FACULDADES INTEGRADAS

CURSO DE ADMINISTRAÇÃO

MÉTODOS QUANTITATIVOS- Prof. EDUARDO

ALUNO(A): __________________________________________________________________

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO CÁLCULO INTEGRAL

ANTIDIFERENCIAÇÃO, ANTIDERIVADA OU INTEGRAÇÃO:

A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e Integral. Do ponto de

vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva enquanto

que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, mas

também possui muitas outras interpretações possíveis. Na realidade, a grande descoberta de

Newton e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar com grandezas, é capaz de lidar com a

variação das mesmas.

A idéia básica do conceito de integral já estava embutida no método da exaustão atribuído a

Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C. O método da

exaustão consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos.

O caso mais conhecido é o famoso problema da quadratura do círculo, isto é, o problema de obter um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r dado.

O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção

que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos.

Fazemos uma sequência de soma de áreas obtendo uma sequência numérica {Sn} é convergente

para um número real bem definido, diz-se que f é integrável no intervalo [a,b] e o valor do limite

desta sequência é denotado por:

=

A expressão da esquerda é a integral de f entre os limitantes de integração a e b e a expressão da

direita é o limite da sequência de somas parciais Sn.

A definição de integral é abstrata e tem pouco uso operacional. Em função disto, introduzimos

mecanismos que facilitam certos cálculos e os principais são as propriedades das integrais.

A integração pode ser concebida sob duas formas: integração indefinida ou definida:

1) Integral Indefinida: dada a derivada de uma função, consiste em achar a função que a

originou, ou seja achar sua primitiva.

A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação.

Definição: Uma função F é antiderivada de f em um intervalo I se F‘ (x) = f(x) para todo x em I.

Notação: Para indicar a operação de integração efetuada, será utilizado o símbolo ∫ originado

da letra “s” , proveniente da palavra soma ou somatório.

f(x) dx = F(x) + C Onde:

F‘ (x) = f(x) e “c” é uma constante arbitrária, denota a família de todas as antiderivadas de f(x)

em um intervalo.

Exemplos:

1)

=dxx23

2)

=xdxcos

3)

=dxx 4

Generalizando: se ' e 1−==

nnnxyxy para a integração o processo é inverso:

1)

cn

xdxx

nn

++

=

+

1

1

Exercício:

1)

=dxx 35

2)

=dxx56

Propriedades da integral indefinida: 1) A integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais:

f(x) + g(x) dx =

f(x) dx +

g(x) dx

2) A constante multiplicada pode ser retirada do integrado:

(K.f)(x) dx = K

f(x) dx

3) A derivada da integral de uma função é a própria função:

Dx

f(x) dx = f(x)

Integrais imediatas: São as integrais que decorrem de forma direta das fórmulas de derivação. Através deste processo temos a tabela a seguir com algumas fórmulas de integral:

2) Integral definida: Consiste em achar a área situada entre uma curva e o eixo “x” num intervalo dado:

“a” é o limite inferior da integração “b” é o limite superior da integração

[ ] [ ]dxxfxgdxxgxfA

b

c

c

a

∫∫ −+−= )()()()(

Propriedades da integral definida: 1ª) Se os limites de integração forem o mesmo seu resultado é zero

a

a

f(x) dx = 0

2ª) Podemos inverter a posição dos limites de integração invertendo o sinal da integral

b

a

f(x) dx = -

a

b

f(x) dx

3ª) Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e K uma constante qualquer, então a função

Kf é integrável e

b

a

(K.f)(x) dx = K

b

a

f(x) dx

4ª) Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então f+g é integrável no mesmo intervalo

e além disso:

b

a

(f+g)(x) dx =

b

a

f(x) dx +

b

a

g(x) dx

5ª) Se f é uma função integrável nos intervalos [a,c] e [c,b], então f é integrável em [a,b] e além

disso:

b

a

f(x) dx =

c

a

f(x) dx +

b

c

f(x) dx

Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e seja F a função definida por

F(x) =

b

a

f(x) dx

Então, F é derivável em todos os pontos internos desse intervalo e F’(x) = f(x)

Ou:

Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e G uma

primitiva de f, então,

b

a

f(x)dx = F(b) - F(a)

Exemplo de cálculo da integral definida:

∫ −==

b

a

bFaFxFdxxf )()( )()(

∫1

0

xdx

Resolve-se como uma integral indefinida e em seguida substitui os limites de integração retirando a constante “c” .

∫1

0

xdx então cx

cx

xdx +=++

=

+

∫ 211

211

substituindo os limites de integração temos:

2

1

2

0

2

1 22

=

−

Calcule a área das regiões indicadas nas figuras:

1)

2)

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO:

Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções.

Seja a expressão [ ]∫ dxxfxfg )('.)( . Através da substituição )(''por )( xfuxfu == , temos:

[ ] [ ]∫∫ +=+== cxfhcuhduugdxxfxfg )()()()('.)( admitindo que se conhece ∫ duug )(

Exemplo:

f(u(x)) u'(x) dx Basta substituir “u” por u(x) e teremos:

f(u) du

Observação: Para trabalhar com o método de integração por substituição há a necessidade de

fazer uso de bastante criatividade, percepção e muitos exercícios!

Exemplos:

1) ∫ =++ dxxxx )32).(3( 2

2) ( )∫ =− xdxx 212

3) ∫ =+

dxx

x

1

52

4) ∫ =+

dxx

x

4

EXERC ÍCIOS

1ª QUESTÂO: Resolva as integrais indefinidas abaixo:

1) ( )∫ =−+ dxxxx 232

2) ∫ =

+ dxx

x

31

3) =−+∫ dxx

xx )1

sen2

1(cos

4) =

−∫ dx

x

xx

5) =

−+∫ dx

x

xx2

2 1

6) =

+∫ dx

xx 32

32

7) ∫ =dxx

x1

).cos(ln

8) ∫ =dxx)7cos(

9) ( )∫ =− dxxx 243 1

2ª QUESTÂO: Resolva As integrais definidas abaixo:

1) ( )∫ =++

1

0

2 32 dxxx

2) ( )∫ =+

2

1

2 2 dxxx

3) ∫ =+

2

0

2 1dx

x

x

4) ∫ =+

1

0

21

1dx

x

3ª QUESTÃO: Calcule a área limitada por:

1) 3x0 para x,eixo o e )( 2≤≤= xxf 2) 22 2)( e )( xxxfxxf −==

INTEGRAÇÃO POR PARTES:

Se existe uma primitiva G para a função g, isto é: G'(x)=g(x), então:

∫ ∫−= dxxGxfxGxfdxxgxf )().(')().()().(

Exemplo: Para calcular ∫ dxxx )ln(. , tomamos g(x)=x e f(x)=ln(x). Assim, uma primitiva para

g=g(x) é a função G(x)=x²/2 e f'(x)=1/x e a fórmula de integração por partes, nos informa que:

∫ ∫−= dxxGxfxGxfdxxgxf )().(')().()().(

Teremos:

Cxxxdxxxxdxx

xxdxxx +−==−= ∫∫∫ )ln(

2

1)ln(..

1

2).ln()ln(. 2

2

A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários.

Exercício: Calcular as integrais abaixo pelo uso sucessivo do método de integração por partes.

1. E1= x ex dx

2. E2= x² ex dx

3. E3= x³ ex dx

4. En= xn ex dx