Apostila_EletronicaDigital_IFSC

INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE

CURSO TCNICO DE ELETROELETRNICA

ELETRNICA DIGITAL

Prof. M. Sc. Mauricio Martins Taques

1. SISTEMAS DE NUMERAO

Provavelmente, o primeiro sistema adotado, foi o sistema unitrio baseado em um s dgito. Provavelmente um antigo pastor de ovelhas Neanderthal recorria a desenhos para saber se nenhuma cabea havia se extraviado. Utilizava como algarismos o desenho do quadrpede e comparava a quantidade de desenhos com a quantidade de ovelhas. Mais tarde passou a utilizar outro smbolo, pontos por exemplo, para designar uma ovelha. Nascia a, a partir da representao concreta, a representao abstrata e com estas, novos horizontes da matemtica. A partir disto, o homem atribuiu smbolos a quantidades maiores, como por exemplo, .=1 (um ponto igual a uma unidade); ..=2 (dois pontos igual quantidade dois); ...=3 (trs pontos igual quantidade trs). Se o homem no tivesse feito isso, hoje escreveramos o nmero 5 como ..... (cinco pontos) ou 11111. Os babilnios utilizavam grupos de luazinhas para representar grandezas de 0 a 9; Os egpcios tinham um, dois e trs sinais iguais para as grandezas 1, 2 e 3 e um sinal diferente para as grandezas de 4 a 9; os romanos utilizavam sinais I, V, X, C, L, M. Estes sistemas necessitavam de outros smbolos para quantidades ainda maiores (bilhes, trilhes, etc). Presume-se que foram os indianos os que primeiramente observaram que, adotando-se uma pequena coleo de smbolos (10 no caso), a posio de um smbolo em relao a outro bastaria para indicar grandezas maiores que o nmero de smbolos. A idia foi adotada e propagada pelos rabes, que denominaram smbolos de algarismos (em homenagem ao famoso matemtico Al-Khowrizm). Tambm foram os inventores do zero, smbolo indispensvel ao sistema de numerao por ordens (tambm chamado de sistema de quantificao por notao posicional). Curiosamente, os rabes no utilizaram sua prpria inveno. Foram eles que inventaram os signos ou smbolos (desenhos que representam as quantidades de 0 a 9) que atualmente todo o mundo ocidental usa, enquanto eles, seus inventores, no o utilizam. Nos sistemas de numerao que adotam o conceito de ordem, temos a primeira ordem representando as unidades com cada unidade representada por um smbolo diferente e em seguida, outras ordens (unitria, dezena, centena, decimal, centesimal etc). Todos eles foram inventados baseados em 2 convenincias: a) haver poucos smbolos para memorizao b) possibilitar a representao de quantidades muito grandes. 1.1 Sistema Decimal A ordem das unidades contm 10 smbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), representando as dez grandezas peculiares a este sistema. O nmero dez (10), formado por dois dos smbolos da ordem unitria, inaugura uma segunda ordem, a das dezenas; o 100 inaugura a 3ordem, a das centenas e assim por diante. Ainda uma especulao: muito provavelmente foi o fato de termos 10 dedos nas mos que influenciou a escolha da nossa espcie pelo sistema decimal, o que pode, sob certos aspectos, ser considerado como um fato infeliz, pois o sistema decimal no , em absoluto, o melhor de todos. O sistema de base 12 seria muito mais vantajoso devido ao menor nmero de divises quebradas que resulta. 1.1.1 Notao Posicional A posio que um algarismo ocupa em relao aos demais e a base do sistema em questo nos fornece todos os subsdios necessrios para o entendimento e representao de uma grandeza ou quantidade. Todos os sistemas de numerao conhecidos tm uma notao definida, igual para vrias bases, que torna possvel a identificao de qualquer nmero baseado somente nos algarismos adotados pela base e nas posies que ocupam entre si. Por exemplo: no nmero 1962 temos o algarismo 1 na posio que indica milhares, o 9 na posio indicativa de centenas, o 6 na de dezenas e o 2 na posio de unidades. Assim sabemos que o

nmero 1962 igual a:

1x1000+ 9x100+ 6x10+2x1= 1000+900+60+2=1962.

Podemos escrever ainda, usando uma outra forma de representar a mesma coisa, que 1962 igual

a: 1x103+ 9x102+ 6x101+2x100 pois 1000 = 10 3; 100 = 102; 10 =101 e 1=100.

O nmero 1962 est escrito na base dez, isto , no sistema decimal. A rigor podemos generalizar

para qualquer base:

Seja b a base de representao de um nmero e A, B, C, D, E,... os smbolos dos

algarismos deste sistema, ento o nmero

.... EDCBA na base b, escrito convencionalmente como

EDCBAb representa a grandeza E.b4+ D.b3+ C.b2+ B.b1+ A.b0 .

Vejamos um exemplo:

123410= 1x103 + 2x102+ 3x101+ 4x100= 1000+200+30+4= 1234

1.2 Sistema Binrio Os atuais computadores processam suas operaes em um sistema diferente do decimal, o sistema binrio. O sistema binrio, como o nome j diz, tem dois algarismos aos quais damos geralmente os smbolos 0 e 1, que correspondem a qualquer conjunto dual, como por exemplo: no e sim; falso e verdadeiro; desligado e ligado; negativo e positivo, fechado e aberto, etc. Nos circuitos lgicos, 0 e 1 representam respectivamente nveis de tenso baixa e alta ou estados de saturao e corte de transistores.

Da, uma outra designao comum: L e H (Low level e High level, do ingls: nveis baixo e alto de tenso). Na base 2, o nmero decimal 11 (e grandeza ou quantidade 11) representado por 10112. V-se que na base 2 foram necessrios 4 sinais-algarismos para representar a grandeza 11, que no sistema decimal representado por apenas dois sinais. A explicao simples. Na primeira posio do sistema decimal podemos representar 10 grandezas (0 a 9) ao passo que na posio correspondente do sistema binrio s podemos representar duas (0 e 1). Se maior grandeza, da posio de unidades decimais, acrescentarmos uma unidade, a primeira ordem (ou posio) volta grandeza menor e a prxima ordem incrementada uma unidade.

Este todo o segredo que envolve a passagem do nmero 910 para o 1010. O 9 volta para o zero (menor quantidade) e a posio das dezenas (anteriormente neste caso ocupada pelo algarismo zero, que no precisamos representar) incrementada para 1, fornecendo o nmero 10. Exemplos: descubra os prximos nmeros para: a) 12345; b) 12346; c) 123 ; d)1210 e e)1910 Respostas: a)1240; b)1235; c)20; d)13; e)20 nas respectivas bases Como o sistema binrio s tem dois algarismos, na 1a ordem podemos representar 2. Se utilizarmos a primeira e segunda ordens, podemos representar at 4 grandezas, com as 3 primeiras posies ou ordens, podemos representar at 8 grandezas e assim por diante. Note a relao:

2n da ordem

Por exemplo, com um nmero binrio de 10 posies ou ordens podemos representar at 210= 1024 grandezas (da grandeza zero at a grandeza 1023), ao passo que dez posies no sistema decimal representaria 1010= 10.000.000.000 ou dez bilhes de grandezas diferentes. O sistema binrio usado em computadores devido maior facilidade de manipular somente duas grandezas. No caso dos computadores, precisamos ter somente tenso presente ou tenso nula ou corte e saturao de transistores. 1.3 Sistema Octal Como j diz o nome, o sistema de base 8 e, consequentemente, contm 8 algarismos (0,1,2,3,4,5,6 e 7). utilizado por ser um sistema que tem relao direta com o sistema binrio. Veremos esta relao quando tratarmos de transformao entre bases. Neste sistema, a grandeza 8 representada por 108, pois 1x81+0x80= 8+0 1.4 Sistema Hexadecimal Sistema numrico de base 16 (do hexa=6 e deci=10). Tem 16 algarismos que so: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Os smbolos A, B, C, D, E e F fazem o papel das grandezas 10,11,12,13,14,15. Usa-se as letras maisculas pela necessidade de termos que representar cada uma destas grandezas com um nico algarismo.

O sistema hexadecimal um sistema muito utilizado em computadores. Neste sistema a grandeza 16 representada por 10H ou 1016, pois 1x162 +0x160= 16+1. Exemplo: que grandeza representa o nmero 1ACH ? Soluo:1x162+Ax161+Cx160=1x162+10x161+12x160, uma vez que A e C representam 10 e 12 respectivamente =256+160+12=428=42810 1.5 Resumo de Sistemas Numricos

BASES NUMRICAS Binria - 2 Octal - 8 Decimal - 10 Hexadecimal - 16

0 0 0 0 1 1 1 1

10 2 2 2 11 3 3 3

100 4 4 4 101 5 5 5 110 6 6 6 111 7 7 7

1000 10 8 8 1001 11 9 9 1010 12 10 A 1011 13 11 B 1100 14 12 C 1101 15 13 D 1110 16 14 E 1111 17 15 F

1.6 Converso entre Base Decimal binria, octal, hexadecimal: Para converter um nmero decimal inteiro em um nmero de base b, basta executar sua diviso aproximada por b, sucessivamente at que o ensimo dividendo no possa mais ser dividido por b, ler os restos de trs para diante. Vejamos um exemplo: 9110 X2 Nb N = q.b + r Onde q, b e r so inteiros e N a parte inteira do nmero decimal LSB 912 1 45 2 1 22 2 0 112 LSB: Least Significant Bit (bit menos significativo) 1 52 MSB: Most Significant Bit (bit mais significativo) 1 2 2 0 12 1 0 MSB X2= 10110112 No exemplo, o divisor sempre a base para a qual se quer converter o nmero decimal; o ltimo quociente inteiro passa a ser dividendo da prxima diviso. O processo continua at que o dividendo seja menor que o divisor (a base), quando ento passa a ser o ltimo resto. Exerccios: Faa a converso para as bases solicitadas a) 48610 = ( )16 b) 200010 = ( )16 c) 409610 = ( )16 d) 555510 = ( )16 e) 3547910 = ( )16 f) 7810 = ( )2

g) 10210 = ( )2 h) 21510 = ( )2 i) 40410 = ( )2 j) 80810 = ( )2 k) 542910 = ( )2 l) 1638310 = ( )2

1.7 Binrio, Octal, Hexadecimal Decimal Este processo serve para converter qualquer base para a base decimal. O processo deriva da notao posicional comum a todos os sistemas de numerao que utilizam ordens. Tomemos como exemplo o nmero:

XYZB onde X, Y e Z so algarismos da base b e Z o algarismo da 1a ordem, Y da 2a e X da 3a ordem. Podemos dizer que cada um destes algarismos multiplicado por um peso que depende da posio em que se encontra e da base em que est expresso o nmero. Assim, os pesos dos sistemas numricos ordenados sero sempre:

... b4 b3 b2 b1 b0 e o nmero genrico acima ser:

X .b2+ Y .b1+ Z .b0 com b0= 1. Os exemplos prticos a seguir tornam isto mais claro.

Ex.1: 10110112 X10

Pesos das posies 6 5 4 3 2 1 0 1 0 1 1 0 1 12 X10 1x26+0x25+1x29+1x23+0x22+1x21+1x20 = 64+0+16+8+0+2+1 = 9110 Ex.2: 13AH X10 na base 16, A=10, ento: 1x162+3x161+10x160= 256+48+10 = 314510

Ex3: 2658X10 2x82+6x81+5x80 = 128+48+5 = 18110 Exerccios: Faa a converso das bases para a base decimal a) 10011002 b) 111112 c) 100002 d) 100012 e) 10101102 f) 0110011001101012

g) 47916 h) 4AB16 i) BDE16 j) F0CA16 k) 2D3F16

1. 8 Converso entre binrio, octal e hexadecimal Sendo 2, 8 e 16 potncias de 2, as converses entre os sistemas binrio, octal e hexadecimal so imediatas, como poder ser observado a seguir. 1.8.1 Binrio Octal 8=23 separa-se o nmero binrio em grupos de 3 e transforma-se diretamente para a base 8 Ex: 101101012 para a base oito 101101012 102=28; 1102=68; 1012= 58 2658 1.8.2 Binrio Hexadecimal 16=24 separa-se o nmero binrio em grupos de 4 algarismos e transforma-se diretamente para a base 16 Ex: 101101012 para a base dezesseis

101101012 10102=A16; 01012=516 A516

1.8.3 Hexa Binrio. Cada algarismo hexadecimal gera a mesma grandeza em um grupo de 4 algarismos binrios

Ex: BF116X2

1= 00012 F= 11112 B= 10112 1011111100012

A converso de um nmero X na base genrica b1 para um em outra base b2 efetuada atravs da converso do primeiro nmero Xb1 para a base 10 e da base 10 para a base b2. Exerccios propostos: 1) 199010X2

2) 101010102 X10, X8, X16 3) 4010 XH 4) 54128X10 5) F8HX10

6) 1101112 X10 7) F8H X10 8) 2010 X8 9) 273910 XH 10) 10011002 X10

1.9 Vocbulos utilizados na eletrnica digital: bit O vocbulo surgiu da contrao abreviada de binary digit do ingls e representa os valores possveis que uma varivel lgica (binria) pode assumir, 0 e 1. byte grupo ou palavra de 8 bits (ex: 010111010) nibble grupo ou palavra de 4 bits (ex: 0111) word= palavra Palavra qualquer conjunto de bits que contm ou representa um item de informao 2. CDIGO BCD Do ingls Binary Coded Decimal ou cdigo decimal codificado em binrio. Caractersticas: Representa as grandezas decimais (0,1, ..., 9); utiliza uma palavra de 4 bits (nibble); Os pesos de cada posio dos bits so iguais ao sistema binrio, ou seja, 23,22,21.20=8,4,2,1; usa-se somente 10 das 16 possveis combinaes de um nibble para representar as quantidades de zero a nove.

Decimal BCD natural - pesos 8 4 2 1

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1

3. TEOREMAS DA LGEBRA BOOLEANA

3.1 Introduo Em 1854, George Boole, escreveu um trabalho que serviu de base para a teoria matemtica de proposies lgicas. Esta teoria foi utilizada em 1938 por Claude Elwood Shanon na simplificao lgica de funes usadas em telefonia. Toda esta lgebra est centrada na existncia de somente 2 valores possveis para uma varivel ou funo (falso-verdadeiro, certo-errado, tudo-nada, +5V-0V, ...) 3.2 Constantes e Variveis As variveis da lgebra de Boole diferem das da lgebra comum por s assumirem um entre 2 valores constantes distintos (0 ou 1). Em um circuito lgico digital estes 2 valores possveis representam a existncia e a inexistncia de uma determinada condio como, por exemplo, nvel lgico 0 igual a 0 volt e nvel lgico 1 igual a +5V (lgica positiva). Uma varivel representada por uma letra maiscula qualquer e s pode assumir dois valores: 0 ou 1. 3.3 Expresses Booleanas Na lgebra comum podemos ter uma varivel y dependente de uma ou mais variveis independentes (x, z, ...). Diz-se, portanto, que: ex1.: Se y=3.x y=f(x); Se y=(4.x+2.u)/(5.t-z) y=f(u, t, x, z) Nas expresses acima a varivel dependente y pode assumir infinitos valores distintos e utiliza-se para representar, matematicamente, a funo alguns sinais indicadores de operaes: + soma; - subtrao; . (x) multiplicao; / () diviso. Na lgebra Booleana tem-se 3 operadores bsicos, (tens 3.3.1 a 3.3.3.), cada um indicando um tipo de funo entre as variveis relacionadas e podendo ser utilizados simultaneamente dando origem a outros tipos de operao (tens 3.3.4 a 3.3.6). Estes operadores sero discutidos a seguir, sendo fornecidos: a tabela que descreve totalmente o tipo de funo (tabela verdade); uma analogia utilizando um circuito eltrico simples com chaves (0 chave aberta, 1 chave fechada) representando as variveis independentes e uma lmpada (0 apagada, 1 acesa) representando a varivel dependente; e o smbolo da porta lgica digital que utilizada para implementar na prtica uma funo do tipo discutido. Na construo da tabela verdade deve-se representar todas as combinaes possveis de valores para as variveis independentes.

3.3.1. Operao NOT (negao) a) smbolo da operao f A utiliza-se uma barra sobre a varivel indicando sua negao (l-se: A barrado ou A negado) b) tabela verdade

Varivel Independente

Varivel Dependente

A f(A) 0 1 1 0

c) analogia eltrica

A Lmpada(f)

d) Porta lgica correspondente (smbolo convencional e IEC)

3.3.2. Operao AND (E) a) smbolo da operao f A B . (l-se: A "e" B, nunca A "vezes" B) utiliza-se um ponto entre as variveis indicando a funo E. A funo 1 quando a primeira E a segunda variveis so 1. Isto o mesmo que dizer que a funo (composta de 2 ou mais variveis) s assume nvel lgico 1 quando todas as variveis assumem nvel lgico 1. b) tabela verdade c) analogia eltrica

Lmpada(f)E1

d) Porta lgica correspondente

Variveis Independentes

Varivel Dependente

A B f(A,B) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

3.3.3 Operao OR (OU) a) smbolo da operao f A B + (l-se: A "ou" B, nunca A "mais" B) utiliza-se um sinal "+" entre as variveis indicando a funo OU. A funo 1 quando a primeira OU a segunda OU AMBAS variveis so 1. Isto o mesmo que dizer que a funo (composta de 2 ou mais variveis) assume nvel lgico 1 quando pelo menos uma das variveis assume nvel lgico 1, ou ento, que a funo somente assume nvel lgico 0 quando todas as variveis forem 0. b) tabela verdade c) analogia eltrica

Lmpada(f)

B

A


3.3.4 Operao NAND (NE) a) smbolo da operao f A B . (l-se: A "e" B negado) utiliza-se um ponto entre as variveis indicando a funo E e uma barra indicando a negao da mesma. Esta funo a unio da funo E com a funo NOT e assume valor lgico 0 (1 ) quando a primeira E a segunda variveis so 1. Isto o mesmo que dizer que a funo (composta de 2 ou mais variveis) s assume nvel lgico 0 quando todas as variveis assumem nvel lgico 1. b) tabela verdade


Varivel Dependente

A B f(A,B) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1


Varivel Dependente

A B f(A,B) 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

c) analogia eltrica

Lmpada(f)

A B


3.3.5 Operao NOR (NOU) a) smbolo da operao f A B + (l-se: A "ou" B negado) utiliza-se um sinal "+" entre as variveis indicando a funo OU e a barra para indicar a negao da funo. A funo 0 quando a primeira OU a segunda OU AMBAS variveis so 1. Isto o mesmo que dizer que a funo (composta de 2 ou mais variveis) assume nvel lgico 0 quando pelo menos uma das variveis assume nvel lgico 1, ou ento, que a funo 1 somente quando todas variveis forem 0. b) tabela verdade c) analogia eltrica

B

A

Lmpada(f)



Varivel Dependente

A B f(A,B) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

3.3.6. Operao XOR (EXclusive OR - ou exclusivo) a) smbolo da operao f A B (l-se: A "ou-exclusivo" B) utiliza-se um sinal "" entre as variveis indicando a funo OU-EXCLUSIVO. A funo 1 quando a primeira OU a segunda, de forma exclusiva, varivel for 1. Isto o mesmo que dizer que a funo assume nvel lgico 1 quando somente uma das variveis assume nvel lgico 1. Esta funo composta por todas as 3 operaes bsicas uma vez que A B = A.B + A.B b) tabela verdade c) analogia eltrica

A

Lmpada(f)

0

1

0

1

B



Varivel Dependente

A B f(A,B) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Exerccios 1) Encontre as equaes dos circuitos a seguir: a)

b)

2) Dadas as expresses abaixo, encontre os circuitos: a) ).(]).().([ DCCBABAS b) DDCBAS .)].()[( 3) Determine a expresso de L do circuito abaixo:

4. PROPRIEDADES E TEOREMAS DA LGEBRA DE BOOLE A + 0 = AA + 1 = 1A + A = AA + A = 1

A.0 = 0A.1 = A A.A A = A

0.. AA Complementao: A = A Comutativa: A + B = B + AA.B = B.A Associativa A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + CA.(B.C) = (A.B).C = A.B.C Distributiva A.(B + C) = A.B + A.CA + (B.C) = (A + B).(A + C) Identidades auxiliares A + A.B = AA + A.B = A + B(A + B).(A + C) = A + B.C Teorema de De Morgan A.B = A + BA + B = A.B Extenso do Teorema de De Morgan nn bbbbbb ... 2121 nn bbbbbb 2121 ...

Exerccios: 1. Usando Tabela Verdade, comprove os seguintes teoremas: a) A.(A+B) = A b) A + A.B = A c) BABAA . d) A.(B + C) = A.B + A.C e) BABAA .).( 2. Utilizando lgebra booleana, simplifique ao mximo as equaes abaixo e desenhe os circuitos correspondentes. a) CBACBACBACBAL ........ b) L = )..(. CDCBBAA c) BAAL

d) ABCCBAL e) ABCCABBCAL

f) BCACABABCL

3. Elabore o circuito de L equivalente a: 4. Determine a expresso simplificada e o circuito para S1 e S2.

A B C S1 S2 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

A B C L 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

5. Verificar a igualdade BABABABA ....

Exemplos de simplificao de expresses:

a) cacbcbaF ....

cFcF

babacFabbacF

1..

..

b) yzzyxx .).(

zyyzyxxxyzyxx

...

c) zyxww ..

zywzywyzw

...

6. Dado os explos acima, simplificar as funes abaixo:

a) CBCABABABA ..... R: CBABA ... b) EDCDCDCBA ... R: CDBA .. c) BCDAACDDBA ...... R: B d) zyxzyx .. R: zx

5. SIMPLIFICAO DE CIRCUITOS USANDO MAPAS DE KARNAUGH (Diagrama de Veitch-Karnaugh) Permitem a simplificao de expresses lgicas com 2, 3, 4, 5 ou mais variveis. 5.1 Mapa de Karnaugh para 2 variveis B A 0 1 0 1

B A 0 1 0 BA. BA.

1 BA. BA.

B A 0 1 0 00 01 1 10 11

Mtodo de simplificao:

1) Agrupam-se as regies onde S=1, no menor nmero possvel de pares (conjunto de 2 regies vizinhas);

2) As regies que no puderem ser agrupadas em pares, sero tratadas isoladamente;

3) Verifica-se em cada par o valor da varivel: se a mesma muda de valor lgico, desprezada; se a varivel mantm seu nvelo lgico, ser o valor do par;

4) Escreve-se a expresso de cada para, isto , o valor que o mesmo ocupa no diagrama;

5) Somam-se os pares e/ou termos isolados. Exemplo:

B A 0 1 0 0 1 A expresso simplifica fica: S = A + B 1 1 1 Circuitos antes da simplificao: Circuito aps a simplificao:

5.2 Mapa de Karnaugh para 3 variveis BC A 00 01 11 10 0 1 Mtodo de simplificao:

1) Localizam-se as quadras (agrupamento de 4 regies) e escrevem-se suas expresses;

2) Localizam-se os pares e escrevem-se suas expresses, no considerando os pares j includos nas quadras. Todavia, pode-se ter um par formado por 1 externo quadra e outro 1 pertencente quadra;

3) Localizam-se os termos isolados que no puderam ser agrupados e escrevem-se suas expresses;

4) Soman-se as expresses das quadras, dos pares e dos termos isolodos. Obs.: O mapa de Karnaugh de 3 variveis fecha-se nas laterais, como um cilindro. Exemplo:

BC A 00 01 11 10 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1

A expresso simplifica fica: S = CACACB ... Exerccios: Simplifique as expresses lgicas abaixo: a) CBACBACBACBACBAS .......... b) CBACBACBAS ...... c) CBACBACBACBAS ........

5.3 Mapa de Karnaugh para 4 variveis CD AB 00 01 11 10 00 01 11 10 Mtodo de simplificao:

1) Localizam-se as oitavas (agrupamento de 8 regies) e escrevem-se suas expresses;

2) Localizam-se as quadras (agrupamento de 4 regies) e escrevem-se suas expresses, no considerando as quadras inclusas nas oitavas;

3) Localizam-se os pares e escrevem-se suas expresses, no considerando os pares j includos nas quadras e/ou oitavas. Todavia, pode-se ter um par formado por 1 externo quadra e outro 1 pertencente quadra;


5) Soman-se as expresses das quadras, dos pares e dos termos isolodos. Obs.: O mapa de Karnaugh de 4 variveis fecha-se nas laterais, bem como nos extremos superior e inferior. Exemplo 1:

CD AB 00 01 11 10 00 0 1 1 1 01 0 1 1 0 11 1 1 1 0 10 1 1 1 0 A expresso simplifica fica: S = CBACAD ... Exemplo 2: Usando mapa de karnaugh, simplifique a equao:

DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAS

...........................

Exerccios: Simplifique as expresses lgicas abaixo:

a) DCBADCBADCBA

DCBADCBADCBADCBADCBAS.........

...............

b) DCBADCBADCBADCBADCBADCBA

DCBADCBADCBADCBADCBAS..................

...............

c) DCBADCBADCBA

DCBADCBADCBADCBADCBAS.........

...............

Condio irrelevante: Quando uma varivel pode assumir o nvel lgico igual a um ou zero, indiferentemente. Nesta situao, adota-se o nvel lgico que representar maior grau de simplificao de uma expresso. CD AB 00 01 11 10 00 X 0 X 1 01 1 0 1 1 11 0 X X 0 10 0 1 0 X A expresso simplificada fica: DCADACAS ....

5.4 Mapa de Karnaugh para 5 variveis Vista espacial:

Vista lado a lado: A A DE BC 000 001 011 010 100 101 111 110 000 001 011 010 Vista com campos preenchidos pelas variveis:

Mtodo de simplificao:

1) Localizam-se as hexas (agrupamento de 16 regies) e escrevem-se suas expresses;

2) Localizam-se as oitavas (agrupamento de 8 regies) e escrevem-se suas expresses, no considerando as oitavas j inclusas nas hexas;

3) Localizam-se as quadras (agrupamento de 4 regies) e escrevem-se suas expresses, no considerando as quadras inclusas nas oitavas e/ou hexas;

4) Localizam-se os pares e escrevem-se suas expresses, no considerando os pares j includos nas quadras, oitavas e/ou hexas. Todavia, pode-se ter uma oitava/quadra/par formado por 1s externos hexa/oitava/quadra e outros 1s pertencente hexa/oitava/quadra;


6) Soman-se as expresses das hexas, das oitavas, das quadras, dos pares e dos termos isolodos.

Obs.: O mapa de Karnaugh de 5 variveis constitudo de dois mapas de 4 variveis. Exemplo: Obter as expresses lgicas simplificadas de S1 e S2, a partir da tabela da verdade abaixo:

6. CDIGOS, CODIFICADORES E DECODIFICADORES 6.1 Cdigos

Codificador efetua a passagem do cdigo decimal para outros cdigos de mquina. Decodificador efetua a passagem do cdigo de mquina para o cdigo decimal. 6.2 Codificador Decimal/Binrio A entrada do cdigo decimal feita atravs de um conjunto de chaves numeradas de 0 a 9 e a sada por 4 fios, para fornecer um cdigo binrio de 4 bits, corresponde chave acionada. Obs.: A chave fechada equivale a nvel lgico 0, para evitar o problema prtico, principalmente da famlia TTL, do terminal aberto seja equivalente a nvel lgico 1.

6.3 Decodificador para Display de 7 segmentos Para elaborao do projeto de um decodificador, basta montar a tabela verdade, simplificar as expresses de sada e implementar o circuito. O display de 7 segmentos possibilita escrever nmeros decimais de 0 a 9 e alguns outros smbolos que podem ser letras ou sinais. A nomenclatura usual de identificao dos segmentos mostrada abaixo.

Display Catodo Comum: possui todos os catodos dos LEDs interligados, sendo necessrio aplicar nvel 1 no anodo respectivo para acender cada segmento. Display Anodo Comum: possui todos os anodos dos LEDs interligados, sendo necessrio aplicar nvel 0 no catodo respectivo para acender cada segmento.

Encontrando as expresses de a, b, c, d, e, f e g, atravs de Mapas de Karnaugh, obtemos o seguinte circuito simplificado do Decodificador para Display de 7 segmentos.

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