Circunferência Trigonométrica, Redução ao Notas de Aula 03 ... na circunferência 1... · Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes,

Circunferência Trigonométrica, Redução ao 1º Quadrante e Relações Fundamentais

Notas de Aula 03 – Semestre 2 - 2010

Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010

1

Circunferência Trigonométrica

É uma circunferência de raio unitário orientada de tal forma que o sentido

positivo é o sentido anti-horário. Associamos a circunferência (ou ciclo)

trigonométrico um sistema de coordenadas cartesiana, fixando o ponto A (de

coordenadas (0,1) como origem dos arcos.

Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas

quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo:

Na circunferência de raio 1, a medida do comprimento do arco de

circunferência coincide com a medida do arco e consequentemente com a

medida do ângulo que o define. Se o ponto P está associado à medida x,

dizemos que P é a imagem de x no ciclo. Assim para a figura acima temos, por

exemplo, que a imagem de

é B; a imagem de

é B’; a imagem de

é B’.




2

Arcos Congruos

Note que se P é a imagem de um arco então também é a imagem dos

pontos que pertencem ao conjunto .

Dizemos que dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas medidas

diferem de um múltiplo de . Todos os arcos cuja imagem coincide com um

mesmo ponto P sobre a circunferência são côngruos.

Seno e Cosseno e Tangente no Ciclo Trigonométrico

Se tomarmos a circunferência de raio unitário, os valores das coordenadas de

um ponto P no primeiro quadrante que é a imagem de um arco de medida

sobre o circulo trigonométrico coincidira com os valores do e do ,

conforme ilustra a figura abaixo:

Tomado a relação da tangente, concluímos que

.

Note que esta idéia funciona quando estamos com ângulos posicionados no

primeiro quadrante (onde todos os triângulos formados são retângulos). Porém

baseados nesta idéia, vamos definir as relações de seno, cosseno e tangente

no círculo trigonométrico, expandindo estas relações para todos os quadrantes.

Definimos:




3

Assim, podemos agora expandir nossa tabela para valores notáveis de seno,

cosseno e tangente.

Valores Notáveis de seno e cosseno

Expandindo a nossa tabela de valores notáveis para o seno pela circunferência

trigonométrica temos:




4

Expandindo a nossa tabela de valores notáveis para o cosseno pela

circunferência trigonométrica temos:




5

Ampliando a nossa tabela de valores notáveis e usando a relação

, obteremos:

Medida do âgulo (em graus)

Seno cosseno tangente

Não há

Não há

Relações Trigonométricas para ângulos de medidas opostas

Na circunferência trigonométrica um ângulo terá medida positiva se resultar na

construção de um arco na sentido horário, e será negativo caso contrário.

Usando esta convenção, verificamos na circunferência trigonométrica que:

Redução ao 1º quadrante

Da forma como definimos os sinais do seno e do cosseno de um ângulo, e

consequentemente da tangente de um ângulo, tem sinais que dependem do

quadrante em que se encontram. Podemos determinar o valor do seno e do

cosseno, e, consequentemente da tangente, de qualquer ângulo em qualquer

quadrante se conhecermos seus valores no primeiro quadrante. A isto

chamamos de redução ao 1º quadrante.




6

Se temos um ângulo no 2º quadrante

, então

Neste caso ainda


, então

Neste caso ainda




7


, então

Neste caso ainda

Se nos detivermos ao 1º quadrante veremos que o seno de um ângulo é igual

ao cosseno de seu complementar, e que o cosseno de um ângulo é igual ao

seno de seu complementar. Ou seja,

e

Esta propriedade continua válida se considerarmos todos os outros quadrantes.

Resumindo, para todo sempre valem as seguintes igualdades:

I) e

II) e

III) e

IV)

e

Com isso é possível simplificar expressões trigonométricas que envolvem a

soma de ângulos dados com ângulos que são múltiplos de

. Por exemplo:




8

A idéia geométrica da tangente

Vamos considerar no ciclo trigonométrico uma reta tangente à circunferência

de raio 1 no ponto , com a mesma orientação do eixo . Nas figuras abaixo

consideramos os casos onde o ponto é correspondente a ângulos em cada

um dos quatro quadrantes:

Em todos os casos , e são semelhantes. Então:

Ou seja, geometricamente a é a medida do segmento .

Da mesma forma, podemos situar geometricamente a cotangente na reta

tangente à circunferência de raio 1 no ponto , com a mesma orientação do

eixo .




9

Cícunferência Trigonométrica com Valores de Seno, Cosseno e Tangente

de alguns ângulos notáveis




10

Relações Trigonométricas Fundamentais

I) Para todo , vale a relação:

II) Para , desde que

vale a relação:

III) Para , desde que vale a relação:

IV) A relação secante

A secante de um ângulo de medida (denotada por é definida,

na circunferência trigonométrica, como o segmento de reta que liga o

centro do círculo ao ponto de intersecção do eixo dos cossenos com

a reta tangente ao círculo no ponto P (definido pelo ângulo ). Na

figura abaixo a secante do ângulo é o comprimento do segmento

.

Os e são semelhantes pois ambos são retos e possuem

um dos ângulos agudos em comum. Então, pela semelhança vale a

relação:

De onde temos a relação




11

V) A relação cossecante

A cossecante de um ângulo de medida (denotada por é

definida, na circunferência trigonométrica, como o segmento de reta

que liga o centro do círculo ao ponto de intersecção do eixo dos

senos com a reta tangente ao círculo no ponto P (definido pelo

ângulo ). Na figura abaixo a cossecante do ângulo é o

comprimento do segmento .

Os e são semelhantes pois ambos são retos e possuem

um dos ângulos agudos em comum. Então, pela semelhança vale a

relação:

De onde temos a relação

Relações Trigonométricas decorrentes das fundamentais

Temos, se

Então




12

Temos,

Então

Temos,

Então

Temos,

Então

Temos

Então




13

Identidades trigonométricas

Toda igualdade entre expressões que envolvem relações

trigonométricas que se verifica para todos os valores do “domínio das funções

trigonométricas envolvidas” é chamada de Identidade trigonométrica.

Igualdades que se verificam apenas para alguns valores particulares não são

identidades. Neste caso dizemos que se trata de uma equação trigonométrica.

Exemplos:

A igualdade é uma identidade trigonométrica.

Note que, tanto para a quanto para a , os valores de x para os quais

o cosseno se anula fica “fora do domínio das referidas funções”. Portanto a

expressão só tem sentido em se estudar para valores de x

tais que

. Para estes valores temos

Se tomarmos porém a igualdade , não teremos uma

identidade pois ela não é válida para todos os valores de x. Basta tomar, por

exemplo

para verificar que não se verifica a igualdade. Neste caso

dizemos que a igualdade representa uma equação trigonométrica.

Temos algumas estratégias das quais podemos lançar mão para demosntrar

uma identidade:

I) Partir de um dos membros da igualdade (normalmente o mais

complexo) e, usando as relações fundamentais e seus

desdobramentos, transformá-lo no outro membro.

Exemplo: Mostrar que ,

.

Temos:




14

II) Transformar o 1º membro em uma outra expressão, e transformar

separadamente o 2º membro até chegar na mesma expressão que

se conseguiu a partir do 1º membro.

Exemplo: Mostrar que

.

Temos:

Por outro lado

III) Fazemos a subtração entre os dois membros e mostramos que o

resultado é igual a zero, baseados no fato de que se , então

necessariamente .

Exemplo: Mostrar que

.




15

Temos:




16

Exercícios

Circunferência Trigonométrica

1) Divide-se a circunferência trigonométrica em 12 partes, utilizando-se A

como um dos pontos divisores. Determinar os cujas imagens

são os pontos divisores.

Resposta:

2) Divide-se a circunferência trigonométrica em 12 partes, utilizando-se A

como um dos pontos divisores. Determinar os cujas imagens

são os pontos divisores.




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3) Associar as medidas dos arcos dados abaixo com as respectivas

imagens desenhadas:

a.

I.

b.

II. c.

III. d.

IV.

e.

V.

f.

4) Indicar no ciclo trigonométrico a imagem dos seguintes números

reais:

,

,

,

,

,

,

e

.

5) Representar, no ciclo trigonométrico a imagem dos seguintes conjuntos

de números:

a.

b.

c.

d.




18

Redução ao 1º quadrante

6) Determine

a. (Resposta

)

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

7) Determine , tal que

Resposta:

e

8) Determine , tal que

Resposta:

e

9) Simplifique as seguintes expressões:

a.

(Resposta: )

b.

c.

d.

e.

10) Mostre que




19

Relações

11) Se

, com

, determine e .

Resposta:

e

12) Se

, com

, determine e .

Resposta:

e

13) Determine o valor de m para que se tenha simultaneamente

, e .

Resposta: m=2.

14) Simplifique a expressão

, considerando

.

Resposta:

15) Se

, com

, determine .

Resposta:

16) Simplifique as expressões:

a.

Resposta:

b.

Resposta:

17) Dado

, calcule o valor da expressão

.

Resposta:

18) Sendo

, calcule os possíveis valores para

Resposta:

.




20

19) Se , escreva a expressão

em função de u. (Sugestão: fatore o numerador e o denominador da

expressão).

20) Dado

, calcule o valor da expressão

.

Resposta:

21) Calcular , sabendo que

com .

Resposta:

22) Calcular , sabendo que

com .

Resposta:

23) Sabendo que , calcular o valor da expressão

.

Resposta:

.

Identidades

24) Demonstre que

, para todo

.

25) Demonstre que , para todo

.

26) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.




21

h.

i.

j.

27) Mostre que

28) Mostre que .

29) Mostre que se

, então .

Referências

Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 1. Ed. 3.

Impressão 1. Editora Ática. São Paulo.2003.

Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume

3. Ed Atual. São Paulo. 1977.

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