As aventuras do Geodetetive 1: A

circunferência da Terra

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Apresentar o método de Eratóstenes (276 –

194 a.C.) para o cálculo da circunferência da

Terra. Este é um exemplo de como a

observação, raciocínio lógico e

experimentação são importantes para

resolver problemas e para o desenvolvimento

da ciência.

As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra

Série

Matemática na Escola

Conteúdos

Geometria da Terra: a circunferência da Terra.

Duração

Aprox. 10 minutos.

Objetivos

Apresentar o método de Eratóstenes para o cálculo da circunferência da Terra. Este é um exemplo de como a observação, raciocínio lógico e experimentação são importantes para resolver problemas e para o desenvolvimento da ciência.

Sinopse

Sinopse

Arnaldo é um jovem muito curioso e sempre está à procura de conhecimento. À noite mergulha nos livros, assume uma nova identidade e se transforma no Geodetetive. Em uma dessas noites, Eratóstenes aparece para ajudá-lo a entender como fez para determinar, há mais de dois mil anos, a medida da circunferência da Terra.

Material relacionado

Áudios: O tamanho da Terra;

Vídeos: As aventuras do Geodetetive 2, 3, 4, 5 e 6; A

dança do Sol.

Introdução

Sobre a série

A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.

Sobre o programa

A série Geodetetive é formada por seis programas com temas sobre a geometria da Terra e alguns fenômenos naturais relacionados.

Arnaldo, o protagonista dos seis programas, é um jovem muito curioso que sempre está à procura do saber. À noite, mergulha nos livros, contempla as estrelas, assume nova identidade se transformando no Geodetetive e conta com a colaboração de seu assistente Sagan em suas investigações.

No programa Geodetetive 1 é apresentada a maneira como, há mais de dois mil anos, Eratóstenes determinou a medida da circunferência da Terra com grande precisão.

Neste vídeo, certa noite o personagem Eratóstenes aparece para ajudar Arnaldo a entender de que forma ele conseguiu fazer este cálculo.

Um pouco da história

Eratóstenes nasceu no século 276 a.C. em Cirene, no norte da África (nos dias de hoje Shahhat, Líbia), e morreu em 194 a.C. em Alexandria, Egito. Iniciou seus estudos em Cirene e depois passou alguns anos estudando em Atenas, Grécia. Por volta de 240 a.C. foi para Alexandria, no Egito, tornando-se mais tarde diretor da famosa Biblioteca de Alexandria.

No livro de história da matemática: A History of Greek Mathematics, T. L. Heath comenta que Eratóstenes era reconhecido por seus

contemporâneos como tendo grande distinção em muitas áreas do conhecimento (filosofia, matemática, astronomia, geografia e poesia), embora não fosse considerado o mais destacado em cada uma dessas áreas. Ele era chamado de senhor Beta ou Pentatlo, no sentido de que era um campeão considerando-se um conjunto de atividades. Eratóstenes foi contemporâneo de Arquimedes (considerado o maior matemático desse período), com quem mantinha constante contato por meio de cartas.

O cálculo que Eratóstenes fez da medida da circunferência da Terra é um exemplo de como o conhecimento em várias áreas e um espírito inquiridor são importantes na descoberta de resultados. Além deste cálculo, Eratóstenes fez diversas outras contribuições muito significativas para o progresso da ciência.

O cálculo de Eratóstenes

Como é comentado no vídeo, a investigação de Eratóstenes partiu de seu conhecimento, através de leituras, de que na cidade de Siena havia um dia do ano em que o sol ao meio-dia não produzia sombra (ficava “a pino”), algo que nunca ocorria em Alexandria.

A precisão do cálculo de Eratóstenes para a medida da circunferência da Terra (erro em torno de dois por cento) partiu de um pressuposto por ele de que a cidade de Siena ficava aproximadamente ao sul de Alexandria e, portanto, aproximadamente no mesmo meridiano que esta. Como consequência, o meio-dia solar das duas cidades ocorria no mesmo instante com sombras diferentes (veja a Atividade 5 no final e o vídeo Geodetetive 2 que também aborda este assunto).

Eratóstenes primeiramente determinou experimentalmente qual o ângulo que os raios de sol ao meio-dia faziam com uma vareta vertical no mesmo dia do ano em que o sol ficava a pino em Siena. Considerando a linha da sombra da vareta como um segmento, temos um triângulo retângulo cujos catetos são a vareta e o segmento da sombra no chão. O ângulo que o raio de incidência do sol faz com a vareta é um dos ângulos do triângulo. Eratóstenes verificou que este ângulo correspondia a um cinquenta avos de uma volta completa, ou seja, media 7,20.

Podemos representar o grande círculo determinado pelo meridiano que aproximadamente passa pelas duas cidades, e desenhar a incidência dos raios de sol ao meio-dia do dia em que Siena tem o sol a pino, como na ilustração a seguir.

Assumindo que os raios de sol incidem paralelamente, observamos que o ângulo formado pelos segmentos que partem do centro da Terra e terminam nas duas cidades é o mesmo que o determinado por Eratóstenes, pois são ângulos alternos internos.

Eratóstenes então concluiu que a medida da circunferência da Terra era, portanto cinquenta vezes a distância entre Alexandria e Siena (medida de um arco de circunferência). A partir do conhecimento de que esta medida era cerca de 5000 estádios (medida de comprimento

então usada), estimou a medida da circunferência como 250.000 estádios. Não há um consenso sobre a conversão de um estádio para metros. Alguns autores consideram um estádio igual a 157,2 metros. Assumindo este valor, a estimativa de Eratóstenes tem um erro de menos de dois por cento em relação a uma circunferência média da Terra, como considerada hoje em torno de 40.072 km.

No vídeo, a medida usada por Eratóstenes para a distância de 5.000 estádios entre Alexandria e Siena foi considerada 800 km, o que corresponderia a um valor de 160 metros para um estádio.

Como pode ser notado, não foi utilizada nos cálculos acima a informação de que o dia quando o sol fica a pino em Siena é 21 de junho. Isto ocorre porque Siena fica no hemisfério norte, aproximadamente sobre o Trópico de Câncer. Este fato pode ser melhor compreendido assistindo o Geodetetive 3.

Sugestões de atividades

Antes da execução

1. Explicar o porquê do comprimento de um arco de circunferência ser proporcional ao ângulo determinado por este arco.

2. Verificar que se a distância de um plano ao centro da esfera de raio R e centro O é igual a d com d, menor do que R, a intersecção do plano com a superfície da esfera é uma circunferência de raio igual a . Quando d=0, as circunferências assim obtidas são chamadas circunferências máximas da esfera e têm o mesmo centro e o mesmo raio que a esfera.

Depois da execução

Atividade 3

a) Assumindo a medida da circunferência da Terra dada no vídeo, qual o valor do raio da Terra?

b) Se a esfera representa a Terra e os pontos N e S representam as intersecções do eixo de rotação da Terra com a superfície esférica, a semicircunferência máxima ligando N e S é chamada um meridiano. Note que o raio de um meridiano é igual ao raio da circunferência do Equador, que é o raio da Terra.

O segmento que liga a cidade de Porto Alegre ao centro da Terra faz um ângulo aproximadamente de 30o com o plano do equador (isto é, a latitude de Porto Alegre é 30o). Se você for de avião saindo de Porto Alegre em direção norte até o equador e acompanhando o meridiano (semicircunferência que passa por Porto Alegre e pelos Polos Norte e Sul), que distância terá percorrido?

Atividade 4

Pesquisa a ser proposta aos alunos: saber mais sobre Eratóstenes e sobre Alexandria.

Atividade 5

Uma maneira experimental de se determinar a direção geográfica Leste-Oeste é a partir da observação da sombra de uma vareta colocada verticalmente em relação ao solo. Marcando duas posições de manhã e à tarde, onde as sombras têm o mesmo comprimento, a direção obtida ligando-se as extremidades destas sombras é Leste-Oeste e a perpendicular a esta é a direção Norte-Sul - este assunto é abordado no vídeo A dança do sol do Projeto M3. Será que Eratóstenes usava um método parecido para saber que Siena ficava ao sul de Alexandria?

Método para determinar a direção Leste-Oeste

a) Por que o fato de Siena ficar aproximadamente ao sul de Alexandria, e, portanto, aproximadamente no mesmo meridiano, é suficiente para afirmar que as duas cidades junto com o centro da Terra determinam uma circunferência de raio máximo, que é o raio da Terra?

b) Procure justificar as seguintes afirmações:

- Se Siena ficasse a Leste ou a Oeste de Alexandria no dia em que o sol estivesse a pino em Siena, também em Alexandria não se observariam sombras ao meio-dia solar.

- Se Siena ficasse a sudoeste ou a sudeste de Alexandria, um cálculo como o de Eratóstenes forneceria um diâmetro para a Terra maior do que o real.

Sugestões de leitura

ALVES, Sérgio. A Geometria do Globo Terrestre. Apostila 6. OBMEP, 2009. (disponível em www.obmep.org.br/prog_ic_2008/apostila2008.html - acessado em 04/04/2011.) EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 4ª. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. HEATH, T. L.. A History of Greek Mathematics. Vol. 1. Oxford, 1921. O´CONNOR, J. J. e ROBERTSON, E. F.. Eratosthenes of Cyrene. Artigo disponível em www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Eratosthenes.html (acessado em 04/04/2011). LIMA, Elon Lages, CARVALHO, PAULO C. P., WAGNER, Eduardo, MORGADO, Augusto C.. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção

do Professor de Matemática, 3a edição, Coleção do Professor de Matemática.

Rio de Janeiro: SBM, 2000.

LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. Coleção do Professor

de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1991. OLIVEIRA, Samuel R.. A dança do sol. Vídeo – Projeto M3 – disponível no

portal do MEC. 2010.

Ficha técnica

Autoras: Sueli I. R. Costa e Claudina Izepe Rodrigues. Revisor: Roberto Limberger Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva

Coordenador acadêmico: Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas

Reitor Fernando Ferreira Costa

Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca

Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Diretor Caio José Colletti Negreiros

Vice-diretor Verónica Andrea González-López