73
Cabos molhados, novos ou usados 0,16 a 0,25 A grandeza req
É calculável pela seguinte expressão.
, denominada raio equivalente de um condutor múltiplo pode ser definida como o raio de um condutor cilíndrico fictício que se colocado no lugar do condutor múltiplo, apresentará o mesmo valor do gradiente médio existente na superfície dos subcondutores.
eqrrn
ceq Rdmg
rdmg
= (13.05.)
Sendo: dmg – distância média geométrica entre fases;
Rc
r – raio do subcondutor;
– raio capacitivo equivalente do condutor múltipo, definido na equação (12.78.);
n – número de subcondutores que formam o condutor múltiplo. A equação (13.05.) é transcedental, ou seja, deve ser resolvida por tentativas. Para que a linha apresente desempenho adequado é necessário que o gradiente de
potencial na superfície dos condutores ou subcondutores seja menor do que o gradiente crítico visual desta linha, isto é:
E < E
crv
Pesquisas recentes mostram que se pode esperar desempenho satisfatório para Ecrv
da ordem de 17,0 kV/cm.
13.5. Gradientes de potencial nos condutores das linhas de transmissão. Existem diversos métodos para o cálculo deste parâmetro. Todos eles partem de
considerações teóricas mais ou menos exatas e empregam dados básicos nunca conhecidos exatamente. Assim, métodos envolvendo elaborações complicadas e demoradas podem não acrescentar nada, em termos de precisão, caso a exatidão dos elementos de projeto possam comprometer a sofisticação das elaborações.
No caso de linhas de transmissão e, em particular, no cálculo de gradientes de potencial estas incertezas são bastante evidentes, cabendo destacar:
• Incerteza da altura média geométrica dos condutores sobre o solo – o solo
não é plano sob as linhas; • Incerteza quanto à profundidade do lençol freático. Em muitas situações é
desconhecida e seguramente varia ao longo da linha e deveria ser usada como superfície equipotencial, de potencial elétrico nulo. Entretanto, é a superfície do solo que assume esta função nos cálculos;
• O efeito do encordoamento – afeta o valor dos gradientes de potencial. Entretanto os condutores são considerados cilíndricos e suas superfícies lisas.
13.5.1. Gradientes de potencial médios em linhas com condutores simples. Considere uma linha trifásica de circuito simples com condutores de raio r e dois
pára-raios de raio rpPara esta situação pode-se escrever:
.
[ ] [ ] [ ]i1
ii VE
r1
21E −
επ
= (13.06.)
Onde: [ ]iE – vetor dos gradientes de potencial na superfície dos cabos da configuração; [ 1/ri[ E ]
] – matriz com os inversos dos raios dos cabos presentes na configuração; -1
[ ]iV
– matriz inversa dos coeficientes de potencial, definida no cálculo de capacitâncias;
– vetor das diferenças de potencial entre os cabos da configuração e o solo.
A expressão (13.06.) desmembrada é colocada na seguinte forma:
[ ][ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
επ=
p
f
ppp
pfp
fpff
p
f
VV
Er1E
r1
Er1E
r1
21
EE
[kV/cm] (13.07.)
Conforme visto em ocasiões anteriores os cabos pára-raios podem ser isolados ou
aterrados. 13.5.1.a. Pára-raios aterrados. Neste caso [ ]pV = [ 0 ], pois os pára-raios estão ao mesmo potencial do solo.
Entretanto, possuem cargas [ ]pQ ≠ [ 0 ], que aí chegam por condução desde o solo. Assim, observam-se gradientes de potencial em suas superfícies. Logo, a partir da equação (13.07.) e da condição [ ]pV = [ 0 ], determinam-se os gradientes de potencial na superfície de todos os cabos.
[ ] [ ] [ ]ffff VEr2
1E επ
= (13.08.)
13.5.1.b. Pára-raios isolados. Neste caso [ ]pE = [ 0 ], uma vez que não possuem cargas. Entretanto, estão
submetidos a uma diferença de potencial não nula, isto é, [ ]pV ≠ [ 0 ]. Com a condição
[ ]pE = [ 0 ] levada na expressão (13.07.) obtém-se a partir do segundo subconjunto de
equações o vetor [ ]pV que substituído no primeiro subconjunto fornece:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]fpf1
ppfpfff VEEEEr2
1E −−επ
= (13.09.)
Lembrando que quando a d.d.p. em uma das fases passa pelo seu valor máximo
positivo, nas demais fases estarão passando pela metade de seu valor máximo negativo, determinam-se os gradientes de potencial na superfície dos condutores das fases.
13.5.2. Gradientes de potencial médios em linhas com condutores múltiplos. A partir das equações desenvolvidas no caso anterior é possível construir a matriz
[ E ] para o cálculo das cargas médias em cada subcondutor de uma linha trifásica. Se os condutores de uma linha trifásica forem constituídos por n subcondutores e p pára-raios, a matriz [ E ] será de ordem (3n + p). Resultados satisfatórios podem ser obtidos de maneira bem mais simples assumindo o condutor múltiplo substituído por um equivalente sob o ponto de vista eletrostático, como feito no caso do cálculo das capacitâncias. Assim, os gradientes médios nos subcondutores poderão ser calculados pelas equações determinadas para a situação anterior substituindo-se r por nr(n-número
de subcondutores) e os elementos próprios da matriz [ Eff ] calculados empregando o raio capacitivo( ou eletrostático ), também identificado como sendo o raio equivalente do condutor múltiplo(Rc
Devido à proximidade das cargas em um mesmo condutor múltiplo, a divergência do campo em suas proximidades é grande. Para corrigir esta distorção determina-se o coeficiente de irregularidade dado por:
).
R2)1n(d −
=∆ (13.10.)
Onde: R – raio do círculo sobre o qual estão os subcondutores; n – número de subcondutores; d – diâmetro dos subcondutores. Assim, têm-se as equações finais para o cálculo dos gradientes máximos dadas
por: )1(EE medmáx ∆+= (13.11.)
Considerando separadamente os pára-raios aterrados e isolados a expressão
(13.11.) pode ser individualizada para cada uma das situações conforme segue. 13.5.2. a. Pára-raios aterrados.
[ ] ( )[ ][ ]fffmáxf VErn2
1Eεπ∆+
= [kV/cm] (13.12.)
13.5.2. b. Pára-raios isolados.
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]fpf1
ppfpffmáxf VEEEErn2
1E −−επ
= [kV/cm] (13.13.)
13.6. Perda de energia por efeito corona. A determinação analítica destas perdas é feita por meio de expressões em sua
grande maioria obtidas experimentalmente. 13.6.1.Perda de potência com tempo bom. Podem ser determinadas pela expressão definida a seguir.
2
26
tb
rdmgln
Vf10022,111P
φ×=
−
[kW/km/condutor ou subcondutor] (13.14.)
Onde: f – freqüência, [ Hz ]; V – valor eficaz da tensão entre fase e neutro, [ kV]; r – raio do condutor ou subcondutor, [ cm ]; dmg – distância média geométrica
entre condutores, [ cm ]; Φ – fator experimental, função da relação E / Ecrv , sendo
E[kV/cm] o valor médio para a pior condição do condutor ou subcondutor e Ecrv
[kV/cm] é o valor crítico visual do condutor ou subcondutor.
A figura mostrada a seguir fornece coeficientes de perdas por efeito corona de Peterson(Φ) para relações E / Ecrv
no intervalo entre 0,6 e 1,8.
Figura 13.01. – Coeficiente de perdas por efeito corona (Figura 10.9, página 502, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.).
13.6.2.Perda de potência sob chuva. Pode ser obtida por meio de processo analítico, verificado experimentalmente,
empregando a expressão fornecida a seguir.
P = K Pn
[ W/m ] (13.14.)
Onde:
43429,0Rln
Rln
RRln
)rn(50fK cc2
ρ
ρ
β= (13.15.)
Sendo: f – freqüência, [Hz]; r – raio dos subcondutores, [cm]; r
3,01+=β ;
Rc
múltiploscondutores/p4rn18simplescondutoresparar18
]cm[−+
−=ρ
– raio capacitivo ou raio equivalente do condutor múltiplo, [cm];
;
s
8
c C105538,5lnantiRR
−×= , [cm].
A grandeza Cs é a capacitância de serviço ou de seqüência positiva da linha e Pn representa as perdas reduzidas, obtidas na figura (13.03) em função de um coeficiente de estado da superfície m do condutor e da relação E / Ecrv. A relação E / Ecrv , também denominada gradiente de potencial relativo é determinada empregando o gradiente de potencial médio dos condutores (E[kV/cm]) e o gradiente crítico visual (Ecrv
[kV/cm]) obtido pela expressão (13.02.), corrigida apenas para levar em conta o efeito da variação da densidade relativa do ar, como na expressão (13.16.), e considerando somente o raio dos subcondutores, como definida a seguir.
]r
54187,01[1,18Eeq
crv δ+δ= (13.16.)
O coeficiente de estado de superfície m é obtido na figura (13.02.) em função do
índice de precipitação em [mm/h].
Figura 13.02. – Coeficiente de estado de superfície (Figura 10.10b, página 505, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.).
Assim, de posse do coeficiente superficial m e do gradiente de potencial relativo
E / Ecrv, obtém-se Pn na figura (13.03.).
Figura 13.03. – Perda reduzida (Figura 10.10a, página 504, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.).
13.6.3.Perdas mínimas, médias e máximas. Conforme visto as condições meteorológicas exercem significativa influência na
determinação das perdas por efeito corona e , em geral, variam ao longo do comprimento da linha caso esta seja suficientemente longa para atravessar regiões climatológicas diferentes. Assim, qualquer estudo sério, somente poderá fornecer resultados confiáveis se alicerçados em dados meteorológicos também merecedores de confiança. Desta forma, é necessário dispor de índices pluviométricos registrados hora a hora durante longos períodos, envolvendo vários ciclos de cada região climática atravessada pela linha. A ordenação destes dados permite a obtenção da curva de duração dos índices de precipitação em mm/h por ano. Com base nestes dados, é determinada pelo exposto a curva de duração de perdas anuais de potência decorrentes do efeito corona, em kW, que integrada permite determinar o valor das perdas médias anuais, conforme ilustrado na figura (13.04.).
Figura 13.04. – Curva de duração de perdas por efeito corona (Figura 10.11, página 507, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.).
Perd
as d
e Po
tênc
ia
kW
Perdas Médias Anuais Perdas c/ Bom Tempo
Perdas Máximas
Duração das Perdas Horas/Ano