ÁREAS E PERÍMETROS.docx

a

a c

8. Geometria Métrica Plana

8.1 Áreas e perímetrosPerímetro é a soma do contorno da figura geométrica.

Semi-perímetro é o perímetro dividido por dois:

PS = ___ 2

● Retângulo

h

b

A área do retângulo é dada por: b * h

O perímetro do retângulo é dado por: 2a + 2b

● Paralelogramo

h

b

A área do paralelogramo é dada por: b * h

O perímetro do paralelogramo é dado por: 2a + 2b

● Trapézio b h

B B + b

A área do trapézio é dada por ---------- x Altura

2

O perímetro do trapézio é dado por: a + b + +c + B


8.1 Áreas e perímetros● Circunferência ou Circulo

A área da circunferência ou círculo é dada por: πR2

A perímetro da circunferência ou círculo é dada por:2πR

● Losango

D * d A área do losango é dada por: ______ 2

O perímetro do losango é dado por: 4a


8.1 Áreas e perímetros● Coroa Circular (área em vermelho)

A área da coroa circular é dada por: π*(R2 – r2) O perímetro da coroa circular é dado por: 2πR

●Setor Circular

α πR2α

A área do setor circular é dada por: --------- x πR2 ou ----------

360° 360°

O perímetro do setor circular é dado por: 2πR


8.1 Áreas e perímetros● Área do segmento triangular

Lembrar que a área do triângulo é dada por:

Striângulo= 1 a.b.senα ou a.b.senα ---- ----------

2 2

● Área do segmento circular.

r C ) α

r

A área do segmento circular é dada por:

Ssegmento circular = Ssetor - Striângulo

O perímetro do segmento circular é dado por: 2πR


8.1 Áreas e perímetros● figuras semelhantesDuas figuras planas são ditas semelhantes se uma delas é a redução ou

ampliação da outra.

l1 l2

S1 S2

Se duas figuras planas são semelhantes, então vale a relação:

S1 (l1}2

____ = ____ l é o comprimento e S é a área

S2 l2

O perímetro de figuras semelhantes é a soma do contorno da figura:


8.2 Revisão de Relações Métricas no Triângulo Retângulo● Teorema de Pitágoras

Em todo triangulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos:

a2

= b2 + c

2

● Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em

relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

ÂNGULO LADO OPOSTOLADO

ADJACENTE

C c cateto oposto b cateto adjacente

B b cateto oposto c cateto adjacente

● Tangente de um ângulo agudoÉ a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse ângulo.

B

a

b

●

A c Cc e b são catetos e a é a hipotenusa

No triângulo temos: b cTgC = -------- e TgB = ------- c b


8.2 Revisão de Relações Métricas no Triângulo RetânguloEm geral temos: Sendo x a medida de um ângulo agudo num triangulo

retângulo temos:

cateto opostosen x = --------------------- hipotenusa

cateto adjacentecos x = ------------------------ hipotenusa

cateto oposto senotgx = ------------------------ ou Tgx = ----------------- cateto adjacente cosseno


8.2 Revisão de Relações Métricas no Triângulo Retângulo● Valores importantes de seno, cosseno e tangente.

Descrição 30° 45° 60°

Seno 1/2 2/2 3/2

Cosseno 3/2 2/2 1/2

Tangente 3/3 1 3

Exemplo:

Determine o valor de x na figura abaixo:

x

● 30° ( 16 x Tg30° = ----- (observe na tabela tg30°) 16

√3 x 16 √3 ------- = ----- → 3x = 16 √3 → x = --------

3 16 3

8. Geometria Métrica Plana8.3 Polígonos RegularesA área do polígono regular é o produto da multiplicação entre o

semiperímetro e o apótema.

A: Spa

Sp; semiperímetro do polígono regulara: medida do apótema do polígono regular

Observação:

Para polígonos regulares (polígonos com lados e ângulos internos congruentes), o apótema é igual raio da circunferência inscrita.

Polígono Regular Número de lados Polígono Numero de ladosTriângulo 3 Dodecágono 12

Quadrilátero 4 Tridecágono 13Pentágono 5 Tetradecágono 14Hexágono 6 Pentadecágono 15Heptágono 7 Hexadecágono 16Octógono 8 Heptadecágono 17Eneágono 9 Octadecágono 18Decágono 10 Eneadecágono 19

Undecágono 11 Icoságono 20


8.3 Polígonos Regulares● Triângulo

a

b

c

hb

b* hbA = --------

2

● Quando conhecemos a base e a altura de um triângulo.

Quando conhecemos a base e a altura de um triângulo a área é dada por:

b * h ------- 2


8.3 Polígonos Regulares● Quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles

ATENÇÃO: O triângulo possui três lados e qualquer um deles pode ser considerado como base. A altura relativa será a distância entre a base escolhida e o vértice oposto.

Quando conhecemos dois lados e os ângulos entre eles a área é dada por:

Ex.:

Importantíssimo:

a * c 1 a * b * sen α

-------- x sen α ou ----- * a * b * sen α ou ------------------- 2 2 2

Um triângulo possui lados medindo 5cm e 8 cm, respectivamente. Sabendo que ele possui um ângulo na base medindo 30°, determine a área dessa figura.

Dados: a= 5cm b= 8cm α= 30°

A= 1 a.b.senα → 1 5.8.sen30° → 0,5.5.8.0,5= 10cm² ------- ----- 2 2

Importantíssimo:O seno do ângulo está na vertical e o cosseno na horizontal.


8.3 Polígonos Regulares● Quando o Triângulo é eqüilátero

l lh

l

l2 √3 Quando o triângulo é eqüilátero a área é dada por: -------- ou Spa

4 l √3 A altura do triângulo equilátero é dada por: -------- . 2

r 1O apótema do triângulo equilátero é dado por: ----- ou ------ da medida

da altura. 2 3

Exemplo:

Determine a medida da área de uma região triangular eqüilátera, com lados medindo 12 metros de comprimento.

l2 √3 122√3 144√3

A = -------→ --------- → ---------- = 36√3 m

4 4 4


8.3 Polígonos RegularesQuando o Triângulo é Retângulo

ab

Nesse caso os catetos do retângulo estão no lugar na base e da altura do mesmo.

a * b Quando o triângulo é retângulo a área é dada por:: --------

2

● Quando conhecemos os três lados do triângulo, podemos utilizar a fórmula de Herão

c

● Quando conhecemos os três lados do triângulo, a área é dada por:

√SP∗(SP−a )∗( SP−b )∗(SP−C)

SP é o semiperímetro

Ex.:

Calcule a área de um triângulo que possui os lados medindo 4m, 8m, e 10m.

Dados: a= 4m b= 8m c= 10m

SP= a+b+c → 4+8+10 → 22 --------- ----------- ---- = 11

2 2 2A= √SP∗(SP−a )∗(SP−b )∗(SP−C)

A= √11∗(11−4 )∗(11−8 )∗(11−10)

A= √11∗(7 )∗(3 )∗(1)

A= √11∗21¿¿

A= √231

A= ± 15,19m2


8.3 Polígonos regulares● Quando o triângulo está inscrito

a * b * c ● Quando o triângulo está inscrito a área é dada por: _______

4R● Quando o triângulo está circunscrito

Quando o triângulo está circunscrito a área é dada por: SP x r

O perímetro de qualquer triângulo é dado por: 3l

● Quadrado l

l l

l l

O apótema do quadrado é dado por ------- 2

A área do quadrado é dado por: l2 ou Spa.

O perímetro do quadrado é dado por: 4l


8.3 Polígonos Regulares● Pentágono Regular

COO apótema do pentágono regular é dado por: Tga = -------- CA Pa A área do pentágono é dada por: --------- , onde: P é o perímetro e a é o

apótema ou Sp x a. 2

O perímetro do pentágono regular é dado por: 5l

Exemplo:

Calcular a área de um pentágono regular, onde cada lado mede 4m .

Veja que o apótema divide a base em duas partes iguais.

CO 2 12Tg a = -------- → 0,727 = ------- → 0,727a = 12 → a = --------- CA a 0,727 a = 2,75

P x a 20 x 2,75 55

A = --------- → ------------- → ------- a = 27,5 m2

2 2 2


8.3 Polígonos Regulares● Hexágono Regular

l

l l

l l

l l √3

O apótema do hexágono regular é dado por: -------- ou b x h 2

3l2 √3 A área do hexágono regular é dada por: _______ ou Spa

2O perímetro do hexágono regular é dado por: 6l


8.4 Polígono regular inscrito na circunferência

Dado um polígono regular inscrito num círculo, temos:

a: apótema do polígono

l: medida do lado do polígono

r: o raio da circunferência inscrita

A: área do polígono inscrito

Sp: o semiperímetro do polígono

αc: Ângulo central do polígono

n : número de lados do polígono

P: Périmetro


8.5 Relações métricas dos polígonos inscritos na circunferência

● Triângulo equilátero inscrito na circunferência

rO apótema do triângulo inscrito na circunferência é dado por: -------

2

A medida do lado do triângulo inscrito na circunferência é dada por: r √3

O raio da circunferência inscrita no triângulo é dado por: 2a

A área do triângulo inscrito na circunferência é dada por: SPa ou

3r2√3

--------- 4 PSp: o semiperímetro é dado por: ----- 2αc: Ângulo central do polígono inscrito na circunferência é dado por:

360° --------- n n: número de lados do polígono

Geometria Métrica Plana

8.5 Relações métricas dos polígonos inscritos na circunferência ● Triângulo equilátero inscrito na circunferência

Exemplo:

1) Um triângulo equilátero está inscrito numa circunferência de raio 60√3. Determine:

a) a medida do lado do triângulo;

l = r √3 → l = 60√3

b) a medida do apótema do triângulo:

r 60√3 a = ----- a = ------- a = 30√3cm

2 2

2) Um triângulo equilátero de lado 180cm e apótema 30√3cm está inscrito numa circunferência. Determine:

a) O raio da circunferência

r = 2a

r = 2 x 30√3cm → r = 60√3cm

b) a área do triangulo equilátero

3r2√3

Sp * a ou --------- 4

P = 180 x 3 = 540cm

P 540 Sp = ------ → ------ = 270cm 2 2

A= 270cm x 30cm → A = 8100cm2

3r2√3 3 x 60

2 √3 3 x 3600 √3 10800 √3 ou A = --------- → ---------------- → ---------------- → ------------ → 4 4 4 4

2700 √3 → A = 8100cm2


8.5 Relações métricas dos polígonos inscritos na circunferência ● Quadrado inscrito na circunferência

O apótema do quadrado inscrito na circunferência é dado por:

r √2 l ------- ou ----- 2 2

A medida do lado do quadrado inscrito na circunferência é dada por:

r √2 l√2 l O raio da circunferência inscrita no quadrado é dado por: -------- , ou ----- 2 2

A área do quadrado inscrito na circunferência é dada por: SP * a ou

2r2

P

Sp: o semiperímetro é dado por:----- 2αc: Ângulo central do polígono inscrito na circunferência é dado por:

360° ---------, n: número de lados do polígono n


8.5 Relações métricas dos polígonos inscritos na circunferência ● Quadrado inscrito na circunferênciaExemplo:

1) Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas condições, determine.

a) a medida do lado do quadrado:

l = r √2 →= 24 √2 →

Resposta: 24 √2cm

b) a medida do apótema do quadrado.

r √2 l 24√2 a = ------- ou ----- → -------- → 12√2 2 2 ,, 2

Resposta: 12√2

c) O perímetro do quadrado:

P = 4l → 4 x 24 √2 ou 136

Resposta: 136cm

d) a área do quadrado:

A = SP * a ou 2r2

p 136

SP = ------- → --------- = 68cm 2 2

A = SP x a → 68 x (12 x 1,41) → 68 x 17 = 1156cm2

ou

A = 2r2 → 2 x 24

2 → 2 x 576 = 1152cm2

Resposta: 1152cm2

2) Um quadrado está inscrito numa circunferência de lado 34 cm. Determine o raio da circunferência. l 24 √2 r = ------- → --------- → 12 √2 2 2

Resposta: 24cm Geometria Métrica Plana

8.5 Relações métricas dos polígonos inscritos na circunferência ● Hexágono regular inscrito na circunferência

O apótema do hexágono inscrito na circunferência é dado por:

r √3 l √3 ------- ou -------- 2 2

A medida do lado do hexágono inscrito na circunferência é dada por:

2r ----- ou l = r 2

l * 2 O raio da circunferência inscrita no hexágono é dado por: ------- ou r = l 2

A área do hexágono inscrito na circunferência é dada por: SPa ou

3l2 √3

---------- 2 P

Sp: o semiperímetro é dado por:----- 2αc: Ângulo central do polígono inscrito na circunferência é dado por:

360° ---------, n: número de lados do polígono n


8.5 Relações métricas dos polígonos inscritos na circunferência ● Hexágono regular inscrito na circunferência

Exemplo: 1) Determine a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono

regular inscrito numa circunferência de raio 30 cm.

a) a medida do lado do hexágono:

L = r = 30 cmb) a medida do apótema:

A medida do apótema pode ser dada por:

a = r √3 ou L √3 ------ ------- 2 2

a = 30 √3 → a = 15 √3cm ------ 2

2) Determine o raio da circunferência e a área de um hexágono regular inscrito numa circunferência de lado 30 cm apótema 15 √3cm.

a) o raio da circunferência

l*2 30 x 2 60 ------- ou r = l→ --------- → ------- r = 30 2 2 2 b) a área do hexágono regular inscrito. P = 30 x 6 → P = 180cm

P 180Sp = ----- → ------ Sp = 90cm 2 2

A = Spa → 90 * 15 √3cm → A = 1350cm2


8.6 Relações métricas dos polígonos circunscrito na circunferência ● Triângulo equilátero circunscrito na circunferência

A área do triângulo equilátero circunscrito na circunferência é dada por:

l 2√3 --------- ou Spa 4

O perímetro do triângulo equilátero circunscrito na circunferência é dado por:

3l

A altura do triângulo equilátero circunscrito na circunferência é dada por:

l√3 --------- 2

O apótema do triângulo equilátero circunscrito na circunferência e dado por:

l√3 R -------- ou ------ 6 2 l√3

O raio da circunferência inscrita no triângulo equilátero é dado por: ------ 6

O raio da circunferência circunscrita no triângulo equilátero e dado por:

l√3------

3


8.6 Relações métricas dos polígonos circunscrito na circunferência ● Quadrado circunscrito na circunferência

A área do quadrado circunscrito na circunferência é dada por: l2 ou Spa .

O perímetro do quadrado circunscrito na circunferência é dado por: 4l

A diagonal do quadrado circunscrito na circunferência é dada por: l √2

1 O Apótema do quadrado circunscrito na circunferência é dado por: -----

2 1O raio da circunferência inscrita no quadrado é dado por: ------

2

O raio da circunferência circunscrita no quadrado é dado por:

D l√2 R = ---- ou ------

2 2


8.6 Relações métricas dos polígonos circunscrito na circunferência ● Hexágono circunscrito na circunferência

A área do hexágono regular circunscrito na circunferência é dada por:

3l2√3 ------------- ou Spa

2

O perímetro do hexágono regular circunscrito na circunferência é dado 6l

O apótema do hexágono regular circunscrito na circunferência é dado por:

l √3 -------- 2

O raio da circunferência inscrita no hexágono regular é dado por:

l √3 -------- 2

O raio da circunferência circunscrita no hexágono regular é dado por:

R = l

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