UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMTICA

DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA

NOTAS DE AULA MAT236 MTODOS ESTATSTICOS

1 UNIDADE

Elaborada pelos professores: Giovana Silva, Lia Moraes,

Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone

Revisada em 2011.1 Monitora: Tatiana Felix da Matta

Revisada em 2014.1 Gecynalda e Silvia Regina

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1. INTRODUO

1.1. O que estatstica e suas divises

Para muitos a Estatstica no passa de conjuntos de tabelas de dados numricos. Mas ser que a estatstica s isso?

A Estatstica originou-se com a coleta e construo de tabelas de dados para o governo. A situao evoluiu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da Estatstica. Hoje em dia podemos adotar a seguinte definio para a Estatstica:

A Estatstica constitui-se num conjunto de tcnicas e mtodos cientficos que tratam da coleta, anlise e interpretao de informaes numricas, cujo objetivo principal auxiliar na tomada de decises ou tirar concluses em situaes de incerteza, a partir de informaes numricas.

A Teoria Estatstica moderna se divide em dois grandes campos: Estatstica Descritiva - consiste num conjunto de mtodos que ensinam a reduzir uma quantidade de dados bastante numerosa por um nmero pequeno de medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados. Estatstica Indutiva ou Inferncia Estatstica - consiste em inferir (deduzir ou tirar concluses a respeito das) propriedades de um universo a partir de uma amostra. O processo de generalizao, que caracterstico do mtodo indutivo, est associado a uma margem de incerteza. A medida da incerteza tratada mediante tcnicas e mtodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades.

A Estatstica Descritiva abrange mtodos grficos e numricos, utilizados para resumir dados de maneira que caractersticas importantes da amostra possam ser expostas.

A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de mtodos computacionais muito eficientes revigorou a rea da Estatstica denominada Estatstica Descritiva.

Na maioria das vezes no podemos investigar o fenmeno que estamos interessados em estudar em todos os elementos da populao por ser o custo muito alto, por necessitar de muito tempo para o levantamento dos dados. Para resolver o problema devemos trabalhar com um subconjunto da populao, chamado de AMOSTRA.

Se selecionarmos os elementos da amostra de acordo com critrios estatsticos, podemos conhecer as informaes relativas populao atravs da amostra.

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A inferncia estatstica procura com base nos dados amostrais tirar concluses sobre a populao. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as definies dadas.

Exemplo: (Notas de Aula da Disciplina MAT116 - USP) Numa pesquisa eleitoral um Instituto de Pesquisa procura com base nos resultados de um levantamento aplicado a uma amostra da populao prever o resultado da eleio. Considere o candidato A: a) Denomine por p a proporo de pessoas que votaro em A na eleio. b) Denomine por p a proporo de pessoas no levantamento de opinio (amostra) que expressam inteno de voto em A.

Podemos usar o valor de p para estimar a proporo p da populao.

O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho estatstico:

1.2. Por que precisamos aprender Estatstica?

Quase toda atividade e experincia humana envolvem coleta e anlise de algum tipo de informao (dados). Na coleta de dados relativos ao comportamento ou outras caractersticas de um grupo de indivduos, amostras aleatrias de um processo ou resultados de repetitivas medies, sempre envolvem variao.

Mtodos estatsticos representam as ferramentas bsicas para compreender as variaes, porque a anlise estatstica a nica base para tentar entender variabilidade.

Os mtodos estatsticos so consciente ou inconscientemente usados em vrias situaes, especialmente na apresentao de informaes oriundas de dados numricos. Diversas vezes, apresentaes so baseadas, principalmente, em algum tipo de tcnica utilizando teorias matemticas; porm durante a preparao e apresentao dos dados, mtodos estatsticos so

Tcnicas de Amostragem Populao Amostra

Anlise Descritiva

Concluses sobre as caractersticas da

populao

Inferncia Estatstica

Informaes contidas nos dados

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utilizados para definir a tcnica de coleta de dados e chegar a uma concluso atravs das informaes coletadas. Os mtodos estatsticos tm aplicaes em:

Indstrias: coleta de dados na linha de produo, para manter e controlar o processo produtivo, o que assegura o nvel de produo e os padres de qualidade; otimizao do processo produtivo; deteco das variveis que realmente influenciam o processo, viabilizando-se as experincias que possam levar a alteraes efetivas nesse processo; planejamento de experimentos viveis, com vistas economia de observaes e, portanto, de custo; planejamento de mtodos de coleta e anlise de dados para a explorao mineral;

Instituies pblicas: planejamento da coleta, do armazenamento e do processamento de informaes; processamento de dados com o objetivo de sintetizar e divulgar resultados; montagem de tecnologia adequada de gerao de indicadores econmicos; previso de safras, projeo de demandas;

Hospitais e instituies de pesquisa mdica: prestao de assessoria estatstica no exame da validade de testes clnicos; no estabelecimento de padres de referncia; na determinao de fatores de risco de doenas; na comparao de resultados de diversos tratamentos clnicos e no planejamento de experimentos clnicos controlados, de estudos de casos e de estudos prospectivos;

Empresas de pesquisa de opinio e mercado: prestao de assessoria estatstica no levantamento de audincias de programas de televiso, da popularidade de candidatos a cargos polticos; na avaliao da aceitao de novos produtos; na realizao de pesquisas para determinao do perfil do consumidor e no planejamento e execuo e pesquisa para determinao das caractersticas scio-econmicas dos habitantes da regio;

Bancos e companhias de seguro: elaborao de previses a serem utilizadas como instrumento gerencial; trabalho em associao com a aturia nos clculos das probabilidades de morte, doena, roubo de carro, etc.; otimizao de procedimentos de atendimento ao pblico

Centros de pesquisa: prestao de assessoria estatstica em todas as fases de um projeto de pesquisa que envolva coleta, tratamento e anlise de dados.

Os empregados de uma empresa devem tornar-se mais familiarizados com estatstica. Eles devem entender e conhecer as tcnicas estatsticas disponveis, e adaptao de dados de experimentos para a anlise estatstica. Um profissional treinado em Estatstica ter maior facilidade em identificar um problema em sua rea de atuao, determinar os tipos de dados

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que iro contribuir para a sua anlise, coletar estes dados e a seguir estabelecer concluses e determinar um plano de ao para a soluo do problema detectado. Qualquer um que derive informaes a partir de dados est agindo como um estatstico.

Veja algumas aplicaes de Estatstica na soluo de problemas prticos nos artigos a seguir:

D. P. Pereira, et al. (2008). Estudo Comparativo entre o ndice de Acidentes no Trabalho na Construo Civil de Poos de Caldas e do Brasil.

N. S. R. S. Santos, et al. (2008). Uma anlise estatstica da incluso digital no Brasil: avanos no uso de computadores.

M. L. M. M. Sundefeld e S. L. D. Gotlieb (1996). Sistema computacional para ndices de crie dentria: banco de dados e anlise.

A. P. Neto (2010). Intervalos de Confiana, Intervalos de Predio e Campo de arbtrio nas Avaliaes de Imveis Urbanos.

L. F. D. Lopes, et al. Anlise de regresso associada ao controle estatstico de processo aplicado na produo de cermicas.

A. M. R. Fernandes, et al. Novas abordagens no sistema de anlise de dados em mastologia.

C. A. S. Miranda e T. C. N. Monteiro (1989). Qualidade de gua em sistemas de reservao e distribuio predial na cidade do Rio de Janeiro.

2. PROBABILIDADE

2.1. Breve histrico.

Dizse geralmente que a teoria da probabilidade originou-se com Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), devido curiosidade de um cavalheiro Chevalier de Mer, jogador apaixonado, que em cartas discutiu com Pascal problemas relativos probabilidade de ganhar em jogos de cartas. Despertado pelo assunto Pascal discutiu com Fermat sobre o que hoje chamaramos de probabilidades finitas. Mas em verdade a teoria elementar das probabilidades j tinha sido objeto de ateno bem antes, uma vez que os jogos de azar sempre exerceram fascnio sobre os homens.

A primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades o livro De Ludo Aleae (Sobre os jogos de azar) de Girolamo Cardano (1501-1576), publicado em 1663. Tambm

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Galileu (1564-1642) preocupou-se com as probabilidades, estudando os jogos de dados para responder a pergunta de um amigo.

A teoria das probabilidades passou a desenvolver-se de maneira mais organizada a partir do sculo XVII e importantes contribuies de ilustres matemticos devem ser registradas. No famoso livro, Ars Cnjectandi de Jaime Bernoulli (1654-1705) encontramos um teorema de importncia decisiva para a teoria das probabilidades, conhecido com a Lei dos Grandes Nmeros, nome que lhe foi dado pelo matemtico francs Simon Poisson (1781-1840). Poderamos citar muitos outros com importantes contribuies, mas certamente o matemtico que mais contribuiu para a teoria das probabilidades foi Laplace (1749-1827). Seus inmeros trabalhos sobre as probabilidades foram incorporados em seu monumental Tratado Analtico das Probabilidades.

Atualmente as teorias das probabilidades tm extrema importncia nas mais diversas reas desde a engenharia, medicina, epidemiologia, demografia, economia, administrao, meteorologia, fotografias de satlites, marketing, predio de desastres naturais, cincias sociais entre outras.

Alm das muitas aplicaes formais, o conceito de probabilidade est no nosso dia a dia. Sempre ouvimos e falamos frases como: Provavelmente vai chover amanh, provvel que o avio se atrase, H boas chances de que eu possa comparecer. Cada uma desta expresses est baseada no conceito de probabilidade de que certo evento ocorra.

2.2. Conceitos bsicos

Fenmenos ou experimentos aleatrios (E): So aqueles em que o processo de experimentao est sujeito a incertezas, logo, no possvel controlar todas as circunstncias relevantes e, portanto, no possvel prever com exatido os resultados individuais.

Caractersticas de um experimento aleatrio: a) Poder ser repetido um grande nmero de vezes sob as mesmas condies iniciais; b) No podemos afirmar que um resultado particular ocorrer, porm, podemos descrever o

conjunto de todos os resultados possveis do experimento - as possibilidades de resultado; c) Quando o experimento repetido um grande nmero de vezes, surgir uma regularidade

nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatstica, que torna possvel construir um modelo matemtico preciso com o qual se analisar o experimento.

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A Teoria da Probabilidade utilizada para descrever matematicamente experimentos cujos resultados no podem ser completamente pr-determinados, ou seja, visa definir um modelo matemtico que seja adequado descrio e interpretao de fenmenos aleatrios.

Exemplo 1: Considere o experimento aleatrio de jogar uma moeda uma nica vez. Antes da moeda ser jogada no se sabe o resultado. Conhecem-se apenas os possveis resultados: cara ou coroa. Admitindo-se que a moeda honesta, cada resultado tem a mesma chance de ocorrer. Neste exemplo, modelos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrncias.

Fazendo-se algumas suposies adequadas, possvel escrever distribuies de probabilidades (modelos probabilsticos) que representem muito bem as distribuies de frequncias, que s so obtidas quando o fenmeno observado.

Modelo probabilstico definido por: a) Um espao amostral (); b) Uma probabilidade, P( ), para cada ponto amostral.

Espao amostral (): conjunto de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio. Exemplos de experimentos aleatrios e seus respectivos espaos amostrais: E1: Jogar uma moeda e observar a face superior. 1 = { Cara, Coroa } E2: Jogar um dado e observar a face superior. 2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E3: Determinar o tempo de vida til de uma lmpada.

3 = { t / t 0 }

Espaos amostrais podem ser finitos ou infinitos.

Evento: Qualquer subconjunto de um espao amostral. Representado pelas letras latinas maisculas A, B, C,...

Exemplo 2: No lanamento de um dado consideremos o evento ocorrer um nmero par. A: ocorrer um nmero par, em que = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {2, 4, 6}

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Exemplo 3: Vai chover no litoral baiano no fim de semana? = {chove, no chove} Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento. O evento A pode representar a ocorrncia de chuva

A = {chove}

Os conjuntos e tambm so eventos: o evento certo

o evento impossvel

Exerccio de fixao: 1. Descreva o espao amostral para cada um dos seguintes experimentos a seguir:

a) Numa linha de produo conta-se o nmero de peas defeituosas num perodo de 1 hora; b) Mede-se a durao de lmpadas, deixando-as acesas at que queimem; c) Lanar uma moeda trs vezes, sucessivamente, e anotar a sequncia de caras e coroas; d) Escolher ao acaso um ponto do crculo de raio um centrado na origem.

Respostas:

a) Resp.: ={0,1,2,...,N} em que N o nmero mximo de peas que podem ser produzidas no perodo de 1 hora.

b) Resp.: ={t / 0 t t0 } em que t0 o tempo mximo de durao da lmpada acesa, at que ela se queime ou ={t / t 0 }.

c) Resp.: ={ (ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca); (co, ca, ca); (ca, co, co); (co, ca, co); (co, co, ca); (co, co, co)}.

d) Resp.: ={ ( ) 2, yx ; 122 + yx }.

2.3. Operaes com eventos

Ao realizar um experimento aleatrio diz-se que o evento A ocorreu se o resultado observado for um elemento do subconjunto A. Dados dois eventos A e B de um mesmo espao amostral:

AB o evento em que A e B ocorrem simultaneamente;

AB o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos ocorrem); Ac A ou o evento em que A no ocorre.

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Exemplo 4: E: Lanamento de um dado

=

{1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: representa sair face par => B = {2, 4, 6}

Evento C: representa sair uma face mpar => C = {1, 3, 5} Evento D: representa sair uma face maior que 3 => D = {4, 5, 6} Evento E: representa sair face 1 => E = {1} Evento B D: representa sair uma face par e maior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} Evento B C: representa sair uma face par e mpar => {2, 4, 6} {1, 3, 5} = Evento B D: representa sair uma face par ou maior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} Evento B C: representa sair uma face par ou mpar => {2, 4, 6} {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O Evento Bc = C e o Evento Cc = B Se dois eventos quaisquer tm interseco vazia, isto , eles no podem ocorrer simultaneamente, dizemos que eles so mutuamente exclusivos ou disjuntos. No exemplo 4, os eventos B e C so mutuamente exclusivos ou disjuntos, visto que B C = .

2.4. Como atribuir probabilidade a um evento?

Calcular uma probabilidade medir a incerteza ou associar um grau de confiana aos resultados possveis de um experimento. Por exemplo, ao escolher, ao acaso, uma carta de um baralho comum (bem embaralhado), o que mais provvel, sair uma figura ( K, Q, J ) ou sair o dois de copas?

As probabilidades associam aos eventos um valor no intervalo [0,1]. Quanto maior o valor associado ao evento, maior a certeza de sua possibilidade de ocorrncia.

Seja um espao amostral. Uma funo P definida para todos os subconjuntos de (chamados eventos) chamada de probabilidade se: 1) 0 P(A) 1, para todo evento A 2) P() = 1 3) Se A1, A2,..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto , (Ai Aj) =

para todo i j, ento

( )()()( 211

ni APAPAPAPn

i+++=

=

LU =

=

n

iiAP

1)(

Existem vrias maneiras de atribuir probabilidade a um evento do espao amostral. Vamos estudar duas formas. Uma das formas baseada em espaos amostrais finitos.

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Um espao amostral equiprovvel quando todos os elementos tm a mesma probabilidade de ocorrer, isto , todos os seus elementos so igualmente provveis.

Definio clssica: Seja A um evento associado ao espao amostral finito , no qual todos os resultados so igualmente possveis (ou equiprovveis). Vamos definir a probabilidade do evento A, P(A) como o quociente entre o nmero de elementos em A e o nmero de elementos em :

=

##)( AAP ,

isto , a razo entre os casos favorveis ao evento e o total de casos possveis.

Limitaes:

Dificuldade em enumerar #A e # em alguns casos;

infinito;

Modelo adequado apenas para a classe de fenmenos cujo espao amostral equiprovvel.

Exemplo 5: Qual a probabilidade de obter um nmero par no lanamento de um dado? = {1,2,3,4,5,6} A = nmero par = {2, 4, 6}

P(A) = 63

Obs.: Para calcular probabilidade utilizando a definio clssica, em geral utilizam-se os

mtodos de enumerao: combinaes, arranjos e permutaes (ver Apndice).

As limitaes da definio clssica de probabilidade, que s se aplica a espaos amostrais

finitos e equiprovveis, levaram a considerar outra forma de calcular probabilidade de um

evento partindo da frequncia relativa do evento ao se repetir o experimento, n vezes, sob as

mesmas condies. Em linguagem matemtica, quando n cresce, o limite da frequncia relativa

de ocorrncia de A igual a P(A), isto ,

P(A)n

ocorreA que repeties de #lim)(lim == n

nn

Af .

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Exemplo 11: Suponha que vamos realizar um experimento de lanar 20 vezes uma moeda e

observar o nmero de caras. A cada lanamento vamos considerar o nmero de caras que at

ento ocorreram (na) dividido pelo nmero de lanamentos (n), ou seja, a frequncia relativa de caras. Os resultados referentes a esse experimento encontram-se na tabela abaixo:

n na fa= na/n n na fa= na/n 1 1 1 11 6 6/11 2 1 1/2 12 7 7/12 3 2 2/3 13 7 7/13 4 3 3/4 14 8 8/14 5 3 3/5 15 8 8/15 6 3 3/6 16 8 8/16 7 3 3/7 17 8 8/17 8 4 4/8 18 8 8/18 9 5 5/9 19 9 9/19

10 5 5/10 20 9 9/20

Vejamos o comportamento das frequncias relativas por meio do grfico a seguir:

A partir desta Figura vemos que a medida que aumenta o nmero de lanamentos, a

frequncia relativa se aproxima de 0,5. Em linguagem matemtica dizemos que a frequncia relativa converge para 0,5. Dificuldade do ponto de vista matemtico: o nmero do limite real pode no existir.

Exerccio de fixao: 1. (TRIOLA): Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1162 afirmaram que

colavam nos exames, enquanto 2468 afirmaram no colar [com base em dados do Josephson Institute of Ethics (Instituto Josephson de tica)]. Selecionando aleatoriamente um desses estudantes, determine a probabilidade deste estudante ter

colado em um exame. Resp.: 0,3201.

Lanamentos sucessivos de uma moedaNmero de repeties versus freqncia relativa de caras

Fre

qn

cia

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

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Teoremas: 1) P() = 0 2) Se Ac o evento complementar de A, ento P(Ac) = 1 P(A) 3) Sejam A e B dois eventos quaisquer, ento:

P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) Demonstrao:

AB = A[BAc] B = (A B) (BAc) P(AB) = P(A) + P (BAc) P(B) = P(A B) P (BAc) P (AB) = P(A) + P(B) P(A B)

4) Se A, B e C forem trs eventos quaisquer, ento: P (A B C)=P(A) + P(B) + P(C) P(A B) - P(A C) P(B C) + P(A B C)

Generalizao:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnrji

rji

n

jiji

n

iin AAPAAAPAAPAPAAP +++=

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2.5. Probabilidade condicional

Considere o exemplo abaixo:

Dados do Censo Demogrfico de 91 publicado pelo IBGE relativos aos habitantes de Sergipe, na faixa etria entre 20 e 24 anos com relao s variveis Sexo e Leitura.

Sexo L No l Total Masculino 39.577 8.672 48.249

Feminino 46.304 7.297 53.601

Total 85.881 15.969 101.850

E: Um jovem entre 20 e 24 anos escolhido ao acaso em Sergipe. : conjunto de jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. #=101.850.

Eventos de interesse:

M: jovem sorteado do sexo masculino F: jovem sorteado do sexo feminino L: jovem sorteado sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino e sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino ou sabe ler

Podemos obter algumas probabilidades:

843,0850.101881.85

de jovens de nler sabem que jovens de )( ==

=

nLP

473,0850.101245.48

de jovens de n masculino sexo do jovens de )( ==

=

nMP

P(F) = P(Mc) = 1 - P(M) = 1 - 0,473 = 0,527

850.101557.39

jovens de nler sabem que e masculino sexo do jovens de )( =

=

nLMP

P (M L) = P(M) + P(L) - P(M L) = 0,473 + 0,843 - 0,388 = 0,928

No exemplo anterior, se soubermos que o jovem sorteado do sexo masculino, qual a probabilidade de que saiba ler? Temos uma informao parcial: o jovem do sexo masculino.

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Vamos designar a probabilidade de que o jovem sabe ler quando se sabe que o jovem do sexo masculino por P (L M ) e denomin-la probabilidade condicional de L dado M. natural atribuirmos:

0,82048.24939.577

masculino sexo do jovens de totalnmasculino sexo do aqueles dentreler sabem que jovens de n)M (L P ============

Note que:

Por exemplo, a probabilidade de ser do sexo masculino dado que l dada por:

0,460850.101

881.85850.101

577.39

(L) PL)(M P)L (M P ===

Definio de probabilidade condicional: Sejam A e B eventos de um experimento aleatrio qualquer, com P(B) > 0. A probabilidade condicional de A dado B (denota-se por P (A B) definida como:

P(B)B)P(AB) P(A =

2.6. Regra ou Teorema do produto

Como consequncia da definio de probabilidade condicional, podemos calcular a

probabilidade da ocorrncia conjunta de dois eventos A e B.

( ) ( ) )(|)()()(| BPBAPBAP

BPBAPBAP ==

Exemplo 13: Uma urna contm fichas numeradas de 1 a 4. Retira-se uma ficha da urna ao acaso e anota-se o nmero. Esta ficha ento recolocada na urna, e retira-se novamente uma

ficha, ao acaso, da urna. Qual a probabilidade de ter sado a ficha com nmero 1, na primeira retirada, e de ser 5 a soma dos nmeros das duas fichas retiradas?

(M) PL)(M P)M (L P

jovens de totalnmasculino sexo do jovensn

jovens de totalnler sabem que e masculino sexo do jovens n

)M (L P

=

=

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Soluo: Evento A: sair o nmero 1 na primeira retirada =>P(A) = 41

Evento B: soma = 5

Evento B|A: {soma = 5 | a primeira ficha 1}, se queremos que a soma seja 5, ento preciso que a segunda ficha seja o nmero 4 P(B|A) = 41

Pelo teorema do produto temos que,

( ) 1614141)(|)( === APABPBAP Exemplo 14: Duas vlvulas defeituosas se misturam com duas vlvulas perfeitas. As vlvulas

so ensaiadas, uma a uma, at que ambas defeituosas sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a ltima vlvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio? Soluo: Evento A: sair uma vlvula defeituosa =>P(A) =2/4 Evento B: a ltima vlvula defeituosa

Evento B|A: sair a ltima vlvula defeituosa | saiu uma vlvula defeituosa P(B|A) = 31 Pelo teorema do produto temos que,

( ) 1223142)(|)( === APABPBAP De modo geral, considere 3 eventos A, B e C, tem-se que

Esta relao pode ser estendida para um nmero finito qualquer de eventos.

Exerccio de fixao: 1) As falhas na fundao de um grande edifcio podem ser de dois tipos: A (capacidade de

suportar) e B (fundao excessiva). Sabendo-se que P(A)=0,001, P(B)=0,008 e P(A|B)=0,1, determinar a probabilidade:

a) De haver falha na fundao? Resp.:0,0082 b) De ocorrer A e no B? Resp.:0,0002

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2.7. Regra da Probabilidade Total

Sejam A e B dois eventos de um experimento qualquer. H duas maneiras de B ocorrer,

considerando a ocorrncia ou no do evento A: ou A e B ocorrem (A B) ou Ac e B ocorrem (Ac B). Deste modo, B = (A B) (Ac B), em que A B e Ac B so conjuntos disjuntos. Ento, P(B) = P(A B) + P(Ac B). Pela regra do produto P(B) = P(A). P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac)

DEFINIO DE PARTIO:

Tem-se uma partio de um espao amostral em um nmero finito de eventos Ai ( i = 1,2,...,n) se:

1) Se A1, A2,..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto , (Ai Aj) = para todo i j. 2) =

=

Un

iiA

1, isto , os eventos A so exaustivos.

Regra da Probabilidade Total: se a sequncia de eventos aleatrios A1, A2,..., An formar uma partio de , ento:

( ) ( ) ( ) ( ) == ni

iii

i A BPAP B AP BPn

B AC B A

A Ac

B

A1 A2 A3 ... An

B

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Exemplo 15: Um lote de 100 peas composta de 20 peas defeituosas e 80 peas perfeitas,

do qual extrairemos 2 peas sem reposio. Qual a probabilidade da segunda pea extrada ser defeituosa?

Soluo: Evento A: a primeira pea extrada defeituosa Evento B: a segunda pea extrada defeituosa Pela regra da probabilidade total temos que,

P(B) = P(A). P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac) = 519920.100809919.10020 =+

Exemplo 16: Em uma fbrica de parafusos so utilizadas n mquinas. Sejam P(Ai) a probabilidade de um parafuso provir da i-sima mquina, i = 1,2,...,n e P(B iA ) indica a probabilidade do parafuso ser defeituoso sabendo-se que foi produzido pela isima mquina.

Do total de parafusos produzidos pela fbrica, escolhe-se ao acaso um parafuso. Qual a probabilidade de que o parafuso seja defeituoso? Soluo: Se B representa o evento parafuso escolhido defeituoso, pela regra da probabilidade total, temos que:

P(B) = P(B 1A ) P(A1) + P(B 2A ) P(A2) + + P(B nA ) P(An) Podemos ainda estar interessados em saber a probabilidade da i-sima mquina ter produzido o

parafuso defeituoso.

2.8. Eventos Independentes

Dois eventos so ditos independentes quando a ocorrncia de um deles no interfere na

probabilidade de ocorrncia do outro.

Em linguagem matemtica, dados A,B , A e B so ditos independentes, se e somente

se:

P( AB) = P(A) e P( BA) = P(B) Nesse caso, temos que

P(A B) = P(A). P(B) Exemplo 19: A probabilidade de que A resolva um problema de 2/3 e a probabilidade de que

B resolva de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema

ser resolvido?

Soluo: A: A resolve

B: B resolve

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A B: A e B resolvem

A B: A ou B resolvem => o problema resolvido

Como so eventos independentes, P(A B) = P(A).P(B) e

P(A B) = P(A) +P(B) - P(A).P(B) = 2/3 + 3/4 (2/3)(3/4) = 2/3 + 3/4 2/4 = 1211

1238

=

+.

Generalizando: Os eventos A1, A2,..., An , so independentes se e somente se a independncia for

verificada para todos os subconjuntos de dois ou mais eventos desta famlia. Para que trs eventos sejam independentes necessrio verificar quatro igualdades:

P(A B) = P(A) P(B) P(A C) = P(A) P(C) P(B C) = P(B) P(C)

P(A B C) = P(A) P(B) P(C)

que corresponde 4133332 =+=

+

, igualdades a serem verificadas

Para quatro eventos necessrio verificar onze igualdades que so:

111464443

42 =++=

+

+

Para n eventos necessrio verificar:

1n2nkn

n

2k=

=

igualdades

Se Ai, i= 1, 2, 3,..., n, uma famlia finita de eventos independentes, ento

=

==

n

1i

n

1i)A(PAP iiI

Observar que:

=

=

)()|()()()|()(

BPBAPBAPAPABPBAP

para eventos quaisquer (condicional)

{ )()()( BPAPBAP = para eventos independentes

Como consequncia dos resultados acima, tm-se que e so independentes de qualquer evento A, A . Para ver isto note que: 1) P( A) = P( ) = 0 = P() P(A) 2) P( A) = P(A) = P() P(A)

18

Exerccio de fixao:

1) Uma mquina consiste de 4 componentes ligados em paralelo de tal forma que a mquina falha apenas quando todos os componentes falharem. Supondo que as falhas so

independentes entre si e se cada componente tem respectivamente as probabilidade 0,1, 0,2,

0,3, e 0,4 de falhar quando a mquina ligada, qual a probabilidade da mquina no

falhar ? Resp.: 0,9976

1 LISTA DE EXERCCIOS 1) Descrever o espao amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos a

seguir:

E1: Lanam-se dois dados perfeitos e observam-se os nmeros nas faces voltadas para cima;

A1: A soma das faces sete;

E2: Lanar uma moeda trs vezes, sucessivamente, e anotar a sequncia de caras (K) e coroas (C ); A2: Sair pelo menos duas caras;

E3: Lanar uma moeda e um dado, simultaneamente, e registrar os resultados;

A3: Obteno de face impar no dado;

E4: Lanar uma moeda trs vezes, sucessivamente, e registrar o nmero de caras ocorrido;

A4: Sair pelo menos duas caras;

E5: Numa linha de produo conta-se o nmero de peas defeituosas num perodo de 1 hora;

A5: Obter menos de 3 defeituosas

E6: Mede-se a durao de lmpadas, deixando-as acesas at que queimem;

A6: O tempo de vida da lmpada inferior a 30 horas;

E7: Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produo so retirados 3 artigos

e cada um classificado como bom(B) ou defeituoso(D). A7: Pelo menos dois artigos so bons.

E8:Um lote de dez peas contm trs defeituosas. As peas so retiradas uma a uma, sem

reposio, at que a ultima pea defeituosa seja encontrada. O nmero total de peas retiradas registrado.

A8: Menos de cinco peas foram retiradas.

E9: Peas so fabricadas at que dez peas perfeitas sejam produzidas. O nmero total de peas fabricadas anotado.

A9: Quinze ou mais peas foram fabricadas

19

Resp.:E1: 1 = {(1,1); (1,2);.....; (1,6); (2,1); (2,2);.....; (2,6);.........; (6,1); (6,2);.... ; (6,6) } e A1 = {(1,6): (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) }; E2: 2 = {KKK; KKC: KCK; CKK; KCC; CKC; CCK; CCC }e A2 = {KKK, KKC, KCK, CKK }; E3: 3 = {(K,1); (K,2);......;(K,6); (C,1); (C,2).....; (C,6) } e A3 = {(K,1); (K,3); (K,5); (C,1); (C,3); (C,5) }; E4: 4 = {0, 1, 2, 3 } e A4 = {2, 3}; E5: 5 = {0, 1, 2, 3, ..., N }, N o n. mximo de peas defeituosas no perodo de 1 h e A5 = {0, 1, 2}; E6: 6 = {t: t 0 } ou 6 = {t: 0 t to} onde to o tempo mximo de vida da lmpada e A6 = {t: t < 30 } ou A6 = { t: 0 t < 30 }; E7: 7 = {BBB, BBD, BDB, DBB, BDD, DBD, DDB, DDD } e A7 = {BBB; BBD; BDB; DBB }; E8: 8 = {3, 4, 5,...., 10 }e A8 = { 3, 4}; E9: 9 = {10, 11, 12,....} e A9 = { 15, 16, 17,...}.

2) Suponha duas urnas contendo, cada uma, quatro bolas numeradas de 1 a 4. Considera-se o experimento que consiste, em retirar, ao acaso, uma bola de cada urna. Descreva o espao

amostral. Determine os seguintes eventos:

a) a soma do nmero de pontos mpar; b) b) a bola extrada da primeira urna contm o nmero dois.

Resp.: ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}; a) A={(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)}; b) B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)}

3) Sejam A, B e C trs eventos quaisquer. Estabelea uma expresso para os eventos abaixo: a) A e B ocorrem; b) A ou B ocorrem; c) B ocorre, mas A no ocorre; d) A no ocorre; e) no ocorre A e no ocorre B; f) A e B ocorrem, mas C no corre; g) somente A ocorre, mas B e C no ocorrem.

Resp.: a) A B; b) A B; c) A B; d)A; e) A B; f) ABC g) (ABC). 4) Dados P(A) = 1/2; P(B) = 3/8; P(A B) =1/8, calcule:

a) P(A B); b) P(A B); c) P(A B ); d) P(A B ); e) P(A B). Resp.: a)0,75; b) 0,25; c) 0,875; d)0,375; e)0,25. 5) Uma empresa de fundos mtuos oferece a seus clientes diversos fundos: um de mercado,

trs de ttulos diferentes (curto, mdio e longo prazos), dois fundos de aes (moderado e de alto risco) e um misto. Dentre os usurios que possuem cotas em apenas um fundo, seguem as probabilidades de clientes dos diferentes fundos

Mercado 0,20 Ttulo curto prazo 0,15 Ttulo mdio prazo 0,10 Ttulo longo prazo 0,05 Ao de alto risco 0,18 Ao de risco moderado 0,25 Misto 0,07

20

Um cliente que possui cotas em apenas um fundo selecionado aleatoriamente.

a) Qual a probabilidade de o indivduo selecionado ao acaso possuir cotas do fundo misto?

b) Qual a probabilidade de o indivduo selecionado ao acaso possuir cotas em um fundo de ttulos?

c) Qual a probabilidade de o indivduo selecionado ao acaso no possuir cotas em fundo de aes? Resp.: a)0,07 b)0,30 c)0,57

6) Certo tipo de motor eltrico falha se ocorrer uma das seguintes situaes: emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o

emperramento seja duas vezes mais provvel do que a queima, esta sendo quatro vezes mais provvel do que o desgaste das escovas. Qual ser a probabilidade de que a falta seja devida a cada uma dessas circunstncias? Resp.: 8/13, 4/13 e 1/13

7) Uma urna U1 contem 5 bolas brancas e 2 pretas; outra urna U2 contem 3 bolas brancas e 6 bolas pretas; e outra urna U3 contem 4 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se uma bola de

cada urna. Calcular a probabilidade de que saiam uma bola branca e duas bolas pretas. Resp.: 8/21

8) Lana-se uma moeda viciada de modo que a probabilidade de cara(K) igual a 2/3 e a probabilidade de coroa(C) igual a 1/3. Se aparecer cara, ento seleciona-se aleatoriamente um nmero dentre os de 1 a 9; se aparecer coroa, seleciona-se

aleatoriamente um nmero dentre os de 1 a 5. Ache a probabilidade de um nmero par ser selecionado. Construa o diagrama em rvore. Resp.: 0,4296.

9) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade de ocorrncia de A for igual a 0,4 determine a probabilidade de ocorrncia de B. Resp.:0,3333

10) Se A e B so dois eventos relacionados com uma experincia E e so conhecidas as probabilidades P(A), P(B) e P(A B), deseja-se em funo destas, as expresses das probabilidades dos seguintes eventos:

a) (A B); b) (A B ); c) (A B); d) (A B). Resp.: a) 1 - P(AB); b) 1 - P(A) - P(B) + P(AB); c) 1 - P(A) + P(AB); d) P(B) - P(AB).

21

11) Certo aparelho eletrnico tem duas lmpadas que podem estar acesas ou apagadas, tendo sido observadas as seguintes probabilidades apresentada no quadro adiante. O quadro

mostra por exemplo, que ambas as lmpadas estavam simultaneamente apagadas 30% do

tempo.

Lmpada 1 Lmpada 2

Acesa Apagada

Acesa 0,15 0,45

Apagada 0,10 0,30

Pergunta-se

a) O fato Lmpada 1 acesa independente de Lmpada 2 acesa? Justifique a resposta.

b) O fato Lmpada 1 apagada independente de Lmpada 2 acesa? Justifique a resposta. Resp.: a)Sim; b)Sim

12) Uma associao de indstrias transformadoras de resinas plsticas composta de 20 empresas que produzem sacos plsticos (S), 10 que produzem garrafas (G), 8 que produzem utenslios domsticos (U) e 2 que se encarregam de brinquedos (B). Ao escolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que:

a) seja uma indstria que produza sacos plsticos ou utenslios domsticos; b) seja uma indstria produtora de sacos plsticos ou brinquedos; c) no seja uma indstria que produza garrafas. Resp.: a) 0,7; b) 0,55; c) 0,75

13) Trs alarmes esto dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionar independentemente, quando qualquer coisa indesejvel ocorrer. Se cada alarme tem probabilidade 0,9 de trabalhar eficientemente, qual a probabilidade de se ouvir o alarme

quando necessrio? Resp.: 0,999

14) Suponha que todos os componentes da figura a seguir tenham a mesma confiabilidade (probabilidade de funcionar) p e funcionem independentemente, obtenha a confiabilidade do sistema.

22

Resp.: p + 2p2 - 2p3 - p4 + p5

15) Suponha que X represente o nmero de horas de atividades fsicas por semana. Considere a tabela a seguir:

Sexo Nmero de horas de atividades fsicas

0 X < 3 3 X < 5 X 5

Feminino 22 8 7

Masculino 3 4 6

a) Qual a probabilidade de sortear aleatoriamente uma menina com atividade fsica semanal na faixa de [3, 5) horas?

b) Calcule P(X 5) c) Calcule a probabilidade de um indivduo dedicar pelo menos 5 horas de atividade fsica,

sabendo-se que ele do sexo masculino?

d) Calcule a probabilidade de um indivduo dedicar pelo menos 5 horas de atividade fsica, sabendo-se que ele do sexo feminino? Resp.: a)0,16; b) 0,26; c) 0,462; d) 0,189.

16) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4, enquanto P(AUB) =0,7. Seja P(B) = p. a) Para que valor de p, A e B sero mutuamente exclusivos? b) Para que valor de p, A e B sero independentes? Resp.: a )0,3; b ) 0,5

17) Sob a ao de uma fora F, as probabilidades de falha nas barras a, b e c da estrutura mostrada na figura a seguir so respectivamente 0,06; 0,05 e 0,04. Se ocorrer a falha em qualquer uma das barras, isto leva a falha em toda a estrutura. Supondo que as falhas nas

barras so estatisticamente independentes, ache a probabilidade de ocorrer a falha da

estrutura.

23

b a

c

Resp.: 0,1427

18) Um sistema composto de 3 componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9, 0,8 e 0,7, respectivamente. O componente 1 indispensvel ao funcionamento do sistema; se 2 ou 3

no funcionam, o sistema funciona, mas com rendimento inferior. A falha simultnea de 2

e 3 implica o no funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionem

independentemente, calcular a confiabilidade do sistema. Resp.: 0,846

19) Um processo industrial produz 4% de itens defeituosos. A experincia mostra que 25% dos itens defeituosos produzidos no so percebidos pelo inspetor de qualidade. Os itens

bons sempre so aceitos satisfatoriamente pela inspeo. Qual a probabilidade de que, se voc comprar um desses itens,seja um item defeituoso? Resp.: 0,01

20) Uma fbrica dispe de 3 mquinas para fabricar o mesmo produto. Essas mquinas so antigas e apresentam frequentemente defeitos de funcionamento com as seguintes

percentagens do tempo de utilizao:

MQUINA TEMPO DE UTILIZAO (%) A 40 B 35 C 25

Verificam-se nas peas produzidas as seguintes porcentagens de peas defeituosas:

MQUINA PEAS DEFEITUOSAS (%) A 2 B 4 C 5

A gerncia decide substituir uma das mquinas a fim de diminuir a porcentagem de peas

defeituosas. Qual das trs mquinas deve ser substituda? Resp.:Mquina B

21) Um artigo manufaturado que no pode ser usado se for defeituoso, deve passar por duas inspees antes de receber embalagem. A experincia mostra que um dos inspetores

24

deixar passar 5% dos defeituosos, ao passo que o segundo inspetor deixar passar 4% dos tais artigos. Se os artigos sem defeito sempre passam pela inspeo e se 10% dos

artigos processados so defeituosos, que percentagem dos artigos que passaram pelas duas

inspees so defeituosos? Resp.:0,02%

22) Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemtica. Alm disso, 45% dos estudantes so mulheres. Se um estudante selecionado aleatoriamente est estudando matemtica, qual a probabilidade de que este estudante seja mulher? Resp.:0,3529

23) A tabela a seguir apresenta informaes de alunos de uma universidade quanto s variveis: Perodo, Sexo, e Opinio sobre a Reforma Agrria. Com base na tabela adiante,

determine a probabilidade de escolhermos:

a) Uma pessoa do sexo masculino e sem opinio sobre a reforma agrria? b) Uma mulher contrria a reforma agrria? c) Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrria? d) Uma pessoa sem opinio, sabendo-se que ela do sexo feminino?

Perodo Sexo Reforma Agrria

Contra A Favor Sem Opnio

Diurno Feminino 2 8 2

Masculino 8 9 8

Noturno Feminino 4 8 2

Masculino 12 10 1 Resp.: a)0,122 b)0,081 c)0,486 d)0,154

24) Em uma prova caram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:

a) no tenha acertado nenhum problema? b) Tenha acertado apenas o segundo problema? Resp.: a) 0,298; b ) 0,169

25) Uma grande empresa tem dois departamentos de produo: Produtos Martimos e Produtos para Oficinas. A probabilidade de que a diviso de Produtos Martimos tenha no

corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mnimo 10% estimada em 0,30; a

probabilidade de que a diviso de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de

25

lucros de pelo menos 10% 0,20; e a probabilidade de que ambas as divises tenham uma

margem de lucros de no mnimo 10% 0,06. Determine a probabilidade de que a diviso

de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros de no mnimo 10% dado que

a diviso de Produtos Martimos tenha alcanado tal nvel de lucro. Resp.: 0,2.

26) Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contm uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna 2

contm uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna escolhida ao acaso; a seguir uma

de suas gavetas aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nesta gaveta de

ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2? Resp.: 0,6667

27) Trs fbricas fornecem equipamentos de preciso para o laboratrio de qumica de uma universidade. Apesar de serem aparelhos de preciso, existe uma pequena chance de

subestimao ou superestimao das medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o

comportamento do equipamento produzido em cada fbrica:

Fbrica I Subestima Exata Superestima Probabilidade 0,01 0,98 0,01

Fbrica II Subestima Exata Superestima Probabilidade 0,005 0,98 0,015

Fbrica III Subestima Exata Superestima Probabilidade 0,00 0,99 0,01

As fbricas I, II, III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de:

a) Haver superestimao de medidas b) Sabendo que as medidas do exatas, ter sido fabricado em III c) Ter sido produzido por I, dado que no subestima as medidas. Resp.: a)0,012 b)0,503

c)0,199

28) Uma companhia produz circuitos integrados em trs fbricas, I, II e III. A fbrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III produzem 30 % cada uma. As probabilidades de que

um circuito integrado produzido por estas fbricas no funcione so 0,01, 0,04 e 0,03,

respectivamente. Escolhido um circuito da produo conjunta das trs fbricas, Qual a probabilidade de o mesmo no funcionar? Resp.: 0,025.

26

29) Considere a situao do problema anterior, mas suponha agora que um circuito escolhido ao acaso e seja defeituoso. Determinar qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I. Resp.: 0,16.

30) Uma indstria qumica produz uma grande variedade de produtos usando quatro diferentes processos; a mo de obra disponvel suficiente somente para que apenas um

processo seja executado num dado instante. O gerente da indstria sabe que a descarga de uma poluio perigosa no rio que passa em volta da mesma, depende do processo que est

em operao. As probabilidades de ocorrer poluio perigosa para os vrios processos,

denotando por F uma descarga de poluio perigosa, so: P(F|A) =0,40; P(F|B) = 0,05; P(F|C) = 0,30; P(F|D) = 0,10. Todos os outros produtos da fbrica so considerados inofensivos. Em um determinado ms sabe-se que em 20%, 40%, 30% e 10% do tempo

respectivamente usam-se os processos A, B, C e D. Deseja-se saber qual a probabilidade de no termos uma descarga de poluio perigosa no determinado ms? Resp.: 0,8

31) Dois processadores tipo A e B so colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade que um erro de clculo acontea em um processador do tipo A de 301 , no tipo B, 801 e

em ambos, 1000

1 . Qual a probabilidade de que:

a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?. b) Nenhum processador tenha apresentado erro? c) Apenas o processador A tenha apresentado erro?

Resp.:a) 0,045; b) 0,955; c) 0,032

32) O seguinte grupo de pessoas est numa sala: 5 homens maiores de 21 anos; 4 homens com menos de 21 anos de idade; 6 mulheres maiores de 21 anos e 3 mulheres menores de 21 anos. Uma pessoa escolhida ao acaso. Define-se os seguintes eventos: A: a pessoa

maior de 21 anos; B: a pessoa menor de 21 anos; C: a pessoa homem e D: a pessoa

mulher. Calcule:

a) P(B D) b) P( CA ) c) P(A B)

Resp.:a)0,722; b)0,167; c)0

27

33) Um sistema eletrnico consta de dois sub-sistemas digamos A e B. De testes prvios sabe-se que: P(A falhe)=0,20; P(A e B falhem)=0,15 e P(B falhe sozinho)=0,15. Calcule: a) P(A falhe | B falhou); b) P(A falhe sozinho); Resp.:a) 0,5; b) 0,05

34) Uma remessa de 30 arruelas contm 5 peas defeituosas e 25 perfeitas. Dez arruelas so escolhidas ao acaso (sem reposio) e classificadas. a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 3 peas defeituosas? b) Qual a probabilidade de que se encontrem ao menos 2 peas defeituosas? Resp.:a) 0,160; b) 0,5512

35) Duas lmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lmpadas boas. Se vamos testando as lmpadas, uma por uma, at encontrar duas defeituosas, qual a

probabilidade de que a ltima defeituosa seja encontrada no quarto teste? Resp.: 3/28

36) A probabilidade de um homem viver, mais dez anos e a probabilidade de uma mulher viver mais dez anos 1/3. Encontre a probabilidade de ambos estarem vivos dentro de dez

anos e de ao menos um estar vivo dentro de dez anos. Resp.:1/12 e 1/2.

28

3. VARIVEL ALEATRIA 3.1. Conceitos bsicos

Definio 1. Sejam E um experimento e um espao amostral associado ao experimento. Uma funo X que associe a cada elemento wi um nmero real, X(wi), denominada varivel aleatria.

Uma varivel aleatria X , portanto, uma funo cujo domnio o espao amostral e contra-domnio conjunto dos nmeros reais, ou seja, X: R

Exemplo 1:

a) E: Lanamento de uma moeda. Assim, = {cara, coroa}={w1, w2}

( )

=

=

=

coroadersesecaraderouse

wX seja,ou , w w,0

,se seja ,w w,12

1

b) E: Lanamento de duas moedas. Seja X o nmero de caras obtidas no experimento. Vamos denotar c: cara e k: coroa. Assim, = { cc, ck, kc, kk }= { w1, w2, w3, w4 } X(w1) = 2; X(w2 ) = X(w3) = 1; X(w4) = 0

c) E: Escolher um ponto ao acaso no intervalo [0,1] . Seja X o quadrado do valor escolhido. Assim = [0,1], e X(w)= w2 w

d) E: Escolher um ponto ao acaso no crculo unitrio. Seja X a distncia do ponto escolhido origem. Assim, = { (x,y) / x2 + y2 1} e X(w)= 22 yx +

29

Definio 2. Seja X uma varivel aleatria. Se X assume valores em um conjunto finito ou infinito enumervel, ento X denominada varivel aleatria discreta.

Exemplo 2: Sorteio de n indivduos de uma populao. Seja X o nmero de indivduos do sexo masculino sorteados => X() = {0, 1, 2, 3,..., n}

Definio 3. Seja X uma varivel aleatria. Se X assume valores em um conjunto infinito no enumervel, ento X denominada varivel aleatria contnua.

Exemplo 3: Retirada ao acaso um parafuso da produo diria de uma fbrica e registro de seu dimetro (em mm) e comprimento (em mm). Suponha que esta fbrica produza parafusos com dimetro entre 3 e 10 mm e comprimento

entre 20 e 35 mm

X = Dimetro do parafuso => X() = [ 3, 10] Y = Comprimento do parafuso Y() = [20, 35]

3.2. Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria discreta

Seja X uma varivel aleatria discreta que assume os valores x1, x2,...,xn.... A distribuio de probabilidades de X o conjunto de pares de valores que associa a cada valor da varivel xi a probabilidade P(X = xi):

(x1, P(X = x1)), (x2, P(X = x2)),..., (xn, P(X = xn)),... De maneira que,

a) 1)x(1

========

====iiXP

b) P(X = x) = p(x) 0

Exemplo 4: E: lanamento de um dado honesto. X: nmero da face observada => X() = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A distribuio de probabilidade (ou funo de probabilidade) de X dada por: X 1 2 3 4 5 6

P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

30

Exemplo 5: Considere novamente o exemplo do lanamento de duas moedas. Seja X o nmero de caras

Resultados (w) X (w) Probabilidade P (X = xi) (Cara, Cara) 2 (Cara, Coroa) 1 (Coroa, Cara) 1 (Coroa, Coroa) 0

Obtemos ento, P (X = 0) = P (X = 1) = + = P (X = 2) =

Exemplo 6: (Morettin e Bussab, 2006) Um empresrio pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes so adquiridas em

fbricas diferentes, e a montagem consistir em juntar as duas partes e pint-las. O produto acabado deve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro de certos limites, e isso s poder ser verificado aps a montagem. Para estudar a

viabilidade do seu empreendimento, o empresrio quer ter uma idia da distribuio dos lucros

por pea montada.

Sabe-se que cada componente pode ser classificado como BOM, LONGO ou CURTO,

conforme sua medida esteja dentro da especificao, seja ela maior ou menor que a especificada. Alm disso, foram obtidos dos fabricantes o preo de cada componente (5 unidades de dinheiro) e as probabilidades de produo de cada componente com as caractersticas BOM, LONGO e CURTO. Estes valores esto na tabela abaixo:

Distribuio da produo das fbricas A e B, de acordo com as medidas das peas

produzidas

Produto Fbrica A

Cilindro

Fbrica B

Esfera

Dentro das especificaes...... BOM (B) 0,80 0,70 Maior que as especificaes...... LONGO (L) 0,10 0,20 Menor que as especificaes...... CURTO (C) 0,10 0,10

Fonte: Retirada das especificaes tcnicas das fbricas A e B

31

Se o produto final apresentar algum componente com a caracterstica C, ele ser

irrecupervel, e o conjunto ser vendido como sucata ao preo de 5 unidades. Cada componente longo pode ser recuperado a um custo adicional de 5 unidades. Se o preo de venda de cada unidade de 25 unidades, como seria a distribuio das frequncias da varivel X: lucro por conjunto montado?

A construo desta distribuio de frequncias vai depender de certas suposies que

faremos sobre o comportamento do sistema considerado. Em vista dessas suposies,

estaremos trabalhando com um modelo da realidade, e a distribuio que obteremos ser uma

distribuio terica, tanto mais prxima da distribuio de frequncias real quanto mais fiis

realidade forem as suposies.

Primeiramente, vejamos a construo do espao amostral para a montagem dos conjuntos segundo as caractersticas de cada componente e suas respectivas probabilidades. Desde que os componentes vm de fbricas diferentes, vamos supor que a classificao dos

cilindros segundo suas caractersticas sejam eventos independentes; assim, obtemos a configurao abaixo.

Cilindro Esfera B 0,70 P(BB) = 0,56

B 0,20 L P(BL) = 0,16

0,10 0,80 C P(BC) = 0,08

0,70 B P(CB) = 0,07 0,10 C 0,20 L P(CL) = 0,02

0,10 C P(CC) = 0,01

B P(LB) = 0,07 0,10 0,70 L 0,20 L P(LL) = 0,02

0,10

C P(LC) = 0,01

O espao amostral em questo est apresentado na tabela adiante, junto com as respectivas probabilidades.

32

Tabela: Distribuio de probabilidade das possveis composies das montagens

Montagem Probabilidade Lucro por montagem (X) BB 0,56 15 BL 0,16 10 BC 0,08 -5 LB 0,07 10 LL 0,02 05 LC 0,01 -5 CB 0,07 -5 CL 0,02 -5 CC 0,01 -5

Fonte: Informaes no texto

Assim, com os dados da tabela acima, vemos que X pode assumir um dos seguintes valores: 15 se ocorrer o evento A1 = {BB} 10 se ocorrer o evento A2 = {BL,LB} 05 se ocorrer o evento A3 = {LL} -5 se ocorrer o evento A4 = {BC,LC,CB,CL,CC}

Cada um desses eventos tem uma probabilidade associada, ou seja, P(A1) = 0,56 P(A2) = 0,23 P(A3) = 0,02 P(A4) = 0,19

o que nos permite escrever a distribuio de probabilidade da varivel X, que o empresrio

poder usar para julgar a viabilidade econmica do projeto que ele pretende realizar. x P(X = x)

15 0,56 10 0,23

05 0,02 -5 0,19

Total 1,00

Exerccio de fixao: 1) Suponha que X seja uma v.a. discreta e sua funo distribuio de probabilidade seja P(X =

k) = ck, para k = 1,2,3,4 e 5. Determine o valor da constante c. Resp.: 1/15. 2) Considere um lote de peas que contm 20% de defeituosas. Extramos ao acaso trs peas

com reposio para anlise. Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de peas defeituosas. Estabelea a funo distribuio de probabilidade de X.

Resp.:

x 0 1 2 3

P(X = x) 0,512 0,384 0,096 0,008

33

3.3. Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria contnua

Seja X uma varivel aleatria contnua. A distribuio de probabilidade dada na forma de uma funo, chamada de densidade de probabilidade e denotada por f(x). Uma funo de densidade de probabilidade (fdp) satisfaz as seguintes condies: a) f(x) 0, Rx

b) +

= 1f(x)dx

Exemplos de funes de densidade:

0 1 2 3 4 5 6 7

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x

f(x)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

A funo densidade, por definio, possui rea sob a curva limitada pelo eixo x igual a

1 e a probabilidade de X tomar um valor entre a e b obtida calculando-se a rea compreendida entre esses dois valores. Isto , para qualquer a < b em R

( ) ( )=

34

2) Assim, as probabilidades abaixo sero todas iguais, se X for uma varivel aleatria contnua:

P(a X b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a < X < b).

Exemplo 7: Dada a seguinte funo

f(x)=

contrrio caso 0,1x0 para ),x1(kx

ache o valor de k para que f(x) seja uma funo densidade de probabilidade.

Resoluo:

Para ser funo densidade temos que +

= 1)( dxxf , ento =1

0

1dx x)-(1 x k

13x

2xkdx x -xdx k

1

0

31

0

21

0

1

0

2=

=

6k =

Exerccio de fixao:

1) Dada a funo densidade de probabilidade f(x) =

contrrio caso 0, 1x 0 x,2

Determine i. P( X ) ii. P(1/3 X 2/3) iii. ) X | ( 323121 XP Resp.: i) 1/4; ii)1/3 ; iii) 5/12

3.4. Funo de distribuio acumulada (FDA)

Seja X uma varivel aleatria, discreta ou contnua. Define-se a funo de distribuio acumulada F da varivel aleatria X como

F(x) = P( X x). Se X for uma varivel aleatria discreta

F(x) = ( )

=

xjx:jjxXP

em que o somatrio estendido a todos os valores xj que satisfaam condio xj x.

Se X for uma varivel aleatria contnua com funo densidade f(x),

35

=

x

-

f(s)ds F(x)

Podemos utilizar a funo distribuio acumulada para calcular probabilidade da

seguinte maneira:

)()()()()( aFbFaXPbXPbXaP ==<

Exemplo 8: Considere um lote de peas que contm 20% de defeituosas. Extramos ao acaso trs peas com reposio para anlise. Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de peas defeituosas. A funo de probabilidade de X

( ) ( ) x3x 0,80,2x

3x)P(X

== , x=0,1,2,3

e a funo de distribuio acumulada de X.

F(x) =

36

3.5. Valor esperado (Esperana) de uma varivel aleatria

Agora, falaremos sobre medidas de tendncia central e medidas de disperso (variabilidade) de uma distribuio de probabilidade. Estas medidas so muito importantes para compreender o comportamento de uma varivel aleatria. A mdia ou esperana de uma distribuio, como o prprio nome diz, a mdia dos valores da varivel se observssemos a

mesma repetindo o experimento um nmero muito grande de vezes.

Caso discreto:

Seja uma v. a. discreta X com a seguinte distribuio de probabilidades: X x1 x2 ... xn

P(X=x) p1 p2 ... pn

O valor esperado de X dado por:

( )

=

=

===

1ii

1iii pxxXPxE(X)

i

Exemplo 10: Voltando ao exemplo 6, produto composto por uma esfera e um cilindro, uma pergunta que logo ocorreria ao empresrio qual o lucro mdio por conjunto montado que ele espera conseguir.

Soluo: Lucro mdio = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) + (0,19)(-5) = 9,85 Isto , caso sejam verdadeiras as suposies feitas para determinar a distribuio da varivel aleatria, o empresrio espera ter, em mdia, lucro de 9,85 unidades por conjunto montado.

Caso contnuo: Seja X uma varivel aleatria contnua com funo densidade de probabilidade f(x). O

valor esperado de X definido por

E(X) =

xf(x)dx

37

Exemplo 11: Uma certa liga formada, combinando a mistura fundida de dois metais. A liga

resultante contm uma certa porcentagem de chumbo X, que pode ser considerada uma v.a.

com funo densidade:

100 x 0 , x)-x(100)10(53f(x) 5 =

Ento,

E(X) = 100

0

5- x)dx-x(100(10)53

x = 50

Isto significa que em mdia a liga contm 50% de chumbo.

3.5.1. Propriedades da Esperana

1) Dada uma constante a, temos:

E(a+X) = a + E(X) e E(aX) = a. E(X)

2) Sejam X1, X2,..., Xn variveis aleatrias

E(X1+X2+...+Xn) = E(X1) + E(X2) +... + E(Xn)

3) Sejam X e Y variveis aleatrias independentes. Ento,

E(XY) = E(X). E(Y)

Exemplo 12: Suponha que L, o lucro lquido obtido na venda da liga do exemplo anterior (por unidade de peso), a seguinte funo da porcentagem de chumbo: L = C1 + C2X.

Ento o lucro esperado :

E(L) = E(C1 + C2X) = C1 + C2(50)

3.6. Varincia e Desvio-padro de uma varivel aleatria De modo geral, o desvio-padro mais importante e mais til medida de variao. O

desvio-padro de um conjunto de valores uma medida de variao dos valores em relao

38

mdia aritmtica. A varincia o quadrado do desvio-padro. Ou podemos dizer que o desvio-

padro igual a raiz quadrada positiva da varincia. Uma dificuldade com a varincia que ela

no expressa nas mesmas unidades dos dados originais, enquanto que o desvio-padro tem a

mesma unidade de medida dos dados originais. Assim se um conjunto de dados tem desvio-padro de 3,00 dlares e uma varincia de 9,00 dlares quadrado, temos que dlar quadrado um conceito abstrato, logo a varincia difcil de ser compreendida.

3.6.1. Varincia de uma varivel aleatria

Seja X uma v.a. com esperana E(X). Define-se a varincia de X por: V(X) = E[X E(X)]2 = E(X2) [E(X)]2 ,

em que, para X discreta, temos,

e, para X contnua, temos

Exemplo 13: Voltando ao exemplo 6, produto composto por uma esfera e um cilindro, calcule a varincia.

X W = X2 P(X = x) P(W = x2) 15 225 0,56 0,56 10 100 0,23 0,23 05 25 0,02 0,02 -5 25 0,19 0,19

Total 1,00 1,00

E(X2) = =

=

3

1i)x.P(Wx 2i2i = 225.0,56 + 100. 0,23 + 25.0,21 = 154,25

V(X) = 154,25 (9,85)2 = 57,23

Exemplo 14: Para o exemplo 11, a varincia :

E(X2) = 100

0

5-2 x)dx-x(100(10)53

x = 3000

V(X) = 3000 (50)2 = 500

2.6.1.1 Propriedades da varincia

a) Dada uma constante a, temos:

39

V(X+a) = V(X) e V(aX) = a2. V(X)

b) Sejam X1, X2,..., Xn, n variveis aleatrias independentes. Ento

V(X1 + X2 +... + Xn) = V(X1) + V(X2) +... + V(Xn)

Exemplo 15: No exemplo 12, a varincia de L :

V(L) = 22C V(X) = 22C (500)

3.6.2. Desvio-padro de uma varivel aleatria

)X(V)X(DP =

Exerccios de fixao: 1) O tempo T, em minutos, necessrio para um operrio processar certa pea, uma varivel

aleatria com a seguinte distribuio de probabilidade:

t 2 3 4 5 6 7 P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1

a) Calcule o tempo mdio de processamento. Resp. 4.6E(T) = b) Estabelea a funo de distribuio acumulada.

Resp.:

40

c) Encontre a distribuio, a mdia e a varincia da v.a. G: quantia em u.m. ganha por pea. g 4 3,5 3 2,5 2 2

P(G=g) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1

Resp.:

41

b) d ) X 1 2 3 4 r 5 40 90 125 P(X=x) 12/25 6/25 4/25 3/25 P(R=r) 12/25 6/25 4/25 3/25

4) Os valores abaixo representam a distribuio de probabilidade de D, a procura diria de certo produto. Calcule E(D) e V(D):

D 1 2 3 4 5 P(D=d) 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2

a) Calcule E(D) e V(D); b) Estabelea a funo de distribuio acumulada. Resp.: E(D) = 3,4 V(D) = 1,44

0, d < 1

0,1, 1 d < 2

0,2, 2 d < 3

F (d) = 0,5, 3 d < 4 0,8, 4 d < 5

1, d 5.

5) O nmero de vendas realizadas por um agente de seguros diariamente uma v.a. com funo de probabilidade:

x 0 1 2 3 4 P(X=x) w z t z w

Sabendo que em 10% dos dias as vendas so inferiores a um e que em 70% dos dias so

superiores a um, determine w, z e t.

a) Determine o nmero mdio de seguros vendidos diariamente. b) Determine E[2X 1] e V [2X 1]. c) Determine a probabilidade de que, quando considerados dois dias, as vendas sejam

superiores, em cada um deles, a duas unidades.

d) Se cada seguro feito por 15000 unidades monetrias, determine a funo de probabilidade da receita obtida com a venda dos seguros num dia.

e) Se num dia a receita for inferior a 50000 unidades monetrias, determine a probabilidade de que seja superior a 20000 unidades monetrias.

Resp.:: a) w = 0,1, z = 0,2, t = 0,4: b) 2: c) E[2X 1] = 3; V [2X 1] = 4,8 d) 0,09 e) f)0,667

R 0 15000 30000 45000 60000 P(R=r) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

42

6) Considere a varivel aleatria discreta com a seguinte funo distribuio:

43

( )

=

c.c. 0,1x1- ,|x|1k

f(x)

a) Determine o valor de k. b) Determine P(1/2 < X < 2/3). c) Determine P(1/2 < X < 2/3 | X > 0). d) Determine a funo de distribuio acumulada de X.

Resp.: a) 1 b) 5/72 c) 5/36 d) F(x) =

>>>

46

47

4. ALGUNS MODELOS PROBABILSTICOS PARA VARIVEIS ALEATRIAS

Existem modelos probabilsticos que ocorrem com frequncia na prtica. Nas prximas sees, sero definidos alguns modelos, apresentando as condies que devem ser satisfeitas e

algumas caractersticas, tais como, esperana, varincia e como calcular probabilidade.

4.1. VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETAS

4.1.1. Distribuio de Bernoulli

Muitos experimentos so tais que os resultados possveis apresentam ou no uma determinada caracterstica.

Exemplos:

a) Uma pea escolhida, ao acaso, de um lote contendo 500 peas: esta pea defeituosa ou no.

b) Uma pessoa escolhida, ao acaso, dentre 1000 pessoas, ou no do sexo masculino. c) Uma pessoa escolhida, ao acaso, entre os moradores de uma cidade, e pergunta-se se ela

diz SIM ou NO a um projeto governamental. Em um experimento aleatrio com apenas dois resultados possveis podemos associar o

valor 1, se sucesso ocorre e o valor 0, se fracasso ocorre. Um experimento deste tipo

chamado de ensaio de Bernoulli. Suponha que um sucesso ocorra com probabilidade p.

Seja X uma varivel aleatria definida para este experimento. Ento, X 1 0

P(X=x) p 1-p =q

Funo de distribuio de X: F(x) =

48

4.1.2. Distribuio Binomial

Consideremos n repeties independentes de ensaios de Bernoulli (n 2). O modelo binomial fundamenta-se nas seguintes hipteses:

a) n ensaios independentes e idnticos so realizados; b) A probabilidade de sucesso igual a p em cada ensaio e q a probabilidade de

fracasso sendo p + q = 1. Seja a varivel aleatria Y o nmero de sucessos nos n ensaios. Nestas condies dizemos

que Y tem distribuio binomial com parmetros n e p, onde os valores possveis de y so {0,1,2,...,n}: n = nmero de repeties do experimento e p = probabilidade de sucesso em cada repetio

Notao: )pB(n,~Y

( )

=

==

c.c0,

0,1,2,...nk,p1pkn

k)P(Yknk

Por meio do binmio de Newton, verifica-se que

Grfico da funo de probabilidade da distribuio Binomial com parmetros n = 3 e p = 0,4.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

P(X=

x)

49

Exemplo 1: Uma usina hidroeltrica tem 5 geradores que funcionam independentemente, cada um com probabilidade 0,98 de estar em operao. Qual a probabilidade de que exatamente dois estejam em funcionamento em determinado instante?

Y = nmero de geradores em funcionamento p = 0,98 = probabilidade de um gerador estar em funcionamento (a probabilidade de sucesso) Entre os 5 estabelecimentos, ou seja, n = 5, qual a probabilidade de 2 terem tratores:

P(Y = 2) =

25

(0,98)2 (1 - 0,98)5 - 2 = 10. (0,98)2.(0,02)3 = 0,000077

Esperana e Varincia da distribuio Binomial

Se Y tem distribuio binomial de parmetros n e p

==

=

=

=

),(varincianpq [E(Y)] - )E(YVar(Y)

(mdia)np p)(1pkn

kE(Y)

22

n

0k

nk k

=

=

n

0k

nk22 p)(1pkn

k)E(Y que em k

Demonstrao:

Fazendo s = k-1, tem-se:

.

Com varincia: V(X) = npq DP(X) = npq Exemplo 2: Com os dados do exemplo anterior, calcular o nmero esperado de geradores em funcionamento, a varincia e o desvio-padro:

E(X) = np = 5(0,98) = 4,9 Var(X) = npq = 5 (0,98) (0,02) = 0,098

DP(X) = npq = 098,0 = 0,3130

50

Exerccio de fixao: 1) Das variveis abaixo descritas, assinale quais so binomiais, e para estas d os respectivos

campos de definio e distribuio de probabilidades. Quando julgar que a varivel no binomial, aponte as razes de sua concluso.

a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposio, cinco bolas.Seja X o nmero de bolas brancas nas 5 extraes. Resp.: Binomial

b) Refaa o problema anterior, mas desta vez as n extraes so sem reposio. Resp.: No Binomial.

c) De 5 urnas com bolas pretas e brancas, vamos extrair de cada uma delas uma bola. Suponha que X o nmero de bolas brancas obtidas no final. Resp.: No binomial.

d) Em uma indstria existem 100 mquinas que fabricam determinada pea. Cada pea classificada como sendo boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um instante de tempo, e verificamos uma pea de cada uma das mquinas. Suponha que X seja o nmero de peas defeituosas. Resp.: No Binomial

2) Um fabricante de peas de automveis garante que uma caixa de suas peas conter, no mximo, 2 defeituosas. Se a caixa contm 18 peas, e a experincia tem demonstrado que

esse processo de fabricao produz 5% das peas defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaa a garantia? Resp.: 0,9419.

4.1.3. Distribuio de Poisson

Em muitos casos, conhece-se o nmero de sucessos, porm se torna difcil e, s vezes, sem

sentido, determinar o nmero de fracassos ou o nmero total de provas. Por exemplo: automveis que passam numa esquina. Pode-se num determinado intervalo de tempo anotar o

nmero de carros que passaram, porm, o nmero de carros que deixaram de passar pela esquina no poder ser determinado. Veremos que a distribuio de Poisson se aplica nestes

casos.

A distribuio de Poisson largamente usada quando se deseja contar o nmero de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, superfcie, ou volume.

Exemplos:

a) nmero de falhas de um computador em um dia de operao; b) nmero de defeitos num pneu; c) nmero de buracos por quilometro em uma rodovia;

51

d) nmero de clientes que chegam a uma determinada agncia bancria durante o expediente.

Seja a varivel aleatria X o nmero de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, ou superfcie, ou volume. Suponha que estes eventos ocorrem em instantes

aleatrios de tempo ou de espao e que as hipteses abaixo sejam vlidas: 1) o nmero de ocorrncias de um evento em um intervalo de tempo, ou superfcie, ou volume

independente do nmero de ocorrncias do evento em qualquer outro intervalo disjunto. 2) a probabilidade de duas ou mais ocorrncias simultneas praticamente zero. 3) o nmero mdio de ocorrncias por unidade de tempo, ou superfcie, ou volume, ,

constante ao longo do tempo, ou superfcie, ou volume.

Nestas condies dizemos que X tem distribuio Poisson com parmetro = t, o nmero mdio de eventos por unidade de intervalo de tempo, ou superfcie, ou volume.

Notao:x!

e x)P(X ) Poisson(~X

- x== , x=0,1,2,...,n,...

Grfico da funo de probabilidade da distribuio Poisson com parmetro = 5.

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

x

P(X=

x)

Se X tem distribuio Poisson com parmetro

=

=

)(varinciaVar(X)(mdia)E(X)

Demonstrao:

1. Sabe-se que E(X) =

=

=

==

00 !)(

x

x

x xxxXxP e

=

=

1x

x

1)!-x(xe

x =

=

1x

x

1)!-(xe

Fazendo x 1 = y, tem-se:

52

E(X) =

=

+

0y

1y

y!e

=

=

0y

y

y!

e

Utilizando-se a frmula de Maclaurin (caso particular da frmula de Taylor),

====

====

0y

y

ey!

,

obtm-se, E(X) =

2. De acordo com a definio de varincia, tem-se:

V(X) = E(X2) [ E(X) ]2, onde j vimos que, [ E(X)]2= 2, e,

E(X2) =

=

=

=

=

=

11

2

0

2

)!1()!1(! xx

x

xx

x x

ex

xx

ex

x

ex

, fazendo y = x 1, tem-se:

E(X2) =

+=+=+

=

=

=

+2

000

1

!!!)1(

y

y

y

y

y

y

ye

yey

yey

V(X) = 2 + - 2, assim V(X) = . Se a varincia DP(X) =

Exemplo 3: Em mdia h duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade de se receber no mximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de

nenhuma chamada em 90 minutos. X: o nmero de chamadas telefnicas em duas horas

Ento,

= 2 (nmero mdio chamadas por hora ) t = 2 horas

= t = 4 (nmero mdio chamadas em duas horas )

P(X 3) = =

=

===

3

0

x43

0x x!4e)xP(X

x

0,4331

Y: nmero de chamadas telefnicas 90 minutos Ento,

t = 90 minutos

= 2/60 ( nmero mdio de chamadas por minuto) = t = 2/60 x 90 = 3 (nmero mdio chamadas em 90 minutos )

P(Y = 0) = ( )!03e 03

= 0,0498

53

Exerccios de fixao: 1) O nmero de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma

distribuio de Poisson, com = 2. As atuais instalaes podem atender, no mximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem num dia, o excesso enviado a outro porto.

a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? Resp.: 0,1431 b) De quanto devero ser aumentadas as instalaes para permitir atender a todos os navios

que chegarem pelo menos em 95% dos dias? Resp.: 2 c) Qual o nmero mdio de petroleiros que chegam por dia? Resp.: 2.

3 LISTA DE EXERCCIOS

1) Se X ~ B(n,p), sabendo-se que E(X) = 12 e 2 = 3, determinar: a) n e) E(Z) e V(Z),onde Z = (X-12)/ 3 b) p f) P(Y 14/16), onde Y = X/n c) P(X < 12) g) P(Y 12/16), onde Y = X/n d) P(X 14) Resp.: a) n = 16 e p=0,75 c) 0,3699 d) 0,1971 e) E(Z) = 0 e V(Z) = 1 f) 0,1971 g) 0,6301

2) Uma fileira de luzes de Natal contm 20 lmpadas ligadas em srie, isto , se uma delas falha, toda a fileira falhar. Cada lmpada tem 0,02 de probabilidade de falhar durante um perodo de 3 anos. As lmpadas falham independente umas das outras. Qual a probabilidade de toda a fileira de lmpadas permanecer sem falhar durante trs anos? Resp.: 0,6676

3) O nmero de partculas radioativas emitidas por uma fonte segue distribuio de Poisson com = 0,5 partculas por segundo.

a) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partcula em um segundo; b) Qual a probabilidade de a fonte emitir mais de uma partcula em um segundo; c) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partcula em trs segundos; d) Qual a probabilidade de a fonte emitir no mximo duas partculas em 3 segundos; e) Uma chapa fotogrfica sensibilizada ao ser atingida por 3 ou mais partculas. Se 5 chapas

so colocadas, uma aps outra, durante 2 segundos cada uma em frente fonte, qual a

probabilidade de exatamente uma delas ser sensibilizada? Resp.: a) 0,3033;b) 0,0902;c) 0,3347;d) 0,8088;e) 0,2873

4) Seja X o nmero de peas defeituosas sadas de certa linha de produo. Sabe-se que, para determinado lote, X binomial com mdia 240 e varincia 48. Determine a distribuio de

54

probabilidade de X e a probabilidade do lote no conter nenhuma pea defeituosa. Resp.: n =

300; p=0,8;3000

51

54

0300

0)P(X

==

5) Um industrial fabrica peas, das quais 1/5 so defeituosas. Dois compradores, A e B, classificaram as partidas adquiridas em categorias I e II, pagando 1,20 u.m. e 0,80 u.m. respectivamente do seguinte modo:

Comprador A: retira uma amostra de 5 peas; se encontrar mais que uma defeituosa, classifica como II.

Comprador B: retira uma amostra de 10 peas; se encontrar mais que duas defeituosa, classifica como II.

Em mdia, qual comprador oferece maior lucro? Resp.: Comprador A 6) Numa via de mo nica que termina numa ponte, quer se estudar o trfego. Encontra-se que

esse volume de 120 veculos/hora, em mdia. Assume-se que a chegada de veculos constitui um processo de Poisson. Ache a probabilidade de que:

a) num perodo de um minuto mais de trs veculos cheguem ao pedgio; b) em 3 minutos cheguem mais do que 1 veculo.

Resp.: a) 0,1429 b) 0,9826 7) Numa linha adutora de gua, de 60 km de extenso, o nmero de vazamento no perodo de

um ms em mdia 4. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o ms, pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extenso? Resp.: 0,1813

8) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as vlvulas que produz tem durao inferior a 20 h. Uma indstria compra semanalmente um grande lote de vlvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condio: ela aceita o lote se, em 10 vlvulas escolhidas ao acaso, no

mximo uma tiver durao inferior a 20 horas; caso contrrio o lote rejeitado. a) Se o fabricante de fato tem razo, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado? b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto , na verdade a proporo de vlvulas

com durao inferior a 20 h de 10%. Qual a probabilidade do lote ser aceito, segundo o critrio acima? Resp.: a) 0,0861 b) 1-0,2639

9) Certa fbrica produz fusveis eltricos, dos quais 15% so defeituosos. Achar a probabilidade de que, numa amostra de 10 fusveis selecionados ao acaso, tenhamos:

a) nenhum defeituoso. b) pelo menos um defeituoso. c) no mximo um defeituoso.

Resp.: a) 0,1969; b) 0,8031; c) 0,5443

55

10) Um fabricante de peas de automveis garante que uma caixa de suas peas conter no mximo duas defeituosas. Se a caixa contm 18 peas, e a experincia tem demonstrado

que este processo de fabricao produz 5% das peas defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaa a garantia? Resp.: 0,9419

11) Certa companhia area chegou concluso de que 4% das pessoas que compram passagens no comparecem ao embarque. De modo a obter maior aproveitamento nas vendas, passou

a adotar o critrio de vender 77 passagens para um vo com 75 lugares. Determine a probabilidade de que todas as pessoas que compaream encontraro lugar no citado vo. Resp.: 0,8185

12) Em um certo tipo de fabricao de fita magntica, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.000 cm. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000cm tenha:

a) nenhum corte? b) no mximo dois cortes? c) pelo menos dois cortes?

Resp.: a) 0,3679 b) 0,9197 c) 0,2642 13) Numa determinada estrada ocorrem em mdia 2 acidentes para cada 100km. Qual a

probabilidade de que:

a) em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? b) em 300 km ocorram 5 acidentes? Resp.: a) 0,8753 b) 0,1606 14) Uma fonte mineral contm um nmero mdio de quatro bactrias por cm3 de gua. Dez

tubos de ensaio, de 1 cm3, so enchidos com este lquido. Supondo que a distribuio de

Poisson aplicvel, encontre a probabilidade: a) de que todos os 10 tubos de ensaio apresentem bactrias, isto , contenham ao menos uma

bactria cada; b) de que exatamente oito tubos de ensaio apresentem bactrias. Resp.: a) (0,9816) b) 0,013 15) Uma fbrica produz tecidos com mdia de 2,2 defeitos por jarda quadrada. Determine as

seguintes probabilidades:

a) no mais de 4 defeitos numa jarda quadrada; Resp.: 0,9275 b) nenhum defeito em duas jardas quadradas; Resp.:0,0123 c) duas jardas quadradas cada uma com dois defeitos. Resp.: 0,0719

56

4.2. VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS

4.2.1. Distribuio Exponencial

Esta distribuio bastante utilizada na teoria da confiabilidade para modelar os tempos de espera entre ocorrncias de eventos em um Processo de Poisson. Em geral este modelo

probabilstico tambm utilizado para modelar tempo de espera em uma fila, tempo de sobrevivncia de um grupo de pacientes aps o incio de um tratamento e tempo de vida de

material eletrnico.

O histograma a seguir foi construdo a partir de dados provenientes de uma distribuio

exponencial. A curva desenhada sobre o histograma representa a funo densidade de uma distribuio exponencial. Vemos que este grfico do tipo assimtrico positivo.

Grfico da funo densidade da Distribuio exponencial com parmetro =1000

Uma varivel aleatria contnua X, que assume valores no-negativos, ter uma

distribuio exponencial com parmetro > 0, se sua fdp for dada por:

contrrio caso , 0

0 x , 1)f(xx

1

=

e

Notao: X ~ exp( )

57

Propriedades:

a) A funo de distribuio dada por:

F(x) = P(X x) =

x ) = e-(1/)x

b) E(X) =

=

0

x1

dx1x e

c) V(X) = E(X2) E2(X) = 2222 = em que E(X2) = .dx1x 20

x1

2

=

e

d) P( X > s + t | X > s) = t1

--

s1

-

t)s(1

e

e

e

s)P(X)t sP(X

s)P(Xs) X et sP(X

==

>

+>=

>

>+>+

para quaisquer

s, t > 0

Este ltimo resultado mostra que a distribuio exponencial apresenta a propriedade de

no possuir memria. Isto significa que a probabilidade de sobreviver mais t unidades de

tempo a mesma, quer j se tenham passado s unidades de tempo, ou 0 unidades. Ou seja, no h envelhecimento. Esta hiptese frequentemente razovel para a vida de materiais

eletrnicos.

Exemplo 5: Uma lmpada tem a durao de acordo com a densidade exponencial com

=1000.

Determinar:

a) a probabilidade de que essa lmpada queime antes de 1.000 horas; b) a probabilidade de que ela queime depois de sua durao mdia; c) a varincia da distribuio do tempo de durao dessa lmpada.

Soluo: Seja T o tempo de durao da lmpada.

a) P( T < 1.000) = == 1-

1000

0

t1000

1

e -1 dte1000

1 1 - 0,3679 = 0, 6321

58

b) P( T > 1000) = 0,3679 c) V(T) = (1000)2

4.2.2. Distribuio Weibull

A distribuio Weibull tem uma aplicao importante em Teoria de Confiabilidade.

O histograma a seguir foi construdo a partir de dados provenientes de uma distribuio

Weibull. A curva desenhada sobre o histograma representa a funo densidade desta

distribuio, que tambm do tipo assimtrico positivo.

Grfico da funo densidade da Distribuio Weibull com parmetros =2 e =2

x

f(x)

0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Uma varivel aleatria contnua X, que assume valores no-negativos, ter uma distribuio Weibull com parmetros > 0 e > 0, se sua fdp for dada por:

contrrio caso , 0

0 x , x

expx)f(x1-

=

Propriedades: a) E(X) =

+ 11

b) V(X) =

+

+

22 1112

59

c)

==0 x

x

exp- 1

0 x 0,

)(F(x) xXP

d) Se =1 tem-se

x

exf = 1)( . Portanto, a distribuio exponencial um caso particular da distribuio Weibull.

Obs: O smbolo denota a funo gama, que dada por:

( )

>=0

x1k 0. k para definida dx,exk

Pode-se mostrar que se k for um nmero inteiro positivo, obtm-se que (k) = (k-1)!

Exemplo 7: O tempo de vida, em horas, de um componente eletrnico segue a distribuio

Weibull com = 0,4 e = 0,5. a) Qual a vida mdia? b) Calcule a varincia do tempo de vida desse componente. c) Qual a probabilidade do tempo de vida desse componente ultrapassar 30 horas? Soluo: T: tempo de vida do componente eletrnico em horas

a) E(T) = ( ) 8,03)4,0( = b) V(T) = ( )[ ]{ } 2,33)5()4,0( 2 = c) P( T > 30 ) =

5,0

0,430

exp = 0,000173

4.2.3. Distribuio Normal (ou Gaussiana)

Existem vrias distribuies tericas que podem ser usadas para representar fenmenos reais. Dentre estas, uma das mais importantes a distribuio normal. A seguir faremos um

breve estudo desta distribuio. Importncia da distribuio normal:

1. Representa com boa aproximao as distribuies de frequncias observadas de muitos fenmenos naturais e fsicos;

2. Distribuies importantes, como por exemplo, a binomial e Poisson, podem ser aproximadas pela normal, simplificando o clculo de probabilidades;

60

3. A distribuio amostral das mdias (e propores) em grandes amostras se aproxima da distribuio normal, o que nos permite fazer estimaes e testes estatsticos.

Uma varivel aleatria X, que assume valores em R, tem distribuio normal com

parmetros e 2 se sua funo de densidade probabilidade dada por:

0e,x,

x21

exp2

1f(x)2

2>

61

a) E(X) = e V(X) = 2 ( - desvio-padro); b) A curva normal simtrica com relao a sua mdia , ou seja:

f(+x) = f (- x); P( - x X ) = P( X x+ ); P(X > ) = P (X < ) = 0,5.

c) A moda e a mediana de X so iguais a ;

d) A distncia entre e os pontos de inflexo da curva igual a ;

Distribuio NormalN( , , , , 2 )

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

+

Exemplos de curvas da distribuio normal para diferentes valores dos parmetros

mdias diferentes, desvios padro iguais ( = 10 cm)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

123 130 137 144 151 158 165 172 179 186 193 200 207

altura (cm)

= 165

= 179

62

mesma mdia, desvios padro distintos

= 172 cm

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

128 132 136 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 200 204 208

altura (cm)

= 12 = 7 = 5

Uma aplicao da distribuio normal segue na figura abaixo:

3

2

1

1+

2+

3+

68%

95%

99,7%

Essa figura mostra como a mdia e o desvio-padro esto relacionados com a proporo dos dados que se enquadram em determinados limites. Assim, temos que:

Cerca de 68% dos valores esto a 1 desvio-padro a contar da mdia; Cerca de 95% dos valores esto a 2 desvios-padro a contar da mdia; Cerca de 99,7% dos valores esto a 3 desvios-padro a contar da mdia.

Como obter essas propores ser visto a seguir.

Clculo das probabilidades de uma distribuio normal

A probabilidade de uma varivel aleatria normal X assumir valores entre dois nmeros a e b (a < b) igual rea sob a curva no intervalo [a,b], isto ,

P(a < X < b) = dx

b

a

2x

21

exp21

pi

63

Esta probabilidade pode ser obtida atravs de uma transformao na varivel aleatria X como

veremos a seguir.

A distribuio normal possui um importante propriedade que permite que qualquer

varivel aleatria com esta distribuio possa ser transformada em uma outra varivel com

distribuio normal com parmetros = 0 e 2 =1. Teorema:

Se X ~ N (, 2) ento a varivel transformada ( )

=

XZ tem distribuio N(0,1), isto ,

Portanto, )()( zZPaXPaXP =

=

com

( )

=

XZ

As probabilidades pa