Apostila Nivelamento2011 MAT

CESUMAR – CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ NIVELAMENTO - MATEMÁTICA BÁSICA

Coordenadora: Prof. Ivnna Gurniski Carniel

1

PROGRAMA DE NIVELAMENTO

2011

MATEMÁTICA



2

I - CONJUNTOS NUMÉRICOS

Esta figura representa a classe dos números.

Veja a seguir:

N Naturais

“São os números os quais utilizamos para contar quantidades

inteiras”

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

“Não há números naturais negativos”

Z Inteiros

“São números relativos que estão ligados as trocas, ou seja,

transações de coisas”

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

“Não há números inteiros em fração ou decimais”

Q Racionais

“São os números que representam partes inteiras ou divisões,

ou seja, os inteiros, frações, decimais exatos e dízimas

periódicas”.

Q = {..., 43− ,

21 , ...}

I Irracionais

“São todos os decimais não exatos, não periódicos e não

negativos”.

I = {..., 2 , π , 722 , ...}

R Reais

“É a união de todos os conjuntos numéricos: todo número,

seja N, Z, Q ou I é um número R (real)”.

“Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo

e o índice par”



3

CONCEITOS DE CONJUNTOS

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O

conjunto vazio é representado por { } ou . Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A⊂ B. União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por BA∪ , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:

Interseção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por

BA∩ , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:



4

EXERCÍCIOS

1. Seja A = {2, 5, {3, 4}, 6}. Complete com os símbolos ⊂∉∈ ,, ou ⊄ e assinale a alternativa que contêm esses

símbolos em uma correspondência correta e na respectiva ordem:

I) 2 ____ A II) {2} ____ A III) {3;4} ____ A IV) ∅ ____ A V) 4 ____ A VI) {5,6} ____ A

a) ⊂∉⊂∉⊂∉ e,,,, b) ⊂∈⊂∈⊂⊂ e,,,, c) ⊂∉⊂∈⊂∈ e,,,, d) ⊂∉⊂⊂⊂∈ e,,,, e) ⊂∈⊂∈⊂∈ e,,,,

2. Diga se é verdadeiro ou falso.

a) {a, e, i, o, u} ⊃ { }

b) {a, b} ⊃ {1, 3, a, b}

c) 4∈{n∈N/ pares}

d) {3, 4, 7, b}⊄{3, b}

e) a ∈ {0 , {a}, 3}

f) b ∉ {a, b, 0}

g) {a} ⊂ {0 , {a}, 3}

3. Efetue as operações.

a) {a, 1, b, 2}∪{0, 1, 2, 3, 4}

b) {a, 1, b, 2}∩{0, 1, 2, 3, 4}

c) {1, 2, 3, 5, 7}∪{ 0, 1, 2, 3, 4}

d) {1, 2, 3, 5, 7}∩{ 0, 1, 2, 3, 4}

e) {0, 1, 2, 3, 4}∪N

f) {0, 1, 2, 3, 4}∩N

g) Z∪N

h) Z∩N

4. Quatrocentos alunos realizaram provas de Matemática e

Física: 216 foram aprovados em Matemática, 300 foram

aprovados em Física e 160 foram aprovados em ambas. Qual

é o número de alunos não aprovados em nenhuma das

disciplinas?



5

5. Das 50 crianças de uma classe, 32 são meninas, 16 praticam

esportes radicais e apenas 7 meninos não gostam e não pra

ticam esportes radicais. O número de garotas que não

praticam esportes radicais é:

a) 16

b) 20

c) 22

d) 25

e) 27

6. Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre

preferências dos alunos quanto ao cardápio do Restaurante

Universitário. Nove alunos optaram somente por carne de

frango, 3 somente por peixe, 7 por carne bovina e frango, 9

por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de carne.

Considerando que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos,

36 não optaram por carne bovina e 42 não optaram por peixe.

Quantos alunos foram entrevistados?

Respostas:

1. d

2. a) V; b) F; c) V; d) V; e) F; f) F; g) F.

3.a) {a, b, 0, 1, 2, 3, 4}; b) {1, 2}; c) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7};

d) { 1, 2, 3}; e) N; f) { 0, 1, 2, 3, 4}; g) Z; h) N.

4. 44 alunos

5. e

6. 58 alunos



6

II – OPERAÇÕES NUMÉRICAS

Adição

Exemplo: Adicione as seguintes parcelas:

a) 2 + 3 = 5

b) 33,1 + 103 = 136,1

c) 2,2 + 3 + 0,4 = 5,6

d) 1,667 + 0,0095 + 56,7 = 58,3765

Aplicação: Ao efetuar uma compra de uma calça de R$ 65,65 e uma

camiseta que custa R$34,30. Qual o valor que devo pagar?

Armar a operação 65,65 + 34,30 com vírgula embaixo de vírgula e

efetuar a soma da parte numérica; 99,95 após transportar a vírgula.

Subtração

Exemplo: Diminua as parcelas:

a) 71 – 5 = 66

b) 5 – 0,1 = 4,9

c) 7,09 – 1,115 = 5,975

d) 23,995 – 3,041 – 17,91 = 3,044

Aplicação: Pedi para meu filho ir até a feira para comprar uma dúzia

de ovos. Sabendo que dei R$ 10,00 para ele e a dúzia de ovos custa

R$ 2,50. Quanto de troco meu filho deve trazer?

Armar a operação 10,00 – 2,50 com vírgula em baixo de vírgula e

subtrai-se a parte numérica; 7,50 após transportar a vírgula.

Multiplicação

Exemplo: Efetua as seguintes multiplicações:

a) 4*7 = 28

b) (1,2)*3 = 3,6

c) 4*(7,5) = 30

d) 3*6*5 = 90

e) (3,01)*4*(5,2) = 62,608

Aplicação: Fui ao mercado comprar melancia. Sabendo que o preço

por quilo era de R$0,38 e escolhi uma melancia que pesava 5,75kg.

Qual o valor da minha compra?

0,38 * 5,75 contar quantos algarismos se encontram após a vírgula

(4 algarismos) e eliminá-la;

38 * 575 multiplicam – se os números inteiros que resulta em 21850.



7

Finalmente escreva a vírgula contando da direita para a esquerda

quantos algarismos se encontravam após a vírgula no começo da

conta (4 algarismos);

2,1850 = 2,185≅ 2,19 reais.

Divisão

Exemplo: Determine o quociente:

a) 18:3 = 6

b) 20:8 = 2,5

c) 2:8 = 0,25

d) 8:2 = 4

e) 10:5:2 = 1

f) (10,5):2:5 = 1,05

Aplicação: Desejo dividir, igualmente, meia melancia entre quatro

pessoas. Quanto da melancia cada uma dessas pessoas irá comer?

4:5,0 multiplique simultaneamente os números por 10 quantas

vezes forem necessárias até que se tenha apenas números inteiros;

5 : 40 efetue a divisão;

0,125 da melancia cada pessoas comeu.

Regra da soma de sinais:

5 + 3 = 8

-6 – 7 = -13

7 – 3 = 5

5 – 11 = -6

* se os sinais são iguais, soma-se à parte numérica e mantém-se o

sinal;

* se os sinais são opostos, subtrai-se à parte numérica e mantém-se o

sinal do número de maior módulo.

Regra da multiplicação de sinais:

(+).(+) = (+)

(-).(-) = (+)

(-).(+) = (-)

(+).(-) = (-)

* multiplicação de sinais iguais o sinal resultante é positivo;

* multiplicação de sinais opostos o sinal resultante é negativo.



8

EXERCÍCIOS

1. Efetue:

a 2 + 5 l 4,57 * (-3)

b 5,2 + 4 m 1,03 * (-2,5)

c 4,5 – 3,9 n -2,5 * (1,2)

d 6,02 + 10,2 o -3,8 * (-4,1)

e 3,64 – 7,01 p 3,1 + 1,8 * (4)

f 5 – 10,91 q 1:(8)

g -50 + 34,3 r 5:(-6)

h 49,2 – 30,09 – 5 s 3:(-4)

i 4,3 + 3,54 – 12,4 t 3* (1,5) – 5 * (2)

j 5,1* (5) u 4,5 * (-9,2) + 3,6:(3)

Respostas:

1. a) 7; c )0,6; e) –3,37; g) –15,7; i) -4,56; l) –13,71; n) –3; p) 10,3;

r) –0,83; t) 2

Adição/Subtração de números na forma fracionária:

Exemplo:

65

623

31

21

=+

=+

* para somar/subtrair frações é necessário deixar as frações com os

mesmos denominadores.

Mínimo múltiplo comum:

2; 3 2

1; 3 3

1; 1

mmc= 2.3 = 6

Exemplo:

( )1217

1224310

12

41

652

41

65

−=−−

=−−=−+−

Aplicação: Fomos em uma pizzaria, éramos em 2 pessoas e pedimos

uma pizza. Sabendo que Joãozinho comeu cinco pedaços da pizza.

Quantos pedaços de pizza Mariazinha comeu?

1 pizza tem 8 pedaços, logo cada pedaço equivale 81 da pizza.

Como Joãozinho comeu 85 da pizza.



9

Mariazinha comeu: 1 - 85 =

85

88− =

83 da pizza, isto é, 3 pedaços.

Multiplicação de números na forma fracionária:

Exemplo:

2110

75.

32

=

* multiplica-se os numeradores entre si assim como os

denominadores.

Aplicação: Ao receber o salário de R$ 855,00 irei dar a igreja um

décimo dele. Quanto a igreja irá receber de mim?

5,8510855

101.855 == reais.

Divisão de números na forma fracionária:

Exemplo:

1514

57.

32

75:

32

==

* mantém-se a primeira fração, troca-se a operação da divisão para a

multiplicação e inverte-se a segunda fração.

Aplicação: Desejo dividir meia barra de chocolate para três pessoas:

61

31.

213:

21

== da barra de chocolate para cada pessoa.

Exemplo:

45

1215

23.

65

32:

65

−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

Equivalência entre as frações:

Exemplo: 21 é equivalente a

42 , pois representa a mesma quantidade

do todo.

Figura: A figura apresenta a equivalência entre as

frações:84

42

21

== .

Aplicação: Ao chegar para comprar café em uma mercearia não é

comum pedirmos três sextos do quilo de café, mas sim, meio quilo

que café.



10

Transformação de números fracionários em decimal e decimal

em fracionários

Costumeiramente se em uma expressão há números fracionários e

decimais, logo optamos por transformar os números fracionários em

decimal.

Exemplo: 451+ = 0,2 + 4 = 4,2 (fracionário em decimal)

E se quiséssemos transformar um decimal em fracionário?

10075

100100.

175,075,0

1021

1010.

11,21,2

==

==

* ou seja, multiplique por 10 o numerador e o denominador tantas

vezes forem necessárias para que a parte decimal desapareça.

EXERCÍCIOS

1. Efetue:

a 21 +

51

j 61 .

53

b 31 +

41

l 53 .

43

c 32 +

53 +

61

m 27 .

53 .4

d 27 -

43

n 2:

27

e 5 -

53

o 41 :5

f 41 + 3 -

53

p 53 :

32

g 7 -

41 -

27

q 61 :

53

h 3.

41

r 32 :

53 :

61

i 53 .15

s 41 .

43 :

27



11

2. Efetue a simplificação:

a 6432

d 55502500

b 72981

e 29883446

c 1024160

f 625

1024

3. Efetue a transformação para a forma fracionária e quanto possível

simplifique:

a 0,2 e 1,75

b 0,32 f 10,01

c 0,05 g 0,202

d 1,5 h 2,405

4. Se na geladeira tinha 0,75 de um melão e comi a metade. Quanto

comi do melão?

Respostas:

1) a) 107 ; c)

3043 ; e)

522 ; g)

413 ; i) 9; l)

209 ; n)

74 ; p)

109 ; r)

320 .

2) a) 21 ; c)

325 ; d)

11150 ; f)

6251024 .

3) a) 51 ; c)

201 ; e)

47 ; g)

500101 .



12

III - POTÊNCIAS

Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n

fatores iguais a A.

⎩⎨⎧

=grau.seu o determina que potência, da expoente o én

potência; da base a é A... *A *A *A *A *A A

vezesn

n4444 34444 21

Assim:

2³ = 2 * 2 * 2 = 8 ∴ 2³ = 8

(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 ∴ (- 1)4 = 1

CASOS PARTICULARES:

1. A potência de expoente 1 é igual à base:

A1 = A; 21 = 2

2. Toda potência de 1 é igual a 1:

1² = 1; 1³ = 1

3. Toda potência de 0 é igual a 0:

0² = 0; 0³ = 0

4. Toda potência de expoente par é positiva:

(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9

5. Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:

3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27

25 = 32 ; (- 2)5 = - 32

Multiplicação de potências de mesma base

Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.

Realmente: {52 3

vezes5 vezes2 vezes3

2 2 2 * 2 * 2 * 2 * 2 2² * ³2 === +

44 344 2143421

Exemplo:

5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125

Divisão de potências de mesma base

Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.

Realmente: 24 - 6

vezes6

vezes4

4

65 5

5 * 5 * 5 * 55 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5

55

===

44 844 76

43421



13

Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81

Potenciação de potência

Eleva-se a base ao produto dos expoentes.

Realmente: ( ) ( ) 62 * 32363 3

vezes2

3323 2 2 2ou 2 2 2 * 2 2 ===== +321

Exemplo: ( ) 049 59 3 3 1025 ==

Expoente nulo

Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual

a unidade.

Realmente: 1 a 1 a : a

a a a : a 044

04 - 444=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

Exemplo: (- 5)0 = 1

Expoente negativo

Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo

é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo

denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo

expoente com o sinal positivo.

Realmente: 44-

4-7 - 37

3

443

3

7

3

21 2

2 2 22

21

2 * 22

22

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

==

Exemplo: 251

5 * 51

51 52

2 ===−

Potências de 10

Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade

tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

Exemplos:

a) 10² = 100

b) 107 = 10 000 000

c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10²

d) 4000 = 4 * 10³

e) 300 000 = 3 * 105

f) 3 * 108 = 300 000 000



14

Números decimais

Todo número decimal equivalente a um produto do qual um

fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de

dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente

quantas são as ordens decimais.

Realmente: 4-4

10 * 25 1025

000 1025 0025,0 ===

Exemplos:

a) 0,001 = 10-3

b) 0,002 = 2 * 10-3

c) 0,00008 = 8 * 10-5

d) 1,255 = 1255 * 10-3

e) 2 * 10-3 = 0,002

EXERCÍCIOS

1. Calcule:

a) 1³ =

b) 04 =

c) (- 2)³ =

d) (- 4)³ =

e) (- 2)4 =

f) (- 4)4 =

g) 2³ * 25 =

h) 3² * 3 * 35 =

i) 35: 34 =

j) 34 : 3² * 35 =

k) 24 * 54 =

l) (- 35) * (- 55) =

m) 153 : 33 =

n) (- 46) : 26 =

o) (3³)2 =

p) (2³)5 =

q) 3³2 =

r) [ (3³)² ]² =

s) (2 * 3)³ =

t) (3² * 5 * 2)4 =



15

u) 5

35⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

v) 3

432⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

w) 2

3

32

53 * 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x) (2 * 3²)0 =

y) 4-2 =

z) 2 * 3-1 =

aa) 43

2−

=

bb) (2-3 * 5-2)-4 =

cc) 2x + 1 * 4x =

dd) 32x * 24x =

ee) 54x: 252x =

2. Exprimir, utilizando potências de 10:

a) 20 000 =

b) 4 800 000 =

c) 0,01 =

d) 0,000045

IV – RADICAIS

Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A,

ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A.

OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo

⎪⎩

⎪⎨

⎧

radical -

radicando -A raiz da índice -n

An

Assim:

a) 4 16 = porque 4² = 16

b) 2 83 = porque 2³ = 8

c) 3 814 = porque 34 = 81

Propriedade

É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o

expoente do radicando pelo índice do radical.



16

Exemplos:

a) 3 2 3 * 2 12 2 ==

b) 5 6 5 3 * 2 5 3 * 2 180 22 ===

c) 424 48 2 5 * 3 2 * 5 * 3 =

d) 24 : 84 8 3 3 3 ==

Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-

se o expoente do fator pelo índice do radical. Assim:

3 33 2 * 3 2 3 =

Adição e subtração de radicais semelhantes

Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes.

Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os

coeficientes e conserva-se o radical.

Exemplos:

a) 2 2- 2 10 - 2 8 2 10 - 2 5 2 3 ==+

b) 3333333 2 3 2 6 - 2 9 2 - 2 5 - 2 6 2 3 ==+

Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice

Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto

(quociente) o índice comum.

Exemplos:

a) 6 3 * 2 3 * 2 ==

b) 3 26

26

==

c) 30 2 * 5 * 3 2 * 5 * 3 ==

d) 44

4

4

44

215

215

23 * 5

==

Potenciação de radicais

Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.

Exemplos:

a) ( ) 44 334 27 3 3 ==

b) ( ) 5 245 2225 2 3 * 2 3 * 2 3 * 2 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛



17

Radiciação de radicais

Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.

Exemplos:

a) 42 * 2 3 3 3 ==

b) 243 4 3 3 =

Expoente fracionário

Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida

numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do

expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.

Exemplos:

a) q pq

pa a =

b) a a 21

=

c) 33 232

4 2 2 ==

d) 434 3 6 6 =

Racionalização de denominadores

1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso

multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador

da fração.

Exemplos:

a) 22

42

2 * 22 * 1

21

===

b) 63

3 * 23

923

3 * 323 * 1

321

====

c) 36

96

3 * 33 * 2

32

===

d) 1512

30122

6 * 5122

365122

6 * 656 * 22

6522

=====



18

2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois

termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau.

Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela

expressão conjugada do denominador.

OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.

Na racionalização aparecerá no denominador um produto do

tipo:

(a + b) * (a – b) = a² - b²

Assim:

(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16

Exemplos:

a) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3

2 - 5 2 - 5

2 - 5 2 - 5

2 - 5 2 - 5 * 2 5

2 - 5 * 1 2 5

122 ===

+=

+

b) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )3 - 2 * 5 1

3 - 2 * 5 3 - 4

3 - 2 * 5 3 - 2

3 - 2 * 5 3 - 2 * 3 2

3 - 2 * 5 3 2

522

====+

=+

EXERCÍCIOS

1. Efetuar:

a) =+ 510 52 - 5

b) =+ 8 - 23 32

c) =+ 729 - 3 33 4

d) = 6 * 3

e) ( ) ( )= 4 - * 2 - 33

f) = 28

4

4

g) ( ) = 263

h) =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 3 * 2

23 2

i) = 33 3

j) = 23

k) = 223

l) = 2223 3 3



19

2. Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:

a) 43

2 =

b) 21

2−

=

c) 2

12

12 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

d) ( ) 61

3 * 2 =

3. Racionalizar o denominador das frações seguintes:

a) 5

1 =

b) 7

3 =

c) 22

3 =

d) 2 - 5

2 =

e) 11 - 4

5 =

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Apostila Nivelamento2011 MAT