(ART) O Ensino de Geometria No Ciclo de Alfabetização Um Olhar a Partir Da Provinha Brasil

Educ. Matem. Pesq., So Paulo, v.16, n.4, pp. 1147-1168, 2014

O ensino de geometria no ciclo de alfabetizao: um olhar a partir da

provinha Brasil

The geometry teaching in literacy cycle: a view from provinha Brasil

_____________________________________

CRMEN LCIA BRANCAGLION PASSOS1

ADAIR MENDES NACARATO2

Resumo

O ensino de geometria na educao bsica talvez seja o tema que mais mereceu estudos

e pesquisas no final do sculo XX. Depois de longo perodo de abandono, voltou a

compor, de forma mais integrada a maioria dos livros didticos de matemtica. Contudo,

ainda no ocorreu o avano esperado. O abandono, problemtico no ensino fundamental

I, se torna maior em se tratando do ciclo de alfabetizao. H uma forte tendncia nesse

ciclo de se colocar a nfase na alfabetizao da lngua materna, desconsiderando tratar-

se de um processo mais amplo que abrange todas as reas do conhecimento. O objetivo

deste texto analisar o que vem sendo exigido de habilidades geomtricas pela Provinha

Brasil. Como pressuposto consideramos que, muitas vezes, os contedos e a forma como

so cobrados nas avaliaes externas acabam orientando as prticas dos professores.

Palavras-chave: Ensino de Geometria no Ciclo de Alfabetizao. Desenvolvimento do

Pensamento Geomtrico. Provinha Brasil.

Abstract

The geometry teaching in primary education is perhaps the topic that deserved more

studies and research in the late twentieth century. After a long period of neglect, returned

to compose, in a more integrated way most math textbooks. However, has not yet occurred

expected progress. Abandonment, problematic in elementary school, gets bigger when it

comes to literacy cycle. There is a strong trend of putting the emphasis on literacy mother

tongue in this cycle, disregarding that this is a broader process that covers all areas of

knowledge. The objective of this paper is to analyze what is being required of geometric

skills by Provinha Brazil. As assumption, we believe that often the content and the way they are charged for external evaluations end up guiding the practices of teachers.

Keywords: Geometry Education in Literacy Cycle. Development of Geometric Thought.

Provinha Brasil.

1 Doutora em Educao: Educao Matemtica pela Unicamp, Professora do Departamento de Teorias e

Prticas Pedaggicas e do Programa de Ps-Graduao em Educao da Universidade Federal de So

Carlos, SP - [email protected] 2 Doutora em Educao: Educao Matemtica pela Unicamp, Professora do Programa de Ps-Graduao

em Educao da Universidade So Francisco, SP [email protected].

1148 Educ. Matem. Pesq., So Paulo, v.16, n.4, 1147-1168, 2014

Introduo

Depois de longo perodo de abandono quase absoluto, no final do sculo XX, o ensino de

geometria na educao bsica comea a fazer parte de debates e estudos acadmicos,

gerando muitas discusses em congressos nacionais e internacionais de Educao

Matemtica e deu lugar a muitas pesquisas de mestrado e doutorado tanto no Brasil, como

no exterior.

O ensino de geometria nas escolas, at ento relegado s ltimas pginas dos livros

didticos, volta a compor, de forma mais integrada e ao longo das unidades, a maioria dos

livros didticos de matemtica quando esses passam a contemplar, de certo modo,

orientados pelos Parmetros Curriculares Nacionais (1997).

Nota-se uma preocupao dos pesquisadores e a defesa de que o desenvolvimento do

pensamento geomtrico deva ser estimulado desde o incio da escolarizao. Contudo,

ainda no podemos dizer que ocorreu o avano esperado. Talvez o longo perodo em que

a geometria ficou relegada a um segundo plano tenha deixado marcas profundas em vrias

geraes de estudantes e so sentidas at hoje pelos professores que no tiveram a

formao geomtrica quando estudantes.

Nossa experincia, como formadoras e pesquisadoras, em contato com professores que

atuam nos anos iniciais, tem nos apontado que, embora haja, por parte da maioria deles o

desejo de trabalhar a geometria com seus alunos, ela acaba no sendo assumida como

prioridade frente aos demais contedos de matemtica, pois ningum ensina aquilo que

no tem domnio conceitual.

Constatamos, tambm, que embora os contedos geomtricos estejam presentes ao longo

dos livros didticos, os professores optam, na maioria das vezes, para deix-los para o

final do ano e, com isso, eles no so ensinados, ou so apresentados aos alunos de forma

acelerada e reduzida.

Se esse abandono j problemtico no chamado ensino fundamental I (1 ao 5 ano),

consideramos que ele se torna maior ainda em se tratando do ciclo de alfabetizao (1 ao

3 ano). H uma forte tendncia nesse ciclo de se colocar a nfase na alfabetizao da

lngua materna, desconsiderando tratar-se de um processo mais amplo que abrange todas

as reas do conhecimento.

Aps dez anos da publicao de nosso livro, no qual sistematizamos os achados de nossas

teses de doutorado (NACARATO; PASSOS, 2003), sentimo-nos instigadas a ter um olhar

mais atento para a forma como a geometria vem sendo apresentada aos professores que

Educ. Matem. Pesq., So Paulo, v.16, n.4, pp. 1147-1168, 2014 1149

atuam no ciclo de alfabetizao. Considerando que questes relativas geometria vm se

fazendo presente nas avaliaes externas, optamos por analisar a Provinha Brasil, uma

vez que essa a nica prova que fica disponvel nas escolas e secretarias de educao.

Dessa forma, o presente artigo refere-se a uma anlise documental e tem como objetivo

analisar o que vem sendo exigido de habilidades geomtricas nesse instrumento de

avaliao externa. Partimos do pressuposto que, muitas vezes, os contedos e a forma

como so cobrados, nas avaliaes externas acabam orientando as prticas dos

professores. Essa anlise ser complementada pelo documento: Matriz de Referncia

para Avaliao da Alfabetizao Matemtica Inicial.

O texto est organizado em trs sees: inicialmente apresentamos algumas reflexes

tericas sobre a formao do pensamento geomtrico; em seguida, a anlise de algumas

questes de geometria da Provinha Brasil e, finalmente, tecemos nossas consideraes.

A formao do pensamento geomtrico

Vrios so os autores que tm centrado suas pesquisas na formao do pensamento

geomtrico, em diferentes vertentes tericas. Aqui nos interessa um olhar mais atento

para as questes que julgamos estar na base da construo desse pensamento, como,

principalmente, as habilidades de percepo espacial.

Del Grande (19943), ao se referir habilidade de percepo espacial sugere que alguns

tipos de atividades geomtricas poderiam desenvolver e realar as habilidades espaciais

da criana dos anos iniciais. Ele define percepo espacial como a habilidade de

reconhecer e discriminar estmulos no e do espao e para interpretar esses estmulos

associando-os a experincias anteriores (p.126). Na tica desse autor, a natureza das

atividades matemticas relacionadas com a geometria na escola bsica permite a

aquisio de experincias de percepo visual dando aos professores oportunidade de

observar e detectar, desde cedo, como o pensamento geomtrico das crianas vai sendo

construdo. Segundo esse autor, essa percepo inicial das habilidades de percepo

visual ser fundamental para o planejamento de tarefas de geometria a serem propostas

pelo professor.

3 Ressalte-se que a primeira edio desse artigo foi publicada, originalmente, em 1987, em DEL GRANDE,

J. J. (1987) Spatial Percetion and Primary Geometry. In Lindquist, M. M. e Shulte A. P. Learning and

Teaching Geometry, k-12. Reston, Virginia: NCTM.


Hoffer (1997) defende que a habilidade de percepo visual e os conceitos geomtricos

podem ser aprendidos simultaneamente, isto porque, aprender geometria no significa

que o aluno apenas reconhea figuras, mas tambm suas relaes e suas propriedades.

Del Grande (1994) analisa um conjunto de cinco habilidades de percepo descrito por

Frostig e Horne (1964). Ele explica que esses autores produziram material para testes

referentes s cinco primeiras das sete aptides espaciais, quais sejam: 1) coordenao

visual-motora; 2) percepo de figuras em campos; 3) constncia de percepo; 4)

percepo de posio no espao; 5) percepo de relaes espaciais; enquanto Hoffer

(1977) examinou mais duas dessas aptides, a saber: 6) discriminao visual e 7) memria

visual. Consideramos importante para as argumentaes que nos propomos neste artigo,

trazer tais habilidades discriminadas:

A coordenao visual-motora consiste na habilidade de coordenar a viso com

movimentos do corpo (DEL GRANDE, 1994, p.158). Quando as crianas apresentam

dificuldades motoras em habilidades e movimentos simples, tambm possuem

dificuldades em pensar qualquer outra coisa quando se concentram na tarefa que esto

fazendo. O autor explica que, se uma criana apresenta dificuldade para ligar pontos no

papel, ou juntar blocos para construir estruturas de madeira, provvel que no perceba

as ideias ou noes geomtricas envolvidas, pois s o esforo motor j suficiente para

absorv-la completamente. Apenas quando esta coordenao se tornar habitual que ela

ser capaz de dar toda sua ateno ao ato de aprender, percebendo objetos exteriores e

suas relaes. Esta habilidade constitui-se, dessa forma, indispensvel para o aprendizado

da Matemtica e, de modo particular, da Geometria, no qual as relaes espaciais tm um

papel de especial destaque. Consideramos que esta habilidade difcil de ser includa

num instrumento escrito de avaliao, principalmente numa questo de mltipla escolha,

visto que pressupe o movimento do corpo.

A percepo de figuras em campos refere-se ao ato visual de identificar uma figura

especfica (o foco) num quadro (o campo) (DEL GRANDE, 1994, p.158). Essa

percepo descrita pelo autor pelo ato distinguir a frente do fundo. Para focalizar a

ateno numa figura, h necessidade de se desconsiderar todos os marcos estranhos a ela,

no se distraindo com estmulos visuais irrelevantes para sua caracterizao. Para ele,

essa uma habilidade importante a tal ponto de prejudicar as crianas que no a

adquirirem. As atividades de percepo de figuras em campos incluem interseo de retas,

interseo de figuras, figuras ocultas, figuras sobrepostas, finalizao de figuras, reunio

de partes de uma figura, semelhanas e diferenas e inverso de uma figura ou campo.


A constncia de percepo ou constncia da forma e tamanho refere-se habilidade

de reconhecer que um objeto tem propriedades invariveis, como tamanho e forma, apesar

das vrias impresses que pode causar conforme o ponto do qual observado (DEL

GRANDE, 1994, p.158). O autor identifica a constncia da percepo da forma no mais

vinculada a um determinado objeto, mas envolvendo o reconhecimento de certas figuras

geomtricas apresentadas em vrios tamanhos, sombras, texturas e posies no espao.

Segundo ele (1994, p.159), uma pessoa com constncia de percepo reconhecer um

cubo visto de um ngulo oblquo como um cubo, embora os olhos vejam uma imagem

diferente quando o cubo visto bem de frente ou de cima. Nesse sentido, o autor cita os

estudos de Frostig e Horne (1964), referidos anteriormente, os quais descobriram que a

constncia de percepo depende, em parte, da aprendizagem e de experincias que so

possibilitadas por atividades de natureza geomtrica.

A percepo da posio no espao consiste na habilidade que permite ao sujeito

determinar a relao de um objeto com outro e com relao a si prprio (observador).

Segundo Del Grande (1994, p. 159), a ausncia dessa habilidade resulta em inverses,

que constituem um dilema para os educadores da rea de matemtica. As atividades

desse componente lidam com a discriminao de rotaes, reflexes e translaes de

figuras, as quais permitem que as crianas percebam que duas figuras so iguais

(congruentes), quando uma imagem da outra, mediante uma dessas transformaes.

A percepo de relaes espaciais a habilidade que o sujeito tem de ver dois ou mais

objetos em relao a si prprio ou em relao um ao outro. Se uma pessoa, exemplifica

Del Grande (1994, p. 159), v que duas figuras so congruentes, quando uma imagem

da outra, por meio de uma transformao simtrica, como uma translao, uma rotao

ou uma reflexo, essa pessoa consegue perceber as relaes espaciais que lhe permitem

observar a congruncia, isto , uma relao entre duas figuras.

A discriminao visual seria a habilidade de distinguir semelhanas e diferenas entre

objetos independentemente da posio. Del Grande (1994, p. 159) explica que atividades

de escolha e de classificao de objetos e formas geomtricas, tal como se faz com os

blocos lgicos4 (atributos), podem ajudar as crianas a aprenderem a discriminar

visualmente. As crianas podem usar desenhos e abstraes medida que desenvolvem

sua discriminao, fazendo comparaes visuais e verbais entre as coisas que veem.

4 Blocos Lgicos: jogo de blocos composto de peas de madeira ou plstico, nas quais faz-se variar,

sistematicamente, as seguintes variveis: cor, forma, espessura e tamanho (Dienes, Z. P. (1986) As seis

etapas do processo de aprendizagem em matemtica. So Paulo: EPU, p. 3).


A memria visual refere-se habilidade de lembrar precisamente de objetos que no

esto mais vista, relacionando suas caractersticas com as de outros objetos presentes

ou ausentes. Segundo Hoffer (1977), como a maioria das pessoas retm pequena

quantidade de informaes visuais cerca de cinco a sete itens por perodos

relativamente curtos de tempo, para memorizar mais elementos ou informaes, dever

lanar mo das abstraes e do pensamento simblico.

Tal recurso comumente usado em atividades geomtricas, tendo em vista a natureza da

organizao do conhecimento geomtrico, que se fundamenta na identificao de

caractersticas, a princpio, visuais, mas que acabam definindo-se como conceitos e

relaes abstratas. Atividades referentes memria visual, segundo Del Grande (1994),

envolvem a lembrana de um objeto entre dois ou mais, de um objeto submetido a

inverses, ou da posio de muitos objetos.

Sem dvida, o desenvolvimento de habilidades de percepo espacial fundamental para

a construo do pensamento geomtrico, mas, h tambm necessidade de considerarmos

outros aspectos, como a questo do prprio conceito geomtrico.

Fischbein (1993) explica que o objeto geomtrico tratado como conceitos figurais por

causa da sua dupla natureza, j que composto por duas componentes: uma conceitual e

outra figural. A componente conceitual expressa propriedades que caracterizam uma certa

classe de objetos atravs da linguagem escrita ou falada, com maior ou menor grau de

formalismo, dependendo do nvel de axiomatizao com que se est trabalhando. A

componente figural corresponde imagem mental que associamos ao conceito e que, no

caso da Geometria, tem a caracterstica de poder ser manipulada atravs de movimentos

como translao, rotao e outros, mantendo invariveis certas relaes.

Para o autor, o que caracteriza um conceito o fato de que ele expressa uma ideia, uma

representao geral, ideal de uma classe de objetos, baseada em seus traos comuns. Por

outro lado, uma imagem mental uma representao sensorial de um objeto ou

fenmeno. O autor apresenta essa distino atravs de exemplos de demonstraes

geomtricas. Nessas demonstraes usa-se uma certa quantidade de conhecimentos

conceituais, informao figural e operaes representadas figuralmente, lidando com

entidades independentes, isto , com ideias abstratas (conceitos) e representaes

sensoriais (operaes concretas). Ele ressalta que, em processos como esses, as operaes

so descritas como aparentemente prticas; entretanto, no possvel separar um objeto

de si mesmo na prtica. Isto significa que tratamos de um mundo ideal, com significados

ideais, j que os objetos aos quais nos referimos, como pontos, lados, ngulos e as


operaes com eles, tm uma existncia ideal, so de uma natureza conceitual; mas que,

ao mesmo tempo, tm uma natureza figural intrnseca: somente enquanto nos referimos

a imagens podemos considerar operaes tais como separar, inverter ou superpor.

Fischbein (1993) faz alguns destaques a respeito das caractersticas das figuras

geomtricas relacionadas a sua natureza conceitual. Primeiramente, diz que no raciocnio

matemtico no nos referimos aos elementos de um objeto geomtrico (pontos, lados,

ngulos, tringulos propriamente ditos) como objetos materiais ou desenhos; os objetos

materiais modelos manipulativos (como o jogo de slidos geomtricos utilizado nas

escolas) ou desenhos so somente modelos materializados de entidades mentais com as

quais os matemticos lidam. Em segundo lugar, o autor destaca que somente em um

sentido conceitual pode-se considerar a perfeio absoluta das entidades geomtricas:

linhas, retas, crculos, quadrados, cubos, etc. Em terceiro lugar, destaca que estas

entidades geomtricas no tm correspondentes materiais genunos. Isto , pontos

(objetos de dimenso zero), linhas (objetos unidimensionais), planos (objetos

bidimensionais) no existem, no podem existir em realidade. Os objetos reais da nossa

experincia prtica so necessariamente tridimensionais, ... mesmo o cubo ou a esfera

aos quais os matemticos se referem, no existem em realidade, embora eles sejam

tridimensionais. Estes so tambm meras construes mentais, as quais no se supe

terem qualquer realidade substancial (p.141). Em quarto lugar, Fischbein (1993) destaca

que todas as construes geomtricas so representaes gerais, como todo conceito, e

nunca cpias mentais de objetos concretos particulares. Por ltimo, o autor destaca uma

quinta caracterstica das figuras geomtricas que tambm est relacionada sua natureza

conceitual, ou seja, o fato das propriedades das figuras geomtricas serem impostas ou

derivadas de definies no domnio de um certo sistema axiolgico. Como exemplo, o

referido autor explica que um quadrado no uma imagem desenhada numa folha de

papel. uma forma controlada por sua definio (embora possa ser inspirada por um

objeto real). Um quadrado um retngulo que tem lados iguais. Partindo destas

propriedades pode-se prosseguir descobrindo outras propriedades do quadrado (a

congruncia de ngulos visto que so todos ngulos retos, a igualdade das medidas das

diagonais, etc.). (FISCHBEIN, 1993, p.141).

Uma figura geomtrica pode ser descrita como tendo, intrnseca a ela, propriedades

conceituais, mas que ela no um mero conceito. Segundo ele, uma figura geomtrica

uma imagem visual, que possui uma propriedade que conceitos usuais no possuem, ou

seja, ela inclui a representao mental da propriedade do espao.


Consideramos a visualizao como a habilidade de pensar, em termos de imagens mentais

(representao mental de um objeto ou de uma expresso), naquilo que no est ante os

olhos, no momento da ao do sujeito sobre o objeto. Seria a percepo visual do sujeito

enquanto a construo de um processo visual, o qual sofre interferncias de sua

experincia prvia, associada a outras imagens mentais armazenadas em sua memria. O

significado lxico atribudo visualizao o de transformar conceitos abstratos em

imagens reais ou mentalmente visveis. A preocupao com a visualizao quando se

aborda o processo de ensino e de aprendizagem da Geometria pode ser considerada como

um dos processos envolvidos nas diferentes maneiras de representaes.

Entendemos tambm que a visualizao est diretamente relacionada com a

representao. Esta pode ser grfica, como um desenho em um papel ou como modelos

manipulveis, ou mesmo atravs da linguagem e de gestos.

Os diferentes tipos de visualizao que os estudantes necessitam, tanto em contextos

matemticos, quanto em outros, dizem respeito capacidade de criar, manipular e ler

imagens mentais; de visualizar informao espacial e quantitativa e interpretar

visualmente informao que lhe seja apresentada; de rever e analisar situaes anteriores

com objetos manipulveis.

A dificuldade que os alunos possuem em ler o que as representaes bidimensionais de

objetos tridimensionais traduzem pode estar em no conseguirem identificar os diferentes

elementos que compem esses objetos. Dessa forma, os alunos no conseguem

representar para eles mesmos determinadas propriedades desses objetos, prejudicando o

processo de aprendizagem da Geometria.

Quando se imagina a construo de algum objeto especfico, como uma caixa, por

exemplo, no se pode iniciar tal construo sem antes ver, na mente, o que ainda no

pode ser visto com os prprios olhos. Tal destreza exige aprendizagem e deve ser

sistematicamente construda em diferentes momentos, tanto na escola como fora dela.

Entretanto, na escola, essa capacidade poder ser explorada com a anlise de aspectos

visuais de uma figura geomtrica, de modo que se torne possvel desenh-la. Para

desenhar um objeto geomtrico preciso que o indivduo seja capaz de imaginar o

resultado final, antecipar mentalmente e inferir corretamente a forma plana

(bidimensional) e as transformaes necessrias para apresent-la na forma espacial

(tridimensional).

Tendo em vista a ambiguidade do termo figura, o autor enfatiza que, em seu trabalho,

figura refere-se somente a imagens mentais. Como uma figura possui uma certa estrutura,


uma forma, sugere que algumas especificaes deveriam ser acrescentadas: 1) figura

geomtrica: uma imagem mental cujas propriedades so completamente controladas por

definio; 2) um desenho no uma figura geomtrica ele prprio, mas um grfico ou

uma incorporao material, concreta dela, e 3) imagem mental de uma figura geomtrica

, usualmente, a representao do modelo materializado dela.

Assim, a figura geomtrica, ela prpria, somente a ideia correspondente da entidade

figural idealizada, abstrata, estritamente determinada por sua definio.

Entendemos que o desenho associado ao objeto geomtrico desempenha um papel

fundamental na formao da imagem mental. Para o aluno, nem sempre fica claro que o

desenho apenas uma instncia fsica de representao do objeto. Quando, para alguns,

o desenho desempenha uma expresso de entendimento do objeto geomtrico, isto ,

basta desenh-lo em uma folha de papel para compreender o problema, para outros pode

se constituir em um obstculo para este entendimento. Isto ocorre porque o desenho

guarda algumas caractersticas particulares que no pertencem ao conjunto de condies

geomtricas que definem o objeto, o caso das projees.

O conceito figural, afirma Fischbein (1993, p. 149), tambm um significado com uma

particularidade, isto , um tipo de significado que inclui figura como uma propriedade

intrnseca. Nesse sentido, exemplifica o autor, o significado genuno da palavra crculo

em Geometria, como manipulado pelo nosso processo de raciocnio, no redutvel a

uma definio puramente formal, mas uma imagem controlada por uma definio.

Segundo o autor referido, ... sem esse tipo de imagens espaciais, a Geometria no

existiria como um ramo da Matemtica. Tais posies sinalizam para a importncia de

um trabalho sistemtico e intencional com o vocabulrio, com as palavras relativas

geometria.

Numa perspectiva vigotskiana, consideramos que a linguagem e, em especial, a palavra

central ao processo de elaborao conceitual. O conceito a prpria palavra e esta

carregada de significado e sentido. O sentido mais amplo que o significado e est

relacionado subjetividade do sujeito, aquilo que ele traz de experincias vividas.

O sentido sempre uma formao dinmica, fluda, complexa, que tem

vrias zonas de estabilidade variada. O significado apenas uma dessas

zonas do sentido que a palavra adquire no contexto de algum discurso

e, ademais, uma zona mais estvel, uniforme e exata. Como se sabe, em

contextos diferentes a palavra muda facilmente de sentido. O

significado, ao contrrio, um ponto imvel e imutvel que permanece

estvel em todas as mudanas de sentido da palavra em diferentes

contextos. (VIGOTSKI, 2001, p. 465).


O objetivo da instruo trabalhar com os significados das palavras e esses tambm tm

uma histria, seja no desenvolvimento das cincias, seja no desenvolvimento do prprio

sujeito. Assim, quando o professor no incio da escolarizao utiliza a palavra quadrado,

ele consegue se comunicar com o aluno e ambos so capazes de visualizar a mesma

figura; no entanto, o conceito dessa figura geomtrica no est ainda construdo, essa

construo vai ocorrer ao longo da escolarizao, quando o aluno for capaz de identificar

todas as suas caractersticas e propriedades. H um momento em que o aluno precisa

chegar a esse ponto estvel e imutvel do significado da palavra.

Entendemos que, na prtica pedaggica, a compreenso das palavras presentes nas

definies geomtricas precisa ser cuidadosamente trabalhada. Seus significados

precisam ser ampliados medida que a escolarizao avana. A identificao de uma

figura, por si s, no garante que j ocorreu a elaborao conceitual; preciso que as

definies acompanhem suas representaes. Da a importncia de um ensino pautado

nas discusses orais, principalmente no incio da escolarizao, pois o professor poder

ajudar o aluno a ler o objeto geomtrico, identificando suas caractersticas, realizando

classificaes por diferenas e semelhanas entre objetos e utilizando o vocabulrio

correto.

Talvez a resida a grande dificuldade dos professores em ensinar geometria, pois nem

sempre tm os conceitos elaborados e, dessa forma, realizam um ensino reducionista,

pautado apenas nos aspectos figurais, nas habilidades iniciais de percepo, no

garantindo aproximaes com os conceitos cientficos da geometria.

Como possibilitar um ensino de geometria que garanta a formao do pensamento

geomtrico dos alunos? Vrios so os caminhos que a comunidade tem adotado para que

a geometria seja ensinada nas escolas, como: projetos de formao docente; melhoria dos

livros didticos; nfase na geometria nos documentos curriculares, dentre outros. No

entanto, todo esse esforo poder no surtir efeitos se esses contedos no forem

valorizados nas avaliaes externas, visto que elas tm um peso muito grande nas prticas

dos professores. De que forma a Provinha Brasil, por exemplo, tem valorizado contedos

de geometria? Esse o foco do presente artigo.

A geometria presente na Provinha Brasil de Matemtica

A Provinha Brasil foi criada em 2007, pela Portaria Normativa no 10 de 24 de abril de

2007. Inicialmente ela s era aplicada na rea de leitura, a de Matemtica teve a sua


primeira edio em 2011 e aplicada a todos os alunos matriculados no segundo ano do

Ensino Fundamental. Segundo consta no Guia de Aplicao dessa primeira edio: A

Provinha Brasil de Matemtica, assim como a de leitura, tem como principal objetivo

realizar um diagnstico dos nveis de alfabetizao das crianas aps um ano de estudos,

de maneira que as informaes resultantes possam apoiar o trabalho do professor

(BRASIL/INEP, 2011, p. 4).

A prova aplicada em dois momentos do ano letivo, ao final do 1 e do 2 semestres.

Assim, houve apenas uma aplicao em 2011 e, a partir de 2012, duas aplicaes anuais.

Esse instrumento corrigido pela prpria rede de ensino ou pelos prprios professores e

os resultados ficam disposio para aes efetivas nas escolas. Ela composta de 20

questes de mltipla escolha.

O kit que o professor recebe vem com trs cadernos: o guia de aplicao, o caderno do

aluno e o guia de correo e interpretao de resultados. No caso do caderno do aluno h

apenas as alternativas, visto que o professor quem far a leitura, duas vezes, do

enunciado da questo. Essa forma de elaborao da prova tem sido criticada por

professores5, uma vez que os alunos no dispem do enunciado da questo e, muitos deles

j esto alfabetizados, ou ento, em prticas de letramento escolar fundamental que o

aluno tenha acesso a textos escritos, mesmo que ainda no esteja alfabtico.

As questes da Provinha Brasil so elaboradas a partir de uma grade de descritores,

publicada pelo INEP, a Matriz de Referncia para Avaliao da Alfabetizao

Matemtica Inicial. Dessa matriz, destacamos os descritores relativos ao eixo da

Geometria 2 eixo conforme consta do Quadro 1:

Quadro 1: Eixo da Geometria na Matriz de Referncia para Avaliao da Alfabetizao Matemtica

Inicial

2 EIXO Geometria

Competncias Descritores/Habilidades

C4 Reconhecer as representaes de figuras geomtricas

D4.1 Identificar figuras geomtricas planas.

D4.2 Reconhecer as representaes de figuras geomtricas espaciais.

Essa grade j nos sinaliza que os contedos a ser exigidos no teste escrito no iro alm

da identificao e reconhecimento de figuras geomtricas planas e espaciais. Podemos

dizer que esses descritores esto coerentes com o que se espera de um aluno ao final dos

dois primeiros anos de escolarizao. No entanto, mesmo se restringindo a essas

5 A segunda autora deste texto participa de um Programa Observatrio da Educao, no qual as edies da

Provinha Brasil tm sido discutidas pelo coletivo dos professores participantes do programa.


habilidades bsicas, h que se analisar como as questes esto sendo apresentadas aos

alunos.

Ao todo, at o momento, j foram aplicados sete testes da Provinha Brasil. No Quadro 2

destacamos em cada edio, quais foram as questes relativas geometria e o foco das

mesmas.

Quadro 2 Questes de Geometria presentes na Provinha Brasil de Matemtica (2011-2014)

Edio Nmero da Questo Habilidade exigida

2011

01 Habilidade relacionada ao reconhecimento de

representao de uma figura geomtrica espacial

05 Habilidade relacionada identificao de uma figura

geomtrica plana em um conjunto de figuras.

12 Habilidade relacionada capacidade de identificar

figuras geomtricas planas.

2012/1


representao de uma figura geomtrica espacial





2012/2 19 Habilidade de identificar figuras geomtricas planas.

2013/1


representaes de figuras geomtricas espaciais.

11 Habilidade relacionada identificao de figuras

geomtricas planas.

2013/2

05 Habilidade de associar figuras geomtricas planas a seus

respectivos nomes.

06

Habilidade de reconhecer as representaes de figuras

geomtricas espaciais, associando objetos do mundo

fsico a representaes de alguns slidos geomtricos

simples.

09 Habilidade de relacionar representaes planas de

objetos tridimensionais a figuras geomtricas planas.

2014/1

05 Habilidade de relacionar representaes planas de

objetos tridimensionais a figuras geomtricas planas.

06 Habilidade de reconhecer as representaes de figuras

geomtricas espaciais.

10 Habilidade relacionada capacidade de identificar

figuras geomtricas planas.

2014/2

04 Habilidade de relacionar o formato de um objeto a uma

figura geomtrica (plana ou espacial)

10

Habilidade de identificar figuras geomtricas planas e

relacion-las com representaes dadas por meio de

figuras tridimensionais.

Constata-se haver uma coerncia entre as habilidades exigidas e aquelas prescritas

na Matriz de Referncia. Assim, as questes centram-se nas duas habilidades esperadas.

Da a semelhana na forma de escrita dessas habilidades, com algumas mudanas de

redao a partir de 2014.


Com exceo do segundo teste de 2012, em cada prova h, pelo menos, duas questes

relativas geometria. No entanto, possvel constatar que as questes so muito

semelhantes; mudam-se apenas alguns enunciados e as figuras apresentadas.

Considerando as similaridades entre as questes, selecionamos apenas algumas delas para

a nossa anlise.

Na Figura 1, trazemos a Questo 5 (teste 2011). Verifica-se que ela requer a habilidade

de percepo de figuras em campo (DEL GRANDE, 1994) e tambm habilidade de

reconhecer um objeto tridimensional na representao bidimensional.

Figura 1 - Questo 5 (teste 2011)

No primeiro teste de 2012, para responder corretamente Questo 3 (Figura 2) as crianas

deveriam ter vivenciando tarefas em que pudessem ler o que as representaes

bidimensionais traduzem de objetos tridimensionais, alm de identificarem os diferentes

elementos que compem esses objetos. Nesse caso houve o cuidado de anunciar que o

boneco foi construdo com sucata.

Fischbein (1993) chama a ateno para a necessidade de se considerar trs categorias de

entidades mentais quando se faz referncia a figuras geomtricas, ou seja: a definio, a

imagem (baseada na experincia perceptivosensorial, como a imagem de um desenho)

e o conceito figural. Ele enfatiza que o conceito figural uma realidade mental, a

construo conduzida por raciocnio matemtico no domnio da Geometria, isento de

quaisquer propriedades concretas sensoriais, mas que revela propriedades figurais.


Figura 2 Questo 03 (teste 1/2012)

No teste 2 de 2014 observa-se que na Questo 4 (Figura 3) requerido que a criana

relacione o formato de um objeto tridimensional a sua representao bidimensional.

Novamente cobrada a habilidade de percepo de figuras em campo (DEL GRANDE,

1994) e tambm habilidade de reconhecer um objeto tridimensional na representao

bidimensional. Para responder ao teste a criana necessita pensar em termos de imagens

mentais a representao do tubo de cola, sua percepo visual sofre ainda interferncias

de sua experincia prvia, associada a outras imagens mentais armazenadas em sua

memria. Se o conhecimento que ela tem de um tubo de cola no for de um cilindro ela

poder ter dificuldade de assinalar o item esperado.

O desenho em perspectiva apresentado no plano e o sentido dele implica em considerar o

espao no qual a criana se situa; desse modo, a representao grfica desse objeto

tridimensional bidimensional.

Assim, cabe instruo escolar ajudar o aluno a fazer a leitura de figuras tridimensionais

quando desenhadas no plano, em perspectiva. Se esse trabalho no foi realizado, os alunos

tero dificuldades em responder a questo.


Figura 3 - Questo 4 (Teste 2/2014)

Em algumas questes, a forma como as figuras so apresentadas tambm podem

confundir o aluno. Por exemplo, na questo 12 do teste de 2011 (Figura 4) o desenho da

folha do caderno induz a criana a reconhecer o nome da figura desenhada por Jos como

um retngulo.


Figura 4 - Questo 12 (teste 2011)

J no teste 2 de 2012, a Questo 19 (Figura 5) apresenta a mesma proposta, contudo, no

coloca mais o desenho da folha do caderno. O enunciado da questo diz que Paulo

desenhou um crculo, sendo que a criana deveria assinalar o item c.

Figura 5- Questo 19 (teste 2/2012)


Observa-se nessa questo que a circunferncia (ou contorno do disco) foi considerada

como crculo; enquanto que na Questo 8 desse mesmo teste (Figura 6) , aplicada no

primeiro semestre, as figuras planas esto hachuradas, que podem ser consideradas como

superfcies planas e contnuas. Aqui a habilidade exigida apenas a identificao do nome

da figura.


A representao de figuras planas requer cuidado e coerncia. Identificamos contradies

e lacunas que podem comprometer o desenvolvimento do pensamento geomtrico.

Observa-se que o objeto geomtrico est sendo tratado somente na componente figural.

Identificar figuras geomtricas atravs de contorno de objetos tem sido recorrente nas

Provas.

A Questo 6 do teste 1 de 2012 (Figura 7), indica que a criana precisa revelar habilidade

em perceber os elementos que compem uma caixa em forma de paraleleppedo.

Nota-se que o item considerado correto o contorno de um retngulo (item B). Da forma

que o paraleleppedo se apresenta pode dar ao aluno a ideia de um tringulo.


Figura 7 Questo 6 (teste 1/2012).

Na questo 9 do teste 2 de 2013 (Figura 8), solicitado o resultado do carimbo de uma

das faces de um objeto tridimensional.



Enquanto a face do objeto carimbado est representada por um retngulo com seu interior

preenchido, ou seja como uma superfcie, o conjunto dos slidos geomtricos, no qual a

criana dever relacionar a figura dada, est desenhado em perspectiva, porm sem o

preenchimento de suas faces, o que no implica que o objeto utilizado para fazer o

carimbo tenha superfcies planas pode ser apenas a estrutura de um objeto

tridimensional.

No teste 1 de 2014 a Questo 5 requer (Figura 9) que a criana conhea a brincadeira

ciranda, cirandinha, como uma brincadeira de roda e identifique o formato circular

do posicionamento das crianas nessa brincadeira. Se o aluno no conhecer a brincadeira,

provavelmente no conseguir relacionar com a figura. Alm disso, o formato da

brincadeira de circunferncia e no de crculo. Entendemos que o contexto utilizado no

foi adequado para a habilidade que se desejava avaliar.

Figura 9 - Questo 5 - 2014/1


Embora muitos estudantes possam considerar a figura geomtrica (desenho) como o

prprio conceito, como supostamente observado pelos descritores nas questes das

Provinha Brasil, importante considerar reflexes tericas trazidas nesse artigo no

processo ensino-aprendizagem da Geometria.

Ao considerarmos as habilidades referidas por Del Grande (1994) e os descritores e

questes do campo da geometria da Provinha Brasil, identificamos contradies e lacunas

relativas ao que se espera para o desenvolvimento do pensamento geomtrico. A matriz

de referncias da Avaliao da Alfabetizao Matemtica Iniciais da Provinha Brasil se

limita a conferir a competncia dos estudantes em reconhecer as representaes de figuras

geomtricas, em identificar figuras geomtricas planas e reconhecer as representaes de

figuras geomtricas espaciais. Se o que desejamos o desenvolvimento do pensamento

geomtrico, observa-se que o objeto geomtrico est sendo tratado somente na

componente figural.

Algumas consideraes sobre as questes apresentadas

Reconhecemos a dificuldade de se cobrar num teste escrito, com questes de mltipla

escolha, contedos que precisam ser trabalhados de forma dinmica em sala de aula, com

manuseio de modelos geomtricos. No entanto, se eles precisam constar das provas, h

de se ter maior cuidado com os aspectos visuais e conceituais, visto que estamos

assumindo que os conceitos geomtricos so figurais.

Um aspecto que chamou nossa ateno diz respeito impreciso das figuras. Por

exemplo, o crculo ora aparece hachurado como uma superfcie, ora apenas sua

circunferncia, ou ainda, como aconteceu no teste 2 de 2013, ele apareceu como coroa

circular (Figura 10):


Igualmente problemtico fato de as faces dos poliedros ou superfcies de slidos

geomtricos no serem hachuradas e, portanto, no do a ideia de superfcie.


Fica tambm, evidente, que em muitas questes, o que se exige apenas o nome da figura

como na questo da Figura 6 e em outras que no trouxemos aqui para anlise.

Como destacado em nossas discusses tericas, h que se ter o devido cuidado com as

palavras, visto que elas so os prprios conceitos em construo e, com os desenhos, visto

que as imagens mentais esto em processo tambm de construo e a representao e

nomeao equivocada de uma figura poder comprometer a elaborao conceitual do

aluno.

Finalmente, retomamos nossa preocupao inicial: se os contedos cobrados nessas

avaliaes nortearem as prticas do professor, a geometria continuar sendo ensinada de

forma mecnica. Nesse sentido, nosso contato com professores do ciclo de alfabetizao

tem nos evidenciado que os professores preparam seus alunos, ao longo do ano, para a

realizao dessas provas, aplicando questes que j fizeram parte de testes anteriores.

Assim, concordamos com Mortatti (2013, p. 28) quando considera

(...) que os resultados dos testes padronizados servem de base para a

organizao do trabalho pedaggico do professor, visando a que os alunos

avancem para o nvel seguinte por meio da aplicao de testes simulados para os alunos aprenderem a responder o que deles se espera , a sala de aula tem-se tornado lugar, no de relaes de ensino-aprendizagem, mas de

treinamento contnuo, para obteno de resultados positivos, os quais, por sua

vez, retroalimentam classificaes e novos simulados como procedimento

didtico.

Cabe, dessa forma, aos formadores de professores buscarem romper com essas prticas,

garantindo aos professores que atuam nos anos iniciais um repertrio de saberes

geomtricos que lhes d segurana para ensinar seus alunos e contribuir para a formao

de seu pensamento geomtrico.

Tambm questionamos se essa prova, de fato, tem servido como diagnstico da

aprendizagem dos alunos. As questes so muito simples. Alm disso, o teste 2 chega s

escolas ao final do perodo letivo: como utilizar seus resultados como diagnstico?

Referncias

BRASIL. Ministrio da Educao. Portaria Normativa N 10, de 24 de abril de 2007.

Institui a Avaliao de Alfabetizao "Provinha Brasil". Braslia: MEC, 2007.

Disponvel em: <

http://download.inep.gov.br/educacao_basica/provinha_brasil/legislacao/2007/provinha

_brasil_portaria_normativa_n10_24_abril_2007.pdf >. Acesso em: 10 mar. 2012.

BRASIL. Ministrio da Educao. Provinha Brasil. Avaliando a alfabetizao. Guia de

aplicao. Braslia: MEC, 2011.








DEL GRANDE, J. J. Percepo espacial e geometria primria. In Lindquist, M. M. e

Shulte A. P. Aprendendo e Pensando Geometria. Trad. Hygino H. Domingues. So

Paulo: Atual, 1994.

FROSTIG, M. e HORNE, D. The Frostig Program for the Development of Visual

Perception. Chicago: Follet Publishing Co, 1964.

HOFFER, A. R. Mathematics Resource Project: Geometry and Visualization. Palo

Alto, California: Creative Publications, 1977.

MORTATTI, M. do R. L. Um balano crtico da dcada da Alfabetizao no Brasil. In: Cadernos Cedes, v.33, n.89, p. 15-34, jan.-abr. 2013.

NACARATO, A. M; PASSOS, C. L. B. A geometria nas sries iniciais: uma anlise

sob a perspectiva da prtica pedaggica e da formao de professores. So Carlos:

EdUFScar, 2003.

VIGOTSKI, L.S. A construo do pensamento e da linguagem. So Paulo: Martins

Fontes, 2001.

Recebido em: 01/10/2014

Aceito em: 01/12/2014

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