87 Clculo Vetorial e Geometria Analtica Prof. Srgio de Albuquerque Souza Curso de Licenciatura em Matemtica UFPBVIRTUAL Correio eletrnico: sergio@mat.ufpb.br Stio: www.mat.ufpb.br/segio Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br Site da UFPBVIRTUALwww.virtual.ufpb.br Site do cursowww.mat.ufpb.br/ead Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 Carga horria: 60 horas Crditos: 04Descrio do Curso Este curso ir introduzir conceitos e utilizao de vetores, no espao tridimensional, para a resoluodevriosproblemasgeomtricoscomodeterminar,porexemplo,distnciasentre pontos,projees,reasevolumes.Parataisconceitosutilizaremosalgumasferramentas algbricas, via resoluo de sistemas lineares, matrizes e determinantes.Depoisdaapresentaodosvetores,iremosutiliz-loscomoferramentaparadefiniras retaseosplanosatravsdesuasequaesetrataremososproblemasdeposiesrelativas, distncias e ngulos entre retas, entre retas e planos e entre planos.Mostraremos as cnicas nas suas formas reduzidas e paramtricas, para depois introduzir ummtodomaisalgbricoparaaclassificaodascnicas,usandoautovaloreseautovetores, determinando, desta maneira, os novos eixos coordenados para a cnica. Finalmente,asqudricasseroexibidaseclassificadasapartirdesuasequaes reduzidas, mostrando o processo de construo tridimensional da mesma, atravs de cortes com os planos coordenados. Objetivos Ao final do curso voc estar habilitado a: Compreender o conceito de vetores; Ter uma compreenso espacial dos vetores; Operacionalizar vetores de forma geomtrica e analtica; Compreenderosresultadosgeomtricosenumricosassociadossoperaescom vetores; Definir as retas e os planos atravs de suas equaes, obtidas utilizando-se vetores; Determinarasposiesrelativas,osngulos,asdistncias,asinterseesentreas retas, entre as retas e os planos e entre os planos; Definir e classificar as cnicas nas formas reduzidas; Trabalhar com polinmios caractersticos, autovalores e autovetores; Classificar uma cnica dada na forma geral; 88 Definir e classificar as qudricas, superfcies cilndricas e cnicas. Projeto da Disciplina AdisciplinaestestruturadaemtrsUnidadesTemticasIntegradas.Cadaumacontm itens e subitens que os remetem s outras unidades. Os temas abordados sero acompanhados deumaexposio,umaanimao,vdeosouilustraes,comindicaodetextosdeapoioe problematizao das questes do texto. Para cada Unidade ser aberta uma discusso no frum e proposta uma atividade de avaliao. Unidades Temticas Integradas Unidade IVetores Situando a Temtica Problematizando a Temtica Conhecendo a Temtica Introduo Segmentos Orientados Norma, direo e sentido Vetores Operaes elementares com vetores Soma Multiplicao por escalar Combinao Linear Dependncia Linear ngulos entre vetores Produtos entre vetores Produto Interno Produto Vetorial Produto Misto Vetores do R3 em coordenadas Exemplos Avaliando o que foi construdo Unidade IIRetas e Planos Situando a Temtica Problematizando a Temtica Conhecendo a Temtica Introduo 89 O plano Por trs pontos Por um ponto e dois vetores Um ponto e um vetor perpendicular A reta Por dois pontos Por um ponto e um vetor Por dois planos Posio relativa Entre retas Entre retas e planos Entre planos ngulo Nulo No nulo Intersees Vazia No vazia Distncias Igual a zero Diferente de zero Exemplos Avaliando o que foi construdo Unidade IIICnicas e Qudricas Situando a Temtica Problematizando a Temtica Conhecendo a Temtica Introduo Cnicas Forma reduzida Autovalores e autovetores Classificando as cnicas Qudricas Esfera Elipside Hiperbolide de uma folha Hiperbolide de duas folhas Parabolide elptico Parabolide hiperblico 90 Superfcie cnica Superfcie cilndrica Exemplos Cnicas Qudricas Avaliando o que foi construdo 91 Unidade IVetores 1.Situando a Temtica Nestaunidadeestudaremosedefiniremosvetores,bemcomoasoperaescomesses vetores, obtendo resultados geomtricos e analticos, utilizando como base os conceitos bsicos da trigonometria, como tringulos retngulos e suas relaes. O tratamento vetorial de vrios problemas matemticos e fsicos simplifica a compreenso eoestudodestesproblemas,possibilitandoaampliao,generalizaoeconfirmaodos conceitos e definies existentes. 2. Problematizando a Temtica Trataremosvriosproblemasgeomtricos,comoporexemplo,readeumtringulo qualquer,projees,volumedeumparalelogramo,perpendicularismo,paralelismoengulos, utilizando as facilidades dadas pelas propriedades encontradas nos vetores e suas operaes. 3.Conhecendo a Temtica 3.1Introduo Oestudodevetoresiniciou-senofinaldosculoXIX.Elesconstituemosinstrumentos ideaisparaodesenvolvimentodemuitosconceitosimportantesnasvriasreasdo conhecimento, como em Fsica e em Matemtica. Existem basicamente trs maneiras de se introduzir o estudo de vetores: Geometricamente:osvetoressorepresentadosporsegmentosderetaorientados (setas) e as operaes com eles so definidas geometricamente; Analiticamente:osvetoresecorrespondentesoperaessodescritosemtermosde nmeros, chamados componentes dos vetores. A descrio analtica resulta naturalmente da descrio geomtrica, desde que seja introduzido um sistema de coordenadas; Axiomaticamente:nosefazqualquertentativaparasedescreverumvetorouas operaesalgbricascomvetores.Nestecaso,vetoreseoperaesvetoriaisso consideradosconceitosnodefinidos,relativamenteaosquaissesabeapenasqueeles satisfazemcertoconjuntodeaxiomas.Talsistemaalgbrico,comaxiomasapropriados, chama-seespaovetorial.EmtodososramosdaMatemticaseencontramespaos vetoriais e eles so apresentados em cursos de lgebra Linear. Nesta unidade, inicialmente introduzimos vetores geometricamente de modo construtivo e j apelando para a visualizao do mesmo, dentro do espao tridimensional. Depois, utilizamos o mtodo analtico e geomtrico para introduzir outros conceitos e operaes. 92 3.2Segmentos Orientados Definio: Dados dois pontos distintos A e B quaisquer, que determinam uma reta r, chamaremos de segmentoAB, ao conjunto formado por todos os pontos da reta r entre A eB . Observao: Note que o segmentoBA AB= . O segmentoAA ser considerado segmento nulo. Definio:UmsegmentoorientadoABdefinido porumsegmentoABmaisaescolhadeum dosseusextremoscomopontoinicialeooutrocomopontofinal,ouseja,daremosuma orientao de como deve ser olhado o segmento. Exemplo:Considereafiguradoparaleleppedodafigura 1, o segmento orientadoAB tem ponto inicial o ponto A e ponto final B. Observao: Note que o segmento orientadoBA AB . Exerccio: Considere o paraleleppedo da figura 1. a)Verifique que existem 36 segmentos que podem ser definidos pelos pontos ABCDEFGH. b)So 64 segmentos orientados? 3.3Norma, direo e sentido Para efeito da definio e estudo de vetores, precisamos comparar um segmento orientado a um outro, observando as trs seguintes caractersticas: Norma: o comprimento do segmento orientadoAB, denotado porAB . Direo:doissegmentosorientadosABeCDteromesmadireoseasretasqueos contm so coincidentes ou paralelas. Sentido: dois segmentos orientadosAB eCD que tiverem a mesma direo e no forem colineares,tmomesmosentidoquando} { = BD ACI,casocontrriotmsentidos opostos. Os segmentos orientadosAB e CD colineares tm o mesmo sentido, quando um outro segmento auxiliar' ' B Ano colinear comCD e no mesmo sentido deAB, satisfaz } { = ' ' D B C AI Exemplo: Considere a figura do paraleleppedo da figura 1: Figura 1 Paraleleppedo ABCDEFGH 93 a)OssegmentosorientadosBG ,GB,FC ,CF ,AH ,HA,EDeDE possuemamesma norma; b)Os segmentos orientadosAB,EF ,DCeHG possuem o mesmo sentido; c)OssegmentosorientadosAB,BA,EF ,FE ,DC ,CD,HGeGH possuemamesma direo; Definio: Diremos que dois segmentos orientadosMN ePQ, no nulos, so eqipolentes se os segmentostiveremamesmanorma,mesmadireoemesmosentido,erepresentaremosessa relao comPQ MN~ . Observao: Todos os segmentos nulos so eqipolentes entre si, ou seja,BB AA ~ . Exemplo: No exemplo anterior, temos que o segmento orientado: a)AB eqipolente aos segmentosDC,EFeHG; b)AE eqipolente aos segmentosBF, CG eDH ; c)AD eqipolente aos segmentosBC,EH eFG; d)AF eqipolente ao segmentoDG apenas; e)AH eqipolente ao segmentoBG ; f)AC eqipolente ao segmentoEG ; g)AGeqipolenteapenasaele,poisnoeqipolenteanenhumdosoutrossegmentos formado por esses pontos. Exerccio: Encontrar todos os segmentos orientados eqipolentes, que podem ser formados com os pontos da figura 1. Propriedade:DadostrssegmentosorientadosquaisquerMN,PQeRStemosemrelao eqipolncia que: PE1 Propriedade reflexiva:PQ PQ~ PE2 Propriedade simtrica: SePQ MN~entoMN PQ~ . PE3 Propriedade transitiva: SePQ MN~eRS PQ~entoRS MN~ . PE4 Propriedade do paralelogramo: SePQ MN~entoNQ MP~ PE5 Dado um ponto qualquer P, possvel determinar outro ponto Q de tal forma quePQ MN~ . 94 Observaes:Note que, com as propriedades de eqipolncia, podemos construir em qualquer local do espao tridimensional, um segmento eqipolente a um outro segmento dado qualquer. Toda relao que reflexiva, simtrica e transitiva chamada de relao de equivalncia, logo a eqipolncia uma relao de equivalncia. 3.4Vetores Vamosconsiderarcomovetor,umrepresentantedaclassedossegmentosorientados eqipolentesaumsegmentoorientadodadoqualquer,ouseja,ovetornoumsegmento orientado (conjunto de pontos) especfico, mas um representante dos segmentos orientados que tem a mesma direo, mesmo sentido e mesmo comprimento de um segmento dado. Observaes:O vetor determinado pelo segmento orientadoABser representado porAB , ou por uma letra minsculaar.ValereforarqueosegmentoorientadoAB umconjuntodepontos,enquantoovetor AB umrepresentantedeumconjuntodevetoreseqipolentesaosegmentoorientado AB . Definio: O vetor determinado por todos os segmentos orientados nulos, ser chamado de vetor nulo, denotado por0r. Definio: Um vetorar qualquer chamado de vetor unitrio, se a sua norma for igual a um, ou seja,1 || || = ar. Exemplo:Dafigura2,considereosvetoresur,vrewr, comosendorepresentantesdaclassedossegmentos orientadoseqipolentesaAB,AC eADrespectivamente, logo:a)ur pode ser representado por um dos elementos do conjunto{ } HG , EF , DC , AB ;b)vr por um dos elementos do conjunto { } EH , FG , BC , AD ; c)wr por um dos elementos do conjunto { } DH , CG , BF , AE ; Figura 2 Paraleleppedo ABCDEFGH Desafio:Quantosequaissoos vetoresquepodemser representadosnafigura2 acima? 95 ouseja,comorepresentantestemosqueosvetoressoiguais,istoHG EF DC AB u = = = =r, EH FG BC AD v = = = =r eDH CG BF AE w = = = =r. 3.5Operaes elementares com vetores 3.5.1Soma A soma de dois vetoresur evr quaisquer, obtida graficamente, da seguinte maneira (ver figura 3): Escolha um ponto qualquer A; DopontoAconstruaumoutrorepresentanteparao vetorur, ou seja,AB u =r; DopontoBconstruaumoutrorepresentanteparao vetorvr, ou seja,BC v =r; O vetor somav ur r+ser representado pelo vetorAC. Propriedade: Dados trs vetoresur,vr ewr quaisquer, temos que: PS1 Propriedade comutativa:v u u vr r r r+ = +Da figura 3, temos que: AC BC AB v u = + = +r r AC DC AD u v = + = +r r PS2 Elemento neutro da soma:u 0 0 u urr rr r+ = + =Da figura 3, temos que: AB BB AB = + = + 0 urr AB AB AA = + = + u 0rr PS3 Elemento oposto:u u 0 ) u (- ur rrr r+ = = +Da figura 3, temos que: AA BA AB = + = + ) u ( ur r BB AB BA = + = + u ) u (r r PS4 Propriedade associativa: ) ( ) ( w v u w v ur r r r r r+ + = + +Da figura 4, temos que: Figura 3 Soma dos vetoresur evr Figura 4 Soma dos vetoresur,vr ewr 96 ( ) AD CD AC CD BC AB w v u = + = + + = + +r r r) ( ( ) AD BD AB CD BC AB w v u = + = + + = + + ) (r r r Exemplo: Da figura 2, considerando os vetoresur,vr ewr (verifique os seguintes resultados!) a)AC EH AB = +b)AC EH HG = +c)AG HG AE BC = + +d)HB HD DA AB = + +3.5.2Multiplicao por escalar Definio:Amultiplicaodeumvetorar,nonulo,porumescalarR ,ovetor, representadoporar ,quetemmesmadireodovetorar,normaiguala|| || . | | ar ,mesmo sentido, se0 > e, se0 < , sentido oposto. Observao: Qualquer vetor multiplicado por0 = ser o vetor nulo, ou seja,0 a 0rr=e qualquer valorR multiplicado pelo vetor nulo ser o vetor nulo, isto 0 0r r= . Asoperaesaritmticascomunstambmsoidnticascomasoperaesde multiplicao de escalar por vetores, que seguem nas propriedades exibidas a seguir. Propriedade: Dados os vetoresur evr quaisquer e os nmerosR , , temos que: PME1 Propriedade distributiva do escalar em relao soma de vetores: v u ) v u (r r r r + = +PME2 Propriedade distributiva do vetor em relao soma dos escalares: u u u ) (r r r + = +PME3 Elemento neutro da multiplicao por escalar: u u . 1r r=PME4) u ( ) u ( u ) (r r r = = Observao:Umconjuntoqualquerondesodefinidasduasoperaes,normalmente denominadasdesomaemultiplicao,equesatisfazemaspropriedadesdasomaPS1,PS2, PS3,PS4easpropriedadesdamultiplicaoporescalarPME1,PME2,PME3ePME4 chamado de espao vetorial. Os elementos desse conjunto so chamados de vetores (este tema ser abordado no prximo semestre na disciplina Introduo lgebra Linear). 97 Exemplo: Na figura 5, observe os vetoresar21, ar2 , ar3 ear. Figura 5 Vetores ar21, ar2 , ar3 ear Exemplo:ConsidereumtringuloABCqualquer,eospontosDeEcomopontosmdiosdos segmentosABeBCrespectivamenteeAB u=r,BC v=reAC w=r,comoexemplificadono tringulo da figura 6, logo: a)w v ur r r= + ; b)u DB ADr21= =ev EC BEr21= = , pois D e E so pontos mdios; c)w AC DEr2121= = ,poisw v u v u BE DB DEr r r r r21) (212121= + = + = + = ,ouseja,almdemostrar que o segmentoDE paralelo ao segmentoAC , mostramos tambm que o segmentoDEtem a metade do comprimento do segmentoAC . Figura 6 Tringulo ABC e quadriltero FGHI Exemplo:DadoumquadrilteroFGHIqualquerepontosJ,K,LeMcomopontosmdiosdos segmentosFG,GH ,HIeIFrespectivamente, exemplificado como na figura 6, entoML JK=eKL JM= , ou seja, JKLM um paralelogramo. Exemplo: Dado um vetor0rr aqualquer, o vetoraaurrr|| ||1= unitrio, ou seja, sua norma igual a 1, pois 1 || |||| ||1|| |||| ||1|| ||1|| || = = = = aaaaaaurrrrrrr. 98 3.6Combinao Linear Definio:Diremosqueumvetorarumacombinaolineardos(geradopelos)vetores 1br,2br,3br,K,nbrseexistiremnmerosreais 1 ,2 ,3 ,K,n ,taisqueovetorarpossaser formado pela soma:n 3 3 2 2 1 1b b b b arLr r rrn + + + + = Observao:Osnmeros 1 , 2 , 3 ,K,n sochamadosdecoeficientesdovetorarem relao aos vetores 1br, 2br, 3br,K, nbr. Exemplo: Da figura 6, considerando os vetoresur,vr ewr do tringulo, temos: a)DE uma combinao linear dos vetoresur evr, poisv u DEr r2121+ = ; b)wr uma combinao linear dos vetoresur evr, poisv u wr r r1 1 + = ; c)wr uma combinao linear do vetorDE , poisDE w 2 =r; Exemplo: Da figura 2, considerando os vetoresur,vr ewr, temos: a)AG uma combinao linear dos vetoresur,vr ewr, poisw 1 v 1 u 1 AGr r r+ + = ; b)BE uma combinao linear dos vetoresur,vr ewr, poisw 1 v 0 u 1 BEr r r+ + = ; c)BE tambm uma combinao linear dos vetoresur ewr, poisw 1 u 1 BEr r+ = ; d)BEnoumacombinaolineardosvetoresurevrpois,paradeterminarovetor necessrio usar o vetorwr. Exerccio: Da figura 2, considerando os vetoresur,vr ewr, verifique que: a)BG uma combinao linear dos vetoresur,vr ewr? b)BG uma combinao linear dos vetoresvr ewr? c)CE uma combinao linear dos vetoresur,vr ewr? 3.7Dependncia Linear Definio:Diremosqueosvetores 1br,2br,K,ibr,K,nbr,solinearmentedependentes(LD),se umdosvetores,porexemplo, ibrforcominaolineardosoutros1 n vetores,casocontrrio, diremos que so linearmente independentes (LI). 99 Apesardadefiniodedependncialinearsergeral,nonossotextotrabalharemosno mximonoespaotridimensional,portantoteremosalgumasrelaesgeomtricas,visveis,em relao dependncia linear, quais sejam: DoisvetoresurevrsoLDseosmesmostiverem amesmadireo,ouseja,seum for mltiplo do outro:v ur r = ; Trs vetoresur,vr ewr so LD se so paralelos a um plano; Quatro vetores so sempre LD no espao tridimensional. Exemplo: Da figura 2, considerando os vetoresur,vr ewr, temos que os vetores: a)AB ,AC eAD so LD; b)ABeDC so LD; c)ur,vr ewr so LI (verifique!); Definio: Diremos que o conjunto} a , , a , a {n 2 1rKr r uma base para o nR(espao com n dimenses) se 1ar,2ar,K,nar forem vetores LI de nR . Exemplo: Da figura 2, considerando os vetoresur,vr ewr, temos que:a)} , , { w v ur r uma base do 3R , pois so 3 vetores LI no espao tridimensional; b)} , , { AH AF AC uma base do 3R , pois so 3 vetores LI no espao tridimensional; c)} , { v ur no uma base do 3R , pois um conjunto com apenas 2 vetores; d)} , , { AC v ur no uma base do 3R , pois so 3 vetores LD; e)} , , , { AG w v ur r no uma base do 3R , pois um conjunto com 4 vetores. Definio:Umabase} a , , a , a {n 2 1rKr rparao nR chamadadebaseortogonalsedoisa doisos seus vetores so ortogonais e de base ortonormal se alm de ser ortogonal, os seus vetores so unitrios, ou seja, de norma igual a 1. Exemplo: Da figura 3, considerando os vetoresur,vr ewr, temos que: a)} , , { w v ur r uma base ortogonal do 3R , pois seus vetores so perpendiculares dois a dois; b) )`|| ||,|| ||,|| || wwvvuurrrrumabaseortonormaldo 3R ,poisperpendicularesdoisadoise unitrios. 100 Avantagemdesetrabalharemumabaseortonormalqueamesmafacilitaavisualizao tridimensional (pense na quina do cho de sua sala), bem como as futuras operaes algbricas que surgiro no decorrer da disciplina. Teorema:Osvetores 1br,2br,3br,K,nbrsolinearmenteindependentes(LI)se,esomentese,a equao 0 b b b bn 3 3 2 2 1 1r rLr r r= + + + +n possuir como nica soluo01 = ,02= ,03= ,K, 0 =n , ou seja, apenas a soluo trivial. Demonstrao: Na demonstrao deste teorema, usaremos o mtodo da reduo ao absurdo, ou seja, nega-se a tese e chega-se a uma contradio.

Hiptese: Vamos supor que os vetores 1br,2br,K,ibr,K,nbr so LI.Seaequao0 b b b bn i 2 2 1 1r rLrLr r= + + + + +n i possuirumasoluonotrivial,ouseja, umdoscoeficientesnonulo0 i ( n i 1 ).Nestecaso,temos ibrcomaseguinte combinaolinear n 332211ib b b b brLr r r rini i i = oqueumabsurdo,poispor hiptese os vetores so LI. Hiptese:Vamosconsiderarqueaequao0 b b b bn i 2 2 1 1r rLrLr r= + + + + +n i sadmitaa soluo trivial02 1= = = = = =n i L L .Seumdosvetores0 bir r forcombinaolineardos1 n vetores 1br,2br,K,nbr,teremos n 2 2 1 1 ib b b brLr r rn + + + = , logo podemos escrever a igualdade: 0 b ) b ( b bn i 2 2 1 1r rLrLr r= + + + + +n ouseja, 1 ,2 ,K, 1 =i ,K,n tambmumaoutrasoluodaequao,oqueum absurdo pois, por hiptese, a equao s admite a soluo trivial. Observao:Notequeasoluotrivial02 1= = = = = =n i L L sempresoluoparaa equao, pois0 b 0 b 0 b 0 b 0n 3 2 1r rLr r r= + + + + , mas a fora do teorema a exigncia da soluo ser nica. Exerccio: Da figura 2, verifique que{ } AH , AF , ACtambm uma base do 3R . Soluo:Paraverificarque{ } AH , AF , AC base,bastaverqueso3vetoresLIem 3R .A quantidadedevetoresestbviaeparamostrarquesoLIutilizaremosoteoremaacima,mas para tanto utilizaremos dois fatos: 101 Osvetoresur,vrewrsoLI,poisnosoparalelosaumplano,temospeloteorema acima que uma equao0 w v u3 2 1rr r r= + + possui soluo nica03 2 1= = = .OsvetoresAC ,AF eAH socombinaeslinearesdosvetoresur,vrewrpodemos escrev-los da forma:w 0 v 1 u 1r r r+ + = AC ,w 1 v 0 u 1r r r+ + = AFew 1 v 1 u 0r r r+ + = AH . Vamosmontaraequaoexigidanoteoremaeverificarqueaequao 0 AH AF AC3 2 1r= + + possui soluo nica. De fato: 0 AH AF AC3 2 1r= + + 0 ) w 1 v 1 u 0 ( ) w 1 v 0 u 1 ( ) w 0 v 1 u 1 (3 2 1rr r r r r r r r r= + + + + + + + + 0 ) w v ( ) w u ( ) v u (3 2 1rr r r r r r= + + + + + 0 w ) ( v ) ( u ) (3 2 3 1 2 1rr r r= + + + + + Note que a ltima equao acima possui soluo nica, ou seja,0 ) (2 1= + ,0 ) (3 1= + e0 ) (3 2= + O que resulta em um sistema de trs equaes e trs incgnitas:= += += +0003 23 12 1 , cuja soluo a trivial e nica03 2 1= = = . 3.8ngulos entre vetores Definio:Vamosconsideraronguloentredoisvetores arebr,nonulos,comosendoamedida domenor ngulo entre dois representantes dos vetoresar ebr, tendo ambosomesmopontoinicial,onde 0(o o180 0 ). Denotaremos essa medida por = ) , ( b arr. Noteque,independentedaescolhadosrepresentantesdosvetoresDF AC a = =re DE AB b = =r(verfigura7),amedida donguloB A C)igualmedida donguloE D F), pois: a reta definida pelos pontos A e C paralela reta definida pelos pontos D e F e a reta definida pelos pontos A e B paralela reta definida pelos pontos D e E. 3.9Produtos entre vetores Figura 7 ngulo entre os vetoresar ebr 102 Destemomentoemdiante,estaremossempretrabalhandonoespaotridimensional 3R , pormalgumasidiastambmpodemserexpandidasparadimensesmaiores,quesero tratadas na disciplina lgebra Linear. Osprodutosentrevetoressooperaesquetrazemumapelogeomtricobem interessante e que sero muito teis na compreenso das definies, propriedades e resolues dealgunsproblemas,poisestesprodutosestorelacionadoscomasgrandezascomprimento (produto interno), rea (produto vetorial) e volume (produto misto), gerado por vetores em certas condies.3.9.1Produto Interno Oprodutointernoestmuitorelacionadocomumamedidadeumadimenso,um comprimento, seja olhando como o tamanho de uma projeo de um vetor em relao a um outro, seja vendo como o comprimento de um vetor qualquer. Definio:Oprodutointernoentredoisvetoresarebrnonulos,onmerodenotadopor b avre definido pela expresso: ) , cos( . || || . || || b a b a b avrvrvr= Observao:Estenmero,produtointerno, aparentemente vindo do nada, na realidade surge de uma simplesrazotrigonomtricaemumtringuloretngulo ABC(verfigura8),dadapor) cos( . a c= ou hipotenusaadjacente catetoac= = ) cos( .Considerandounitrioovetorbr,temosdotringuloDEF que a norma do vetorDF b a ) b , a cos( || b || || a || ) cos( || a || DFvrvrrr r = = = , ou seja, podemos verestenmerocomosendoocomprimentodaprojeodovetoraremrelaodireodo vetor unitriobr. Figura 9 Paraleleppedo ABCDEFGH com medidas 5x2x3 Exemplo: Considere os vetores unitrios e ortogonaisur,vr ewr da figura 9, ento: Figura 8 Tringulos ABC e DEF 103 a)0 ) 90 cos( . 1 . 1 ) , cos( . || || . || || = = = ov u v u v ur r r r r r b)0 ) 90 cos( . 1 . 1 ) , cos( . || || . || || = = = ow v w v w vr r r r r r c)0 ) 90 cos( . 1 . 1 ) , cos( . || || . || || = = = ou w u w u wr r r r r r d)1 ) 0 cos( . 1 . 1 ) , cos( . || || . || || = = = ou u u u u ur r r r r r e)1 ) 180 cos( . 1 . 1 ) , cos( . || || . || || ) ( = = = ou u u u u ur r r r r r f)0 ) 90 cos( . 2 . 5 ) 2 , 5 cos( . || 2 || . || 5 || ) 2 ( ) 5 ( = = = ov u v u v ur r r r r r g)0 ) 90 cos( . 2 . 5 ) , cos( . || || . || || = = = oAD AB AD AB AD ABh)0 ) 90 cos( . 2 . 3 ) , cos( . || || . || || = = = oAD AE AD AE AD AE Exerccio: Encontre os produtos internos de todas as combinaes entre os vetoresur,vr ewr da figura 9, bem como de seus opostos. Propriedades: Dados trs vetoresur,vr ewr quaisquer e os nmerosR , , temos: PPI1 Propriedade comutativa:u v v ur r r r = Como as medidas angulares entre os vetoresur evr so iguais, ou seja,) , ( ) , ( u v v ur r r r= , da definio temos:u v u v u v b u v u v ur r r r r rvr r r r r = = = ) , cos( . || || . || || ) , cos( . || || . || || PPI2Propriedadedistributivadoprodutointernoem relao soma: w u v u w v ur r r r r r r + = + ) (Considerandoovetorurcomosendounitrioeos vetoresvr ewr, como na figura 10, temos que: v u v u v u v u v ABr r r r r r r r r = = = ) , cos( . || || . || || ) , cos( . || ||1 w u w u w u w u w C Br r r r r r r r r = = = ) , cos( . || || . || || ) , cos( . || ||1 1 ) ( ) , cos( . || || . || || ) , cos( . || ||1w v u w v u w v u w v u w v ACr r r r r r r r r r r r r r+ = + + = + + =Como 1 1 1 1C B AB AC + = , conclumos quew u v u w v ur r r r r r r + = + ) ( . Exerccio: Mostre que a propriedade acima tambm vlida quando pelo menos um dos ngulos ( ur, vr) ou ( ur, wr) maior que 90o. Figura 10 Propriedade PPI2 104 PPI3) ( ) ( ) ( v u v u v ur r r r r r = = Se0 > , temos que: v u b u v u b u v u v ur rvr r rvr r r r r = = = ) ( ) , cos( . || || . || || ) , cos( . || || . || || ) ( ; Se0 < , temos que: v u v u v u v u v u v ur r r r r r r r r r r r = = = ) ( ) , cos( . || || . || || . | | ) , cos( . || || . || || ) ( , pois ) , cos( ) , cos( v u v ur r r r = . (Faa um esboo e verifique este fato) PPI4 2|| || u u ur r r= ouu u ur r r = || ||Como a medida angular entre os vetoresur eur zero, da definio temos:2 2|| || 0 cos . || || ) , cos( . || || . || || u u u u u u u uor r r r r r r r= = = Exerccio: Supondo que3 || || = ur,2 || || = vr e que o30 medida do ngulo entre os vetoresur e vr, determinev ur re|| 2 - u 3 || vr r. Soluo:Como) , cos( . || || . || || b u v u v uvr r r r r= , temos que: ( ) 3 3 . 123 3 2233 2 ) 30 cos( ). 2 .( 3 = = = = = ov ur r Como) 2 - u 3 ( ) 2 - u 3 ( || 2 - u 3 ||2v v vr r r r r r =e7 16 36 27 || || 4 ) u ( 12 || u || 9|| 2 || ) 2 ( ) u 3 ( 2 || u 3 || ) 2 - u 3 ( ) 2 - u 3 (2 22 2= + = + == + = v vv v v vr r r rr r r r r r r r temos que:7 || 2 - u 3 || = vr r Exemplo: Com base nestas propriedades e considerando os vetores unitrios e ortogonaisur,vr ewr da figura 9, temos: a)= + = + = + = ) ( 10 ) ( 25 ) 2 5 ( ) 5 5 ( ) 2 5 ( ) 5 ( v u u u v u u u v u u AC ABr r r r r r r r r r r 25 0 10 1 25 = + = AC ABb)= + + + + = ) 3 2 5 ( ) 3 2 5 ( w v u w v u AG AGr r r r r r [ ] [ ] [ ] = + + + + + + + + = ) 3 2 5 ( 3 ) 3 2 5 ( 2 ) 3 2 5 ( 5 w v u w w v u v w v u ur r r r r r r r r r r r [ ] [ ][ ] = + + ++ + + + + + =) 3 3 2 3 5 33 2 2 2 5 2 3 5 2 5 5 5w w v w u ww v v v u v w u v u u ur r r r r rr r r r r r r r r r r r [ ] [ ][ ] = + + ++ + + + + + =) ( 9 ) ( 6 ) ( 15) ( 6 ) ( 4 ) ( 10 ) ( 15 ) ( 10 ) ( 25w w v w u ww v v v u v w u v u u ur r r r r rr r r r r r r r r r r r [ ] [ ] [ ] = + + + + + + + + = ) 1 ( 9 ) 0 ( 6 ) 0 ( 15 ) 0 ( 6 ) 1 ( 4 ) 0 ( 10 ) 0 ( 15 ) 0 ( 10 ) 1 ( 25[ ] [ ] [ ] 38 9 0 0 0 4 0 0 0 25 = + + + + + + + + =105 c) 38 = = AG AG AG d)= + + + = ) 3 2 5 ( ) 3 2 5 ( w v u w v u CE AGr r r r r r [ ] [ ][ ] = + + ++ + + + + + =w w v w u ww v v v u v w u v u u ur r r r r rr r r r r r r r r r r r3 3 ) 2 ( 3 ) 5 ( 33 2 ) 2 ( 2 ) 5 ( 2 3 5 ) 2 ( 5 ) 5 ( 5 [ ] [ ][ ] = + ++ + + + =) ( 9 ) ( 6 ) ( 15) ( 6 ) ( 4 ) ( 10 ) ( 15 ) ( 10 ) ( 25w w v w u ww v v v u v w u v u u ur r r r r rr r r r r r r r r r r r [ ] [ ][ ] = + ++ + + + =) 1 ( 9 ) 0 ( 6 ) 0 ( 15) 0 ( 6 ) 1 ( 4 ) 0 ( 10 ) 0 ( 15 ) 0 ( 10 ) 1 ( 25 [ ] [ ] [ ] 20 9 4 25 9 0 0 0 4 0 0 0 25 = + = + + + + + =e)OsvetoresAGeCE estorepresentadosporduasdiagonaisinternas,dadefiniodo produto interno para esses vetores, temos: ( ) CE AG AG CE CE AG , cos . || || . || || = ( ) CE AG, cos . 38 . 38 20 =( ) 0,5261910382038 . 3820, cos === CE AG Portanto podemos calcular o ngulo entre as diagonais (vetores), como( )o122 0,526) arccos( , = CE AG Exerccio:DemonstreoteoremadePitgorasparaumtringuloretnguloqualquer(vero tringulo ABC figura 8) Soluo:ConsidereosvetoresAC c=reCB b=r,portantoovetorb c ABvr+ = ,calculandoa norma ao quadrado do vetorAB (hipotenusa ao quadrado), temos: 22222 2 ) ( ) ( b b c c b b b c c c b c b c b c ABv vr rv v vr r rvrvrvr+ + = + + = + + = + =comootringuloretngulo,osvetorescrebrsoperpendiculares,portanto0 = b cvr,oque resulta em: 2 2 2222c b a b c b c + = + = +vrvr Proposio:Emumabaseortonormal} , , { w v ur r,sew z v y u x aa a ar r r+ + = ew z v y u x bb b br rr+ + = , ento o produto interno entre os vetoresar ebr:b a b a b az z y y x x b a + + = rr. Exerccio: Usando a base} , , { w v ur r da figura 9, calculeCE AG . 106 Soluo:Comow v u AGr r r3 2 5 + + = ew v u CEr r r3 2 5 + = ,usandoaproposioacima,temos 20 9 4 25 ) 3 ).( 3 ( ) 2 ).( 2 ( ) 5 ).( 5 ( = + = + + = CE AG ,comojhavamoscalculado anteriormente. 3.9.2Produto Vetorial Oprodutovetorialentredoisvetoresumvetorcujanormaestrelacionada, geometricamente, com uma medida em duas dimenses, ou seja, uma rea. O fato de o produto vetorial no ser o vetor nulo ser um indicativo, por exemplo, de que: Trs pontos, que definem dois vetores, formam um tringulo, ou seja, no so colineares; A distncia entre duas retas paralelas positiva (unidade 3); Alm disso, o produto vetorial tem muitos usos em Fsica como campo magntico, toro, etc. Definio: O produto vetorial entre dois vetoresar ebr no nulos, o vetor denotado porb arr , definido pelas seguintes caractersticas: Direo:Perpendicular aos vetoresar ebr, ou seja,a b arrr eb b ar rr ; Norma:) , sen( || || . || || || || b a b a b arrrrrr= Sentido: dado pela regra da mo direita que equivalente, algebricamente a} , , { b a b arrrrser uma base positiva do 3R . Observaes:Analisando a figura 11 em relao definio do produto vetorial,Notequeapenascomadireoteramosumainfinidadedevetorespararepresentaro vetorb arr ,poisqualquervetorAD ,onder D ,satisfazadireoexigida,onder a reta quecontmopontoA eperpendicularaos vetoresar ebr; Comacaractersticadanorma,teramosduas possibilidadesparaovetorb arr ,ouseja,ovetor AD eovetorAE ,desdequeestestenhama norma igual ab arr ; Para que o vetorb arrseja bem definido, teremos Figura 11 Produto Vetorial 107 queescolherumdeles.Aescolhaserfeitausandoaregradamodireita,exibidano tpico a seguir, mas j adiantando o vetorb arr o vetorAD . Note que o vetorAE , tem mesma direo, mesmo comprimento, mas sentido oposto, logo este vetor o oposto do vetorb arr , ou seja,) ( b a AErr = . 3.9.2.1Regra da mo direita AregradamodireitaserveinformalmenteparadefinirsetrsvetoresLIformamuma base positiva ou orientao positiva e, no nosso caso em particular, para determinar o sentido do vetorb arr . Estaregraconsisteemusaramodireitaeosdedosdestamodaseguintemaneira, conforme a figura 12: Posicionar o dedo indicador na direoesentidodovetorar (primeiro vetor); Posicionarodedomdiona direoesentidodobr (segundo vetor); Opolegarindicarqual sentido o vetorb arrdeve ter, que ser necessariamente perpendicular aos vetoresb arr , por definio. Caso tenhamos trs vetoresar,br ecr, tendocr a mesma direo deb arrmas sentido oposto, dizemos que a orientao destes vetores negativa. Exemplo: Considere os vetores unitrios e ortogonaisur,vr ewr da figura 9, ento: a)w v ur r r= , pois: owr perpendicular aos vetoresur evr; o1 ) 90 ( . 1 . 1 ) , ( || || . || || || || = = =osen v u sen v u wr r r r r; ousando a regra da mo direita, confirmamos o resultado; b)u w vr r r= , anlogo ao anterior; c)v u wr r r= , anlogo aos anteriores; d)w u vr r r = , pela definio; e)w v ur r r6 2 3 = , pois: owr6 perpendicular aos vetoresur3evr2 ; o6 ) 90 ( . 2 . 3 ) 2 , 3 ( || 2 || . || 3 || || 6 || = = =osen v u sen v u wr r r r r; ousando a regra da mo direita, confirmamos o resultado; Figura 12 Regra da mo direita 108 f)0rr r= u u , poiso0 ) 0 ( . 1 . 1 ) , ( || || . || || || || = = = osen u u sen u u u ur r r r r r; Propriedades: Dados trs vetoresur,vr ewr quaisquer e o nmeroR , temos que: PPV1) ( u v v ur r r r = segue da definio; PPV2) ( ) ( ) ( v u v u v ur r r r r r = = PPV3 Propriedade distributiva:w u v u w v ur r r r r r r + = + ) (e w v w u w v ur r r r r r r + = + ) ( Exerccio:Encontreos produtosvetoriaisde todasascombinaesentreosvetoresur,vrewr da figura 9, bem como de seus opostos. Observaes:Geometricamenteonmeroassociadonorma || || b arr exatamenteareadoparalelogramo formadopelosvetoresarebr,conformeafigura 13.Basta observar que a rea de um paralelogramo qualquer sempre comprimento da base vezesaaltura.Logo,nocasodoparalelogramoABCDformadopelosvetores,area dada porDE AB altura base A . = = , onde do tringulo retngulo ADE temos a seguinte relao: ) , ( . || || ) ( . b a sen b sen AD DErrr= = , logo a rea dada por: || || ) , ( || || . || || . b a b a sen b a DE AB Arrrrrr = = =NotequeasreasdostringulosABDeBCDsoiguaismetadedareado paralelogramo 2|| ||2b a AArr= =. Exemplo: Com base nessas propriedades e considerando os vetores unitrios e ortogonaisur,vr ewr da figura 9, temos: a)= + = + = + = ) ( 10 ) ( 25 ) 2 5 ( ) 5 5 ( ) 2 5 ( ) 5 ( v u u u v u u u v u u AC ABr r r r r r r r r r r w wr rr10 10 0 25 = + = b)= + + + + = ) 3 2 5 ( ) 3 2 5 ( w v u w v u AG AGr r r r r r [ ] [ ] [ ] = + + + + + + + + = ) 3 2 5 ( 3 ) 3 2 5 ( 2 ) 3 2 5 ( 5 w v u w w v u v w v u ur r r r r r r r r r r r Figura 13 rea do Paralelogramo ABCD 109 [ ] [ ][ ] = + + ++ + + + + + =) 3 3 2 3 5 33 2 2 2 5 2 3 5 2 5 5 5w w v w u ww v v v u v w u v u u ur r r r r rr r r r r r r r r r r r [ ] [ ][ ] = + + ++ + + + + + =) ( 9 ) ( 6 ) ( 15) ( 6 ) ( 4 ) ( 10 ) ( 15 ) ( 10 ) ( 25w w v w u ww v v v u v w u v u u ur r r r r rr r r r r r r r r r r r [ ] [ ] [ ] = + + + + + + + + = ) 0 ( 9 ) ( 6 ) ( 15 ) ( 6 ) 0 ( 4 ) ( 10 ) ( 15 ) ( 10 ) 0 ( 25rr r rrr r rru v u w v w[ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 0 6 15 6 0 10 15 10 0rr r rrr r rrr r rr= + + = + + + + + + = w v u u v u w v wcomo era de se esperar; c)= + + + = ) 3 2 5 ( ) 3 2 5 ( w v u w v u CE AGr r r r r r [ ] [ ][ ] = + + ++ + + + + + =w w v w u ww v v v u v w u v u u ur r r r r rr r r r r r r r r r r r3 3 ) 2 ( 3 ) 5 ( 33 2 ) 2 ( 2 ) 5 ( 2 3 5 ) 2 ( 5 ) 5 ( 5 [ ] [ ][ ] = + ++ + + + =) ( 9 ) ( 6 ) ( 15) ( 6 ) ( 4 ) ( 10 ) ( 15 ) ( 10 ) ( 25w w v w u ww v v v u v w u v u u ur r r r r rr r r r r r r r r r r r [ ] [ ][ ] = + ++ + + + =) 0 ( 9 ) ( 6 ) ( 15) ( 6 ) 0 ( 4 ) ( 10 ) ( 15 ) ( 10 ) 0 ( 25rr rrrr r rru vu w v w [ ] [ ] [ ] w v u u v u w v wr r rrr r rrr r rr0 30 12 0 6 15 6 0 10 15 10 0 + = + + + + + = Proposio:Emumabaseortonormalpositiva} , , { w v ur rqualquer,sew z v y u x aa a ar r r+ + = e w z v y u x bb b br rr+ + = , ento produto vetorial entre os vetoresar ebr o determinante1: b b ba a az y xz y xw v ub ar r rrr= Exerccio:Usandoabase} , , { w v ur rdafigura9,calculeareadoparalelogramoformadopelos vetoresAG e CE . Soluo: Comow v u AGr r r3 2 5 + + =ew v u CEr r r3 2 5 + = , usando a proposio acima, temos: w v u w v u w v uw v uCE AGr r r r r r r r rr r r0 30 12 10 15 6 10 15 63 2 53 2 5 + = + + = = como j havamos calculado anteriormente, e a norma do vetorCE AG igual ( ) ( ) 31 , 32 1044 ) 0 ( ) 30 ( ) 12 (2 2 2 = + + = = CE AG CE AG CE AG , logo a rea do paralelogramo ser igual a. . 31 , 32 a u A 2. 1Odeterminanteestentreaspas,paraenfatizarqueoclculoigualaodeumdeterminantequalquer,pormaprimeiralinha composta de vetores. 2 A simbologia u.a. significa unidade de rea, por exemplo: m2 (metro quadrado), cm2 (centmetro quadrado), etc. 110 3.9.3Produto Misto Oprodutomistoumajunodosdoisprodutosanteriores,ecomumresultado geomtrico importante: o mdulo do produto misto est relacionado, geometricamente, com uma medida em trs dimenses, ou seja, um volume. O fato que este volume ser positivo revelar, por exemplo, que trs vetores so LI. Definio:Oprodutomistoentreosvetoresar,brecronmero,denotadopor] , , [ c b arrr, definido pela expresso: c b a c b arrr rrr = ] , , [ Observao:Nonecessriaacolocaodeparntesesemb arr nadefinio,poisanica maneira de se calcular este nmero como sendo o produto interno do vetorb arrcom o vetorcr, j que o produto vetorial entre o vetorar e o nmeroc brrno existe. Exemplo: Considere os vetores unitrios e ortogonaisur,vr ewr da figura 9, ento: a)1 ] , , [ = = = w w w v u w v ur r r r r r r r b)1 ] , , [ = = = v v v u w v u wr r r r r r r r c)1 ] , , [ = = = u u u w v u w vr r r r r r r r d)1 ] , , [ = = = v v v w u v w ur r r r r r r r e)1 ] , , [ = = = v v v w u v w ur r r r r r r r f)30 3 10 ] , , [ = = = w w AE AD AB AE AD ABr r g)132 ) 3 2 6 ( ) 0 30 12 ( ] , , [ = + + + = = w v u w v u BH CE AG BH CE AGr r r r r r Observao:Geometricamenteonmero] , , [ c b arrr associadoaoprodutomisto,exatamenteovolume doparaleleppedodefinidopelosvetoresar,brecr, conformeafigura14,poisbastaobservarqueo volumedeumparaleleppedoqualquersemprea readabasevezesaaltura.Nocasodo paraleleppedoABCDEFGH , formado pelos vetores, temos: rea da base dada por|| || b a Abaserr = ; Do tringulo retnguloE AE2 temos a seguinte relao para a altura) cos( . || ||2 c AE hr= = , onde) , ( c b arrr = ; Figura 14 Paraleleppedo inclinado ABCDEFGH 111 logo o volume do paraleleppedo ) , cos( . || || . || || . c b a c b a h A Vbaserrr rrr = = , que por definio de produto interno implica que] , , [ . c b a c b a h A Vbaserrr rrr= = = . Proposio:Emumabaseortonormalpositiva} , , { w v ur r,sew z v y u x aa a ar r r+ + = , w z v y u x bb b br rr+ + = ew z v y u x cc c cr r r+ + = ,entoprodutomistoentreosvetoresar,brecro determinante: c c cb b ba a az y xz y xz y xc b a = ] , , [rr Exerccio: Usando a base} , , { w v ur r da figura 9, calcule o volume do paraleleppedo gerado pelos vetoresAG, CEeBH . Soluo:Comow v u AGr r r3 2 5 + + = ,w v u CEr r r3 2 5 + = ,w v u BHr r r3 2 6 + + = eovolumeo mdulo do produto misto, pela proposio acima, temos: [ ] 1323 2 63 2 53 2 5, , = = BH CE AG como j havamos calculado anteriormente, logo o volume . . 132 | 132 | v u V = =3 3.10Vetores em coordenadas do R3 Destepontoemdiante,iremostrabalharemumsistemaortogonaldecoordenadasdo espao 3R ,onderepresentaremospontosevetoresporumtriodenmeros,chamadosde coordenadas, e onde aplicaremos toda a teoria anteriormente estudada.Para tanto, iremos usar a base ortonormal positiva} , , { k j ir r r de R3, que chamaremos de base cannica. Definio: Seja 3R O umpontoe} , , { k j i Br r r= umabaseortonormalpositiva.Adupla) , ( B O chamado de sistema ortogonal de coordenadas em R3, de origem O e base} , , { k j ir r r. Observaes: Com base na figura 15: Consideraremososistemaortogonaldecoordenadas emR3,ousimplesmentesistemadecoordenadas, 3 A simbologia u.v. significa unidade de volume, por exemplo: m3 (metro cbico), l (litro), cm3 (centmetro cbico), etc. Figura 15 Eixos coordenados do R3

112 sendoOaorigemdosistemadecoordenadas,eescolhendoosvetoresOA i =r,OB j =re OC k=r.Indicaremos por Ox, Oy e Oz as trs retas definidas pelos segmentos orientadosOA,OB e OC ,respectivamente,quesochamadasusualmentedeeixosdosx(dasabscissas),eixos dos y (das ordenadas) e eixos dos z (das cotas).As setas na figura indicam o sentido positivo de cada eixo. Definio:Dadoumponto 3R P qualquer,as coordenadasdovetorOP nabaseortonormalpositiva } , , { k j ir r r, so chamadas de coordenadas de P no sistema decoordenadasdefinidaacima,ouseja,se k z j y i x OPP P Pr r r+ + = , ento as coordenadas do ponto P, sero denotadas pela tripla) , , (P P Pz y x P=(figura 16). Exemplo: Na figura 17, esto marcados alguns pontos: a)Como o vetor k j i OAr r r3 3 2 + + =, logo) 3 , 3 , 2 ( = A ; b)Como o vetor0 0 0 0r r r r= + + = k j i OO , logo ) 0 , 0 , 0 ( = O ; c)Os outros pontos so) 0 , 0 , 2 ( =AX ,) 0 , 3 , 0 ( =AY , ) 3 , 0 , 0 ( =AZ ,) 0 , 3 , 2 ( = F , e) 3 , 0 , 2 ( = H . Proposio: Dados dois pontos) , , (A A Az y x A =e) , , (B B Bz y x B =quaisquer, no nosso sistema de coordenadas do R3, temos que as coordenadas do vetorAB so dadas por:) , , (A B A B A Bz z y y x x AB = Demonstrao: Note que qualquer vetorAB, pode ser escrito como:k z z j y y i x xk z j y i x k z j y i x OB OA OB AO ABA B A B A BB B B A A Ar r rr r r r r r) ( ) ( ) () ( ) ( + + == + + + + + = + = + = que, escrito em coordenadas, tem-se o resultado) , , (A B A B A Bz z y y x x . Observaes:ParaencontrarascoordenadasdeumvetorABbastafazeradiferena,coordenadaa coordenada, entre o ponto final e o ponto inicial; Dois vetores so iguais, quando as coordenadas so iguais. Figura 17 Representao de pontos Figura 16 Representao do ponto P 113 Exemplo: Considerando os pontos da figura 17, temos que as coordenadas dos vetores so: ) 0 , 3 , 0 ( = AH ,) 3 , 3 , 0 ( =AAX ,) 3 , 0 , 2 ( = FG ,) 3 , 3 , 2 ( =AFZe) 3 , 3 , 2 ( = H YA 3.11Exemplos A partir deste momento iremos refazer, via exerccios e exemplos, todos os produtos entre vetores, bem como calcular comprimentos, reas, volumes e outras coisinhas mais, considerando o sistema de coordenadas do R3 definido. Em todos os exemplos abaixo, considere os pontos) 1 , 0 , 3 ( = A ,) 2 , 1 , 2 ( = Be) 3 , 1 , 0 ( = C : 3.11.1.1 Os pontos A, B e C so vrtices de um tringulo? Paraverificarquesovrticesdeumtringulo,bastaverificarqueospontosnoso colineares, ou seja, que no esto na uma mesma reta. Como fazer isso? Desenhe um tringulo qualquer; Escolha dois vetores, por exemplo,AB u=r eAC v=r; Note que esses dois vetores no so paralelos; Logo esses vetores so LI; Dois vetores so LI quando um mltiplo do outro (correto?) ERRADO, o certo que, quando so LI, no existe combinao linear entre eles; Logo vamos verificar se possvel achar uma combinao entre esses vetores; Note que) 1 , 1 , 1 ( ) 1 2 , 0 1 , 3 2 ( = = = AB ur e ) 2 , 1 , 3 ( ) 1 3 , 0 1 , 3 0 ( = = = AC vr Se existisse tal combinao, teramos quev ur r = , que em coordenadas seria: ) 2 , 1 , 3 ( ) 1 , 1 , 1 ( = = === = = = 2 / 113 / 12 113 1) 2 , , 3 ( ) 1 , 1 , 1 ( ou seja, impossvel existir umR , tal quev ur r = , portanto os vetores so LI, logo os pontosA ,Be C so vrtices de um tringulo. 3.11.1.2 Qual a altura relativa ao maior lado do tringulo ABC? Para determinar a altura relativa, temos que determinar primeiro qual o maior lado e s depois achar a altura. Como fazer isso? 114 Vamoscalcularanormasdostrsvetores,ouseja,anormadeAB u=r,AC v=re ) 1 , 2 , 2 ( = BC , logo: 3 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (2 2 2= + + = + + = AB3 9 1 4 4 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 (2 2 2= = + + = + + = BCou seja,AC o maior lado do tringulo, pois3 3 11 > > = AC ; Desenhe um tringulo com essas caractersticas; Note que a altura procurada relativa baseACe como a rea de um tringulo qualquer 2altura baseA=, basta encontrar a rea, pois o comprimento da base, j sabemos que mede11, ou seja, como k j ik j iAB ACr r rr r r4 4 01 1 31 1 1 + + = = , temos que a rea dada por: . . 2 222 423224 4 022 2a uAB ACA = = =+ +== Conclumos finalmente que. .1122 4112 4 2c ubaseAaltura = = = Lembrete:DadoonmeroR a ,qualquer,semprepossvelachardoisnmerosnaturais consecutivosne1 + n , tais que,1 + n a n . Por exemplo4 16 11 9 3 = = . 3.11.1.3 Encontrar um vetorwr perpendicular aos vetoresur evr. Como fazer isso? Lembre-sequeovetorv ur r umvetorperpendicularaosvetoresurevraomesmo tempo, logo ele ser o nosso vetorwr; Logok j i AB AC v u wr r rr r r4 4 0 + + = = = , calculado anteriormente. 3.11.1.4 Mostre que} , , { w v ur r r uma base positiva do R3. Como fazer isso? Para verificar que os trs vetores formam uma base, basta mostrar que eles so LI; Usando o teorema, basta verificar que a equao 0rr r r= + + w z v y u xpossui soluo nica0 = = = z y x , ou seja, a soluo trivial; Escrevendo a equao em coordenadas temos: 115 ) 0 , 0 , 0 ( ) 4 , 4 , 0 ( ) 2 , 1 , 3 ( ) 1 , 1 , 1 ( = + + z y x) 0 , 0 , 0 ( ) 4 , 4 , 0 ( ) 2 , , 3 ( ) , , ( = + + z z y y y x x x( ) ) 0 , 0 , 0 ( ) 4 2 ( ), 4 ( ), 3 ( = + + + z y x z y x y xque resulta no seguinte sistema linear: = + += + = + 0 4 20 40 0 3z y xz y xz y x O sistema possui soluo nica, a trivial, pois o determinante da matriz dos coeficientes 0 124 2 14 1 10 3 1det = = AA base positiva porquewr =v ur r . 3.11.1.5 Calcule o volume do paraleleppedo formado pelos vetoresur,vr ewr. Como fazer isso?Lembre-se que o mdulo do produto misto exatamente o volume pedido. 124 2 14 1 10 3 1] , , [ = = w v ur r r Notequeodeterminanteomesmodosistemadoitemanterior,portantoovolumedo paraleleppedo : . . 12 | 12 | ] , , [ v u w v u V = = =r r r 3.11.1.6 Escrever o vetor) 4 , 7 , 1 ( = ar na base} , , { w v ur r r. Como fazer isso? Isto significa escrever o vetorar como combinao linear dos vetoresur,vr ewr, ou seja: w z v y u x ar r r r+ + =Temosquedeterminarosvaloresdex,yezquesatisfaamequaoacima,e escrevendo em coordenadas ficaria: ) 4 , 7 , 1 ( ) 4 , 4 , 0 ( ) 2 , 1 , 3 ( ) 1 , 1 , 1 ( = + + z y x) 4 , 7 , 1 ( ) 4 , 4 , 0 ( ) 2 , , 3 ( ) , , ( = + + z z y y y x x x( ) ) 4 , 7 , 1 ( ) 4 2 ( ), 4 ( ), 3 ( = + + + z y x z y x y xque resulta no o sistema = + += + = + 4 4 27 41 0 3z y xz y xz y x 116 Como j sabemos que o sistema possui soluo nica, pois o determinante da matriz dos coeficientes 12, podemos resolv-lo pela regra de Cramer; Usando a regra, temos que determinar os seguintes trs determinantes: 21224) det() det(244 2 44 1 70 3 1) det( = = = = =AAx Axx 11212) det() det(124 4 14 7 10 1 1) det( == = ==AAy Ayy 11212) det() det(14 2 17 1 11 3 1) det( = = = = =AAz Azz Conclumos ento quew v u ar r r r1 1 2 + = (encontre esta mesma resposta usando escalonamento) 4.Avaliando o que foi construdo Foramintroduzidas,nestaunidade,noesbsicasdevetores,suascaractersticas, juntamente com as suas operaes bsicas de soma e multiplicao por escalar.Definimos tambm os trs produtos entre vetores: Produto interno relacionado com a medida de um comprimento, ou seja, projeo de um vetor em relao direo do outro; Produto vetorial relacionando com a medida de uma rea, ou seja, com o clculo da rea de um paralelogramo formado por dois vetores; Produtomistorelacionadocomovolume,ouseja,comoclculodovolumedeum paraleleppedo, definido por trs vetores. Efinalmenteforamdadascoordenadasaosvetores,trazendodevezosvetoresparao nosso espao com trs dimenses, ou seja, as noes de comprimento, largura, altura, LI, LD e base foram todos tratados algebricamente. 117 Unidade II Retas e Planos 1.Situando a Temtica Nesta unidade estudaremos e definiremos as retas e os planos, atravs de suas equaes vetoriais e algbricas, utilizando de vetores e de suas operaes.2. Problematizando a Temtica Trataremos vrios problemas geomtricos, como por exemplo, posies relativas entre as retas,entreasretaseosplanoseentreplanos,bemcomocalcularemosongulo,distnciase interseesentreesteselementos,utilizandoasfacilidadesdadaspelaspropriedades encontradasnosvetoresesuasoperaeselementareseseusprodutos,comsuasrespectivas caractersticas geomtricas e algbricas. 3.Conhecendo a Temtica 3.1Introduo Vamos primeiramente definir plano, pois uma das possibilidades para a definio de uma retaainterseodedoisplanosnoparalelos(pensenainterseodoplanodochocomo plano de uma parede: uma reta). Sempre que possvel, tente desenhar, fazer um esboo, de uma reta, um plano, como ser mostrado aqui, mas mesmo se no tiver habilidades no desenho, imagine sempre planos, aqueles que esto ao seu redor, como paredes, cho, teto, telhados e as retas, como sendo as quinas das paredes,aslinhasdeumaquadradejogo,etc.,poissermuitoimportantever,oupensar,de como essas retas e planos podem estar dispostos no espao tridimensional. 3.2O plano Vamosdefinirumplanodetrsmaneirasdiferentes, ouseja,vamosencontrarumarelaoqueumpontoPqualquertenhaquesatisfazerparaquepertenceraoplano. Sempreutilizandoasferramentaseidiasdadaspelos vetores (e sistemas) estudados nas unidades anteriores. Vamosrepresentarumplanograficamenteporum pedao,usualmentenaformadeumparalelogramo,pois seria impossvel representa-lo em um espao limitado, pois o plano infinito, veja na figura 1. Usaremos letras gregas minsculas para representar os planos, exibidas nas colunas letra da tabela 1. Figura 1 Representao de um plano. 118 letraLETRANomeletraLETRANomeletraLETRANome Alfa Iota R Beta capa Sigma Gama Lambda Tau Delta Mi psilon Epslon Ni Fi Dzeta csi Qui Eta micron Psi Teta Pi mega Tabela 1 Letras gregas minsculas, maisculas e nome. 3.2.1Por trs pontos Consideretrspontosnocolineares4A ,BeCquaisquer do espao tridimensional R3, como na figura 2. As condies para um pontoPqualquer, pertencer ao plano , so: Os vetoresAB,ACeAPesto contidos no plano , na realidade so paralelos ao plano , logo o volume do paraleleppedo formado por estes vetores zero, ou seja, o mdulo do produto misto zero, portanto: [ ] 0 , , = AC AB APOs vetoresAB,ACeAPso linearmente dependentes, logo existe uma combinao linear do vetorAPem relao aos vetoresAB eAC , ou seja, existem dois nmeros reais 1e 2 , tais que: AC AB AP2 1 + = Definio: A equaoAC AB AP2 1 + =chamadadeequaovetorialdoplano eosdoisvetoresABeAC sochamadosde vetores diretores do plano. Nosistemadecoordenadas,seja) , , ( z y x P= umpontoqualquerdoplano definido pelospontos,nocolineares,doespao) , , (A A Az y x A = ,) , , (B B Bz y x B = e) , , (C C Cz y x C = , considere os vetores ) , , ( ) , , (u u u A B A B A Bz y x z z y y x x AB u = = =r, ) , , ( ) , , (v v v A C A C A Cz y x z z y y x x AC v = = =r e) , , (A A Az z y y x x AP = , 4 Que no pertencem a uma reta ou que formam um tringulo. Figura 2 Plano definido por trs pontos. 119 Portanto: D equao vetorial, temos: AC AB AP2 1 + =v u APr r2 1 + =43 42 1 43 42 1 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1r rvv v vuu u uAPA A Az y x z y x z z y y x x ) , , ( ) , , ( ) , , (2 1 + = Escrevendocadacoordenadacomoumaequaoeisolandoasvariveisx ,y ez , temososeguintesistemadeequaes,chamadodesistemasdeequaes paramtricas do planoou simplesmente de equaes paramtricas do plano: + ++ ++ +===2 12 12 1: v u Av u Av u Az z zy y yx x xzyx Do produto misto temos: [ ] 0 , , = AC AB AP[ ] 0 , , = v u APr r 0 = v v vu u uA A Az y xz y xz z y y x x 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = + + 4 4 3 4 4 2 1 4 43 4 42 1 4 43 4 42 1cu v v u Abv u u v Aau v v u Ay x y x z z z x z x y y z y z y x xFazendo: o) (u v v uz y z y a = , o) (v u u vz x z x b = , o) (u v v uy x y x c =eo) (A A Acz by ax d + + =Temosachamadaequaogeral,ouequaonormal,ousimplesmenteequaodo plano , dado por: 0 : = + + + d cz by ax Exerccio: Determinar as equaes paramtricas e a equao normal do planoque contm os pontos) 1 , 0 , 3 ( = A ,) 2 , 1 , 2 ( = B e) 3 , 1 , 0 ( = C ,everificarseoponto) 1 , 6 , 1 ( = D eaorigemdo sistema pertencem ao plano. Soluo:Osvetoresdiretoresso) 1 , 1 , 1 ( = AB e) 2 , 1 , 3 ( = AC .Seja) , , ( z y x P= umponto qualquer do plano, ento temos) 1 , , 3 ( = z y x AP , logo: Da equao vetorial temos: ) 2 , 1 , 3 ( ) 1 , 1 , 1 ( ) 1 , , 3 (2 1 + = z y x120 Que resulta em nas equaes paramtricas do plano : +++===222111213111103:zyx Do produto misto temos: 02 1 31 1 11 3= z y x Que resulta na seguinte equao normal do plano : 0 13 4 3 : = + z y x Para verificar que o ponto) 1 , 6 , 1 ( = De a origem) 0 , 0 , 0 ( = O , pertencem ao plano, basta substituirastrscoordenadasdospontosnaequaodoplano .Seaigualdadefor satisfeita, o ponto pertence ao plano, caso contrrio, no pertence, logo: o { { {0 13 13 ) 0 ( 4 ) 0 ( ) 0 ( 3 ) 0 , 0 , 0 ( = + =z y xO , logo O no pertence a ; o {{ {0 13 ) 1 ( 4 ) 6 ( ) 1 ( 3 ) 1 , 6 , 1 ( = + =z y xD , logo D pertence ao plano . Observaes:Noteque,nasequaesparamtricasdoexerccioanterior,ascoordenadasdoponto ) 1 , 0 , 3 ( = A , esto soltas em uma coluna e as coordenadas dos dois vetores) 1 , 1 , 1 ( = ABe) 2 , 1 , 3 ( = AC tambmestonascolunas,pormmultiplicadaspelosdoisparmetros 1e 2 . Nas equaes paramtricas do plano , substituindo: 01 = e02= , temos o ponto A, 11 = e02= , temos o ponto B e01 = e12= , temos o ponto C; Paracadapardeparmetros 1 e 2 correspondemaumnicopontodoplanoepara cada ponto P do plano corresponde um nico par de parmetros. 3.2.2Por um ponto e dois vetores ConsidereumpontoA qualquerdoespao tridimensionaledoisvetoresurevr,noparalelos,ou seja, linearmente independentes, como na figura 3. AscondiesparaqueumpontoPqualquerpertenaao plano soasmesmasutilizadasanteriormentepara Figura 3 Plano definido por um ponto edois vetores. 121 planos definidos por trs pontos, pois s foram de fato utilizados o ponto A e os vetores diretores AB eAC . 3.2.3Um ponto e um vetor perpendicular ConsidereumpontoAqualquerdoespao tridimensional e um vetor nr (chamado de vetor normal), no nulo, perpendicular ao plano , como na figura 4. NotequeacondioparaumpontoPqualquer pertenceraoplano ,queosvetores nreAP sejam perpendiculares,ouseja,queoprodutointerno 0 = AP nr. Em um sistema de coordenadas, seja) , , ( z y x P=um ponto qualquer do planodefinido pelo ponto) , , (A A Az y x A =e pelo vetor normal) , , ( c b a n =r, ento pela condioAP n r, temos 0 = AP nr, logo: 0 ) , , ( ) , , ( = 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 3 2 1rAPA A Anz z y y x x c b a 0 ) ( ) ( ) ( = + + A A Az z c y y b x x a0 ) ( = + + + +A A Acz by ax cz by axConsiderando) (A A Acz by ax d + + = , temos a equao geral do plano , dada por: 0 : = + + + d cz by ax Observao:Oscoeficientesdasvariveisx ,y ez daequaogeraldeumplanoqualquer, definidopor0 : = + + + d cz by ax ,soexatamente,naordem,ascoordenadasdeumvetor normal ao plano , ou seja,) , , ( c b a n =r.

Exerccio: Determinar as equaes paramtricas e a equao normal do planoque contm o ponto) 1 , 1 , 1 ( = Se perpendicular ao vetor) 3 , 1 , 2 ( = wr. Soluo:Vamosprimeiro,acharaequaogeraldoplano,considerandocomo vetornormaldo plano o vetor) 3 , 1 , 2 ( = = w nr r, portanto um ponto) , , ( z y x P=para pertencer ao plano , tem que satisfazer equao0 = SP nr, logo: 0 ) 1 , 1 , 1 ( ) 3 , 1 , 2 ( = z y x0 ) 1 ( 3 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 = + + z y xQue resulta na equao normal do plano0 6 3 1 2 : = + + z y x A partir da equao geral, para achar as equaes paramtricas do plano, podemos: Figura 4 Plano definido por um ponto eum vetor normal. 122 Acharoutrosdoispontos,recaindoemumplanodefinidoportrspontos,atribuindo valoresparaasvariveis,encontrandopontosquesatisfaamequaodoplano , como por exemplo, os pontos) 2 , 0 , 0 ( = R ,) 0 , 0 , 3 ( = T ,) 0 , 4 , 2 ( = Q , etc. A outra maneira, bastante algbrica, seria considerar duas variveis da equao do plano igual a dois parmetros 1e 2quaisquer, como por exemplo, considere 1 = xe 2 = z , logo as equaes paramtricas do plano seriam ===2 1213 2 6 : zyx ou na forma completa ++++===222111130021060:zyx. 3.3A reta Umaretapodeserdefinidadetrsmaneiras, bastandoobservarosdadosquesedispeparadefini-la, masostrscasos,olhandocomateno,sereduzema um s, mas vamos ver as trs possibilidades logo adiante. Usaremosletraslatinasminsculaspara representar as retas, como por exemplo,a ,b ,...,r ,s ,...Vamosrepresentararetagraficamenteporum pedao,porumsegmento,poisseriaimpossvelrepresent-laemumespaolimitado,poisa reta infinita. Veja na figura 5. 3.3.1Por dois pontos Considere dois pontos distintos A e B quaisquer do espao tridimensional R3, como na figura 6. Note que a condio para um ponto P qualquer pertencer retarqueosvetoresABeAP sejamparalelos,ou seja,solinearmentedependentes,logosomltiplos, portantoexisteumnmero ,queresultaaseguinte equao vetorial: AB AP = Definio: Qualquer vetor no nulo, que d a direo de uma retar , chamado de vetor diretor da retar . Observao: No sistema de coordenadas, seja) , , ( z y x P=um ponto qualquer da retar , definida pelos pontos, distintos, do espao) , , (A A Az y x A =e) , , (B B Bz y x B = , considere os vetores ) , , ( ) , , (u u u A B A B A Bz y x z z y y x x AB u = = =r e) , , (A A Az z y y x x AP = , Figura 6 Reta definida por dois pontos. Figura 5 Representao de uma reta. 123 Portanto, da equao vetorial, temos: AB AP =u APr =43 42 1 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1ruu u uAPA A Az y x z z y y x x ) , , ( ) , , ( = Escrevendocadacoordenadacomoumaequaoeisolandoasvariveisx ,y ez , temososeguintesistemadeequaes,chamadodesistemasdeequaesparamtricasda retarou simplesmente de equaes paramtricas da reta: +++===u Au Au Az zy yx xzyxr :SenenhumadascoordenadasdovetordiretorAB u =r,fornula,podemosisolaro parmetro de cada uma das equaes acima, obtendo uAxx x = , uAyy y= e uAzz z = , ou seja, temos a seguinte igualdade uAuAuAyz zyy yxx x === . Definio: O sistema de equaesuAuAuAyz zyy yxx xr==:chamadosistemadeequaesdaretarnaformasimtrica,ousimplesmenteequaes simtricas da reta r. Exerccio:Determinarasequaesparamtricasesimtricasdaretarquecontmospontos ) 1 , 0 , 3 ( = Ae) 2 , 1 , 2 ( = B , e verificar se o ponto) 3 , 2 , 1 ( = Ee a origem do sistema pertencem reta. Soluo:Ovetordiretordareta) 1 , 1 , 1 ( = AB .Seja) , , ( z y x P= umpontoqualquerdareta, ento temos) 1 , , 3 ( = z y x APe a equao vetorial: ) 1 , 1 , 1 ( ) 1 , , 3 ( = z y xQue resulta em nas equaes paramtricas da reta ++===111103:zyxr . Isolando o parmetro das equaes acima, obtemos as equaes simtricas da reta: 111013:== z y xr , ou1 3 : = = z y x r . Para verificar que o ponto) 3 , 2 , 1 ( = Ee a origem) 0 , 0 , 0 ( = O , pertencem reta, basta substituir as trs coordenadas dos pontos nas equaes simtricas da reta, se as igualdades forem satisfeitas, o ponto pertence reta, caso contrrio, no pertence, logo: 124 {1 0 311 010 013 0) 0 , 0 , 0 (10 3 == = == =3 2 1 3 2 1O , no pertence a r; { {2 2 211 310 213 1) 3 , 2 , 1 (2 2 2= = == == = =3 2 1E , pertence reta r. 3.3.2Por um ponto e um vetor ConsidereumpontoAqualquerdoespao tridimensional e um vetorur, no nulo, como na figura 7. AscondiesdeumpontoPqualquerpertencer retarsoasmesmasutilizadasanteriormenteparauma reta definidos por dois pontos, pois s foram utilizados, de fato, o ponto A e o vetor diretorAB u =r. 3.3.3Por dois planos Consideredoisplanos,noparaleloseno coincidentes, quaisquer, como na figura 8. Paradeterminararetarinterseodestesdois planos,vamosconsider-losdefinidospor 0 : = + + + d cz by ax e0 : = + + + s rz qy px ,logoa reta a soluo do sistema: = + + += + + +00:s rz qy pxd cz by axrLembre-se que para definir uma reta, necessrio: Dois pontos Neste caso podemos achar duas solues para o sistema acima, no necessariamente tendo que resolver o sistema. Como fazer isso? Ser que esta reta tem algum ponto cuja primeira coordenada seja 0? oFazendo0 = x , o sistema acima, fica apenas com duas variveis, que bem mais fcil deresolver,ouseja, = + += + +00:s rz qyd cz byr .Setiversoluo,achamosoprimeiroponto, caso contrrio, faa0 = y ,0 = zou qualquer outro valor para uma das coordenadas. oPara achar o segundo ponto, siga a mesma idia de achar o primeiro ponto. Um ponto e um vetor diretor Ache um ponto como anteriormente e observe que o vetor diretor da reta perpendicular aos vetores nr e nr, ou seja, podemos considerar o vetor diretor n n ur r r = . Figura 8 Reta definida por dois planos. Figura 7 Reta definida por um pontoe um vetor 125 Exerccio: Determinar as equaes paramtricas e simtricas da retardada pela interseo dos planos0 1 : = + + + z y x e0 3 2 : = + + z y x . Soluo:Vamos primeiro determinar esta reta r, como soluo do sistema 00 13 2 == +++++zzyyxx, usando o mtodo do escalonamento, temos: ((

((

((

2 1 1 03 2 0 12 1 1 01 1 1 12 0 1 3 21 1 1 12 1 11 2 2L L LL L L Oqueresultanosistemaequivalente 23 2 = =+zzyx,escolhendo = z esubstituindono sistemaequivalente,obtemosasequaesparamtricasdareta ++===112023:zyxr edestas, obtemos as equaes simtricas 1 1223:z y xr =+=+. Senogostardeescalonamento,podemosentodeterminardoispontosdaretar , escolhendo, por exemplo,o0 = y , reduzindo o sistema para 00 12 == +++zzxx, tendo como soluo1 = xe2 = z , ou seja, um primeiro ponto da reta ) 2 , 0 , 1 ( = A ; o0 = z , reduzindo o sistema para 00 13 2 == +++yyxx, tendo como soluo3 = xe2 = y , ou seja, um segundo ponto da reta ) 0 , 2 , 3 ( = B . Logoumvetordiretorovetor) 2 , 2 , 4 ( = = AB ure,portanto,asequaesparamtricasda retaso ++ ===224201:zyxr e,destasequaes,obtemosasequaessimtricas 222 41:+= = z y xr . Pode-se tambm determinar um ponto e um vetor diretor da reta. oParaencontrarumponto,fazemoscomoacima.Vamosutilizar,ento,oponto ) 2 , 0 , 1 ( = A . 126 oParadeterminarumvetordiretor,bastacalcular n n ur r r = ,logo k j ik j in n ur r rr r rr r r+ + = = = 21 3 21 1 1 . Portantoasequaesparamtricasdaretaso ++ ===112201:zyxr edestas,obtemosas equaes simtricas 121 21:+= = z y xr . Observao: Apesar das equaes paramtricas e simtricas da reta r, encontradas no exerccio acima, serem diferentes, elas representam a mesma reta r, o que as diferencia a escolha de um ponto inicial e de um novo vetor diretor, mltiplo do vetor diretor obtido anteriormente. 3.4Posio relativa Paraoestudodeposiesrelativas,importanteenxergarasretaseosplanos, juntamente com os elementos que o definem, ou seja, FAA vrios esboos, por exemplo, duas retas paralelas, uma reta perpendicular a um plano, etc. Pararesolverproblemas,comongulos,distnciaseintersees,envolvendoretase planos,nocomoelesestodefinidospelassuasequaes,masgenericamente,necessrio sabercomoelesestocolocadosnoespao,ouseja,emqueposioumestemrelaoao outro. 3.4.1Entre retas Existem quatro possibilidades para a posio relativa entre duas retas. Vamos considerar, para efeito de estudos das posies relativas: A reta r definida pelo ponto R e pelo vetor diretorrr eA reta s definida pelo ponto S e pelo vetor diretorsr. 3.4.1.1Retas coincidentes Observando as duas retas r e s paralelas coincidentes, na figura 9, conclumos que: Representam a mesma reta; Osvetoresdiretoresrresrsoparalelos,logoso LD; O pontor Ses R ; Figura 9 Retas coincidentes. 127 O vetorSR paralelo aos vetores diretores; A interseo entre as retas a prpria reta; O ngulo) , ( s rentre as retas 0o; A distncia) , ( s r dentre as retas 0.3.4.1.2Retas paralelas Observando as duas retas r e s paralelas distintas, na figura 10, conclumos que: Os vetores diretoresrr esr so paralelos, logo so LD; O pontor Ses R ; O vetorSRno paralelo aos vetores diretores; No existe interseo entre as retas; O ngulo) , ( s rentre as retas 0o; A rea do paralelogramo formado pelos vetoresrr eSR positiva; A distncia) , ( s r dentre as retas positiva.3.4.1.3Retas concorrentes Observando as duas retas r e s concorrentes, na figura 11, conclumos que: Osvetoresdiretoresrresrnosoparalelos,logo so LI; A interseo entre as retas o ponto I; O ngulo) , ( s rentre as retas est entre 0o e 180o; Os vetoresrr,sr eSR , podem ser representados em um plano, logo so LD; O volume do paraleleppedo formado pelos vetoresrr,sr eSR 0; A distncia) , ( s r dentre as retas 0.3.4.1.4Retas reversas Observando as duas retas r e s reversas, ou seja, as retas estoemplanosparalelosdistintos,comonafigura12, conclumos que: Osvetoresdiretoresrresrnosoparalelos,logo so LI; No existe interseo entre as retas; O ngulo) , ( s rentre as retas est entre 0o e 180o; Figura 11 Retas concorrentes. Figura 12 Retas reversas. Figura 10 Retas paralelas. 128 Os vetoresrr,sr eSR , no podem ser representados em um plano, logo so LI; O volume do paraleleppedo formado pelos vetoresrr,sr eSR positivo; A distncia) , ( s r dentre as retas positiva.3.4.2Entre retas e planos Existem trs possibilidades para a posio relativa entre uma reta e um plano. Vamos considerar, para efeito de estudos das posies relativas: A reta r definida pelo ponto R e pelo vetor diretorrr eO planodefinido pelo pontoAe pelo vetor normal nr, ou pelo pontoAe dois vetores diretoresur evr. 3.4.2.1Reta contida no plano Observandoaretarparalelaecontidanoplano ,na figura 13, conclumos que: Osvetoresrre nrsoperpendiculares,logo 0 = n rr r; A interseo entre a reta e o plano a prpria reta r; O ngulo) , ( r entre a reta e o plano 0o; O vetorAR perpendicular ao vetor nr; Os vetoresrr,ur evr, podem ser representados em um plano, logo so LD; O volume do paraleleppedo formado pelos vetoresAR ,ur evr 0; A distncia) , ( r dentre a reta e o plano 0. 3.4.2.2Reta paralela ao plano Observandoaretarparalelaaoplano ,nafigura14, conclumos que: Os vetoresrr e nr so perpendiculares, logo0 = n rr r; A interseo entre a reta e o plano vazia; O ngulo) , ( r entre a reta e o plano 0o; O vetorARno perpendicular ao vetor nr; Os vetoresrr,ur evr, podem ser representados em um plano, logo so LD; O volume do paraleleppedo formado pelos vetoresAR ,ur evr positivo; A distncia) , ( r dentre a reta e o plano positiva. Figura 13 Reta contida no plano Figura 14 Reta paralela ao plano. 129 3.4.2.3Reta concorrente ao plano Observandoaretar concorrenteaoplano ,ouseja, queointerceptaemapenasumponto,nafigura15, conclumos que: Osvetoresrre nrnosoperpendiculares,logo 0 n rr r; A interseo entre a reta e o plano o ponto I; O ngulo) , ( r entre a reta est entre 0o e 180o; Os vetoresrr,ur evr, no podem ser representados em um plano, logo so LI; O volume do paraleleppedo formado pelos vetoresrr,ur evr positivo; A distncia) , ( r dentre a reta e o plano 0. 3.4.3Entre planos Existem trs possibilidades para a posio relativa dois planos. Vamos considerar, para efeito de estudos das posies relativas: O planodefinido pelo ponto A e pelovetor normal nr, ou pelo ponto A edois vetores diretoresur evr. O planodefinido pelo ponto B e pelo vetor normal nr, ou pelo ponto B e dois vetores diretoresar ebr. 3.4.3.1Planos coincidentes Observandoosdoisplanosparalelosecoincidentes e , na figura 16, conclumos que: Os vetores nr e nr so paralelos, logo0rr r= n n ; A interseo entre os dois planos o prprio plano(ou ); O ponto Ae o ponto B ; O ngulo) , ( entre os planos 0o; Os vetoresur,vr,ar ebr, podem, trs a trs, ser representados em um plano, logo qualquer conjunto com trs destes vetores LD; O vetorAB perpendicular aos vetores nr e nr; Os vetoresAB,ur evr so LD, bem como os vetoresAB,ar ebr, O volume do paraleleppedo formado pelos vetoresAB,ur evr 0; Figura 16 Planos paralelos e coincidentes Figura 15 Reta concorrente ao plano 130 A distncia) , ( dentre planos 0. 3.4.3.2Planos paralelos Observando os dois planos paralelos e distintose , na figura 17, conclumos que: Os vetores nr e nr so paralelos, logo0rr r= n n ; A interseo entre os dois planos vazia; O ponto Ae o ponto B ; O ngulo) , ( entre os planos 0o; Os vetoresur,vr,ar ebr, podem, trs a trs, ser representados em um plano, logo so LD; O vetorAB perpendicular aos vetores nr e nr; Os vetoresAB,ur evr so LI, bem como os vetoresAB,ar ebr; O volume do paraleleppedo formado pelos vetoresAB,ur evr positivo; A distncia) , ( dentre planos positiva. 3.4.3.3Planos concorrentes Observandoosdoisplanosparalelosecoincidentes e , na figura 17, conclumos que: Osvetores nre nrnosoparalelos,logo 0rr r n n ; Ainterseoentreosdoisplanosumareta,j determinada anteriormente; O ngulo) , ( entre os planos positivo; A distncia) , ( dentre planos 0. 3.5ngulo Paradeterminarngulosentreasretas,entreasretaseosplanoseentreplanos, necessrioprimeiro,saberqualaposiorelativaentreeles,poisdependendodocaso,o ngulo nulo e nada para se fazer, mas quando no for nulo, o ngulo ser calculando, usando o clculo do ngulo entre dois vetores (3.8 e 3.9.1 da Unidade II). 3.5.1Nulo O ngulo ser nulo quando: As retas r e s forem paralelas ou coincidentes (figuras 9 e 10) Figura 17 Planos paralelos Figura 18 Planos concorrentes. 131 A reta r for paralela, ou estiver contida no plano (figuras 13 e 14) Os planos eforem paralelos ou coincidentes (figuras 16 e 17)3.5.2No nulo O ngulo ser no nulo quando: As retas r e s forem concorrentes ou reversas (figuras 11 e 12) Neste caso, diremos que o ngulo entre as retas, denotado por) , ( s r , ser o menor ngulo entres os ngulos) , ( s rr re) , ( s rr r . A reta r for concorrente ao plano (figura 15) Nestecaso,onguloentrearetaeoplano,denotadopor) , ( r ,igualaongulo ) , ( 90 r nor rou, em radianos,) , (2r nr r . Os planos eforem concorrentes (figura 18) Nestecaso,onguloentreosplanos,denotadopor) , ( ,igualaongulo) , ( n nr r definido pelos vetores normais. 3.6Intersees Asinterseesentreasretas,entreasretaseosplanoseentreplanos,dependeda posio relativa. Se a interseo for vazia, nada a fazer, se no for vazia, deve-se, basicamente, resolver sistemas, para encontrar a soluo. 3.6.1Vazia A interseo ser vazia quando: As retas r e s forem paralelas distintas ou reversas (figuras 10 e 12). A reta r for paralela ao plano (figura 14). Os planos eforem paralelos distintos (figura 17).3.6.2No vazia A interseo no ser vazia quando: As retas r e s forem coincidentes (figura 9) Neste caso, a interseo ser a prpria reta r (ou s). As retas r e s forem concorrentes (figura 11) Neste caso, a interseo ser um ponto I. Como fazer isso? Considere as retas r e s definida pelas seguintes equaes paramtricas 132 +++===rrrRRRyyxzyxzyxr :e +++===sssSSSzyxzyxzyxs : OpontoIdeinterseodasretasumpontoquedevesatisfazerasduasequaes paramtricas, ou seja,r z z y y x x Ir R r R r R + + + = ) , , ( es z z y y x x Is S s S s S + + + = ) , , ( Portanto, basta resolver o seguinte sistema, nas incgnitas e : +++===+++sssSSSrrrRRRzyxzyxyyxzyxI : Umavezdeterminadoovalorde oude ,bastasubstituirnaequaodareta correspondente, obtendo o ponto I. A reta r estiver contida no plano (figura 13) Neste caso a interseo ser a prpria reta r. A reta r for concorrente ao plano (figura 15) Neste caso a interseo ser um ponto I. Como fazer isso? Considerearetardefinidapelasequaesparamtricas +++===rrrRRRyyxzyxzyxr : eoplanodefinida pela equao geral0 : = + + + d cz by ax , o ponto I de interseo da reta com o plano,umpontoquedevesatisfazerasequaesparamtricasdaretaeaequao geraldoplano,ouseja,logo,bastaresolveraseguinteequao,doprimeirograu,na incgnita : 0 ) ( ) ( ) ( = + + + + + + d z z c y y b x x ar R r R r R Uma vez determinado o valor de , basta substituir na equao da reta r, obtendo o ponto de interseo I. Os planos eforem paralelos coincidentes (figura 16).Neste caso a interseo ser o prprio plano ou . Os planos eforem concorrentes (figura 18).Neste caso a interseo ser uma reta, vista em 3.3.3 desta unidade. 133 3.7Distncias As distncias entre as retas, entre as retas e os planos e entre planos, tambm depende daposiorelativapois,seadistnciaforzero,nadaafazer,senoforzero,deve-se, basicamente, calcular comprimentos (produto interno), reas (produto vetorial) e volume (produto misto). Observao:AdistnciaentredoispontosAeB,quaisquercalculadocomanormadovetor AB, ou seja,AB b a d = ) , ( . 3.7.1Igual a zero A distncia ser zero quando: O ponto R pertence reta r. O ponto A pertence ao plano . As retas r e s forem coincidentes ou concorrentes (figuras 9 e 11). A reta r estiver contida ou for concorrente ao no plano(figuras 13 e 15). Os planos eforem coincidentes ou concorrentes (figuras 16 e 18).3.7.2Diferente de zero Vamos considerar, antes de definir as demais distncias, a distncia entre um ponto e uma reta e a distncia entre um ponto e um plano, pois todos os outros casos recaem em um destes dois. 3.7.2.1Distncia entre um ponto e uma reta AdistnciaentreumpontoPeumaretarser encontrada atravs do clculo de uma determinada rea. Como fazer isso? Lembre-se que: a rea de um paralelogramo igual base vezes altura. Dafigura19,temosqueareadadapelanormado produto vetorial {{alturabasereah r RP r . || ||r43 42 1r= logo a distncia do ponto P a uma reta r, dada por: baserearRP rh r P d == =|| ||) , ( rr Figura 19 Distncia de ponto reta 134 3.7.2.2Distncia entre um ponto e um plano AdistnciaentreumpontoPeumplano ,ser encontrada atravs do clculo de um determinado volume. Como fazer isso? Lembre-se: o volume de um paraleleppedo igual a rea da base vezes altura. Dafigura20,temosquevolumedadopelomdulodo produto misto [ ]{AlturareaVolumeh v u AP v ubase. , ,3 2 1r r43 42 1r r =logo a distncia entre um ponto P e um plano dado por:[ ]basereaVolumev uAP v uh P d == = r rr r, ,) , ( 3.7.2.3Outros casos de distncias As retas r e s so paralelas e distintas (figura 10). A distncia entre as retas igual distncia do ponto S reta r, que igual distncia do ponto R reta s, ou seja:) , ( ) , ( ) , ( s R d r S d s r d = = . As retas r e s so reversas (figura 12) AdistnciaentreasretasresigualdistnciadopontoSaoplano (definidopelo ponto R e pelos vetoresrr esr), que igual distncia do ponto R ao plano(definido pelo ponto S e pelos vetoresrr esr), ou seja: ) , ( ) , ( ) , ( R d S d s r d = = . A reta r paralela ao plano (figura 14) A distncia entre a reta r e o plano igual distncia do ponto R ao plano , ou seja:) , ( ) , ( R d r d = . Os planos eso paralelos distintos (figura 17).A distncia entre o planoe o plano igual distncia do ponto A ao plano , que igual distncia do ponto B ao plano , ou seja: ) , ( ) , ( ) , ( B d A d d = = . 3.8Exemplos A partir deste momento iremos revisar, via exerccios e exemplos, todos os conhecimentos anteriores,comodefinirretas,planos,determinaraposiorelativa,ainterseo,onguloea distncia entre eles, e outras coisinhas mais, sempre considerando o sistema de coordenadas do R3 definido. Figura 20 Distncia de um ponto ao plano 135 Emtodososexemplosabaixo,considereospontos) 1 , 0 , 3 ( = A ,) 2 , 1 , 2 ( = B ,) 3 , 1 , 0 ( = C e ponto genrico) , , ( z y x P= , a reta ++===111103:zyxr e o plano0 6 3 1 2 : = + + z y x . 3.8.1.1Determinar a reta s, que passa por C e paralela reta r. Para determinar a reta s, ou seja, determinar as equaes desta reta, voc ter que achar um vetor diretor da mesma. Como fazer isso? Esboce duas retas paralelas quaisquer; Represente o ponto R e o vetorrr na reta r e os pontos C e P na reta s; Observe que, para definir a reta s, s falta determinar o vetor diretor; Escolha como vetor diretor para reta s o mesmo da reta r, ou seja,r sr r= ; Porque posso escolher esse vetor?Temos, portanto, que a reta s definida por) 3 , 1 , 0 ( = Ce) 1 , 1 , 1 ( = = r sr r; Comor CPr//(LD), temos a equao vetorialr CPr = ; Escrevendo as equaes paramtricas da reta s, temos ++===111310:zyxs ; Escrevendo as equaes simtricas (isolandonas paramtricas) obtemos: 13111:=+=z y xsou3 1 : = + = z y x s3.8.1.2Determinar o plano que passa C e perpendicular reta r. Para determinar o plano , ou seja, determinar as equaes deste plano, voc ter que achar um ponto e um vetor normal do plano . Como fazer isso? Esboce um plano e uma reta perpendicular quaisquer; Represente o ponto R e o vetorrr na reta r e os pontos C e P no plano ; Observe que, para definir o plano , s falta determinar o vetor normal; Escolha como vetor normal do planoo mesmo da reta r, ou seja,r nr r=; Porque posso escolher esse vetor?Temos, portanto que, o plano definido por) 3 , 1 , 0 ( = Ce) 1 , 1 , 1 ( = = r nr r; 136 Comor CPr , o produto interno0 = r CPr; Logo a equao normal do plano 0 2 1 1 1 : = + + z y x ; Para escrever as equaes paramtricas do plano partindo da equao normal, temos pelo menos duas possibilidades: oDeterminardoisvetoresdiretoresdoplano.Paratanto,acharemosoutrosdois pontos,comoporexemplo,ospontos) 2 , 0 , 0 (1 = C e) 0 , 0 , 2 (2 = C ,achandoos vetores) 1 , 1 , 0 (1 = CCe) 3 , 1 , 2 (1 = CC , logo: +++===222111312110310:zyx oConsidere 1 = ye 2 = z , logo 2 12 + + = x , isto : + +===212 12: zyx ou ++++++ ===222111100 002:zyx 3.8.1.3Determinar o ngulo, a distncia e a interseo, caso existam, ente o plano e a reta s. Para determinar o ngulo, a distncia e a interseo, verifique, antes de qualquer coisa, a posio relativa entre o planoe a reta s, pois dependendo do caso, no ser necessrio fazer contas. Como fazer isso? Pense nas trs possibilidades que existem, com relao posio relativa, entre uma reta e um plano. Pense na sua mesa como o plano (infinito) e o seu lpis como reta (infinita) 1.Coloque o lpis sobre a mesa (primeira possibilidade); 2.Afaste da mesa paralelamente o lpis (segunda possibilidade);3.Encoste apenas a ponta do lpis na mesa (terceira possibilidade). Esboce um plano e uma reta quaisquer; Represente o ponto R e o vetorrr na reta r o ponto C e vetor nr no plano ; Verifique se os vetoresrr e nr so perpendiculares, ou seja, calcule n rr r ; Como o resultado3 ) 1 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 1 ( = = n rr r, os vetores no so perpendiculares, portanto a reta s pode ser concorrente ao plano; Como so concorrentes a distncia0 ) , ( = r d ; Observe que) 1 , 1 , 1 ( = = r nr r, logo o ngulo or 90 ) , ( = , ou seja, so perpendiculares; 137 Finalmente para determinar a interseo, que j sabemos que um ponto, basta pegar um ponto qualquer) 1 3 , 1 1 , 1 0 ( + + = Ida retase substituir na equao geral do plano , ou seja: 0 2 ) 1 3 ( 1 ) 1 1 ( 1 ) 1 0 ( 1 = + + + + Resolvendo a equao, temos que0 = , logo = s I ) 3 , 1 , 0 ( . 3.8.1.4Determinar a equao normal do plano que contenha o ponto A e seja paralelo ao plano . Para determinar a equao deste plano, voc ter que achar um ponto e vetor normal do plano , ou dois vetores diretores do plano. Como fazer isso? Esboce dois planos paralelos; Represente o ponto C e o vetor normal nr no planoe os pontos A e P no plano ; Observe que, para definir o plano , s falta determinar o vetor normal; Escolha como vetor normal do plano o mesmo do plano , ou seja, n nr r= ; Porque posso escolher esse vetor?Temos, portanto, que o plano definido por) 1 , 0 , 3 ( = Ae) 1 , 1 , 1 ( = = n nr r; Comor APr , o produto interno0 = r APr; Logo a equao geral do plano 0 2 1 1 1 : = + + + z y x ; 3.8.1.5Calcule a distncia entre os planos e . Para determinar a distncia entre estes planos, vamos de fato calcular um volume. Como fazer isso? Esboce dois planos paralelos; Represente o ponto C e o vetor normal nr no planoe o ponto A no plano ; Represente o vetorAC ; Observe que, o vetor nr pode representar o produto vetorial de dois vetores diretores 1vr e 2vr do plano , ou seja, 2 1v v nr r r =; Ovolumesergeradopelosvetores 1vr, 2vreAC ,portantoovolumeseromdulodo produto misto: 4 ] , , [2 1 2 1= = = = AC n AC v v AC v v Vr r r r r Volume de um paraleleppedo rea da base vezes altura138 Portanto como a rea da base 3 || || =nr, a distncia ser: . .33 434) , ( c u d = = 4.Avaliando o que foi construdo Foram introduzidos, nesta unidade, as retas e os planos e como olhar estes elementos de uma maneira geomtrica. Definimostambmasequaesparamtricasdasretasedosplanos,bemcomoa equao simtrica da reta e a equao geral de um plano. Foi bastante enfatizado que determinar a posio relativa entre as retas e os planos , de fato,muitoimportante,poisfacilitaacompreensodosproblemaseprincipalmenteasua resoluo. Mostramostambmcomodeterminarngulos,interseesedistnciasentreasretas, entre retas e planos e entre planos. 139 Unidade III Cnicas e Qudricas 1.Situando a Temtica Nesta unidade estudaremos e definiremos as cnicas, como por exemplo, circunferncias, elipses,hiprboleseparbolas,apartirdassuasequaesgeraisdadasporequaesdo segundo grau em duas variveis, usando ferramentas algbricas, como matrizes, determinantes, polinmios caractersticos, autovalores e autovetores, introduzidos nesta unidade. Faremostambmumaintroduossuperfciesqudricas,bemcomoseroexibidas algumassuperfciesderevoluo,cilndricasecnicas,comointuitodefazeroalunoolharos objetos ao seu redor e tentar ver que tipo de superfcie se trata tal objeto e que possvel existir uma equao associada a tal superfcie.2. Problematizando a Temtica Naclassificaodacnica,trataremosdemodoalgbricoaequaogeral,paraobtera cnicanaformareduzida,simplificando,destamaneira,aequaoparaaobtenodosseus elementos bsicos (estudados na disciplina Matemtica Bsica IV). Para a visualizao das cnicas utilizaremos o programa Geogebra para exibir as cnicas, bemcomoresolverexerccioseinteragircomascurvas,neledefinidas,demaneirasimplese agradvel. Comodesenharumaqudrica,oupelomenos,terumaidiadecomoaqudricase encontraemumespaotridimensional,sendocapazdevisualizarsuasinterseescomplanos, determinando qual curva, em duas dimenses, ir surgir nestes cortes. 3.Conhecendo a Temtica 3.1Introduo O tratamento mais bsico, ou seja, considerando as cnicas com o eixo focal paralelo ao eixoxou ao eixoy , ser tratado na disciplina Matemtica Bsica IV, porm seu conhecimento sernecessrioparaadistinodascnicasaquiabordadas,poisnossoobjetivosersempre obter as equaes das cnicas na sua forma reduzida. Paraaclassificaodascnicas,usaremososconceitosbsicosdecomoencontraros autovalores e autovetores, associados a uma determinada matriz. A definio e aplicaes sero objetosdadisciplinaIntroduolgebraLinear,masaquiintroduzidasparcialmente,apenas para us-las em nossos estudos. No caso das superfcies ficaremos a maior parte do tempo na identificao, compreenso e esboo das superfcies qudricas, cnicas e cilndricas, nas suas formas mais conhecidas, apesar de tambm ser possvel, usando o mesmo procedimento para as cnicas, classificar as qudricas. 140 3.2Cnicas Vamosconsiderar,paraoestudodascnicas,oplanocartesiano,ouseja,oespaode duas dimenses R2. Definio: O lugar geomtrico dos pontos 2R y) (x, que satisfazem equao do segundo grau em duas variveis 0 F Ey Dx Cy Bxy Ax2 2= + + + + + chamado de cnica. Observaes:Daequao0 F Ey Dx Cy Bxy Ax2 2= + + + + + ,chamadadeequaodacnica, temos que: Pelos menos um dos nmerosA,B e C diferente de zero; Os termos 2Axe 2Cyso chamados de termos quadrticos; O termoBxy chamado de termo quadrtico misto; Os termosDx eEy so os termos lineares eF o termo independente; A cnica o conjunto{ } 0 F Ey Dx Cy Bxy Ax R y) (x,2 2 2= + + + + + Podemos escrever a equao0 F Ey Dx Cy Bxy Ax2 2= + + + + +na forma matricial (verifique): [ ] [ ] 0 . .22. = +((

+((

((

FyxE DyxC BB Ay x Exemplos: Teste todas essas cnicas no programa Geogebra. a)Circunferncia:1 y x2 2= + , ou seja,0 1 - 0y 0x 1y 0xy 1x2 2= + + + + ; b)Elipse:6 y 3 2x 12y3x2 22 2= + = + , ou seja,0 6 - 0y 0x 3y 0xy 2x2 2= + + + + ; c)Hiprbole:6 y 3 2x 12y3x2 22 2= = , ou seja,0 6 - 0y 0x 3y 0xy 2x2 2= + + + ; d)Parbola:0 y x2= , ou seja,0 0 1y 0x 0y 0xy 1x2 2= + + + + ; e)Um ponto (circunferncia ou elipse degenerada):0 y x2 2= + , ou seja,0 0 0y 0x y 1 0xy 1x2 2= + + + + + ; 141 f)Vazio (circunferncia ou elipse degenerada):0 1 y x2 2= + + , ou seja,0 1 0y 0x y 1 0xy 1x2 2= + + + + ; g)Uma reta (parbola degenerada):0 y 2 x 0 y) (x2 2 2= + + = + xy , ou seja,0 0 0y 0x 1y 2xy 1x2 2= + + + + + ; h)Duas retas paralelas (parbola degenerada):0 1) y y)(x (x = + + + 0 y 2 x2 2= + + + + y x xy , ou seja,0 0 1y 1x 1y 2xy 1x2 2= + + + + + ; i)Duas retas concorrentes (hiprbole degenerada):0 y) y)(x (x = + 0 y x2 2= , ou seja,0 0 0y 0x 1y 0xy 1x2 2= + + + + ; 3.2.1Forma reduzida Apresentaremosaseguirasquatrocnicasmaisconhecidas,dadasasequaesnas formas vetorial, reduzidas e paramtricas, onde: ) , ( y x P= um ponto qualquer da cnica. ) , (0 0y x C= o cento; 1F , 2FeFso os focos; 1A , 2A , 1B , 2Be) , (V Vy x V=so os vrtices; CircunfernciaParbola r CP C = :2 2020) ( ) ( : r y y x x C = + ) ( .) cos( .:00sen rryxyxC++== Onder o raio. ) , ( : r P d FP CP=2) ( ) ( 4 :V V Px x y y c C = 22:ccyxyxCVVP++== r a reta diretriz FV c= 142 ElipseHiprbole a P F P F E 2 :2 1= +1) ( ) (:220220=+by yax xE) ( .) cos( .:00sen bayxyxE++== Onde: 2 12 A A a =(eixo maior) 2 12 B B b =(eixo menor) 2 12 F F c=(distncia focal) 2 2 2c b a + = a P F P F H 2 :2 1= 1) ( ) (:220220=by yax xH) tan( .) sec( .:00bayxyxH++== Onde: 2 12 A A a =(eixo maior) 2 12 F F c=(distncia focal) 2 2 2b a c + = Observao:Noscasosemquenaequaonoconstedotermoquadrticomisto,a classificaosedatravsdeoperaescomocompletamentodequadradoseoperaes algbricas bsicas (ver exemplos 3.4.1). 3.2.2Autovalores e autovetores Utilizaremosautovaloreseautovetorescomoferramentaparadeterminaroseixosdas cnicas, em relao aos eixos coordenados, a partir da equao geral, eliminando desta forma o termoquadrticomisto.Odetalhamentoeousomaisintensivodestateoriasertemada disciplina Introduo lgebra Linear. Apesardasdefiniesabaixoseremparamatrizesquadradasdequalquerordem, ficaremos apenas com as matrizes2 2 , que sero nosso objeto de trabalho. Definio: Chamaremos de polinmio caracterstico de uma matriz n nA ao polinmio definido por: ) det( ) (nI A p =onde nI a matriz identidaden n . Exemplo: Considere a matriz ((

=8 22 5A . O polinmio caracterstico da matrizAser o determinante de ((

=((

((

= 8 22 51 00 18 22 52 2 2I A , ou seja,143 36 13 4 ) 8 )( 5 (8 22 5) det( ) (22+ = = = = I A p . Definio: Chamaremos de autovalores de uma matriz n nA as razes, caso existam, do polinmio caracterstico, ou seja, as solues da equao: 0 ) ( = p Exemplo:Considereamatriz ((

=8 22 5A comonoexemploanterior,comoseupolinmio caracterstico dado por36 13 ) (2+ = p . Os autovalores da matriz so41 = e92= . Definio: Chamaremos de autovetor vr associado ao autovalorde uma matriz n nA, a uma soluo do seguinte sistema linear: X X A = .OndeX= (x1 x2 ... xn)t uma matriz coluna composta denvariveis. A soluo X0 da equao matricial acima nos d as coordenadas de vr em relao a uma base de Rn. Exemplo:Considereosautovalores41 = e92= damatriz ((

=8 22 5A doexemplo anterior. Logo, para o autovalor: 41 = , temos: { {((

=((

=((

((

yxyxyxX XA4448 22 543 42 1 Que, aps a multiplicao das matrizes, resulta no seguinte sistema homogneo: y xyyxxyxy xy x200422 448 22 5= ==+==+ Obtendoosautovetores) , 2 (1y y v =r,com0 y .Logo,umautovetorunitrioserdado por |||

\|=51,521vr, considerando 51= y . 91 = , temos: { {((

=((

=((

((

yxyxyxX XA9998 22 543 42 1 Que, aps a multiplicao das matrizes, resulta no seguinte sistema homogneo: x yyyxxyxy xy x200 224998 22 5 = ====+ 144 Obtendoosautovetores) 2 , (1x x v =r,com0 x .Logo,umautovetorunitrioserdado por |||

\|=52,512vr, considerando 51 = x . 3.2.3Classificando as cnicas Para a classificao e esboo das cnicas, devemos seguir os seguintes passos: 1)Escrever a equao0 F Ey Dx Cy Bxy Ax2 2= + + + + + , na forma matricial: [ ] [ ] 0 . .22. = +((

+((

((

FyxE DyxC BB Ay x2)Determinarautovetoresunitriosurevrdamatrizdostermosquadrticos ((

C BB A22,que daro a direo dos novos eixos coordenados para a cnica; 3)Considerandoosautovetoresunitrios) , (y xu u u=re) , (y xv v v=rassociadosaosautovalores ue vrespectivamente, definir as seguintes matrizes:((

=uuD00e((

=y yx xv uv uP4)Escrever a nova equao a partir da equao vetorial, fazendo a mudana das variveisxe ypor 1xe 1y , ou seja, [ ] [ ] 0 . . .00.11111 1= +((

((

+((

((

Fyxv uv uE Dyxy xy yx xuu 5)Esboar o grfico da cnica acima, considerando como eixos dados pelos autovetoresur evr. Proposio: Considere a cnica definida pela equao0 F Ey Dx Cy Bxy Ax2 2= + + + + + , 1e 2os autovalores da matriz dos termos quadrticos ((

=C BB AM22, ento: a)4 / . .22 1B C A = ; b) Se0 .2 1> , ento a cnica uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio; c) Se0 .2 1< , ento a cnica uma hiprbole ou um par de retas concorrentes; d) Se0 .2 1= , temos duas possibilidades: i) 01 ou02 ento a cnica uma parbola, ou um par de retasparalelas ou uma reta ou o conjunto vazio; ii) 02 1= = ento a cnica uma reta. 145 Observao:Sutilizaremosestemtododeclassificaonoscasosemqueocoeficientedo termo misto for diferente de zero, pois caso contrrio recai numa equao da forma reduzida, via completamentodequadradoseoperaeselementaresalgbricos(continhas).Vejaos exemplos em 3.4.1. 3.3Qudricas Vamos considerar para o estudo das qudricas, o espao tridimensional com o sistema de eixos coordenados dado na unidade 3. Definio:Olugargeomtricodospontos 3R z) y, (x, quesatisfazemequaodosegundo grau em trs variveis 0 y x xz yz xy z y x2 2 2= + + + + + + + + + J Iz H G F E D C B A chamado de superfcie qudrica ou simplesmente qudrica. Exemplos:a)Esfera:1 y x2 2 2= + + z , ou seja,0 1 0 y 0 x 0 xz 0 yz 0 xy 0 z 1 y 1 x 12 2 2= + + + + + + + + z ; b)Elipside:6 z 3 y 3 2x 12z2y3x2 2 22 2 2= + + = + + , ou seja,0 6 0 y 0 x 0 xz 0 yz 0 xy 0 z 3 y 3 x 22 2 2= + + + + + + + + z ; c)Hiperbolide:6 y 3 y 3 2x 12z2y3x2 2 22 2 2= + = + , ou seja,0 6 0 y 0 x 0 xz 0 yz 0 xy 0 z 3 y 3 x 22 2 2= + + + + + + + z ; d)Parabolide:0 y x2 2= + z , ou seja,0 0 1 y 0 x 0 xz 0 yz 0 xy 0 z 0 y 1 x 12 2 2= + + + + + + + + z ; e)Cone:0 y x2 2 2= + z , ou seja,0 0 0 y 0 x 0 xz 0 yz 0 xy 0 z 1 y 1 x 12 2 2= + + + + + + + + z ; f)Cilindro:0 1 y x2 2= + , ou seja,0 1 0 y 0 x 0 xz 0 yz 0 xy 0 z 0 y 1 x 12 2 2= + + + + + + + + z ; g)Um ponto:0 z y x2 2 2= + + , ou seja,0 0 0 y 0 x 0 xz 0 yz 0 xy 0 z 1 y 1 x 12 2 2= + + + + + + + + + z ; h)Vazio:0 1 z y x2 2 2= + + + , ou seja,0 1 0 y 0 x 0 xz 0 yz 0 xy 0 z 1 y 1 x 12 2 2= + + + + + + + + z ; i)Uma reta:0 2 2 z y 2 x 0 z) (y y) (x2 2 2 2 2= + + = + yz xy , ou seja,146 0 0 0 y 0 x 0 xz 0 yz 2 xy 2 z 1 y 2 x 12 2 2= + + + + + + + + z ; j)Um plano:0 2 y x 0 y) (x2 2 2= + = xy , ou seja,0 0 0 y 0 x 0 xz 0 0yz xy 2 z 0 y 1 x 12 2 2= + + + + + + + + + z ; k)Dois planos paralelos:0 1) z y z)(x y (x = + + + + + , ou seja,0 0 1 - y 1 x 1 xz 2 2yz xy 2 z 1 y 1 x 12 2 2= + + + + + + z ; l)Dois planos concorrentes:0 z x 0 z) z)(x (x2 2= = + , ou seja,0 0 0 0y 0x xz 0 0yz xy 0 z 1 y 0 x 12 2 2= + + + + + + + + z ; Observaes:Pelos menos um dos coeficientes dos termos quadrticos diferente de zero;Demodoanlogoclassificaodascnicas,asqudricastambmpodemterassuas equaesmodificadasparaumaformareduzida,viaautovetoreseautovalores,porm esta classificao no ser objeto de estudos nesta disciplina; Vamosconsideraroponto) , , (0 0 0z y x C= comocentro,nasqudricaschamadas centradas, e o ponto) , , (0 0 0z y x V=o vrtice nas qudricas no centradas. Oobjetivonestetrabalho,apartirdaequaodeumaqudricaQ,classificar,via interseescomplanos,esboaredaronomedasmesmas.Paratanto,bastaprocederda seguinte forma: 1)FazerinterseesdaqudricaQcomosplanoscoordenados0 :1= x ,0 :2= y e 0 :3= z , ou com planos paralelos aos planos coordenados. Estes planos so escolhidos de tal forma que a interseo resultante com a qudrica, seja uma curva conhecida, onde a idia bsica fazer sumir uma das variveis da equao da qudrica; 2)CasoainterseodaqudricaQcomoplano n ,sejaumadascnicasconhecidas, classificar e observar quais so as caractersticas desta cnica em relao aos eixos paralelos ao plano n ; 3)Caso a interseo da qudricaQ com o plano n , seja um ponto ou vazia, deve-se encontrar umoutroplano n paraleloaoplano n ,detalformaqueainterseodaqudricacomo plano nseja uma das cnicas conhecidas, voltando para o segundo item; 4)Caso a interseo da qudricaQ com o plano n , seja uma circunferncia, a superfcie ser derevoluo,ouseja,giraemtornodeumaretaperpendicularaoplano n ,passandopelo centro ou pelo vrtice da qudrica; Veja alguns exemplos destes procedimentos em 3.4.2. 147 3.3.1Esfera A esfera com centro) , , (0 0 0z y x C=e raior uma superfcie dada pela equao 2 202020) ( ) ( ) ( : r z z y y x x Q = + + Observaes:A esfera um caso particular de elipside; Todososcoeficientesdostermosquadrticosdoprimeiromembrodaequaoso positivos; As trs intersees da qudricaQ com os planos 0 1: x x= , 0 2: y y= e 0 3: z z = so circunferncias. 3.3.2Elipside Oelipsidecomcentro) , , (0 0 0z y x C= uma superfcie dada pela equao 1) ( ) ( ) (:220220220=++cz zby yax xQE Observaes:Aesferaumcasoparticulardeelipside, bastando considerar os valoresr c b a = = = , na equao acima; Todososcoeficientesdostermosquadrticosdoprimeiromembrodaequaoso positivos; Duasdasinterseesdaqudrica EQ comosplanos 0 1: x x= , 0 2: y y= e 0 3: z z = so elipses, por este motivo o nome elipside; oSe a outra interseo for uma elipse o nome ser elipside elptica; oSeaoutrainterseoforumacircunfernciaonomeserelipsidecircularou elipside de revoluo. 3.3.3Hiperbolide de uma folha Ohiperbolidedeumafolhacomcentro ) , , (0 0 0z y x C=