apostila oficina graphmatica - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/capitcar/files/2016/08/apostila-oficina... · médio do kg de feijão em reais, e x o mês do ano. Determine:

blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1

ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI

UNITAU

APOSTILA

OFICINA GRAPHMÁTICA

PROF. CARLINHOS

NOME DO ALUNO: Nº TURMA:


O que é o graphmatica ?

O Graphmática é um aplicativo que trabalha com duas dimensões, sendo capaz de representar

graficamente funções de qualquer grau, funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas,

hiperbólicas, etc. Também é útil no Cálculo Diferencial e Integral: hachura áreas para ilustrar integrais,

desenha gráficos de derivadas e cria gráficos de equações diferenciais ordinárias. Possibilita, assim,

aplicações diversas em matemática. O Graphmática é versátil, uma vez que possibilita, em trigonometria,

trabalhar com o ângulo em graus ou em radianos. Além disso, os gráficos podem ser representados com

coordenadas cartesianas ou em polares, facilitando a criação de figuras que envolvam funções

trigonométricas. É permitida a construção por parâmetros (retas paramétricas, por exemplo), e

inequações são representadas muito facilmente.

O software foi criado por Keith Hertzer, um bacharel em Engenharia Elétrica e Ciência da Computação. O

endereço da Internet que dispõe o download do programa é escrito em inglês (www.graphmatica.com),

mas as versões disponíveis são diversas: desde uma original (em inglês) até traduções para o espanhol,

francês, coreano e, inclusive, português.

A versão que usaremos neste guia é de 2003 e está em português de Portugal e foi traduzida pelo

professor Carlos Malaca.

Conhecendo o graphmatica: Os alunos receberão um manual completo em pdf do aplicativo, a seguir

apresentaremos alguns comandos essenciais para o nosso projeto.


Barra de botões


Definições para os gráficos


Operadores

Função


Sintaxe

Vamos agora as atividades

Estas primeiras atividades serão executadas juntas com o professor, usando o graphmática.

ATIVIDADE 1 – Construção de Gráficos

Represente em planos diferentes os gráficos das seguintes funções:

a) y=2x+2 b) y=x2-4x+3 c) y=2x d) y=(1/2)x e) y=2sen(x) f) y=cos(x)


a)

b)

c)


d)

e)

f)


ATIVIDADE 2 – Função Composta

a) Construa num mesmo plano o gráfico da seguintes funções:

- f(x) = 3x+1 , g(x) = 2x-3 e h(x) = f(g(x))

Primeiramente vamos achar a função h(x)

h(x)=f(g(x)), ou seja, na função f trocaremos x pela função g(x)

h(x)=3.(2x-3)+1 h(x) = 6x-9+1 h(x)= 6x-8

f(x)→(azul) g(x)→( vermelho) h(x)→(verde)

b) Determinar as coordenadas do ponto de intersecção de f(x) com g(x).

P(-4;-11)

c) Uma fecularia (empresa que produz farinha de milho, mandioca etc) compõe os seus preços de venda

por duas funções: a primeira, dos custos e manipulações da matéria prima, dada por f(x)=3x-1, onde x ,é

a quantidade de produto; a segunda, g(x)=2x+2, que diz a respeito ao processamento, embalagens e

entrega às revendas. Determine:

- O gráfico que representa o preço de venda v(x).

Primeiramente encontraremos a função v(x)

v(x)=g(f(x))=2(3x-1)+2=6x+2-2 → v(x) =6x

ATENÇÃO:

O domínio do gráfico é [0;∞[, porque x

representa a quantidade vendida de um

determinado produto


d) o preço de venda de 3 unidades. (ver graficamente)

ATIVIDADE 3 – Função Inversa

a) Construa num mesmo plano o gráfico da função f(x)=2x+1 e da sua função inversa f-1(x).

-Primeiramente vamos achar a função f-1(x)

Para achar a função inversa troca-se x por y e depois isola-se o y

X=2y+1 → 2y=x-1→ y = (x-1)/2 ou seja, f-1(x) = (x-1)/2

b) O que podemos observar o que acontece com os gráficos do item a?

- São simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, a reta y=x (gráfico vermelho)

- Enquanto o gráfico de f(x) (gráfico laranja) intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0;1) o da inversa

f-1(x) (gráfico azul) intercepta o eixo x no ponto de coordenadas (1;0).

- O ponto de intersecção das 3 retas tem coordenadas (-1;-1)


c) O preço da corrida de um táxi é composto de uma parte fixa de R$ 4,00 mais uma parte variável de

R$2,00 por x km rodado. Determine num mesmo plano cartesiano:

- O gráfico da função que representa o custo de x km rodados. C(x) = 4+2x

- O gráfico da função que representa o número de km rodados em função do preço pago.

Esta função é a inversa da função custo, determinaremos então, a função inversa do custo c-1(x):

X=4+2y, isolando y, temos: y=(x-4)/2 → c-1(x)=(x-1)/2 ( aqui x representa o custo e c-1(x) os km rodados)

c(x) → gráfico vermelho c-1(x) → gráfico azul

- Observando os gráficos, determine o custo de uma corrida de 3km e o número de km rodados se o custo

foi de R$10,00.

O custo de uma corrida de 3km foi de R$10,00 e número de km rodados com R$10,00 foi de 3km

ATENÇÃO:

O domínio do

gráfico é [0;∞[,

porque x

representa o km

rodado

Obs:

- Para C(x) o eixo horizontal representa os

km rodados, enquanto para C-1(x) o custo

da corrida.

- Para C(x) o eixo vertical representa o

custo, enquanto para C-1(x) os km

rodados


ATIVIDADE 4– Função Exponencial

a) Represente em um mesmo plano os gráficos das seguintes funções, y = 4x e y = (1/4)x .

Observando os gráficos, responda:

- Que tipo de gráfico temos na tela ? curva

- Que tipos de funções esses gráficos representam ? exponencial

- Qual o domínio das funções ? D= R

- Qual o domínio das funções ? IM = R* ou IM = ]0;∞[

- Qual a função é crescente ? y = 4x

- Qual a função é decrescente ? y = (1/4)x

- Qual a relação entre base de cada função e o crescimento e o decrescimento das funções?

Base >1 (crescente) e 0<base<1(decrescente

- Qual as coordenadas do ponto de intersecção das funções ? (0;1)

b) Represente em um mesmo plano os gráficos das seguintes funções, y = 2x , y = 2x +1 e y = 2x -1.

Observando o gráfico, determine o conjunto imagem das funções.

y = 2x (gráfico vermelho) y = 2x + 1 (gráfico verde) y = 2x -1 (gráfico azul)

IM = ]0;∞[ IM = ]1;∞[ IM = ]-1;∞[

y = 4x (gráfico vermelho)

y = (1/4)x (gráfico azul)

y = 2x (gráfico vermelho)

y = 2x + 1 (gráfico verde)

y = 2x -1 (gráfico azul)


c) Represente em um mesmo plano os gráficos das seguintes funções, y=(1/2)x , y=(1/2)x +1 e y=(1/2)x -1.

Observando o gráfico, determine o conjunto imagem das funções.

y = (1/2)x (gráfico vermelho) y = (1/2)x + 1 (gráfico verde) y = (1/2)x -1 (gráfico azul)

IM = ]0;∞[ IM = ]1;∞[ IM = ]-1;∞[

d) Observando os itens b e c o que podemos concluir sobre o conjunto imagem da função y=bx+c ?

IM= ]c;∞[

d) O crescimento de (aproximado) de uma certa colônia de bactérias foi expresso pela função n(x)=2.3x,

em que x é o tempo em segundos. Construa o gráfico do crescimento dessa colônia.

y = (1/2)x (gráfico vermelho)

y = (1/2)x + 1 (gráfico verde)

y = (1/2)x -1 (gráfico azul)

OSERVAÇÕES:

- O domínio do gráfico é [0;∞[, porque x representa tempo

- O número de bactérias no instante inicial (x=0s) é igual a 2.

- O número de bactérias no instante 1s é igual a 6.


ATIVIDADE 5 – Equação e inequação exponencial

Resolva as equações e as inequações:

a) 2x = 8

b) 3x+1 – 3x-1=8

c) 4x-6.2x+8=0

Observa que a equação gerou como gráfico uma reta vertical

passando no ponto (3,0), ou seja, x=3, logo:

S={3}

Observa que a equação gerou como gráfico uma reta vertical

passando no ponto (1,0), ou seja, x=1, logo:

S={1}

Observa que a equação gerou como gráfico duas retas verticais

passando pelos pontos (1,0) e (2,0) , ou seja, x=1 ou x=2, logo:

S={1; 2}


d) 2x > 8

Observa que a inequação gerou como gráfico uma região a direita do valor 3, logo:

S = {x∈R/ x > 3}

e) (1/3)x ≤ 9

Observa que a inequação gerou como gráfico uma região a partir do -2 e a sua direita, logo:

S = {x∈R/ x ≥ -2}


ATIVIDADE 6 – Funções trigonométricas

Vamos recordar alguns conceitos sobre funções trigonométricas aprendidos em sala, antes de iniciarmos

as atividades com o graphmatica.

DOMÍNIO: Variação do gráfico no eixo x.

IMAGEM: Variação do gráfico no eixo y.

AMPLITUDE: A = | Y2máx – Y1mín | / 2

PERÍODO: P = | X2 – X1 | ou 1 ciclo completo.

a) Construir o gráfico da função y = 1+2.sen(x), determinando a imagem, a amplitude, o período, o valor

máximo e o valor mínimo para D=[-2π; 2π].

Obs: - y = 1+2*sin(x){-2pi,2pi} , como digitar na barra do graphmática - Mudar em configurações o papel de fundo para trigonométrico

Imagem: IM=[-1;3] Amplitude: A=(máx-mín)/2 A=[3-(-1)]/2=2 Período: P= 2π-0=2π rad

Valor máximo = 3 Valor mínimo = -1


b) Construir o gráfico da função y = 2.cos(x), determinando a imagem, a amplitude, o período, o valor

máximo e o valor mínimo para D=[-2π; 2π].

Imagem: IM=[-2;2]

Amplitude: A=(máx-mín)/2 A=[2-(-2)]/2=2

Período: P= 2π-0=2π rad

Valor máximo = 2 Valor mínimo = -2

c) Alguns produtos agrícolas têm seu preço de venda com variação periódica. Esses produtos apresentam

épocas de safra e épocas de entressafra. Supondo que o preço médio de venda do kg de feijão do produtor

ao atacadista, numa determinada região, possa ser dada pela função P(x)=2+sen(��

� ), sendo P(x) o preço

médio do kg de feijão em reais, e x o mês do ano. Determine:

a) O valor máximo do kg de feijão.

b) Após quantos meses após o início foi obtido o valor máximo.

c) Qual foi o pior valor da venda do kg de feijão.

d) Qual foi a variação do preço do kg de feijão.

e) Qual foi o período de variação do preço do kg de feijão.

Vamos fazer o gráfico da variação, e através do mesmo, obter as respostas, lembrando que o período de

variação não pode ser negativo, portanto, o domínio dessa função deve ser D=[0;∞[

Obs: - y = 2*cos(x){-2pi,2pi} – como digitar na barra do graphmática - Mudar em configurações o papel de fundo para trigonométrico


Obs: - y = 2+sin(x*pi/6){0, } – como digitar na barra do graphmática

a) R$3,00 b) 3 meses c) R$1,00 d) [R$1,00; R$3,00] e) 12 meses

BIBLIOGRAFIA:

- www.graphamática.com

- Quanta matemática em fascículos para o ensino médio

Autores: Scipione Di Pietro Netto e Sérgio Orsi Filho

Editora Saraiva

- Material elaborado pelo prof. Luiz Carlos Souza Santos

Documents

apostila oficina graphmatica - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/capitcar/files/2016/08/apostila-oficina... · médio do kg de feijão em reais, e x o mês do ano. Determine: