Artigo bode

X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente18 a 21 de setembro de 2011São João del-Rei - MG - Brasil

ISSN: 2175-8905 - Vol. X 785

ESTRATEGIA PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID DIGITAIS VIAALGORITMO GENETICO MULTIOBJETIVO BASEADO NAS ESPECIFICACOES

DAS MARGENS DE GANHO E FASE

Felipe C. Silva, Ginalber L. O. Serra∗

∗Instituto Federal de Educacao, Ciencia e TecnologiaDepartamento de Eletro-Eletronica

Laboratorio de Inteligencia Computacional AplicadaAv. Getulio Vargas, 04, Monte Castelo, 65030-005, Sao Luis, Maranhao, Brasil

Email: [email protected], [email protected]

Abstract— This paper proposes a methodology for digital PID controllers design via multiobjective geneticalgorithm based on gain and phase margins specifications to linear plants with time delay. The discrete transferfunctions of the PID controller and the linear plant with time delay are obtained, based on Tustin and Padeaproximations, to generate analytical formulas for the gain and phase margins in the frequency domain. Theseformulas are used to develop a multiobjective genetic algorithm so that based on gain and phase margins spec-ifications, the digital PID controller parameters can be obtained. Simulation results in the time and frequencydomains show the robustness and the efficience of the proposed methodology compared with others methodsavailable in the literature.

Keywords— Digital control, PID controller, genetic algorithm, intelligent control, linear plant, time delay.

Resumo— Este artigo propoe uma metodologia para projeto de controladores PID digitais via algoritmogenetico multiobjetivo baseada nas especificacoes margens de ganho e fase para plantas lineares com atraso detempo. As funcoes de transferencia discreta do controlador PID e da planta linear com atraso de tempo saoobtidas com base nas aproximacoes de Tustin e Pade, para gerar formulas analıticas para as margens de ganho efase no domınio da frequencia. Estas formulas sao usadas para desenvolver um algoritmo genetico multiobjetivo,para que com base nas especificacoes margens de ganho e fase, os parametros do controlador PID digital possamser obtidos. Os resultados de simulacao no domınio do tempo e da frequencia mostram a robustez e a eficienciada metodologia proposta em comparacao com outros metodos disponıveis na literatura.

Palavras-chave— Controle digital, controlador PID, algoritmos geneticos, controle inteligente, planta linear,atraso de tempo.

1 Introducao

O avanco recente na tecnologia de computa-dores tem proporcionado novas direcoes para oprojeto de controladores, tais como a realizacaode controles adaptativos, auto-ajustaveis, controleinteligente de processos e controladores realiza-dos a partir de metodos de otimizacao probabi-lısticos (Kristinsson and Dumont, 1992) e (Marınet al., 1998). Neste patamar, o controlador PIDainda representa a melhor escolha no setor in-dustrial, de forma que muitos metodos tem sidodesenvolvidos para o ajuste de seus parametros(Astrom and Hagglund, 1995). Eles surgiram nadecada de 30 e eram desenvolvidos inicialmentecom dispositivos pneumaticos e mecanicos. Com oadvento dos semicondutores, os controladores PIDpassaram a ser desenvolvidos usando-se dispositi-vos analogicos. Na decada de 60, com o surgi-mento dos circuitos integrados, foram concebidosos sistemas de controle digital (Aguirre, 2007). Fi-nalmente na decada de 80, com a diminuicao doscustos dos microcomputadores e microcontrolado-res, os controladores PID digitais se consolidaramnas industrias. A partir de entao, o desenvolvi-mento de metodologias para o projeto de controla-dores PID digitais que garantissem estabilidade erobustez tornou-se necessario (Ashry et al., 2008),

(Keel et al., n.d.) e (Zhang et al., n.d.). Metodosbaseados na resposta em frequencia sao ampla-mente utilizados para o projeto de controladoresrobustos (Ogata, 2011). Nestes, duas medidas im-portantes sao comumente empregadas para se de-terminar a estabilidade relativa dos sistemas emanalise: as margens de ganho e de fase. Estasespecificacoes pre-definidas e alcancadas no pro-jeto, garantem estabilidade e robustez do sistemade controle, mesmo diante de variacoes em al-gum componente da planta que influencie o ganhoa malha aberta, constantes de tempo, atraso detempo etc...(Ogata, 2011) e (Franklin et al., 1986).Contudo, o projeto a partir das margens de ganhoe fase e normalmente realizado por metodos detentativa e erro baseada nos graficos de Bode. Taisabordagens nao sao muito adequadas para o usoem controle adaptativo e auto-ajustaveis onde osparametros do controlador devem ser calculadoson-line. Em especial, no projeto de controladoresPID digitais, o tracado do diagrama de bode estarestrito a limitacoes do perıodo de amostragem es-colhido bem como das aproximacoes estabelecidasdurante o processo de discretizacao. A fim de de-senvolver uma metodologia de projeto de contro-ladores PID digitais, neste artigo e proposta umametodologia via algoritmo genetico multiobjetivopara a sintonia dos parametros de controladores


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PID digitais de modo a atender as especificacoesdas margens de ganho e fase pre-estabelecidas.As funcoes de transferencia discreta do controla-dor PID e da planta linear com atraso de temposao obtidas com base na transformacao Tustin e aaproximacao de Pade, para gerar formulas analıti-cas para as margens de ganho e fase no domınio dafrequencia. Estas formulas sao usadas para desen-volver um algoritmo genetico multiobjetivo, paraque com base nas especificacoes margens de ganhoe fase, os parametros do controlador PID digitalpossam ser obtidos. Os resultados de simulacaono domınio do tempo e da frequencia mostram arobustez e a eficiencia da metodologia propostaem comparacao com outros metodos disponıveisna literatura.

2 Analise das margens de ganho e fase notempo discreto

Seja a funcao de transferencia de um contro-lador PID convencional dada por:

Gc(s) = Kp +Ki

s+Kds (1)

onde Kp, Ki e Kd sao os ganhos proporcional,integral e derivativo respectivamente, e o opera-dor s representa a transformada de Laplace. Adiscretizacao deste controlador pode ser realizadopor quaisquer metodos de discretizacao tais comometodo de Euler ou retangular em avanco, me-todo retangular em atraso, metodo trapezoidalou aproximacao de Tustin ainda conhecido comoaproximacao bilinear e metodo de mapeamento depolos-zeros. Destes, escolheu-se a aproximacao deTustin, pois esta preserva as condicoes de estabili-dade dos sistemas transformados (Tzafestas, n.d.).Deste modo, um sistema estavel no tempo contı-nuo e transformado em outro sistema estavel notempo discreto e a mesma relacao sendo validapara sistemas instaveis. A transformacao e ex-pressa pela seguinte relacao:

s =2

T

(z − 1)

(z + 1)(2)

onde T equivale ao perıodo de amostragem e ooperador z representa a transformada z.

Deste modo, o equivalente discreto para o con-trolador PID e obtido e representado pela seguinteequacao:

Gc(z) =K1z

2 +K2z +K3

(z2 − 1)(3)

Onde as constantes K1, K2 e K3 representam asseguintes relacoes:

K1 = Kp + TKi

2+ 2

Kd

T(4)

K2 = 2(TKi

2− 2

Kd

T) (5)

K3 = −Kp + TKi

2+ 2

Kd

T(6)

Seja a planta linear de segunda ordem comatraso de tempo dada pela seguinte funcao detransferencia:

Gp(s) =K

s2 + α1s+ α2e−Ls (7)

onde K e o ganho da planta, α1 e α2 sao os coe-ficientes da equacao caracterıstica, e L e o atrasode tempo. Nesta analise, representou-se o atrasode tempo e−Ls de forma aproximada como umarazao de polinomios em s, como segue:

e−Ls ≈ Rn(s) =Qn(−Ls)

Qn(Ls)(8)

sendo,

Qn =

n∑j=0

(n+ j)!

j!(n− j)!(Ls)(n−j) (9)

Deste modo, o atraso de tempo e aproximadopor uma funcao de transferencia de ordem finita,onde, quanto maior a ordem escolhida mais razoa-vel sera a aproximacao. Utilizando uma razao depolinomios de grau dois, o que ja apresenta resul-tados satisfatorios, e obtida a seguinte funcao detransferencia para o atraso de tempo:

e−Ls ≈ R2 =(Ls)2 − 6Ls+ 12

(Ls)2 + 6Ls+ 12(10)

Os equivalentes discretos para planta e parao atraso de tempo, considerando o mesmo proce-dimento realizado para discretizar o controladorPID, sao dados por:

Gp(z) =KT 2(z + 1)2

B1z2 +B2z +B3(11)

onde,

B1 = (4 + 2α1T + α2T2) (12)

B2 = (2α2T2 − 8) (13)

B3 = (4− 2α1T + α2T2) (14)

e

R2(z) =D1z

2 + Cz +D2

D2z2 + Cz +D1(15)

onde,C = 6T 2 − 2L2 (16)

D1 = L2 − 3LT + 3T 2 (17)

D2 = L2 + 3LT + 3T 2 (18)


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Uma vez obtidas as funcoes de transferen-cia para o controlador PID e para planta comatraso no domınio do tempo discreto, no que segueobtem-se a formulacao das equacoes para as mar-gens de ganho e de fase no domınio da frequencia.

2.1 Equacoes no domınio da frequencia

As equacoes no domınio da frequenciabaseiam-se na seguinte transformacao bilinear,descrita em (Franklin et al., 1986):

z =1 +W T

2

1−W T2

(19)

onde W e uma variavel auxiliar a qual e equiva-lente a:

W =2

T

(z − 1)

(z + 1)(20)

Substituindo z = ejs na equacao (20) tem-se:

W =2

T

esT − 1

esT + 1=

2

T

esT/2 − e−sT/2

esT/2 + e−sT/2

⇒ W =2

Ttanh(sT/2) (21)

Sendo s puramente imaginario, ou seja, igual a jwa equacao (21) resulta em:

W =2

Tjtan(wT/2) (22)

Ainda, para W = jn, onde n representa uma va-riavel no domınio de W , tem-se:

jn =2

Tjtan(wT/2) (23)

Sabe-se que para valores pequenos a tangente deum angulo e aproximadamente igual ao seu valormedido em radianos. Para pequenos valores deT em uma determinada faixa de w pode-se con-siderar que o arco sera pequeno o bastante paravalidar a seguinte relacao:

T

2n = w

T

2⇒ n = w (24)

Deste modo, utilizando-se a transformacao bili-near e considerando um perıodo de amostragemT pequeno o suficiente para garantir a validadede (24), encontram-se as seguintes equacoes nafrequencia para o controlador:

Gc(jw) =4A2Tw + (A1T

2w2 − 4A3)j

8Tw(25)

onde,A1 = K1 −K2 +K3 (26)

A2 = K1 −K3 (27)

para a planta:

A3 = K1 +K2 +K3 (28)

Gp(jw) =16KT 2

(β3 − β1T 2w2) + β2wj(29)

onde,β1 = B1 −B2 +K3 (30)

β2 = 4(B1 −B3) (31)

β3 = 4(B1 +B2 +B3) (32)

e para o atraso de tempo:

R2(jw) =σ + γj

σ − γj(33)

onde,

σ = 4(D1 +C +D2)− (D1 +C +D2)T2w2 (34)

γ = 4(D1 −D2)Tw (35)

2.2 Equacoes para sintonia do controlador PIDdigital

A partir das equacoes no domınio da frequen-cia para o controlador, planta e o atraso de tempopretende-se determinar as equacoes de sintoniapara o controlador PID digital. Estas equacoes,conforme dito anteriormente, serao baseadas nasespecificacoes das margens de ganho e fase. Asdefinicoes basicas de margens de ganho e fase im-plicam em:

arg[Gc(jwp)Gp(jwp)R2(jwp)] = −π (36)

Am =1

|Gc(jwp)Gp(jwp)R2(jwp)|(37)

|Gc(jwg)Gp(jwg)R2(jwg)| = 1 (38)

Pm = arg[Gc(jwg)Gp(jwg)R2(jwg)] (39)

Onde a margem de ganho e dada pelas equa-coes (36) e (37), e a margem de fase pelas equa-coes (38) e (39). A frequencia wp na qual a fasedo sistema em malha aberta e igual a 180graus econhecida como frequencia de cruzamento da fase,e a frequencia wg na qual o modulo do sistema emmalha aberta e igual a 0dB (ou seja igual a 1) econhecida como frequencia de cruzamento do ga-nho. Substituindo-se as equacoes (25), (29) e (33)nas equacoes (36)-(39) tem-se:

atan(I1R1

)− atan(I2R2

) + 2atan(6Lwp

L2w2p − 12

) = −π

(40)

Am =

√R2

2 + I22√R2

1 + I21(41)

√R2

2 + I22√R2

1 + I21= 1 (42)


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Φm = atan(I1R1

)− atan(I2R2

)+2atan(6Lwg

L2w2g − 12

)

(43)onde,

R1 = 16KKpT3w (44)

R2 = 2α2T2w[8T+T 2w2−T 3w2]−16T 3w3 (45)

I1 = Ki(KT 5w2−12T 3K)+Kd(12KT 3w2−16TK)(46)

I2 = 16α1T3w2 (47)

Estas equacoes serao utilizadas para a sinto-nia do controlador PID digital, onde os ganhosK1, K2 e K3 serao encontrados de modo que asespecificacoes das margens de ganho e fase sejamatendidas. As equacoes (40) e (42) determinamas frequencias de cruzamento de fase e ganho que,por sua vez, sao aplicadas as equacoes (41) e (43)para se determinar os valores das margens de ga-nho e fase. Especificando-se valores de margens deganho e fase de modo a garantir a estabilidade dosistema, mesmo a possıveis variacoes do processocontrolado, pode-se determinar os parametros docontrolador PID digital e por fim projetar um con-trolador robusto e de facil realizacao. Porem, de-vido a complexidade das equacoes (40)-(43), me-todos analıticos nao sao praticaveis e, portanto,neste artigo e proposta uma estrategia de sintoniavia algoritmo genetico multiobjetivo.

3 Estrategia de sintonia multiobjetiva

Nesta secao, uma estrategia baseada em algo-ritmo genetico multiobjetivo para a sintonia doscontroladores PID digitais, a partir das especifica-coes das margens de ganho e fase e das frequen-cias de cruzamento de ganho e fase, sera apresen-tada. A funcao de custo foi definida utilizando-seas equacoes (40), (41), (42) e (43). Cada cromos-somo e constituıdo por tres genes, onde cada generepresenta um parametro do controlador PID di-gital. A funcao avaliativa ou de custo toma o con-junto de valores de cada cromossomo e pelas equa-coes (41) e (43) determina as margens de ganho efase. Estas, por sua vez, sao comparadas com asmargens de ganho e fase especificadas inicialmenteno projeto. Neste artigo, pretende-se que os valo-res das margens de ganho e fase calculados sejamtao proximos quanto possıvel dos valores especi-ficados, de forma a minimizar a funcao de custo,como segue:

Custo = Vespecificado − Vcalculado (48)

onde Vespecificado e Vcalculado sao os valores dasmargens de ganho e fase especificados e calcula-dos, respectivamente.

Se o valor da margem calculada for negativoesta sera somada com o valor especificado aumen-tando o custo. Caso contrario, quando positivasera subtraıda deste e minimizara o custo. Even-tualmente se o valor da margem calculada for po-sitivo e maior que o especificado o valor de custosera negativo. Para se obter valores proximos aosespecificados toma-se o modulo da diferenca en-tre o valor especificado e o calculado. Fazendoisso o menor custo possıvel sera zero e nao maisum valor negativo. Assim o algoritmo procura osvalores dos ganhos que proporcionem margens deganho e fase proximas aquelas especificadas. Ou-tro problema que deve ser levado em conta e o daequivalencia das frequencias de cruzamento de ga-nho e fase. Estas sao especificadas na funcao decusto para o calculo das margens, porem podemnao corresponder a verdadeiras frequencias de cru-zamento. Quando isto ocorre os valores calculadosdas margens de ganho e de fase sao equivocadosvisto que foram calculados em relacao a frequen-cias que nao representam as verdadeiras frequen-cias de cruzamento. Para evitar que o algoritmoconvirja erroneamente introduz-se outra etapa nocalculo de custo, a analise das frequencias espe-cificadas como frequencias de cruzamento. Paraisto utiliza-se as equacoes (40) e (42) e calcula-seo modulo do sistema em wg especificado e a faseem wp especificado. Depois disto comparam-se osvalores de modulo e fase calculados com os valoresideais, ou seja, o modulo igual a 1 (ou 0 dB) e faseigual a -180 graus. Utiliza-se entao o mesmo artifı-cio mencionado anteriormente e toma-se o moduloda diferenca entre o valor especificado e o calcu-lado, ou seja, o algoritmo concentra-se em encon-trar uma solucao na qual as frequencias wp e wg

estejam o mais proximo possıvel das reais frequen-cias de cruzamento de ganho e fase. A equacaofinal de custo multiobjetivo e dada a seguir:

Custo1 =∣∣Amesp

−Amcalc

∣∣+ ∣∣Pmesp− Pmcalc

∣∣Custo2 =

∣∣Amwg −Amcalc

∣∣+ ∣∣Pmwp − Pmcalc

∣∣Custototal = Custo1 + Custo2 (49)

O algoritmo trabalha com uma populacao de 100cromossomos e com um criterio de convergenciaestipulado sobre o um numero limite de geracoes.Cada iteracao do algoritmo representa uma ge-racao; entao, evidentemente, o algoritmo executadurante as n iteracoes especificadas e apos mostraa melhor solucao encontrada. Escolheu-se traba-lhar com um numero maximo de 1000 geracoes. Oalgoritmo inicia gerando aleatoriamente uma po-pulacao com 100 cromossomos. Estes sao avali-ados pela funcao de custo (49) e classificados deacordo com o seu custo. A seguir ocorrem as eta-pas de selecao e cruzamento de cromossomos. A


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selecao de parceiros para o cruzamento e feita pelometodo de emparelhamento randomico com pon-deracao de custo (Haupt and Haupt, 2004), o quale aplicado sobre os 50 melhores cromossomos decada geracao. Neste metodo os cromossomos commenor custo tem maior possibilidade de serem es-colhidos para cruzamento. O cruzamento entredois cromossomos gera dois novos descendentes ee realizado por um operador de crossover simpleso qual realiza uma soma ponderada entre os genesdos pais a fim de gerar dois novos descendentes,ilustrado a seguir:

cromossomo1 = [pm1, pm2, pm3, ..., pmn]

cromossomo2 = [pp1, pp2, pp3, ..., ppn]

dnew1 = β ∗ pmn + (1− β) ∗ ppndnew2 = β ∗ ppn + (1− β) ∗ pmn (50)

onde os termos pmn e ppn representam os n genesdo cromossomo mae (cromossomo1)e do cromos-somo pai (cromossomo2) respectivamente, dnewos novos descendentes gerados a partir dos doiscromossomos e β um operador de ponderacao quepode assumir qualquer valor entre 0 e 1. Os 50 cro-mossomos pais geram 50 novos indivıduos e estesformam a metade da nova populacao que sera ava-liada na proxima geracao. O melhor cromossomoda geracao anterior e mantido para proxima gera-cao totalizando assim os 51 cromossomos sobrevi-ventes. Ainda sobre os descendentes e aplicado ooperador de mutacao que aleatoriamente ira sele-cionar um gene e alterar seu valor para qualqueroutro valor dentro da faixa da variavel. No fim decada geracao sao criados aleatoriamente mais 49novos cromossomos formando por fim a nova po-pulacao de 100 cromossomos para a proxima gera-cao. As etapas de avaliacao, classificacao, selecaode parceiros, cruzamento, mutacao e formacao danova populacao sao repetidos a cada iteracao.

4 Resultados

Para testar o algoritmo desenvolvido foi esco-lhida uma planta conforme em (7) com K = 2,α2 = 3, α3 = 2 e L = 0.5. Os valores demargem de ganho e fase sao especificados em 9dB e 60 graus o que garantem uma boa mar-gem de estabilidade para o sistema. Se a frequen-cia de cruzamento de ganho for especificada comowg = 1 rad/s e considerando um decaimento de20 dB/decada nesta regiao tem-se que o valor de-9 dB ocorrera por volta da frequencia de 2.82rad/s, entao o valor da frequencia de cruzamentode fase e especificado como wp = 3 rad/s. Afrequencia wg representa uma estimativa para lar-gura de banda do sistema a qual esta relacionadade modo inverso com o tempo de subida e de as-sentamento do sistema, e a margem de fase estadiretamente relacionada com o amortecimento dosistema (Ogata, 2011). Assim, wg e Pm podem

ser especificados para garantir valores razoaveisde tempo de subida e pico de resposta para o sis-tema em malha fechada. O algoritmo trabalha emcima de valores de K1, K2 e K3 afim de determi-nar o conjunto que mais se aproxima dos valoresespecificados para margens de ganho e fase. Estee executado conforme definido na secao anterior ecom uma taxa de mutacao de 10%, o resultado en-contrado pode ser visto nas figuras a seguir, ondeforam plotadas a resposta em frequencia para osistema em malha aberta (Figura 1) e a respostaao degrau do sistema em malha fechada (Figura2a). Para a mesma planta foi projetado outrocontrolador PID baseado no metodo de Ziegler-Nichols (Franklin et al., 1986) e juntamente coma planta fora discretizado pelo metodo descrito nasecao 2. Este apresentou uma resposta altamenteoscilatoria e com tempo de acomodacao relativa-mente alto, comparado com os controladores PIDdigitais obtidos pela metodologia proposta, apre-sentados na Figura 2a. Aplicou-se ainda o algo-ritmo a outros sistemas os quais sao apresentadosna Tabela 1 e seus resultados na Tabela 2. AFigura 2b mostra o impacto sobre a resposta notempo, para uma mesma planta, devido a varia-coes de wg e Pm.

Tabela 1: Especificacoes dos parametros e modelospara teste do algoritmo.

ref. Modelo Am Pm (wg;wp)Contınuo (dB) (◦) (rad/s)

1 2e−0.5s

s2+3s+2 9 60◦ (1.0; 3.0)

2 e−1.58s

s2+2s+1 9 45◦ (0.4; 1.0)

3 0.28e−1.73s

s2+1.06s+0.28 8 45◦ (0.4; 1.0)

4 2e−1.0s

s2+3s+2 6 45◦ (0.7; 1.4)

5 Conclusoes

Uma estrategia de sintonia para controladoresPID digitais via margens de ganho e fase foi pro-posta neste artigo. Esta possibilitou a obtencaodos ganhos para os controladores especificando osvalores das margens de ganho e fase desejadas,bem como das frequencias de cruzamento de ga-nho e fase, por meio do algoritmo genetico mul-tiobjetivo. Para as plantas de segunda ordem se-lecionadas para teste, o algoritmo genetico multi-objetivo desenvolvido conseguiu encontrar valorespara os ganhos do controladores PID digitais quepossibilitaram margens de ganho e fase, bem comoas frequencias de cruzamento, proximas das espe-cificadas, validando a metodologia proposta.


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Tabela 2: Resultados obtidos pelo algoritmo apos1000 geracoes. *Parametros do controlador projetadopelo metodo de Ziegler-Nichols.

ref. PID digital Am Pm (wg;wp)(K1;K2;K3) (dB) (◦) (rad/s)

1 (10.85; -18.3; 7.65) 9.48 58.8 (1.07; 2.97)

2 (9.17; -16.76; 7.67) 8.53 50.6 (0.40; 1)

3 (35.98; -69.15; 33.26) 7.92 46.3 (0.38; 1)

4 (7.44; -12.73; 5.44) 7.09 44.8 (0.71; 1.5)

ZN* (27.5; -47.7; 20.7) 1.5 11.5 (2.5; 2.93)

−200

−150

−100

−50

0

50

Mód

ulo

(dB

)

10−1

100

101

102

−90

0

90

180

270

Fas

e (°

)

Am = 9.48 dB (at 2.97 rad/sec) , Pm = 58.8 deg (at 1.07 rad/sec)

Frequência (rad/sec)

−200

−150

−100

−50

0

50

Mód

ulo

(dB

)

10−1

100

101

102

−1440

−1080

−720

−360

0

Fas

e (°

)

Am = 1.5 dB (at 2.93 rad/sec) , Pm = 11.5 deg (at 2.5 rad/sec)

Frequência (rad/sec)

PID−genético (1) PID Ziegler−Nichols

Figura 1: Analise de desempenho no domınio dafrequencia do controlador PID obtido via Algoritmogenetico e do controlador PID obtido via metodo deZiegler-Nichols.

Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer ao CNPqpelo suporte financeiro.

Referencias

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0 2 4 6 8 10 12−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Resposta ao degrau (b)

Tempo (segundos) (seconds)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.5

1

1.5

Resposta ao degrau (a)

Tempo (segundos) (seconds)

Am

plitu

de

Zn

1

4

32

b1: w

g = 1.50 rad/s; P

M = 44.9°;

b2: w

g = 1.07 rad/s; P

M = 58.8°;

b3: w

g = 0.50 rad/s; P

M = 73.4°;

b1

b3

b2

Figura 2: (a) Analise de desempenho no domınio dotempo dos controladores PID digitais obtidos via algo-ritmo genetico 1-4 e metodo Ziegler-Nichols Zn. (b)Analise de desempenho no domınio do tempo dos con-troladores obtidos pelo algoritmo genetico para dife-rentes valores de wg e Pm controlando a planta 1.

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