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As aventuras do Geodetetive 4:

As quatro estações.

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Mostrar como os movimentos de

translação e de rotação da Terra

determinam as estações do ano e a

variação da duração dos dias e noites ao

longo do ano numa mesma localidade;

2. Explicar por que as estações ocorrem em

épocas diferentes nos hemisférios norte e

sul.

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As aventuras do Geodetetive 4: As quatro estações.

Série

Matemática na Escola

Conteúdos

Geometria da Terra: movimentos da Terra e as estações.

Duração

Aprox. 10 minutos.

Objetivos

1. Mostrar como os movimentos de translação e de rotação da Terra determinam as estações do ano e a variação da duração dos dias e noites ao longo do ano numa mesma localidade.

2. Explicar por que as estações ocorrem em épocas diferentes nos hemisférios norte e sul.

Sinopse

Arnaldo é um jovem muito curioso e sempre está à procura do saber. À noite mergulha nos livros, assume uma nova identidade, se transforma no Geodetetive e conta com colaboração de seu assistente Sagan em suas investigações. Certa noite, ele ajuda Elvira a entender as razões das diferenças de estações do ano de um lugar para outro e também da variação da duração dos dias e noites ao longo do ano numa mesma localidade.

Material relacionado

Vídeos: As aventuras do Geodetetive 1, 2, 3, 5 e 6; A

dança do Sol, Desvendando o

calendário;

Experimento: A matemática dos calendários.

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Introdução

Sobre a série

A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.

Sobre o programa

A série Geodetetive é formada por seis programas com temas sobre a geometria da Terra e alguns fenômenos naturais relacionados.

Arnaldo, o protagonista dos seis programas, é um jovem muito curioso que sempre está à procura do saber. À noite, mergulha nos livros, contempla as estrelas, assume nova identidade se transformando no Geodetetive e conta com a colaboração de seu assistente Sagan em suas investigações.

Certa noite, Arnaldo está pensando sobre o dia em que ouviu pela primeira vez, em uma aula, explicações sobre os movimentos de translação e de rotação da Terra, quando Sagan o interrompe para dizer que recebeu uma chamada de alguém precisando de sua ajuda. É Elvira que mora em Macapá, capital do estado do Amapá.

Elvira gosta muito de viajar, já fez várias viagens pelo mundo e se prepara para mais uma. Em suas viagens, o que sempre a intriga é o fato das estações acontecerem em épocas diferentes do ano em países que já conheceu e também que em alguns lugares a duração dos dias e noites varia ao longo do ano. Para saber as razões dessas diferenças, ela procurou a ajuda de Arnaldo.

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Por coincidência as mudanças de estações têm a ver exatamente com os movimentos de translação e de rotação da Terra que, naquele momento, norteiam os pensamentos de Arnaldo.

Movimento de translação da Terra

O movimento de translação da Terra se realiza em torno do Sol descrevendo uma curva elíptica, muito próxima de uma circunferência, denominada órbita ou trajetória. Essa trajetória também é chamada de eclíptica e o plano que contém a eclíptica é denominado plano da eclíptica. Este movimento em torno do Sol dura um ano, ou, mais precisamente, 365 dias e 6 horas.

Movimento de rotação da Terra

A Terra possui um movimento de rotação em torno de um eixo imaginário que passa pelo centro da Terra e pelos polos norte e sul. O movimento é de oeste para leste e uma volta completa (360 graus) em torno do eixo dura 24 horas.

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O eixo de rotação da Terra não é perpendicular ao plano da eclíptica, mas inclinado formando sempre um ângulo de 23 graus e 27 minutos (23o 27’) com a perpendicular.

Uma das consequências da rotação e da posição do eixo de rotação da Terra é que em cada instante uma metade da Terra recebe os raios do Sol e a outra metade não. Na parte que recebe o Sol é dia e na outra noite. O hemisfério norte recebe mais sol no período de março a

setembro e o hemisfério sul de setembro a março.

Devido ao movimento de translação da Terra, por volta do dia 21 de dezembro o hemisfério sul recebe a maior quantidade de luz solar e esta data marca o início do verão. No hemisfério norte a quantidade de luz é menor e começa o inverno.

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Continuando o movimento de translação, por volta de 21 de março os hemisférios sul e norte ficam igualmente iluminados, sendo que no hemisfério sul começa o outono e no hemisfério norte começa a primavera.

Aproximadamente em 21 de junho, o hemisfério norte está mais voltado para a luz do sol enquanto que o hemisfério sul recebe menor quantidade de luz. No hemisfério sul começa o inverno e no hemisfério norte o verão.

Com a Terra seguindo sua trajetória de translação, em 23 de setembro, novamente os dois hemisférios recebem a mesma quantidade de luz solar e no hemisfério sul tem início a primavera e no hemisfério norte o outono.

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Em um ano o movimento de translação completa uma volta. Novamente por volta do dia 21 de dezembro o hemisfério sul recebe mais luz e o ciclo se repete.

A duração dos dias e noites no dia 21 de dezembro

Devido ao movimento de translação e da inclinação do eixo de rotação da Terra a duração dos dias variam ao longo do ano.

A curva descrita por uma localidade na superfície da Terra durante 24 horas ao redor de seu eixo é aproximadamente uma circunferência.

Por volta de 21 de dezembro no hemisfério sul, início do verão, mais da metade da circunferência descrita por uma localidade é iluminada fazendo com que o dia seja mais longo do que a noite.

Em Porto Alegre, cidade do personagem Geodetetive Arnaldo, a latitude é 30o e, neste dia, o dia tem 4 horas a mais do que a noite. Em cada uma das ilustrações a seguir a circunferência descrita por Porto

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Alegre está representada em vermelho. Note que a parte iluminada da circunferência é maior do que a metade.

Também, podemos notar que quanto maior for a latitude sul da localidade maior será a diferença da duração do dia e da noite, sendo os dias mais longos do que as noites. À medida que a latitude sul diminui as horas de sol também diminuem, até que no equador o dia e a noite tem a mesma duração.

No hemisfério norte, por volta deste mesmo dia, o número de horas de sol é sempre menor do que 12 horas e à medida que a latitude aumenta as horas de sol diminuem. Nas ilustrações abaixo estão representadas as circunferências descritas por 4 localidades: em vermelho uma localidade de latitude sul (hemisfério sul), em preto uma localidade no Equador, em verde uma localidade de latitude norte (hemisfério norte) e em azul também uma localidade de latitude norte. Note que a maior parte da circunferência vermelha está iluminada, a preta (Equador) é igualmente iluminada (noite e dia de mesma duração), a verde tem a maior parte não iluminada (noite mais longa do que o dia) e a azul está totalmente na parte não iluminada (noite 24 horas).

A ilha de Vitória, no Canadá, localizada no paralelo 72o de latitude norte, não vê o sol no dia 21 de dezembro.

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A parte iluminada da Terra e a parte não iluminada são determinadas por um plano perpendicular ao plano da Eclíptica passando pelo centro da Terra e, também, perpendicular aos raios solares. A interseção deste plano e a superfície da Terra é uma circunferência máxima de centro exatamente o centro da Terra, e o ângulo que ele faz com o eixo da Terra é 23o27’.

Os Círculos Polares e os Trópicos

O Círculo Polar Ártico é a circunferência que delimita a região da Terra que não recebe a luz do sol no dia 21 de dezembro e o Círculo Polar Antártico é a circunferência que delimita a região que não tem noite neste dia.

As latitudes dos círculos polares são iguais ao complementar do ângulo de inclinação da Terra, ou seja, 66o23’, e as latitudes dos Trópicos de Câncer e de Capricórnio são iguais ao ângulo de inclinação do eixo da Terra.

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Duração dos dias e das noites no hemisfério sul ao longo do ano

No hemisfério sul no dia 21 de dezembro a duração do dia é a mais longa do ano e a da noite a mais curta, o que é chamado de Solstício de Verão. Esta data marca o início do verão. Neste dia o Polo Sul está inclinado na direção mais próxima do sol.

A partir deste dia, devido ao movimento de translação da Terra, a duração do dia vai diminuindo e a da noite aumentando até aproximadamente o dia 21 de março.

No dia 21 de março as durações dos dias e das noites são iguais (12 horas) em qualquer lugar da Terra, acontecimento que é chamado de Equinócio de Outono no hemisfério sul.

A partir do dia 21 de março, continuando a trajetória de translação da Terra, os dias vão diminuindo e as noites aumentando (dias menores do que as noites) até aproximadamente 21 de junho.

No dia 21 de junho ocorre a noite mais longa do ano no hemisfério sul, que é o chamado Solstício de Inverno. Continuando o movimento

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de translação da Terra ao redor do Sol, os dias começam a aumentar novamente e as noites diminuem até aproximadamente o dia 23 de setembro.

No dia 23 de setembro novamente os dias e as noites têm a mesma duração (12 horas), que é o chamado Equinócio de Primavera. Seguindo a trajetória de translação da Terra, os dias ficam cada vez maiores do que as noites no hemisfério sul até aproximadamente 21 de dezembro.

Novamente, por volta do dia 21 de dezembro, após um ano, ocorre o dia mais longo do ano e a noite mais curta (Solstício de Verão) e a partir daí o ciclo se repete.

Variação do tamanho dos dias em Porto Alegre

O tamanho dos dias varia com as estações do ano e esta variação depende da latitude do lugar. O gráfico a seguir mostra a variação dos dias na cidade de Arnaldo, Porto Alegre. O dia mais longo tem 14 horas no dia 21 de dezembro e o mais curto tem 10 horas no dia 21 de junho.

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O ponto mais baixo do gráfico corresponde ao dia 21 de junho que é quando o inverno se inicia.

Sugestões de atividades

Depois da execução

Atividade 1: Comparando a variação do tamanho dos dias em três

localidades

A atividade a seguir é inspirada num exercício proposto no livro “A geometria do Globo Terrestre de Sérgio Alves”, que é uma ótima referência (veja ao final para leitura para um aprofundamento dos temas tratados neste vídeo). Como comentado no vídeo, a variação sazonal da duração das “horas de sol” de um dia variam ao longo do ano numa mesma localidade dependendo da latitude desta. Os exemplos citados são os de Porto Alegre (latitude aproximada 30 graus), Macapá (latitude próxima de zero) cujos dados aproximados são dados na tabela abaixo, na qual também incluímos uma localidade sobre um dos círculos polares (latitude = 66 graus e 33 minutos).

Os dados a seguir mostram a variação do tamanho dos dias em Porto Alegre, em uma localidade no Círculo Polar Ártico e outra no Equador em datas especiais do ano.

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21/12 Solstício

(Verão Hem. Sul)

21/03 Equinócio (Outono Hem. Sul)

21/06 Solstício (Inverno Hem. Sul)

23/09 Equinócio (Primavera Hem Sul)

Porto Alegre 14 horas 12 horas 10 horas 12 horas

Macapá 12 horas 12 horas 12 horas 12 horas

Local sobre o Círculo Polar Ártico

0 horas 12 horas 24 horas 12 horas

a) Observe que sobre o Círculo Polar Ártico em 21 de dezembro ocorre a noite total enquanto que no dia 21 de junho o Sol aparece durante 24 horas.

b) Faça um esboço inicial dos gráficos da variação do número de “horas de sol” das três cidades ao longo dos dias de um ano iniciando em 21 de dezembro.

c) Esta variação em cada cidade é periódica e pode ser ”modelada” por uma função que envolve o cosseno. Assumindo anos de 365 dias (não bissextos), discuta por que uma expressão da forma

d(x) = 12 + A cos(x .360/365 graus)

(ou ainda d(x) = 12 + A cos(2π.(x/365) se a medida do ângulo for em radianos) pode descrever bem o número de horas de sol de uma cidade no x-ésimo dia depois de 21 de dezembro, numa cidade do hemisfério sul, onde A= metade da variação máxima das horas de sol. Para uma cidade no hemisfério norte tomamos A negativo, A = - metade da variação máxima das horas de sol naquela localidade. Considerando os valores para A no caso das três cidades acima (quais são eles?), podemos traçar os gráficos abaixo para a variação ao longo do ano. (Ver sugestão, no final desta atividade, de um programa para traçar estes gráficos no computador)

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d) Quais dias do ano têm duração aproximada de luz solar de 13 horas em Porto Alegre?

e) Escolha uma cidade, pesquise os dados sobre o tempo máximo e mínimo de horas de sol nela, modele por uma função como foi proposto no item c) e esboce o gráfico.

Sugestão para traçar os gráficos usando o computador:

Para traçar os gráficos pode ser utilizado o programa livre GeoGebra (disponível para download em www.geogebra.org/cms/).

Após a instalação do programa proceda do seguinte modo:

Para as funções acima, a variação de x é de 0 a 365 e seus valores variam de 0 a 24. Assim, para melhor visualização dos gráficos, selecione Janela de Visualização no menu Opções que se encontra na barra no topo da tela. Configure o EixoX para min: -10 e max: 370, e o EixoY para min: -1 e max: 25.

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A seguir, digite na linha de comandos do programa, que fica na base da tela, a expressão da função correspondente a uma localidade no Círculo Polar Ártico do seguinte modo:

Função[12-12cos((x 360/365)°), 0, 365],

e pressione a tecla Enter. Neste caso, a variação máxima de horas de sol é igual a 24 e o Círculo Polar Ártico localiza-se no hemisfério norte,

assim, substituímos A por -24/2=-12. O símbolo o pode ser

encontrado no primeiro menu à direita da linha de comandos e, além disso, note que ao digitar a função na linha de comandos, indicamos o valor máximo e o valor mínimo de x, respectivamente, 0 e 365. Também, entre x e 360 deve ser inserido um espaço ou ser colocado o símbolo *, que indica a multiplicação.

Proceda de modo análogo para traçar os gráficos referentes a Porto Alegre, Macapá e também da cidade que você escolheu no item e).

Atividade 2: Pesquisa

Encontre, se possível, cidades em dois diferentes continentes tais que:

a) O número de horas de sol durante um dia do calendário varie mais do que 8 horas. Quais as latitudes destas cidades?

b) Possuem “dias” e “noites” mais longos do que 24 horas. Quais as latitudes destas cidades?

c) As cidades têm “dias” e “noites” sempre de 12 horas ao longo do ano. Quais as latitudes destas cidades?

Atividade 3

Uma festa de importante tradição no Brasil é o Carnaval. O Carnaval tem data móvel ao longo dos anos e esta varia de acordo com a data da Páscoa. O domingo de carnaval é marcado 7 semanas antes do domingo de Páscoa. Por sua vez a Páscoa, que é uma celebração com raízes muito antigas como apontado no vídeo, tem sua data marcada como o primeiro domingo de lua cheia depois do início (equinócio) da Primavera no hemisfério norte (cerca de 21 de março).

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a) Pesquise quais serão a datas do Carnaval e da Páscoa nos próximos 3 anos e também as fases da Lua e confira as afirmações acima. Esta é uma oportunidade para conhecer mais sobre o movimento da Lua ao redor da Terra.

b) Assumindo que o intervalo de tempo entre duas luas cheias (mês lunar) é de 29 dias, duas horas e 44 minutos e com base no critério descrito acima qual a primeira data no ano (mais cedo) em que pode ocorrer o domingo de Carnaval e a data mais tarde? (Lembre-se também de considerar aqui que o ano não pode ser bissexto e fevereiro ter 29 dias)

Sugestões de leitura

ALMEIDA Jr, Rogério V., HURRELMANN, Jonas, POLTHIER, Konrad, BORTOLOSSI, Humberto J. Latitude e Longitude: Representando Pontos na Superfície da Terra. Disponível em http://tinyurl.com/3tnzzn3 (acessado em 7/8/2011). ALVES, Sérgio. A Geometria do Globo Terrestre. Apostila 6. OBMEP, 2009. Disponível em http://tinyurl.com/44ylu6j (acessado em 7/8/2011).

LIMA, Elon L., CARVALHO, PAULO C. P., WAGNER, Eduardo, MORGADO, Augusto C.. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática, 3a edição, Rio de Janeiro: SBM, 2000.

Ficha técnica

Autoras: Claudina Izepe Rodrigues e Sueli I. R. Costa Revisor: Roberto Limberger Coordenador de audiovisual José Eduardo Ribeiro de Paiva

Coordenador acadêmico: Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas

Reitor Fernando Ferreira Costa

Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca

Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Caio José Colletti Negreiros

Vice-diretor Verónica Andrea González-López