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IMPLEMENTAO DO MTODO RAYLEIGH-RITZ APLICADO A UM MODELO
DE DEFLEXO DE VIGA USANDO O MATLAB
Yuri Elias Rodrigues1
Eliete Biasotto Hauser2
Modelagem Matemtica
Resumo: Neste trabalho apresentamos os fundamentos tericos para
a construo do Mtodo de Rayleig-Ritz,
aplicado em um problema de valor de contorno, que modela
matematicamente a deflexo de uma viga. O
algoritmo foi implementado computacionalmente com o auxilio do
software Matlab para diferentes
espaamentos de malha. Os resultados obtidos foram comparados com
a soluo obtida pela tcnica da
transformada de Laplace. Finalizamos apresentando um estudo de
custo do algoritmo.
Palavras Chaves: Mtodo de Rayleigh-Ritz, Matlab, Deflexo de
Viga
INTRODUO
Concebido exclusivamente pelo fsico-matemtico suo Walter Ritz
(1878-1909)
(LEISSA, A.W.,2005), o Mtodo de Rayleigh-Ritz (MRR),
popularizou-se academicamente
com o advento dos computadores, tendo xito em problemas nas reas
de engenharia
mecnica, aerodinmica, mecnica quntica e etc.
O MMR, assim como outros mtodos variacionais, busca determinar
os pontos crticos
de um funcional, cujo domnio um espao vetorial, com imagem em um
corpo de escalares.
Trata-se de um problema de minimizao, no qual determina-se
aproximadamente os pontos
estacionrios do funcional envolvido, encontrando a soluo.
Para analisar a eficincia implementamos o algoritmos usando o
software de lgebra
linear numrica Matlab de duas maneiras que se diferenciam pelo
aproveitamento da estrutura
da matriz associada ao problema.
1 Licenciando em Matemtica. Pontifcia Universidade Catlica do
Rio Grande do Sul.
[email protected] 2 Doutora em Matemtica Aplicada.
Pontifcia Universidade Catlica do Rio Grande do Sul.
[email protected]
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O MTODO DE RAYLEIGH-RITZ
Descrio do Mtodo de Rayleigh-Ritz sobre o modelo de deflexo de
viga
A tcnica variacional requer a escolha funes de base usadas na
construo da
soluo que satisfazem certas condies. Descrevemos o problema de
valor de contorno
(PVC), que modela a deflexo de uma viga, , com seco transversal
, sujeitas as
tenses e , com extremidades fixas, expresso por
A soluo exata de (1), aproximada por com
Para a construo das funes de base , necessrio partir o domnio da
equao (1)
selecionando os valores
com e , temos que
ilustradas na Figura 1.
Como as funes de base so obtidas de (3), em (2) necessrio
calcular os
coeficientes . Para determinar esses coeficientes, o MRR exige
minimizar o funcional
associado equao (1),
Figura 1: funo de base
(2)
(1)
(3)
(3)
-
(5)
Para tanto, substitumos a equao (2) na equao (4) obtendo:
O valor mnimo do funcional ocorre quando sua derivada parcial em
relao
igual a 0, ou seja
Ento,
.
A equao (7) pode ser representada matricialmente na forma
,
em que uma matriz tridiagonal de ordem , e seus elementos no
nulos so expressos
por
Dos elementos da matriz, os valores no nulos ocorrem quando o
produto das funes
de base no nulo, desta forma temos que
=
+
para ,
+
para ,
,
para .
(4)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
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De forma semelhante para os elementos do vetor , podemos colocar
escrever a
integral apenas em termo dos seus valores no nulos.
Com elementos no nulos:
para
Integrais constituintes dos elementos do Sistema de Equaes
Lineares
Por conta dos elementos nulos produzidos pelas funes de base nos
valores do fora
dos intervalos , com em (9) e (10), os elementos diferentes de
zero
ocorrem apenas quando igual a , ou . Logo e so descritos apenas
para
valores no nulos, expressos em seis tipos de integrais:
.
O clculo das integrais so uma das partes do algoritmo mais
custosas, uma vez
que exigem uma resoluo numrica e produzem os elementos do
sistema de equaes
lineares. Podem inclusive trazer dificuldades para a resoluo do
sistema, dependendo
de quo bem condicionada a matriz envolvida.
Em relao as funes de base, existem variaes, ao invs do uso de
funes
triangulares, poderia ser utilizados polinmios ou outra funo,
desde que esta satisfaa
as exigncias do mtodo, e preferivelmente forme uma matriz com
uma estrutura que
fornea bons resultados.
(10)
(11)
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PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO
Modelo de deflexo de viga e soluo exata
Para avaliar a soluo aproximada de (1) escolhemos uma equao
diferencial que
modela a deflexo de uma viga em forma de chapa, apoiada sobre
seus extremos, (12), a qual
obtemos a soluo exata. O MRR foi aplicado ao seguinte PVC,
Sua soluo exata foi obtida atravs do mtodo da transformada de
Laplace, induzindo
que o PVC seja representado como uma equao algbrica, e ento
aplicar a transformada
inversa, encontrando a soluo. A grfico esta ilustrado nas
figuras 2 e 3.
+
Ao utilizarmos o artifcio das fraes parciais separamos a equao
com dois termos
para que possamos aplicar de uma forma mais simples a
transformada inversa.
.
ALGORITMO
(12)
(13)
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Figura 3: grfico da soluo em um
intervalo exterior ao definido no PVC
ALGORITMO
O planejamento de um algoritmo tem
como finalidade otimizar o tempo e espao para obter uma soluo
confivel e rpido. Para
avaliar o MRR, utilizamos das propriedades de pr-alocao dos
espaos a serem utilizados
ao longo do algoritmo e controlamos o tempo em cada uma das
etapas decisivas. Colocamos
no algoritmo o controle de detalhamento visual, em que possvel
melhorar a qualidade da
soluo, em termos de quantidade de amostras. O algoritmo criado
apresenta o erro absoluto
no mesmo grfico que as solues.
Pseudoalgoritmo do Mtodo de Rayleigh-Ritz utilizando a funo de
base triangular
Implementao do Algoritmo
Na funo MRR a seguir implementada no Matlab, temos que o vetor
de nodos, os
parmetros , e , so as funes , e na equao (1), e so os limites
em
(1), onde estabelecido o contorno do problema, e o nmero de
pontos para detalhamento
do grfico. Este primeiro (MRR) algoritmo no leva em conta a
configurao tridiagonal que
explorada no algoritmo MRRtrid.
Inserir: inteiro pontos
Sada: coeficientes e aproximao para o PVC (1)
Passo 1 Definindo as diferenas entre os nodos
Para faa
Passo 2 Construo das funes
Para construir as funes descritas em (3)
Passo 3 Clculo das integrais
Para calcule o conjunto de integrais (11),
, e ,
Passo 4 Construo do SEL associado ao problema
para , faa
para , faa
para , faa
para faa
Passo 5 Resoluo do SEL exibido em (8) e obteno dos coeficientes
utilizados na
aproximao da soluo.
Passo 6 Construo da soluo como em (2)
Figura 2: grfico da soluo no intervalo
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function MRR(x,p,q,f,a,b,N)
Declarao da vriavel simblica ponto = sym('ponto');
Incio do contador de tempo tic;n=length(x)-2;
Vetor para o detalhamento do grfico e
pr-alocao de memria do vetor para
detalhamento vec=zeros(1,N+1); for i=0:N;
vec(1,i+1)=a+i*(b-a)/N; end
Partio do domnio h=zeros(1,n+1);
for i=1:n+1; h(1,i)=x(:,i+1)-x(i); end
Clculo, pr-alocao de espao para as
integrais e converso numrica Q1=zeros(1,n-
1);Q2=zeros(1,n);Q3=zeros(1,n);Q4=
zeros(1,n+1);Q5=zeros(1,n);Q6=zero
s(1,n); for i=1:n-1;
Q1(:,i)=(1/h(:,i+1))^2*int((x(:,i+
2)-ponto)*(ponto-
x(:,i+1))*q,x(:,i+1),x(:,i+2));
Q2(:,i)=(1/h(:,i))^2*int((ponto-
x(:,i))^2*q,x(:,i),x(:,i+1));
Q3(:,i)=(1/h(:,i+1))^2*int((ponto-
x(:,i+1))^2*q,x(:,i+1),x(:,i+2));
Q4(:,i)=(1/h(:,i))^2*int(p*ponto^0
,x(:,i),x(:,i+1)); Q5(:,i)=(1/h(1,i))*int((ponto-
x(1,i))*f,x(1,i),x(1,i+1));
Q6(:,i)=(1/h(1,i+1))*int((x(1,i+2)
-ponto)*f,x(1,i+1),x(1,i+2)); end i=i+1;
Q2(:,i)=(1/h(:,i))^2*int((ponto-
x(:,i))^2*q,x(:,i),x(:,i+1));
Q3(:,i)=(1/h(:,i+1))^2*int((ponto-
x(:,i+1))^2*q,x(:,i+1),x(:,i+2));
Q4(:,i)=(1/h(:,i))^2*int(p*ponto^0
,x(:,i),x(:,i+1));
Q5(:,i)=(1/h(1,i))*int((ponto-
x(1,i))*f,x(1,i),x(1,i+1));
Q6(:,i)=(1/h(1,i+1))*int((x(1,i+2)
-ponto)*f,x(1,i+1),x(1,i+2)); i=i+1;
Q4(:,i)=(1/h(:,i))^2*int(p*ponto^0
,x(:,i),x(:,i+1));
Q1=double(Q1);Q2=double(Q2);Q3=dou
ble(Q3);Q4=double(Q4);Q5=double(Q5
);Q6=double(Q6);
Transformao de valor simblico para
valor numrico Q1=double(Q1);Q2=double(Q2);Q3=dou
ble(Q3);Q4=double(Q4);Q5=double(Q5
);Q6=double(Q6);
Resoluo e construo do sistema sem
levar em conta a configurao
tridiagonal e pr-alocao de espao
para o sistema de equaes lineares
A=zeros(n);b=zeros(1,n);c=zeros(1,
n); phi=zeros(1,n);
for i=1:n;
A(i,i)=Q4(:,i)+Q4(:,i+1)+Q2(:,i)+Q
3(:,i); end for i=1:n-1 A(i,i+1)=-Q4(:,i+1)+Q1(:,i); end for
i=2:n A(i,i-1)=-Q4(:,i)+Q1(:,i-1); end
A(n,n)=Q4(:,n)+Q4(:,n+1)+Q2(:,n)+Q
3(:,n); for i=1:n; be(i,:)=Q5(:,i)+Q6(:,i); end
c=A\be;
Funes de base, pr alocao de espao
para o vetor erro, aproximao e
soluo exata aprox=zeros(1,N);exa=zeros(1,N);
ERROM=zeros(1,N);
for j=1:N+1; X=vec(1,j); for i=1:n; if and(a
-
phi(1,i)=(X-
x(:,i))/h(:,i); end if
and(x(:,i+1)
-
Considerando respectivamente, , e , na figura 4,
representamos
graficamente a soluo, (em azul), a soluo exata (em vermelho) e o
erro
absoluto (em verde).
Os erros absolutos, , so apresentados na Tabela 1, e sugerem
a
convergncia de para , medida que refinamos a malha.
Na tabela 2 comparamos os valores aproximados obtidos para cada
amostra da
simulao em relao ao valor exato, podemos notar que quando usamos
a malha para n=100,
os resultados so exatos em uma margem de quatro casas depois da
vrgula, ou se for em
metros um dcimo de milmetro. Para aumentarmos a preciso do
sistema basta que se
diminua o espaamento da malha, em contrapartida temos o aumento
do tempo de
processamento da soluo.
0 0 0 0
0.1 0.009167024934768 0.089846820120171e-003
0.090216550822225e-005
0.2 0.011368193908847 0.163243032191063e-003
0.163918728198625e-005
0.3 0.005999651817989 0.217150022943119e-003
0.218052744206665e-005
0.4 0.009576069892443 0.249465900733437e-003
0.250505960618097e-005
0.5 0.013502749573392 0.259095093875367e-003
0.260176914695931e-005
0.6 0.009420445730513 0.245981040327498e-003
0.247008226800238e-005
0.7 0.011035633989261 0.211101033628827e-003
0.211981447324761e-005
0.8 0.006749961283407 0.156423525877934e-003
0.157074144573055e-005
0.9 0.008857725388720 0.084829412698481e-003
0.085180767515902e-005
1 0 0 0
0 0 0 0 0
0.1 -0.0246 -0.0337 -0.0338 -0.0338
0.2 -0.0493 -0.0605 -0.0606 -0.0606
Tabela 1: erro absoluto
Figura 4: Comparao de solues
-
Erro mximo observado
De acordo com o grfico podemos colocar a seguinte conjectura: o
erro cresce
medida que se afasta dos nodos, ao observar o primeiro grfico na
figura 4, que foi construdo
sobre 2 nodos igualmente espaados, mais 2, se levarmos em
considerao os extremos
exigidos pelo contorno do problema, podemos observar esta
caracterstica. Desta forma
enunciamos que o erro mximo ocorre no ponto mdio entre os nodos
mais distante. Ou seja,
,
.
ANLISE DO ALGORITMO
A complexidade de um algoritmo fornece ao utilizador as
informaes sobre qual
eficincia esperar de determinada tarefa, em nosso problema estas
so apenas variaes do
tamanho de nodos para encontrar a soluo do problema. A
complexidade computacional
pode englobar vrios parmetros, tais como, detalhes da
arquitetura da mquina, a linguagem
de programao usada, o armazenamento utilizado, o cdigo, tempo
decorrido do processo e
etc. Seccionamos o algoritmo em mdulos para que possamos
selecionar quais partes so
significativas no tempo de processamento, em experincia, foi
constatado que o maior tempo
esta na resoluo das integrais, que possuem funes de converso de
valor simblico para
numrico (double) e as funes integrais (int). Poderamos utilizar
neste ponto uma rotina que
trate apenas numericamente a questo, selecionando assim a
preciso que desejarmos e
evitando solues com custo temporal em excesso dado pela converso
e a funo integral,
porm deixando de lado a qualidade das solues.
Mdulo do clculo das integrais
Para descrevermos a complexidade do algoritmo que compreende
duas funes que
no possumos a descrio, int e double, faremos sua anlise medindo
fisicamente o tempo,
0.3 -0.0739 -0.0797 -0.0799 -0.0799
0.4 -0.0816 -0.0909 -0.0912 -0.0912
0.5 -0.0809 -0.0941 -0.0944 -0.0944
0.6 -0.0802 -0.0894 -0.0896 -0.0896
0.7 -0.0882 -0.0769 -0.0771 -0.0771
0.8 -0.0642 -0.0573 -0.0575 -0.0575
0.9 -0.0403 -0.0314 -0.0315 -0.0315
1 0 0 0 0
Tabela 2: aproximao e valor
exato
-
sem deixar de fazer algumas consideraes sobre a estrutura do
cdigo. Durante a execuo
para evitarmos gastos com o requerimento de mais espao para um
vetor de trabalho, por
exemplo, pr-alocamos a memria que ser necessria para a
operao.
Na tabela 3, comparamos os nmeros de operaes e funes (int e
double), com a
quantidade de tempo decorrido afim de destacar a influncia no
processo. Podemos observar o
nmero de operaes quando temos nodos, considerando como sendo
aproximadamente o
nmero de operaes decorrentes da converso numrica e resoluo das
integrais.
Lembrando que existe o tempo de acesso envolvido, quanto maior a
quantidade de
informaes armazenadas, maior a latncia da solicitao.
10 20 30 40 50 Tempo ( ) 0,878283 30,44654 50,46964 76,87493
108,3752 Operaes 545+60 1095+120 1645+180 2195+240 2745+300
60 70 80 90 100 Tempo 143,3865 185,3115 243,8531 313,1185
400,1913
Operaes 3295+360 3845+420 4395+480 4945+540 5495+600
Para avaliar a funo necessrios saber o valor de , e qual o tempo
de acesso
dependendo do tamanho da informao manipulada para obter uma
determinada soluo.
Temos que o nmero de operaes
,
como se trata de uma funo linear, era esperado que a funo fosse
uma segmento de reta,
mas por termos o custo de acesso envolvido acabamos por aumentar
esse tempo a medida que
aumenta.
Tabela 3: Tempo e nmero de operaes
-
Mdulo da resoluo do sistema de equaes lineares
Aproveitando a configurao da matriz associada, tridiagonal
definida positiva,
utilizamos uma tcnica de resoluo que apropriada a esta estrutura
de banda. Em relao ao
mdulo anterior, temos a vantagem saber perfeitamente o nmero de
operaes, podendo
fazer inclusive uma anlise mais relevante. Temos que o nmero de
operaes no algoritmo
MRRtrid descrito por
Na tabela 4 podemos verificar as relaes entre a durao do
processamento e a
quantidade de operaes realizadas. Em comparao ao mdulo anterior
fica claro que o
tempo mais significativo fica a cargo do clculo das
integrais.
10 20 30 40 50 Tempo ( ) 0,000196 0,000356 0,000527 0,000695
0,000889 Operaes 123 253 383 513 643
60 70 80 90 100 Tempo 0,001295 0,001249 0,001489 0,001673
0,001865
Operaes 773 903 1033 1163 1293
Existem formas no adotadas neste trabalho para contornar o
clculo das integrais,
caso contrrio este mtodo no seria to popular no perodo inicial
da computao, em que a
fora bruta no era ser a estratgia a seguir. Na figura 5,
representado o tempo do algoritmo
MRR(em verde) e MRRtrid(em azul).
Figura 4: Tempo de processamento
Tabela 4: Tempo e nmero de operaes, MRRtrid
-
CONCLUSO
Visto as potencialidades do mtodo, tanto quanto possibilidade
para criar variaes
alterando as funes de base, ou a forma como feita a discretizao
do intervalo, podemos
criar mtodos diferentes e estudar suas caractersticas destas
variaes, a fim de produzir
ferramentas teis para sua finalidade que a aplicao. Como
sequencia deste trabalho vamos
aumentar a dimenso do problema para 2D e avaliar as situaes
sobre a luz da anlise de
algoritmos.
REFERNCIAS
LEISSA , A.W. The historical bases of the Rayleigh and Ritz
methods. [s.l.], Journal of
Sound and Vibration 287, 2005, pp. 961 978.
ASSAN, A. E, Anlise Numrica. So Paulo, SP: Ed. Thomson.
2003.
BURDEN, L., FAIRES, D., Numerical analysis 9 edition. [s.l.]
Cengage Learning, 2011,
pp. 673-679.
JDICE, J., Sistemas de Equaes Lineares, Coimbra, Portugal, 1996,
Departamento de
Matemtica da Universidade de Coimbra, Captulo 5.
SCHULTZ, M., Spline Analyses, [s.l.], Prentice Hall, 1973, pp.
88-89.
MATHWORKS, Users Guide - The Student Edition of Matlab, The
Ultimate Computing Environment for Technical Education, [s.l.],
Prentice Hall, (1995).
Figura 5: Tempo de resoluo do sistema de equaes
