Interpolação de dados por spline cúbica utilizando o software MATLAB

Glauber R. Colnago*, Marcelo Messias+ Depto. de Matemática, Estatística e Computação da FCT/ UNESP,

Cx. Postal 467 - 19060-900, Presidente Prudente, SP e-mail: gcolnago@hotmail.com

O ajuste de curvas por pontos dados é um problema muito comumente encontrado em diversos ramos do conhecimento como, por exemplo, na interpretação de fenômenos físicos, ciência médica, engenharia, geologia, entre muitos outros.

Neste trabalho é estudado o método para interpolar pontos no plano xy, chamado spline. O nome spline é de origem da língua inglesa, e é assim que é chamado um modelo físico de interpolação, muito usado na engenharia, que consiste de uma tira fina de madeira ou outro material, que é manipulada, sendo torcida de maneira que passe por determinados pontos. Pesos chamados ducks fixam a spline, sendo assim formada uma curva interpoladora.

Apesar de a spline física ser usada desde o século passado, só no fim da década de 60 é que foi desenvolvida a formulação matemática para este problema, que será estudada neste trabalho.

Para a formulação matemática do problema tomamos, por conveniência, pontos igualmente espaçados na direção do eixo x. Assim, a partir de n pontos igualmente espaçados dados, encontramos n-1 curvas, cada uma interpolando dois pontos de maneira que a união destas forme a curva interpoladora. É interessante que esta curva seja suave o bastante para nos satisfazer esteticamente. O olho humano é capaz de perceber descontinuidades de derivadas de segunda ordem, mas não de derivadas de ordem superior. Assim, tomamos a spline matemática de grau 3 (cúbica).

Fazemos um estudo teórico do método e a implementação do algoritmo é feita no software MATLAB. Utilizamos os resultados obtidos no estudo de um problema de determinação da densidade da água, com relação à temperatura.

Dados da temperatura e densidade da água, obtidos experimentalmente estão na seguinte tabela: _____________________

* Aluno do curso de Matemática da FCT/UNESP + Orientador, professor Doutor do Depto. de Matemática,

Estatística e Computação da FCT/UNESP

Temperatura (ºC) Densidade (g/cm3)

-10 0,99815 0 0,99987 10 0,99973 20 0,99823 30 0,99567

Tabela 1: Dados experimentais da temperatura e densidade da água.

Figura 1: Curva interpoladora dos dados experimentais da

temperatura e densidade da água (temperatura x densidade), obtida com spline cúbica.

As splines se tornam excelentes curvas

interpoladoras, devido ao fato de serem bastante suaves e, além disso, são bastante viáveis computacionalmente porque não exigem a resolução de sistemas lineares muito grandes e também evitam certas oscilações indesejadas, que é o que ocorre quando se utilizam polinômios de graus maiores para efetuar a interpolação.

Os resultados obtidos podem ser utilizados para interpolação de qualquer conjunto de pontos no plano, obtidos experimentalmente. Faz-se uma generalização do algoritmo estudado, para o caso de dados com coordenadas-x não igualmente espaçadas, também com implementação no MATLAB.

Referências

[1] H. Anton; C. Rorres, Álgebra Linear com Aplicações. Editora Bookman, 2001.

[2] D. F. Rogers, J. A. Adams, Mathematical for Computer Graphics. McGraw-Hill, Inc, 1990.