UNIVERSIDADE DO CONTESTADO- UnC

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE CONCÓRDIA

CURSO DE ENGENHARIA AMBIENTAL

CÁLCULO I

Profa Msc. Arlene Guarezi Paz de Oliveira

CONCÓRDIA-SC

ABRIL 2011

1 A idéia de função

No universo os fenômenos não ocorrem de maneira independente. Ao contrário, eles estão interligados, de modo que a ocorrência de um fenômeno é conseqüência, ou função, da ocorrência de outros.Por exemplo:

a) O consumo de combustível de um automóvel numa viagem é função da velocidade com que se desloca.

b) A pressão exercida pela água sobre um mergulhador é função da profundidade em que ele se encontra.

c) O valor pago na conta da luz depende do consumo médio no período.

Quando uma indústria lança um produto no mercado, para fixar o preço desse produto ela tem que levar em conta os custos para a sua produção e distribuição, que dependem de diversos fatores, entre eles as despesas com energia, aluguel de prédios, custo das matérias-primas e salários. Como esses custos podem variar, a indústria tem que estar”equacionando” essas variáveis para compor o preço do seu produto.

Podemos utilizar a linguagem matemática para representar essas relações de dependência entre duas ou mais grandezas. Faremos isso, estudando Funções.

1.1 Conceito Matemático de Função

Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos.Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois conjuntos.Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano (indica-se: A x B) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B.A x B = x A e y B}.Relação: Dados dois conjuntos A e B, dá-se o nome de relação R de A em B a qualquer subconjunto de A x B. R é relação de A em B R A x B.

Exemplo:Sejam os conjuntos A ={1,2,3} e B={ 2,3,4,5} e seja a relação dada por : S = { (x,y) A x B /y = x + 1}.Teremos ,então: S = {(1,2),(2,3),(3,4)}Representação:

2

A

Definição de Função: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B.

A definição acima nos diz que para uma relação f de A em B ser considerada uma função, é preciso satisfazer duas condições:

Todo elemento de A deve estar associado a algum elemento de B. A um dado elemento de A deve estar associado um único elemento de B.

Exemplo:Verificar quais das sentenças abaixo indicam funções:

a) Dados os conjuntos A = e B = , seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5, com x A e y B.

b) Dados os conjuntos A = e B = , seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x, com x A e y B.

c) Dados os conjuntos A = e B = , determinar o conjunto imagem da função f: A B definida por f(x) = x + 2.

d) Seja a função definida por f(x) = x2 – 10x + 8 . Calcular os valores reais de x para que se tenha f(x) = - 1, ou seja, a imagem - 1 pela função f.

Exercícios:

1) Nas duas relações dadas a seguir, faça o diagrama e verifique se elas são ou não funções, justificando sua resposta.a) f é uma relação de A = em B expressa pela fórmula y = 2x, com x

A e y B.

b) g é uma relação de A = em B expressa pela fórmula y= x³, com x A e y B.

3

2) Seja h uma relação de A = em B = expressa por h(x) = x² - 4x + 3. Verifique se h é uma função de A em B. Em caso afirmativo, escreva o conjunto imagem.

3) Na função f: R R, com f(x) = x² - 3x + 1, determine:a) f(-2)b) f ( )

c) f ( - )

4) Dado o conjunto A = , determine o conjunto imagem da função f: A R quando f for definida por:a) f ( x ) = x³b) f ( x ) = -x + 3c) f ( x ) = 1 - x²

5) Dada a função f: R R definida por f(x) = x² - 5x + 6, calcule os valores reais de x para que se tenha:a) f ( x) = 0b) f (x) = 12c) f (x) = -6

1.2- Principais Funções Elementares e suas Aplicações

1.2.1- Função Constante É a função f : RR dada por f(x) = c onde c é uma constante.O gráfico de f é uma reta paralela ao eixo das abscissas e que passa pelo ponto ( 0,c).

Exemplo: y = -2 Essa função de domínio D = R tem imagem Im =

1.2.2- Função do 1º Grau

Seja a função polinomial do 1º grau f (x ) = ax + b . No caso de b = 0, temos

4

f(x) = ax, e ela recebe o nome especial de função linear. Uma função é chamada de primeiro grau (ou função afim) se sua sentença for dada por y= ax + b. Verifica-se que o gráfico de uma função de 1º grau é uma reta. Assim o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos distintos. Exemplo1: Vamos esboçar o gráfico da função: y = 2x + 1.Atribuindo os valores 0 e 1 , por exemplo, teremos os pontos: (0,1), (1,3) e seu gráfico:

Aplicações de funções:

Exemplo 1:Na fabricação de um determinado artigo, uma empresa tem a despesa fixa de R$ 2000,00 e gasta com matéria prima de cada unidade R$ 30,00. Portanto o custo C para a produção desse artigo é representado pela função C = 30x + 2000 , onde x é o número de unidades produzidas. Calcule o custo para a fabricação de 50 unidades desse artigo.

Exemplo 2:Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade vendida.a) Obtenha a função receita R(x).b) Calcule R(40).c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 700,00?

Exemplo 3: O custo de fabricação de x unidades de um produto é C = 100 + 2x. Cada unidade é vendida pelo preço P = R$ 3,00. Para haver um lucro igual a R$ 1.250,00 devem ser vendidas K unidades. Determine o valor de K.

1.2.3 - Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1º grau.

5

Você já estudou o crescimento e o decrescimento de uma função qualquer. No caso da função polinomial do 1º grau, podemos determinar se ela é crescente ou decrescente pelo sinal do coeficiente a da variável x na lei de formação f ( x ) = ax + b.

f ( x ) = 2x + 1 ( a > 0 ) Crescentef ( x ) = -2x + 1 ( a < 0 ) Decrescente

1.2.4 -Zero de uma função polinomial do 1º grau

Denomina-se zero ou raiz da função f ( x) = ax + b o valor de x que anula a função, isto é torna f ( x ) = 0 .

Exemplo: f ( x ) = x – 2 Então: x – 2 = 0 x = 2

Exercícios 1) Dada a função polinomial do 1º grau f(x) = 4x – 1, determine:a) f( 0 ) b) f(-1 )

c) f( )

d)f( )

2) Admitindo que em uma determinada localidade uma empresa de táxi cobra R$ 2,00 a bandeirada e R$ 2,00 por quilômetro rodado e outra empresa cobra R$ 3,00 por quilômetro rodado e não cobra a bandeirada. Faça os gráficos das duas tarifas num mesmo sistema cartesiano e depois responda:a) Qual é a empresa mais vantajosa para o usuário em corridas inferiores a 2 km?

b) E para as corridas superiores a 2 km?

c) Qual a lei de formação de cada uma das retas?

d) Que tipo de função?

3)Sabendo que a quantia paga pelo consumo de energia elétrica é dada por y= mx +p, onde: Y = montante em reais X = número de quilowatts-hora consumido m = preço por quilowatt-hora p = parcela fixa

Dê no caso em que m = 2/3 e p = 2 :a) o gráfico da função

6

b) O número de kwh consumidos, sabendo que a conta apresentada foi de R$ 420,00.

4) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 dólares e daqui a 5 anos 1.000 dólares, qual será seu valor daqui a 3 anos?

5) Um móvel se desloca numa rodovia da cidade A para a cidade B, segundo a função s(t) = 100 + 80t, sendo s (espaço) em km e t (tempo) em horas. Sabendo que A está localizada no km 100 desta rodovia e B dista 350 km de A, pede-se :

a) O gráfico de função s;b) A posição do móvel para t = 3 horas;

6) O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x) = 100 + 2x. a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades?b) Qual o custo de fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricadas nove unidade?

1.3 Função composta

Uma fábrica que produz sapatos calcula o seu lucro meio da equação L = 0,4C, onde L é o lucro e C o preço de venda desse sapato para o comércio. Por sua vez, o preço C de venda é calculado fazendo-se C = 20+2P, onde P é o valor gasto com a matéria-prima para a fabricação desse sapato. ( O lucro L é dado em função do preço C, e este é dado em função do gasto P).L=0,4C C= 20 + 2P L=0,4(20 + 2P)→L=8+0,8P(g o f) = g(f(x)).

Exemplos: Sejam as funções reais e definidas respectivamente por f(x) = x + 1 e g(x)=2x² - 3. Determine:

a) f(g(x)) e g(f(x)).

2) Sendo f(x) = 3x –1 e f(g(x)) = 6x +8, determine g(x).

Exercícios:

1) Sendo f e g funções de domínio real com f(x) = x² + 2x e g(x) = 1 – 3x, determine;a) f (g(x)) =

7

b) g (f(x)) =

c) f (f (x)) =

d) g (g(x ) =

2) Se f(x) = 5x + 1 e h(x) = 1+ 4x, calcule f(h (2) ) + h (f (2) ).

3) Dados f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x –3, calcule x para que se tenha:a) f(g(x) ) = 0b) g(f(x) ) = 1 4) Sendo f(x) = 2x2 e g(x) = x + 1, calcule:a) f(g(2)) + g(f(2))

5) Dada a função f(x) = x2 + 1, calcule f(f(2)).

1.4 Regressão Linear

Uma aplicação muito comum envolvendo a função linear é aproximar um conjunto de pontos por uma reta. Suponha que em uma empresa anotemos semanalmente a quantidade vendida de um produto.

Semana x 1 2 3 4 5Quantidade

vendiday 20 24 30 32 40

O gráfico dos valores observados é, então:

8

05

101520

253035

4045

0 2 4 6

x

y

Os pontos não pertencem á mesma reta, podemos passar uma reta entre os pontos para

observar o crescimento das vendas e prever o que deverá ocorrer na próxima semana, isto é,

fazer uma estimativa das vendas para a próxima semana.

A reta y= Ax + B que melhor aproxima esse conjunto de pontos é chamada de reta de

regressão. Os valores de A e B são dados pelas expressões:

∑ xy - n x y

A = ∑ x2 - n ( x )2

B = y - Ax

Onde, ∑xy : é a soma dos produtos de x pelo y correspondente.

n : é o número de observações

x : é a média aritmética dos valores de x

y: é a média aritmética dos valores de y

∑x2: é a soma dos quadrados dos valores de x observados.

Então, substituindo os valores encontrados na fórmula, temos:

y = 4,80 x + 14,80

9

y = 4.8x + 14.8

05

101520

253035

4045

0 2 4 6

x

y

A projeção para a próxima semana será obtida fazendo x = 6. obteremos:

y = 4,80 . (6) + 14,80 = 43,60

Exercícios

1- Suponha que a tabela mostre o custo de produção de um bem para vários níveis da

quantidade produzida:

x = quantidade

produzida

100 120 150 170 200

y=custo

correspondente

1 500 1 800 2 100 2 300 2 400

a) Calcular a reta que melhor aproxima o conjunto de pontos anotados;

b) Qual é a estimativa de custo para 250 unidades?

c) Qual é a estimativa de custo para 200 unidades?

2- Um instituto de pesquisa está verificando como um cereal reage a vários níveis de

adubação. Foram experimentados cinco níveis e anotados os rendimentos do ceral em

cada caso:

10

x = nível de

adubo em g/m2

5 10 15 20 25

y= rendimento

em g/m2

20 30 34 38 39

a) Determinar a reta que melhor aproxima o conjunto de pontos anotados;

b) Qual é a previsão de rendimento para 12g/m2 ?

c) Qual é a previsão de rendimento para 8g/m2 ?

1.5- Estudo da função polinomial do 2º grau.

A função f: R R dada por f(x) = ax² + bx + c, com a,b e c reais e a 0, denomina-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática.

Exercícios:

1) Dada a função f (x) = x² - 5x + 4, calcule :a) f (0)b) f (-1)

c) f ( )

d) f ( )

e) f

f) f ( 4 )

2) Dada a função f (x) = x² - 4x – 5, determine os valores reais de x para que se tenha:a) f ( x ) = 7b) f ( x ) = 0c) f ( x ) = -5

1.5.1 Gráfico de uma função quadrática

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau ou quadrática é uma parábola cujo vértice é o ponto de abscissa –b/2 a e “abertura” voltada para cima, se a > 0 e para baixo se a< 0.Exemplo 1: Construir o gráfico da função y = 2x² - 4x +3 com x={-1, 0, 1, 2, 3}.

Exemplo 2: Construir o gráfico da função y= -2x² + 18 com x= {-3, -2, -1,0, 1, 2, 3}.

11

1.5.2-Zeros de uma função quadrática

Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x ) = ax² + bx + c são as raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0

Exemplo: f ( x ) = x² - 7x + 6

Exercícios:

1) Determine os zeros das seguintes funções:a) f (x) = x² + 2x b) f ( x ) = x² - 7x + 10c) f ( x ) = 4 - x²d) f ( x ) = x² + 2x +1

2)Representar graficamente as parábolas cujas equações são:a) y = x2

b) y = - x2

c) y = x2 – 3x – 10d) y = - x2 + 10 x - 16

e) y = 4x –x2

2-A função dada por D = 16 – P2, em que P é o preço por unidade e D a demanda de mercado correspondente. Esta é uma função quadrática logo seu gráfico será uma parábola cujos pontos que cortam o eixo de x são os pontos: (4,0) e (-4,0). A representação gráfica fica assim:

12

1.6 -Funções exponenciais

Em um instituto de pesquisas, estudou-se o crescimento de uma planta. Durante esse estudo, observou-se que a planta dobrava sua altura a cada três meses. No início das observações, o biólogo que mediu a planta obteve 1cm de altura. Sabendo que o prazo máximo de sobrevivência dessa planta é de um ano, qual será sua altura no final desse período? Para responder a essa pergunta podemos construir uma tabela que mostre o crescimento da planta em função do tempo.

Tempo AlturaObservação inicial 1cmApós 3 meses 2cmApós 6 meses 4cmApós 9 meses 8cmApós 12 meses 16cm

Concluímos, então, que ao final de um ano a altura da planta será de 16 cm. Podemos verificar esse crescimento através do gráfico:

Observando o gráfico, podemos dizer que essa planta cresce exponencialmente, isto é, como a cada medição a altura é o dobro da anterior, a variação da altura pode ser expressa em potência de 2.

Então:

Uma função exponencial é toda função definida de R em R por : f(x) = ax com a > 0 e a 1.

Atividades de aplicação

13

1-Uma pessoa deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente, são creditados juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que a fórmula do montante (capital + rendimento) , após x meses, é M(x) = 500.( 1 + 0,02 )x , calcule:

a) o montante após 1 ano; b) o rendimento no 1o ano.

2-Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de um determinado produto. Projetando um aumento anual de produção de 50 %, pergunta-se:

a) Qual a produção P dessa empresa t anos depois?

b) A produção após 3 anos?

c) Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40 500 unidades?

1.7 -Funções Logarítmicas

1.7.1- Definição:

Seja a função exponencial y = ax , com a > 0 e a 1. A sua inversa chama-se função logarítmica e indica-se y = loga x .

2.7.2 Representação gráfica: O gráfico de toda função logarítmica será crescente se b> 1 e decrescente se 0 < b <1.

Exemplo: Se considerarmos a função logarítmica f(x) = log1/2 x , vamos obter:

X Y84210.50.250.1

-3-2-10123

14

15

REFERÊNCIAS

DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 2003.

LARSON, Roland E. Cálculo com aplicações. Rio de Janeiro: CTC editora, 1998.

MORETTIN, Pedro. A .Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva,2005.

PAIVA, Manoel. Matemática . São Paulo: Ed. Moderna,2005.

SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática : para cursos de economia, administração, ciências contábeis. 5 ed. São Paulo: Atlas, 1999.

THIEL, Afrânio A . O mundo que nos cerca e a Matemática. Camboriú: UFSC, 1998.

16