APRESENTAÇÃO - ead.colegiopolivalente.com.bread.colegiopolivalente.com.br/AreaFechada/pdf/Matematica_II.pdf · MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO II Proibida reprodução deste material

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II

Proibida reprodução deste material em parte ou no todo, propriedade do CIP – Lei n° 9.610

1

APRESENTAÇÃO

Caro Aluno,

Você está recebendo um material inovador, designer ousado, elaborado para fornecer

subsídios que o auxiliem a completar seus estudos. Neste volume, encontrará os assuntos

correspondentes a Matemática 2ª Série do Ensino Médio.

Os conteúdos selecionados permitem que você desenvolva competências que o conduzam

a:

Ser capaz de continuar aprendendo;

Preparar-se para o trabalho;

Desenvolver o senso crítico e estético;

Inferir a teoria a partir da prática.

Abra, leia, aproveite e vença todos os obstáculos, pois o sucesso vai depender de seu

esforço pessoal, logo:

• Você precisa ler todo material de ensino; • Você deve realizar todas as atividades propostas • Você precisa organiza-se para estudar.

Nesse contexto, Göethe recomenda: “Qualquer coisa que você possa fazer ou sonhar,

você pode começar. A coragem contém em si mesma o poder, o gênio e a magia”.

Bom Estudo! Equipe do Polivalente

COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE“Qualidade na Arte de Ensinar”

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


2

SUMÁRIO APRESENTAÇÃO ............................................................................................. 1 SUMÁRIO ....................................................................................................... 2 INTRODUÇÃO................................................................................................. 4 SUCESSÕES.................................................................................................... 5

PROGRESSÕES ARITMÉTICASG ..................................................................................................... 5 FÓRMULA DO TERMO GERAL ......................................................................................................... 5

EXERCÍCIOS ............................................................................................................................. 5 TESTES ..................................................................................................................................... 6

PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) ..... 7 EXERCÍCIOS ............................................................................................................................. 7 TESTES ..................................................................................................................................... 8

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.) ............................................................. 9 DEFINIÇÃO ................................................................................................................................... 9 FÓRMULA DO TERMO GERAL ......................................................................................................... 9

EXERCÍCIOS ............................................................................................................................. 9 TESTES ................................................................................................................................... 10

PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA............. 11 2ª PROPRIEDADE........................................................................................................................ 11

TESTES ................................................................................................................................... 12 GEOMETRIA PLANA ...................................................................................... 13

TRIÂNGULO EQUILÁTERO ........................................................................................................... 13 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 14

QUADRADO ................................................................................................................................. 14 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 15 TESTES ................................................................................................................................... 15

GEOMETRIA PLANA ...................................................................................... 16 HEXÁGONO.................................................................................................................................. 16

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 17 CIRCUNFERÊNCIA ....................................................................................................................... 17

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 18 TESTES ................................................................................................................................... 19

GEOMETRIA ESPACIAL SÓLIDOS GEOMÉTRICOS – POLIEDROS.................... 20 SUPERFÍCIE POLIÉDRICA............................................................................................................ 20 TIPOS DE SUPERFÍCIE POLIÉDRICA............................................................................................ 20 POLIEDROS................................................................................................................................. 20 PROPRIEDADES DOS POLIEDROS CONVEXOS ............................................................................. 21


GEOMETRIA ESPACIAL ................................................................................. 23 PRISMAS..................................................................................................................................... 23 ELEMENTOS DO PRISMA.............................................................................................................. 23

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 24 O PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO................................................................................................ 25

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 25 O CUBO ....................................................................................................................................... 26

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


3


GEOMETRIA ESPACIAL ................................................................................. 28 CILINDRO ................................................................................................................................... 28 O CILINDRO EQUILÁTERO........................................................................................................... 28


GEOMETRIA ESPACIAL ................................................................................. 30 PIRÂMIDE ................................................................................................................................... 30

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 31 CONE........................................................................................................................................... 32 CONE EQUILÁTERO ..................................................................................................................... 32

EXERCÍCIOS ........................................................................................................................... 32 ESFERA ....................................................................................................................................... 33


GLOSSÁRIO.................................................................................................. 37 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 38

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


4

INTRODUÇÃO

Você esta recebendo o módulo de Matemática relativo ao Ensino Médio. Você terá

contato com teorias importantes que vão proporcionar um desempenho eficiente durante o seu Curso.

Este material didático foi produzido pela Equipe do Colégio Polivalente, como uma

contribuição que orientará a Educação de Jovens e Adultos, terceiro segmento, constituídos de 1ª, 2ª

e 3ª séries do Ensino Médio.

Nossa linha de trabalho abre um caminho atraente e seguro pelas seqüências das

atividades – leitura, interpretação, reflexão – e por fazer com que o aluno aprenda aliando a teoria à

pratica. Nessa busca temos aprendido que desenvolvemos competências quando vamos além daquilo que

é esperado de um aluno, quando fazemos, mais do que apenas cumprir com o nosso dever.

Foi assim que nos tornamos pioneiros com iniciativas como a “Educação a Distância”,

alternativa que aparece como solução para aqueles que buscam conhecimento acadêmico, não tiveram

acesso à educação na época certa, e têm pouca disponibilidade de tempo.

Para viabilizar iniciativas como essa não bastou uma decisão do Polivalente. Contamos

com a colaboração de muitos profissionais, trazendo informações, visões, experiências, tecnologias, todos

com o objetivo em comum: a coragem de mudar na busca de um ensino de qualidade.

A coordenação e Tutores/Professores irá acompanhá-lo em todo o seu percurso de

estudo, onde as suas dúvidas serão sanadas, bastando para isso acessar o nosso site:

www.colegiopolivalente.com.br.

Equipe Polivalente

COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE “Qualidade na Arte de Ensinar”

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


5

SUCESSÕES Uma seqüência ou sucessão fica estabelecida quando os elementos numéricos que a formam apresentam certa ordem lógica. Um exemplo disto é a lista de chamada de uma turma. Para cada número existe um nome correspondente em ordem crescente, de tal forma que o professor pode fazer a chamada numericamente. Outro exemplo é uma seqüência numérica com números naturais. O conjunto dos números naturais pressupõe uma contagem, onde o primeiro termo é o zero e o último termo é indefinido, ou seja, quanto maior é o número imaginado haverá sempre outro que o ultrapassa. Considerando uma seqüência de n temos, o primeiro termo a, e o último an (termo de ordem n) podemos exemplificar uma seqüência conforme abaixo.

A lei de formação é, também, um fator importante das seqüências. No caso da sucessão apresentada acima, a lei de formação dos termos nos permite observar que o primeiro termo (1) foi somado o número quatro (4) dando resultado igual a cinco (5) e esta soma foi usada daí em diante de forma repetida gerando os termos subseqüentes. As seqüências podem ser finitas ou infinitas . Nas finitas o número de termos (n) é um natural definido e os números que participam das mesmas são delimitados por parênteses. No caso das infinitas o número de termos (n) é indefinido e a escrita termina com reticências (...). Veja algumas seqüências abaixo. Classifique-as como finita ou infinita e tente descobrir a lei de formação de cada uma delas.

a) (1,3,5,7,...) b) (0,2,4,6) c) (1,2,4,8,...) d) (1,1,2,3,5,...) e) (-2,2,-4,4,-6,6)

seqüência – seguimento; continuação; série. sucessão – que vem depois ou em seguida; continuo;

consecutivo. finito – acabado; findo; terminado; que determina o

número de alguma coisa. infinito – não finito; inumeráveis, infindo; não tem

determinar o número de alguma coisa.

PROGRESSÕES ARITMÉTICASG

DEFINIÇÃO

Progressão Aritmética é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado razão (r) da progressão. Logo, a1, a2, a3, a4,... é uma progressão aritmética (P.A.) quando:

ra2 a 1 =−

r2 a3 a =−

r3a4a =−

................. ( ) r1n an a =−−

EXEMPLOS:

a) P.A.(1,3,5,7,9,11,13)→ P.A. finita, crescente de razão r=2.

b) P.A.(8,5,2,-1,-4...)→ P.A. infinita, decrescente de razão r=-3.

c) P.A.(7,7,7...)→ P.A. infinita, constante de razão r=0.

d) P.A. →⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛25

,2,23

,1,21

P.A. finita, crescente de razão

r=1/2.

FÓRMULA DO TERMO GERAL Consideremos a P.A.(2,4,6,8,...) Então

Podemos concluir que: Na=a1+ (n-1) r na = enésimo termo (termo geral)

1a = primeiro termo n = número de termos r = razão

EXERCÍCIOS 01. Escreva os três primeiros termos da P.A. que

apresenta a1 = 3 e razão r=4.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


6

02. Determine o termo geral da P.A.(1,3,5,...) 03. Em uma P.A. de razão r=5, o primeiro termo

vale 4. Qual é a posição do termo igual a 39? 04. Determine o 5° termo da P.A.(-5,2,...) 05. Calcular a razão e o 5° termo da P.A.(3,9,15,...) 06. Determine o número de termos da P.A.(-

3,1,5,...113). 07. Ache o número de múltiplos de 5 compreendidos

entre 21 e 623. 08. Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.

TESTES 01. Marque a resposta certa, considerando a

P.A.(2,0,...). A P.A. possui razão igual: a) A dois b) Ao simétrico do primeiro termo. c) A zero. d) A média aritmética entre dois primeiros termos. e) Ao produto dos dois primeiros termos.

02. Dê a soma das alternativas corretas, considerando que a1=5 e a5=37.

01) a2=13 02) a4=29 04) r=5 08) a4=21 16) r=8 32) a2=7 64) a3=21 03. Considerando a P.A.(1,1/2,...), marque a única

resposta certa, nas opções a seguir. a) A razão da P.A. é 1. b) A P.A. é constante e tem razão 1/2. c) A P.A. é crescente e tem razão -1/2. d) O número de termos é 9. e) A P.A. é decrescente e tem razão -1/2. 04. (CEFET-Adaptada) As medidas dos três lados de

um triângulo formam uma P.A. de razão 5m. Considerando as afirmações abaixo, a soma das alternativas corretas é:

01) A hipotenusa vale 25m. 02) O perímetro do triângulo mede 60m. 04) Os lados medem 3m,4m e 5m. 08) A área do triângulo vale 150m2. 16) A hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos

catetos. 32) O triângulo é um polígono que apresenta 3

diagonais. 64) Os lados deste triângulo podem ser obtidos pelo

Teorema de Pitágoras. 05. Quantos são os múltiplos naturais de três, com

três algarismos? a) 200 b) 100 c) 300 d) 400 e) 50 06. Calcule a soma das alternativas abaixo, que

correspondem às respostas corretas. 01) O número de termos da P.A.(5,10,...,785) é

157. 02) O sexagésimo número natural é 120. 04) Em uma P.A. de razão 3 o 7° termo vale 21. O

primeiro termo da P.A. é 2. 08) Existem 142 naturais múltiplos de sete e

inferiores a mil. 07. O termo geral da PA (-3, -1, 1, ...) é: a) an = n + 2 b) an = n + 5 c) an = 2n - 2 d) an = 2n -6 e) an = n - 2

O perdão nos liberta para que possamos amar novamente.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


7

PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

(P.A.) Seja a P.A. finita (3,6,9,12,15,18,21,24,27)

1ª PROPRIEDADE

Observamos que os termos eqüidistantes dos extremos possuem a mesma soma. Assim podemos ver que: 3+27=30 6+24=30 9+21=30 12+18=30 Daí decorre a seguinte propriedade: A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos de uma P.A. é constante e igual à soma dos extremos. Assim, dada a P.A. finita:

2ª PROPRIEDADE

Observando ainda a P.A. anterior notamos que o número de termos é ímpar, isto é, n=9. Quando isto ocorre aparece, então, o termo médio (am) ou termo central da P.A. Este termo é a média aritmética dos extremos. Desta forma podemos concluir que:

2n a1 aam

+=

Logo, na P.A. apresentada

15230

2273

m a ==+

=

Notemos que 5 am a = neste caso.

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Observando o termo médio notamos que, para obtermos a soma dos termos de uma P.A. precisamos fazer a soma dos termos eqüidistantes num total de vezes que equivale à metade do

eqüidistante – estar longe de dois pontos igualmente.

número de termos. Assim a soma dos “n” termos de uma P.A. pode ser calculada através da fórmula:

( )

2nna1a

nS⋅+

=

Quando sabemos o valor do termo médio am, isto é, quando n é ímpar podemos usar a fórmula: nmanS ⋅=

EXERCÍCIOS 01. Determine o valor da soma do segundo termo

com o penúltimo termo de uma P.A. sabendo que a soma dos extremos vale 200.

02. Calcule o termo médio de uma P.A. que

apresenta 11 termos sabendo que o 1° termo vale 5 e o 11° termo vale 41.

03. Determine a soma dos termos da P.A.

(0,6,12,18,24,30,36,42) 04. Calcular a soma dos 20 primeiros termos da P.A.

(2,5,8,...) 05. Calcular o vigésimo sexto termo da P.A. (-38,-

36,-34,...). 06. Numa P.A. a1=-3 e r=5. Calcular a soma dos 30

primeiros termos dessa P.A.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


8

07. Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.

08. O primeiro termo de uma P.A. é -10 e a soma

dos oito primeiros termos é 60. Calcular a razão dessa P.A.

09. Numa P.A. limitada em que o 1° termo é 3 e o

último termo é 31, a soma de seus termos é 136. Então, essa P.A. tem:

a) 8 termos b) 10 termos c) 50 termos d) 16 termos e) n.d.a

TESTES 01. (PUC-PR) – Numa progressão aritmética, com

número ímpar de termos, se os extremos são -2 e 20, o termo médio é:

a) 9 b) 12 c) 7 d) 16 e) 10 02. Dê a soma das alternativas corretas, abaixo: 01) Sendo S=20 e n=5 numa P.A., então o termo médio é 4. 02) Numa P.A. finita de 21 termos a11 04) A soma dos cem primeiros números naturais positivos é 5050. 08) A soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 11 e 91 é 45. 03. (MACK-Adaptada)- O valor de x, tal que os

números 2x, 3x e x2 sejam termos de uma progressão aritmética é

a) 30° b) 20/4 c) 161/3-2 d) 4°+1 e) 20°+91/2 04. (PUC-Adaptada)- A soma de todos os quarenta

primeiros números naturais (excluindo o zero) pode ser:

01) Calculada pela fórmula S40= 402

41a1a ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + .

02) Igual a 10. 04) Igual a 820.

08) Calculada pela fórmula 402401

40S ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += .

16) Calculada pela fórmula nmanS ⋅= porque “n” é ímpar.

32) Calculada pelo desenvolvimento de (1+n)2 . 64) Igual a 10 (92)+10. 05. (PUC)- A soma dos n primeiros termos de uma

progressão aritmética é n2+2n. O décimo termo dessa P.A. vale.

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 06. (UFPR) A soma dos n primeiros números

ímpares positivos é igual: 01) A soma dos n primeiros números pares positivos menos o número n. 02) A razão entre o quadrado do número n e o último termo. 04) À média aritmética dos termos médios. 08) Ao quadrado do número de termos. 16) Ao quadrado do último termo. 32) Ao duplo produto do número n. 07. (U.F. RS) Três números estão em P.A. A soma

destes números é 15 e o seu produto 105. Qual é a diferença entre o maior e o menor

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 08. (PUC-SP) Numa progressão aritmética o termo

geral é an = 3n + 2. A soma dos 20 primeiros termos é:

a) 62 b) 67 c) 310 d) 620 e) 670 09. (CESESP-PE) Dois andarilhos iniciam juntos uma caminhada. Um deles caminha uniformemente 10Km por dia e o outro caminha 8 Km no 1º e acelera o passo de modo a caminhar mais ½ km a cada dia que segue. Assinale a alternativa correspondente ao número de dias caminhados para que o 2º andarilho alcance o 1°. a) 10 b) 9 c) 3 d) 5 e) 21 10. (FEI-SP) Em uma progressão aritmética a soma

do 1° com o 4º termo é 16 e a soma do 3º com o 5º termo é 22. A soma dos 6 primeiros termos dessa progressão é:

a) 100 b) 90 c) 80 d) 70 e) 60

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


9

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.)

DEFINIÇÃO Progressão Geométrica é uma seqüência de números diferentes de zero na qual o termo futuro se obtém pela multiplicação do termo atual por um número fixo chamado de razão (q) da progressão.

EXEMPLOS: a) P.G.(1,2,4,8,16,32,64)→ P.G. finita, crescente

de razão q=2. b) P.G.(27,9,3,...)→ P.G. infinita, decrescente de

razão q=1/3. c) P.G.(7,7,7,...)→ infinita, constante de razão

q=1. d) P.G.(5,-5,5,-5,...)→ P.G. infinita, alternante da

razão q=-1. e) P.G.(3,-6,12,-24)→ P.G. finita, alternante de

razão q=-2.

f) P.G. →⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛321

,161

,81

,41

P.G. finita, decrescente de

razão q=1/2. CURIOSIDADES As progressões geométricas, quando são crescentes (q>1) produzem termos que ultrapassam seus similares nas progressões aritméticas. Veja a demonstração abaixo: P.A.(2,4,6,8,10) a1=2 r=2 P.G.(2,4,8,16,32) a1=2 q=2 Observamos que o primeiro termo e a razão são os mesmos, mas o processo de cálculo é outro. Na P.A. a soma da razão tem efeito mais lento sobre o valor de cada termo do que na P.G., em que os termos ficam multiplicados. Talvez seja este o estopim da explosão demográfica em nosso planeta, pois os humanos, em número de 5.500.000.000 aproximadamente, multiplicam-se constantemente desde os mais antigos tempos, como em uma P.G. Enquanto isso, a produção de alimentos não tem acompanhado este crescimento. Parece que aumenta de forma lenta, como uma P.A..

FÓRMULA DO TERMO GERAL Consideremos a P.G.(2,4,8,16...) onde a razão q=2. Então:

Podemos concluir que:

( )1nq1ana−⋅=

(FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G.)

an = termo geral

a1 = primeiro termo] q= razão n= número de termos

EXERCÍCIOS 01. Calcular a razão de cada uma das seguintes

P.G.: a) (2,4,8,...) b) (3,12,48,...) c) (10,5,...) d) (10,40,...)

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛,...

21

,1

f) ( ,...2,2 ) 02. Escreva: a) Uma P.G. de 5 termos em que a1=2 e q=3. b) Uma P.G. de 6 termos em que a1=-3 e q=2.

c) Uma P.G. de 5 termos em que a1=540 e q=31 .

03. Encontrar o termo geral da P.G.(2,8,...). 04. Achar o décimo termo da P.G.(2,6,...). 05. Numa P.G. de quatro termos a razão é 5 e o

último termo é 375. Calcular o 1° termo dessa P.G.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


10

06. Numa P.G., a1=41

e a7=16. Calcule a razão

dessa P.G.. 07. Qual é o valor do sétimo termo da

P.G. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ,...

21

,41 .

08. Calcular o valor de x, de modo que os números

(x+1),(x+4),(x+10) formem, nesta ordem, uma P.G.

TESTES 01. Marque a resposta certa considerando o cálculo

do termo geral da P.G.(1,2...) a) n2na =

b) n2na =

c) 1n2na −=

d) 2/n2na =

e) a n/2nn= 02. Dê a soma das alternativas corretas, abaixo,

considerando a P.G.(2,2 ,...4,2 )

01) q=2 2/1

02) a o21=

04) a 6211=

08) q=22

16) 3a1a2a ⋅=

32) a 324=

64) q=2 ( )12 − 03.(UFPR) Calcular a razão de uma P.G., sabendo-se

que seu 1° termo é o dobro da razão e que a soma dos dois termos é 24.

a) 4 ou -3 b) -4 ou 3 c) 5 ou 3 d) -5 ou 3 e) n.d.a. 04. (Cesgranrio) Se x e y são positivos e se x, xy e 3x estão, nessa ordem, em progressão geométrica, então o valor de y, é: a) 2 b) 2 c) 3 d) 3 e) 9

05. (PUC-Adaptada) O terceiro termo de uma seqüência geométrica é 10 e o sexto termo é 80. Então...

01) A razão da seqüência é 2. 02) O primeiro termo é 2,5. 04) O quinto termo é 20. 08) A razão é 1/2. 16) A soma do segundo termo com o terceiro é 15. 32) 5a2a6a1a ⋅=⋅

06 (MACK) A razão da P.G.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−−,...

2731018

,9

324,

933

é

a) 3

33 −

b) 3

33 +

c) 2

323 −

d) 3

323 +

07. (CESGRANRIO-RJ-Adaptada) Os três primeiros

termos de uma P.G. são ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 62,32,2 . Dê a

soma das alternativas corretas, abaixo.

01) q=2

6 52

02) 14a =

04) q=2 61

−

08) 2/121a−=

16) o103a =

32) q3a =

64) a 24= 08. (U.F.ES) A soma dos termos de ordem impar de

uma P.G. infinita é 20 e a soma dos termos de ordem par é 10. O 3º termo dessa P.G. é:

a) 4

15

b) 211

c) 5 d) 4

e) 213

Espera pelo Senhor, tem bom ânimo, e fortifique-se o teu coração; espera, pois, pelo Senhor. (Salmo 27:14

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


11

PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Consideremos a P.G.(2,4,8,16,32,64,128) onde a razão q=2, a1=2 e n=7.

1ª PROPRIEDADE

Observamos que o produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante:

a1 x a7 2 x 128 = 256 a2 x a6 4 x 64 = 256 a3 x a5 8 x 32 = 256

Isto nos permite enunciar que: O produto de dois termos eqüidistantes dos extremos de uma P.G. é constante e igual ao produto dos extremos.

2ª PROPRIEDADE Observando, ainda, a P.G. anterior, notamos que seu número de termos é um natural ímpar, isto é, n=7. Então neste caso, aparece o termo médio (am) que é calculado pela média geométrica entre os extremos. Desta forma podemos concluir que: na1ama ⋅=

Logo, na P.G. apresentada: 16256128.2ma ===

Notemos que 4ama = neste caso.

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA LIMITADA

O processo usado para somar os termos de uma P.G. limitada utiliza duas fórmulas equivalentes. O uso de cada uma delas depende da natureza do problema proposto. Considerando a P.G.(a1, a2, a3,...,na) a soma dos n termos desta sucessão será dada por: na...3a2a1anS ++++=

1q

1nq1a

nS ou 1q

1aqnanS

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=−−⋅

=

Nos dois casos poderemos calcular a soma dos termos, porém, os elementos das fórmulas diferem um pouco. Para exemplificar este tópico, relatamos a lenda que conta como o Matemático inventor do jogo de xadrez preferiu ser pago, depois de ensiná-lo ao Rei da Pérsia. Questionado sobre a forma de pagamento que gostaria de receber, ele pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois

pela segunda, quatro pela terceira e assim sucessivamente até a 64ª casa. É claro que a soma destes grãos seria o seu pagamento. O Rei não deu muita importância ao Matemático e riu-se da proposta. Depois de muitas horas de cálculo os Matemáticos da corte ainda não conheciam o número, mas sabiam que era grande demais para ser verdade. Sabemos, agora, que esta operação é a soma dos 64 termos de uma P.G. de razão q=2, e primeiro termo a1=1. Então para o cálculo desta

soma usamos a fórmula S1q

1nq1a

n −

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

= porque os

elementos a1 e q estão evidentes.

Assim, S64= 164212

16421−=

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

, que é o

total a ser pago. Esta quantidade de grãos de trigo cobriria toda a superfície da Terra com uma camada de 2 cm de altura.

Consideremos a P.G. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛,...

41

,21

,1 . Assim

temos uma P.G. ilimitada porque o número de termos tende ao infinito ( )∞→n . Além disso, o

termo na tende para zero ( )0na → . Notamos também que a razão é um número fracionário compreendido entre zero e um. Nas progressões geométricas ilimitadas: -1<q<1 e q≠0 A fórmula que permite o cálculo da soma dos termos de progressões geométricas desta natureza pode ser obtida quando desenvolvemos e

adaptamos a fórmula Sn=1q

1aqna−−⋅

para a realidade

do problema proposto. Considerando an=0, teremos:

Sn= :Logo .1q1a

1q1aq0

−−

=−−⋅

Sq1

1a−

=∞

No caso particular da P.G. considerada:

a 11= q=1/2 S 2

211

21

1

1==

−=∞

EXERCÍCIOS

01. Calcular a soma dos seis primeiros termos da P.G.(1,3,9,...).

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


12

02. Calcular a soma dos vinte primeiros termos de uma P.G. em que a1=1 e q=2.

03. Numa P.G. a soma dos termos é 728. Sendo

na=486 e q= 3, calcular o primeiro termo dessa P.G.

04. Interpolar três meios geométricos entre 3 e 48. 05. Inserir quatro meios geométricos entre 1 e 243. 06. Determine o termo médio de uma P.G. onde

a1=1 e a5=81. 07. Em uma P.G. de sete termos a2=2 e a6=32.

Determine o produto de a1 por a7. 08. Calcule a soma dos termos da

P.G. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛,...

161

,41

,1 usando a fórmula da P.G.

ilimitada. 09. (MACK)- Em uma P.G., o primeiro termo é 2 e o

quarto termo é 54. O quinto termo dessa P.G. é: 10. Calcular a fração geratriz da dízima 0,313131...

TESTES 01. (ESP.SANTO) Qual deve ser a razão de modo

que os termos x-2, x,x+4 formem, nesta ordem uma progressão geométrica?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 3 02. “Insere-se três meios geométricos entre os

número dezesseis e oitenta e um”. Marque a soma das alternativas corretas.

01) Forma-se uma P.G. onde a razão vale três meios.

02) O termo médio da P.G. formada vale trinta e seis.

04) O penúltimo termo vale vinte e quatro. 08) A razão pode ser obtida pela divisão entre o

quarto termo e o terceiro termo. 16) A soma dos termos da P.G. vale duzentos e dez. 32) A soma de a1 com a2 dá o mesmo valor que a soma de a4 com a5. 64) Em uma P.A. 5a2a6a1a +=+

03. Um computador foi comprado por R$ 2000,00.

Sabendo que o mesmo desvaloriza 20% ao ano, quanto deverá valer, daqui a 3 anos?

a) R$ 2000,00 b) R$ 1600,00 c) R$ 1000,00 d) R$ 1024,00 e) R$ 924,00 04. Marque a soma das opções corretas

considerando a P.G.( x-1;x;x+2;...). 01) q=2 02) a1=2 04) a2=2 08) a4=8 16) S5=31 32) x=4 64) 3x+1=7 05. (UEPG) Para que os números 4, 8 e 14 formem,

nesta ordem, uma P.G. é necessário adicionar a cada um deles o número:

a) 3 b) 5 c) 4 d) -3 e) -4 06. (PUC-SP) Qualquer que seja x, os números (x – 1)², x² + 1 e (x + 1)², nessa ordem formam: a) uma progressão aritmética de razão 2. b) uma progressão aritmética de razão 2x. c) uma progressão geométrica de razão 2. d) uma progressão geométrica de razão 2x. e) uma seqüência que não é progressão aritmética

e nem progressão geométrica.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


13

07. (PUC-PORTO ALEGRE-Adaptada) Os termos extremos de uma progressão geométrica crescente são 1 e 243. Se a soma dos termos dessa progressão é 364 então calcule a soma das alternativas abaixo, que correspondem às respostas corretas.

01) O produto da razão pelo número de termos é dezoito.

02) A razão vale seis. 04) O termo médio vale vinte e sete. 08) A soma do segundo com o penúltimo termo vale

oitenta e quatro. 16) O número de termos é o dobro da razão.

32) q= 1n 53− .

64) O número de termos vale três. 08. (FATEC-SP) Se a, b e c são números naturais

tais que a seqüência (a, b, c) é uma progressão aritmética, e a seqüência (b, 28, 2(a +c)) é uma progressão geométrica, então b é igual a:

a) 8 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20 09. (FEI-SP) Em uma progressão geométrica de

termos positivos, a diferença entre o quarto termo e o primeiro termo é 21, e a diferença entre o terceiro termo e o primeiro é 9. Podemos afirmar que a soma dos 8 primeiros termos dessa progressão é igual a:

a) 550 b) 1024 c) 856 d) 765 e) 800 10. (UN. BAURU-SP) São inseridos 5 meios

geométricos entre 4 e 2916, nessa ordem, de modo a formar uma seqüência crescente. Assinale a alternativa que indica o seu 4º termo:

a) 324 b) 729 c) 1 428 d) 108 e) 36

GEOMETRIA PLANA “Um ponto é aquilo que não tem parte alguma.” Esta foi a afirmação de Euclides-300 a.C.-, matemático grego que sistematizou e desenvolveu a matemática pitagórica, firmando seu ideal de clareza e exatidão. Por sua vez, Pitágoras afirmava: “Deus geometriza.” Dizia também: “Todas as coisas são números.” É neste contexto que surgem as primeiras idéias sobre a Geometria. No caso da Geometria Plana o estudo das figuras pode ser feito em superfícies retas ou planos.

TRIÂNGULO EQUILÁTERO O triângulo eqüilátero apresenta lados com medidas iguais. Segundo a Lei angular de Tales, todo triângulo também apresenta soma dos ângulos internos igual a 180°. Assim o triângulo eqüilátero possui ângulos com a mesma abertura, ou seja, 60°.

ELEMENTOS DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO

ℓ- lado h- altura a- apótema (raio do círculo inscrito) R- raio do círculo circunscrito S- área de superfície Na figura, observamos que o triângulo eqüilátero é concêntrico a um círculo inscrito e a outro circunscrito. Observamos também que R é o raio do círculo circunscrito enquanto o apótema a é o raio do círculo inscrito. A soma destes elementos é a altura h do triângulo.

RELAÇÕES ENTRE ELEMENTOS

h=a+R “A altura é a soma do raio com o apótema ”.

a=3h

“O apótema vale um terço da altura”.

concêntrico – que tem o mesmo centro. apótema – segmento da perpendicular baixada do centro

de um polígono regular sobre um lado: raio de um círculo inscrito num polígono regular.

Aqueles que esperam recebem muitas bênçãos

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


14

R=3h2

“O raio vale dois terços da altura”.

h=2

32l

“Fórmula da altura em função do lado”.

S=4

32l

“Fórmula da área em função do lado”.

R=33l

“Fórmula do raio em função do lado”.

EXERCÍCIOS 01. Calcular a medida da altura de um triângulo

eqüilátero de lado 10 cm. 02. Calcular a medida da altura de um triângulo

eqüilátero de perímetro 36 cm. 03. A altura de um triângulo eqüilátero mede

10 3 cm. Calcular o perímetro do triângulo. 04. Calcular o lado e o apótema de um triângulo

eqüilátero inscrito numa circunferência de raio 20 cm.

05. Encontre os valores da área e altura de um

triângulo eqüilátero de 10 m de lado. 06. Determine os valores do raio e apótema da

figura do exercício anterior. 07. Calcular o raio da circunferência circunscrita ao

triângulo eqüilátero de apótema 10 cm.

08. Qual é a área do triângulo eqüilátero inscrito num círculo de raio 2 cm.

QUADRADO Um quadrado é um polígono regular que apresenta a mesma medida nos quatro lados e a mesma abertura nos quatros ângulos retos. No quadrado encontramos elementos tais como sua diagonal, o apótema, a área. Se considerarmos um círculo circunscrito ao quadrado, iremos notar que o diâmetro deste é, também, a diagonal do quadrado.

ELEMENTOS DO QUADRADO

l - lado a- apótema R- raio do círculo circunscrito S- área de superfície


2d l= “Diagonal em função do lado.” d=2R “Diagonal em função do raio.”

R= 22l

“Raio em função do lado.” 2R=l “Lado em função do raio.”

S= 2l “Área em função do lado.”

S=2R2 “Área em função do raio.”

a=2l

“Apótema em função do lado.”

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


15

a=22R

“Apótema em função do raio.”

EXERCÍCIOS 01. Calcular a medida da diagonal de um quadrado

que tem 20 cm de lado. 02. Calcule a medida do lado de um quadrado, cuja

diagonal mede 3 2 cm. 03. O perímetro de um quadrado mede 8 cm.

Quanto mede sua diagonal? 04. Qual é a área do quadrado cuja diagonal mede

5 2 cm. 05. Determine os valores do apótema e do raio de

um quadrado de lado 20 m. 06. Um ladrilho de forma quadrada tem 30 cm de

lado. Qual é a área desse ladrilho?

07. Para ladrilhar totalmente uma parede de 27 m2 de área foram usadas peças quadradas de 15 cm de lado. Quantas peças foram usadas.

08. Calcular a relação entre o lado e o apótema de

um quadrado inscrito num círculo.

09. A raiz positiva da equação 06x52x =−− representa a medida do raio de um círculo. Calcular a área de um quadrado inscrito nesse círculo.

10. O lado do quadrado inscrito num círculo mede

10m. Calcule o apótema do triângulo eqüilátero inscrito no mesmo círculo.

TESTES 01. Marque a resposta certa considerando o valor da

diagonal de um quadrado de lado igual a 8m. a) 16m

b) 2

8m

c) 16 2 m

d) 8 2 m e) 8 m 02. Dê a soma das alternativas corretas, abaixo,

para o triângulo eqüilátero de lado igual a 20m. 01) Sua altura vale 10 3 m

02) Sua área vale 25 3 m2 04) Seu apótema mede 10m. 08) O raio do círculo circunscrito a ele mede

3320 m.

16) Sua altura é a soma do apótema e do raio do círculo circunscrito.

32) Seu apótema pode ser calculado pela divisão entre a altura e o raio.

03. Considerando a figura abaixo, marque a única

resposta certa, nas opções a seguir. a) h=3 l b) S= l . h

c) h=23l

d) S=2

323l

e) 2h=3

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


16

04. Considerando as afirmações abaixo para uma circunferência, escreva a soma das alternativas corretas.

01) A razão entre o raio de uma circunferência e a diagonal de um quadrado inscrito nesta circunferência é 2.

02) O raio de uma circunferência e o apótema de um triângulo inscrito estão na razão 1:2.

04) A razão entre o lado de um triângulo inscrito em uma circunferência e o raio desta é 3.

08) A razão entre as áreas de um triângulo eqüilátero e a de um quadrado que possuem

lados iguais é 3

4 .

16) Dividindo a diagonal do quadrado inscrito em uma circunferência pelo diâmetro desta encontramos 2.

32) O apótema de um triângulo eqüilátero inscrito mede 10 m. Então sua altura mede 30m.

05. (VUNESP) O menor país do mundo em extensão

é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4 km2. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre:

a) 200m e 201m. b) 220m e 221m. c) 401m e 402m. d) 632m e 633m. e) 802 e 803m. 06. (VUNESP-Adaptada) Na figura adiante, ABCD é

um quadrado de lado a. Tomando-se E e G nos prolongamentos da diagonal AC e F e H nos prolongamentos da diagonal BD, com EA=AC=CG e FB=BD=DH, determine a soma dos itens corretos considerando o octógono AFBGHDE.

01) A área do octógono considerado é 3ª2. 02) A diagonal do quadrado ABCD é 2ª. 04) A área do quadrado ABCD é a2. 08) O segmento EG vale 3a 2 . 16) O segmento FB vale 2ª. 32) O perímetro do quadrado ABCD vale 4ª.

geometria plana

HEXÁGONO O hexágono é um polígono regular de seis lados. Uma característica importante desta figura é que seu lado tem o mesmo valor que o raio do círculo circunscrito. No hexágono encontramos ele mentos tais como o apótema e a área. Se considerarmos um círculo circunscrito ao hexágono iremos notar que no seu interior existem seis triângulos eqüiláteros.

ELEMENTOS DO HEXÁGONO l - lado

a- apótema R- raio do círculo circunscrito S- área de superfície


l=R “O lado tem a mesma medida que o raio.”

S= 2

323l

“Área do hexágono em função do lado.”

23

al

=

“Apótema em função do lado.”

Deus está agindo em você mesmo quando a vida parece escura e sem forma.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


17

EXERCÍCIOS 01. Calcule o lado e o apótema de um hexágono

regular inscrito numa circunferência de raio 20 cm.

02. Calcule o lado de um hexágono regular inscrito

em uma circunferência de 10m de diâmetro. 03. Calcule o valor da apótema de um hexágono

regular de 3m de lado. 04. Calcular a área de um hexágono regular de lado

2m. 05. Qual a relação entre o lado de um hexágono

regular e o apótema de um triângulo eqüilátero, ambos inscritos no mesmo círculo.

06. Calcular a razão entre o lado de um triângulo

eqüilátero e o apótema de um hexágono regular, ambos inscritos no mesmo círculo.

07. Se a área de um hexágono regular mede

9 3 m2, então o lado desse hexágono mede: 08. A altura de um triângulo eqüilátero é

h=30 3 cm. Calcular o lado desse triângulo.

CIRCUNFERÊNCIA Matemáticos definem a circunferência como um polígono de infinitos lados cujos comprimentos são infinitesimais (pequenos). Na prática, a circunferência é uma linha curva que se fecha sobre ela própria guardando a mesma distância de seu centro de curvatura, através do raio R. Uma característica importante da circunferência é que a mesma possui ângulo interno igual 2 π radianos, que corresponde a 360°. O maior segmento de reta que se pode traçar em seu interior é uma corda chamada diâmetro (2R).

ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA

R- raio D- diâmetro C- comprimento da circunferência S- área de superfície

O número π (Pi)

Desde os mais antigos tempos do estudo da Geometria os matemáticos se defrontam com o intrigante número π. O π (Pi) é o resultado da divisão do comprimento de uma circunferência (C) por seu diâmetro (D)- linha esta que contém dois raios (R) da circunferência. Este número tem o valor aproximado de 3,14159265359... Até hoje não se sabe o valor final de π. Fazendo uso desta constante até a segunda casa decimal teremos π=3,14 o que não está correto, mas serve para a precisão requerida em nossos problemas escolares. Dependendo da utilização, este número pode ser notado com centenas de casas decimais. Em Astronomia e Astrofísica há necessidades desta natureza.


D=2R “O diâmetro é o dobro do raio.” C=2πR

infinitesimal – parte infinitamente pequena.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


18

“Comprimento da circunferência.” S=πR2 “Área do círculo interior à circunferência.”

EXERCÍCIOS 01. Encontre o valor do comprimento da

circunferência de 5m de raio. 02. Quanto vale a área do círculo de raio 4m? 03. O diâmetro de uma circunferência mede 20 cm.

Qual é a medida dessa circunferência. 04. A medida de uma circunferência é 37,68m.

Quanto mede o raio dessa circunferência. 05. Uma roda tem 0,40m de raio. Quantas voltas

completas essa roda dá numa distância de 7536m?

06. (MACK-SP)- Se uma pessoa der 4 voltas

completas em torno de um canteiro circular de 1,5m de raio, essa pessoa percorrerá:

a) 12πm b) 16πm c) 15πm d) 18πm e) N.d.a. 07. O comprimento de uma circunferência é de

24 2π m. Calcular o perímetro do quadrado nela inscrito.

08. Inscreve-se num círculo um triângulo eqüilátero

de lado 3

3cm. Calcular a área desse círculo.

09. Inscreve-se num círculo um quadrado de π25

m

de lado. Calcular a área desse círculo. 10. Quantos cm2 de alumínio são utilizados para se

fazer uma arruela cujas medidas estão colocadas na figura abaixo?

11. Calcular a área da superfície assinalada abaixo.

12. Calcular a área assinalada na figura abaixo de

lado 3cm.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


19

13. (MACK-SP) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte hachurada é :

14. A área hachurada, formada pelos lados do

triângulo eqüilátero inscrito no círculo de raio 12, é:

a) 3108144 −π

b) π312 c) π24

d) π− 72396

e) π− 1232 15. Sendo ABCD um quadrado de 6cm de lado,

calcule a área da região reticulada.

TESTES 01. Um hexágono possui lado igual a 20m. Então o

valor de seu apótema é... a) 20m b) 10m c) 20 3 m

d) 10 3 m

e) 3 m 02. Dê a soma das alternativas corretas: 01) O lado do hexágono tem a mesma medida do

raio da circunferência circunscrita ao mesmo. 02) O raio da circunferência é a metade do seu

diâmetro. 04) A razão entre o comprimento de uma

circunferência e seu diâmetro é π. 08) O apótema de um hexágono regular tem

expressão semelhante a altura do triângulo eqüilátero de lado l .

16) O número π é exatamente igual a 3,14. 32) Um hexágono regular possui área dada pela

fórmula S=4

32l.

03. Conhecendo os elementos geométricos, o apótema de um hexágono regular pode ser calculado pela expressão.

a) a=4

32l

b) 3R=l

c) a=23R

d) S=2

33 2l

e) a=R 3 04. Considerando as afirmações abaixo, a soma das

alternativas corretas é: 01) Se o raio de um círculo circunscrito a um

hexágono regular mede 1m, seu apótema tem aproximadamente 0,87m.

02) Quando o raio de uma circunferência mede 20m, seu comprimento é 63 m aproximadamente.

04) A área de um hexágono regular vale 54 3 m2. Então o polígono está em uma circunferência de 12m de diâmetro.

08) A área de um círculo é dada por S=4

2Dπ, onde

D é o diâmetro do círculo. 16) Uma circunferência de 2m de raio contém um

círculo de área numericamente igual ao comprimento.

05. (VUNESP) A distância entre dois lados paralelos

de um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:

a) 3 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 4 06. (ITA-Adaptada) Um hexágono regular e um

quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. Calcule a soma das alternativas abaixo que correspondem às respostas corretas.

01) A distância entre estas arestas paralelas será ( ) 2/R23 − .

02) O apótema do quadrado mede 22R

.

04) O valor do lado do hexágono é ( ) .2/R13 + 08) O lado do hexágono vale o mesmo que a

metade da diagonal do quadrado. 16) A razão entre o lado do quadrado e o lado do

hexágono é .2 32) O lado do hexágono vale o mesmo que o lado

do quadrado.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


20

GEOMETRIA ESPACIAL SÓLIDOS GEOMÉTRICOS – POLIEDROS

A Geometria Espacial difere da Geometria Plana pelo fato de tratar das figuras que apresentam três dimensões, ou seja, dos objetos que possuem comprimento, largura e profundidade. São estudados, portanto, elementos do espaço tridimensional. Observando os desenhos a seguir podemos comparar os elementos do “espaço plano” com os do “espaço tridimensional”.

SUPERFÍCIE POLIÉDRICA Entendemos por superfície poliédrica a figura formada por polígonos planos consecutivos (possuem um lado comum) não coplanares, de modo que cada lado seja comum a apenas dois polígonos.

TIPOS DE SUPERFÍCIE POLIÉDRICA

SUPERFÍCIE POLIÉDRICA CONVEXA FECHADA

Todos os lados dos polígonos são lados de dois polígonos.

SUPERFÍCIE POLIÉDRICA CONVEXA

ABERTA

Existem lados que figuram em um só polígono. Associe, por exemplo, com uma caixa sem a tampa.

• Os lados AB,BC,CD,DE,EF e FA são os únicos lados de um só polígono.

• ABCDEF⇒ poligonal fechada

POLIEDROS Poliedro é a figura limitada por um número finito de polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum e de modo que dois polígonos consecutivos se situem em planos diferentes. Poliedro é toda superfície poliédrica fechada, inclusive seu interior.

ELEMENTOS DOS POLIEDROS

• Faces: são os polígonos da superfície poliédrica.

• Arestas: são os lados dos polígonos da superfície poliédrica.

• Vértices: são os vértices dos polígonos da superfície poliédricas.

• Diagonais: são os segmentos cujos extremos são os vértices não pertencentes a uma mesma face da superfície poliédrica.

• Diagonais das faces: são as diagonais dos polígonos.

OBSERVAÇÃO Nem todos os poliedros admitem diagonais. A soma das áreas de todas as faces é a área do poliedro.

CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS QUANTO AO NÚMERO DE FACES

Tetraedro → quatro faces Pentaedro → cinco faces Hexaedro → seis faces Heptaedro → sete faces Octaedro → oito faces

EM REGULARES E NÃO REGULARES

Poliedro regular é aquele cujas faces são polígonos regulares iguais e cujos ângulos sólidos são, também, iguais. Poliedro não regular é aquele que não satisfaz à definição acima.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


21

CONVEXOS E NÃO CONVEXOS

Poliedro convexo é aquele que fica situado no mesmo semi-espaço, em relação ao plano de cada face.

Poliedro não convexo é aquele que não satisfaz à definição acima.

PROPRIEDADES DOS POLIEDROS CONVEXOS

TEOREMA DE EULER Em qualquer poliedro convexo a soma do número de vértices com o número de faces é igual ao número de arestas aumentado de duas unidades. V+F=A+2

Sendo = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

°→°→°→

arestas de nAvértices de nV

faces de nF

TEOREMA A soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo vale tantas vezes quatro ângulos retos quantos são os vértices, menos duas unidades. Si=4r.(V-2) Si=360°(V-2)

EXERCÍCIOS 01. Um poliedro convexo de 20 arestas tem o

número de faces igual ao número de vértices. Calcular o número de faces e vértices.

02. Calcular o número de faces de um poliedro convexo de 21 arestas, sabendo que a soma das medidas dos ângulos das faces é 3600°.

03. A soma dos ângulos internos das faces de um

poliedro convexo é 720°. Calcular o número de

faces, sabendo-se que é 32

do número de

arestas. 04. Calcular o número de diagonais de um

tetraedro.

TESTES 01. Sabendo o número de

vértices e o número de faces de um poliedro convexo igual a 6, calcular o número de arestas deste poliedro.

02. Um poliedro convexo tem 16 arestas e nove

vértices. Qual é o número de faces do poliedro? 03. Num poliedro convexo, o número de faces é

igual a 6 e o número de vértices é 8. Qual é o número de arestas desta figura?

04. A soma dos ângulos das faces de um poliedro é

1440°. Se o poliedro tiver 10 arestas, calcular o número de faces.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


22

05. Um poliedro convexo tem 15 arestas. A soma dos ângulos de todas as faces é 2880°. Calcular o número de faces.

06. (UFPR) Empregando o teorema de Euler,

calcular a soma do número de faces e do número de vértices de um poliedro convexo de 90 arestas, sabendo que o número de faces excede o de vértices de 16.

07. Num poliedro convexo de 28 arestas, o número

de faces é 2/3 do número de vértices. Calcular o número de vértices.

08. Quantas são as faces de um poliedro convexo

cujo número de vértices é 2/3 do número de arestas e o número de faces é 3/4 do número de vértices?

09. (C.I. CE) Um poliedro convexo P possui 7654

faces, todas triangulares. Entre as 5 afirmações abaixo, exatamente uma é correta. Assinale-a:

a) P tem 11 482 arestas. b) Um tal poliedro não pode existir. c) Cada vértice de P pertence exatamente a 2

faces. d) P tem 3 829 vértices. e) As arestas de P tem todas o mesmo

comprimento. 10. (CESESP-PE) Assinale, dentre as alternativas

abaixo, a única que completa corretamente a sentença: “Unindo-se, dois a dois, os pontos médios das arestas contíguas de um tetraedro regular, obtém-se...”

a) ainda um tetraedro regular. b) um hexaedro regular. c) um octaedro regular. d) um icosaedro regular. e) um dodecaedro regular.

11. (MACKENZIE-SP) Na figura, a aresta BC do cubo é prolongada até o ponto D tal que BC = CD. Em seguida, ligamos o vértice A ao ponto D. Nessas condições, o ângulo θ tem medida:

a) arc sen 332

b) arc tg 33

c) arc tg 22

d) arc cos 22

e) 45º 12. (CESGRANRIO) O ângulo A HF̂ , formado pelas

diagonais AF e FH de faces de um cubo, vale: a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 108º 13. (Cesgranrio) Um poliedro é formado por 80

faces triangulares e 12 pentagonais. O número de vértices do poliedro é:

a) 80 b) 60 c) 50 d) 48 e) 36 14. (E.E. SÃO CARLOS-USP) Assinale a afirmação

falsa: a) As secções normais de um diedro são iguais. b) Um diedro reto tem as faces perpendiculares

entre si. c) Dois diedros opostos pela aresta são iguais. d) Os planos bissetores de dois diedros adjacentes

e suplementares são perpendiculares. e) Uma das afirmações acima é errada.

O que posso fazer para encorajar alguém que esteja se sentindo desamparado?

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


23

GEOMETRIA ESPACIAL

PRISMAS

São objetos que apresentam bases paralelas com a mesma forma. Possuem também arestas paralelas.

ELEMENTOS DO PRISMA

ALTURA (H) É a distância entre as bases do sólido.

ÁREA DA BASE (B) As bases de um prisma são polígonos que limitam suas arestas no sentido vertical.

ÁREA DA FACE (AF)

As faces são quadriláteros que unem os polígonos das bases. Cada uma destas superfícies se interligam por linhas denominadas arestas .

ÁREA LATERAL (AL)

Somando as superfícies das faces obtemos uma área conhecida como área lateral.

aresta – quina, saliência angulosa; interseção de dois

planos; segmento de reta comum a duas faces de um poliedro.

ÁREA TOTAL (AT)

É a soma das áreas das bases com a área lateral.

VOLUME (V)

É a capacidade cúbica que existe em qualquer sólido. No caso dos prismas o volume é o produto da área da base (B) pela altura (H).

FORMULÁRIO ÁREA DE UMA FACE

HBFA ⋅= l Onde Bl é o lado do polígono da base.

ÁREA LATERAL

FAnLA ⋅=

Onde n é o número de lados do polígono da base.

ÁREA TOTAL A LAB2T += VOLUME V=B.H CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS

Oblíquo: apresenta ângulo agudo entre a base e a face. Reto: apresenta ângulo reto (90°) entre a base e a face. Irregular: apresenta base poligonal irregular. Regular: apresenta base poligonal regular. Prismas retos regulares são aqueles que apresentam faces ortogonais às bases e estas são polígonos regulares.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


24

Apresentamos a seguir os prismas retos triangular, hexagonal e quadrangular.

No caso de prismas regulares as bases são polígonos conhecidos, já que são aqueles que apresentam lados e ângulos com as mesmas medidas, respectivamente. Assim, quando precisamos saber o valor da área da base poderemos recorrer às formulas já estudadas.

EXERCÍCIOS

01. Um prisma quadrangular regular apresenta área

da face medindo 3 cm2. Determine sua área lateral.

02. Qual deve ser a área total de um prisma

triangular regular onde o lado da base mede 10 cm e sua altura vale 5 cm.

03. Um prisma quadrangular regular tem 4 dm de

altura e 6 dm de lado da base. Calcular a sua área total.

04. (PUC) O volume do prisma reto de 3 m de altura, cuja base é um hexágono regular de

2 m de lado, é: 05. (ACAFE) Um prisma de 8 dm de altura tem por

base um quadrado de 2 dm de lado. Calcular o volume do prisma.

06. Num prisma quadrangular regular, a área lateral

mede 32 m2 e o volume 24 m3. Calcular as suas dimensões.

07. A área total de um prisma hexagonal regular

que tem todas as arestas iguais a a é:

a) 8 2a

b) 2 ( )232a +

c) 3 ( )322a +

d) 3 ( )322a +

e) 3a ( )32 + 08. A área lateral de um prisma triangular regular é

108 cm2. A altura do sólido é o triplo da aresta da base. Calcular o volume do prisma.

09. Num prisma quadrangular regular, a diagonal da

face lateral mede 5 cm e a diagonal da base 3 2 cm. Calcular o seu volume.

10. Calcular a área lateral, a área total e o volume

de um prisma reto de 10 cm de altura e cuja base é um hexágono regular de apótema 3 3 cm.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


25

O PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO É um prisma que apresenta base retangular formando 90° com as faces. Pode ser estudado de maneira específica se considerarmos que é formado por dimensões a, b e c conforme mostra a figura a seguir.

EXERCÍCIOS 01. Calcule o volume de um paralelepípedo

retângulo que apresenta arestas 2cm, 3cm e 5cm.

02. Calcular a medida da diagonal de um

paralelepípedo retângulo de dimensões 5cm, 4cm e 3cm.

03. As dimensões de um paralelepípedo retângulo

são 12 cm, 10cm, e 4cm. Calcular a área total desse paralelepípedo.

04. Calcular a altura de um paralelepípedo retângulo

cuja diagonal mede 11m e a diagonal da base é 40 m.

05. O volume de um paralelepípedo retângulo é igual a 96 cm3. Duas de suas dimensões, medem 3cm e 4cm. Calcular a terceira dimensão.

06. Calcular o volume de um paralelepípedo

retângulo cuja soma de todas as arestas é 48m, sabendo-se que suas dimensões são números consecutivos.

07. Calcular a soma das dimensões de um ortoedro

cuja área total mede 702 dm2, sabendo que estão em progressão geométrica de razão igual a 3.

08. Quantos cm2 de papelão são gastos para fazer

uma caixa de sapatos do tipo e tamanho da figura abaixo?

09. Quantos litros de água são necessários para

encher um reservatório cujas dimensões são: 1,20m por 0,90m por 1m? (Lembre-se que 1dm3=1 l )

10. Sendo S a área lateral de um prisma triangular

regular e V o seu volume, calcule sua altura.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


26

O CUBO Quantos as faces e as bases de um prisma reto são quadrados ao sólido formado, damos o nome de cubo. O cubo pode ser entendido como um paralelepípedo retângulo cujas arestas são iguais.

EXERCÍCIOS 01. Um cubo possui aresta medindo 2 cm.

Determine o valor da sua diagonal interna. 02. (PUC)- Calcular o volume de um cubo cuja

diagonal mede 3 3 . 03. Calcular a área total de um cubo de aresta 2cm. 04. A diagonal de um cubo mede 5 3 m. Qual é a

área total do cubo? a) 140 m2 b) 100 3 m2

c) 120 2 m2 d) 150 m2 e) 100 m2 05. Se a soma das arestas de um cubo é igual a: a) 100 cm3 b) 40 cm3 c) 144 cm3 d) 216 cm3 e) 16 cm3

06. Para fazer uma caixa cúbica de papelão são gastos 150 cm2 de papelão. Qual será o volume dessa caixa?

07. Se dobrarmos a medida da aresta de um cubo: 01) Sua área fica multiplicada por 4. 02) Seu volume fica multiplicado por 8. 04) Sua diagonal fica multiplicada por 2. 08) A área de cada face fica multiplicada por 4. 08. Quantos cm2 de papel são necessários para

forrar todas as faces de um lado cuja medida está indicada na figura abaixo?

09. (PUC-RS) Seccionando-se um cubo conforme a

figura, obtém-se um retângulo de 6 2 m2 de área. A diagonal desse cubo, em metros, mede:

a) 16 b) 6 6

c) 2 3

d) 2 2

e) 3 2 10. Aumentando-se 1 m a aresta de um cubo, sua

área lateral aumenta 164 m2. O volume do cubo original é:

a) 6000 m3 b) 8000 m3 c) 7000 m3 d) 12000 m3 e) 10000 m3

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


27

TESTES 01. Marque a resposta certa considerando o valor da

área total de um paralelepípedo retângulo de 1m, 2m e 3m.

a) 6 m2 b) 2 m2 c) 18 m2 d) 22 m2 e) 20 m2 02. Dê a soma das alternativas corretas,

considerando o prisma regular a seguir.

01) A área de uma face mede 10 cm2. 02) A área lateral vale 60 cm2. 04) Seu volume é 75 3 cm3. 08) Sua área lateral mede 135 cm3. 16) O polígono da base é um hexágono. 03. Considerando o prisma regular a seguir

determine o valor de seu volume, sabendo que a sua altura é igual a aresta de sua base.

a) 8 3 m3. b) 2 m

c) 8 m3 d) 16 m3 e) 16 3 m3 04. Considerando as afirmações abaixo, a soma das

alternativas corretas é : 01) O prisma quadrangular regular onde a altura é

igual ao lado da base é um cubo. 02) A diagonal de um cubo de arestas iguais a 6 m

mede 10,4 m aproximadamente. 04) O volume de um cubo de diagonal 8 3 m é 64

m3. 08) A área da base de um prisma regular hexagonal

é dada por S=4

32l em função do lado do

polígono da base. 16) Um quadrado inscrito em um círculo de 12 m de

diâmetro é base de um cubo de 216 m3. 32) Um triângulo eqüilátero de 20 cm2 é base de um

prisma regular de altura 5 cm. Logo, seu volume vale 100 cm3.

05. (ITA-SP) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma é:

a) 27 3 cm3

b) 13 3 cm3 c) 12 cm3 d) 54 3 cm3

e) 17 5 cm3 06. (ITA-Adaptada) – As dimensões x,y,z de um

paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área do paralelepípedo é igual a 694 cm2, dê a soma dos itens corretos.

01) O volume do sólido é 1155 cm3. 02) Uma das dimensões é 11 cm. 04) A área da maior face é 165 cm2. 08) A razão da P.A. entre as dimensões vale 4. 16) A soma de duas dimensões vale 18 cm. 07. (CESGRANRIO) A diagonal de um paralelepípedo

de dimensões 2, 3, e 4 mede: a) 5 b) 25 c) 34 d) 6 e) 29 08. (U.E. LONDRINA-PR) As dimensões de um

paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 2, 3 e 5. Se a diagonal do paralelepípedo mede 3810 cm, o seu volume, em cm³, é:

a) 100 b) 300 c) 1000 d) 3000 e) 30000 09. (FUVEST-SP) Qual é a distância entre os centros

de duas faces adjacentes de um cubo de aresta 4?

a) 2 b) 22 c) 4 d) 24 e) 8 10. (FATEC-SP) Na figura tem-se um prisma reto

cuja diagonal principal mede 2a3 . A área total desse prisma é:

a) 30a² b) 24a² c) 18a² d) 12a² e) 6a² 11. (U.E. PONTA GROSSA-PR) As medidas internas

de uma caixa d’água em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2m, 1m e 0,7m. Sua capacidade é de:

a) 8.400 l d) 8,4 l b) 84 l e) NDA c) 840 l

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


28

GEOMETRIA ESPACIAL

CILINDRO É um sólido de revolução que possui base circular. O cilindro que estudaremos é considerado um sólido de revolução porque a partir de um retângulo, capaz de girar em torno de um de seus lados, o sólido é gerado.

Onde: R- raio da base h- altura do cilindro (geratriz)

O CILINDRO EQUILÁTERO Um tipo de cilindro reto é o cilindro eqüilátero. Este sólido é assim chamado porque sua altura tem a mesma medida do diâmetro da base. Olhando o cilindro eqüilátero de frente podemos confundi-lo com um quadrado por causa de suas características.

EXERCÍCIOS

01. Calcular a área lateral de um cilindro cujo raio

de base mede 5 cm e a altura 2 cm.

02. Determinar a área da base de um cilindro que apresenta 10 m de raio da base.

03. Encontre o volume de um cilindro de 4 m de

altura e base 5 m2. 04. Calcule o valor da área total de um cilindro

eqüilátero de 2m de raio da base. 05. Determine o valor da área lateral do cilindro

eqüilátero de 3m de raio da base. 06. O volume do cilindro eqüilátero é 16 πm3.

Calcular o raio do cilindro e a altura. 07. Um cilindro circular reto tem volume 16 dm3 e a

área lateral 8 dm2. Calcular o raio da base. 08. A área da base de um cilindro eqüilátero é

25 πm2. Calcular a área lateral e o volume do cilindro.

09. Calcular a área lateral de um cilindro circular de

perímetro da base igual a 12 cm e altura igual a 8 cm.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


29

10. O volume do sólido representado pela figura é: a) 8 π b) 4 π

c) 5 π d) 3 π e) N.d.a.

TESTES 01. Marque a resposta certa considerando que

podemos saber o valor da área total, em metros quadrados, de um cilindro reto que apresenta raio da base igual a 4 m e altura igual a 6 m.

a) 10 π b) 20 π c) 40 π d) 80 π e) 30 π 02. Dê a soma das alternativas corretas, abaixo. 01) O cilindro eqüilátero de altura 4m possui raio da

base igual a 2m. 02) Um cilindro eqüilátero de raio da base 3m possui

área lateral igual a 36 m2. 04) O cilindro eqüilátero de raio da base 2m possui volume igual a 16 πm3. 08) A base um cilindro mede 12,56m2 e sua altura 10m. Seu volume é 126 m3 aproximadamente. 16) Se a base (em metros quadrados) de um cilindro possui área igual ao seu comprimento então o raio desta mede 2m. 03. (FATEC-Adaptada) Um tanque tem a forma de

um cilindro circular reto de altura 6m e raio da base 3m. O nível da água nele contida está a 2/3 da altura do tanque. Se π=3,14, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é: Adote: 1 litro=1dm3

a) 113040 b) 169560 c) 56520 d) 37680 e) 56250 04. (FAAP-Adaptada) Sabendo-se que uma lata de

azeite cilíndrica tem 8cm de diâmetro e 18,5 cm de altura, e ainda que nela vem marcado o conteúdo 900 ml, dê a soma das alternativas corretas abaixo. Adote: π=3,14; 1m l=cm3

01) 29,44 ml são de ar contido na lata “cheia” e “fechada”.

02) 929,44 ml é o volume total do recipiente. 04) A área da base da lata vale 50,24 cm2. 08) O raio da base mede 4 ml. 16) A lata é um cilindro eqüilátero.

05. (UFPE-Adaptada) Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 20 πm2. Calcule, em metros, o raio deste contêiner e marque a alternativa correspondente abaixo.

a) -5 b) 0 c) 1 d) -3 e) 2 06. Calcule a soma das alternativas abaixo, que

correspondem ás respostas corretas. 01) O cilindro eqüilátero de raio 6m tem altura igual

ao diâmetro. 02) Dividindo ao meio a altura de um cilindro

eqüilátero de 1m de raio encontramos dois outros cilindros cujos volumes podem ser expressos por πm3.

04) A área total de um cilindro eqüilátero onde a base apresenta comprimento igual a 12,56m é 24 πm2.

08) A área total AT de um cilindro eqüilátero de

altura h é dada por AT=2

2h3π.

16) Cortando um cilindro de raio da base R e altura H ao meio em corte longitudinal a superfície do corte pode ser calculada pela expressão S=RH.

07. (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de um

cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por:

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 08. U.F.PA) Qual é a razão entre os volumes de um

cilindro e um cubo nele inscrito?

a) 2π b) π c) 2π

d) 8π

e) 4π

09. (MACKENZIE-SP) A razão entre a área lateral de

um cilindro eqüilátero é

a) 21

b) 1 c) 23

d) 2 e) 3

10. U.F. ES) Um prisma hexagonal regular está

inscrito num cilindro eqüilátero. A razão entre as áreas laterais do prisma e do cilindro é:

a) π7

b) π6

c) π5

d) π4

e) π3

11. (U.F.CE) O raio de um cilindro circular reto é

aumentado de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste cilindro sofrerá um aumento de:

a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) 11%

Pela fé Abraão, quando chamado, obedeceu... e partiu sem saber aonde ia. (Hebreus 11:8)

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


30

GEOMETRIA ESPACIAL

PIRÂMIDE Para a construção de uma pirâmide precisamos considerar um plano no qual é desenhado o polígono da base. Este polígono pode ser regular ou não. Fora deste plano está um ponto que define a altura da pirâmide. É para este ponto que convergem todas as linhas que saem dos vértices do polígono da base e formam, então, o sólido em estudo.

ELEMENTOS DA PIRÂMIDE

Vértice: é o encontro de todas as linhas que saem dos vértices da base. Base: é a face oposta ao vértice da pirâmide. Faces laterais: são triângulos que formam o contorno lateral da pirâmide. Arestas da base: são os lados da base. Altura: distância vertical do vértice ao plano da base.

CLASSIFICAÇÃO DAS PIRÂMIDES NÃO REGULARES

Quando o polígono da base não é regular e a altura cai fora desta base.

REGULARES

Quando o polígono da base é regular e o pé da altura cai no interior da base. Além disso, as faces são triângulos isósceles “iguais”.

RELAÇÕES MÉTRICAS NAS PIRÂMIDES

REGULARES

DEFINIÇÕES V- vértice h- altura da pirâmide g- apótema da face m- apótema da base L- lado (aresta) da base AL- aresta lateral Relações importantes entre os elementos da pirâmide definidos:

2h2m2g += Relação entre a altura, o apótema da face e o apótema da base.

4

2L2g2La +=

Relação entre a aresta lateral, o apótema da face e a aresta da base. AL =p.g

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


31

A área lateral AL é o produto do semiperímetro da base p pelo apótema da face. AT=AL+B A área total AT é a soma das áreas lateral AL e da base B.

V=3

hB ⋅

O volume V é um terço do produto da base B pela altura h. É interessante que lembremos a validade de todas as fórmulas que definem os polígonos regulares visto que os mesmos podem caracterizar as bases das pirâmides regulares.

EXERCÍCIOS 01. Uma pirâmide de base quadrada possui aresta

da base igual a 2m e altura 3m. Calcular o volume dessa pirâmide.

02. Calcular o apótema da face de uma pirâmide,

sabendo que o apótema da base mede 3m e a altura mede 4m.

03. Uma pirâmide com 12cm de altura, tem como

base um quadrado de lado igual a 10 cm. Calcular a área lateral e o volume.

04. O apótema de uma pirâmide quadrangular

regular mede 10cm e o raio da base 6 2 cm. Calcular a área lateral e o volume da pirâmide.

05. Uma pirâmide hexagonal regular tem 6cm de

aresta da base e 10cm de aresta lateral. Calcule:

a) A área da base. b) A área lateral. c) A altura da pirâmide. d) O volume da pirâmide.

06. Qual é o volume de uma pirâmide hexagonal regular de altura 9 3 cm, sabendo que a aresta da base é 4cm?

07. Numa pirâmide regular,

a área é 120 cm2 e a área lateral é igual a cinco vezes a área da base. Calcule o volume dessa pirâmide, sabendo que a altura mede 9cm.

08. O raio da circunferência

circunscrita à base de uma pirâmide triangular

regular de 12cm de apótema é de 335

cm. A

lateral dessa pirâmide mede: a) 90 cm2 b) 45 cm2

c) 2

325cm2

d) 25 3 cm2

e) 4

325cm2

09. Uma pirâmide e um prisma têm a mesma base.

A altura da pirâmide vale o sêxtuplo da altura do prisma. Sendo v1 o volume da pirâmide e v2 o volume do prisma, mostre que v1=2v2

10. (U.F.MG) A área total de uma pirâmide regular,

de altura 30mm e base quadrada de lado 80mm, mede, em mm²:

a) 44 000 b) 56 000 c) 60 000 d) 65 000 e) 14 400

O Senhor nos proporciona oportunidades de crescimento, não importa as circunstâncias em que nos encontremos.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


32

CONE Um cone pode ser entendido com um sólido que tem base circular. Sua forma é obtida pelo encontro de suas geratrizes com o plano que define a base.

ELEMENTOS DO CONE

Base: plano que define o apoio do sólido. Vértice: ponto de encontro das geratrizes. Geratriz: é qualquer das linhas desde o vértice ao contorno da base. Altura: é a distância do plano da base ao vértice.

CLASSIFICAÇÃO DOS CONES Estudaremos o caso de cones retos onde a

base é um círculo e o pé da altura cai no interior da base.

RELAÇÕES MÉTRICAS NOS CONES RETOS

V- vértice h- altura do cone g- geratriz r- raio da base

ÁREA LATERAL

SL=π.r.g

ÁREA TOTAL

ST=π.r(g+r) g2=h2+r2

Relação entre a geratriz g, a altura h e o raio da base r.

CONE EQUILÁTERO É um cone onde a geratriz tem a mesma medida do diâmetro da base.

EXERCÍCIOS 01. Um cone reto apresenta geratriz igual a 10m e

altura 8m. Calcule o valor do raio da base. 02. Um cone tem raio da base igual a 4m e geratriz

3m. Determine sua área lateral. 03. Um cone circular reto tem raio 18 cm e altura

24cm. Calcular: a) A geratriz do cone. b) A área da base do cone. c) A área lateral do cone. d) A área total do cone. 04. Calcular a altura de um cone circular reto que

tem 2 dm de raio da base e cuja área lateral é o triplo da área da base.

05. Um cone circular reto tem 12 cm de altura e 13

cm de geratriz. Calcular o volume desse cone.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


33

06. Calcular o volume de um cone eqüilátero cuja área lateral é igual a 18π cm2.

07. Qual é o volume de sorvete que cabe dentro de

um copinho de forma cônica (casquinha), sabendo que o diâmetro do copinho é 6cm e a altura é 10cm?

08. Um cone circular reto está inscrito num cubo de

aresta a. Calcular a razão entre o volume do cubo e o volume do cone.

09. Qual é o volume de areia necessário para encher

completamente um dos cones da ampulheta, cujas dimensões estão indicadas na figura abaixo?

10. É correto afirmar que: 01) O volume do cone eqüilátero, cuja altura tem 3

dm é 3π dm3. 02)A área lateral do cone cujo volume é 12π cm3 e

cujo perímetro da base é 6π cm é 15π cm2. 04) A área lateral de um cone eqüilátero é 6π cm2. A altura do cone é 3cm. 08) A razão entre a área total e a área lateral de um

cone eqüilátero é 32

.

16) (SÃO CARLOS)- Dois cones de mesma base têm alturas iguais a 18cm e 6cm, respectivamente. A razão de seus volumes é 3.

ESFERA Uma esfera é um sólido por demais conhecido. Quantos exemplos temos a nossa volta da esfera. Do excessivo amor ao futebol os brasileiros quase idolatram a “bola” enquanto que astrônomos reconhecem a “esferecidade” do nosso planeta.

ELEMENTOS DA ESFERA

Basta apenas o raio com um comprimento definido para a construção de uma esfera. Este raio girando em todas as direções do espaço fornece o lugar geométrico da superfície. Abaixo apresentamos alguns elementos derivados do raio.

RELAÇÕES MÉTRICAS NAS ESFERAS

d=2R S=4πR2

V=3

3R4π

SEÇÕES DA ESFERA

Círculo menor da esfera é resultante, da seção produzida na esfera por um plano secante que não passe pelo centro. Seu raio r é menor que o raio da esfera R.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


34

Onde: R- raio da esfera r- raio do círculo menor d- distância do círculo ao centro da esfera Círculo máximo da esfera é resultante, da seção produzida na esfera por um plano que contenha o centro. O raio do círculo máximo é, portanto, igual ao raio da esfera.

EXERCÍCIOS 01. Calcule a área da superfície de uma esfera de

raio igual a 5m. 02. O diâmetro de uma esfera mede 12m.

Determine o seu volume. 03. A área de uma superfície esférica é 36π cm2.

Calcular o raio da esfera. 04. Uma bola de basquete tem 40 cm de diâmetro.

Qual é o volume de ar que cabe nessa bola. 05. Uma bola de borracha tem 20 cm de diâmetro.

Quantos cm2 de borracha são gastos para fazer essa bola?

06. Calcular o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 144π cm2.

07. Calcular as áreas do círculo máximo e da

superfície de uma esfera de 6 cm de raio. 08. Qual é a área da superfície da esfera, cuja seção

meridiana tem 6π m2 de área? 09. (UEPG)- O volume de uma esfera, cuja

superfície vale π m2, é:

a) 3m3π

b) 3m2π

c) 3m6π

d) 3m2π

e) 3m3π

10. Duas esferas de chumbo, uma de raio 6cm e

outra de raio 3cm, fundem-se e formam uma outra esfera. Calcule o raio dessa nova esfera.

11. Calcular o volume da esfera cujo círculo máximo

tem 9 2cmπ de área. 12. (PUC-PR)- O volume de uma esfera de raio 3cm

é igual ao volume de um cone cujo raio é 2cm. Calcular a altura desse cone.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


35

13. Uma superfície esférica de raio igual a 5cm é cortada por um plano. A área da seção é

9 2cmπ . Calcular a distância da seção ao centro da esfera.

14. (UFPA) Um círculo máximo de uma esfera mede

6 cmπ . Calcular o volume da esfera. 15. (CEFET-PR) Se um plano situado a 4dm do

centro de uma esfera a secciona gerando um círculo de 3dm de raio, calcular o volume dessa esfera.

16. (CEFET-PR) Se aumentarmos em 3cm o raio de

uma esfera, seu volume aumentará 252 π cm3. O raio da esfera original mede, em cm:

17. (UFPR) Duas esferas metálicas e maciças, uma

com raio 4cm e a outra com raio 8cm, são fundidas e moldadas em forma de cilindro circular reto, com 12cm de altura. Determine o raio do cilindro.

18. (UFPR) A razão entre o volume de uma esfera e

o volume de um cubo nela inscrito é: a) 3π

b) 2π

c) 23π

d) 32π

e) 3π

19. A soma de todas as arestas de um cubo mede 24m. O volume da esfera inscrita no cubo é:

a) 3m32π

b) 3m43π

c) 3m21π

d) 3m23π

e) 3m34π

20. (CESESP) Pretende-se construir um tanque com

a forma e dimensões da figura abaixo. Sabendo-se que o hemisfério, o cilindro reto e o cone circular reto, que constituem o referido tanque, têm igual volume, assinale, dentre as alternativas abaixo, a única que corresponde às relações existentes entre as dimensões indicadas.

a) R=h=H b) 3r=h=3H c) 4R=h=3H d) 2R=h=3H e) H=3r=H

TESTES 01. Marque a resposta certa considerando as

afirmações abaixo. a) A área da face de uma pirâmide pode ser

calculada pelo produto da aresta da base pela metade do apótema da face.

b) O volume de um cone reto é dado pelo produto de sua base por sua altura.

c) Em uma esfera o diâmetro é a metade do raio. d) A área de superfície de uma esfera pode ser

dada em metros cúbicos. 02. (PUCSP-Adaptada) A base de uma pirâmide reta

é um quadrado cujo lado mede 8 2 cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17 cm dê a soma das alternativas corretas, abaixo.

01) Sua altura mede 15cm. 02) O seu volume é 640 cm3. 04) Sua base possui 128 cm2. 08) O apótema da base mede 4 2 cm. 16) O apótema da face vale 257cm. 32) Seu volume é 1920cm3. 03. (FATEC) Altura de um cone circular reto mede o

triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8π cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:

a) 64 π d) 16π b) 48π e) 8π c) 32π

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


36

04. Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 2 3 cm. Considerando as afirmações abaixo, a soma das alternativas corretas é:

01) O valor da área da base da pirâmide é 18cm2. 02) O volume da pirâmide é 48 3 cm3.

04) O hexágono da base tem 18 3 cm2. 08) A área lateral é formada por seis hexágonos. 16) O sólido possui seis faces laterais. 05. (UNITAU)- Uma esfera de raio R está inscrita

em um cilindro. O volume do cilindro é igual a: a) πR3/3 b) 2πR3/3 c) πR3 d) 2R3 e) 2πR3 06. Calcule a soma das alternativas abaixo, que

correspondem às respostas corretas. 01) O apótema da base de uma pirâmide mede 6m,

a altura 8m. Então o valor do apótema da face é 14m.

02) Um cone reto possui geratriz igual a 20cm e altura 16cm. Por isso o raio de sua base é 12cm.

04) Uma esfera de raio 12m apresenta diâmetro igual a 24cm.

08) (UNITAU-Adaptada) Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará 21%.

16) Cones eqüiláteros possuem a geratriz igual ao raio da base.

07. (ITA-SP) Se numa esfera de raio R

circunscrevemos um cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro da base, então a expressão do volume deste cone em função do raio da esfera é dado por:

a) 3 . nR³

b) 233

nR³

c) 33 nR³

d) 334

nR³

e) NDA 08. (MACKENZIE-SP) Uma esfera de diâmetro 6 cm

está inscrita em um cone circular reto de altura 8 cm. Então a área da base do cone vale:

a) 54π cm² b) 48π cm² c) 44π cm² d) 40π cm² e) 36π cm²

09. (PUC-RS) A região R da figura está limitada por três semicírculos. Se R efetua uma volta completa em torno do eixo dos x, ela gera um sólido de volume:

a) 12π b) 8π c) 4π d) 2π e) π 10. (CESGRANRIO) Se v é o volume da esfera

inscrita num cubo de volume V, então a razão Vv

é:

a) 9π

b) 6π

c) 4π

d) 3π

e) 32

11. (ITA-SP) Considere um retângulo de altura h e

base b e duas circunferências com diâmetro h e centro nos lados do retângulo, conforme a figura seguinte. Seja z um eixo que passa pelos centros destas circunferências. Calcule a superfície total do sólido gerado pela rotação da área sombreada da figura em torno do eixo z.

a) π h(b – h) b) π h (b + h) c) π . b (b – h) d) π . b(b + h) e) NDA 12. (F.C.CHAGAS-BA) A medida do raio de uma

esfera é igual a 50% da medida do raio da base de um cone reto. Se a esfera e o cone têm volumes iguais, a razão entre o raio da esfera e a altura do cone, nessa ordem, é:

a) 41

d) 2

b) 21

e) 4

c) 1

Senhor, ajuda-nos a buscar Tua direção ao realizarmos nossas tarefas diárias. Em nome de Jesus.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


37

GLOSSÁRIO

seqüência – seguimento; continuação; série. sucessão – que vem depois ou em seguida; continuo;

consecutivo. finito – acabado; findo; terminado; que determina o

número de alguma coisa. infinito – não finito; inumeráveis, infindo; não tem

determinar o número de alguma coisa. eqüidistante – estar longe de dois pontos igualmente. concêntrico – que tem o mesmo centro. apótema – segmento da perpendicular baixada do centro

de um polígono regular sobre um lado: raio de um círculo inscrito num polígono regular.

infinitesimal – parte infinitamente pequena.

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO II


38

CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste módulo, você encontrou conteúdos, textos e interpretações para apoiá-lo no seu Curso.

Aqui foi lançado um olhar diferenciado para a Educação de Jovens e Adultos, acolhendo seus

conhecimentos, motivações e interesses.

Não pretendemos de forma alguma ditar receitas infalíveis. Nosso desafio é possibilitar todos os

usos possíveis da palavra como elemento de conquista da competência comunicativa de auto-realização e

da cidadania. Mas esse desafio é um caminho a ser trilhado e trabalhado. Portanto, estudem

intensamente, pois o estudo é o ponto central da nossa vida. Todavia, nos professores, advertimos que a

aquisição do conhecimento é instrumento para competirmos no mercado em igualdade de oportunidades.

Agora, vamos ao seu desempenho. Estude os assuntos detalhadamente. Se tiver duvidas, ligue

por telefone (61 – 30378860), ou acesse o nosso site (www.colégiopolivalente.com.br) . O importante é

que você passe para o tema seguinte quando dominar bem o que constava do anterior.

O seu sucesso é o sucesso do CIP,

Afinal, o CIP é você!!!!!

Documents

APRESENTAÇÃO - ead.colegiopolivalente.com.bread.colegiopolivalente.com.br/AreaFechada/pdf/Matematica_II.pdf · MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO II Proibida reprodução deste material