As funções analíticas e a análise funcional

PORTUGALIAE

MATHEMATICA

VOLUME 9

9 5 o

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JUNTA DE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA e SOCIEDADE PORTUGUESA DE MATEMÁTICA

Ediçio de

<GAZETA DE MATEMÁTICA, LDA.,

PORTUGALIAE iIIATHEM.ATICA Vol. 9 - Fase. 1-2 - 19':'0

AS FUNÇOES ANALITICAS E A ANÁLISE FUNCIONAL

por J. SEBAS'l'IÃO E SILVA

INTRODUÇÃO

Um primeiro conceito de «espaço funcional analitico» é aquele cou· siderado por PINCHERLE 1 :

Fixado um número r tal que O <r < + 00, designemos por .§ [1'J o conjunto de todas as séries de potências de z cujos raios de conver

gência são maiores do que r. Chamando, como é natural, soma de 00 00 00

dua.'J séries � all zu, IJ bn zn, à série � (an + bn)zn, e produto dum n=O n=O n=O

00 00

número complexo k por uma série lJ an zn, à série � (kan) zn, teremos n=O n=O

em S [r] um exemplo manifesto de espaço vectorial complexo 2 •

Recordemos, por outro lado, que cada uma das séries pertencentes

ao conjunto S [1'J define) com todos os seus possiveis prolongamentos analíticos, uma determinada função analitica no sentido de \VEIERSTRASS, podendo contudo acontecer que duas séries distintas pertencentes a

S [r] determinem a mesma função analítica no sentido weierstrassiano -

- a qual, neste caso, será naturalmente pluriforme. Assim por exem·

p19, a função analítica \/ 4 + z corresponde a três elementos distintos do espaço S [3J, visto que é representável, em torno da origem, por três séries de potencias de z distintas entre si, cujos raios de convergência são iguais a 4 .

Todavia PrscHERLE não chegou a introduzir nestes espaços funcio

nais nenhum particular conceito de «limite» (apenas ai utilizou implicitamente o conceito de convergência pontual), o que o impediu de tirar maior partido da sua teoria das operações distributivas.

1 Veja-se na lista bibliográfica PINCHERLE e AMALDI (I). A notação e a termino

logia aqui usadas não são as mesmas de PINCHEBLE.

2 No § 1 é recordada a definição de «espaço vectorial», bem como a de vários outros conceitos de Análise geral.

2 J. SEBASTIÃO E SILVA

Prosseguindo o estudo da Análise fun cion al no campo das fu nç ões

an alíticas , LUIGI FANTAPPIE p rocur ou suprir esta falta de um con veniente conceito de <cl imite », com o conceito de (lÍunção analítica de pe ndente anallticamente dum «parâmetro», que lh e permitiu estabelecer os principais resultados da sua teoria dos fu ncion ais analíticos 1. Diz-se que

uma função an al ítica de z, da forma '? (z , 0:) , depende analíticamente do parâmetro ex, quando '? (z ,ex) é fun ção analítica das duas variáveis z ,ex . Suponh amos que, enquanto a varia sobre um conveniente domí

nio D, '? (z ,a:) é uma função analítica de z pertencente a um dado

espaço funcional S e dependente anallticamente de 0:: podemos então dizer, segundo a terminologia de F ANT APPIE, que, ao variar de (1 sobre D, a função cp (z ,O') descreve uma lin ha analítica n o espaço S. Seja

agora F um funcion al definido no espaço S, isto é, um ope ra dor que, a cada função '? (z) si tuada em S, faça corresponder um determinado número complexo w=F:; [cp (z)] (a letra z esc rit a como índice de F tem por fim indicar que w não depende da variável z, ma s unicamente da variável cp); pois bem, diz-se que o funcional F é analUico, quando, apl icado a uma função de z, cp (z, a), dependente anatlticamente do parâ

m etr o a (de modo a defin ir uma linha analitica em S), a transforma

num número f(a)=F� ['f (z, ex)], que é ainda função analítica de c c

Por outro lado, FANTAPPIE p ro cur ou ampliar o mais possível o conceito de espaço funcional an alítico, de modo a aumentar as p ossibilidades de aplica ção da sua teoria. A ma ior dificuldade que se opõe a tal ampliaç ão consiste na existência de fnnções pluriformes, o que induz

desde logo a pôr de parte o conceito weierstrassiano de função analítica --- como de resto já tinha feito PrxcHERLE, considerando séries em

vez de funções. F AN'l'APPIE procurou resolver esta dificuldade, tomando para elementos do seu espaço funcional analítico as entidades por êle denomin adas « funções l ocalmen te an al íti cas » :

Seja D um domínio aberto do plano-esfera, fixado com absoluta

arbitrariedade, e seja w=f(z) uma qualquer função complexa da variável c ompl exa, univocamente defúlida e analítica 2 (ou, como também se diz, llOlO1rtOlia) no dominio D. Se considerarmos D como o

1 Vej a-se F ANUl'PIE (I e II).

2 Recordemos que a função f (z) se diz analítica num ponto Zo próprio, quando é desenvolvível em série de potências de Z-Zo numa vizinhança de Zo; e analítica no ponto z= co) quando a função f (l/z) é analítica no ponto z=O. Por outro lado, a função f (z) diz-se monogénea num ponto próprio quando admite derivada nesse

ponto; e monogénea no ponto z=co, quando a função f (l/z) o é no ponto z=O. Finalmente, demonstra-se que a classe das funç,ões que são analíticas nos pontos dum conjunto aberto coincide com a classe das funções monogéneas nos pontos desse conjunto.

FUNÇÕES ANALÍTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL 3

domím'o de existência de fez) - mesmo que a função j(z) seja prolongável analiticamente a um domínio mais amplo - diremos que fez) constitue (assim ligada a D) uma fungão localmente analítica, Nestas condições, duas funções localmente analíticas j,j* serão distintas, logo que os respectivos domínios de existência D, D* sejam distintos, mesmo que estes se intersectem e que os valores de fez) e f* (z) coin

cidam sobre a intersecção D n D*, Por outro lado, nada impede que . o domínio de existência, D, da função localmente analítica f (z) seja desconexo e que as funções f, (z), 12 (z),. " , que representam fez) sobre cada uma das componentes1 DJ, D2' ... do domínio D, sejam independentes entre si, podendo assim acontecer que não seja possível passar de umas para outras por prolongamento analítico e que, portanto, essas funções definam funções analíticas distintas, no sentido de VVEIEl�STRASS.

Todavia, este conceito de espaço funcional analítico não é ainda isento de inconvenientes, Assim, por exemplo, para poder falar de «soma» ou de «produto» de duas funções localmente analíticas (sem cair no puro arbítrio), necessário se torna, primeiro que tudo, que os domini�s de existência de tais funções tenham pelo menos uma parte comum. Representemos por Q o plano-esfera (isto é, o plano da variável com

plexa ampliado com o ponto 00) e seja C um qualquer sJ:bconjunto de Q, fechado) não vazio e não coincidente com 11: ao conjunto de todas as funções localmente analíticas cujos domínios de existência contêm C (e que �e anulam no ponto impróprio, se este pertence C), chama F ANTAPPIB região funcional lúwar, e representa-o por (C). É à volta deste concoito de ((região funcional linear) que se desenvolve substancialmente toda a teoria dos funcionais analíticos, com a intervenção dos conceitos de « sonúl,)) e «produto)) de funçÕes.

Não esqueçamos porém que a soma ou o produto de duas funções localillente analíticas deverá ser ainda uma função localmente analítica que, como tal, não pode deixar de ter um determinado domínio de exis

tência. Este poderia ser, por exemplo, a intersecção dos domínios das funções dadas; mas ó fácil ver que, seja qual fôr o modo como se procure fazer a escolha desse domínio de existência, o conjunto (C) nunca poderá ser um grupo aditivo - nem poderá ser portanto um espaço vectorial 2 •

1 Chamam-se componentes dum conjunto A os. subconjuntos conexos máximos em que A se docompõl�. Ecto conceito é recoroado no § 1, n.O 13.

2 Com efeito, dadas duas funções localmente analíticas f1 (z) ,f2 (z), tais que o domÍlJio de li (z) cOlltcnl13 pontos estranhos ao domínio de /1 (z), não haverá peuhuma funS'ão g(z) tal (lUO fl+rl=/Z'


Uma outra dificuldade, mais substancial do que a anterior, apresenta-se com o problema da definição duma conveniente estrutura topológica no conjunto das funções localmente analíticas. O conceito de «vizinha�ça»,. introduzido por FANTAPPIE no seu espaço funcional, não parece susceptível de utilização prof ícua: toda a teoria dos funcionais analíticos se. pode desenvolver, no que tem de essencial, sem a intervenção de tal conceito. Em. particular, este não permite definir um adequado conceito de (<limite» para as sucessões de funções. E é aí, precisamente, que deve estar a origem da sua pouca fecundidade.

. .

Ora bem, se nos quisermos limitar às regiões funcionais lineares, renunciando it concepção de um espaco funcional analítico universal, as referidas dificuldades resolvem-se imediatamente, adoptando um novo conceito de (cfunção analítica», que ocupa, por assim dizer, uma posição intermédia entre o conceito de (<função localmente analítica» de F A�

TAPl'IE e o de (<função analítica» de VVEIERSTRASS. Dadas duas funções f(z) , f* (z) pertencentes a (C), digo que as funções f, f* são equivalentes a 'respeito do conjunto C, se, e só se, existe pelo menos urna terceira função f** pertencente ainda a (C), de que as duas primeiras sejam prolongamentos 1 (isto é, tal que o domínio de definição D** de f** esteja contido nos domínios de definição de f e de f*, e se tenha f(z)=f* (z),.-f** (z) sobre D**). Esta relação de equivalência goza manifestamente das propriedades ref lexiva, simétrica e transitiya e, deste modo, as funções pertencentes a (C), que são equivalentes a uma dada funçã,o pertencente ainda a (C), definirão uma entidade - o abstracto ou a classe dessas funções - a que chamo <dunção analítica ligada a C». Por outro lado, designo por espaço funcional analítico Õ [C] o c,onjunto ele todas as funções analiticas ligadas a C.

No conjunto Õ [CJ podemos agora introduzir, de maneira natural, os conceitos de «soma de dois elementos» e de «produto dum elemento pur um número complexo», com os quais Õ [CJ se torna um espaço \"ectorial. No caso, de o conjunto. C ser constituído pelo círculo com centro na origem e de raio r (círculo- que se reduz à origem para 1'=0), o espaço yectorial Õ [C] resulta 'isomorfo ao espaço $ [r J de PI�CHEI{LE.

O novo conceito aprese�lta-se, portanto, como a extensão mais natural du conceitu de espaço funcional $ [1·J. Com ele se evitam, por um lado, os inconvenientes da pluriformidade inerentes ao conceito weierstras-

1 Este conceito de equivalência está já de certo modo implícito na teoria dos funcionais analíticos, quando se impõe a todo o funcional analítico F a conclis�ão (I Frrl = F9t, se 91 é ]J1'% nga'l'/zento de 9".!». .Mas é claro que esta condição não pode extenuer-se ao conj u'nto dE: todas as funs�ões Joc�'mepto .analíticas, porque tal seria recair no conceito wcicrstrassiano.

FUNÇÕES ANALÍTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL õ

siano e, por outro ludo, as inúteis considerações sobre os domínios de definição das funções localmente analíticas, que tanto embaraça:m a exposição de F ANT APPIE.

�fas podemos também definir em Õ [C] um natural conceito de «limite», que se revelará depois particularmente fecundo. Diremos que uma sucessão CPo, 'PI , .. '. , SOn , . . . de, elementos de Õ [C] converge para um determinado elemento � de � [C], e escreveremos então � = Lim ln , quando existir um comum domínio de holomorfia das funções

n CPo, CPI ,

. . • , �n , ... , que contenha C no interior e sobre o qual a

funçfw 9n (z) tenda uniformemente para � (z), quando n- 00. Este conceito de «limite» encontra-se já implícito numa nota de RENATO CACCIUPOLI 1, em que a expressflO gerai dos funcionais lineares conUnuos 2, definidos num espaço funcional analítico, é deduzida de conhecida fórmula de F. RIESZ relativa à representação dos funcionais lineares contínuos definidos num espaço de funções continuas. Todavia CACCIOPOLI nflO chega a formular, como fazemos aqui, o conceito de «função analítica ligada a um conjunto»: para edtar os inconvenielltes da pluriformidade, ele propõe uma solução diversa.

Um facto notável que desde logo se observa é o seguinte: l) conceito de «função analítica dependente anallticamente dum parâmetn))), sobre o qual assenta, como vimos, toda a teoria dós funcionais analiticos, deixa-se exprimir inteiramente nos conceitos \'ectoriais de «soma» e «produto escalar», ampliados com o anterior conceito do «limite». Eis como tal pode ser realizado: consideremos um espaço, � [CJ ,

e suponhamos que, para cada À situado num conveniente dominio D do plano-esfera, 'PÀ (z) representa um determinado elemento de � [C]; diremos que <PÀ depende analíticamente de À, ou que é função anahtica de À, num ponto próprio ÀIl de D, quando, numa vizinhança de lo, se

n tiver 9À=Lim�(À-ÀoY'fi, designando por 'PO,'Pj," ',tpn,'" elementos

n i=O .

determinados de � [C J; e diremos que (!\ é função ana1ítica de À no ponto 1.=00 (supondo que êste ponto pertence a D), se o/tn: é função analítica de I. no ponto ). =0. Ora esta definição de «função analítica dependente analiticamente dum parâmetro») resulta equivalentei:t primitiva, à parte a distinção que fizemos entre «função localmente analitica» e «função analitica ligada a um conjunto».

Deste modo, toda a teoria dos funcionais analíticos poderá ser desenvolvida a partir dos referidos conceitos de «soma», «produto escalar»

1 CACCIOPOLI (I). 2 No § 1 serão recordadas as noções de ((operador linear» e llc «operador contínuo»,

fi J. SEBASTIÃO E SILVA

e «(limite». Mais ainda: com tal orientação, novos horizontes se abrem e a própria designação de (( teoria dos funcionais analíticos» começa a ser posta em causa, como se vai ver.

Seja S um espaço (L) vectorial1 complexo. Dado um elemento uÀ de S, dependente da variável complexa À, diremos que uÀ é função analítica de À num dado ponto )0' quando se verificam condi�ões análogas às que indicámos na definição precedente .. Então, dada uma transformação unívoca F do espaço funcional analítico � [C J sobre o espaço S, diremos que a transformação F é analítica, quando, aplicada a um

elemento CfÀ de �[C], dependente analiticamente da variável À, o transformar num elemento uI. =F CfÀ de S, que é ainda função analítica de À. Ora bem, comecemos por supor que S é um espaço de BANACH com� plexo 2 ; podemos então afirmar que a classe da.'! tran.'if01'maçôes linea

res analíticas de � [C] sobre S coin cide com a classe das tl'an.'iformaçõe8 lineares contínuas dp � [C] sobre S. Além disso, as trmisformações lineares analíticas (ou, contínuas) de � [C] sobre S serão dadas pela e�pl'essão geral

(1)

r

em que r representa a fronteira devidamente odentada dum convem'en te

dominio de holomo�fia de 1', e I ().) = I?, (À 1 z) uma qual quer fu" çlf o de

À, cujos valores sfljam elementos de S, univocamente dej�'ltida e analUica no complementar do conjunto C, e que se deüe anular pa1'a À = =, se este ponto pertence C,

Em particular, S pode ser o conjunto dos números complexos (recta complexa), Em tal hipótese particular (e só nessa), a fórmula (1) foi estabelecida por F AN1'APPIE, para o caso dos funcionais lineares analíticos; e por CACCIOPOLI, para o caso dos funcionais lineares contínuos. A já referida nota de CACCIOPOLI deu origem a uma controvérsia entre os dois matemáticos, que se pode seguir nos «Rendiconti deU' Accademia dei Lincei». Com o presente trabalho, creio ter posto em luz a eq uivalência das duas orientações, embora me pareça mais natural a segunda.

:Mas, por outro lado, surge a questão: l São os espaços funcionais analíticos (tais como aqui os definimos) espaços de BANAClI complexos? Creio que a resposta deve ser negativa. Todavia um facto é certo: que todo o espaço funcional anaHtico se pode exprimir, de certo modo,

1 Ver§1,n.o3. 2 Ver§1,n.o4.

FUNÇÕES ANALÍTICAS E· ANÁLISE FUNCIONAL 7

como soma de uma infinidade de espaços de BANACl! - e é possível extender os resultados precedentes às transformações dum espaço funcional analítico � [O] sobre um segundo espaço funcional analítico � [O*J ou, mais geralmente, sobre um espaço S que se exprima como soma de infinitos espaços de BANACH. Esta extensrLO será feita somente no § 4. É de notar que FANTAPPI� estuda os operadores que transformam fu nções em funções sempre sob a forma de funcionais mtstos, chamando «funcional misto» a toda a transformação 10 = Fz [cp (z) , tJ, em que se faz corresponder um número 10 a cada par constituído por uma fun�'ao q; (pertencente a um dado espaço S) e por um número t (pertencente a um dado domínio D). É claro que, se, na expressão 10 = F z [cp (z) , t), fixarmos a função ep, a variável 10 ficará a ser função exclusiva de t; dêste modo, a cada função cp € S ficará a corresponder uma determinada função w =-f(t) , definida no domínio D. Mas tal não é o instrumento adequado para est'Udal' as tranfV0l'mações de � [O] sobre � [O*J) por isso que as fWJ1çõe8 pertencentes (J, � [O*J não ,se podem 'referir todas a 'Um mesmo domím'o D,

Os resultados anteriores permitem apresentar, com mais ampla projecção e de maneira mais sugestiva, o cálculo operacional instituído por FANTAPPI�. Seja S um espaço de BANACH complexo ou) mais .r;era/mente, um espaço que .�e possa exprimi'r como soma de infitâtos e.paços de BANACH complexos,. e representemos por A (S) o conjunto de todas as transformaçõe� lineares (mas não necessàriamente contínuas!) do espaço S sõbre si mesmo. Propunhamo-nos então resolver o seguinte problema: dada uma transformação F pertencente a A (5) e supondo que o conjunto fechado O não contém o ponto impróprio,

associar a cada função cp pertencente a l! [OJ uma transformação <p (F) contida ainda em A (5), de modo que sejam verificadas as condições seguintes:

1) Se � (z) == z, então (F)· ep(F);

4) Se �=Lim epn, então � (F)=Lim <pn (F) . n n

(Serão dadas duas definições diyersas de «limite duma sucessão (Fn) de operadores», conforme se tratar ou não de operadores contínuos).

Pois bem: Condição necessária e suficiente para que tal problema !�fJa resolúvel é que o operador (),-Ftt �eja uma função de À, u.ntvo-

8 J. SEBASIÃO E &ILVA

camente d�finz'da e analítica no complementar do conjunto C; em tal hipóte8e, a solução é única ,e dada pela fórmula :

(1)

em que r representa a fronteira, devidamente orientada, du?n cOlH.:erl'lente domínio de holomorf1'a de 0/. (O significado do termo «analítico», que figura neste enunciado, deriva do anterior conceito de «limite duma sucessão de elementos de A(S)). O mesmo se diga do integral aqui considerado ) .

A fórmula (1) já tinha sido estabelecida por F ANTAPPII� no caso de S ser um espaço cartesiano a n dimens(")es 1; a sua extensão a operadore� lineares em espaços S com infinitas dimensões foi sugerida em 1922 por E.CARTAN 2. Esta extensrlO pode considerar-se feita por LORCH e por 'DuNFORD 3 no caso em que S é um espaço de BANAcn complexo e F 'uma transfor'1naçi'io linear contínua (ou limitada) de S sobre si meSmo. Todavia, no presente trabalho, a hipótese da continu'idade nIio é para tal efeito indispensável, e o espaço S pode mesmo não ser um espaço de 'BANACH.

É ainda de notar que DUNFORD não chega a deduzir a fórmula (1) a partir das condü;ões 1) a 4): limita-se a demonstrar que, adoptando essa fórmula, a condição 3) é verificada. Além disso, a definiçflOde limite duma sucessão de operadores é dada então directamente a partir da noção de «norma», tal como será adiante precisado,

Ora um outro resultado que me foi possível estübelecer e me parece digno de nota é o' seguinte: Sejam S um espaço de BANACH complexo e Fuma trmisforrnação rinear contínua de S sobre si mesmo,. seja por outro lado q> uma função pe7'tencente ao espaço 'Õ [C], Então, supondo que C contém o e.pectro de F (isto é) o conJnnto dos valores de À para

00 1 os quais (À - Ft1 não ereiste)) a fórmula 0/ (F + II) = � -, Hn 'f<n) (F)

n=O n, é válida) de aC07·do com (2), para toda a transformaçào linear contínua H de S sobre si mesmo, tal que I H I < o) sendo <3 a distânc'ia entre o espectro de F e o conjunto das singularidades de 0/.

1 FANTÚPIE (III), 2 Em carta a GIORGI. Veja-se GIORGI (I). 3 LORCH (I) e DUNFORD (I). Só recentemente tive conhecimento destes trabalhos,

através da notícia, dada em Mathematical RelJi'ews (Maio' de 1947), da minha nota

Sull' Analisi funzionale lineare nel campo delle funúom· anal-il'iche.

... , ,

FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE FUNCIONAL 9

A importância deste resultado está em que ele· estahelece a ligação entre o cálculo operacional baseado na fórmula (2) e a teoria das funções analíticas em anéis comutativos normados institui da por LORCH 1.

Uma particular atenção é ainda dedicada ao caso das funções analiticas de mais de uma variável e à questão dos pontos impróprios para tais funções.

No último parágrafo é abordado o estudo dos operadores não lineares. O conceito de an�liticidade pode então ser definido de vários modos,

possIvelmente nitO equivalentes .. Limito-me a aflorar o problema, mos

trando as suas dificuldades, mais do que resolvendo-as.

Os resultados aqui expostos já se encontram em grande parte enun

ciados, com ou sem demonstração, numa memória minha, ainda inédita, apresentada em .Junho de 1046 à «Accademia dei Lincei») juntamente com uma nota, já publicada, que resume essa memória 2. Todavia, não só aqui são apresentados re::,ultados inteiramente novos e as demons

traç{>es de muitos outros, apenas enunciados naquela memória, como ainda a coordenaçtio das matérias é completamente refundida.

§ 1. NOÇÕES PRÉVIAS

Este parágrafo tem como objectivos, não só fixar a terminologia e

as notações aqui adoptadas, como ainda fornecer, ao leitor menos familiarizado com a Análise geral, várias noções indispensáveis à compreensão do que se segue.

1. Espaços vectoriais 3: Por «espaço vectorial relativo ao corpo complexo, K» ou, simplesIl:lente, por «espaço vectorial complexo», enten

demos todo o conjunto S de elementos u, v , ... de natureza qualquer, a respeito dos quais sejam definidas duas operações - adição e multiplicação eScalar - de acordo com os seguintes preceitos:

I) A adição é uma operação que faz corresponder a cada par de elementos u, v de S um determinado elemento de S, chamado sorna de u com v e representável por u+v -de modo a serem verificadas as propriedades:

1 LORCH (II). 2 Sull'Analisi junzionale lineare nel campo delle junz1:oní analitiche, Rend. Accad

Lincei, giugno, 1946.

3 Para um maior desenvolvimento, podem ver-se, por exemplo, Von .NEtTMANN (1), J ULIA (I) e Van Der VV AERDEN (I).

10 J. SEBASTIÃO E SIr.VA

f�, (U + V) + w = u + (V + w), quaisquer que sejam U,V,w e S 1

(allsociatú;idade) ;

V2• u+v = v + u , quaisquer que sejam u,v e S (comuta.tividade);

V1' Para todo o par u, v de elementos de S, (�xiste um elemento x de S tal que u + x =v Un'fertibü1'dade);

II) A multipUcação escalar é uma operação que, a cada par a, U , constituído por um número complexo a e por um elemento u de S, faz corresponder um determinado elemento de S, chamado produto de a por u e representável por a· u (ou simplesmente por au), de modo a serem verificadas as propriedades:

v4• a· (u + v)= a . u+a· v (distributividade à esquerda);

V5, (a+h).u=a.u+b.u (distribut-ividade à direita);

Vü' (ab). u=,a, (b. u) (associatim'dade);

11;. 1,u=u;

designando por u, v elementos arbitrários de S e por a, b elementos arbitrários de K,

Os elementos u, v , . " do espaço vectorial S serão chamados vectores e os elementos a, b , ," do corpo K serão chamados escalares.

Nesta definição, o corpo complexo K pode ser substituído por um outro corpo qualquer 2, por exemplo, o corpo real R, o corpo racional Ra, etc" e assim teremos espaços vectoriais relativos ao corpo real, espaços 'l:ectoriais relativos ao corpo racional, etc.

As propriedades �,�, V3 da adição também se podem exprimir (as três reunidas), dizendo que o conjunto S constitue um grupo comutativo ou abeliano a respeito da adição. Em particular, tais propriedades implicam a existência de um e um só elemento x de S, tal que: u+x=u, para todo o ue S; elemento que representaremos por O e a que chamaremos o zero do sistema S. Tem-se por outro lado, em virtude de V5, que o· u=O, e portanto u+(-1) u=O, podendo escrever-se então (-1) u= -u; como além disso, em virtude de �, se tem [u+(-v)]+v=u, podemos escrever ainda u + ( -v)=u-v e

1 O símbolo € deverá ler-se, conforme os casos, «pertence a», «pertencem a,), «(pertencente a", « pertencentes a», Análogas variantes para o símbolo C «(contido em)), Dados dois conjuntos A, B, repl'esentaremos por A U B a sua 1'eunião ou soma e por A n B a sua intersecção ou parte comum.

2 Sobre o conceito geral de «corpo» veja-se Van Der VV AEnD�N (I), vol. 1, ou mais adiante, n,O 6.


chamar a u-v a diferença entre u e v (u, v designam sempreelemen

tos arbitrários de S) 1.

Um primeiro exemplo de espaço vectorial complexo é-nos dado pelo espaço vectorial cartesiano Kn a 11, climen�õe;j conplexas, que tem por elementos as sucessões de n números complexos, chamando-se então soma de dois vectores (z., Z2 , • . • , zn), (z�, z: , ... ,z:,) ao vector

(z + z" Z + z· . . . Zn + z�) e produto dum número complexo a pelo • .' :.l - '2" /I

vector (z., Z'2' . . " Zn) ao vector (a Zl , a Z2' • . , ,azn) •

Considerando apenas sucessões de números reais, tel'-se-ia, em vez de K n, o e�paço vectorial cartesiano Rn, a n dimensões reais, o qual

Ó manifestamente um espaço vectorial relativo ao corpo real, R.

2. Espaços vectoriais normados. No espaço cartesiano Kn costuma ainda ser definido um conceito de «comprimento» ou «módulo» dum vector: a cada \'ector u = (Zl , ... , Zn) , atribuiu-se, como seu cornprimento

ou módulo, o número I V 1 Zl I t+ . . . + 1 Z,t 121, que representaremos aqUl pela notação r u I. 2 Desta definição deduzem-se as propriedades:

N1• I ui> O, se u =1= O

N2• I u I = O, se u = O

lYI' l u + v I < I u I + I v '} quaisquer que sejam os \'ectores u, v e

1\T4• I a . u I = I a 1 lu' o escalar a.

Generalizando, é-se conduzido à seguinte definição:

Def· N. Chama-se espaço vectorial nor'mado a todo o espaço "ectoriaI, relativo ao corpo real ou relativo ao corpo complexo, no qual, a cada vector u, se considere associado, de harmonia comas condiçõe.� N, a ... 1\.T:,., um número real, chamado norma, comprimento ou módulo de u e representável pelo símbolo I u r .

Além do espaço Kn, são espaços vectoriais normados complexos, entre outros, os seguintes:

1 Desta análise deduz-se que a condição V:l pode ser substituída pelo conjunto das duas seguinteb: V;. Existe em S um elemento, que podemos designar po'r O. tal que: u+O=ut qualquer que sfda ueS: V;". Se u+x=u, então, qualquer que seja u e S, tem-se x = O. É interessante notar que toda a região funcional de F ANTAPPIÉ (ver Introdução) verifica as condiç�ões Vi , V'2' V:t', V4, Vs, V6 , V7, mas não Vr, nem, portanto, V3•

2 É claro que, na recta complexa, K, o módulo de cada vector z = a + bi é preci

samente o módulo do número complexo z, ou seja I z I =1 v' a2 + 621.

12 '" .J. SEBASTIAO E· ,SILVA

1) O espaço hibertiano complexo K(C�\ que se. pode considerar como o conjunto de todas as sucessões infinitas (Zj' Z'l.' ... , Zn , . . . ) de números

00

complexos, para as quais a série lJ I Zn rt resulta convergente, tendo-se nzol

por definição: (Zl"'" Zn," :)+(z;, . . . , z�". ')=(Zt+z:, . . . , zn+Z:�, . • ' ) ,

a· (zJ' . . . ,Zn," -) = (az.,·.:, azn,···), I (z. , " ' , zn,"') I = � / � I Zn 11 •

. V n=1

2) O conjunto � de todas as funções complexas f(t) da variável1'eal ( ou complexa), definidas num mesmo dOIuínio fechado D e· cont'ínuas nesse domínio; dando às expressões «soma de duas funções» e «produto duma função por um número complexo» o significado que usualmente lhes é atribuído, e chamando norma ou comprimento duma dada função f E �, ao máximo valor .absoluto de f (t) no domínio D; isto é, em simbolos :

I fi = max I f (t) I , para t E D.

3. Espaços métricos e espaços (L) vectoriais. ])('f. lV D. Seja S um espaço vectorial normado: chama�se distancia entre dois qualsquor elementos u, v de S ao número positiv o o (u, v) = I u-v I.

O operador õ assim definido verifica manifestamente as seguintes condições (implicadas pelas condições � a � e Ji� a V;):

DI' o (u , v) > O, se u =1= v ;

D'.!. Õ (u , v) = O, se u = v ;

Da. O (u, v) = Õ (v ,u), quaisquer que sejam u,v E S (simetria) ; D4' o (u, v) < a (u, w) + d (w, v) , quaisquer que seJam u,v,W E S

(desigualdade t1·iangular).

Generalizando, é-se conduzido ás duas seguintes definições:

Def. D. Chamà-se espaço métrico a todo o conjunto S de élementos u, v, . . . de natureza qualquer, no qual, a cada par de elementos u, v ,

se considere associado, de acordo com as cond'ições DI a D4' um número � (u, v) , chamado distância entre u e v.1

1 É claro que não se põe aqui a hipótese ;:le S ser um espaço vectorial. É preciso não perder de vista que a metrização de S, isto é, a atribuição do número 8 (u, v) a cada par de elementos u, v de S, pode ser feita de modo inteiramente arbitrário, independente de quaisquer considerações intuitivas sobre o conceito de «distância ))

- contanto que sejam verificadas as condições Di a D4' De resto, análogas obser

vações se podem fazer a respeito de todas as noções de Análise geral, como as de «soma», « produto escalan> e «norma», já consilleradas, e outras que serão aqui defi

nidas: . «limite», «vizinhança)), etc.

14 .1. SEBASTIÃO E SILVA

Ora é de notar que este conjunto m constitue também um espaço vectorial a respeito das noções usuais de « soma de duas funções» e de «produto de uma função por um número real» ; e que tais operações resultam contínuas a respeito da noção de «limite» definida em DI-isto é, ter-se-à:

Lim(fn + g n) =Limfr� +Lim gn; Lim (a.fn)=aLim.��, n n n n n

quaisquer que sejam as sucessões convergentes (fn) , (gn) de elementos de DI, e o número real a. Pois bem:

I)�f. L V. Daremos o nome de espaço (L) vectorial a todo o espaço vectorial que seja ao mesmo tempo um espaço (L), em que as duas operações vectoriais - adição e multiplicaçtlO escalar - resultem contín u as a respeito da noção de (limite» própria desse espaço.

Tendo em vista as condições Nt a �, é evidente que todo o espaço vectorial normado se torna, com as Def,s ND e DL, um espaço (L) vectorial.

4. Espaços métricos completos e espaços de BANACH. Recordemos que, tanto nos espaços cartesianos, como no espaço hilbertiano, é válido o critério de convergência de CAUCIIY-BoLZA�O: Condição necessária e liuficiente para que uma sucessão (Un) seja convergente é que, a todo o E> O

J se possa fazer corresponder 'um intéro N e, de modo que se tenha:

o (up, Uq)<E, quaisquer que .��jarn p, q > Ne•

Para exprimir este facto, costuma dizer-se que os referidos espaços métricos são completo8.

l\1as recordemos, por outro lado, que a noção de «distância» foi introduzida em tais espaç.os a partir duma noção de «norma», conforme a Def. ND (n.o 3). Pois bem:

Def. B. Chamaremos espaço de BA�ACH a todo o espaço (L) vectorial, cuja noçtw de «limite» se possa deduzir (confornle as Defs. ND e DL) de uma noção de «nornUL» , definida nêsse espaço de modo quo nele sejam válidas, não só as propriedades N. a �, mas ainda o critério de convergência de CAUCHY 1 • Um espaço de BA�ACH dir-se-à

1 Em tudo o que segue, falando de cEpaçoR de BANAcn, quando nada se diga em contrário, admitiremos que cm tais espaços é já definid a uma noção de (<norma»,

entre todas as que conduzem à mesma noção ue (dimite») e verifieam o critério de convergência de O.AUCHY


real ou complexo) conforme for um espaço vectorial relativo ao corpo real ou relativo ao corpo complexo.

Exemplo notável dum espaço de BA�ACH complexo (além dos espaços K

n e K(<Xl J), é o espaço � considerado na alínea b) do n. o 2.

Muitos outros exemplos de espaços de BA�ACH podiam ser citados ainda.

5. Operadores lineares e operadores contínuos. Sejam S, S* dois quaisquer espaços vectoriais relativos a um mesmo corpo, e seja Fuma transformação unívoca de S sobre S*, isto é, uma operação (ou um operador) que, a cada elemento u de S, faça corresponder um e um s6 elemento u* = F (u) de S*. (Em vez da notação F (u) usaremos ainda a notação F u ) . Diremos que o operador F é linear, quando verifica as condições:

F (a u) = a F u , F (u + v) == F u + F v ,

quaisquer que sejam os vectores U,v e S e o escalar a.

Sejam agora S, S* dois espaços (L). Diremos que uma dada transformaç�tO unívoca F de S sõbre S* é contínua, q nan-do, para toda a sucessão convergente (un) de elementos de S, se tiver

F Lim Un = Lim F un; n 'IL

isto é, q ualldo houver permutabilidade entre os operadores F e Lim . Em qualquer espaço vectorial S, todo o escalar a faz corresponder

a cada elemento u de S o elemento a u de S: ora é fácil ver que, em virtude das condiçoesv;" �-, o operador assim definido em 5 é necessàriamente linear. Anàlogamente, é fácil ver que, em qualquer espaço (L) vectorial, cada escalar a define, em tais condições, uma transformação linear contínua do espaço considerado sõbre si mesmo.

Recordemos, a propósito, como se obtém a expressão geral das transformações lineares do espaço cartesiano Kn sôbre si mesmo 1. Se pusermos el = (1, ° , ... , O) , e:2=(O,l,O,···,O),···,e,.=(O,···,O,l), todo o vector U= (ZI,Z;l," ',Zn) será susceptível da representação

1 É claro que, nestas considerações fica abrangido o caso das transformações lineares de um espaço IC sôbre outro espaço Km, com n>m, pois que Km se pode então considerar como subconjunto de KII•


Então, se F representa uma transformação linear do espaço K" sobre si mesmo, deverá ter-se:

ou seja ainda, pondo Fei=et U=l, 2, . . . � n) :

(1)

Vê-se portanto que, utilizando esta fórmula, o operador F fica perfeitamente determinado, uma vez conhecidos os vectores et em que são por êle transformados os vectores de base ei' Reciprocamente, é fácil ver que, tomados ao arbitrio os vectores e/" (1:=1, 2,· . - ,n) no espaço KiI, o operd.dor F definido por (1) constitue uma transformação linear de IC sobre si mesmo. I� portanto (1) a expressão geral procm-ada.

Representando por a�, CLá , • - • ,a�, as componentes do vector ei� (i = 1 ,2, . . . ,17,) e por zt, z;t , - .. ,z,7 as componentes do vector Fu, a igualdade vectorial (1) será equivalente ao sistema de equações cartesianas:

" (1 *) z/' = � CL:, Zi (k = 1 , 2 , . . . , 11,) ,

;=1

e portanto o operador F ficará univocamente determinado pelo quadro ou matriz dos coeficientes cLI, dos Zi em tal sistema, podendo escrever-se simbolicamente F I i I = j a'tj '

É depois fácil demonstrar que toda a transformaçao lineal' do espaço K" sobre ei mesmo é contínua. lVlas o mesmo já nao se JiOcle dizer quando se trate de espaços a

1:nfinitas dimensões.

6. Soma e produto de duas transformações_ Anéis e corpos. Seja 5 um sistema vectorial e sejam F, G duas transformações uní

vocas de S sobre si mesmo:

1) Chama-se produto de F por G, e representa-se por FG, o ope

rador que faz corresponder a cada elemento u de 5 o elemento F' (Gu) também de 5; ou seja, em símbolos:

(FG) u = F (Gu) , para todo o u E 5 .

2) Chama-se soma de .F" com G, e representa-se por F + G, o ope

rador que faz corresponder a cada elemento u de 5 o elemento Fu+ Gu de S; isto é, em símbolos:

(F+G)u=Fu+Gu, para todo o ue5.

Representemos agora por A (5) o conjunto de todas transformações ,

lineares do espaço 5 sobre si mesmo. E fácil então constatar os seguintes factos:

I) A soma de dois elementos de A (5) é um determinado elemento

ainda de A (5), sendo além disso verificadas as propriedades:

FUNÇÕES A�ALÍTICAS E A�ÁLISE FUNCIONAL 17

AI' (F+G)+H=(F+G)+H} . . quaIsquer que sejam F,G, II e..:\ (S);

A�. F +G =G+F

A;;. Para todo o par F, G de elementos de A (S), existe sempre um elemento X de A (5) tal que F + X = G.

II) O produto de dois elementos de .A (5) é um determinado elemento ainda de A (5), sendo além disso verificadas as propriedades:

A4" (FG)H=F(GH) } Ar,. (F+G)H=-:FH+GH quaisquer que sejam F,G,I-IeA(5).

At;' F(G+H)=FG+FH

Aí' Existe em A(5) um elemento X tal que FX=XF=F, para todo o F em A (5) . (Este elemento não é mais do que a transformação idêntica, I, ou seja aquele operador que faz ·corresponder a cada elemento u o mesmo elemento u).

Este sistema de propriedades, com excepção da última, costuma exprimir-se dizendo que o conjunto A (5) constitue um anel a respeito das duas operaç?Jes consideradas: adição e multiplicação 1. Um anel é, portànto, todo o conjunto A, constituido por elementos de natureza

qualquer, no qual sejam def inidas urna adição e uma multiplicação, de modo a serem verificadas as referidas propriedades: unÍüoddade, asso

ciatividade, comutatividade e in'l:ertibilidade da adição) univocidade e associatividade da multiplicação e distributi'l:idade da multiplicação a

respeito da adição. Quando num anel A é verif icada a propriedade correspondente a A7'

chama-sa tmiclade de A ao elemento cuja existência é aí postulada. Dizem-se c01n'lttativos os aneis em que a multiplicação é comutativa.

l� de notar que, exceptuado o caso em que 5 é unidimensional, o anel A (5) não é comutativo. Além disso, exceptuado ainda aquele caso, existem sempre em A (5) pnres de elementos cujo produto é nulo, sem que nenhum dos elementos o seja. Pois bem, chamam-se domín'ios de integridade os aneis comutativos em que o produto não pode ser nulo, sem (Iue um dos factores pelo menos o seja. Exemplo típico de domínio de integridade é o anel dos inteiros; o conjunto (f atrás consi-

1 Se compararmos este sistema de propriedades com aquele que caracteriza os espaç,os v ectoriais (n.o 7), observa-se que a diferença entre eles consiste únicamente em que, neste caso, a multiplicaç'ão é definida entre elementos do anel, ao passo que,

nos espaços vectoriais, tais como os definimos, não faz sentido falar de «produto de

dois elementos do espaço», mas apenas de (produto dum elemento do espa<;�o por um

escalar»,


derado (nO 2, b) é um anel, mas não um domínio de integridade, a respeito das noções usuais de «soma» e de «produto» de duas funções.

Chama-se d01nínio de racwnalidade ou corpo a todo o anel comutativo A, em que a equação ax:=b é resolúvel para todo o par a, b de elementos de A, com a =1= O . Demonstra-se fàcilmente que todo o corpo é um domínio de integridade.

Seja agora S um espaço (L) vectorial. Designando por Ac (S) o conjunto das transformações lineares contínuas do espaço, S sobre si mesmo, e continuando a designar por A (S) o conjunto das transformações lineares de S sobre si mesmo) é fácil ver que Ac (S) é um sub-anel do anel A (5) - visto que a soma ou o produto de dois elementos de Ac (S) é ainda um elemento de Ac (5) .

Convem ainda recordar aqui como se efectua a soma ou o produto de duas transformações lineares F, G do espaço cartesiano K" sôbrc si mesmo, quando essas transfol'maç,ões são representadas por matrizes, Sejam F = : ajo I, G = I bj, I ; então

II

será, como é fácil ver, F + G = : a}, + bi.( e FG = : cU, tendo posto c� = � ai, bj . j=l

lt fácil vcr ainda que o zero do anel A (K") é representado pela matriz cujos ele-

mentos são todos nulos, enquanto a unidade de A (KII) é representada pela matriz : el, I, com e},=l, para i=k; ef.=O, para i*k.

Também já vimos que se tem Ac (K") = A (K") .

7. Funções racionais inteiras de operadores lineares_ .Tá atrús obsernlmos que, em qualquer espaço vectorial 5, cada escalar a define um operador linear, F(t: o operador que faz corresponder a cada elemento u de 5 o elemento au, tamLém de S; em símbolos: F(tu=a·u, para cada u e 5 .

Ora é de notar que, nesta ordem de ideias:

1) A soma, dos operadores F(t,}\, definidos por dois escalares a, b coincide com o operador Fa+b definido pelo escalar a+b; pois que, segundo �� (n.o 1), se tem: (a+b)-u=a-u+b-u, para todo o ueS.

�) O produto dos operadores F�, Fb, definidos pelos escalares a, b coincide com o operador F ab definido pelo escalar ab; pOiS que, segundo 176, se tem: (ab)· u=a· (b· u) , para todo o ue S.

3) O uperador FI definido pelo escalar 1 coincide com a transformaçã o idêntica, I, pois que, segundo V;, se tem: 1 - u = u, para todo ou e S.

A correspondência a -+ F a assim definida entre os elementos de K e parte dos elementos de A (5) é portanto um isomorfismo, em que, .

FU�ÇÕES ANALÍTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL 19

à unidade de K, corresponde a unidade de A ($) 1. Não há por isso nenhum inconveniente em confundir os escalares com os operadores

lo)

que deste modo lhes correspondem: por exemplo, o símbQlo ; poderá

';)

designar indiferentemente o número � ou aquele operador que, a cada 3

')

vector li, faz corresponder o vector':: li. Anàlogamente, o operador 3

idêntico poderá confundir-se com o número 1 e o operador nulo, com o número O. .Nestas condições, fical:á autornàticamente estabelecido o que deva entender-se por soma a+F dum escalar a com um operador F) por pJ·oduto ali' dum escalar a por um operador F e por produto Fa dum operador F por um escalar a (sendo F linear, é claro que se tem Fa=aF).

Recordemos por outro lado que, da definição de {( produto de dois operadores», deriva imediatamente a de «potência do expoente 12 dum operador F», para n inteiro > 1. Ter-se-à, por definição:

o F (n vezes).

É natural pôr, além disso, FI =F , FO=I; de modo que será, em

geral: FU=I,Fn+1=FILoF. E da associatividade da multiplicação resultará ainda

É claro que, depois do que acaba de ficar assente, passará a ter sentido toda a expressão do tipo

F + F'l --L L Fn-1 FJ/. ao + aI 1 - a-}. • I . . o -1- an-l 1 + an 1 ,

em que ao, aI, o o o, an designam escalares quaisquer (constantes) e F um operador (variável) da familia A ($). A uma tal expressão é natural chamar polinómio in teiro em P, e natural será ainda chamar junçào 7oacional inteÍ'ra de F a toda a função rp (F) que se possa reduzir à forma dum polinómio inteiro em F.

Visto que o produto ou a soma de dois operadores lineares é ainda um operador linear, segue-se que toda a j'unçao racional inteira p (F) dum operador linear F é ainda um operador l'l·near.

As mais simples funções racionais inteiras de F que se possam apresentar são naturalmente a funçl'w !f (F)=F e as funções da forma !f (F) =a, em que a designa uma constante escala.r. 'fodas as outras

1 Supõe-se, é claro, que S é um espaço vectorial relativo ao corpo complexo.


funçües racionais inteiras de F (e só essas) se podem obter a partir daquelas funções elementares, mediante um número finito de adi<:ões e

multiplicações. Observemos, por outro lado, que o produto e a SOIlla

de dois polinómios inteiros em F se calculam exactamente como se F fôsse um símbolo numérico; isto é, mais precisamente:

n n Dados 'cp (F) = � ai Fi, � (F) = � bi Fi, tem-se 9 (F) .+ ,� (F) =

i=O i=O n n

= � (ai + b i) Fi, cp (P) . � (F) = � ai ak :Fi+k (em virtude das proprieda-i=O i,k=O

des da adição e de multiplicação definidas em A (5) e da permutabili-

dade entre operadores lineares e multiplicadores escalares) . Quere isto então dizer que, dadas duasfunçães racionais inteiras 'f(z),'� (.::) ,

da 1;a1'iável complexa z, e posto e (z) = cp (z)+ � (z), X (z) = 'f (.2:) . '�(z), te,n-se o (F) = cp (F) + 'f (F), Z (F) = 9 (F) . 'f (F), sendo F E A (5) .

Daqui resulta em particular que duasfunçães racionais inteiras cp (F) , � (F) dum mesmo ope1'ador linear F são sempre operad01"eS permutáve'is entre si,. isto é: '1l (F) . 'f (F) = t (F) . 9 (P) .

Uma outra consequência importante é que, se forem )'J' Â2 , • . • ,)'n as

raízes do polinómio aO-t-a1z+···-i-anzn, virá: ao+atF+· . . . -i-anFn= = an (F- ÀJ) (F- 12)", (I?- ln), para todo o F E A (5).

8. Funções racionais fraccionárias de operadores lineares. Seja 5 um conjunto qualquer (que não será portanto necess�ll'iamente um

espaço vectorial) e seja P uma transformação unívoca do conjunto S sobre si mesmo. Diremos que a transformação F é invertível) quando

existir uma transformação unívoca X de 5 sobre si mesmo tal que XF=FX= 1; em tal hipótese, o referido elemento X (unh"ocamente determinado) chamar-se-á o inverso de F e poderá representar-se por F-t• Ora, como fácilmente se pode ver, para que o operado'r unhoco F seja invertível) é necessário e suficiente que ele constitua uma tran�fo1'

maçtio b/unívoca do conJun to ' 5 em si rnesm.o)· úto é) será 'necess(/1'tO

e s��ficiente que, pal'a todo o elemento v de S, exista um e um só elemento u de 5 tal Fu=v.

A�sim) por exemplo, o operador de derivaç:ão não será invertível segundo tal conceito. Observe-se ainda que, dada uma transformaç�ão linear F do espa�'o K" sobre Ri mesmo, condição necessária e suficiente para que 1" seja invertível é que o determinante I ai I da matriz representativa de F seja diferente de O; ou, o que vem a dar o mesmo, que os vectores e; , ... ) e�, em que são transformados por F os vec

tores de base el ) ... ) ell, sejam linearmente independentes; em tal hipótese , a inversão "

de F consü,te na resolução do sistema z,Z = � a;, Zi (I.; = 1, . . . ,n) cm Qrdf:ffi aos z. i='j


Diremos também regulares os operadores invertíveis e singnlarer� ou degénel'es os operadores não invertíveis.

l:� fácil yer agora que: 1) Se F é tlJn operador regular, tem�se (.F-tt'=F; 2) Se os operadores F,G são regulaJ'es, tem�se (FGtl=

= G-t F-1 ; 1 3) Se os operadores F, G são permutáveis entre s/ e G (� re:/ula'l') tambérn os ope radores F, G--J 8(10 permutáveis entre si 2.

Nesta última hipótese, chama-se cocien te de F por G, e pode repre-

F sontar-se por -, o operador FG-I=G-l F .

G

Então, das proposições 2), 3), dedllz�se imediatamente que: Dado::;

qnat)·o operadores F" F-z, G, ,G2 permutúvei8 entre si dois a dois e dos

F F2 F·F quai8 G" G1 sçjam regulares, te7'-se-c1 _1 • - = 1 \! . E em par-

G, G2 G, .G2 ticular: Dados tres operadores F, G , II, pe7'/nutáveis enf1'e si dO/8 a

1 · 1 . d' 'l' . 1 , F FIl (; OlS e (08 qllazs os ms u tl1Jl08 sfOam, regu ares, sera - = -- .

G GIl

Supusémos até agora qne S é um conjunto qualquer: vamos supôr a partir deste momento que S é de novo um espaço vectorial complexo. EntrlO, podemos dizer ainda que, dados tres operadores F, G, H, permutá-

. ' d ' d ' l '1' l , F G F+G

veZ·8 entre S'l ',ms a OlS) senc o o u tll11.o regu ar, ter-se-((, - + - = . II II H

Deste modo, torna-se possível extender ao caso presente� uma a uma, tôdas as propriedades formais das fracções numéricas.

Recordando agora que duas funções racionais inteiras dum mesmo operador linear são sempre operadores lineares permutáveis entre si, e atendendo �L proposição 3), surge naturalmente o conceito de fUll<Jl70 racional fraccion,ária dum operador linear F (suposto indeterminado ou vuri[tyel). Daremos esse nome a toda a função e (F) que, sem ser

racional inteira, se possa reduzir à forma e (F) � ! ��j , em que 1, 'f,

designam duas quaisquer funções racionais inteiras. É claro que a

funçrw O (F) só será definida para aqueles valores de F que tornam '�CF') regular.

Como o inverso dum operador linear é sempre um operador linear, segue-se que toda a ftmçUQ 7'lwional dum operador linear é ainda um

ope1'ad01' l'inear.

1 Tem-se, co m efeito: (G-1 F-l) (FG) = G-I (F-l F) G= G-I G = 1 e, allàlogamente, (f'n) (1.�-1 F) = 1.

2 Com efeito: (i-I :B'=G-l FGG-l=G-' GFG-I=FG-l.

"-, 'J. SEBASTIAO E SILVA

Pod8mos agora abordar o problema da decomposi<:ão duma fracção racional própria em soma de fracções si.mples: Dados dois polinómios inteiros em z, 1> (z), 'f (z), dos quais o primeiro tenha grau inferior ao segundo, sabe-se que, representando por À" )\1. , • • • , ln

as raizes (oportunamente repetidas quando múltiplas) da equação

Hz) �O, a fuução racional : �:} admite uma decomposiç,lO do tipo

�(z) n ki � (z) =.ti (Z-)iiYi ' em que os ki representam determinados números

complexos e os 1'i determinados números inteiros, Pois bem, é fácil demonstrar, atendendo aos resultados precedentes que, dado um operador linear F, para o qual os operadore . .;; F--):" F-)'2,···,F-Àn se;jam re !lu! ares) poderá também eSCl'er er-se

rp(F) n ki '1(F) = � (F-À,)1'i , t=1 L

Sejam agora Ft' F2' . . . , Fn, transformações lineares do espaço S em si mesmo, permutávei,., entre si duas a d'Ua8. As definições de junção racional útteira e de jan_çclo raáoJlal fl'accioná1'ia dos operadores F\) . . . ,Fn (supostos "ariáveis) podem ser dadas de modo anúlogo ao precedente, e tudo o que dissemos a resp8ito das funç�ões racionais de F (aparte a decomposição duma fracção própria em fracções simples) extende-se fàcilmente às funçües racionais de 1;-'1,"" Fn .'

Podemos finalmente definir, com maior generalidade, fwnçüo 1 'Clc ional ú�teira (ou fracciortária) das variáveis FI," " Fu, Hdmitindo que os coeficientes dos polinómios possam ser, em vez de escalares, operadores lineares quaisquer, permutáveis com FI,"', Fn '

9. Anéis vectoriais complexos e anéis de BANACH. Vendo bem, todas as considerações precedentes relativas a funções racionais de operadores lineares -isto é, relativas a t'unç()es racionais de elementos de A (5), em que 5 designa um espaço vectorial complexo - podem ser desenvolvidas na sua essência, abstraindo do facto de os elementos de A (5) serem operadores lineares; com efeito, apenas ali intervem a

circunsíúncia de A (5) ser um anel que contémzLm corpo K isomor:/o

ao corpo complexo K, sendo a unidade de K tambérn a um'dade de A (5) e sendo os elementos de K permutáveis com os elementos de A (5) .

Pois bem: Chamaremos anel vectorial complexo a todo o anel A com unidade,

que contenha um corpo K isomorfo ao corpo complexo, sendo a, uni-

}1'U�CÕES ANALÍTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL '?

dade do corpo K também a unidade do anel A e sendo os elementos

de K permutáveis com os elementos de A, Por considerações análogas

às que desenvolvemos no n,o 7, podemos supor os elementos de tal

corpo K identificados com os elementos correspondentes de K, e admitir� portanto, que o anel vectorial complexo A contém o corpo complexo, Uma vez feita esta convenção, é claro que todo o anel vectorial complexo se pode considerar como um espaço vectorial complexo, e daí precisamente a designação que escolhemos para tal conceito, nfais ainda:

Todo o anel vectorial complexo A se pode representar como anel de operadores Zz'neares) e precisamente comOUln 81tb-anel de A (A) ,

Seja com efeito A um anel vectorial complexo; façamos corresponder a cada elemento a de A o operador F a assim definido

(2) Fax = a . x, para cada x € A '

Imediatamente se reconhece que F a é um elemento de A (A). Por outro lado, discorrendo como no ll.o 7, ,�ê-se que Falb=Fa+Fb' Fab= =F a . Fb' Ft =I, O que significa que a correspondência biunívoca a � Fa entre o anel A e uma parte A de A (A), é um isomorfismo, em que a

unidade de A corresponde ao operador idêntico, q. e. d. Notemos agora que o conjunto � atrás considerado [n.o 2, b)J cons

titue um anel vectorial comple:;-o, a respeito das noções usuais de «soma) e de «produto)) de duas funções. }fas em � também foi definida uma noção de <morma)), para a qual êsse conjunto resulta um espaço de BAXACH, com a seguinte propriedade notúxel: I f. g I < \f 1.\ g I, q uaisquer que sejam j, g € �. Pois bem:

Chamaremos anel de BAXACH complexo a todo o anel vectorial complexo A, munido dum conceito de <morma)) que o torne um espaço (le BAXAUH e verifique além disso a condição 1 :

I a· b I < I a \., b I, quaisquer que sejam a,b € A .

Recordemos, por outro lado, que um anel se diz comntativo, quando a multiplicação nêle definida é comutativa. O conjunto � é portanto um anel de BANACH comutativo complexo 2 •

Sejam agora S, S* dois espaços de BANACH, reais ou complexos, quaisquer. Uma transformação unívoca F de S sObre S* diz-se limi-

1 Desta propriedade se deduz que no anel A o produto será uma função continua dos factores. (Veja-se LORCH (II), pág. 415).

2 Na terminologia de LORCH: c<llormed abelian vector ring». f:ste conceito foi primeiro considerado por NAGUMO. (Veja-se NAGUMO (I)).

24 '" J. SEBASTL\O E SILV 4..

tada , quando eXIstir pelo menos um número l > O, tal que I Fu I < 1 ,

para todo o elemento u de 5 que verif ique a condiçtlO I u 1=1 . Ora é fácil demonstrar que a classe da8 tran�f01'mações lineares lúni

tadas de 5 sôbre 5* coin c ide com a classe das transformações hneal'es continuas de. 5 sobre 5*, sendo portanto sinónimas, em tal caso, as expressões « operador linear con tinuo)) e « operador linear limitado)).

Seja ainda 5 um espaço de BAXACH complexo e representemos como utrás por Ac (5) o anel das transformações lineares continuas de S sôbre si mesmo. Sendo agora F um elemento qualquer de S, convencionemos chamar norma de F, e representar por I F I , o limite

superior de I Fu I , qua ndo u varia sôbre 5 sujeito à condiç�LO I u 1=1. ]�� fácil ver que, com tal defin ição , Ac (5) se torn a um anel de BAXACII complexo.

Seja por sua vez A um qualquer anel de BAXACH complexo, e faça

mos corresponder a cada elemento a de A o operador F a definido como em (2). É fácil ver que Fa é agora um elemento de Ac(A); por outro lado, tem-se, nuo só F atb = F a + Fb , F ab ;:-,= F a' Fb , E\ = I, mas ainda FLim al/=Lim Fail - o que significa que a correspondência biunívoca a�Fa entre o anel de BAXACH A e uma parte A do anel de BAXACH A (A) é um isomorfl:smo algébrico e topológico, em que a unidade de A fica correspondendo ao operador idêntico. Tem-se pois que:

Todo o anel de BAXACH complexo A admite 'Uma 1'epresentacà.o isornórfica como anel de operadores lineares contínuos) e precisamen te como sub-ancl de Ac (A). Chamar-Ihe-emos a 1'ep1'esentaçào ?'egula7' de A. 1

10. Noções topológicas. Seja agora S um espaço métrico (n.o 3) de elementos p, q , ' , " e convencionemos chamar üizinhança de raio à dum dado ponto p de S (sendo a um número > O) ao conjunto de todos os pontos de 5 cuja distância a }J seja < a. D este modo, fica associada a cada elemento p de 5 uma familia de subconjuntos de 5 a que chamamos v izinhan ças de p. Posto isto, podemos introduzir os seguintes conceitos:

D�f.8 T. Dados um ponto p e um subconjunto }\tI de 5, d iz-se que: 1) P é intet'Íor a :Nl - se existir pelo menos uma vizinhança de p contida em M:; 2) p é exterior a M - se p é interior ao comple

mentar de M; 3) P pertence ii, fronteira de M - se não é interior nem exterior a }rI; 4) p é aderente a M - se não é exterior a l\I; f» P é um pon to de acumulação de }rI - se é aderente ao conjunto dos

1 LORCU (II), pág, 416,


pontos de 1\'1 distintos de p ; 6) .p é isolado de 1\1 - se nã.o é P9�to de acumulação de �I. Chama-se fecho de lV1 e representa-se por 1\1: o conjunto dos pontos aderentes a :M; chama-se derivado de �.f e representa-se por M' o conjunto dos pontos de acumulação de 1\'[, etc. Diz-se ainda que: 7)':M é fechado - se coincide com o seu fecho; 8) :VI é aberto - se coincide com o seu interior. Por outro lado, sendo :M, N subconjuntos de 5, diz-se que: 9) N é exterior a �I·- quando todos os pontos de N são exteriores a M; 10) l\.f, N srw separados ou desconexos (entre si) - quando cada um deles é exterior ao outro; 11) 1\1, N sã') '(gados ou conexos (entre si)- quando não são separados. Diz-se ainda que o conjunto 1\1 é desconexo (em si), quando é a reunião de conjuntos separados; e diz-se conexo (em si) no caso contrário 1.

Finalmente, chamaremos dominio aberto a todo o' conjunto aberto e domhzio fechado a todo o conjunto que coincida com o fecho do seu interior.

o exame destas definições mostra imediatamente que todos os conceitos introduzidos são exprimíyeis no conceito de ({Interior». A todas as noções que, como as precedentes, se podem exprimir formalmente na de {(interior», costuma dar-se o nome de noções topológicas. De resto, é fácil ver que, em vez da noção de «interior», se podem igualmente assumir como noções topológicas prúnitit�as, por exemplo, a de «fecho», a de ({fronteira», etc. A de «fecho» é talvez de todas a que se tenha revelado mais cómoda como noçflO topológica

primitint; tem-se, por exemplo: ú'd. 1\f = - (- �I), ea?t. �.f = - M,

fronte 1\1 = 1\1 n (- M), etc. 2 •

Observemos desde logo que a noção de « distância» não é topológica. Seja S um conjunto de elementos p , q , . .. quaisquer e represen

temos por - um operador que, a cada conjunto �f c 5, faça. corres-

ponder um outro conjunto lV1 c 5, chamado fecho de 'NI - de modo a

serem verificadas as condições: �) 11 c �f, para todo o �1 c S;

T,J O = O (representando por O o conjunto vazio). Diz-se então que 5 constitue, com tal operador, um espaço topológico (no sentido geral de FR�:CIIET) 3. Um espaço topológico 5 dir-se-á, naturalmente, metrizável, quando for possível definir nele um conceito de «distância», do qual

1 Diz-se cm topologia elementar que um conjunto M é cone.co, quando dados ao arbítrio dois seus pontos p, q, é sempre possível uní-Ios por uma curva contínua inteiramente contida em M.

2 Representamos aqui por - M o complementar de M . 3 Veja-se, por exemplo, HUGO RIBEIRO (I).


derive, conforme as definições precedentes, a noção de «fecho» que lhe é própria. Não é difícil encontrar exemplos de espaços topológicos n?w metrizáveis.

Duas métricas distintas definidas num mesmo conjunto S dir-se-ão topológicamente equivalentes, quando introduzirem em S a mesma estrutura topológica.

Sejam S, S* dois espaços topológicos. Diz-se que uma transformação univoca 8 de S sôbre S* é contínua, quando respeita a noção de «fecho»; isto é, quando, qualquer que seja o subconjunto M de S, todo o ponto x aderente a l\{ seja transformado por 8 num ponto (:o) (X') aderente a H (M) 1 ; ou ainda, em simbolos: 0 (M) c 8 (M), para todo o 1\1 c S. Uma transforma(,:ão biunívoca (:o) d(3 S em S* diz-se biconUnua, quando as transformações f), 8-1 forem ambas contínuas.

É fácil ver que o corvunto das f1'ansformações bicontínuas dum espaço topológ't'co S em s/ mesmo forma um grupo mu1tipUcatt'vo G, e que as noç(jes topológicas são p" ecisamente aquelas noções d�finidas em S que silo respeitada,;;; por toda.� as tl'an�formQ.ções do grupo G.

11. É a noção de «limite» uma noção topológica? Seja ainda S um espaço métrico. }j óbvió que as noções topológicas podem ser introduzidas directamente em S a partir do conceito de «limite», mediante a seguinte definição:

n�f'. LT. Diz-se que um dado ponto p de S é aderente a um dado subconjunto M de S, quando existe pelo menos uma sucessão de pontos de M: que converge para p.

}j fácil ver então que, em tais espaços, a noção de «limite» é urna noção topológica.

Mas seja agora S um espaço (L) qualquer. Em S podemos ainda definir uma estrutura topológica mediante a Def. LT. Pregunta-se: l A noção de «limite» será ainda necessàriamente uma noção topológica '? A resposta é negativa: existem espaços (L), nos quais a noção de «limite» não tem carácter topológico, pelo menos segundo o sentido precisado no n.o anterior 2. Apresentam-se então duas definições não equivalentes de «transformação contínua»: a que foi dada no 11.° [) e a que foi dada no n.o 10.

1 É claro que representamos aqui por @ (M) o conjunto de tOllos os transformados dos pontos de M por meio de e.

2 Sôbre êste assunto vej a-se FR�;cllE'r (1), págs. 169-172.


12. Espaços (V). No n.O 10 foram as noções topológicas introduzidas a partir da noção de «vizinhança», tendo sido esta por sua vez definida a partir da noção de «distância». Pois bem, chama-se espaço (V) a todo o conjunto S no qual se tenha introduzido uma estrutura topológica por meio de 'âzinhanças' (segundo as Def,;. T), qualquer que seja o significado atribuído ao termo « vizinhança», contanto que se trate de uma familia bem determinada de subconjuntos de S, que contenham os pontos dos quais se d'izem vizinhanças.

, E fácil demonstrar que os espaços (V) formam uma categoria inter-

média entre os espaços (L) e os espaços topológicos mais gerais 1. Por outro lado, é fácil ver que, tal como sucede com as noções de « distância» e de (<limite», a noção de «vizinhança» pode não ser topológica.

E fará sentido falar de famílias de vizinhanças topológ{camente equ'ivalentes} isto é, d�finid01'as da mesma topologia.

13. Topologia do plano-esfera. Na teoria das funções analíticas, mostrou-se cómodo ampliar o plano da yariável complexa com a adjunção de um elemento impróprio - o ponto do útfinito - considerando como vizinhanças de cada ponto próprio, por exemplo, os interiores dos círculos com centro nesse ponto, e, como vizinhanças do ponto impróprio, por exemplo, os exteriores dos cirrulos com centro na origem. Ao espaço topológico assim constituído chamaremos 'plano-e�fera. e representá-Io-emos em tudo o que segue por n.

O que o novo espaço apresenta de notável é que todo o seu subconjunto formado de infinitos pontos admite pelo menos um ponto de acumulação - facto este que se exprime dizendo que o eRpaço considerado é compacto. É claro que, dizer então que um conjunto admite por ponto de acumulaçrlO o ponto impróprio, equivale a dizer que ele é ilimitado.

Recordemos ainda que o espaço n é metrizável. Para nele introduzir uma métrica que determine a topologia já definida por meio de vizinhanças , basta recorrer ao conhecido processo da prqjecção estereográfica, ou seja a projecção dos pontos de n sobre uma esfera !!* tangente 11 n num ponto próprio, tomando' como centro de projecção o ponto c diametralmente oposto ao de tangência e considerando como projecçrw do ponto 00 sobre !2* o próprio centro c: então, assumiremos como distância (que diremos esférica, para distingui-la daquela ordú�á1'ia) entre dois pontos ZI' Z2 de n, a distância entre as suas projecções z; ,z; sobre a esfera !!*. É fácil ver que o conceito de «distância»)

1 Por exemplo, o espaço funcional analítico de FANTAPPI:�: é um espaço (V), mas não já um espaS'0 (L) .


assim deftnido está de acórdo com as condições fundamentais Dt a D4 (Def. !J, n.O 3). Se, por outro lado, se chamar vizinhança e,tlérica de ra?�o a dum ponto z de n ao c unjunto dos pontos de n cuja distância esférica a z é < a, teremos aqui uma nova família de vizinhanças que sem dificuldade se demonstra ser topologicamente equivalente à anterior 1. Obteremos ainda duas famílias de vizinh anças topologicamente equivalfmtes às primeiras, se nestas substituirmos as vizinhanças pelos respectivos fechos; para distingui-las entre si, usaremos as expressões «vizinhança aberta» e «vizinhança fechada » 2.

Uma proposição bem conhecida de Análise geral, que convém rec or

dar aqui , é o lema de Ih�I�E-BoREL : Seja S um espaço topológico qualquer e seja �f um subconjunto de S.

Diz-se que uma família � de subconjuntos de S é uma cobert1l1'a de -:\[, quando, para cada ponto p de 1\1, existe pelo menos um conjunto E pertencente à família � ao qual p é interior. Pois bem: se o espaço S é rnetrizúvel e compacto) e se � é uma cobertura de lU, sendo 1\1 um

qualquer' subconjunto fechado de S, pode a.fl�rmar-se que exis te pelo menos uma família �* constU uída p01' wn número finito de conjuntos

pertencentes a �, que é ainda uma cobertur'a de �f, Ora o plano-esfera é, precisamente, um espaço metrizável e compacto. Uma outra proposição de Análise geral que convém recordar é a

seguinte: l!;m qualquer espaço (V), todo o conjunto l\f se pode eXjJ'i'I�m�'r - e dum só modo - tomo reunião de c01ljunto8 conexos má:X:l�/JI08

(isto é) de subconjuntos conexos de l\'I que não est�jaJlt contidos em mal,';;

amplos sub-conJuntos conexos de 1\1). A tais sub-conjuntos de l\f dá-se o nome de componentes desse conjunto.

Seja então l\f um conjunto conexo (n.o 10) de pontos do plano-esfera. Diremos que .M é simplesmente cone.l.,O, se também o seu complementar é conexo; diremos que é duplamente conexo, triplamente conexo-, etc., quando o seu complementar fór constituido por duas, tres, etc, componentes; e diremos que é multiplamente conexo de ordem i}�finita) quando o seu complementar tiver infinitas componentes 3.

1 Recordemos que, dadas num conjunto S duas famílias de vizinhanças (:7, ;:7*, para que elas definam em S a mesma topologia, é necessário e suficiente qne, q ualquer que seja o ponto p de S, toda a vizinhança de p pertencente a g contellha pelo menos uma vizinhança de p pertencente a ff* e toda a vizinhança de 'P pertencente a Fi* contenha pelo menos uma vizinhança de p pertencente a ff.

2 Quando dissermos simplesmente «vizinhança», deverá entender-se «vizinhança ordinária aberta»,

3 Convém não perder de vista que, ordinàriamente, estes conceitos costumam ser definidos apenas para conjuntos abertos.

FU�ÇÕES A�ALÍTICAS E AXÁ.LISE FU�CIO�AL 29

14. Arcos simples e curvas fechadas simples; sua orientação. Chamaremos arco simples a toda a curni contínua (de J ORDA�) aberta e sem pontos múltiplos. No plano ordinário, um arco simples será pois representado, parametricamente, por um sistema de forma: x=9 (t), Z/='f (t), em que 'f (t), 'f (t) representam funções contínuas no intervalo fechado [O, 1], sujeitas à condição de não se ter simultâneamente �(t,)=9(t2)' 'f(ti)=tf(t2), para t1=1=t'l'

Chamamos curra fechada simples a toda a curva contínua fechada sem pontos múltiplos. No plano ordinário, as equações paramétricas duma curva fechada simples serão ainda da forma X=9(t), Y='f(t), com so (t) , 'f (t) contínuas no intervalo fechado [0,1], sujeitas ii con· dição de não se ter simultâneamente, �(tJ)=SD(t'l)' 'f (tJ)=.}(tJ, para

O<t, < t2< 1, mas sendo 9 (O) =rp (1), � (O)='f (1). rm arco simples r de extremos 0:, � dir-se-á Grierttado, quando nele

se tiver fixado um sent ido de percurso (ou de o: para � ou de � para a) ,

q ue pode ser o sentido de crescimento de t na representaçrlO paramétrica. Dados dois pontos ZI' Z'l dum arco simples orientado, I', para indicar que ZI precede Z2' segundo a orientação de l', escreveremos . ." } 7. ':"1 ")""'2'

Uma curva fechada simples, r, dir-�e-á orientada, quando nela se tiver fixado um sentido de percurso) que pode ser ainda o sentido de crescimento de t na representação paramétrica. É claro que, numa curva fechada simples - imagem homeomórfica da circunferênciaapenas são possíveis dois sentidos de percurso, os quais, a respeito dum ponto z exterior à curva, se podem intuitivamente designar como aquele qlle dei.r:a h esquerda e aquele que deixa tI direita o ponto z.

Se .�==, o sent.ido que o deixa à, direita é o sentido antiorário ou positiro) e o que o deixa à esquerda, o sentido horário ou negati1io. lt claro que, fixado sobre uma curva fechada simples orientada r um seu ponto ,zo, a. cun'a r pode considerar-se como um arco simples orientado, elljos extremos se tenham tornado coincidentes em zo; então, dados duis pontos ZI' Z2 de r, para indicar que, segundo a orientação de f, 2:1 precede ;zz' em relação a zo, escrevere�nos: ZI -\ Z1. (a respeito de zo).

15. Produto cartesiano e produ to topológico. O espaço da Análise. Dados n conjuntos quaisquer A1' A2' . . . , An, chamaremos produto cartesiano destes conjuntos, na ordem por que são mencionadose representaremos por AI X A2 x· . . X An - o conjunto de todas as sucessi'ies (a1, a�, ... ,an) que se obtêm, tomando arbitràriamente um elemento aI em AI, um elemento a2 em A2,···, um elemento an em An' Em particular, os conjuntos At, A2' . . " An podem todos coincidir entre


si, e então representaremos mais s implesmente por A�t o respectiv o pro duto cartesiano. Assim, por exemplo, o espaço cartesiano KIt é bem o produto cartesiano de n conjuntos idênticos a K, o que justifica a

notação aqui adoptada para o representar.

Dados n espaços (V) quaisquer S" S;2' . " . , Sn, chamaremos produto topológico destes espaços, na ordem por que são mencionados, àquele espaço (V) constituido pelo produto cartesiano S = SI X S2 X . " . X Sn ,

quando se considere como dzinhança de cada elemento P=(POP'2'" ·,pn) de S, todo o conjunto da forma lTp1 X Vp� X . . . X T�)n' em que l�\ designa uma vizinhança de Pi no espaço Si (i = 1,2, . . . , n)" Assim, por exemplo, o espaço Kn será o produto topológico de n rectas

complexas K. É fácil demonstr�r que, se os espaços SI"'" Sn, são metrizáveis,

o mesmo sucederá a respeito do seu produto topológico, podendo-se consi

derar como d1"stância entre dois pontos p = (pj, .. " , pn) , q = (ql , " . " , qn)

do produto S � S, x· . . X S., o uúmero a (p, q) � V lJ [Oi (Pi, qi)J' , /.=1

em que aj," • • , à:l representam as métricas definidas, respectiv<:lmente,

em 5,,·"·, Sn.

l\fais ainda: demonstra-se que, se os espaços 5, , . " . , Sn selo cornpaçtos

(n.o 13), o mesmo acontecerá are.peito do p,'oduto topológ'ico SIX .. 'XSn•

Assim, por exemplo, o espaço nu., em que !2 representa o plano esfera (n.o 13), será ainda , como n, metrÍzável e compacto. .A. tal espaço chama OSGOOD o espaço da Aná1i�e 1.

16. O espaço projectivo complexo. Uma das lnaneiras de tornar compacto o espaço cartesiano Kn com a adjunção de pontos impróprios consiste no emprego de coordenadas homogéneas. Como se sabe,

coordenadas homogéneas dum ponto (Zl"'" zn) de Kn são n + 1 "

, 1 " " '" Zi (" 1 ') ) numeras comp exos Zl," ', Zn, Znt-l taIs que Zi = -.. - � = , .... , ... ,n .

Zn.t-l

11ara. exprimir q ue z�"'" z� ,Z:+l formam um sistema de coordenadas homogéneas do ponto (zJ' . " . , zn), escreveremos

(2)

Deste modo, condição necesssária e suficiente para (lue se ten h a

(3)

1 OSGOOD (I).

FUNÇÕES ANALÍTICAS E A�ÁI..ISE FUNCIONAL 31

é que seja 'Ui V/,;=U/,; Vi (i, k= 1, . . . , n, n+l). Além disso, para que um

dad.o sistema de números com plexos Ul,';' ,Un ,Untl defina, em tais condições, um ponto de Kn, será necessário. e suficiente que se tenha Un+l=i=O.

Quere isto dizer que, se eliminarmos a condição "ltnt-l -= O, obrigando os números Ul," ', Un ,Unt-l apenas ii, condição de não serem todos

nulos, e se mantivermos quanto ao resto as convenç()es precedentes, o conjunto de todos os elementos [Ul,···, Un ,Un+1J assim definidos será uma extensão do conjunto Kn: chamar-Ihe-emos 1 espaço projectivo a n dimensões complexas e representá-lo-em os por n[nJ• Por outro lado, chamaremos pontos impróprios de n[n] aos elementos deste espaço que não pertencem a Kn, isto é, àqueles elementos [Ul,···, Un ,untlJ para os quais 1l'n+l =0.

Importa desde logo observar que o espaço projectivo n[ll] não coincide com o espaço da Análise nn (para n> 1). Para o reconhecer, basta observar que, por exemplo, os pares (1,00), (2,00), que constituem, por definição, elementos distintos de Q\!, correspondem a um mesmo elemento de n[2J, ou seja, o elemento [O, h ,OJ, com h =F O

(o ponto impróprio do segu.ndo eixo fl); por outro lado, o elemento (00 , 00) de n2 corresponde a infinitos elementos distintos de nr�J, ou sejam, todos aqueles de forma [h, k , OJ, com h, Tc =F O .

Para definir agora no espaço projectivo Q[»] uma conyeniente estrutura topológica, comecemos por observar que, a cada ponto [aI' ... , an, an+l] de Q(IIJ, correspondem infinitos pontos do espa(,;o car-

, K1L+l t I I t ( ) d Kn+1 . tesu\nos : oe os aque es pon os ZI"", Zn , Zn+l e que verL

f" d' '" ZI Zn Zn+1 lU '" d' !Cam as con lçoes - = , , . = - = -_. lv'�as costuma entao lzer-se aI an anil

que esses pontos (ZI" '" Zn ,Zn+l) de Kn+1 formam neste espaço uma 'recta que passa pela origem. Deste modo, dados dois pontos quaisquer p = [ai' . , , ,an , a'M1] , q = [b, , ... , bn ,bntll do espaço fltn], podemos chamar distância esférica entre p e q, ao ângulo e das duas rectas de Kn+1

que c9rrespondem a esses pontos de n[lIl, sendo, como se sabe:

n _

� ak bk cos e = .-�=:::::::::=k=;::-"T1 "I""-�===--I

V � I ak I' . V � I b, I ' '

em que bk representa o conjugado de b/,;.

1 Em rigor, o conjunto nlllJ só deverá chamar-se' espaço projectivo depois de nele

terem sido definidas as noções de «linha recta» e de ((razão dupla»,


Ora é fácil ver que não só este conceito de «disttincia» está de acordo com as condições D[ a D1 (n.o 3), com o também a topologia

por e/e introduzida em nrll] é 'WlIa continuaçào da topologia jú definida no suhconjwdo l(1L de nrll]. Mais ainda: o espaço topológico nr"J assim d�f'inido é, tal como nn (mas .não como Kn, 1.(1)l espaço mefrizá?;el compacto) em que, portanto) 1'efmlta apliclÍ'Uel o lema de HEI�E-BoREL (n.o 13).

17. A questão dos pontos impróprios para as funções analíticas de mais de uma variável. Uma função elas variáveis Z[," ', Zn pode sempre considerar-se como função de um ponto P= (Zl , ... ,zn) do espaço Kn ou mesmo do espaço Q/i. Diz-se que uma função f(z[, .. . , zn) é anal-ítica num ponto (ai"'" an) de nn, quando for analítica em relaçfLO a cada uma das variáveis Zl" " , Zn, consideradas separadamente, nos pontos Z( =a[,"', Zn=an• Em particular, a função f(z[, . .. , ZI;;," ', Zn) dir-se-á analítica em relação a Zk no ponto z/;: = 00, quando a função

f(Zj , .. " �, .. . , Zn) for analítica em relaçfLO a z� no ponto z7c = O Zk

(k= 1 , ... , n) .

:VIas uma função f (Zf" '" zn) das variáveis complexas Zl" " , Zn , também se pode considerar função de um ponto p do espaço projec

tivo Q(II\ ponto que podemos representnr por [z�, . . . , z�, z;,+d, fe ita a

z· z· b . . - 1 11. su st Ltlllçao ZJ = -- , ... , Zn = -;-..

Zn+1 zn+l Ora, supondo a função f(Zj'"'' zn)

inicialmente definida num domínio ]) do espaço Kn -l quando se dirá que ela é prolongil\'el analíticamente a um ponto im própr io 00]1 do

espa(,,'o n[II]? Para responder a tal questão, recordemos que é sempre possível levar il posição COJl um qualquer ponto próprio Pu, mediante urna transformação do tipo

(4) n+1

z� = � a'<"zk U = 1 , ... , n , n -1- 1) , t k=l '

em que o determinante I ai. ! (de ordem n+1) seja diferente de O. A uma tal transformação dá-se o nome de projectividade não clegénel'e 1

do espaço nlJlJ• Ora, pondo p = (z� , ... , z: , Z;,+1)' P = (;1 , ... , zn , ZIt+ 1) e escrevendo

(4) abreviadamente sob a forma p =8 (p), diremos que a função f(p) =

( z· z'" ) = f � ... � _it é prolona-iwel analiticamente ao ponto OOp quando

* ' , z" '-' zn.l..l n+lI

1 Tais são as transforma�'ões biunivocas do conjunto n[»J cm si mesmo que reSpeitam as no:;ões de «recta» e de «razão dupla» definidas em n["j: elas formam por

isso o grupo projectivo, característico da geometria pTojectica definida em oln].


f[(o-) (p)] for uma função de P prolongil.Yel nnalíticamente ao ponto Pu [tem�se, por h ipótese, OOp = <3 (Po)] •

Apresentam-se portanto duas maneiras não equivalentes de definir «função analítica» em pontos impróprios - em correspondência aos dois modos não equivalentes de ampliar o espaço cartesiano Kn com a adjunção de tais pontos . É claro que ambas as definições são logicamente admissíveis, pois que não há propriamente definições certas e definições erl'adas, mas apenas definições mais ou menos úteis) para o fim que se tenha em yista.

Ora não so compreende fàcilmente a exclusividade que, na teoria dos funcionais analíticos, é atribuido ao segundo dos referidos conceitos. Como veremos adiante, é precisamente o primeiro que se afigura mais cómodo nesta teoria.

§ 2. OPERAÇÕES LINEARES SOBRE FUNÇÕES ANA LfTlCAS

18. Funções analíticas ligadas a um conjunto, Continuemos a representar por .Q o plano esfera (n.o 13), e seja C um conjunto de pontos de .Q, fechado) não 'üazio e não coinddente com .Q. Chamaremos vizinhança aberta do con ju nto C, a todo o domínio aberto D do plano-esfera - limitado se C é limitado - que contenha o conjunto C, de modo que nrtO haja nenhuma componente de D separada de C; e chamaremos uizinhança fechada de C ao fecho de cada vizinhança aberta de C. 1

Suponhamos que O é constituído por dois segmentos de recta 01, O:,! disjuntos: uma vizinhança fechada de O será, por exemplo, todo o círculo que contenha no interior ambos os segmentos CJ, O2; ou a reunião de dois rectângulos· RI , R;.! disjuntos, que contenham no seu interior, respectivamente, os segmentos 01 , O2; mas não poderá ser, por exemplo, um conjunto constituido por dois círculos rI, f;.!, ° primeiro dos quais contenha no interior os segmentos CJ ,Gl, e o segundo seja ext.erior a rI -pois que, neste caso, o domínio ri u r:,! terá uma componente separada, de O: o circulo r2•

.

Por « yizinhança de C) (simplesmente) entendemos, como é natural,

todo o domínio que seja uma viz inhança aberta ou uma vizinhança fechada de C.

Posto isto, sejam fI (z) • f"l (z) duas funções complexas definidas em duas vizinhanças, respectivamente D1' D;!, de C, e holomorfas em tais

1 Sobre os conceitos de «domínio aberto» e «(domínio fechado» vejam-se Def.1 T, n.O 10. Sobre a definição de «componentel), ver n.O 13. É claL'o que, segundo a pre.sente definiç�ão, um conjunto C será interior a qualquer das suas vizinhanças.


domínios. Diremos que as funções fI, f2 são equivalentes a respeito do conjunto C, se, e só se, designando por D* uma vizinhança de C contida na intersecção de Di com D2' se tiver: fi (z) = f'l (z), para cada z e D*. 1 O leitor pode reconhecer sem dificuldade que se trata aqui, efectivamente, de uma 1'elação de equivalência, isto é, de uma relação 1'eflexiva, simétrica e transitira - que pode, como tal, converter-se numa relação de identidade :

Diremos que duas funções holomorfas em vizinhanças de C definem a mesma função analítica ligada ao conjunto C, se, e só se, são equivalentes a respeito de C.

Cada função analítica ligada a C não é portanto mais do que a classe ou o abst1'acto de todas as funções holomorfas em vizin hanças de C, que são equivalentes a uma dada, a respeito de C.

Seja 0/ uma função analítica ligada a C. Para cada vizinhança D de C, duas hipóteses há a considerar.: ou existe urna função holomorfa . .

em D que representa � sobre esse dominio (podemos designar essa funçrlO por CPD (z) e escrever então: cpn (z) = cp (z), para z e D); ou não existe nenhuma vizinhança de C em tais condições. No primeiro caso, diremos que a função 0/ é holomorfa sobre D ou que D é um dominio de lwlomorfia de. �. Deste modo, 08 domím'os de holomorfia de 0/ são já, por defim'ção, vizinhanças de C. Por outro lado, é manifesto que a reunião de todos esses domínios \Tem a ser um conjunto aberto Aa que podemos ainda dar o nome de dominio de regularidade de rp, chamando pontos regulares de cp aos pontos de A, e pontos singulares ou singula1'idades de cp aos pontos do conjunto complementar de A. }fas é preciso não perder de vista que: 1) o domínio da regularidade de rp pode não ser um domínio de holomorfia de cp 2 ; 2) a função f não é necessàriamente uma função analitica no sentido de "VEIERSTRAS�.

Suponhamos, por exemplo, que o conjunto C se reduz ao ponto z=O, Então, é fácil ver que a função analítica \It + z se decompõe em quatro funções analíticas ligadas a C - ramos monódromos dessa função no ponto z=O; allàlogamente , a função analítica log (1 +2z) decompõe-se em infinitas funções analíticas ligadas a C, etc.

Seja agora C o conjunto que tem por componentes: 1) o ponto z=3; 2) a circunferência com centro na origem e de raio 1. Seja, por outro lado, /1 (z) um dos ramos

1 Evidentemente, basta que este facto se verifique para uma vizinhança D* de C contida em DI n D:l' para que tenha l ugar qualquer que seja a vizinhança D* de C contida em DI n D2 •

. 2 Sucede isto, é claro, quando tp representa uma função analític'a pluriforme (no sentidode Vy]!;I�RSTRASS).


'3 I f .. 1 1+z . . h monOOfomos c a unçao og -z- numa VIZlIl ança Di do ponto 3, e seja I'l. (z) um

dos ramos monódromos da função ! Vz2+3 numa vizinhança D'l. da referida circunz ferência (disjunta de DI)' É claro que as duas funções II (z) , 1'1 (z) representam ,

sobre a vizillhan\�a DI U D:l de C, uma determinatla função analítica ligada a C.

Suponhamos agora dada arbitràriamente uma vizinhança D do conjunto C, sendo C, como suposemos inicialmente, um qualquer subconjunto fechado de i1, não vazio e não coincidente com n o Já vimos que, seudo D uma vizinhança de C, o conjunto C será interior a D, o que significa, preclsamente, que todo o ponto de C terá pelo menos uma sua vizinhança contida em D o Representemos então por � a família de todas as vizinhanças fechadas ordinárias 1 dos pontos de C , que estão contidas em. D o É claro que a família � constitue uma cobertura do conjunto fecharfo C; então, segundo o lema de HEINE-BOREL (noO 13), será possível extrair de � um número finito de vizinhanças T� , �, . ,. , Vn de pontos de C, que formem ainda uma cobertura de C o Representemos por D* a reunião de todas essas vizinhanças: o conjunto D* é manifestamente uma vizinhança fechada de C, contida em D, com um número finito de componentes e cuja fronteira é rectific[n-el (formada pela reunião de um número finito de arcos de círculo). Tem-se pois que:

LEMA.. lVO plano-esfera, cada vizillhança D dum conjunto fechado C, contém selnpre, peTo rn enos, urna 'Vizinhança f6chada D* de C, cuja fronteira é constittdda por um número finito de curlias fechadas simples rectificáveis.

Em particular: toda a vizinhança de C terá um númeJ'O finito de componentes (mesmo que C tenha infinitas componentes).

Seja, por exemplo, C, o conjunto dos pontos z= 1,2, . . " n, .. ' , 00 , Êste con

junto é, como se vê, ilimitado, e constituido por infinitas componentes, que são os próprios elementos de C. Mas tal conjunto é fechado em ��, e por isso cada vizinhança do C não poderá ter senão um nftmero finito de componentes. Consideremos por exemplo, os círculos rj, r2,· • • de raios 1/2 e com centros, respectivamente, nos pontos 1,::3," '; e seja ainda roo o conjunto dos pontos não interiores ao círculo com centro na origem e de raio 3: a reunião, D, dos conjuntos rI, q,' . . ,rn,· " , roo

1 As vizinhanças fechadas ordinárias de cada ponto próprio são os círculos com centro nesse ponto; as vizinhanças fechadas ordinárias do ponto 00 são os exteriores dos círculos com centro na origem, ampliados com as respectivas circunfe

rências (n.o 13).

36 J. SEBASTIXO E SILVA

é certamente uma vizinhança de C, mas constituida apenas por três component.es, (lue são: rJ, 1'2 e ['3 U r'CJJ' É verdade que se poderia aumentar, para além de todo o limite, o raio do círculo correspondente a roo: mas nunca se conseguiria, por tal processo, fazer passar para fora de r CJJ mais do que um número finito de círculos com

centros cm 1,2,···. Deste modo, cada função analítica ligada ao conjunto C agora considerado nunca

poderá wrresponder a mais do que um número finito de funções analíticas de \VEmRsTRAsS - conquanto esse número não esteja sujeito a nenhum limite superior.

19. Espaços funcionais analíticos. Seja ainda C um subconjunto fechado de º não vazio e não coincidente com n. Representemos então por � [C] :

a) o conjunto de todas as funções analíticas ligadas a C --- se o con

j unto O é limitado; b) o conj unto daquelas funções analíticas ligadas a C que se anulam

no ponto ;mpr6prio - se este ponto pertence a 0.1

Desde logo convém obser,'ar que, para um número finito de elementos PI' 'f2 , ... ,SDn de � [CJ, existe sempre, pelo menos, uma vizinhança de C, sobre a q ua] as funções �I' Pi! , ... ,0/" são todas holomorfas: basta notar que, se forem DI, D2' . . . Dn, respectivamente, domínios de holomorfia 2 de tpl' ff'2' . . . , SOn, e::dstirá sempre, pelo menos, uma

vizinhança de C contida em D1nD:ln ... nDn, e esta será, visivelmente, um comum domínio de holomorfia daquelas funções. :Mas outro tanto llttO podemos dizer, quando se trate de um número infinito de elementos

de � [C], e este facto, como yeremos, dev0rá ser tido em consideração

em tudo o que segue.

Posto isto, p o demos definir no conjunto � [OJ uma adição o uma 'l1Iultiplicaçtlo da maneira seguinte, que é a mais natural:

Def"� I, II. Dados dois elementos 0/, 'f de � [OJ, chamaremos soma

de p com � itquele elemento de �[CJ (que designaremos por o/+---(!), tal que, sendo D um comum domínio de liolomorfia das funções �,'f, se tem

('P + 4) (z ) � � (z) + � (z) sobre D ;

e chamaremos produto de SD por � àquele elemento de�[CJ (que desi� gnaremos por 'f�) tal que, sendo ainda D um domínio nas condições indicadas, se tem

( 'f 'f) (z) = 'f (z) . � (z) sobre D.

1 A necessidade desta última restrição far-se-á sentir no desenvolvimento da teoria. 2 }� preciso não perder de vista (lUO, segundo o que foi dito no número prece

dente, os domínios de holomorfia das funções analíticas ligadas a C são já, pOl'

definiç�ão, vizinhanças de C.


Sem dificuldade se demonstra que,' a respeito de tais operações, o

conjunto Õ[O] constitue um anel comutaUvo1•

:Mas pode ainda definir-se em � [O], de modo análogo ao precedente, o conceito de «produto dum número complexo a por um elemento so de � [O J )) , sendo fácil também reconhecer que, rolati \'amente :1 adição jit ali definida e a esta multi plicaçrlO escalar (abstraindo portanto da multiplicação entre elementos de � [CJ), o conjunto Õ [O] constitue um e.'(paço vectorial complexo.

Finalmente, definiremos em Õ [C] um c once i to de « limite)), tal como sogue:

l)�f. TIl. Dada uma sucessão infinita <fo, 'fI , ... , 'Pu, . . . de elementos de 15[CJ, diremos que ti, sucessão (cpn) cOn'cerge para um dado elemento�f, também de 6 [C], e escre\'eremos em tal hipútese

� = Lim '1'n, n

se existir pelo menos uma 'Tizinhança D do conjunto ,O, tal que: 1) D seja um comum domínio de holomorfia de todas as funçi)es I,h rpn (n = O, 1 , . . . ) ; 2) para todo o número ê, se possa fixar um númoro inteiro Nê, de modo que se tenha I Ifln (z) - � (z) 1 < 8, quaisquer que sejam n > Nê, z € D; isto é, noutros termos: se existir um comum domínio de holomorfia das referidas funções, sobre o qual �II (z) t!:'ndn. un{toJ'memente para � (z) quando n � 00 •

lt fácil ver agora que, não só o operador Lim assim definido verifica as condições LI a L'J (ll.o 3), como a.inda as duas operaçõesadição o nm/tiplicação escalar - definidas em Õ L C J resultam contínuas relativamente a tal conceito de «limite). O conjunto Õ [O] constitui portanto, a respeito das referidas noções de ({soma), ({ produto escalar» e «limite)), um espaço (L) vectorial (n.o 3), a que chamaremos o espaço funcional analítico � [C]. Os entes considerados neste espaço como primitivos são pois: a adição, os multiplicadores escalares e o operador Lim .

Uma questão que surge agora é a seguinte: l São os espaços funcionais analíticos espac;os de BA�ACH complexos? - Não possuo elementos seguros para responder a tal pregunta, mas sou levado a crer que a resposta é negativa. A questão poderá ser posta de maneiras suces-

1 Êste será ou não um domínio de integloidade (n.o 6) conforme C for conexo ou desconexo, c será ou não um anel vectorial complexo (n.o 9), conformo o conjunto C for limitado ou ilimitado. É claro que, neste caso, o corpo isomod'o ao corpo complexo é constituído pelas funções que se reduzem a constantes.


sivumente menos restritivas: l Admitem os espaços funcionais analíticos uma noção de «norma»)? São eles metrizaveis? São espaços CE)? A resposta parece-me dificil, em qualquer dos casos 1. Seja porém como for, a questão que oferecia verdadeiro interesse era a

. .

prImeIra.

Uma outra questão que se apresenta e a que não p o demos deixar de atribuir importância, pelo menos teórica, é a seguinte: l É a noção de «limite» que definimos em � [C] uma noção topológica, conforme o

sentido precisado nos n. os 10 e 11? - Ainda neste caso me inclino a

admitir a negativa. E, para evitar dúvidas, convém desde já precisar

que o conceito de continuidade aqui adoptado a respeito de operadores é o que corresponde à noção de «limite» (n.o 5) e não o que corres

ponde à noção de «fecho» (n.o 10). Finalmente, convém observar que a inclusão C c C* implica a inclusão

oposta � [C] � � [O*J, mas que tal não habilita a afirmar que � [O*J é, como espaço (L) vectorial, um sub-espaço de � [C] .

Seja C, p. ex., o conjunto que se reduz à origem, c seja C* o segmento de recta que tem 1lOr extremos os pontos 3 e -3: é claro que �e tem CcC*. Consideremos

1 por outro lado a fUllção 9 (z) -- , a qual pode ser representada numa vizinhança

l-z 00

da origem pela série � Z'l, cujo raio de convergência é igual a 1. Então, se puser-I.=U

li

mos C'I (z) = � Zk (n=O,l, " ' ) , é claro que será <p=Lim , .. , no espaço das funçf'ies h=U II

analiticas ligadas a C; enquanto, no espaço das funções analíticas ligadas a CIt, não

existirá sequer Lim CiI' embora <p, "I (n =0,1, ... ) sejam elementos deste espaço. II

20. Operadores lineares contrnuos definidos num espaço funcional ana!rtico. Ao falar de operadores lineares continuas definidos num

e.poço funcionrtl allalii1'co t5 [CJ (conforme o sentido precisado no n.o ó),

pressupõe-se, naturalmente, a existência de um segundo espaço S, ao q unI pertençam os elementos Fr, transformados dos elementos � de � [O] por efeito de cuda operador F considerado; e é claro que êsse segundo espaço S deverá ser, pelo menos, um espaço (L)

1 Chama-se espaço (E) a todo o espaço topológico cuja topologia possa ser definida a partir duma noção de ((desviol) (francês c<écart»). Por sua vez, a noção de «desvio» é aquela a que se reduz a noção de «distância») quando se prescinde da condiç,ão D4 (n.o 3). Na minha nota atrás citada, cheguei a dar como certo que os cspayos funcionais analíticos são espaços (E); mas uma análise posterior levou-me a descobrir um êrro nos raciocínios em que se baseava essa minha afirmação. (Sobre o conceito de espaço (E), veja-se, p. ex., FRÉCHET (I), pág. 2J3-219).

� . , FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE FUNCIONAL 39

vectorial, para que tenha sentido a expressão «operador linear contínuo» 1.

Em particular, S pode ser a recta complexa, K, e então 08 operadores definidos em � [O] serão os funcionais puros, de que FANTAPPIE se ocupa sistemàticamente na sua teoria dos funcionais analíticos.

Um outro caso particular importante é aquele em que S vem a ser um segundo espaço funcional analitico � [O*J ou até o mesmo espaço � [O]. Exemplo notável duma transformação unívoca do espaço � [C] sobre si mesmo é o operador 1) de derivação - que é um operador linear, visto que se tem � (11 +�) = �1>+l) f, 1) (mp) = a �p, quaisquer que sejam os vectores cp, 'f € � [OJ e o e scalar a € K; e que é também um operador contínuo, por força do conhecido teorema2 de 'VEIERSTRASS, que, numa primeira aproximação, se pode enunciar como a segue:

Se uma sucessão de funções lu (z) ,� (z) , ... ,fn (z) , ... , holomorfas num domínio fechado D, converge uniformente nesse domínio para uma determinada função 9 (z), podemos afirmar que a função 9 (z) é holomolfa no interior de D e que a sucessão j�(z), fi (z), . . . das deri1:adus das junções t� (z) ,f1 (z) , ... converge un'iformemente para a função g' (z), em todo o

domÍlu'o fechadointerivr a D. 1\1as as hipóteses do teorema podem ser alargadas: basta ímpor que

as funçfJes fo (z), J. (z) , ... são holomorfas no interior de D e contínuas

no inteiro domínio D, admitindo que a fronteira deste é composta de um

número finito de curvas fechadas simples rectificáveis. Além disso, basta que a convergência uniforme se ver�fique na fronteira de D, para que ela tenha lugar no inteiro domínio D.

Tem-se pois que a relação � = Lim 'Pn, no espaço � [C], implica a n

relação l)�=Lim � Cj/n, e portanto também :lV f =Lim :1)P 91l (p= 1,2, ... ) , n n

no mesmo espaço.

Nota - Em vez da notação Fcp, usada para representar o transformado do elemento p de � [OJ por efeito do operador F, será por vezes oportuno usar a notação F:: [1> (z)] ou ainda esta outra: F;; cp (z) tal como já foi sugerido na Introdução 3.

1 Bastaria supor, naturalmente, que S é um espaço vectorial munido de uma Iloç"ão de «limite), sem exigir que as operações vectoriais sejam contínuas nesse espaço; mas não vale a pena assumir uma tal generalidade.

2 Veja-se, p. ex., V ALIRON (I), pág. 375. 3 Já na Introdução advertimos que a letra z escrita como índice de F tem por

fim indicar que a variável w=Fz [tp (z)] não depende de z (variá/..'el aparente) mas sim de cp - evitando assim a confusão com o símbolo de função composta.


Uma conyenção análoga se impõe para o operador Lim: escre\'ert�mos algumas vezes 1

� (z) == Lim t'n (z) , nlz

com o mesmo significado de

� =- Lim 'tn ' n

Assim, por exemplo, podemos escrever, segundo tal convençtlO,

1 n Zi � =Lim � '1i+l ' ,,-.:, n I:; i=O fi

a respeito de tod o o espaço � [C], para o qual C resulta interior ao

círculo com centro na origem e de raio I), I. Aqui a vantagem da referida convenção é bem vish-el, pois que a con\'ül'gência uniforme expressa pelo símbolo Lim (sobre alguma vizinhança de C) se refere a funções

de z, e não a funções de ),.

Seja pois S um espaço (L) vectorial qualquer, e proponhamo-nos resoher o seguinte problema: achar uma expressão geral das transformações lineares continuas de Õ [O J sobre S.

Para isso, ensaiemos o método gera12 aplicável a I)roblemas deste tipo, começando por procurar uma ba.'Je lógica do espaço funcional analítico 6 [O], isto é, um sistema de elementos de l5 [Cj, no qual se

possam exprimir formalmente todos os elementos deste espaço, com o emprego exclusi,'o das noções fixadas em 6 [CJ como primitivas: adição) nwJtiplicadol'es escalares e operad01' Lim. No caso do espaço cartesiano Kn, uma base lógica do espaço é, por exemplo, o sistema de "edores e.," ', en considerados no Il. o 5, pois que se tem, para cad<l "ector u = (Zt , ... , ZIi)' a representaçrw

(6) n

11 = lJ Zk ek. k=l

Procuremos então proceder de modo anúlogo no caso presente. Para maior clareza. de exposição, limitemo-nos, por enquanto, ao caso em

1 Notemos que �/ ô, primeiro que tudo, uma função da variável inteira n, da qnal não depcIHle Lim cr,l - razão por que escrevemos n como índice do símbolo Lim.

II

2 Este métoilo foi por mim estudado cm tOLla a generalida1le para o caso dos automorfismos, na minha memória SuOU automol1ismi di un sistema matematico quatanque, eomm. Pontificia Acad. Scient., 1945. É claro que as conclusões ali expostas se mau têm em grande parte para o caso dos homomorfismos.

FUNÇÕES ANALÍTICAS E ANÁLISE FU�CIONAL 41

que C é simplesmente conexo (n.o 13), continuando a supor, é claro, que se trata dum conjunto fechado, não YHzio e n�.o coincidente com Do .1

Seja l)ois � um elemento qualquer de � [C]. Raciocinando como na domonstração do loma do n. o 18, é fácil yer que, sendo C simplesmente conexo, existir[t pelo menos um domínio de holomorfia de r:p, fechado, que tenha por fronteira uma curra fechada simple.;;; 1'ect�l!cúrel. Seja O um tal domínio 2; então é válida a fórmula do CA UCllY:

(G) � (z) = 9� J <fi (i.l dÀ , .;..7U J,--Z

r

para todo o Z in teria r a D,

onde r designa a fronteira do D, orientada de modo a deixar it esquerda os pontos de C. (É aqui precisamente que intervóm a hipótese de Cf se anular no ponto imp ró prio, se este pertence a C, pois que, de COll

trário, a fórmula (0) não seria n'tlida). Uma certa analogia se descobre desde logo entro as fórmulas (5) e (G),

se recordarmos quo a fórmula (0) se podo apresentar com o aspocto

(7) para Z € lnt D,

designando por À�l), À�') , ' .. ,I,��!) uma sucessão de pontos de r, variávol com o índice n e tal que: 1) À�:l) =À�'); 2) ÀYI) -< )8') -< .. . -< À�:�l (a res

peito de i.�I\ segundo a orientação de 1'); 3) o máximo de I À�:I)_-À�!�\ I, para k=l, 2, . . . ,n, tende para O, quando n-+oo.

(Importa notar que para cada valor de )\ nftO pertence a C, a função

do z, _1_, ó um determinado elemento do espaço �[CJ. Ora é claro À-z

que pertencendo a l', os pontos À�!) pertencem também a i2-0). 3

AJas o operador lim usado na fónnn/a (7) não é o operador Lim definido em Õ [CJ. Há todavia um teorema de RUNGE 4, segundo o qual a

1 O conjunto C poderá ser portanto um arco simples, um ponto, um c írculo, etc.,

mas não uma circunferência, uma recta, etc. 2 Não esqucç�amos que, por definiç.ão, todo o domínio de ho]omorfia de � contém C

no interior, e que é limitado ou ilimitado consoante o conjunto C é limitado ou ilimitado. 3 Heprcsentamos, naturalmente, por �� -O, o complementar do conjunto C (no

plano-esfera, Q) . 4 RUNGB (1). Este resultado aparece mais adiante como aplicação de doutrina

exposta, Note-se que CACCIOl'OLI, na sua citada nota, apresenta este teorema como consequência da fórmula fundamental dos funcionais lineal'os contínuos, deduzindo esta, como já se disse, dum conhecido resultado de F. Rmsz. Todavia, não me parece

que seja c::;sa a via mais natural.

42 '" J. SEBASTIAO E SILVA

convergência expressa pela fórmula (7) é uniforme sobre qualquer domínio fechado D* interior a D. Podemos então escolher o domínio D*, de modo que seja uma vizinhança de C, e em tais condições já nos é lícito escrever

(8) 1 tendo aSSim conseguido exprimir o vector q> nos vectores ),�:!)_ z

(k = O, 1 , ... , n; n = 1 ,2, ... ) , com o emprego exclusivo da adlção, dos multiplicadores escalares e do operador Lim - tal como pretendíamos.

Posto isto, seja }i-' uma qualquer transformação linear contínua de � [O J sobre S ; ter-se-á então, aplicando F a ambos os membros de (8), e recordando as definições de linearidade e de continuidade relativas a

operadores:

(9) F, [�(z)] = L L!,m � ().�,)- À��,) 1 ().�')) F, (À�Lz) ; fórmula q UO, por analogia com (6), se pode escrever 1

(10) r

tendo posto: . f (/.) = F:> (_1_) , para À e n - O. À-z

Vê-se pois que, mediante a fórmula (10), a transformação linear con

tínua F de � [O] sobre S fica perfeitamente determinada, uma vez conhecidos os elementos u = f (À) de S, em que são transformados por

F os elementos _1_ de � [O] correspondentes aos diversos valores ),-z

de À situados em Q -O; do mesmo modo que uma transformação linear F do espaço KiL sobre si mesmo fica determinado, uma vez conhecidos os vectores e: em que são transformados por F os yectores de base ek, para k=1,2, . . . ,n (n.o 5).

Portanto, o papel desempenhado no segundo caso pelo indice k, é agora desempenhado pela variável complexa J . •

O símbolo f (Ã) representa pois uma função de À definida em !2·-0,

cujos valores são elementos de S; do mesmo modo que _1_ repre� À-z

1 Note�se que fórmula (10) é apenas uma abreviatura da fórmula (9) e que, portanto, o integral que nela figura envolve o conceito de Lim definido em S.

- . , FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE FUNCIONAL 43

senta uma função de À definida em Q-C, cujos valores são elemen

tos de Õ [C]. A função vectorial f (l) chamaremos função 'hldicatriz do operador F.

A propósito dos espaços cartesianos, vimos no n.O 5 que os vectores e7 (i = 1 , 2 , ... ,n) podem ser escolhidos com inteira arbitrarie

dade sobre o espaço KR: o operador F definido pela fórmula F u= � Zi e; (sendo Zr'···' Zn as componentes de u) será sempre uma

transformação linear (e' até contínua) de Kn sobre Kn• :Mas outro tanto não se pode dizer no caso presente: para que uma função Yectorial f (Ã) represente, segundo a fórmula (10), alguma transformaçao

linear contínua F de � [CJ sobre S) deve satisfazer a certas condições, que formam o objecto das considerações dos números seguintes.

21. Condições necessárias para que uma dada função vectorial seia função indicatriz dalgum operador. Seja pois f ().) uma função de )" que tome por valores elementos do espaço S , sendo À uma variável complexa: l A que co n dições deve satisfazer a função f (À) para que, por meio da fórmula (10), defina uma transformação linear con-

tínua F de 15 [C] sobre S, e se tenha, precisamente, F z (_1_) = f (À) , para cada À e il- C? À-z

Para resolver tal questão, continuemos a seguir o método geral atrás

indicado: p1'ocuremos agora formar 'uma Lidia de várias propriedades da base �1 _ do espaço � [CJ (considerando _1_ como função de À que

)-z À-z toma os valores em � [C]), as quais se possam exprimir com o uso exclusú;o das noções primitivas do e.paço funcional' analiiico � [CJ: «adição») (wperadores escalares» e «Operad01' Lim»; tratemos em segu'z'da de areriguar se cada ttma dessas propriedadeg é ou não respeitada por todas as trans

formações lineares contínuas 1 de tJ [O J sobre S: no caso afirmativo, tais pr'opriedades sedio) manifestamente) condições necessárias a que dere satisfaze]' f (À), para que st;ja função 'l'ndicatriz de alguma dessas transformações.

Assim� por exemplo, nós sabemos que, como função de � que toma

os valores em � [CJ, a base _1_ possui as duas seguintes proprie-d d ),-Z a es:

1 É preciso não perder de vista que o facto de uma noção ser eXprimível nas noções primitivas é condição necessária, mas não suficiente, para que seja respeitada por todos os homomorfismos (transformações unívocas que respeitam as noções primitivas).


a) É univocamente deJúdda no conjunto Q-C. b) Anula·se para À=oo (rIO ca,�o de C nào conter esse ponto). A propriedade a) é manifestamente respeitada por qualquer transfor

mação univoca de �[CJ sobre S" Quanto á propriedade b), ela é respeitada por qualquer transformação linear de �[OJ sobre S, visto quo uma tnl operação deve por força transformar o Zel"O de Õ [O J no zero de S. Temos portanto aqui duas condições a que deve satisfazer f (),) para o fim considerado.

Mas nestas propriedades não chega a intervir o conceito de «limite»: a primeira é puramente lógica; a segunda exige apenas o conceito de (soma». l Nrl.O haverá nenhuma propriedade da base _1_ em que intervenha, efectivamente, o operador Lim? ),-z

Ora sabe-se que, para cada ponto próprio Àú nrio pertencente a C, se tem

sendo esta série convergente para todos os pares de valores de À e do z,

tais que I À-Ào I < I )o-z I. �Iais ainda: sabe-se que, para cada ), * co,

tal série é uniformemente conl,ergente a 1"espeito de z, no exterior dum qualquer circulo com centro em Àú e de raio superior a I À-lo I. Pinal-

( l)n mente, se notarmos que as funções Xn (z) - (Àú_z)n+l (u = O, 1, ... )

são elementos do espaço � [O] (tem-se, por hipótese, Ào' C), podemos

escrever, designando por o a distância 1 do ponto Àú ao conjunto C: 1 n (-l)k

-,,- = Lim � (À - Ào)k C ktl ' ,,-z 11 1 z k=l 'o-z)

para I i, - )'u I < a "

Anàlogamente, se ).0 = 00 (supondo que C não contém este ponto), virá, representando por o o limite superior das distâncias da OrIgem aos pon tos de O}

1 n 1 -- = Lim lJ - . Zk À-z nl: k=O Àk+1 , para P I> o.

Representemos abreviadamente por h ()) a funç� o �- de ). . TereÀ-z

1 Chama-se distância dum ponto p a um conjnnto 1\1 ao limito inferior das (ljstâncias de p aos pontos de 1\1.

FUNÇÕES ANALÍTICAS E A�ÁLISE FUNCIO�AL 45

mos, então, além de a) e de b), mais as seguintes propriedades da. base h (À), logicamente exprimíveis nos conceitos primitivos do espaço t5 [CJ :

c1) Pa'ra cada ponto próprio �o não pertencente a C, exist e uma

sltcesf;ão "1.0' Xl , ' , , , ln , ' .. de elementos de i5 [O], tai,� que) designando por õ a distância de ),0 ao conjunto O, se tem (11 ) n

h (J.) = Lim lJ (1.- )'0)'- Xk , n k=O

C"2) .lVO caso de C não conter o ponto únpróp,'io, existe uma suces-

são eo, °1,," de elementos de � [C], tais que, designando por o o

limite superior das distélncia.'J da origem aos pontos de C, se tem

(12) . n 1 h (I.) = Llm lJ "Ik-t-l • 9k, n k=O I.

l São estas propriedades respeitadas por todas as transformações

lineares contínuas de � [O] sobre S? Evidentemente que sim, pois que, dada arbitràriamente uma tal transformação F, e aplicando-a a ambos os membros de (11), virá) atendendo à linearidade e à continuidade de F:

n

F [h ().)] = Lim lJ (J. - ÀoY . FXk, n k=O

e, anàlogamente, no segundo caso:

para I À - Ào I < o ;

para p.! > o .

As propriedades ci), c�) fornecem portanto condições a que dü\-e satisfazer f (À) para o fim designado, desde que, nos respecti\·os enun

ciados, se substitua Õ [CJ por S e h (À) por f (À) • Exprimi-Ias-emos dizendo que a função vectorial h PI) é analítica em cada ponto de !l-C.

Pregunta-se agora: lO conjunto das propriedaàes a), b), Cj)' c2), fornece já uma cOildlção suficiente para que a função vectorial f (Ã) sej a

função indicatriz de algum operador? É o que vamos procurar saber nos números seguintes.

22. Funções vectoriais da variável complexa. Chamaremos contradomínio de uma função qualquer, ao conjunto dos valores des s a função para todos os possíveis valores da variável independente (ou das variáveis independentes).

Seja então S um qualquer espnço (L) vectorial, e seja fez) uma dada função de z, de contradomínio contido em S e definida (não se diz se


unIvocamente ou se plurlvocamente) num dominio D do plano-esfera:

Def. 1. Sendo Zo um ponto de D, diremos que, ao tender de z para Zu � f (z) tem por limite um determinado elemento u de S, quando, qualquer que sAjaa sucessão (�1l) de pontos de D, distintos de zo, convergente para zo, se tenha sempre

I.Jim f (�1I) = U ; 11

e escreveremos, então, para o indicar

Lim f (z) = u .

D�f.8 II) III. A função f (z) dir-se-á contínua num ponto Zo de D quando assumir um único valor f (zo) llesse ponto, e se tiver, precisa: mente, f (zu) =Lim f (z). A função f (z) dir-se-á contínua no domínio D,

quando for contínua em todos os pontos de D .

Def. IV. Chamaremos derivada da função vectorial f (z) num

ponto zo, próprio, de D, àquele eventual elemento de S - que designaremos por :i) f (z) ou por f (zo) - tal que

:':=;;1)

!) f (z) = Lim f(z) - f (zo) . Z=::o Z=ZQ Z - Zo

Def.s V, VI. Diremos que a função f (z) é monogénea num ponto próprio zo de D, quando admitir derivada nesse ponto; e monogénea no

ponto impróprio (caso D contenha esse ponto), se a funçttO de z, f (ljz) ,

for monogénea no ponto z=O. Diremos ainda que a função f (z) ó mono

génea no dondnio D, quando for monogénea em todos os pontos de D.

Def. VII. A funçãq f (z) dir-se-á. analítica num ponto próprio Zo

de D, quando existirem uma s ucessão UO, UI , • • • , Un , • • . de elementos de S e uma vizinhança V do ponto zo, de modo que se tenha

n

f (z) = L inI � (z - zo)k Uk , n k=O

para cada Z e V.

(P,lra os conceitos de unaliticidade no ponto impróprio e no domínio D, definições análogas às precedentes).

Podemos ainda definir, a partir das noções primitivas de S, o con

ceito de integral riemanniano J f (J.) d)., da função vectorial f (z), ao r

longo duma curva orientada r do plano. De resto, já utilizámos este conceito na fórmula (10).

... , , FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE FUNCIONAL 47

Há uma série de questõ€Js que surgem espontâneamente a propósito

das definições precedentes: l Existe sempre o integral J f ().) d I. quando r

a função f ()�) é continua sobre r? Continuam a ser equivalentes os conceitos de monogeneidade e de analiticidade num conj unto aberto? Subsiste o teorema de CAUCHY? Subsiste a unicidade do prolongamento analítico? etc. etc.

Renunciando a analizar estas questões em toda a generalidade, começaremos por supor que S é um espaço de BANAClI complexo.

23. Funções do voriável complexo de contradomínio contido num

espaço de BANACH 1. No caso em que S é um espaço de BA�ACH com

plexo, as proposições fundamentais da teoria clússica das funções analíticas extendem-se imediatamente às funções analiticas da variável com

plexa, de contradominio contido em S. Em primeiro lugar, a Dej. 1 do número anter ior resulta equivalente

á seguinte: Dej. 1*. Dado um ponto Zo de D, diz-se que a função fez), ao

tender de z para zo, tem por limite um determinado elemento u de S, quando, a todo o número E> O, se possa fazer corresponder um outro o> O J tal que se tenha I f (z)- f (zo) I < €, para dist (z, zo) < 0.2

A demonstração desta equivalência exige porém, como no caso dússico, o uso do axioma de ZERMELO.

Por outro lado é fácil ver que, no caso presente, a existência do

integral riemanniano J f (Ã) d)' é ainda garantida pela continuidade da r

fUnçtLO f ().) , f3cto este em que intervém substancialmente o critério de convergência de CAUCIIY. :Mantém-se, além disso, a limitução :

I.f f (1) dl I < p. comp r, r

em que p. representa o máximo de I f (I.) I sobre r, e COl1p r é a abrevia tura de « c omp rim ento de f».

Passemos à teoria das séries. Escreveremos ainda, por convenção, w n w lJ un=Lim lJ Uk. Uma série !J u" dir-se-á absolutamente convergente,

n=O n k=O "",o

1 Os factos indicados neste número são já conhecidos, pelo menos em parte. 2 Representamos aqui por dist (z ,zu) a distância esférica de z a Zo •

48 J. SEBASTIÃO E SILV 4.

00 quando fuI' convergonte a sério das nonnas dos seus termos; � I UIII. S u bs iste a proposiçrw: 11=0

Toda a série absolutamente cotlreJ'yeute é também com;ergente.

Heprodnzamos aflui, a título de exemplo, a demonstraç�ão deste teorema: Seja ,"Yj � UI! UIlla série absolutamente convergente. Então, qualquer que seja o número

�=u ro

natural p, virá Lill1 � I U'i I = O. Mas, por outro lado, tCl'-se-á (propried. N", n.O 2): P 1/=P

q q oc: � UJi < � I UI' I < � I u" I, sendo q um número natural qualtluer superior a p' "=,, 1I=P "=/1

Donde se conclui finalmente, aplicando o critério de convergência de CAUCIIY, que ro

a série � UI! é convergente. 11=0

A demonstração faz-se pois exactamente como no caso clássico.

Um outro resultado que se mantém é o de CAUCHY-ll/.,DA:\lAl{D para as séries de potências: o raio de convergência ? duma série

a:J

� ZU Un é dado pela fórmula e-I =Linl n/I Ua I, em queLim é o símbolo n-O n

de «limite máximo», cuja definição supomos dada como no caso

clássico. Subsiste além disso a proposição funda:nental;

r:f)

Toda a série de potência!; de z, � zn UII, define uma jnnçâo f (z) deri-11=0

vável em cada ponto interior ao circulo de convergência] tendo-se pre-00

cisamente f' (z) = � nzlt-1 Ua, e sendo o raio de com;ergência desta sél'ie 1/=1

'igual ao da primeira. Dêste modo se reconhece que: toda a jitnçtio ana1Uica mUIl domínio

é mOllogénea nesse dornínio. Como, por outro lado, continua a ser verdade que monoyeneidade

(o, portanto, allaliticidade) implica continuidade, torna·se fácil estabelecer o pnneípio das 'identülades para as séries de potf:>ncias, e, quem diz para as séries de potências, diz para as funções analíticas:

Se duas junções f (z) , f� (z), univocamente definidas e analítica.,;;; num

dominio aberto D, tomam o me.JrJw valor em il�finito.'J pontos dum cOlijuuto fechado contido em D, entâo coincidem em todo o domínio D.

Daqui a unicidade do prolongamento analitico: Seja f (z) wna jnnçc10 univocamente definida e analitica nU,1/l dominio conexo e aberto D, e

seja D* um outro domínio conexo e aberto que intersecte D. Entào) se


existe uma função f* (z), univocamente definida e analUica no domínio D*, tal que f(z)=f*(z) sobre nnD*, essafunçào será a única em tais condições.

Chamaremos ainda domínio de regu1aridade da função f (z), ao domínio aberto, A, do plano-esfera, constituído pelos pontos de todos os domínios aos quais a função f (z) é prolongável anallticamente (mediata ou imedia tamente); e chamaremos junção analítica no sentido de \""'" EIEl{· STRASS, à função, uniforme ou pluriforme, assim definida em todo o domínio A.

�Ias nós já vimos que toda a função analítica num domínio é monogénea nesse domínioo � Será ainda verdadeira a reciproca desta proposição?

Ora o teorema fundamental de CAUCHY continua a ser válido e, com ele, a fórmula integral de CAUCHY:

Seja D um domínio conexo limitado e fechado do plano-esfera, de fronteira r formada por um número finito de curvas simples rect�fi

cá'veis e suposta orientada de modo a dei;car à esquerda os pontos de D ; e seja f (z) uma função un1,vocamente defzonida e contínua no domínio D e rnono.génea no interior de D o Nestas condições:

1)

2)

o integral J f (z) dz é necessàriame11te nulo (teorema de CAUCHY); r

tem-se: f (z) = � r f (Ã) dÀ, para todo o z interior a D 21tt t. ).-Z

r

(fórmula integral de CAUCHY). N o caso clássico, apresentam·se pelo menos duas demonstrações do

teorema de CAUCHY: a de RIEl\IA��, que exige a hipótese de a derivada ser contínua, e a de GouRsA'r, em que esta hipótese não inter

vém, e que não recorre às condições de monogeneidade 1. É esta última a demonstração que se pode generalizar ao caso presente.

Quanto à fórmula de CAUCHY, ela pode ser estabelecida de modo inteiramente análogo ao clássico, e cont-in'lJa a 8er 'l:álida no ca80 em

que, sendo D 'ilúnitado, a função f (z) se annla no ponto impróprio. Desta fórmula se deduz ainda o desenvolvimento de f (z) em série de

potências de z-zo, para cada Zl' interior a D, série cujo raio de con· vergência será igual à distância de Zo à fronteira de D. E deste modo se estabelece a equivalência entre os conceitos de monogeneidade e de

analiticidade em domínios abertos.

1 Vej a-se por exemplo V ALlRON (I).


Para evitar confusão com o conceito weierstrassiano de «função ana

lítica)), diremos holomorf'a, num domínio D toda a função f (z) univocamente definida e analítica no domínio D.

Do teorema fundamental de CAUCIIY deduz-se imediatamente o teorema fundamental do càlculo integral no campo complexo:

Consideremos um domínio s'implesmente conexo D e seja f (z) uma

função holomorfa em D. Ne.'itas condições, o i'ntegral

�

f f (j.) dJ , Zo

calculado ao longo de urna curva rectificá?;el r, de extremos z e zo, 'úderior a D e orientada de Zo para z, tem ttm valor que não depende da curva r ui'ilizada, 'ma8 ün'l'camente dos pontos Zo e z; de modo que�

q'uando Zo é f'l'xo� o referido integral define 'luna função de z, g (z) ,

a qual não é mais do que a junção primitiva de f (z) qtW se an'ula para Z = zo; isto (!) em símbolos:

g (zo) = O, g' (z) = f (z) . Finalmente, da fórmula de CAGCIIY deduz-se o teorema de \VEIERS

TRASS relativo a sucessões uniformemente convergentes de funções 11010-morfas (veja-se n.O 20).

24. Suficiência das condições indicadas no n.o 21, sendo S um espaço de BANACH. Conforme o que ficou estabelecido no n,O 21, dada uma função f (Ã) de contradomínio contido em S (designando por S um espaço (L) vectorial complexo), condição necessária para que a transformação F definida pela fórmula

(10*) F� = 9�-' frp (À) f (À) dI., ... " �

r

nas condições já indicadas, seja uma transformação linear contínua do espaço funcional analHico � [C] sobre S, e se tenha precisamente

f (À)=F2 (_1_) - é que a função f (Ã) seja holomorfa em il-C e se À�z anule para À = 00, se porventura este ponto nrtO pertence a C.

Trata-se agora de saber se esta condição é suficiente. Coloquemo-nos na hipótese de S ser um espaço de BA�ACH complexo,

continuando a supor que C é um conjunto simplesmente conexo, fechado, não vazio e não coincidente com n. Seja então f (À) uma função de

.., , , FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE. FUNCIONAL 51

contradomínio contido em S, holomorfa eni n -- O, e que se anula'no ponto impróprio, caso C nno contenha este ponto. Deyemos ontão demonstrar, sucessinlmente, que a transforrnaç1ío F dofinida por (10*) verifica as seguintes condições: 1) é li ma t}'an.�lo1'lJlaçiio de Õ [C] f;obl'e S (isto é, faz efectinunente corresponder, a cada elomento tp de 8' [C], pelo menos um elemento F'f de S); 2) é mdvoca; 3) é Unear,-

4) é contíJwa; [)) transformet a função � ,de )" na fUl1�'(lD f (À) . . . . A-z

A condição 1) ó certamente \Terificada, porque, sendo f (I.) uma fun�:ão contínua, e pertencendo os seus valores a um espaço de BA�ACH, o integral que figura em (10*) existe necessáriamente. (K ote-se que já o mesmo não poderíamos dizer se em S não fo s se válldo o critério de convergência de OAUCIIY!).

A condição 2) desdobra-se em duas:

2a) Para cada fun�·ao cp € 15 [OJ o integral que fiffura ,em (10*) tem

um sú t'alor. (Este facto (� apenas uma consequência da definiçftü de integral e da uniyocidade de f (I.) sobre n - O).

2h) Para cada cp G 15 [C], o 'ado1' do Inte,qJ'al que figura em (10*) IUlO

depende da curra de iutc(fl'w;âo f, desde 'lHe e.-da tel/ha sido e .. �c()lhida como foi úICll'cado no n. o 20.

Para yer que esta condição é veriJicada, consideremos duas yjzinltanças fechadas D!: D� de C, sobre as quais a função cp resulte ho10-ll10rfa� e que tenham por fronteiras duas curvas fechadas simples rectificilyeis, respectiyamente rI e r�. Então existirú pelo menos uma,

outra YÍzinhunça, 1\, de C, contida em nl n J)� e cuja: fronteira, 1'3' sej a ainda uma curva fechada simples rectificúyel. lUas visto que, em

tais condições, a função l' (I,) f (i) resulta holomorfa sobre os domínios

fechados D,--D:�, D;2 - D,;, ter-se-iL, em yirtude do teorema fundamental de CAUCHY (n.o 23) :

.r r (I,) f (l.) di. = J f (I.) f (À) d)� , .r � (Ã) f (I) d'À =.f l' (À) f (Ã) cn , r: ra

e portanto: q. e. d.

Quanto :\ condi()lo a), l' fácil yer, atendendo it definiçrw ele integral, que tamb(\Ill ela ó yerjfieada.

Oonsideremos agora a condiçrtü 4). Bastará demonstrar (lUO, dada arbitrilriamente uma sucessão (tp.�) de elementos de 8[OJ que tellha


por limite O, será, necessàriamente, Lim F�n = O ,1 Supunhamos pois n

que se tem Lim�n=O. Existirá então (n,O 19) uma vizinhança D do con-n

junto C, sobre a qual todas as funções Po' �l , • , . resultam holomorfas, e tal que, a todo o número 5>0, se possa associar um inteiro N€, de

maneira que se tenha I �n (z) 1<8, quaisquer que sejam n>N;, Zê D, Podemos, de resto, escolher o dominio D, de modo que ele seja fechado e tenha por fronteira, r, uma curva fechada simples rectificável. Então virá

(n=O,l, ... ) ,

r

donde, atendendo às propriedades dos integrais (n.o 23) e representando por 11 o máximo da função contínua I f (À) I sobre o conjunto fechado r:

1 I F'Pn 1< - . 8 . 11 . comp r, para n > N •. 21t'

Mas, dada a arbitrariedade de 5, esta última desigualdade implica manifestamente que

Lim Fpn = O, q. 8. d. n

Resta-nos a condição 5). Trata-se de provar que, sendo F a trans

formação definida por (10*), se tem Fz (_1_) = f(À) , para À 6 Q-C. À-z

Seja pois D uma qualquer vizinhança fechada do conjunto C que tenha por fronteira, r, uma curva fechada simples rectificável. Então, para

cada À não pertencente a D, _1_ será uma função de z holomorfa ),-z

em D, e portanto

F:(�) = �J 1 * f(À*)dÃ*,

À-z 21;1, I,-i. r

para À e n - D.

Mas a função f (À) é holomorfa no dorninio fechado !.!-D, e anula-se no ponto impróprio, se este não pertence a C. Por outro lado, a curva r considera-se orientada de modo a deixar à esquerda os pontos

1 Com efeito, dizer que uma dada sucessão (�/1) converge para um dado elemento � equivale a dizer que Lim (�-�I') =0. Por outro lado, sabemos que, se F é um

"

operador linear, resulta F (�-�n) ,...F4-F�n'

... , . FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE FUNCIONAL 53

de C, deixando portanto à direita cada ponto Ã. Tem-se portanto (fórmula integral de OAUCHY, n. o 23) :

F � ( �) = f (À) , \J,-Z

para À e n -D.

}\tIas é claro que, para cada ). Gil-O, o domínio D pode sempre ser escolhido nas condições devidas de modo que se tenha À e il- D.

Virá portanto: F z (_1_) = f (À), para todo o À e 12 - C , q. e. d. À-z

Vê-se pois que as condições 1) a 5) são todas verificadas, ficando assim demonstrado o que pretendíamos.

Existe portanto uma correspondência bz'unívoca F �--+ f (Ã), entre as

transformações lineares continuas de � [C] sobre S, e as funções de Ã, de contradominio contido em S, que são holomorfas no complementar do conjunto O, e se anulam para À = 00 se este ponto não pertence a C; estando a transformação F e a correspondente função f (Ã) (sua função indicatriz) relacionadas pela fórmula (10*) ou, em sentido inverso, pela fórmula:

para ). e .Q - C .

25. Casos em que C é multiplamente conexo ou desconexo. Para maior clareza de exposição, tínhamos imposto ao conjunto C, no n. o 20, a restrição de ser simplesmente conexo. Isto não quere dizer, todavia, que o caso geral- aquele em que O é um qualquer subconjunto fechado de .n, não vazio e não coincidente com n - apre� sente q ualq uer dificuldade essencial.

Comecemos por supor que C é multiplamente conexo, de ordem finita ou infinita 1, e seja � um elemento de � [OJ; segundo o lema do n. o 18, existirá pelo menos um domínio de holomorfia D de rp, fechado, cuja fronteira r seja formada por um número . finito de curvas fechadas simples rectificáveis, 1\, r2 , . , • , r n ' Ora, como se sabe, a fórmula

de CAUCHY

(6*) (z) = � J--5> (Ã) d). q; 21tt J.- Z r

(z e int D)

ainda é aplicável neste caso, entendendo-se que o integral ao longo

1 Exemplo dum conjunto multiplamente conexo de ordem infinita é o conjunto constituido pela reunião de circunferências tangentes interiormente umas às outras

1 1 num mesmo ponto e de raios 1, -, ... , - , ...

2 n

J. SEBASTIÃO E SILVA.

de r é a ··soma dos integrais correspondentes, ao longo ele cada. uma das curnlS 1\ , 1'';2 , ... , rn, supostas orjentadas de modo a deixar à. eSfluerda os pontos de O C o que nos lent a dizer que também a curnl, r se con�

sidera orientada ·de modo a deixar à esquerda os von tos de C). :Ma.s é evtdente que, ainda nesto caso, o referido integral se pode exprimir directamente como limite de somatórios, e tudo poderá seguir como no caso inicial.

Observemos simplesmente que, neste caso, o complementar do conjunto C é desconexo, podendo mesmo ter infinitas componentes. Ora, segundo o que foi dito, a funçllO indicatriz f (J�) de cada operador linear contínuo definido em 6 [C] deve ser lwlomoJ:ta em n - C; mas nada impede, evide.Q-tell1ente, q ue as f'unç<)es holomorfus f1 (?), f? (j,), . . " em

que se decompoe f O�) sobre as diversas componentes de n·� C, sejam ai dadas com inteira arbitrariedade, sem a restrição de se poder passar de umas pura outras por prolongamonto analítico. (Para hre\'idade de expressão, chamaremos COiJIpOlleJltes de f (J.) a essas funções L (J�), L (),) , ... ) É agora manifesto que, como existe para cada funç5.o q; pertencente fi

Õ �C J um domínio de holomurfia multiplamente conexo üe ordem finita, só um número finito de cOlllponentes de f (I�) poclcrit influir no valor de }"? dado pela fórmula (lU*); ma.s tal não (luere diL;er7 por outro lado, fI ue, sendo as componentes de f (J.) em número infinito, elas se tornem supérfluas a partir de certa ordem, poIs que, dado um número v

tão' grande quanto se quiser, 11aver[t sempre em 6 �CJ funçoes que n?LO admitam douünios ele holomorfia multiplamente conexos de uma ordem inferior a v.

Consideremos finalmente o caso em que O é desconexo. Então, cada domínio de holomorfia D duma qualfluer funçtlO � e6 [C] não poderá ter sentlO um número finito de componentes DI, D;!, . . . ,])/1 ,

cujas fronfeiras, respectiramente r. , r� " '., rI!, podemos já supor constituídas, cada uma delas, por um número finito de CUl'\'as fechadas simples rectif,c{L\'eÍs. }'fas a fórlllula (6*) é ainda aplic[tvolneste caso; com efeito, o integral ao longo de r é a soma dos integrnis eorres

pondentes ao longo de 1\, . . . , 1\, tendo-se

- � dÀ= 1.

J�(À).. {o/(Z), se zeintDi

2 r; i I, - Z O , se z ei li t D k, C o mi =F k ; Ti

e como, para ser interior a D, o ponto z deve ser interior a uma, e uma só das componentes de D, fica justificado o uso da fórmula CGif) ainda neste caso.

Tudo o resto segue como anteriormente.


26. Sobre o teorema de RUNGE. Como aplicação da doutrina exposta no n.O 23, demonstremos agora o resultado de RUNGE a que tivémos de recorrer no n. o 20.

Seja D um domínio fechado do plano-esfera, de fronteira r formada por um número finito de curvas fechadas simples rectificáveis, e representemos por [D] o conj unto de todas as funções cp (z) contínuas em D e holomorfas no interior de D. Chamando norma, I rp I ,

. de cada

elemento cp de [DJ, ao máximo de 111 (z) I sobre D (que não difere do máximo de I? (z) I sobre r), teremos em [DJ um espaço vectorial normado, que, atendendo ao teorema de 'VEIERSTHASS (n.o 20), se reconl1ece imediatamente ser um espaço de BA.YACIl (complexo).

Seja agora rp (z) uma dada função pertencente a [DJ; ter-se-à

(6**) para cada z e int D .

Consideremos por outro lado um qualquer domínio fechado D* interior a D e cuja fronteira r* seja ainda constituída por um número finito

de curvas s'imples rectificáveis. ]� claro que a expressão _1_ representa ),-z

uma funçrw de À, h (l.), de contradomínio contido em [D*J, definida em Q- D*, e, discorrendo como no n.O 20, ftlCilmente se demonstra que esta função é continua a respeito de [O*J. Então, visto que [D*] é um espaço de llAXACH, segue-se que existe o integral

.r q; (À) h (À) dJ. , r

relativamente ii, noção de «limite» definida em [D*]; mas, yendo bem, isso equi\'ale a dizer que a converg[�ncia expressa por (6**) [veja-se (7), n.o 20J é uniforme sobre o domínio D*, q. e. el.

27. Espaços de operadores. Não esqueçamos porém que os resultados precedentes foram obtidos, desde o n.O 23, na hipótese de S ser um espaço de BANACH complexo. l Subsistem esses resultados quando S é um espaço (L) vectorial complexo inteiramente arbitrário? É fácil ver que não.

Todavia, como vamos ter ocasião de ver, os esp aços de BANACH complexos não constituem a mais ampla categoria de espaços S para os quais tem lugar as conclusões a que chegámos sobre o estudo das

transformações lineares contínuas de � [OJ sobre S.

56 J. SEBASTIÃO E SILV.A

Se examinarmos de perto as hipóteses que intervêm na demonstração do n.O 24, vemos que, para se manterem as conclusões a que ali chegámos, basta admitir as seguintes premissas) a 1'espeito das funçoes holomorfas f (À), da variá't.1el complexa À e de contradomínio contido em S:

1) Existência do integral riemanniano .r f (Ã) d),. r

2) Teorema fundamental de CAUCHY. 3) Fórmula integral de CAUeHY. 4) Proposição segundo a qual, quando tpn (À) tende uniformemente

para O sobre r, se tem Lim J 'fn (Ã) f(Ã) dÃ = O. n r

Pois bem: vamos agora indicar um processo de geraçllo de espaços, pelo qual são respeitadas estas e outras condições.

Sejam M um conjunto qualquer e S um espaço (L) vectorial complexo; representemos então por 0 (�1 ,S) o conjunto de todas as transformações univocas de M sobre S. Em 0(M, S), podemos definir «soma»), «produto escalaf) e dimite»), tal como segue:

com

(F+ G)x = Fx + Gx, (aF) x = a(Fx), (Lim Fn) x = Lim (}1\ x) ,

n n

F, G e e (1\{ , S) , a e K , x e lvI .1

Em particular, pode ter-se M=S: então escreveremos simplesmente e (5), em vez de 0 (5 , S) .

Um outro caso particular a salientar é aquele em que 1\1 é finito; podemos então supor 1\1 constituído pelos números inteiros 1,2, . . . ,n, e escrever: e(�I,S)=Sn (n.o 15).2

Posto isto, é fácil ver que, se as premissas 1) a 4) são 'ráUdas a 1'e8-

peúo do espaço S, o mesmo acontecerá a respeito do espaço 8 (11 , S), e) portanto) a l'espeito de todo o subconjunto de e (}f ,S) que seja fechado para as opeJ'ações de «soma») (prod'uto escalar» e (dimite» definidas em e (M , $) .- qu.alquer q'lte seja o coniunto M.

1 Um caso simples é aquele em que S se reduz ao conjunto K (dos números complexos) e M é um conjunto de números reais - por exemplo, o intervalo (a, b) . Então é claro que o espaço 0 (M, S) será ° conjunto de todas as funções complexas da variável real definidas em (a, b), com a definição de convergência pontual (11.0 3).

2 Com efeito, os elementos de 0 (M, S) serão neste caso as funções da variável inteira definidas na secção (1, n) e de contradomínio contido em S - e tais funções não são mais, no fundo, do que as chamadas ((sucessões de n elementos de S», cada uma das quais é, por definição, um elemento de Sn.


Consideremos, por exemplo, a proposição 1). É claro que, para cada valor conveniente de À, f (À) é agora um determinado elemento de 8 (M , S) - que, como tal, fará corresponder a cada x eM, um e um só elemento u= f (À) . x ele S. :Mas então, uma vez fixado o elemento x de :M, tem-se que f (À) x é uma função de ), de contradomínio contido em S) função que podemos designar por fx ()..) . Deste modo, atendendo ao que atrás foi dito (definições do n.O 22, definições precedentes, etc.), tem-se que: 1) a função f (À) será ho]omorfa quando o for a função fx (À) para todo o x eM; 2) o integral ff (I.) dÀ existirá, quando existir o integral Jfx (),) dÀ

r r para todo o x € M, tendo-se, precisamente:

[ J f (À) (lÀ J x = J [f (À) x] dÀ, r r

donde se conclue o que pretendíamos. Anàlogamente para as restantes proposições.

para todo o x 6 l\f;

Em particular, 5 pode ser um espaço de BANACH com plexo ; nesta hipótese, não interessa o caso em que M é finito, pois que o produto algébrico-topológico de espaços de BANACH em número finito é ainda' um espaço de DAN ACH 1 •

É de notar que a orientação seguida por FANTAPPIE no estudo dos operadores sobre funções analíticas mediante o conceito de (duncional misto» (ver Introdução), corresponde exactamente a tomar como contradomínio de operadores um conj unto de funções complexas definidas num mesmo domínio D, isto é, um sub-conjunto de 8(D,K), com as anteriores definições de «soma», «produto escalar» e «limite» (desi-, gnando ainda por K o corpo complexo) . E claro que o espaço 8(D,K) não é um espaço de BANACH.

Sejam agora 5, 5* dois espaços de BANACH complexos quaisquer) e representemos por A (5 ,5*) o conj unto das transformações lineares (mas não necessàriamente contínuas) de 5 sobre 5*. É fácil ver que A (5 ,5*) é um subconjunto de 8 (5, 5*) fechado a respeito das operações de «soma», de «produto escalar» e de dimite», definidas em

8 (S, S*). Subsistem) portanto, para o espaço A (5 ,5*), as premissas 1) a 4).

�fas seja, por outro lado, Ac (S ,S*) o conjunto das transformações lineares contínuas de S sobre $*. Po demos agora definir (norma dum

1 Chamamos produto algébrico de n espaços vectoriais 51," ', Sn' ao produto cartesiano SI X . . . X Sn, com as seguintes definições de ((soma» e de «produto esca-

lar»: (UI"'" ulI) +(u;,"', U:)= (Ui +u7, . . ·, un+u:), a (UI'"'' ulI) =(aui' "' , aull) , com UI' u7 e 51 ; . . . ; u," u: e Sn; a e K. Quanto a «produto topológico), veja-se

n.O 15.


elemento F de Ac (5 , 5*) », de modo análogo ao que fizemos ao n. o 9 :

IF I =. liill sup I Fui, para I u I = 1, ue 5 ;

e é fácil ver que, com tal conceito, o espaço vectorial Ac (5, S*) se torna um espaço BANACH complexo.

28. Operações lineares contínuas sobre funções analíticas de mais de uma variável. Todas as considerações desenvolvidas neste parágrafo a respeito de operadores definidos num espaço funcional analítico se extendem fàcilmente ao caso dos operadores definidos em convenientes

campos de funções analíticas de mais de uma variável. Sejam O., C2 , • • • ,On conjuntos fechados de pontos de n, não vazios

e não coincidentes com n. Designaremos por vizinha'l2ça do conjunto C1X02X . .. xCn todo o domínio D de nll da forma D=D1XD2X·.·xD", em que Dl' D2 , • • • ,Dn designam vizinhanças, respectivamente, de 01 , C2 , • • . , Cn. Posto isto , diremos que duas funções, f (Zi ,22, . • • ,Zn), f* (Zl , Z2 , ... , Zn) , holomorfas em duas vizinhanças de 01 X C2x . . . X Cn, são equiralentes a respeito deste conjunto, quando se verificarem condições análogas às que indicámos

, no n.O 18 para funções de uma

variável. A isto se seguem, imediatamente, os conceitos de «função analítica ligada ao conjunto G.xC2x··· XCii» e de «espaço funcional analítico � [01XC2X . , . xCnJ», com definições de «soma», «produto escalar}) e «limite» inteiramente análogas às que foram dadas no n.O 19.

Para maior brevidade, representaremos o produto cartesiano n

01 X C2 X . . . X Cn, pela notação TI Ck • k=l

n Seja agora tp um qualquer elemento do espaço �[II Ck], e D um

k=l n

domínio de holomorfia de 'P, produto cartesiano TI Dk de \'izinhanças Dk k=l

dos conjuntos Ck (k = 1 ,2, . . . , n), cujas fronteiras, respectivamente fi , r2, • • • , r n, sejam compostas de um número finito de curvas fecha-, das simples rectificáveis. Como se sabe, podemos então escrever:

(13) ( ) 1 fi f q:> 01 '),2' . . . , ),n) d"l d"l l cp Zj' Z,j.' • • . ,Zn = (9 ')n . . . O _ ) (i. _ 7. ) • • • (À _ ) A. "2' " c. )'n , •• /í.l '1 Zj :1 ""'2 n Zn

para (ZI' Z':/ , ... , Zn) e int D ,

supondo as curvas rUr2" - -,fn orientadas de modo a deixar à esquerda, respectivamente, os conjuntos C1, C::l , ... , On •

1<'UNÇÕES ANALÍTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL 59

Seja por outro ln,do S um espaço (L) vectorial complexo. Notemos que o resultado de RU�GE, utilizado no n.O 21, é generalizável ao caso presente; ele modo que, designando por F uma qualquer transfor-

n maÇrw linear contínua de Õ [II CIe] sobre S, poderemos escrever

k=1

n para cu(la (f E � [II C/,:]; tendo posto

1.:=1

f(l-I')"2"",)n)=F;;j';;�'---';;JI()!_ ')� . . .. . )� ) , '1 Z2 '2 Z2 ·n Zn

função esta a que podemos ainda chamar funçàoindicatriz do operador F. Coneluiriamos agorafàcilmente que: Dada nma fimção f 01 ,À2' , .. , Àú)

de cOilÍ}'admninio contidos em S, condição neces8ária para qne f (I, , I� , ... ,I'I!) seja função ind1'catl'iz de algnma transfornwl)ào linear'

n continua de 6 [II C,,] subl'e S, é que resulte holom011a no domínio

!.-.=1 n II (il -- C".) e se aJude nos eren(ual8 pontos impróprios de nn situado.� nesse

k=l

domiJlio. Para demonstrar a suficiência desta condição, começaríamos ainda

por limitar-nos à hipótese de ser S um espaço de BA,NACH complexo. Tudo enElO continuaria de modo análogo ao das considerações desenvolvidas nos n.OS 22a 20.

De\"emos entretanto salientar um facto, e é que, na presente análise fomol3 lecado8 a ntilizal') como conceito de eefunt;iio analUt'ca» em pontos impróprio:s) o primâro) e nao o segundo) do,>; conceitos considerados no n.O 17) e -i8to pela sÚJljJle8 radio de que a fórmula (15) nào é aplicável senào a funções lwlomorfas em, domínios que se p08:setrU repl'eseydar como pl'odatos cartesianos de domínios de n. 1

§ 3. FUNÇÕES A NALínCAS DE OPERAÇÕES LINEARES

29. Homomorfismos dum anel funcional analítico sobre um anel de BANACH complexo. Seja de novo O um subconjunto fechado de n, não vazio e não coincidente com .Q. Já atrás observámos que, no caso

1 Sobre o uso da chamada indicat1'iz projecti'va, veja-se F .A.NTAPPIE (IV).


de O não conter o ponto impróprio, o conjunto � [OJ constitue um anel vectorial comutativo complexo (n. ° 9), a respeito da adição e da multiplicação introduzidas em tJ [C] conforme as Defs, I, II do n,018.

Suponhamos poisJ a partir deste momentoJ que o conjunto O é limitado. Ao anel vectorial Õ [C], com a definição de dimite) dada no n.o 18, chamaremos, para brevidade de expressão, anel funcional analU't'co.

Consideremos, por outro lado, um anel de BANACH complexo A, e proponhamo-nos determinar a totalidade daquelas transformações lineares continuas F de � [C] sobre A, que respez:tam o multiplicação e o elemento unidade 1; isto é, que verificam ainda as seguintes condições:

1) F (�. �)=F rp. F �, q1Laisqtter que sejam <p, � e � [C] ; 2) Se rp (z) == 1, então F rp = 1 (representando por 1 a unidade de A). Recordemos entretanto que, como anel vectorial complexo, o con-

junto tJ [C] contém um corpo isomorfo ao corpo complexo - que é afinal o corpo constituído pelas funções � da forma 0/ (z) == c, sendo c uma constante numérica arbitrária. Ora, pensando cada um destes elementos 9 de tJ [C] identificado com O correspondente número complexo c (tal com o foi indicado no n.O 9), e procedendo anàlogamente em relação ao anel A, podemos dizer que o problema anterior consiste na determinação de todas aquelas transformações unívocas de tJ [C] sobre A que respeitam a ad{çào, a multiplicação, a operação de passagem ao Umite e os elementos numéricos (deixando-os fixos). Podemos ainda dizer, mais simplesmente, que se trata de achar aqueles homom01fismos do anel funcional analítico tJ [C] sobre o anel de BANACH A, que deixam fixos os

elementos numéricos. Seja pois F uma tal transformação. Visto que se trata duma trans

formação linear contínua de � [C] sobre A, ter-se-á

(14) Fq> � 2�i f q> ()) f(l.) d)',

r

para cada rp e � [C],

sendo f (I�) = Fz (_1_) (função indicatriz de F) e r a fronteira, orienI.-Z tada no sentido positivo, de um conveniente domínio de holomorfia de cp. Segundo o que atrás foi estabelecido, a função f (Ã) está sujeita à COIl-

1 O facto de uma transformação unívoca F dum anel A sobre um anel A * respeitar a multiplicação não implica de nenhum modo, como veremos adiante, que ela transforme a unidade de A na unidade de A'*', embora o conceito de «unidade» seja logicamente exprimível no conceito de «multiplicação».


dição de ser holomorfa no domínio Q- C e de se anular para À=oo, se este pon to pertence a Q - C .

Mas tal não basta, naturalmente, para que a transformação definida por (14) verifique as condições 1) e 2). Com efeito, observemos que se tem 1, para À =1= z :

1 1 - . (J.-z) = (À-Z) . - = 1 , l-z À-z

donde, sendo F uma transformação linear que verifique as condições

1) e 2):

F:; (_1_) . [Ã - F z (z)] = [Ã - F:; (z)] . F:; (_1_) = 1 , 2 À-z �-z

o que significa, afinal, que o elemento À - Fz (z) de A é o invers03 de

F:; (_1_) = f (Ã), podendo portanto escrever�se, À-z

1 f(Ã) =-, À-a

tendo posto Fz(z)=a.

para ),6 Q-C

Tem-se pois aqui uma condição necessária para que, sendo a um prefixado elemento de A, o operador F definido por (14) seja uma transformação linear contínua de � [C] sobre A, que verifique as condições 1), 2) e transforme a função �(z)==z no elemento a. Não pode

haver, portanto, mais de uma transformação nessas condições, e se uma existe, ela será dada pela fórmula

(15) para q> € �[C].

Antes de averiguar se as referidas condições são já suficientes para O fim indicado, importa observar que: sendo A (como suposemos) um

1 Vê-se agora que, pelo facto de as noções primitivas no espaço funcional analítico considerado terem sido ampliadas com a noção de «produto)) se torna possível tomar

como base dêste espaço, em vez da função vectorial de À, _1_, um único elemento, À-Z

que pode ser a função � (z) = z (veja-se n.O 20). 2 É claro que, segundo a convenção do n.O 20, F, (z) representa o elemento de A

em que é transformado por F a função � (z) = z • 3 Diz-se que um elemento a de A é invertível ou regular, quando existe em A

um elemento x tal que x· a=a . x=l, elemento que se demonstra então ser único e se designa por a-i (inverso de a). Recorde-se o que a este respeito dissémos nos n.O. 8 e 9.


anel de BARACH complexo) a condi�'ão de f O,) =(À-atl ser 1lmn f/{H�'ào de l, holomorfa no domhn'o Q-C que se anula para ),==, está hnplicita na condi9ão de p.-at1 existir para todo o À E n - C. Com efeito, supo_

nhamos que, sendo Ào um dado elemento de ü- C, existe em A o elemento (Jo� ati; então virá

série esta que converge manifestamente para I À-).o I 1 a /,

Ao conjunto dos valores de À para os quais (À-ati oxiste, dú-se o nome de conJttnto relwlrente de a: designá-lo-emos aqui por H (a); ao conj unto Q-R (a) dá-se o nome de espectro de a: representá-Io-emos por E (a) . 2

Seja, por exemplo, f um elemento do anel � atrás considerado (n.os 2 e 6): é claro que o espectro de f será o contradomínio desta função.

Em resumo: Dado· aJ'hitri'niamente �un elemento a de A, paret que a tran�f'ormação F d�f'inicla por (15) vertlique as condiçfJe., tndicadas) é necessário q1W o espectro de a est�jn contidaJ/o cunJuldo C.

Trata-se agora de saber se tal condição é taIllbém suficiente. Suponhamos então verificada esta condição. Quanto ao facto do F

ser uma transformação linear contínua de 8 [CJ sobre A e se ter

F:; (_1_) = ---.!_, não pode haver dúvidas, depois do <lue foi dito, À-z À-a

tanto neste parágrafo como no precedente. Resta provar que aS condições 1), 2), são verificadas, e que se tem

precisamente F:. (z)= a . Comecemos pelos dois últimos pontos.

1 Recordemos que, d� condição I a ' b I < I a 1·1 b I (n,O 9), se deduz: I aI! I < I a 1'\ qualquer que seja a 6 A, Para y(lr que a referida série tem por soma (t,--a)-t, basta multiplicá-la por À. - a = 0'0 - a) [1 -+- (�- )..0) ()'ü - a)-l]. Sobre este ponto, vej a-se LORCH (I e II).

2 Das considerações precedentes resulta que o espectro dum elemento qualquer de A é sempre um conjunto limitado e fechado,

FUNÇÕES ANALÍ'rICAS E ANÁLISE FUNCIONAL 63

Recordemos (n. o :?1) que, no espaço � [C], é yálido o desenvolvi-

mento: 1 n k

-- = Lim � �-, � � )k+l fi.-Z nl � k=O .

sendo õ o limite superior das distâncias da origem aos pontos de C. Então, visto que o operador F é linear e contínuo, virá

ou seja F" (�_) _ L' � Fz(Zk) � 1 . - 1m � 'l.k+1 '

fL-Z n k=O 1\

1 1 1 À-a =�F�(1)+À2Fz(z)+ ... ;

e, atendendo a que é � = ! + �12 ' a + ' , " para I À I> I a I, chega-se I,- a À I.

finalmente à conclusão: Fz(l) = 1, F�(z) = a, q. e. d.

Passemos à condição 1), Ter-se-á, representando por q?, � dois elementos arbitrários de � [C] :

(lG)

1 fi l' (li) � (2) d� d"l - (9 ')':1 (1 _ ) (� _ ) /. I '"J. ... 7t't fLJ a I,,:! a r r

em que r designa a fronteira, orientada no sentido positivo, de um conveniente domínio de holomorfia, D, das funções tqJ, �. Mas é evidente que, para uma destas funções - por exemplo para � - o domínio D pode ser substituído por um outro, D*, fechado, interior a D e cuja fronteira, r*, esteja ainda nas condições de r . Por outro lado, tem-se, de acordo com o que foi dito nos n. os 8 e 9 :

o que nos permite escrever (16) sob a forma

(17) com

64- J. SEBASTIÃO E SILVA

Mas ter-se-á então:

visto que, enquanto descreve a curva r*, o ponto )'2 se mantém interior a D.

E, anàlogamente:

visto que, para descrever a curva r, o ponto À1 se deve conservar exterior a D*.

Então , atendendo a (17), virá finalmente:

Em resumo: Condiçtio necessária e suficiente paTa que� dado arbitràTiamenfe um elemento a de A, eJJista 'luna tTansformação linear contínua F de � [C] sobre A, que 'verifique as cOlldiçõe.� 1), 2), e fra.n.1onne a função � (z) = z no elemento a, é que o espectro de a estqj(t conNdo no conjunto C; em tal hipófese� haverá 'ltma úm'ca tr'ansformação F nessas condições, a qual será dada pela fórmula (17).

Observemos agora que , em virtude do que ficou estabelecido, o transformado do anel � [C] por efeito de F será um sub-anel A * de A, que pode não coincidir com A. Em particular, o anel A* dere ser comutativo, uma vez que W [C] também o é. Pregunta-se:

l Se a transformação F é biunívoca e verifica as cond ições precedentes, é ela um isomorji'smo algébrico e topológico entre os anéis �[C]eA*?

Quanto à primeira parte da questão - «se F é ou não um isomorfismo algébrico» - não pode haver dúvidas: sendo a transformação F biunivoca, e estando nas condições indicadas, é manifesto que também a sua inversa respeita a adição, a multiplicação e os elementos numéricos.

... . . FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE FUNCIONAL 65

Mas já não é tão fácil responder à segunda parte da questão. Observemos entretanto que, se a transformação F fo sse um isomorfismo topoló

gico entre � [C] e A *, poderíamos dai concluir que o conceito de «limite» introduzido em � [C], segundo a Def. III do n. o 19, pode ser definido a partir duma noção de <morma» - o que não parece sej a verdade.

Podemos agora abordar um problema um pouco mais geral do que o precedente; o da determinação de todas as transformações lineares contínuas de � [C] sobre A, que respeitam a multiplicação, mas não necessàriamente a unidade.

Seja pois F uma tal transformação. Continuemos a designar por 1 a unidade, quer em � [C], quer em A, e seja A * c A o transformado do anel Õ[C] por efeito de F. Então, visto que se tem; 1.�=� .1=� qualquer que seja g> e � [C], virá

F (1). F (g» = F (�). F (1) = F (�), ou seja, pondo F (l):.=j ,F (�)=a:

para todo o � e � [C] ,

. . J·a=a·J=a, para todo o a E A * .

Não se pode, evidentemente, concluir daqui que j = 1. O mais que se pode afirmar é que j é a unidade de A * , mas nada nos garante que a unidade de A * coincida com a unidade de A. É contudo evidente que se deve ter j2=j, facto este que se exprime dizendo que j é idempotente em A; recIprocamente, dado um idempotente j em A, é manifesto que o conjunto A * de todos os elementos de A da forma aj, com a E A � e sendo aj =ja, constitue um sub-anel vectorial de A, que tem j por unidade. Por outro lado, é fácil ver que, se for j * 1 ,j =1= O, será A * =1= A, A * =1= (O) , 1 podendo então acontecer que Sf\ tenha: aj =bj, com a =1= b .

Observemos ainda que o corpo K* contido em A*, que é isomorfo ao corpo complexo, K, e tem por unidade a unidade de A *, é o corpo constituído por todos os elementos de A * da forma aj, com a E K. Naturalmente, a identificação dos elementos de K* com os elementos cor

respondentes de K (e, em particular, a identificação de j com o número 1) só poderá ser feita, sem perigo de confusão, abstraindo dos elementos de A não pertencentes A*. Mas é evidente que, uma vez feita, embora provisoriamente, uma tal abstracção, o problema proposto reduz-se automáticamente ao anterior; vê-se então que, dado um elemento a de A e um

1 Dum modo geral, representamos por (a) o conjunto que tem por único elemento a.


idempotente j em A, permutável com a, não pode existir mais de uma transformação F nas condições indicadas, tal que F (1) =j , Fz (z)=aj .

Para melhor interpretar estes resultados, convém recordar aqui mais algumas noções de Análise geral. Diz-se que um subconjunto V dum espaço vectorial 5 constitue um conjunto linear de 5, quando V forma ainda um espaço vectorial a respeito das operações fundamentais definidas em 5; ou ainda (o que é equivalente) quando, dados arbitràriamente u, v € V, se tem necessàriamente u+v e V, au e V, qualquer que seja a e K. Ora é fácil ver que, para todo o conjunto linear V de 5, existe um (e até mais do que um) segundo conjunto linear V* de 5, tal que 5= V + V* , V n V*=(O); equivale isto a dizer que, para cada vector u e 5, exiote uma representação biunívoca da forma u =u, +u2, com UI e V , U2 e V*, e exprime-se tal facto dizendo que V, V* são complementares em 5, ou que 5 é a soma directa de V com V*.l

Sejam pois VI' V:J, dois conjuntos lineares, complementares em 5. Dado um elemento U de 5 e pondo U=UI + UI! , com UI e VI , U� 6 Vj!, é natural chamar projecção de U sobre Vi' pa1'alelamente a V"2' ao vector Ut. Fica assim definido em 5 um operador Pi:

U, = PI U (projecção de U sobre V 1 , paralelamente a V 2)

o qual é manifestamente linear e idempotente em A (S): Pi=P,. Reciprocamente, é fácil ver que, dado um qualquer idempotente F em A (S) ,F será a projecção de 5 sobre o conjunto linear F (5), paralelamente ao conjunto linear F* (S), onde F*'=l-F (é claro que será então F· F*=O).

Ora, como observa LORCH em (II), estes factos encontram a sua imediata tradução num qualquer anel vectorial comutativo complexo A, tendo em conta o teorema 2 de isomorfismo indicado no n.O 9. O anel A diz-se a soma direc.ta de dois sub-anéis vectoriais AI, A'). (os quais ôe dizem então complementares entre si) quando se tem: A=A, +A2' AI n A�=(O). Condição necessária e suficiente para que um sub-anel AI de A admita um complementar A2 (o qual será então único) é que exista um idempotente j em A tal que AI =jA, tendo-se então A2=(1-j) A. O anel A dir-se-à redutivel, quando fôr a soma directa do dois sub-aneis distintos de A; condição necessária e suficiente para que o anel A seja redutível é, naturalmente, que tenha um idempotente j , diverso de O e de 1. Um dos belos resultados de LORCH é precisamente o seguinte:

Seja A um anel B.ANACH comutatieo complexoj para que A seja redulú:el, é necessário e :suficiente que exista em A, pelo menos, um elemento a cujo espectro seja desco nexo. Mais precisamente: se jam E I' Ej! dois con juntos não vazios, separados entre si (n. 010), tais que El+E�=E (a).

1 É fácil ver que 5 será então isomorfo ao produto algébrico VxV*; reciprocamente, o produto algébrico 5,x5l de dois dados espaços vectoriais é a soma directa de dois conjuntos lineares de 51x5t isomorfos a 51 e a 5"2'

2 É claro que, em virtude deste teorema, a noção de «(anel vectorial complexo" pode considerar-se como o abstracto ou tipo algébrico de todos os anéis de tranformações lineares.

FUNÇÕES ANALíTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL

Ent�oJ será idempotente em A e diverso de O e 1 o elemento

(18) 1 ,.. dÃ ji =-.J - dÃ, 2�z À-a

1'1

67

em que ri representa uma qualquer curva fechada rectificável, orientada pOllitit'amente, separadora dos conjuntos EJ , E2 e a que seja interior EJ' Ter-se-á, por outro lado: jl a=a jl'

Se, em vez de rI, considerarmos uma curva análoga, r�, a que seja interior E2' ficará definido um outro idempotente, j'2' que é afinal o complementar de j. em A: j1+j'.!=1,j,·j2=O.

Seja então 8 a família daqueles sllbconjllntos de E (a), cada um dos quais é separado do seu complementar em E (a). É claro que S forma uma álgebra de BOOLE 1 em relação à intersecção, à reunião e à complementaç,ão em E (a); sendo ainda manifesto que, por meio da fórmula (18), ficará definida, entre os conjuntos da família $ e os idempotentes derivados de a, uma correspondência biunívoca, segundo a qual, à intersecç(l,o E1 n E,2 de dois elementos E" E:;! de S, corresponde o p1'oduto jt' j2 dos idempotentes que correspondem a El' E2; ao complementar E (a) -E1 de E I em E (a), corresponde o complementar l-jl de jl em A, e à reunião EI U E2, cor-

* * responde aCJuilo a que LORCH chama «starredsum» jl+j:! de jt com j·z: jl+h=l-*

-(1-j1) (1-j2)' tendo-se em particular jJ +j:J=jJ +j2' quando jl' j�=O (isto é, quando EI ,E2 são disjuntos). Esta correspondência é pois uma c!pécie de homomorfismo-que LORCH apresenta todavia sob forma diversa, considerando em vez de 8 uma outra família de conjllntos, a que chama ccspectral seb de a.

É clal'o que, se o anel A tem tem um número finito de dimensões, ele será a soma directa de anéis hredutíveis; mas o mesmo não se pode dizer, em geral, se A tem infinitas dimensões. Uma outra consequência dos factos anteriores, salientada por

LOReH, é que, p. ex., um anel como o das funções contínuas num dominio conexo e fechado é irredutível 2 •

30. Extensão dos resultados precedentes. As considerações do número precedente referem-se a um anel de BANACH complexo A, o qual, como se viu no n.O 9, é sempre isomorfo a um anel de transformações lineares contínuas dum espaço de BANACH sobre si mesmo. Seja agora A um anel, algébrica e topologicamente isomorfo a um anel de transformações lineares (não necessitrinmente contínuas !) dum espaço de BANACH complexo, S, sobre si mesmo, com a definição de «limite) indicada no n.O 28. (Nlais geralmente ainda, S poderá ser um qualquer daqueles espaços para os quais são válidas as conclusões do § 2, con

forme foi sugerido no n. o 28). Então, é fácil ver que pouco há a modificar nas considerações precedentes. Subsiste o resultado:

1 É de notar que, se for infinito O número das componentes de E (a), nem todas estas pertencerão a �.

2 Para mais detalhes, vejam-se os citados artigos de LOBCll e DUlifOl\O.


Condição necessária e suficiente para que, dado um elemento a de A exista 1tma transformação linear continua F de lj [C] sobre A, a qual verifique as condições 1), 2) do n.O 30 e transforme a função � (z) == z

no elemento a) é que (À-arl seja uma função de À holomorfa no domínio Q-C,. nesta hipótese, u,ma tal transformação será ú.nica e dada pela fórmula· (17). (Continuamos a supor, naturalmente, que o conjunto C é limitado).

Não estamos contudo habilitados a concluir, como anteriormente, que a holomorfia da função de I" (I.-arl, no dominio !l-C, esteja impUcita na condição de (À-arl ser uma função de À definida nesse domínio.

Na demonstração da suficiência há ainda uma observação a fazer. Quando se trata de provar que F:l(l)=l, F::(z) = a, não se sabe,

00 an a priori, se é ou não lícito o desenvolvimento (À - atI = � - ;

n=O l,n+1 sabe-se apenas que se tem

(19) para I À I> a,

sendo a o limite superior das distâncias da origem aos pontos de C , e designando por co, C1 , • • • elementos determinados de A. :Mas, se multiplicarmos ambos os membros de (19) por À-a, virá

donde, para À = 00 :

1 = C - a c À-I + C À-I - • • . o o 1 ,

o = - a 1,-1 + Ct 1,-1 - a CJ ),-2 + ...

donde ainda, multiplicando ambos os membros por À e pondo em seguida À = 00 :

e assim sucessivamente 1.

31. Fundamentos de cálculo operacional. Seja A um anel de BA�A(�H complexo ou, mais geralmente, um anel nas condições indicadas no número precedente. Consideremos então o seguinte problema:

C. Dada uma função analítica 1> (z), na variável complexa z, que significado devemos atribuir ao símbolo 1l (a), que se obtém substituindo em p (z) a variável z por um dado elemento a de A?

Tal problema já nos n. os 7, 8 e 9 foi resolvido para o caso de q> ser uma função racional.

1 Tal é, no fundo, o raciocínio seguido neste ponto por F ANTAPPlt, aparte a terminologia e a amplitude das hipóteses.

FUNÇÕES ANALiTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL 69

É claro que a atribuição dum significado ao símbolo rp (a) deve ser feita de modo que subsistam as regras fundamentais do cálculo ordinário. Mais precisamente: considerando um determinado espaço funcional analítico � [C], com C limitado, trata-se de fazer corresponder, a cada elemento 9 de � [CJ, um e um só elemento 9 (a) de A, de modo que sejam verificadas as seguintes condições:

I) Se 'f (z) == z, então rp (a)=a; II) Se 'f (z) == c (sendo c uma constante numérica arbitrária), então

rp (a)=c ; III) Se x.='f +�, e='f'�' então x.(a)='f(a)+�(a), e(a)=rp(a).�(a); IV) Se 'f=Lim cpa, então � (a) = Lim cpn (a).

n n

Ora, se pusermos

(20) F (cp) = cp (a) ,

para cada cp € 15 [C], supondo o elemento a fixo e o elemento cp variável, vê-se imediatamente que F representa uma transformação unívoca de � [C] sobre A, tal que:

1*) Fz(z)=a; 11*) Fz(c)=c, sendo c uma constante numérica arbitrária;

III*) F(cp+'f)=Fcp+F�, F(cp.�)=Fcp.F'f, quaisquer que sejam cp ,f € �[C];

IV*) F Lim cpn = Lim Fcpn, para toda a. sucessão convergente (cpn) de elementos de � [C] .

Não houve portanto mais do que a mudança de notação, estabelecida pela fórmula (20), e a respectiva tradução das propriedades I) a IV) na nova linguagem simbólica.

Mas basta esta mudança de sím1olos para mostrar que o problema em questão é essencialmente o mesmo que se pôs e resolveu nos dois números precedentes. Para que o problema seja resolúvel, devem pois ser verificadas as condições indicadas nesses números; no caso afirmativo, a solução será única e dada pela fórmula

(21)

sendo r uma curva nas condições já referidas.


Observemos agora que, enquanto as funções racionais inteiras do elemento a (suposto variável) se obtêm todas a partir das funções p da forma Cf (a) == a, ;:p (a) == c, mediante um número finito de adições e multiplicações - as funções analíticas de a, relativas ao espaço � [O], obtêm-se a partir daquelas funções elem�ntares, mediante um número finUo ou infinito de adições e multiplicações, com passagens ao limite.

Em particular, uma função analítica de a poderá ser calculada, em certos casos, mediante um desenvolvimento em série de potências' de

a-k, sendo ainda k uma constante numérica. Supondo A um anel de BANACH eomplexo, é fácil ver que:

00 (a-k)n Condição necessária e suficiente para que a série � t pCn) (Ie) n=O n.

seja conve'rgente e a sua soma coúwida com o t�alor de � (a) dado pela fórmula (21), é que o espectro de a seja interior ao círculo de convergênda da série considerada. (N ote-se bem: diz-se «interior» e não apenas « contido» ) .

Do que ficou estabelecido, resulta ainda o seguinte facto, de imporUinda fumdamental para as apl icaçàes :

Seja 9 (/. ,z) 'i.una jnnçào analíll'ca das duas variávâs À, z, para À e DI, z e D-;.l' sendo DI wn qualquel' domínio de Q e D2 urna qualquer vizinhança do conjuúto C. Suponhamos além disso que, dado um elemento a de A, a expressi'io � (Ã ,a) tem sentido, segundo as considerações precedentes, para todo o À e DI. Pois bem} pode então afirmar-se que, se pusermos

será também

para À 6 Di, z e D2 ,

Para o reconhecer, observemos que se tem

(22)

para (À, z) e D!xD2 •

_ 1. � (/.10 - I.)n l"(n+l) ("I ) - I fi ... , �À � 1\, Z , À"�À n=O n. .

Ora a função de À" e de z definida pela série

para cada iI e Di, é uma função contínua no domínio VxD:u em que V


designa uma qualquer vizinhança de À contida em Di' Por outro lado, podemos, sem quebra da generalidade, supor fechada a vizinhança D2 de C, donde se segue 1 que a convergência expressa pela fórmula (22) é uniforme, a respeito de z, sobre o domínio D2' o que nos habilita a escrever (Def. I, n.o 22):

"r\ (' ) L . � (l.lt , z) - tp (A , z) �À tp ). , z = 1 fi ) " _ i ' À-+À*lz ' II

a respeito do espaço � [CJ . Daqui se deduz finalmente, tendo em conta a regra IV :

q. e. d.

32. Aplicações do cálculo operacional institurdo. Afim de ilustrar as considerações precedentes, convém estudar agora alguns exemplos simples de aplicações.

Designemos por �� o conjunto das funções complexas da variável

real, contínuas no invervalo fechado [a, bJ . 2 De acordo com o que

vimos nos n. os 2 e 4, o conjunto �! constitue, com as noções ali indicadas de «soma», «produto escalar» e «limite», um espaço de BANACH conplexo.

Exemplos de transformações lineares contínuas 3 do espaço �! em si mesmo são todos os operadores e da forma

x

(23) 8xf(x)� JS(x, t)f(t)dt, para f e �!, a

1 Com efeito, demonstra-se fàcilmente (partindo, por exemplo, do teorema da continuidade uniforme) que, dada uma função � (u, v) das duas variáveis u, v (reais ou complexas) contínua num domínio da forma DlxD2' com no! fechado, a convergência rp (u*, v) -+ cp (u, v) (para u"" -+ u) é uniforme a respeito de v no domínio D2. Recordemos ainda que, por esta via, se demonstra a conhecida regra de derivação sob o sinal de integral. De resto, nós podíamos estabelecer o facto acima enunciado aplicando simplesmente esta última regra à. fórmula

2 Para maior brevidade e clareza limito-me a este caso. 3 Uma expressão geral de tais transformações é aquela de F. RIESZ, construída com

um integral de STIELTJEB.


em que e(x,y) representa uma função contínua no quadrado a<x<b, a <y< b. A tais operadores chamarei, por óbvias razões, operadores de VOLTERRA. Demonstrar que cada uma destas transformações 8 é um elemento de Ac(ff!) não oferece dificuldade de maior. Quanto à inversão do operador À-�), para valores convenientes de j" ela consiste, manifestamente, na resolução duma equação linear de VOLTERRA de segunda espécie, sendo fácil ver então que o espectro de 8 se reduz à origem.

Recordemos ràpidamente como se estabelece este facto. Consideremos a série

1 1 1 1 -- =- + -0 + .. . + -- 8'1 + ... À-e À À Àn+1

e procuremos determinar os valores de À para os quais ela co.nvergc. Ora, se representarmos por K o máximo de I e (x, y) I no quadrado asx< b, a<y< b, e se representarmos por f um elemento arbitrário de (!! tal que I f 1=1, virá, sucessivamente, no intervalo a <x S; b:

le� f (x) 1 S K (x-a), K'!. (x-ar.!

10; f (x)l < 2

'

e, dum modo geral, Kn (x_a)"

le�f(x) 1<--,-' n.

resultado este que se pode legitimar fàcilmente por indução completa. Mas, visto que é, por hipótese, I f 1= 1, teL'-se-á então (n. o 9):

e portanto

KII (b_a)n 18"1< , , n,

00 1 00 Kn (h-a)n 1 K (b-a)

�'--Ielll< � --eIÀ1 � I À 1"+1 - � n! I À In+1 - I)" I '

'X> 1 o que indica que a série � -- e"= (À-e)-I converge para todo o ),,*0. Por

,.=0 À"+l outro lado, o operador e, ao qual se reduz À-e para À=O, é manifestamente singular. E assim fica demonstrado o que pretendíamos.

Daqui se conclui que terá sentido, segundo as considerações dos número precedente, toda a expressão so (8), em que cp representa uma qualquer função analítica na origem (ramo monódromo de função analitica). Seja, por exemplo, a equação íntegro-diferencial

(24)

x

à� (x, y) =J9 (x, t) � (t ,y) dt ,

ày a

.. , , FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE FUNCIONAL 73

em que e (;e, t) representa ainda uma função contínua no quadrado a <;e < b, a <t< b e � (x, y) a função incógnita, que se pode c onceber como um elemento variável de �! dependen te da variável complexa y. Proponhamopnos resolyer esta equação com a condição inicial

(25 ) � (x, O) =!(x) ,

sendo! um dado elemento de ��. Ora, atendendo a (23), a equação (24) poderá assumir a forma

(24*)

onde o índice x de 0 pode mesmo ser omitido, uma vez convencionado que e incide apenas sobre funções de x. Se (o-) fosse ttm símbolo numérico, é claro que a equação (24*) poderia considerar-se como uma equação diferencial ordinária, na função de y, � (x, y), dependente do parâp metro x, equação cujo integral particular correspondente à condição (25) seria manifestamente:

(26) � (x, y) __ f(x) e0Y _ eY0 f(x) , para a < x < b, y € K .

Pregunta-se: Será esta ainda uma solução de (24*), que verifique a condição (25), supondo agora que e é, não um símbolo numérico, mas sim o operador definido por (23)?

Notemos, em primeiro lugar, que, em virtude do que atrás foi dito, o símbolo eY8 terá sentido, para todo o valor finito, real ou comple:eo, da variável y. Ora, por força da última proposição do D.O 33, tempse, atendendo à regra I) e à segunda das regras III) ali enunciadas:

(pois que é �Y eYZ z· eY�) ,

o que permite imediatamente reconhecer que eY8 f(x) é de facto uma solução de (24*) e portanto de (24).

Por outro lado, ter-se-á ainda, em virtude da regra II):

eY8 f(x) = f(x) , para y = O (pois que se tem eYZ = 1, para y = O). x Z

A resposta à questão precedente é pois afirmativa. �fas resta ainda a questão da unicidade. É preciso não esquecer que

fomos conduzidos de (24*) a (26), heuristicamente, pensando 0 como sÍm bolo numérico. Ora é claro que, só nesta última hipótese, nós

sabemos que (24*) implica (26) e que portanto a solução (26) de


(24*) é a única possivel. Todavia a unicidade desta solução está já previamente garantida pela demonstração geral de PICARD, que recordaremos mais adiante, generalizada a equações funcionais. 1

Quanto à determinação efectiva do valor do símbolo eY0, basta utilizar o desenvolvimento em série

y'1.82 yn 8n eY0 = 1 + y8 + - + . . . + -- + ...

2! n!

e atender a (23). É certo que este resultadu poderia igualmente obter-se pelo método geral de aproximações sucessivas, de que trataremos adiante, mas tal não quere dizer que não tenha havido progresso com o uso do método simbólico. Este constitue, indubiamente (nos casos em que é aplicável, bem entendido) um algoritmo comodo e seguro, que pode mesmo levar a descobrir simplificações oportunas e conexões fecundas� as quais poderiam de outro modo passar despercebidas.

Um caso ligeiramente mais complicado do que o precedente é aquele em que, ao segundo membro de (24), aparece adicionada uma função conhecida, g (a:, y), sujeita à. condição de, para cada ye K, representar uma função de a: pertencente a tI!. É fácil ver ainda que, neste caso, a solução da equação será

Y

� (a:, y)-::::::. J e(y-t)e g (a:, t) dt + eY0 f(a:). o

Não será necessário fazer agora a verificação deste resultado. Bastou o exemplo anterior para mostrar que se trata, em última análise, de usar as regras I) a IV), pois que o valor efectivo de 8, seja ele número ou operador, não entra em jogo nos cálculos.

É claro que podemos ainda tratar pelo mesmo método equações íntegro-diferenciais em que figurem derivadas da função incógnita de ordem superior à primeira - o que nos proporciona o emprego de funções analiticas de 8 não inteiras.

Notemos agora que, se, na expressão (25), substituirmos o limite superior de integração y pelo limite constante b, ficará definido um novo tipo de operadores 8, a que parece natural chamar operadores de FREDHOLM. É claro que a inversão de ).-0 corresponde agora à reso-

1 Tem-se pois que o método simbólico, nestf) caso, não foi racionalizado senão na segunda parte. Mas é isto afinal o que interessaI desde que se possua, previamente, um teorema de unicidade. De resto, poderia fazer-se directamente a demonstração de unicidade para casos particulares como este.

� t , FUNÇOES ANALITlCAS E ANALISE FUNCIONAL 75

lução duma equação linear de FREDHOLM de segunda espécie. Visto os operadores 0 assim definidos serem elementos de Ac (�!), o espectro de tais operadores será, como já tivemos ocasião de recordar, um conjunto limUado e fechado,. mas a teoria das equações de FREDHOLM permite chegar mais longe, mostrando que todos os pontos desse con-junto são isol ados� excepto quando muito a origem. Em resumo: o uso das funções analíticas de operadores de FREDHOLM ficará sujeito a restrições mais fortes do que aquelas exigidas para os operadores de VOLTERRA.

Interessa ainda observar que a equação

(27)

com condições análogas às de (24), se obtém aplicando o conhecido

processo de VOLTERRA, de passagem do discontínuo ao contínuo, ao sistema de equações diferenciais ordinárias

(28) (k=1,2, . . . ,n),

com a condição inicial �k (O) = Ck (le = 1 , 2 , ... , n). É claro que, no papel desempenhado pela variável x em (27), aparece em (28) o índice k e que, no papel desempenhado pela variável aparente t, aparece em (28) o índice mudo r; por outro lado, em vez do operador de FREDHOLl\I contido no segundo membro de (27), surge em (28) o operador = I a� I , transformação linear de Kn sobre Kn, podendo então escrever-se (28) sob a forma:

(k=1,2, . . . ,n) , donde

(k = 1 ,2, . . . , 'li; Y €i K) ,

resultado bem conhecido e cuja analogia com (26) é flagrante.

Entre os operadores de VOLTERRA, apresenta-se como particularmente notável o operador de integração, que se obtém fazendo em (23) el(�' t)=l, e que designaremos pelo símbolo �:

x

:3;c f(aJ) - J f(t) dt (f €i �!). a

De acordo com o que atrás ficou assente, é manifesto que terá sen-


tido toda a expressão da forma (29)

n=O ao

desde que o raio de convergência da série � an zn seja maior do que n=O

zero 1. Ora, atendendo à conhecida fórmula 2

(30) �n f = J1X (x - t)n-l f(t) dt,

a (n�l)!

é fácil ver que podemos escrever (29) sob a forma x

(31) cp (CJ) f = � Jh (ilJ - t) f(t) dt (1 e �!), dx a

ao an onde h(z)=�,zn. n=on.

A fórmula (31) é atribuída a DUHAMEL. Por sua vez, ao integral x

J h (x- t) f (t) dt costuma dar-se o nome de produto funcional (alemão a

«Faltung») das funções f(x), h(x), no intervalo [a,b], demonstran� do-se que é:

x x Jh(x- t)f(t)dt = !f(:JJ- t)h(t)dt (comutaavidade). a a

Seja, por exemplo, a função (À-�tl = � � �n; neste caso ter-se-á, � Àn+1 n=o 1 00 1 (x)n 1 =-manifestamente: h (x) = - � - - = - e À., e portanto: l n=O n ! À I,

(32) x x-t 1 1 d J--- f= -- e À f(t)dt

À-� II dx a

(f e �!) .

1 Todavia é fácil ver que, para a convergência da série �all.s" é suficiente (e . 1 também necessária) a convergência da série � - aI!. Tornaremos a este assunto no � n!

final do § 4. 2 Para reconhecer a validade desta fórmula, basta derivar n-1 vezes sucessivas

o seu segundo membro e verificar que cada uma das expressões submetidas à derivação se anula para x=a.

Para simplificar a notação1 escreve·se aqui 3" f em vez de �z f (x) .

FUNÇÕES ANALÍTICAS E A.NÁLISE FUNCIONAL 77

Seja ainda a equação integro-diferencial

a

com a condição inicial � (;.c, O) f(;.c), cuja solução é, como sabemos, 1; (;.c, y) - eY3 f(x). Fà.cilmente se reconhece que será agora

x

�(;r ,y)= �f J. [2iv'y (;r-t) lf(t)dt , a

em que Jo representa a conhecida função de BESSEL:

A fórmula (32) poderia ser obtida por considerações de outra ordem, como faz F ANTAPPIE, notando que a equação integral

. 1 (ou seJa '==-/) À-� equivale à equação diferencial linear de 1.- ordem

À1)�-�=3f 1

com a condição inicial '(a) = - 1 (a). Chega-se então ao resultado À

(33) 1 x :r;-t

1 -(:r;-a) 1 r-, (x) = - f (a) e À + - e À f' (t) dt

À À -.-a

que fàcilmente se reconhece ser equivalente a (32). Ainda por considerações do mesmo tipo (recordando quanto foi dito nos D.01 7 e 8),

é possíuel tratar o problema da resolução da equação linear ordinária com coeficientes constantes e segundo membro (34) com as condições iniciais '<k) (a) = c" (k-O, 1,"', n':""-l) .

Se a ambos os membros de (34) aplicarmos n vezes sucessivas o operador 3, tendo em conta as condições iniciais, virá

(35) tendo posto f (x) = 3� f (x) + ao Co + (ao Ci + ai CI) (x - a) + . . . + (ao Cn-I + . . . + ali_I CI}) (x-a)II-I.

Imediatamente se reconhece a equivalência entre a equação integral (35) e a equação diferencial (34), completada com as respectivas condições iniciais.

Por outro lado, representando por ÀJ, ).21 • • • ,À11 as raizes, oportunamente repe-


"

tidas quando múltiplas, da equação em z, � ak Zlí = O, sabemos que é possível h=ü

determinar n números complexos !LI" " , POli' de modo que se tenha:

1 � tJ'i -------------- = � , ail Zll + ... + ai Z + ao i=l ()..i_ZYi

designando em geral por ri o número de raízes Àk iguais a Àj para k < i (i = 1,2, ... ,n) .

Ora, como fàcilmente se reconhece, atendendo ao que foi dito no final do n. o 8, essa decomposição é ainda válida se substituÍrmos z por �, pois que (À--:5)-t existe, come vimos atrás, qualquer que seja )..*0, tendo-se além disso Ài*O (i=l, ... ,n), uma vez que ao*O. Então virá, aplicando a (35) estas consideraçõs:

� !Li -C- � --r /, i=1 P'i-S) i

resultado que se pode tornar mais explicito, atendendo a (33) e a (30). Anàlogamente se pode proceder em relação aos sistemas de equações diferenciais

lineares a coeficientes constantes.

34._ Extensão dos resultados precedentes às funções analíticas de mais de uma variável. As considerações dos n.OS 30 e 32 extendem-se sem dificuldade às funções analiticas de mais de uma variáyel. Sejam, com efeito, 01, C:!, - " , Cn, n conjuntos de pontos de Q, fechados, limita� dos e não vazios, e seja, por outro lado, A um anel de BANACH complexo.

O problema que se põe agora é o de, dados n elementos ai, ai' . . . , an de A, permutáveis entre si dois a dois, associar a cada elemento ? de

111

lj[Il Ok] um e um só elemento � (ai, a2," ', alI) , de modo que sejam k=l

verificadas as seguintes condições:

I) Se cp (Zl , ... ,zm) == c, sendo c uma constante numérica arbitrária, então SD (ai, . . . , an) = c .

II) Se �(ZJ) . . . Zm)==zj, então � (al, .. ·,an) =aj (J=1,2, . . . ,n). III) Se X = g> + �, e = 1l'f, então X (aJ , • • • , an) = cp (ai, . . . , am) +

+ � (aj , • • • , am) , 9 (ar, . . . , am) = SD (ai, . . . , a�) . � (ai, . . . , am) •

IV) Se 'f = Lim g>n, então � (aI'" , am) = Lim cpn (aI' . . . am). Discorrendo de maneira análoga à precedente, chega-se à conclusão

de que: Condição necessária e suficiente para que o problema seja resolúvel, é que o espectro de cada elemento ak estfja contido no correspondente conjunto Ck (k=l, 2, . . . , m); uma vez verificada esta condição, a solução será única e dada pela fórmula

� . . FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE FUNCIONAL 79

onde ri" '" r m representam as fronteiras) orientadas positivamente, de convenientes 'vizinhancas Di," " Dn de C1,···, Cn .

N a demonstração deste facto, a única passagem que requere um pouco mais de minúcia é a que se refere ao produto das funções; deve então atender-se à permutabilidade das integrações e utilizar a decomposição

sucessivamente para k= 1 ,2, . . . , m . É claro que este resultado se pode ainda generalizar em condições

análogas às consideradas no n.O 31.

35. Relação entre os resultados precedentes e a teoria dos funções analfticas de LORCH. Ja na Introdução me referi à teoria das funções

analíticas em aneis de BANACH comutativos complexos, estudada por LORCH1•

Seja A um anel de BA�ACH comutativo complexo, e seja f (x) uma função definida num dominio A * de A, e de contradomínio contido tam� bém em A. Segundo LORCH, diz-se que a função f (x) admite derivada, f' (xo) , num ponto Xo de A*, quando, para cada E>Ü, existe um õ>Ü, tal que se tenha

para todo o h € A * que verifique a condição I h I < a . É a partir de tal definição que LORCH desenvolve a referida teoria, a

qual apresenta profundas analogias com a teoria clássica das funções analíticas: subsistem, sob determinadas formas, o teorema de CAUCHY, a equivalência entre os conceitos de monogeneidade e de analiticidade

em conjuntos abertos, etc. Nã.o subsiste contudo o teorema de ABEL, relativo a séries de

potências, nem portanto o de OA UCHY-HADAMARD; mais precisa-':10

mente: a série � an xn converge, necessáriamente, para I x I<r, sendo n=O

r-f = Lim nv'1 an I, mas pode também convergir para I x I > r . 2 E isto n

uma consequência de se ter I a . b I < I a 1·1 b I , mas são necessàriamente

I ab I = I a 1·1 b I, para cada par de elementos a, b de A. (LORCH chega mesmo a demonstrar q ue, se, num anel de BANACH, se tem

1 LORCH (II). 2 Não é lícito, portanto, falar aqui de «raio de convergência •.


I a· b I = I a 1·1 b I, quaisquer que sejam a, b e A, então A coincide com o corpo complexo, K).

Posto isto, seja ainda A um anel de BANACH comutativo complexo e seja C um conj unto de pontos de Q, fechado, limita10 e não vazio. É claro q ne podemos falar, conforme o sentido precisado no n. o 23, de «funções f (z), da variável complexa z, de contradomínio contido em A, holomolfas em vizinhanças de C»; e poderemos igualmente, segundo uma ordem de ideias análoga à do D.O 18, falar de <cfunções analíticas, ligadas ao conjunto O e de contradomínio contido em A».

Designemos então por l5 [O, A] o c onjunto de todas as funções analíticas ligadas ao conjunto C, de contradomínio contido em A. Em l5 [O, A] podemos agora, anàlogamente ao que fizemos no n.O 19, introduzir definições de «soma)), «produto» e «limite», com as quais esse conjunto se torna um anel vectorial (L) comutativo complexo, que contém um anel isomorfo a A.1 Ora pois, proponhamo-nos resolver o seguinte problema:

Dado a e A, associar a cada elemento cp de � [O ,A] um e um só elemento � (a) de A, de modo que se verifiquem as cond'ições:

I) Se cp (z)=-z, então �(a)=a; II) Se cp (z)=- k, com k e A, então 0/ (a)=k;

III) Se X = 'P + 'f, e = � 'f, então X. (a) =;0 ( a) + 'f ( a), e (a) = ;O ( a) 'f (a) ; IV) Se �=Lim o/n, então � (a)=Lim tn (a).

n n

Por consjderaçôes em tudo análogas às que desenvolvemos nos n.os 30 e 32 (e ainda no § 2) chega-se fàcilmente à conclusão de que, condição necessária e suficiente para que o problema seja resolúvel, é que o espectro de a esteja contido em C; em tal hipótese, o problema é determinado e a sua solução é dada pela fórmula

'f (a) = -J--. J� ,9 ().) d)", para ? € � [O, AJ , ... 1":1, /.-a

r

onde r representa a fronteira, orientada no sentido positivo, de um conveniente domínio de holomorfia de p.

Éj claro que a generalização do número precedente subsiste, rnutatis

1 Constituido pelas funções li> que se reduzem a constantes: <Il (z) = k, com k e A.

FUNÇÕES k�ALtTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL 81

'inntandis, para o caso presente. Teríamos agora de considerar, natu-n

ralmente, aneis do· tipo t5 [TI Cle, A], constituídos por funções analíticas k=1

das variáveis complexas Z[," ' , Zn e de contradomínio contido em A·

Seja agora a um elemento qualquer de A, cujo espectro designaremos por C, e seja 'f um elemento arbitrário de t5 [C, A]. Representemos por a a distância de C ao conjunto das singularidados de r:p e, fixado arbitri\riamente um número 8 tal que O <g < õ, designemos por O� o circulo com centro na origem e de raio 8. Pondo

(36) é claro que � será um elemento do anel t5 [CxOf, A], o que nos permi tirá escrever (designando por r 1 e 1'2 convenientes curvas orientadas):

(37)

atendendo a que o espectro de h estará contido em 0ê' desde que se tenha I h I < �; e, por outro lado:

(38) _ 00 hn 'll (a h) = � - a1(u) (a) " � n 1 ' n=O

visto ser, no espaço t5 [O X 0" A] ,

Designemos agora por Cõ o conjunto (fechado) dos pontos de .Q cuja disWncia a C é <E, e suponhamos, por um momento, que SD não é um elemento fixo, mas sim um elemento varillsel de t5 [Ce, A] .

Então é claro que, mediante as fórmulas (36) e (37), ficará a corresponder, a cada cp € t5 [C� , A], um determinado elemento sv (a+h) de A de modo a serem verificadas a seguintes condições: 1) para g> (z) =:= 1 , será cp(a+h)=l; 2) para q.>(z)==z, será g>(a+h)=a+h; 3) se for

g> =q.>[ +:2 e � = 'PI �2' ter-se-á l' (a+h) =�1 (a+h) +'f:! (a+h), � (a+h) =

=q.>[(a+h)·�2(a+h); 4) sefõr 9=Lirnrpn, ter-se-á 9(a+h)=Lim'Pn(a+h). �fas, sendo assim, virá necessàriamente, em virtude do que atrás foi dito,

(39) � (a , h) = ? (a + h) = J:..... J ? (À) d À , 21tl Ã-(a+h)

r

sendo r uma conveniente curva orientada. Por outro lado, visto que


a E foi inicialmente imposta apenas a condição O <e < a, podemos escrever ainda, atendendo a (38):

(i O) 0Ci hn Ol (a+h) = � - 'II(n) (a) J �n!J ' n=O

para h G A, I h I < à ,

o que mostra, afinal, que ? (x) é uma função analítica no sentido de

LOHCH, para x=a, quando o seu valor é dado pela fórmula (39). Observe-se entretanto que:

1) Nada no s garante que a fórmula (40) não seja válida para valores (não complexos) de h, tais que I h I > o .

2) Designando por R o domínio da regularidade de cp e sendo a , b dois elementos de A cujo espectro esteja contido em R, os yalores de 9 (a) e de 9 (h) dados pela fórmula de CAUCHY generalizada podem ser obtidos, um a partir do outro, por prolongamento analítico.

§ 4. EXTENSÕES E COMPLEMENTOS

36. O conceito de soma de espaços (L) vectoriais. Consideremos uma família I Si I de espaços (L) vectoriais, sujeita às seguintes condições:

1) Dados dois espaços Sj, S:c da familia I Si !, existe sempre, pelo menos, um espaço Sr da mesma família tal que Sr::::> Sj U Sk •

�) Dados dois elementos u, v comuns a Sj e Sic, a soma de u com v é a mesma no espaço Sj que no espaço Sk, e o produto de um número complexo a, qualquer, por u, é também o mesmo em ambos os espaços.

3) Dada uma sucessão infinita de vectores uo' UI , . • • , Un , • . • comuns aos espaços Sj, Sk, se tal sucessão converge em Sj para um elemento v, túmbém converge em Sk para o mesmo elemento v.

Representemos por U Si a reunião de todos os conjuntos Si da família i

considerada. Da condição 1), resulta imediatamente que, dado um

número finito de elementos do conjunto S = U Si, existirá sempre na i

família I Sd um conj unto Sr a que êsses elementos pertencem todos; mas já o mesrno não podemos dizer paJ'a uma ú�linidade de elementos de S.

Posto isto, introduzamos no conjunto S = U Si as seguintes definições i

de «soma»), «produto escalar» e «limite» :

FUNÇÕES ANALiTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL 83

Def. l. Soma u-t-v de dois elementos u, v de S é a soma de u com v em qualquer dos espaços Si a que eles pertençam simultâneamente.

Def. II. Produto a u dum número complexo a por um elemento u de S é o produto de a por u em qualquer espaço Si a que u pertença.

Def. III. Diz-se que uma dada sucessão (uu) de elementos de S tem por limite um determinado elemento v de S, quando existe pelo menos um espaço Sk a que todos esses elementos pertençam e no qual se tenha v=Lim Un •

n

Ora é fácil ver que, com tais definições, o conjunto S se torna um espaço (L) vectorial, a que chamaremos, precisamente, soma dos esp aços (L) vectoriais da familia ISd.

Consideremos por exemplo um espaço funcional analítico � [C] . Seja D uma qualquer vizinhança fechada do conjunto C, cuja fronteira se componha de um número finito de curvas fechadas simples rectificá\"eis, e designemos, como no n.O 26, por [DJ, o conjunto de todas as funções que são continuas no domínio D e holomorfas no interior de D. Já vimos como tal conj unto constitue um espaço de DAXACIl. Pois bem, é fácil ver agora, confrontando as D�f8. I-III deste D.O com as Defv. l-III do n.O 19, que o espaço � [C] se pode considerar como a soma de todos os espaços [D] assim obtidos, sendo Duma vizinhança variável de C nas condições indicadas. Anàlogamente se pode considerar como soma de espaços de BA�ACII todo o espaço do

n

tipo � [lJ CkJ . k=l

lt fácil também reconhecer a veracidade da seguinte proposição:

Sei/do S a soma dos e:;;paços (L) vectoriais de 1üna dada família lSd , suponhamos que exi:ste uma infi'nz'clade numerável de espaços Sil, Si� . . . , Si,. , .. , da mesma família� tais que todo o espaço pertencente a 1 Sd estf[Ía contido num, pelo menos, dos espaços Sil, Si2 , ' • • , Si" , ,. '. }I/estas condições) S pode exprimir-se corno soma duma infln/dade ttumerárel de espaços da referida família dispostos em sucessão Cl'escente: S: c S: c . . , ... c S� c ... .

(Basta escolher os espaços S�, s; " .. de modo que se tenha; S7 = Si1 ; S: ::JSi� U S� ; ... ; S,; => Sin U S/�-l, . . . o que é sempre possível, atendendo à condição 1), imposta inicialmente à família considerada).

84 J. SEBASTIÃO E SILVo<\.

Como exemplo, consideremos de novo o espaço � [C] . A cada número natural n podemos fazer corresponder uma determinada vizinhança Dn de C, nas condições há pouco indicadas, de modo <} ue a distância esférica dos pontos de Dn a C resulte menor que l/n. Ê claro que � [C] se pode considerar como soma dos espaços [DIJ, [D2J, . . o , [DnJ , ... , tendo-se [DI] c [DJ c [DnJ c o . o •

37. Extensão da doutrina do § 1 às novas categorias de espaços. Sejtl. S um espaço exprimível como soma L) Si de espaços (L) vecto-riais complexos. Então virá: t

LEMA I. Para toda a série de potências da variável cornplexa z, � zn Un, cujos coeficientes uo' UI' o . . s�jam elementos de S, o teorema de ABEL subsiste, se o mesmo acontece a respeito de cadall1n dos espa��os da família I Si I .

Dem. Suponhamos que a série �znun, com Un € S (u=O,l, 0.0) COllYerge em S, quando z=:z. . Isto implica a existencia de, pelo menos, um espaço SIl' da família I Si I, ao qual pertencem todos os vectores

n

V n = lJ ak Uk (n = O , 1 , o o o) k=O

e no qual a sucessão (vn) é convergente. �{as então ter-se-á 1

Uo = VJ e Su.; Un = - (vn -- Vn-l) € SI}. (11, = 0,1 , ... ) . . cx.n •

A série � zn UI! é pois convergente, para z=cx., no espaç'o S�}., e todos os seus coeficientes são elementos desse espaç0; logo, se o teorema de ABEL é ,'álido para toda a série de potências de z com os coeficientes em qualquer dos espaços Si, podemos afirmar que a série � zn Un COD\'erge no espaço S!}., qualquer que seja o ,-alor de z satisfazendo à condição ! z I < I :z.1, e o mesmo acontecerá então a resp8ito de S, o que prova a afirmação feita.

Consideremos agora a seguinte questão: Seja f (À) uma funçfw analítica de À, de contradomínio contido num

espaço funcional analítico 15 [C] (sendo I, uma variá"ol complexa). Então f (À) representará uma função analítica, '�\ (elemento desse espaço) dependente, analIticamente, do parâmetro À:

!f). := f (À) , ou, mais explIcitamente,

0/), (z) == [f (J.)] (z).

... , , FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE FUNCIONAL 85

Pergunta-se: i, Como variam as singularidades de 'Pj, quando À passa por uma infinidade de valores? Existirá pelo menos uma vizinhança de C sobre a qual a função 'PI. se conserve homomorfa?

A questão pode ser posta com maior generalidade: Seja f (Ã) uma função analítica de ) , de contradomínio contido num espaço S exprimível com soma U Si de espaços (L) vectoriais complexos. Pergunta-se:

i 1., Ao variar de À sobre o domínio de regularidade de f (À), existirá pelo menos um espaço da família I Si I ao qual pertençam todos os yalores

assumidos por f ().) '? Uma resposta a tal pergunta depende, naturalmente, do

valores por que passe l. e da natureza dos espaços Si. proposição vem esclarecer o assunto:

conjunto de A seguinte

LE:\[:\. II. Suponham.os que o teorema de AnEL é vúlido para toda a sé]'ie de potPncia8 de z, cujos coeficierdes pertençam a qualquer dos espaços Si' .Nestas condú;àe8) se f (z) é uma fUlIçào ana'ítica de z de contradomínio contido em, S) entüo) para todo o cOlljunto fechado l' contido no domínio de regularidade de f (z), existirá pelo menos um espaço S;J. da fanrUia I Si I, tal que: 1) f (z) G S'I' qualquer que seja Z 6 r; 2) f (z) seja analit(ca em� r a re8peito elo espa�>o Sv'

Dem. Seja f (z) uma função analítica de z, de contradomínio contido em S = U Si e seja r um conjunto fechado contido no domínio de regu

i laridade de f (z). Para cada z* e r, ter-se-à então um desenvolvimento em série fez) = � (z-z*)n Un, válido numa conveniente vizinhança de z"'.

�Ias, segundo a demonstração do LEMA I, os .vectores Un pertencerão todos a um mesmo espaço S�. da família I Si !, a respeito do qual a referida série é convergente numa yizinhança V';;* de z"' . Ora) é evidente que, quando z* percorre o conjunto r, esta vizinhança V.;. dá origem a uma cobertura do conj unto ,fechado r, do qual, segundo o lema de HEI�E-BoH,EL, será possível extrair uma cobertura de r formada por vizinhanças V:1, V';.;� , ... ,T,'·;:" de pontos de r em número finito, e em correspondência com outros tantos espaços S,I).!, S�.� , ... ,S;-"/I da família I Si I. l\fas, por outro lado, segundo a condiçtlO 1) do número precedente, existirá em I Si! um espaço S'I que contém os espaços

S!-'-t , S�.� , ... , S1}'/l; donde, tendo em vista as condições im postas �t família I Si !, se conclue finalmente que: 1) f (z) 6 S", para todo o z e r; 2) f (z) é analítica sobre r a respeito de 5".

Daqui resulta imediatamente o seguinte facto: Suponhamos que o teorema de ABEL subsiste a 1·espeito de todos os espaços da família 1 Si I ;


então, podemos garantl'r que) se as premúsas 1)-4) do n.O 27 (§ 2) sào verificadas em relação a cada um dos espaços Si, o mesmo acontecerá em relação ao espaço S. Por conseguinte, uma vez veriJiocadas tais hipóteses) tudo o que foi dito no § 2, a respeUo de trall.';formações lineares contínuas dum espaço funcional analítico � [CJ sobre um espaço de BANAClI complexo, subsiste integralmente para o ca .. w em que o conf1'adomínio de tais transformações é) mais ge't°almente) UHl subconjunto do espaço S = U Si o

i

Em particular S pode ser um segundo espaço funcional analítico 15 [C*J, o qual, corno vimos, é exprimivel como soma de espaços de BA�ACHo Cada transformação linear contínua de � [C] sobre � [C*J ficará, pois, definida por uma função f (�), de contradomínio contido em �[C*J e holomorfa no domínio !.l-C (devendo anular-se para z=oo, se este ponto pertence a C). Veremos no no o seguinte em que consistem tais funções.

Procuremos entretanto, a título meramente ebpeculativo, extender aos novos tipos de funções outros resultados clássicos da teoria das funções analíticas. Limitemo-nos a considerar espaç'os exprimíveis como soma de urna infinidade nwnerén.:el de espa

ços (L) vectoriais complexos e suponhamos que nestes é verificada a seguinte condição suplementar: «Se uma dada sucessão UI! conrerge para um elemento v, o mesmo acrmtece a respeito de toda a sucessão que sa obtenha da primeira Juntando-lhe um número finito de termos arbitrários».

Seja pois S um espaç'o eXprimível como soma U S'I de uma infinidade numerável II

de espaços (L) vectoriaü;, 51) 52' ... ,5Jj' . o' , nos quais seja verificada esta última condição. Seja, por outro lado, f (z) uma função da variável complexa de contradomínio contido em S.

Nestas condições, podemos afirmar que a De! I do n.O 22 resulta equivalente à seguinte:

Def. ]*"'0 Diz-se que a função f (z) tem por limite o vector u, para z -+ zo, quando é possível assinalar um espaço 5v da sucessão (SI') e uma vjzinhança V de Zo, tais que: 1) o vector u e todos os valores de f (z) , para z e Vez"* zo, pertençam ao espaço 5'1; 2) a função f (z) tenha por limite u, para Z-70 ZOl no espaço 5v•

Dem. Que a De! 1 ** implica a De! I do n.O 22 é manifesto, atendendo à Def. II! do noO precedente. Suponhamos agora que se tem u= Lim f (z), segundo

z�zo

a De! I do noO 22, mas não u=Lim f (z) 1 segundo a De! ]"1'*. Z-T "o

Quere isto dizer que, qualquer que seja 12, será possível instituh- uma sucessão z'tlll, Z�I), ... ,z�'), ... de pontos de Q, distintos ue zo, convergente para Zo e tal que não seja verificada a condição u = Lim f (Z�I)) no e,çpaço S'I. Ma8 cntão será possí vcl

p

formar uma sucessão única ;1' �, . o . , Zn , . . o que englobe as sucessões as�im obtidas

FUNÇÕES ANALíTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL 87

para todos o� valores possíveis de n - utilizando, por exemplo, o conhecido esquema cantoriano:

z(1) z<lj Z(1) . .. I / 2 / 3 ('1.) ",(2} Z(2} • • • ZJ ""::/ J

", (:l I / z(:lj ,/ z��) • . . '"I i I .. . .. . . . . .. . . . .. . .. . . . .

Ora é eviuente que, em tais condições. virá ;"_z .. , com z',-FZo, sem que resulte Limj(zJ=u (no espaço S), o que é contrário à hipótese de se ter Limj(z)--=u,

n :�� segundo a Def. I do n.O 22. Esta definição implica portanto a Dej. 1**.

Apresenta-58 agora esta outra questão: Suponhamos que a funç�ão f (z), de contradomínio em S, é contínua sobre o con

junto fechado r. l Podemos nós afirmar a existência de, pelo menos, um espaço 5'1 da sucessão (Sn) , tal que: 1) f (.�) € S.;, qualquer que seja z 6 r; 2) f (z) seja contínua sobre r a respeito de Sv?

Não me foi p08síve) resolver este problema sem introduzir hipóteses restritivas. Suponhamos, para fixas ideas, que: a) os espaços S" são nOl'mados; b) se um tlado conjunto de elementos de 5 é limitado num eS'Paço Sy da sucessão (SII) , então existe um outro espaço, S,;, da mesma sucessão (dependente apenas de v), no qual esse conjunto admite pelo menos um ponto de acumulação 1. Estas condições são manifestamente verificadas a respeito dum espaço funcional analítico pois que, segundo um conhecido teorema,2 todo o conjunto de infinitas funções holomorj'as e limitadas num domínio fechado D, contém pelo menos urna sucessão de funções uniformemente convergente para uma função holomorfa no interior de D.

Ora é fácil ver que, uma vez verificadas as condições a), b), a resposta à questão precedente é afirmativa. Com efeito, fixado um • > O, será possível determinar, para

cada z* e r (dada a continuidade de f (z) sobre r e por força do teorema anterior) uma vizinhanç'a V z* de z* e um espaç�o Sl1' da sucessão (S,,) , tais que: I) f (z) € Sfl., qualquer que seja z e Vz*; II) lf(z)I<If(z*)I +f, a respeito de S!1-' qualquer que seja Z 6 V;;*. Seja agora (�p) uma qualquel' sucessão de pontos convergentes para Z (com Z E Vz*); segundo II), o conjunto de vectores f (�I') [p=l, 2, . . . ] é limitado cm 5u.; logo, por força da hipótese b), existirá um espaço S� da sucessão (5,.), no qual

, . esse conjunto admite pelo menos um ponto de acumulação - que não pode deixar de ser o vector j (z), em virtude da continuidade da função considerada; isto é, ter-se-á Lim r (�) = f (z), a respeito de Su" para todo o Z E V:!*c. Finalmente, ��Z ' raciocinando como na demonstração do L1<:MA II, com a aplicação do lema de llEINE··BoR1<:L, chega-se à conclusão de que existe um espaço Sy da sucessão (Sn) ,

a respeito do qual a função f (z) é contínua sobre r, q. e. d. Nesta ordem de ide as, torna-se possível extender o teorema de CAUCHY e a fórmula

integral de CAUCHY às funções mono[jéneas de z, de contradomínio contido em 5-

1 Poderíamos exprimir este facto, dizendo que S é um espaço (<localmente quase compacto». Sobre a noção de «espaço localmente compacto)', veja-sr, por exemplo F'R1:�eHET (I), pág. 223.

2 Vej a-se, por exemplo, P. MONTJ.:L (I).

88 J. SEBASTIÃO E SILVA.

uma vez admitido que esses teoremas são válidos para os espaços S,., e é-se levado a estabelecer, em análogas condições, a equivalência ontre os conceitos de monogeneidade e de analiticidade em conjuntos abertos. Acontece isto, cm particular, para as funções de z, de contradomínio contido num espaço funcional analítico.

38. As funções analíticas de contradomínio em l5 [O], interpretadas como funções analíticas de duas variáveis. 1./1 pw'te. Seja f O,) UlIla função de contradomínio contido em l5 [O], holomorfa num domínio fechado D do plano-esfera; para cada ). pertencente a D, será f (Ã) um determinado elemento � do espaço t5 [O], podendo assim escrever-se

�= f(l) ou �(z)-[f(À)J(z), para ÀeD.

Ora, segundo o qUB foi estabelecido no número precedente, as infinitas funções � assim obtidas (quando ). percorre D) admitem todas, pelo menos, um comum domínio de holomorfia, D* (vizinhança de C). Convencionemos então escrever

q> (z , À) = [f (i,)] (z) , para z e D*, I, 6 D.

Digo que a função 0/ (z, Ã), nas duas variáveis complexas z, À, é analítica no domínio D li! X D de �22.

Que a função so (z ,i) resulta analítica em relação a z em D�, para todo o ), e D, é evidente.

Notemos agoraque se tem) designando por lo um ponto qualquer de D:

se )'0 é próprio,

(41) se Ào = 00 ,

para todo o ). pertencente a uma conveniente vizinhança V de Àô' Mas então, se pusermos

rpn (z , ).) = [f(k) (Ã)] (z), para z G D*, À e D; n = 1, 2 , . " ,

virá, atendendo à primeira das fórmulas (41): .. OC) (À_Ào)n rp (z, 1.) -= lJ -n-!--1>n (z, i.), para À e V, Z 6 D*.

n=O .

(A segunda das fórmulas (41) conduz a uma conclusão análoga). 1\1a8 isto quer dizer, precisamente, que a função so (z, Ã) é também analítica enl relação a À em D, para todo o z e D*. Ora, se tal função é analitica a respeito das "ariáveis z, À, separadamente, no domínio

.. , , FUNÇlOES ANALITICAS E ANÁLISE FUNCIONAL 89

D* x D, ela será analítica a respeito do par (z, i.), no mesmo domínio; isto é, admitirá, em cada ponto (zú ,/10) de D*x D um desenvolvimento

válido numa conveniente vizinhança de (zo, Ào) •

2.a Parte. Sejam D, D*, respectivamente, um domínio qualquer do plano-esfera e uma vizinhança fechada de C. Seja por outro lado l' (z ,À) uma func;ão de (z, À) holomorfa no dominio D* X D de i!:! .

Consideremos a função f (/.) , do contradomínio em 6 [C], assim definida em D;

[f (I.)J (z) = cp (z , J.), para (z,).) € D*x D . Digo que f 0.) é holomorfa em D. Com efeito, ter-se-it, para cada

ponto próprio },o de D, o seguinte desenvolvimento

(42) rJJ () _} )n CD (z ),) = � . o :!)n ro (z i.) J ' � n ! . _, T , ,

11=0 A-AO

válido para todo o z e D* e para todo o II pertencente a uma conveniente yizinhança V de Ào (no caso },ú=oo , as conclusões serão análogas), lVfas, se representarmos por r uma. circunferência de centro em Ào e contida em \:, orientada positivamente, podemos escr8\'er, para todo o ). interior a r e para todo o z e D* :

- :!)n CD (z II) = - T ? (l) 1 1 f m (z À) , , " ') .' À-i. 1/. n, ),=AO ... r;� ( o)

r

(u = Ü, 1 , ' . . ) ,

donde, representando por p. o máximo de I cp (z, i.) I sobre o conjunto fechado rxD* e por e o raio de r ,

1 1 - !)n 'J) (À z) < - . IL' o-:-n • comp r " . ' , - ') r- \J n , 1.=/,0 ... 1t

(n=Ü 1 ... ) " ,

qualquer que seja z € D; o que implica, precisamente, a convergência uniforme de (4�) a respeito de z sobre D*, para todo o I E V.

Podemos portanto escrever

onde [f(n)(Àu)](z)= :lJn�(z,À), para zeD*; n=Ü,l, ...

À=�.�

90 J. SEBASTIÃO E SILV Â.

39. Identidade entre operadores lineares contrnuos e operadores lineares analíticos. Seja S um espaço de BANACH complexo ou, mais geralmente, um espaço a que sejam aplicáveis as conclusões do § 2, conforme o que foi dito nos n.OS 27 e 34; e seja F uma transformação unívoca de � [C] sobre S. Diremos que o operador F é analítico, quando transforme funções analíticas de )\, de contradomínio contido em � [C], em funções analíticas de )\, de contradomínio contido em S . Posto isto, podemos demonstrar que: a) toda a transformação Unear con

tinua de � [C] sobre S é a.nalítica; b) toda a transf01'mação linear ana

litica de Õ [C] sobre S é continua. a) Seja F uma transformação linear contínua de � [C] sobre S e seja

f (À) uma funçüo de ), de contradomirtÍo em � [C], analítica num ponto próprio de Ào de n. Quere isto dizer que existem uma vizinhança V de Zo e uma sucessão (Xn) de elementos de fS [C], tais que

n

f (À) = Lim � (À-ÀoY Xlc, para À e V . n k=O

�fas, dada a linearidade e a continuidade de F, virá n

F [f (À}l = Lim � (J.-Ào)k F l.k, para À e V, n k=O

o que significa, precisamente, que a função F [f (À)], de contradomínio

contido em S é analítica em Ào, q. e. d. (N o caso Ào = 00, o raciocínio será análogo). b) Seja F uma transformação anal-ítl·ca de t5 [C] sobre S. Começa

remos por demonstrar que o operador F respeita (ou é pennutável com) o operador :tJ). de derivação, aplicado a funções analíticas de �, de contradomínio em Õ [OJ; isto é, ter-se-à:

F [1\ f (1)J = !)Á F [f (Ã)J, qualquer que seja a função analitica f (Ã) de contradomínio em t5 [C] . COill efeito, a derivada de f () ) em qualquer ponto regular, Ào, desta função, pode ser definida como aquele elemento f (1'0) de � [C] que verifica a cond'ição (43) sendo 9 (Ã) uma função analítica nos pontos em que o é f (À). Deste modo, o conceito de «derivada» fica expresso exclusivamente em termos de « SOIna», «produto escalar» e «analiticidade», sendo fácil ver, por outro lado, que tal definição é ainda aplicável às funções de À de con-

FUNÇÕES ANALíTICAS E ANÁLISE FUNCIONAL 91

tradomínio em S. Ora, aplicando F a ambos os membros de (4:l), virá, necessàriamente,

F [f ())] = F [f Oo)J + (À -- Ào) F [f' (Ão)] + (À - ÃoY F [g (j.)] , o que, atendendo à analiticidade de F, mostra que F [g (I.)J é a deri-vada de F[f(l)], q.e.d.

Posto isto, podemos demonstrar que o operador F respeita, igualmente a primitivação de funções analiticas de À, de contradomínio e!ll � [O]. Seja com efeito g (À) uma qualquer primitiva de f (l). Virá então D).g(l)-f(l.), donde F[D).g(l.)J==DÀF[g(l.)J-F[f(Ã)], o que

mostra, precisamente, que também F [g (À)] é uma primiti\?a de F [f O)] , de acordo com o que tínhamos afirmado.

Notemos agora que, em virtude do teorema fundamental do cálculo

integral no campo complexo (n.o 23), u integral .r f (Ã) dI, [sendo r uma r

curva orientada, aberta ou fechada, simples ou composta, contida no dominio de regularidade de f (z)] pode ser definido exclusivamente em

termos de «função primitiva}). Suponhamos, por exemplo, que a curva r é um arco simples (rectificável) de extremos a, �; então vir'á, designando por g (z) uma primitiva de f (z), unIvocamente definida sobre r :

.f f (À) dI, = g (o:) - g (0) ; r

o que permite reconhecer imediatamente que

, F .f f O) dI, = J F [f () J d'A .

r r

E claro que a conclusão será ainda a mesma, na hipótese de r ser uma curva fechada simples ou, mais geralmente ainda, uma linha composta de um número finito de curvas fechadas simples (rectificáveis) .

Finalmente, se recordarmos que, para cada so € � [C], se tem

� = 2�i J � (l)hU> d)., r

em que h (À) representa a função de 1., _1_, de contradomínio em Ã-z lJ [O], e r a fronteira, devidamente orientada, dum conveniente domínio de holomorfia de 9 - é fácil ver que resultará

FSO = � Jp (À) F [h (Ã)] dJ.; 2r.l r


e, como F [h (À)J é uma função de À, de contradomínio em S, holomorfa no domínio .n (anulando-se p�lfa )\ = 00, se 00 ti: C), segue-se que F é urna transformação linear contínua de � [CJ sobre S, q. e. d.

40. Extensão dos resultados do § 3. Vimos no n.O 9 como, do conceito de «espaço vectorial», se passa ao conceito de «anel vectoriab e como, do conceito de «espaço de BA�ACH», se passa ao de «anel de I3ANACII». De modo inteiramente análogo podemos considerar, em correspondência ao conceito de «espaço (L) vectorial», um outro de

«anel (L) vectorial»: damos este nome, naturalmente, a todo o anel yectorial, munido duma noção de dimite», a respeito da qual as duas operações fundamentais - adição e multiplicação - resultem contínuas 1.

Por outro lado, assim como c.efinimos «soma de espaços (L) vectoriais») podemos definir, de modo inteiramente análogo, «(soma de anéis (L) vectoriais». Um anel funcional analítico � [C] apresenta-se desde logo como exemplo de soma de 'inftnitos anél:S de BA�ACH. complexo.'?

Tendo pois em consideração o que foi dito no número 37, torna-se fácil extender, às novas categorias de anéis, os r.esultados do § 3. Assim, por exemplo, dados dois anéis funcionais analíticos � [C] e � [C*J, condição necessária e suficiente para que exista. um homomorfismo F de � [CJ sobre � [C*J, que deixe fixo o elemento unidade e

transforme a função � (z):=z de � [C] num dado elemento 0/ de Õ [C*J ,

é que o espectro do elemento � esteja contido no conjunto C; em tal hipótese, a solução será única e dada pela fórmula

Fz [X (z)] = ')� -1- X (À�À) di. = X. [cp (z)] , w •• � 1.-9

r

para X 6 lS [C] .

Teremos aqui, portanto, um conceito de (cfunção analítica dependente anallticamente de uma outra função analítica»; mas, como se vê, tal conceito é, não só demasiado restritivo, como ainda trivial. Um con

ceito mais geral e mais interessante de «função analítica dependente anallticamente de outra função analítica» é aquele que se apresenta nas nas considerações do último §, relativas a operadores não lineares.

41. Aplicações do cálculo operacional. Consideremos um anel fun-n

cionaI analítico � [fi Ck] e seja S um espaço exprimível como soma de k=l

espaços de BANACH complexos. Continuemos a representar por A (S)

1 Já atrás considerámos este conceito, sem o precisarmos.

.. . . FUNÇOES ANALITICAS E A�AI�ISE FUNCIO�AL 93

o conjunto das transformações lineares de S sobre si mesmo. Fixados n elementos Fi , F2 , • • . ,Fn de A (S), permutáveis entre si dois a dois e tais que (ik-li\tl sej a função holomorfa de �k no domínio 5.2- Ck (I.: = 1,2, . . . , n) , podemos instituir para tais transformações um cálculo simbólico, por meio da fórmula,

n

em q ue � representa um elemento arbitrário de � [ n Ck], e ri, r� . . . , I'n 1.'=1

convenientes curvas orientadas. �� mediante um cálculo operacional deste tipo que FA�TAPPIE resolve

o problema de CAUCHY para equações e s.istemas de equações ás deri"adas parciais, lineares e com coeficientes constantes.

Consideremos, a título de exemplo, a equação de 2. a ordem com coeficien tes constantes

(45)

em que x ,y designam variáveis complexas e � uma função conhecida de x , y, analítica na origem; e proponhamo-nos resolver o problema de CAUCHY para esta equação, com os dados iniciais

(46) cp (O , y) _ O (y) , �� (O , y) == X (.y) . Representemos então por o espaço funcional analítico cujo con

junto característico se reduz ao ponto (O, O) e ponhamos, como faz FA�'l'APPIÉ :

x

� Il =� f"fI (t 7/) dt , " , , o

() TI "I) = � - "fi , d.ll

para "fi e .

.A plicando duas \Tezes sucessivas o operador � a ambo'S os membros de (40) e atendendo às condições (40), chega-se à equaç'ão integro-dife� rencial

em que p (� , B) qJ = � , { p (� , B) = a + b n + c B2 + d � + e � B + �2

'f = � + (a + b B + d�) G + a � X. }

�quação que fàcilmente se reconhece ser equi\ralente à equação dife

rencial (45) completada com as condições (46).


Ocorre então escrever

mas resta saber se esta fórmula é ou não legítima. Ora, o operador (À-�rl é função holomorfa de À no conjunto com

plementar da origem, tendo-se, precisamente:

x x-t 1 1 -

(À - �tl "I) = - 'I) + -- f e À YJ (t) dt , À À'}. o

para "I) e •

Consideremos agora a série � ),-n lln = � À-n �n àn • Para estudar dyn

a sua convergência, representemos por 01, O�, respectivamente, dois círculos com centro na origem, e tais que a função "I) (X, lI) resultei holomorfa sobre Of xC'}.; e designemos por p. o máximo de 1'1) (x, li) sobre o conjunto eiXO:.!. Virá então, manifestamente:

dn - 1) (;E Y) < n ! rI_ o-n d ,yn \.. , . - r- \" , para (x, y) e 01 x O2; n = O, 1 , ... ,

sendo p o raio do círculo O2, Será portanto

I Ôn �n d yn 1) (X ,y) < [L I x ln p-n , para (x, y) e O. X O2; n = O, 1 , ... ;

donde se conclui que a série � À-n Bn 1) será con,oergente para II. I > I x I . p-l ,

tendo-se então, precisamente: x

00 00 ,) [f (x - t)n () n ] (À - B)-l 1) = � À-n lln "I) = � - -- 'll (t , y) dt = � � -' ln . n' �1 n n=O n=O uX _ • u y O

x x

à f[oo (x--t)n án ] d f ( �-t) = - � �-, � 'I) (t , 1/) dt = - 1) t,:lJ + - cU.

d X n=v ' n. d yn J X ). O O

Notemos por último que os operadores �,B são permutá,·eis. A expressão CP (�, B)r' terá pois sentido, se) e só se, fôr a4: O, caso em que p (x, y) é um elemento de <1>. O cálculo dessa expressão pode então ser efectuado: ou por meio da fórmula (44); ou por desenvolvimento em série de potências de � e de B. :Mas é fácil ver que, neste último caso, se irá recair no desenvolvimento a que se chegaria, aplicando directamente à equação considerada o processo geral indi. cado pela demonstração do teorema de OAUCHY-KoWALEWSKI.

... , , FUNÇOES ANALITICAS E ANALISE FUNCIOYAL 95

Esta modalidade de cálculo operacional revela-se ineficaz ou) pelo

menos, pouco cómodo, quando se procura alargar o seu campo de aplicabilidade para além do problema de CAUCHY, relativo a equações

lineares com coeficientes constantes. Nos casos nwis diJ�ceis e, ao

mesmo tempo, maisinferessantes da prática - que sào aqneles cm qne se

apresentam cond'ições no.� limites -parece aconselhável abandonm' esta orientação, a farol' do método baseado na tran�formação de LAPLACE. l\fas convém notar que ainda não foi pronunciada a última palavra

sobre este assunto: trata-se dum campo aberto à investigaçfw, em que muito há a aprofundar e a esclarecer, sobretudo no que se refere ao uso das séries divergentes e do integral de STIELTJES.

rrornaremos a este assunto mais adiante.

42. Automorfismos dum espaço funcional analítico. Seja F uma transformação biunívoca do espaço Õ [C] sobre si mesmo. É fácil ver que, se o operador F fõr linear, também o operador F-1 o será. l �las podemos nós afirmar que, se o operador F fôr linear e contínuo, também o seu inverso será contínuo? Não me foi possível resolver esta

questão. Por automorfismos do espaço funcional anarUico � [C] entendo, natu

ralmente, aquelas transformaçõe� biunívocas de � [C] sobre si mesmo que respeitam nos dois sentidos as noções primitivas deste espaço; isto é, aquelas transformações lineares contínuas de � [C] sobre si mesmo que admitem transformações inv.ersas ainda contínuas.

Ora, já sabemos que toda a transformação linear contínua de Õ [C] sobre si mesmo é da forma

Fg> = �. f� (Ã) f O.) dJ., 2 irt r

para � e � [C] ,

sendo f (Ã) uma conveniente função de Ã, de contradomínio em � [O] (a função indicatriz de F) e r uma conveniente curva orientada. Resta portanto averiguar a que condições de\"e satisfazer a função f (À) == Fz (_1_), para que F seja um automorfismo do espaço funcio-

À-z

naI analítico � [C] .

1 Representemos por h (i.) a função de À, --, de contradomínio À-z

em � [C]. Segundo o método geral indicado no n.O 21, de\"emos procurar agora caracterizar a entidade h (À) por meio das noções prirnitivas


do espaço � l C]. Observamos entretanto que, ao contrário do que sucede a respeito das transformações lineares continuas em geral (homomorfismos), os a.utomorfiamos do e.�paçf) fnncional, analítico � [C] deixam invariantes toda.� as proprieda1es logicamente e:eprimíveis nas referidas noçõe,� primitivas.

Assim, por exemplo, nós sabemos, a respeito da função h (Ã), que: a) É uma função analítica uniforme de i" cuja domínio de regulari

dade 1 coincide com !l- C (anulando-se para Ã = 00, se 00 f C) . Ora bem, esta propriedade, que não é necessàriamente respeitada por

qualquer transformação linear contínua de � [C] sobre si mesmo, é respeitada, com certeza, por todos os automorfismos deste espaço.

b) Condição neces.�ária para que se tenha .r X (Ã) h (Ã) dÃ = O, sendo r

X O.) uma funç(10 llOl amorfa de À, numa vizinhança fechada de C, de fronteira r, é que se tenha X. (1) == O •

Vendo bem, encontra-se nesta propriedade da base h (Ã) o carácter de independência linear que distingue os vectores de base ei do espaço vectorial cartesiano Kn; com esta diferença, porém: que a indepen

dência linear dos vectores transformados et = Fei é condição suficiente para que F seja uma transformação biunÍ'roca do espaço I{n em si mesmo; ao passo que, o ser verificadn a condição b) pela função f (À) = F [h (Ã)] habilita apenas a afirmar que F é uma tran.�fonnação b1unívoca de � [C] sobre um sltbconjunto de � [C] J não e:ecluindo a possibilidade de que e,�te subco/�jllnto seja distinto de � [C]. (Observe-se, por exemplo, o que acontece com o oper ador � de integração: 31) = J"fl (t) dt).

o As propriedades a), b) não conseguem, portanto, caraeterizar com-

pletamente a função h O), do ponto de vista dos referidos conceitos primitivos. Por outras palclvras: a conjunção desses caracteres não nos dá o predicado irredntlvel2 de h (À) no espaço funcional analítico � [C].

Uma outra propriedade da função h (Ã), logicamente exprimívelmas não logicamente expressa - nos conceitos primitivos do espaço � [C], é a seguinte:

1 Convém notar que uma função f (À) pode seI' holomorfa no domínio Q -c e resultar todavia pluriforme, quando prolongada a um domínio mais amplo, se tal é possível.

2 Por analogia com a locução «equação irredutível", O predicado ú'redutivel desempenha neste caso um papel análogo ao da resolvente de GAI.OlS, no estudo dos automorfismos dos corpos algébricos,


c) Condição necess<Í1'ia para que se tenha f À l_z fiz) dz - O, .• endo r

f(z) uma funçào complexa de z holoTlw'fa em �!-- C, e r a f"onteira de uma t'izillhan�:a de O, é que resulte fez,) --- O .

Esta propriedade - por assim dizer dual da propriedade h) - parece exprimir o facto de h O,) ser uma base do espaço Õ [C] .

rrratanl-se agora de saber se a conjunção das propriedades a), b), c) constitue ou n�o o predicado irreduth'el procurado - ChaY0 de todos os automorfismos em questã.o - e se, além disso, tais propriedades são ou n?LO independentes entre si. Mas aqui, precisamente, levantam-se dificuldades (lue não fui capaz de superar.

C rn problema mais simples ó o da determinação de todos os automorfirmas do anel funcional analítico Õ [O]. Fàcilmente se reconhece que esses automorfIsmos não são mais do que as transformações F da forma

em que y. representa um elemento qualquer de � [U], tal que) sobre uma eOIl\"eniente yiúnhança de C, z (z) resulte inverth'el e se tenha, preeisamellte, Z (O) = O .

43. Transformações permutáveis com o operador de derivação. Operações de PINCHERlE 1, Pelo que foi dito no Il.O 39, já sabemos que toda u transformação linear contínua F de Õ [O] sobre SL mesmo respoita a derivaçtLO de funções analíticas de À de contradomínio em � [C]; isto é, vimos que se tem necesstlriamente F l)). 9 (1,)= 1\ F 9 (À), quando 9 (Ã) é UUla tal função. Mas não quere isto dizer, de modo nenhum, que o operador F respeite aderi, ação de funções pertencentes a � [C] .

Assim� por exemplo, todos os operadores F da forma F;; [ � (2)] __ Y (2) . cp (z) ,

em que 'I designa um elemento fixo de Õ [(;] , são transformações lineares contínuas de Õ [C] sobre si mesmo, que não permutam com o operador :!\, desde que a função y nrw se reduza a uma constante numérica.

Para determinar todos as tnlnsformações lineares contínuas do espa.ço 8 [C J sobro si mesmo que são permutáveis com o operador !l aplicado a elementos de 6 [C], não temos mais do que procurar no\'as proprie-

1 Sobre esce ponto, veja-se F,\N'L\l'I'Ii� (1), pp_ 87 c 103.

98 J. SEBASTIÃO F. SILVA

dacles da base h (),) q ue se tenham tornado exprimíveis eom a alI) llUÇffO do operador � às entidades primitinls do espaço funcional analítico Õ [C] .

Ora nós sabemos que se tem, idênticamente:

1 1 :!'i -- + 1\,-- = O; . J':....-z À-z

donde, sendo F uma qualquer das transformações em causa:

ou seja, pondo F:; (_1_. ) == O (Ã, z) : \ J.-zJ

oq lHl<,:ilO its derivadas parciais, cuja soluç,'io é, como se sabe, da forma o (). , z) = {J- (À - z) ,

em que !J. representa uma função arbitrnria duma só \"ariá.\'el. Hedprocamente, é fácil ver que, se a função indicatriz duma trans

formaç:ão linear contínua F de 8[CJ sobre si mesmo é da forma p.(J.-z), e11 tão F é permutável com 1).:;.

Pode ainda reconhecer-se, atendendo aos resultados precedentes, que, Plll tal hipótese, a função (J- será necessàriamente analítica no ponto impróprio; isto é, admitirá um desenvolvimento em série,

( ) au ai lJ. lV = - +-" -r ... • 10 1.C� ,

numa \"izinhanç:a do ponto W=oo. Seja l' o raio de convergencia d�t série de potências de t (lue se obtém da anterior pondo t = w-i; é claro que, só para IÀ�zl>rl, a série � an(À-z)-n-l define a funçilo (J.()." -z).

Hepresentemos agora por C* o conjunto dos pontos de n cuja distância

ao conjunto H---C é igualou superior a r-I; a função !l' (À-z) será,

manifestamente, a indicatriz de uma transformação linear contínua F de Õ [O] sobre Õ [O*J, permutável com ::1);;, tendo-se, precisamente,

F.:; [? (z)J == �)�; Jrp 0.) r (l - z) di. = ;.-1 .. (1

r

= �:; IJ (tn J' C '" ().;,+t d •.• � i: (I�<!,�? (z) , .... ,,� n=O J,---z) I'�O Il.

l'

com as já indicadas condições relatints a r e a :: .


Em eonclusrlO: toda a transformação F nas condiçües referidas é desen\'olvÍ\�el em série de potências de !' com coeficientes constantes;

Pnra que, reciprocamente, uma dada série de potências ele 1) � � Cn .1Jn, represente uma tal transformaçã.o, é necessúrio. evidentemente, que a

série de potências de z, � 11 ! Cu zn, tenha um raio de con \"ergência diferente de O; de contrário, o operador F == � en:t;n será definido apenas para as transcendentes inteiras de certo tipo.

Ora, é de recordar (lue as operações lineares sobre funções analíticas foram estudadas por PINCIIERLE sistemitticamente sob a forma de séries de potencias de .1:' COlrt co�,.l�cielltesra1'iáreis: isto é, sob a forma

sendo os ali (.z) funcües analíticas determinadas de � , e 9 a variável independente da função F. lb claro qU3 esteR operadores não são geralmente permutil\�eis com :r\ (a não ser que os coeficientes se

reduzam a constantes numéricas) e p odem mesmo não ser definidos em

todo um e�pa<:o funcional analítico. Ree'tprocamente. seja F Ullla transformaç�LO linear continua entre

dois esp;v.:os funcionais analíticos: ; Porlemo8 n68 yarantú' que o OjN:p rador 1,-" é desenvolrirel em 8érte de PI�Cl1ERLE '? Fàcilmente se recop nhece (lue a resposta é afirmativa no caso em que o conjunto C ó limitado; no caso contrúrio, é necessária a hipótese de que a função indieatriz f (1.) do operador F seja analítica no ponto ) = 00 e se anule llesse ponto·· - o (pIe, 8\'iclentemente, pode não acontecer (ver FAXTAPPIl::, obra citada).

44. As transformações permutáveis com o operador de integração e a transformação de LAPLACE. Vem agora a propósito preguntar quais são as transformações lineares continuas dum espaço 15 [C] sobre si mos mo que respeitam o operauor � de integração aplicado a elementos do 6 [C]. Limitemopllos ao caso em que C se reduz à origem. 1�� fácil yer então fIno toda a transformação F da forma

;t'

:1 d '. I' J: � (x) =0: -. . ) (J- (.r - t) cp (t) dt, d.l�

o

em (iue ,1', t designam variáveis complexas e !lo (z) uma função de z arrap


lítica na origem - é uma transforma��io nas cun�lições req neridas. I. Jlas podemos nós afirmar que sejam dessa forma toda '1 as transformações procuradas? Eis aí uma outra (1 uestão a (1 ue n�lo me é possível ref:lponder. 1

:t:

.Já atrás foi dito (n.o 82) que o valor da expressão .r p.(.r l) 'f (t) dt o

costuma ser chamado jJrodnto integral das funções iJ., 'fi. Para maior comodidade, poremos

x

(/-, (') �) (.,,) =-- d� J V (;c - t) cp (t) dt . o

I:� fácil ver que se tem: [1-(') 'fi =-cp 0(.1., (I-'- C;:J ',i) 8 'P = {.L 8 (v8 (f) ,(!l- +- 1)) 8? c=

-= ll. 8 � + '.I G) l' q uaisq uer fI ue sejam as funções [l-, 'J, '?, analiticas na , oflgem. Suponhamos agora que a função [J. (z) atlmite o desenvolvimento

{.L (z)= � an zn; então virá (n,O 3:?): x

F d 00 j·'"'C ) C ) l

ri 'Y) , �'II + 1 ( . � 9 = r G � = - � a n X -- t n,p t ft c= - � n, an Se ? ,:t') , c/x 11=0 "' d,r� l!�O O

ou seja, finalmente, F � , ,,, n

� 9 = � ]L • (ln � •

Verifica-se aqui, portanto, um fenórrleno por assim dizer op o sto ao que se obsernt a respeito do operador �: PW'a que wna dada série � Cn �n seja c01nergente não é necessário que a série � Cn zn tenha 'l'aio de convergência df/erente de O: basta qne ,isso aconte�'a para a série

c fL (z) = :!J lln! zlt. De resto, este facto não deve surpreender-nos depois

do que foi dito no n. o 35; tivemos ali ocasião de notar que o teorema de ABEL não subsiste para séries de potências de operadores definidos em espaços de BA)TACH complexos distintos do corpo K.

Observemos por outro lado que a função [J. (z) = � cn, zn é precisa-11.

mente o resultado da aplicação do operador Z (.�) = � cn,Sn à funçüo t(z}=l. Em particular, se a série �Cnzn=X(z) tem raio de eOllvergOncia distinto de O, podemos determJnar [lo (z) a partir de X. (z), em pregando a fórmula do cálculo operacional a trú s considerado:

1 Dura1lte a corrj'cç�ão das provas consegui resolyel' esta questão. A l'Cf-'posta Ó afirlllati\"a. Yl'jarn-se Nota.') e l'c('ttfica�(;C8, H).

FU�ÇÕES AXALÍTICAS E AXÁLI8E FUXCIOXAL

�

1 '. . O�) . 1 � d (1 (;,-1 \ f' (2) = �:",))�_ :3, ' (z) d), = 2 roi J Z (l.) d, T. � e l, di) d)

r I' o

1 � d [�-!J:; 1 ' .. :;. 1 �:� ---- -"--. J ." (),) ._- e i. dI. = -_ .. ---;. J e /. -::- v ().) ln , ')-, /. (l� ') -" ) I. ,

... JIt - k.J ....,., o .... ' .. C.- . ' l' r

101

que é precisamente a forma da antitransformação de LAPLACE obtitlu por SILVIA �L\RTIS-llIDDAU (I). Para passar de (J. para Z � puderá utilizar-se a transformaçlLO de LAPLACE

CI)

Z (z) ;,� -�J'. e-�- p. (t) dt . 'o'

o

Jla.� o símbolo Z (�) COll.'?eJTa um se/dido.. me811W quer ndo a Sfl'1C X (z),-= � CII Z'I é dice}'gente para todo a z=l=O - e é aqui) lJl'ecisamellte, que pw'ece abJ'irem-se Horas e amplos horizoJltes ao cálculo dos operado,'cs fineare,,?, Tratar-se-ia agora de aplicar a este domínio os resultados de BOIU':r., (I) sobre as séries divergentes e de introduzir aqui, ponTelltara, o uso do integral de STIELTJ��, estudando em particular a possibilidade ue utilizar neste campo as funçües impulsivas de ITEAVISIDI':. Tratar-se-ia, em suma, de fazer para o cúlculo dos operadores lineares qualquer coisa de semelhante ao que fize!'am DOETSCII o outros, em relação à teoria da tratlsform�l(;rLO de LAPLACE,

Porque é assim precisamente - ampliando os domínios de aplicabilidade com a introdução de entes ideais oportunamente criados·- {llle se real izam os progressos fundamentais em jlatemática.

§ 5. OPERADORES NÃO LINEARES 1

45. Operadores polinomiais. Sejam S, S* dois espaços ele B.\.XAClI complexos e F uma transformação unívoca de S sOure S*. Diz-se que F é um apel·ado,. polinomial d(� rrau n, quando transforma todo o polinómio do primeiro grau em �, de coefieientes em S (sendo l. a \'ariúvel complexa), num polin6mio de grau u em }., de cueficientes em S*; isto é, (lu<lnclo se telll

n

F (u + ). v) = lJ aI; ).k , com ak E S*, li C" I

quaisquer que sejam u, v ti S,

1 Neste'§ encontram-se expostos resultados que não me foi possível anunciar na Introuução.

102 J. SEllASTIÃO E SILV A

Diz-se, por outro lado, que F é um operador lwnwg(�neo de r/taU II, quando, quaisquer que sejam o vector U E S e o escalar )" se tem

Demonstra-se que todo o operador polinomial de grau n tl decolIlponível, e de um só mOllo, numa soma de operadores polinomiai:-; homogéneos de graus < n . l� fácil ver que os operadores lineares, tais como. os definimos no n. o 5, se identificam com os operadores polinomiais homog;éneos do prímeiro grau, segundo a actual definição.

Seja agora F (UI , U� � . . . , un) uma função àas n \'ari{L\Teis UI' U:!, . . . • U/I definida em S e de contradomínio contido em S*. Diz-se que F é um operador n vezes linear, quando é linear a respeito de cada uma das variáveis considerada indi\·idualmente. Fàcilmente He demonstra ti ue, dado um operador n vozes linear, F (UI , u� : . . . J u,,), a função j/ (u) =---

__ F (u, u, . . . ,u), que se obtém da primeira pondo u=ul=u;! c_-= . . . 0:-:-0 UII, é um operadur polinoIllial homogéneo de grau ii. ReCIprocamente demonstra-se q UEI todo o operador polinomial homogéneo de grau 11 , F (u), se pode obter a partir dum determinado operador II vezes linear (e até .'I/métrico), F* (u" Rz, . . . ,uu), pondo U cc:cUI-:=U;!=··· =U,. .

nonsiderelllus agora um espaço funcional analítico � [U] e s(',Ía S um espaço de B"·\�ACH eomplexo ou, mais gerabnente, um espaço eOlllpreendido nas extensi'ies llue fizemos nos S S anteriores. ];: fúeil \"e1', atenclen<lo aos resultados pl'oeedentes. (1 ue toda a fuuç['H) F (?I , ... , r?lI) li, vezes line�lr e COlltíllua 1, d(�f;Jlida em '6[(;] e de contradomíllio rOlltido em S} serú da forma

em ([ue 1\, 1':l' . . . ,I'u designam os fronteiras, de\'idamcnte orielltadas, de convenientes uomínios de hololllorfia ue SOl" ··' �n, o f ()'I , ... , III) Ullla função holomorfa no domínio (i! --- Ct e tal Ilue f (�I , ... ,III)

= F _;). _ ,�,' (:� __ , ... " 1. ') .

\/, - ·::1 A/l - Z/l/

1 Demonstra-se '1ue) se F for linear c continua a respeito de carla Ullla das variáveis separadamente, será, ta111hém contínua a respeito (io conjunto lla:3 Yal"iáYei�_ Isto em consequencia de UIll elássico teorema de IIARTOGs, que �e extende às funções de mais de uma variável complexa de contradomínio contido num espaç�o de B�\Nc\CH complexo: se a função f (À! , .. ', À,,) é analítica a respeito de cafla uma da., variáveis separadamente, sê··lo-á tambl;m a respeito do conjunto das vari<iscis"

}<'UXÇÕES AXALÍ'l'ICAS E A�ÁLISE FUSCIOXAL 103

Daqui se deduz; imediatamente UIlla expressZLO geral dos operadores polinomiais contínuos definidos em � l C] e de contradomínio em S.

46. Três conceitos de analiticidade 1. Continuemos a designar por S ,S* dois espaços de BAXACU complexos e por F (u) uma funçrto com o domínio em S e o contradoIll ínio em S *. (Os símbolos ). , I'r 1 i � , ' . , continuam a representar "ariáveis complexas). Nestas condiçües o conceito ele analiticidade pode ser introduzido pelo menos de três modos diversos, que resultam porém equinllentes no caso de S e S* serem espaços cartesianos.

1.U conceito. Diremus que a função F (u) é monoyénea em sentido lato (ou no sentido de GkrEAlJx), num ponto Uu do seu domínio de existência, quando� qualfluer que seja o vector v E S, existe sempre (I

Diremos, por o utro lado, que a fUnçtLO F (u) é analítica em .'wlltido lato no ponto uo, quando, para cada yalor de u situado lIuma eOll\'enientú vizinlHlI1(�a € de Uu e para cada v € S, existe uma sucessão de yectores ao, ai, . . . pertencentes a S*, tal que

(47) F (u -1- J. v r =-= ao ---f-- J, a I + . . . + ),u an -1- , . . ,

para I i·1 inferior n um conveniente número positivo �, dependente (le 11 e v .

�\. ec!uivalC'llcia entre estes dois conceitos de lllollogeneidade c �lJutliti cidade, quando referidos a conj untos abertos, torna-se manifesta, desde ljue se atenda a que o meslllo fado tmn lugar para as fun<:ões ele i. com o contradomínio em S *.

1)0 teorema de IIAHTous generalizl.Hlo (ver chalnada do n.O precedente) resulta imediatamente q ue, se o ( ) perador F é analítico em sentido lato no ponto uI), então F (UU+ÀI v1-+-,·· +),//. VIL) ser[t fUI1(:no analítica de ÀI , " ")'n no ponto (O , " ' , O), (luaisquer quP se.iam VI" '" VIL € S· Por outras pala\Tas: os operado"e;;; anaUticos em sentidu lafo t 1'l1ll:';.I()I'. mam (no domíl/io em que upel'((w) nn'iedades t,iUJaf'(J8 em ?·al'iedwle.'Ô flnaliticu8.

1 A redacção deste número foi influeIlciada pela leitura <le dois artigos de 1\1. ZOltN (I e II), nos quais se pode encontrar a deruonstra��ão ue grarlue parte dos resultados aqui indicados.

104 " J. SEBASTIAO E SILVA

Notemos agora que os coeficientes ao, ai , . " que figuram na fórmula (47) sào funções de li e de v. Podemos então eSCfO\'or) mais explicitamente:

(48) F(u + ÀV) = F(u) --l- ÃFI(u,v) + . . . -1-),llli\(u,v) + ...

Ora é possível demonstrar, com base no referido teorema ue I-L\ln'ous, que cada uma das fnnções F1 (u, v), F:j (u, v), . . . é ainda analítica (em sentido lato) a respeito de u, e que, por outro lado: FI (u, v) é linear a respeito de v, F2 (u, v) é quadrática (homogénea) a respeito de v, etc.

Convencionemos então escrever

(veS).

Ao operador linear 11'1/ (uo) , dependente de uo' é natural chamar a del'irada de F (u) eTn relaçao a u no pOllto uo •1 Continuando ti designar como no 11.° 27, por A (5,5*), a família de todas as trunsfurmaçl)es lineares de S sobre S*, com as definições de «som�l,»), «produto esealanl e ({limite» ali indicadas, é fácil ver que as precedentes (;onsidera�'ões se aplicam inteiramente ius funções de domínio em S e eontradomínio em A (S , S*), e que) nesta ordem de ideias, a derinlda FI (u) é ainda uma função de u analítica em sentido lato no ponto uo• Então, a deri\'ada FI/(u) de F/(u), ii qual chamaremos segnnda derirarla de F(u), serú uma transfornHl�rlO linear de S sobre ;\ (S, S*), dependente analltictlmente (em sentido lnto) da Y<uiá\'el u llO ponto un • E assim, pOf itHllll:�LO� seremos lentuos a definir den'ceu/a de ordem 11, F(II) (u) � da f'tW(,'LlO F (u). Ponhamos enEtO, :-lirnbMicamellte:

v:/I] =, (v, v , ... ) v) .

E f,lcil yer que, deste modo, F(Ii) (u) define um opera(lor 1/ "ezes linear, com o domínio em Sn e o contradomínio em S*; tendo-se

11'(11) (u) v[lt] "'-'-= i1 ! }\ (u , v) ,

em que FlI (u, v) é o coeficiente do termo geral em (48). E :lssiul poderemos escre\'er, mai� sugestinunen te,

para I v I <: E •

1 �ORN considera o operador linear F' (UI)) como derivada ue F (u) só no caso em que tal operador é contínuo [ZORN (II)].

FUNÇÕES ANALÍ'l'ICAS E ANÁLISE �'UNCIO�AL 105

Por outro lado é fácil prontr que se tem

A posar (1e pouco restritivo, este primeiro conceito de analiticidade é .lU rico em consequências. V árias propriedades das funções analíticas clássicas são-lhe generalizá,·eis. Mas o que o torna verdadeiramente interessante é a unicidade do prolongamento analítico 1 que, por sua yez, arrasta o princípio da conservação das propriedades analHica.'J:

Suponhamos que F (u) é unlxocamente dej�nida e analítica num domílIlO conf,l'O e (dJ{'j'[o D, e seja D* um. outro domínio conexo e aberto que inten;ecte D, �Yestas condições) não pode haver mais de uma junção F* (u), 1WIt:ocamente defún'da e analítica eHt D*, que coincl'da com F (u) subre o domínio D n D*.

Se uma tal função F* (u) existe, ela dir-se-á o prolongamento analifico de F ao domínio D*. Ao domínio aberto R constituído pela reunião de todos os domínios de S aos quais a funçiLO F é prolongável analiticamente (mediata ou imediatamente) é natural chamar o dondnio de regufaridade de F. ]�� claro que, extendida a R, a função F resultará WIU()}'111e ou pflll'{f'orme. rrer·se-tt deste modo a gelleralizaçüo do conceito weierstrassiano de. « funçüo analítica»).

I:: ainda de notar tlU8, em todas estas considerações, a topologia natural do espaço do BAXACH S) ií qual se referem as expressões «vizinhança de Uo», (domínio conexo e aberto», etc, pode ser substituída por ullla topologia fraca, baseada na seguinte defillição de «conjunto aherto » (segundo ZOl{�):

lJm subconjunto D do espaço S dir-se-á .finitamente aberto, quando, quaisquer que sejam 11 E D; VI' ... ,Vn E S, os valores de 01, . . . ,À/I) para os qunis se tem

f' I " b t 1 t ' Ku. orm.t\Ul UIll (OlllllllO a· er o ( o espaço car eSlano

2.° cOllccito, Diremos que a função F (u) é Jrwnogénea em sentido médio no ponto uu' quando, qualquer que seja a função analítica g (II) de contradomínio em S, tal que g (O) = O, existe sempre o

L' 1;' [ Uo + g (Ã) J-- F (uo) 1111 •

},-->o ),

1 \'eja-s(� A. E. TAYLOR (I e II).


Diremos fI ue a função F (u) é analítica em 8entido médio (ou NO seutido de F A�TAPPI��) no ponto uo' quando transforma as funções analíticas de ) , de contradomínio contido numa con,'eniente yizinhança de u{), em funções analítica de �, de contradomínio contido em 5*.

A equivalência entre tais conceitos de monogeneidade e de anulítici· dade, quando referidos a domínios abertos, é ainda irnetliuta,

]:� também fácil reconhecer que, sendo F (u) analítica em uo' os termos Fn(u,v) do desenvolvimento de F(u-t-v) são aillda fun<:(')es

analíticas, em sentido médio, tanto de u (em uo) como de v (em O). Por outro lado, torna·se fácil demontrar que, sendo F (u) analítica

em sentido médio num domínio D, e sendo g (�) uma fUll(:1lO analítica de I. com o contradomínio em D, virá

!\ F (g O�)) = FI (g (1)) " g' O.) , Daq ui a regra de derinição das funções compostas: Dados três espaços de BA�ACH comp{exos� S, S *, S**, e) por outro

lado)umafun�'ão u*=G(u), de contradomínio em S*, anatitica em seu· tido médio num domínio D de 5, e um.a fuw;ào u**=F (u*) de contradomhl"io em S**, aJlaUtica em sent-ido mérUo num domin/o D* � G (D) �

tm'-se·ú: !)u F (G (u)) = FI (G (u)) " G' (u)) para toelo o u € D .

Vê-se portanto que: o conceito de fllw:no (ll/alitica euz seI/tido mhllu (� o mai.>! amplo conceito para o qual snbsi.>!te o teorema da del't'cu(((O da,� fU//(,'ijes compostas,

Nestas considerações, a topologia do espaço de BAXACH S puLle ser substituida por uma outra mais fraca, baseada na seguinte defini<::�LO de «conjunto aberto»:

Um subronj unto D de S dir-se-ú anal'ttica mente aberto {I uaJHlo. ti uais� (luer (lue se.iam o \·ector u € D e a função analítica f(l,,·"·, 111) tal que f (O , O , .. " ,O) = u, os valores de (�1) " " , ,)n) para os quais se t81ll

f (i 1 , " , " , )n) e D , formam um domínio aberto de KIl,

Imediatamente se reconhece llue todo o domínio analltieamente alJerto é também finitamente aberto,

8.° conceito, Diremos que a função F (u) é uaa1itica em sentido l'(),.,· ü'ito (ou no sentido de FRÉCHE'l') no ponto uo, quaudo exista um ope· rador linear contínuo A, tal que

F (uo -t- v) = F (uo) + A v + R (v) ,

FllXÇÕES A�ALÍTICAS E A�ÁLISE FUNCIONAL 107

sendo H (v) um lntinitésimo de ordem s uperior à p rimeira em relação

a v. isto l\ Ullla funç:ão de v tal que Ivl-1 R(v)-O, com v-O. Illlcdiatnm811 te se reconhece que: ?nonogeneidade em sentido restl ito

l'mplt'ca íIIolwfjenúdtl'le em sfnticlo méd'io, que, pm' sua 'cez, impUca 1}/olloycneidade em sentido lato.

lTllla f'UIH,:ào lllonogénea em todos pontos dum domínio aberto dir

-so-,\ indiferentemente, 'nwuogénea) analítica ou holomorfa nesse dominio. Cm llotúyel re!'\ ultado, cuj a idea se en contra em E. I-IILLE (I)� é o

seguinte:

(}v1I(l/(;âo Jlecesi:;ária e sulic,tente para que uma função F (u)) anal itica em .>.;entido lato num domínio D, 1'esulte analítica em .�eHtido 1'e8tri'to Jle.�.'ie domi1lio, (j que seja localmente limitada em D, 'l ... ;to (5, limitada JiIIlJlct ('U /1/(')/ ienter /zillhança de cada ponto de D.

E m particular: lIImw.f/eneidade em sentido 1"esfrito 'implica con til/.uidade. Notemos agora que, se F (u) é analitica em sentido restrito num

domírrlo aherto D, elltrlO, para cada u e D, a derintda F' Cu) é um

aeterminaJo elemento do espa�o de BA�ACH complexo Ac (S, S*) (com as defiaiç()es dadas no n, o �7). Ora ó fácil demonstrar (1 ue, nesta ordem de ideas, a fnu(Jjo deJ'h.wda. F' (u) é ainda analit/ca, em sentido 1'e .. �t}'ito, //0 dOJilí nio D.

47. Aplicações dos resultados precedentes aos espaços funcionais analíticos, ()8 rorr eeitos e os resultados expostos no n.O precedente extendelll-se filcillllente ao cus o dos espaços que se podem exprimir como sumas de espaços de BA�ACH complexos.

TuI extellS�lO só n1lo é imed i ata para o conceito de analiticidutle em

sentitlo rpstrito: de" emos então precisar o que se enten de por «infinitésílllO de ordem superior iL primeira)). Considaremos do is espaços S, S� exprimí\'t�is como somas de espaços d.e BANACH co mplexos ,

S _�=c U Si, S* c- U S�; diremos que uma dada funÇrLO R (u) com o domi-i h

nio em S e o eoutru<IominÍo em S� é um infinitésimo de ordem :wpeJ'i(j)' /1 jHillleú·((. a re s peito de u, quando) para todo o espaço S'J. da família

iS,.!, �e ti\'er I tI 1--1 R (u) - O, para 1 u 1-+ O, sendo ° módulo de u

tOll1fulo em SI),.

Por outro lado, para generalizar a proposição final do 11.° precedente, bem corno as respectivas consequências, é ainda necessário preci sar o que He entende agora por «fun<;ão localmente limitada num domínio». Diremos que a função F (u) é localmente limitada num domínio D de S, q uaneIu, para todo o espaço SI). da família I Si I existir pelo

\

108 ..... J. SEBASTIAO E SILVA

mellOS um espaço S� da família l Sk I, a respeito do qual a funçt'w F (u) seja localmente limitada no domínio nnsu ..

Consideremos agora um espaço funcional analítico Õ [C J e seja S um espaço exprimh"el como soma de espaços de BA�ACll complexos. Se fôr F ('D) uma função de contradom[nio em S, hololl1orfa em sentido médio num domínio analíticmnente aberto D de � [C], ter-se-�I

F (ID) = � � F(n) ('Xl ) . (m ,- (;) )[nJ, T � �l! . Ll T , LI ' 1/ ""o I •

para todo o % E D e todo o 9 pertencente a uma conyeniente vizinhança

de �u' lIas, em virtude do que foi estabelecido no n. o precedente, o operador n ljezes linear F(n) (9[1) (dependente de 70 e de n) serú mn operar/ar anrditico,. e portanto continuo, o que nos perlm'til'ó eSCl'Erel'

1 '. j'9 li�(II) (m ) . ,I, - J . "J II, ('I ' .. I) f ( ", I . .. I) (7' . . . (I' tu "i' (2í.iy� l' 'I' ,lin 1/ 7'll' "J , , "I! li! /1,1/ �

para. 'f E � [C]) n =� O , 1 , . . . ;

tendo-se, conforme o que foi dito no n. o 45,

rl(�I}.Ài' . , . ,iu) =cc li"�I,I� . . . ,�,,(91')(� _�'" , " ' , _ _ 1:-_), II '-I III '-11 ,

e portanto (n. o 4G) : I

f (m )1 . . . I) �- [- ali F (mo -1- .� � -j- . . . _1 � -p'/! .�,' )'.']. J! 1'0' I' , II -- T _

_ dP'1 . . , a{Jn )'1 '�I "'n .... ,/ I _ O

l� tt função fI! (0/0'),1' . . . ,i/�) que FA�TAPPIl�, adoptando um ponto de vista análogo ao de VOLTERRA 1, chama derinula de orLlem 7J da funçiíoF(�) em CPo (no caso S=K).

Supondo que 5 é um espaço de llANACH complexo) surge-nos agora um resultado imprevisto: o opcl'adm' F d contínuo e, poJ'fanto. ullalitico JlO sentido de 1�-'Rl:�CHET !

Em particular: fOelOR 08 funcionai::; anaUtir�o8 de F'AXTAPPIi·� s{ro continuas e) portanto) analUicos J/O sent/do de FH��CHET.

1�� este facto uma cOnse(luência do seguinte teorema de ZOlD,'" (II) : J.S'ejam S, 5'" dois espaços de BA�ÂCH complexos e F (u) uma fun�'((o de

cuntradondnio em 5*) anaUtica em sentido lato num domllliu D de S. J.lestas condi�'õe.'J, se a derivada F' (u) for um operador continuo jJw'a

1 VOL'l'ERRA (I), pp, 22-26; VOLTERRA et PÉRER (I), pp. 70-73.

FUNÇÕES A�ALÍTICAS E ANÁLISE FU�CIONAL 109

todos os ponto,-; u dmn conjunto finitaJuente abel'fo E contido em D, a fun�.;'(jo F (u) sel'à monogénea no serltido de FRI::CIlET em cada ponto d(J E.

Ora, tornando à função F (9) fiue estávamos a considerar, temos que, sendo a derivada FI (1) um operador linear analítico, e portanto contínuo, a função F (rp) não pode deixar de ser. contínua no caso ele S ser um espaço de n.'��ACIl, poisF (�) é analítica sobre cada um dos espaços de BAXACIl de que 15 [CJ é a soma.

Hesta-nos estudar o caso em que S é, mais geralmente, uma soma de infinitos espaços de BA�Acn complexos. A falta de tempo obriga-me a deixar este p roblem a em suspenso.

Uma outra questão interessante a estudar seria a de saber se a topologia introduzida em 15 [C] pelo conceito de «conjunto analHicamente aberto) é ou não equivalente à topologia introduzida pelo operador Lim.

48. Equações diferenciais em espaços abstractos 1. O clós�ico teorema de existência relativo aos sistemas de equações diferenciais ordinárias pode hoje ser formulado em termos de grande amplitude, graças aos recursos da Análise geral. Uma das possíveis extensões é a,. seguinte:

Consideremos um espaço de BA�ACH S, real ou complexo, e uma funç.ho <P (u , t), de contradomínio em S, sendo u um elemento variitvel de S e t uma variável real. Suponhamos que esta função é contínua num domínio D (do espaço SxK) definido pelas condições lu-uol<s, It--tol<o, e que, além disso, verifica neste domínio a condição lipschitziana

I cp (u , t) - <l> (li *, t) I < ÀII u � u * I (�I é uma constante positi,'a; (u, t) e (u*, t) sãu tomados arbitràriamente sobre SxK). J.Vestas condições, a equação

(49) du

-_ .. = <l> (li , t) dt

admite uma (enma só)solu�'ào u=f(t) tal que: 1) f(to)=uo; 2) afunção f (t) é definida para I t - to I < �, em que e designa o menor dos números a: s/p., sendo p. um limite imperial' de I <l> (u , t) I sob1'e D.

A demonstraç'iw pode fazer-se, como no caso clássico, pelo método da� aproximações sllcessints de PICARD. A equação d�ferel1cial (49),

1 Este Ilúmero tem únicamentc por fim dar uma ideia <lo intl!l'csse das nO�'ões precedentes, A falta de tempo impediu-me de reunir uma bibliografia bastante actualizada sobre este aôsunto_ Entretanto indicarei: MOOlm (lI) ; lIILDBBUANDl' (J); HlJ.D}!/)PtANDl' aml GHAVES (I); GRAVES (I e II) ; Hil.RT (1).

110 � J. �EBASTIAO E SILVA

com a condição inicial u (to)=Ul)' é equivalente à eqlIa(JlO /Hferp'al l

(50) U (t) = 110 + .f cp [u ('r) , T J dT , to

o que sugere imediatamente a idea de tomar como prlTl1Blra aproximação de u a seguinte fun<:ão de t

t UI = ft (t) =0 Uo + . .f <f>(uo, T)d-:,

e, dum modo geral, t

Un = fn(t) = Uu + .r <J> [fn-l (-=-), T J d,,:. 1(1

Então, torna-se fácil demonstrar que a sucessão de funç(JPs fi (t) � LU),'" converge un{tormemente no intervalo I t-tl'l<� para uma função u= f(t) que verifica (50) e portanto (49) . . Em seguida, consogue provar-se que f (t) é a única solução possível de (4D) definida no referido intervalo e tal que f (tt\)=u(),

Se S é o espaço cartesiano Rn ou Kn recal-se no caso clússieo � a e(1 uaç�io (-1-9) é a traduçrlO vectorial dum sistema de equa<:()cs diferellciais ordinárias. Note-se como, mesmo neste caso, o no\'o ponto de vista apresenta vantagem sobre o clássico, pela condensação dc sitllholismo que permite.

Se S é o espaço cOllstituido pelas funções complexas continuas num interntlo L a, b], as equações íntegro-diferenciais considerados no n.o i):? S�lO exemplos de equações diferenciais do tipo (49). ..:\. exisWneia o a unicidade da solução de tais equações é já, portanto, prewium811te garantida pelo actual teorema.

Observemos ainda que a solução f (t) de (49) depende dos dados iniciais to, Uo (bem como de quaisquer parâmetros que a equaçilo purY(�ntura contenha). Pensando (" uJ variftveis, podemos eSCrEwrr mais expllcitamente u= f (t , to, uo)' Suponhamos então o donünio D <lefi-nido pelas relações I t-- � I < a , I u·-ü.: 1< ê, sendo 4, 11,-, constantes. Nestas condiç.ões, demonstra-se que f (t, to, utI) é fnngào contíJllla de t, to � "0, no domínio I t·-to 1< e/2, I to-� I < e/2, Ivo-u� 1<.::: t/2 .

Finalmente, suponhamos que t é a variável complexa (sendo S um espaço de BA�ACH complexo) e (:ue cp (u, t), além de verificar as condições já indicadas, é função ana'ítica de u, t no domínio D. Então, todas as conclusões precedentes subsistem, com o segu:nte eomplemento: a solução f (t , tn, uu) é funçào analit-ica de t. t'J 1 UI) no dOllllnlo ! t - (\ I < el'2, I too_to I < �/'2, I Uo - llu I < :/2 .

FU�ÇÕES AXALÍTICA8 l<� AXÁLISE }�U�CIONAl.. 111

Seria agora interessante extender· estes resultados aos espaços funcionais analíticog, tendo em mira, sobretudo, estübeleeer teoremas de existência para as equações às deriyadas parciais. lUas tal extensão afigura-se-me particularmente difícil.

lTm cmiO importante a examinar é ° das eqmu;(')f!s lineares. lt fácil recollheeer que, .-;e a equação (49) é linear homogénea) 'isto é, HP a função <fJ (u � t) é linear a respeito de u, tambéln a solu(;ào de (4U) .o;erá 1 illCllI' a re�peito da constante de inte!Jra�·ifo,. uo• jlas precisamente: Dada uma equ(l(;ilO da forma

(51) du A') ---- = U u, dt

em que A (t) representa lun operadO}' linear contínuoJ função continua de t no il/ferralo It--to!<o, a solu�'r1o de (51) será dafarma

(52) mn (file B (t ,fo) representa um operador linear continuo, fun�'ão contílU((l. - -de t, tu no domínio 1 l-to 1<0/2,1 to - to l<àj2, e que ,..;e redu.:; a 1 jJaNt t·--==t • ()

X () caso de t ser a variúvel complexa, de\'e introduzir-se a hipótese �nplementar de A (t) ser funçrlO analítica de- t. EntttO, podemos ainda afirmar que 13 (t, l(,) é flln(jào 'analitica de t) onde o fO}' A (t).

O método das aproximações sucessivas dá

(;)3) com

t t Bj (t , to) = f A (-r) (lT ; Bn (t, to) == .{Bn-l (":' , tI)) do;.

to lo

:No caso de S ser o espaço cartesiano Kn, a equação (ul) equivale a. um sistema de eq ua��ões diferenciais lineares homogéneas de coeficientes variáveis. O processo agora obtido para a sua resolução não é mais do que o método de P.ÇA�o-llAKER [Veja-se, por exemplo, SANSOXg (I), pp. 67 -82J. Em 1887 observava VOLTERRA (III) :

Il ea/colo rJ(fferenziale e 'tntegrale relativo alle sOJi;titnzioni [no sentido de «operadores lineares»] ci fornisce la teoria genel'ale de1le eqllazioni d{�'f'e1'eJlziali lineari.

�fas não se trata apenas de restabelecer, por via mais breve, resultados já conhecidos: a Análise geral permite hoje extender es�es resultados a domínios vastíssimos, que compreendem equações integro-

1 12 '" J . SEBASTIAO E SILV A

-diferenciais , s istemas de infinitas equações diferenciai s or d i n ú r i a s , etc . Sistemas des te último t i p o apresen tam-se, por exem p l o , em q uestões importantes da teoria dos processos esto cásticos e da teor ia da s pert u rbações da mecânica quântica.

Observemos que, trocan do os papeis de t e to , em (ü2) , s e obtem Uo = 13 (to , t) u , e portan to :

wlas geralm ente ain da, tem-se

Por o utro lado, omit in do para brevj dade to e m B ( t , to) , te m - s e . atenden d o a (51) e a (52) : B' (t) = A (t) . B (i) , ou sej a :

A ( t) = B ' (t) . [B (t)J-l .

Exprimirem os este último facto dizendo que A ( t) é a derirada l0!larítm ica esqu erda de n (t) . [Confronte-se com VOLTEIUU (I) , p p . HG- -12J .

Ao conceito de der ivação logarítmica co rres p o n de , natur almen te , u m c o n ceito de integra�ão logarítmica . Pon do

rt < t < < t - - - - t 1 L o > 1 > . . . > n -- � ,

cham aremos integral logarítmico esq uerdo de A ( t ) e ntJ'l� to e t , e re prot

sentaremos por Q A ( t) , o lim ite para que ten de o produto to

quando ma.:Ci I t i+ 1 - td -+ O . Anàlogamente se define a integnH;üo logarítmica ao longo duma lin h a , quan do t é a variáyel complexa. Posto isto , é fácil ver que se tem

t A (t , to) = n A (t) .

to

F: s te resultado é precisamente o mesmo a q ue se chega. , apl ican d o a (51 ) o méto d o de integração pa8so-por-pas8o , de CA UCHY .

}Iu itas proposiçees da Análise clássica s e extendem a e s te s c o nce ito s de d eriyada e de i n tegral , e cada um a delas se trad uz n u m a pr o p o s i�ão da teoria das equações d i ferenciais l ineares . }1j m p a r t i c u lar � e o m o obsen'a VOLTERRA , a extensão da teoria do s resíd uo s for n e c e o s rmmltados de F UCHS sobre as equações d i ferenc ia is lineares , no c a s o clú ss lco

FUNÇÕE S ANALÍTICAS E ANÁLISE FUNCIONA L 1 1 3

N o caso em que os o peradores A (t) , para os diferente s valore s admis sivei s t , são perm utáveis entre si do is a dois, tem- se, aten dendo ao cálculo operacional atrás estabelecido

I t f A (T) dT

12 A (t) = e 'o lo

em p articular , sen do A (t) constante [.A .. (t) - A J , obtém- se, para ntlor daquela expressão, eU-to) A , res u ltado que já encontrám o s n o s exem plos d o n . O 32 .

Cons ideremo s agora eqnações dlferenciais lineares nào necessàriam e n t� homogéneas, i s to é, equações do ti po

d u ) ( . -- = y (t + A t) u , d t

sendo y ( t) um a função de con tradomínio em S , continua n o intervalo I t - to l < d , e A (t) u m a funç?io de contra domínio em Ac (S) , continua n o mesmo intervalo . O méto do da v ariação da constante arbitrár ia , dá-nos, p ara s olução geral de (54) :

u = y* (t) -+- B (t) uo , com

I t B ( t) = il A ( t) ,

to ,* (t) = n (t) .r U-1 (-:-) Y (T) dT .

lo

Mais geralmente a inda , co n s iderem o s aq uelas equações do t i po (-t'J)} em que , às hipóteses inici almen te indicadas, se j unta a de 4> (u , t) ser anal í t i ca a respeito ele u (p o dend o não o ser a respeito de t) :

iVestas condi�)ões, a solução de (49) será analítica a respeito de Uo :

t A.'S1e a lém disso for <Po (t)== O , t er-se-á tatnhém \fo (t)- O e \fI (t)-il <PI ( t) ,

• to o u seJ a :

De resto , o méto do geral da Tariaç{io das constantes arbitrárias, tal c o m o se u s a em "Mecânica celeste , p o de extender-se ao caso presen te : Se a s olução de u� = cp (u , t) é u = \f (uo , t) , a s olução de urna o utra

1 1 4 J . SEBA STIÃO E SILVA

e<J uaçltO ui = <P (u , t) poderá obter-se (quando exí sta sob as m e s m as c o n dições) determ i n a n do U o e m fun<;ào de t , de m od o que qr (uo , t ) verifiq u e esta segunda equação . Ter-se- á :

'Vi ( ) I Hf/ ( ) d u. , Ih [ur ( l t uo ' t i- 'I' U uI) ' t . d t = 'J" T uo , t) , t J ,

ou seJ a) p o ndo <P - <P = R :

Se a sol u<;ão genll desta últim a equação é UI) co= r ( u I) , t) , a solução geral da segun d a será U =--= qr [r (uu , t) , t] •

o alcance prút i co deste resultad o torna-se Y is Í \'el s e aten dermos a que a tra l l �forma�'âo <P -- qr é continua (e a té anal i t ica) relat iramc ll te fI cO I l 'cerqp uc ia u u ff'orme .

l�m o utro resul tado d i gno de n o ta é o seguin te : I.t;",cl'enmdo sob a forma u =:: 'f ( t , to) . Uo a i30 l l l �;,aO de (49), condi�?fO l I e cc.'i ... á ria e suficien te p aI'a q u e a8 t}'am�fo1"ma�.:ne.5 qr (t , to) fOJ ' 1Jlem u m [/l'UpO con t i l / uo a u m parâmetro ( comutativo) é q u e o serJundo me mbro de (4�)) 8eja do tipo � ( t) . cp (u) , ,'1e l ldo � ( t) u lI l a fuw;ào escalw' de t . Podem o.5 e u M o e s c rever qr (t , to) sob a forma

l qr ( t , to) = H ( .r r ( t) dt) .

I "

Pro s s egu i n d o em sen t i d o crescente de generali d tHI(� � dey iamo::; agora estuda r equa (:ões do t ipo

d v - = cp (u , v) , d u

s e n do u � v pIe m e n t o s n u i úse i s de do i s es paç o s de n A�ACl l , respect i ntmente S , S * , e (u ) v) u m a fu n(,'ão de do mín i o em S x S* e de c on tra

do m in i o em Ac (S : S " ) . E n tram nesta catego ria as c lúss icas equações às diferen c i a i s tota is e a s eq uações �lS der ivadas func iona is estudadas p or P.,\ UL L}: v y (1 ) .

A s u a res olu(,'ã o , n o c a s o em q u e sejam ver i fi cad a s eond i ç õ es de í n tegrab i lida d e , pode sem pre reduz. ir -se �l re s o l u(,'ão de eq uaç<'les do t i po (-1-9) . Tod.w ia , a neces s i d a de de pór term o a o p resente trabalh o i m pede- m e de tratar aq u i desen v o lv i d a m e n te deste a s s u n to .

X a s m ã o s d e E . n. l\foO Im , T . H. lIILDE B IL \X DT e o utros , a Anúl i se geral te m-se re"el a d o fecun da neste cam p o .

Us hor izonte s q u e s e abrem são imen s o s .

FU�ÇÕES ANALÍTICA S li: ANÁLISE FUNCIONAL

N OTAS E RECT I F ICACÕES . .

l 1 f)

A) A t r av (; s de todo o trab a lho , i n cl u íd a a Introd ução , a locu\' 50 «prod uto e s c a l ar » d e ve s e r f'ubst i t l1 í do p or es ta o u tr a : Rpro d ut o por escal ares » .

B) ::\a I n trodução afirmei q u e a extensão d o cálcu lo op eracio n al al j c O l l s iderad a ( � dev ida a LORCH c a DENFORD . E m ri gor, deveria ter-me l imitado ao s egundo nome. I� p on� m d e s al ienta r que a te o ria d as fun ç�ões an al í ti c as em an ói s n o r m ad os , descm- o l vid a po r LO ltCU , está es treitame n te relaci o n ada com o r(�ferid o cálcu l o ope · r aci o n al � c o m o é ob servado pelo própri o LORCH e m (1lI) , pág 4 55.

C) � a primeira ch am a , l a d a p ág. 1 1 , i n d iq uei u m co nj u nto d e d u as eO l l rli �' ões (V�l" , V:t '" ) que s ubstitui a co ndição V�l da ax i omática d o s e;:;p aç'os vec t ori ai s . Deve n o tar- se ! ' u tre tan to que , e m v e r, d e V:1 , b as taria to m ar a co ndi \� :Io cc O . U = 0 · v , quai srrucl' que sej arn u � v e S » o u a co l l (1 i \�ão (C u + x = v + y --+ X = y l> _ It esta ú l ti Jl 1 3 a m ai s usad a.

j)) .\ 5 p rop t'ieil ades d o op erad or Li m i n dicad as n a p ág. 11 , é ncce::is ,i r i o él cn' '; -c c ntar a s e g u i n t e :

jj m a" = (1, ;mp? iClL Lim (n" f) - 'o I I f . 11

E) .\ cleCin i\' à o ele fU J/ (j�ilu anal/l/r 'a de nw i;.; dr: uma l 'a 1 ' 1/ í I"(�I d ar ia n o 1 1 . <1 1 7 , d e v e s e r subst i tuida pel a segu i n te :

C rn a fl1n �· ão f (;:; I , " ' , r.: , , ) diz-s e analítica n ll m ponto J ) I ' ()J ) l ' io (a i " ' " al i ) e le �! " , quando admite um d esen v o l vimento e m série m ú l tip l a d e potências d e '" I - a i , " ' , �II - a, , ' n u m a vizinhan\�a d e (a� , " . , (lll) ; e diz- s e rtn alítir'a n u m l )() /do imJ) róprio� q u and o , t r a n s fo l' rn a n (l o e s te n u m p o n to própri o p o r m e i o d e s u b s ti tlli ç õ l� s ( lo ti po s ,:" = 1 /:-:.:, ,

a ftl T \ �· ã o r e s u lta an al í ti c a a r e � p eito d a ::; n o v as variáveis , n o pon to tr ansfo r m ad o . Hccol' rl e-se porém q ue, segun d o o teo r e m a d e II.lRTOGSj s e a fU f 1 �' ão f (::: 1 ) _ . . : ,: , , ) l'�

anal ítica a respeito d e c a d a u m a d as v ariáveis n u m do m í n io D d e �� , j t' ta mh (� 11l a n al í tica a respeito d o conjunto das vari áveis n o d o m í nio () .

F) O teor e m a citado e n tre pare n tllse no fim da p. 79 e prin c í p i o da p . 80 fo i d ad o p o r S . l\L-\. wIt, Segund o refere LORCH e m (I I) ; p . 41 7 .

(; ) A condir;ào 3 ) do n O 36 (p iíg. 82) deve s e r substi tu ída p e l a s e g ui n te : ( S e um a d ad a sucessão (u . . ) c o nverge n u m e t'> p a�' o S , p a r a u m e l em e l l to v , t a m

b é m C O Il\' e l' p:c p ar a ê s s e e l e m e n t o e m (lualquer o utro esp a�'o Si; ( l a mes m a fam í lia que e o n te n h a S i» '

Ii ) A f] ues tão p o sta n o n .O 44 res o l ve s e , notaJ) ( lo (lu e, com a adjun \' ã o d e �\ ao:; e n tes pri m i ti vos d o e � p a)' o fun cio n al a n a l i t.ico c O t l sj d erado , s e to rn a e xpri m í v e l u m ? nova propri eda(l e d a base (), __ ;:) - I . Tem- s e , com efei to :

rT'. l" (, )- 1 ( - )- 1 + ' - 1 .... ' ). �:; A - ,'; = - I, - ,":, A .


Sendo F uma das transformações em causa e pondo Fz p. - ;::)-1 = 6 (I, , ,:;) ,

F: (1)=1-" (z), virá: ;DI. .J;: 6 (l. ,z) = - 6 (À, z) + i,-1 p. (z) ,

.

(10nde, pondo T:;, �L,=B e recordando quanto foi dito no n.O 41:

d j:' p. (�) (J (I, ,z) = (1 + B)-I [1,-111, (z)] = - ---,.. d� .

()z. À - (z--,,) o

Mas esta não é mais do que a função indicatriz do operador F dado pela fórmula

� � J � F(j) = -J 11. (�) If (z - �) d� = - J 11. (z -�) If (�) d� . . ()z • ()z t • o o

Fica assim resolvida pela afirmativa a questão posta.

1) É de notar como o conceito de fun<;ão analítica em anéis de RAXACII eomplexos (segundo Lomm) se filia 110 conceito ele analiticidade à FRl�CHE'1', impondo à derivada f' (zol a condição de se poder identificar eom um elemento a do anel A considerado, segundo a fórmula

f' (zu) Z = a· z ,

sendo a· z o produto de a por z em A.


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R É S U M É

L'obj e t principal de ce travail est de donner une nouvelle systématisation à la th éori e des opérations S U l' des fonctions analytiques, en utilisant les concepts et les métb odes de l'Analy se généraIe.

Dan::> l'Introeluctio n n ous faisons une breve histoire des recherches développées d ans ce domaine (surtout de celles de M. F ANTAPPIE) et nous dressons le plan du travail.

Le § 1 a pour but ele fournir au Iecteur peu familiarisé avec l'A nal:-se générale eles ren seignements qui lui seron t indispensables pour comprendre ce tra vai l .

Dans le § 2 nous eléfinissons un nouveau concept d'esp ace fonctionnel an alytique et nous faisons une pl'emiere étude des opérateurs linéaires définis dans ces espaces. Désignons par �J le plan- sphere et soit C un sous-ensemble de �� , fermé, non vide et distinct de Q . It tant données deux fonctions j (z) , j* (z» ) holo m orphes dans des dom2ines ouverts, D , D* J contenant C J nous disons que f et .1* définissen t la même jonction analytique liée h l'ensemble C , si, et seulement si, iI existe au moins une troisieme fo nction j *'x" holomorphe dans un domaine ouvert D** contenant C , dont les fonctions /, j* soient des prolongements . Cela posé, I I O US dési gnons p ar SiJ [CJ : 1) la famille de toutes les fonctions an alytiques liées à l'ensemble C , si cet ensemble cst borné ; 2) la famille des fon ctions an alytiques liées à l'ensemble C , qui s'annulent pour z = oo , si l'ensemble C contient le p oint 00 .

D ans l 'ensemble SiJ [C] on défi nit, d'une faço n tout à fait naturelle, som1ne et p1'o

dnit de deux étéments et p1'oduü cl'un élément par un nombre cOlnplexe. E n outre, on peut y int1'ocluire une notion de limite, conformément à laquelle l'opération � de déri vation et les opérations algébriques fondamental es (addition et multiplication) deviennent continues . Nous disons qu'une suite (!fll) d'éléments de SiJ [CJ converge vers un é Iément !f de 'õ [CJ , et nous écrivons rp = Lim rpl\ ' lorsqu'il existe au moins

n

un domaine o uvert D , contenant C , sur lequel la suite de fonctions !fo (z) , !f I (z) , .. .

con verge uniformément vo1's l a fonctio n tf (z) . · (La continuité de l'opérateur � est une conséquence irn méeliatc el l1 théoreme de '\Veierstrass concernan t les suites de fonctions holomorphes, uniformément convergentes dans un domaine) . A vec ces notions-I à ele « somme», «(prodl1 i t par scaIaires» et «(limite», l'ensemble SiJ [CJ devient un espace (L) vectorieI complexe, que n ous appelons' l'espace jonctionnel analytiq'ue SiJ [CJ .

A pres cel a, nous nous posons le probleme suivallt : Soit S 'Un espace (L) vectoriel complexe quelconq'Ue ; déte1'miner toutes les t1'ansfonnations linéai1'es continues de SiJ [CJ sur S .

Pour tâch er de résoudre ce probleme, nous raisonnons de l a m aniere suivante : Soit !f un élément arbitraire de SiJ [C] . On peut alors trouver un domaine fermé

D de holornorphie de !f , dont l'intérieur contienne C et dont la frontiere, r, soit formée d'un n ombre fini de courbes simples rectifiable� . Dans ces conc1itions, l a formule i nt8grale d e CAUCHY nous donne

[lJ !f (z) = -. -- clÃ ,

1

J'P (A)

2'ITZ À - Z r

p our z intérieur à D ,

l a courbe r étan t parcourue de façon à l aisser à gauche les points de C . Mais, en

122 J . SEBASTIÃO E SILVA

v ertu d 'un théoreme de RUNGE, la convel'gence exprim(�e par [ 1 j est uniforme, relativement à z , dans tou t u o rnaine fermé D* intérieur à D . II e n déeou l e q ue, d a n � l 'esp ace � lC] , l ' é lement 9 e s t exprimable c o m m e limite d e cer tai n es s u i tes de comb il l a /'sons li néaires ( le ve eteurs de la forme (À -Z)- I , J, étant U11 é l r" me n t qud con q ue dr ' �� - C (ensemble c o m plémen tail'c d e C) , ce que n o us p O U VO I l S tl 'ad u i r e e11 d i :'. a n t q ue ces v ecteurs formc n t u n e hase d e l ' esp ace W [C] .

Alo1's , s i l 'on s e d o n ne u n e tl'ansfo n n ation ri1l(:u ire ('on ti ll 1 re F, q u e l e o l l qlH', (l e l ' espace � [C ] S U l' I 'es p ace S , OH au ra , -, (I 1 f� cp (À) _ � l' Q - � li - - - - --. ri t.

. ') ' --.,j 1t l . A - ,:; / r

t 'est-à-dire, F ser a p erm utab l e a v ec l e symhol e d ' i nt(� gration . ( 1 1 v a s a n s d i re que l a secomle i n té gra le est rappol'tée ;1 l a ll o ti o n d e l i m i to dél'inie daus S) .

O Ls e r v o n s m ai n te n ant (lue) en pronant À p O Ul' seule v al'i ab lc i n d l'� p c l l d a n te , 1 ' 0 :(pl'€SS i O ll (), - Z) - I rep l'ésen te u n e fO l l ctiol l d e ), d éfi n ie dans lo d O l ll ai n e �J - C c t d o n t. I es v aleurs sont é l l� m e n ts de 7Ii [C] . Dés i gn o n s par h (),) cet te ! 'o n c t i o I l v eetori t�l le et p o so n s f ().) = F [h (Ã) ] --= F: (), - z)-! . I I est évid e n t que f (l.) est un( fO Il c tio l l de i. dMinie e n core d a n s �! - C et dont le eon tl'edo rn ai l l e Ci't conten u d an s S . Cel a p o s(: , n ous pou v o n :" t'� crire [2] 1 •

F? = 2 .. i I cp (I.) f (i. ) r i) • .

ti r Ce l'és ul tat - nous m O l l tl'e que ! ' (ll lél 'a feu r F res te cmnplCtemen t défin i j ICU' la d01l1zée

de /a jondion f (À) dal/R laq /lelfe cst tra m;fimnée JHII' F hL {; ( 1 .�e h (),) de l 'esJ)(! ('e jouction1lel analyti.'lue � [C'] . Xous JiSODS alo1's que f (À) est l a fonl'lioll /n di(' ( ( t l' /( ,c de l 'op (\ratc u r F.

M ai s n o tre probleme n' est p as C l l core c�mplt�tcment résolu. Maintenan t, n o u s devo ll s rép ondre à la questio n s u i v an te : E tan t do n n (�e u n e t'o n c tion f (j, ) 1 de l a v al'i a b l e complexe ). , do n t les v a l e ur� soien t é léments d e S , à queI le:; e o n d i ti ol ls

doi t satisfairc ce tte fo ncti.m , p o ur C] u ' i l e xiste U Il transform ation l inüaro con til lue F (de � [C] sur S) don t f U,) soit la fon cti on i ndic atrice ?

Paul' l'ésoudre cette quo,tio n, J IO I I S de l,'mUi che/'Gher, parrni 1eB j)}·op r iét6.; de la fonctiou h ( I) qui pen l 'ent se formuler - au moyen des nr, tlons l lr inút/ l'e8 de ['espace W [C] ( cc o,ddition>l , connltiplicatlons scalaires» et << operateur l, im o ) , celles (/" 1 SOJl t ('lm;.:e I Técs par toutes ies tran.<;format/ons line'aires con tinues de � [C] sar S ,

0 1', on con s tate que l a fonction h (À) jouit d es propriétés suiv a n tes : a) e l le f s t univoquement défi nie dans le domaine �! - C ; b) autour de tout poin t pl'opre ;" 0 de Q - C , el le adtnet l o (Mvel oppemel l t :

II h (À) = Lim � (À - Ào) " Xk ,

" " �u

1 "/." (z) = ( - 1 ) 1r ( , _ ;0) '; ;- 1 ; AI) .-

r) s i l 'ensemble C est borné, elIe admet, au to ur du point Ào =� oo , l u c1 é \' e l o p p e m e n t : II

h (À) = Lim � À--'; �ii ' 1/ ((=1

a,! e c r (z) - � /;- I �/.. ';.J === "'" .

Ces troi s condi tions peuvent s 'exprimer ensembJe en disant que h (À) est holo1norphe d an s le domaine �� - C et qu'el le s'an nule p ar À = 00 , si C e s t horné.

FlJ �ÇÕES ANALÍTICAS E ANÁLISE FU�CIONAL 1 23

l rau tre p art, i l e s t aisé de voir que ces propriétés sont rcspectées par n ' importe q uel I e tra n s ro r m atio n l in (; aire continue de W [C] sur 5 . D on c :

POW ' q u ' /l e.âsfe ·un e transforrnation Unéaire eontinue F' de '6 [C] S U l" 5 , teUe que f (), ) � F [h (i, ) ] , il laut que la fOl/elion f ( I,) 80it holomol'phe chw s 1e dam a ln e �� - C e t qu'elle ., 'anl1 1de JJO !U ' .-: = 00 , si C est borné.

Mai s n ous ( l c\'o n s encore nous demandeI' si c e s c o n d itiolls son t, n O Il s e u l cm en t l lécL� s s al r e s , m a i s auss i s uffisant�s . Pour répondre à cette derniere question , n o u s s omme:'i o b l i gt; s d e restrei ndl'c n o s hypotheses S U l' l 'espace 5 . D 'aborrl, nous 8UppOson ..; q ue 5 ('s t 1 / 1 1 eSJiaee de BANACII eomple:l'c. Oll sai t d ésorm ais que to u tes les propo siti o ns t'o l lclarn e l l ta les <1e l a théorie cI assique des fonctions analy tiques (ne c o n e e r_ n an t p as l e p ro d u i t ( le d c ux fonctions) p euvent s 'é tenn re au c a s d es fo ncti o n s ( l ' u r te variab le eo rn p l ex e fl o n t l e contre d o m aine est co n tenu dans un esp ace de BANA<J!I co rnp l e x ( � , ( � ' t' s t p l'é,cif;c'�m e n t c e fai t qui nous pCl'rn et d 'étab lir, d a n s c c cas , q u e les c o n d i tio n s ci-d e s s u s 6non cées sont s u ffi s an tes . Nous a tam; done réus.'!i iI ctt) 'af·téri.>;er ( ' (J/)/ j ,!i' fe l l / cnl, riu 1 / 8 ('(' ( ' (1 S , le.s ttansfol'wo.tion8 lil1 éaires eon tlnues de � [C] S U1' S : ce so n l to / ( tes 11' . .." t ! '(J I I sjiJ'nnations F I :OlJlprises dans l 'expretNdon [2] , oil cr dé.�' i[jlle o u, d/rJ/Jlci/. 1 I 'a rtl l l,te de � [C] e t f ( t.) ()sl u I/ e fonction arhitraire de I" � a u cO ll tredo IJwJrw ('mden l l da l / 8 S , holomorlihe dan.'i le domaine �� - C ct ,� 'annu[a n t pO li r ), = 00 , s i (� f's t 1101 '11(J ; 0 1 1 a (/ 'Ili/te l l /'s f (À) = F: (À _Z)- I .

�\r ai s ee l' (; su ltat reste e n core v al ab le pour des esp aces pIus gén {�rau x q u e c e u x d e HANACH. C'o ns i ch" ron s , p ar exe mp l e, l 'esp ace cOIlstitu(� par toutes les fo nction s c o rn p l e x e s d ' u n e \ 'ariab l e t d t'din ies d a n s U Il ensembl e E qu e l c o n que, a v c c l e s d é l'i n i ti o n s u s uel Ies d e somme, Fl'odu it l la1 ' ,w!alaire.'i et co nVel'{/C l1Ce pOl1etuelle ,. ce n'est p o i n t n n ('sp a ee d A B A�üCII d J cep e n d an t , l e résultat préc(�dent reste val abl e e n : m p p o s ant

q u e S so it e l' t e s p ace . C'e s t a u nO 27 que n o us n o u s occ up o n s d e ce tte prem i('re g-én ú'alisat i 0 1 1 .

E Il fi n ; to ute s c e s considérations peuvent s 'étendre a u c a s d o s op érations l i l 1 (!aires S U l' de::; f 'o n e ti o l ls a n al y tiques d e pl usieurs vari ables co mpl exes. Cette ex ten sioTl J que H O U S j nd iquons bri l' v ement a u nO 28, est Pl'csqu'immé d i ate . l ei , n ous a v o n s uti l isô le con C t� p t / I L' /o /ldio Jl annlytiq / le dans l'e'<;l )(l,ee de l ' A nr.tlY8c (solon OsgOO(l ) , a u l ie u ri u C O Il c e p t d e f(m ct ion ruwlytiq ue da ns l ' e.�pace pr(�jectiJ complexe, qu i c s t c el u i préféré par :Vf. Fal l tappie , mais q ui nous semble moi n s commode.

Lc § ; ) I�;:; t c on sac ré � l un ty pe de calcul symbolique, b asEi S U l' les rés u l ta ts p réc l� den to'; . Soi t S U I l es pàee , le R A NA <J}( c o m p l e x e et dési gnons p a r '\ c (S) [ ' e n se rn b l e tl e toutes l e s t rà l l S fo l' l I lat i o n s finéa. irc8 ('on tinues (ou bOJ'nées) d e l 'espace 5 S Ul' l ui m ê m e, a v ec les défi n i tio J1 s de sommc, l!roduit liar scala ires et lim ite i n d i quées a u x nOS 9, 2 7 . Consi , l (: ro n s , d ' a u tr e p a rt, un espace fo ncti o n n el an aly tique 'jg [C] , d o n t I ' e n s e m b l u caractó'is ti q ue C soit b o r n é . On est conduit nature llernent à se p oser I a questi on s u i v a n tc :

E t.ant donnée u n o fonction 9 (z) arbitraire, ap p artenan t à 'iJ [C] , quel l o significati o n u ti l e p ouvons nous donnel' au sy mbolo 9 (T) , oú T dési gne u n élémen t qu elconque de '\ c (5) ?

1 1 s ' agit d Ol l e d 'àc ndre I a foncti o n ? à des éléments de .A c (S) . Une tel le exten sion

tlo i t I� tl'e effec tuée d u façon à conser v oI' les l'égIes l es plus i mp o r tantes d u calcuI ordinaire ; on doit e x i ger, au moins , los conditions suivantes : 1) r.r ('1') est un éIément

détorm i n é ae "\ c (5) ; 2) p our ? (z) = z , o n a u r a tp (T) = T ; 3) p our 9 (z) =k (k étant une consta n te Il u m érique quelconque) , on aura aussi 'f (T) =lc ; 4) (:PI + tf':l) ( F) =

= 9 1 (F) + 9� (F') ; fI) (1' I 1f�) (F) = 1f l (F) 9;l (F) j 6) Lim �JI (F') = (Lim 1'u) (F) . (Nous ;:: II

124 J . SEBA STIÃO E SILVA

identifions i ci le n ombl'e complexe k a v e c l ' opérateur k I , produit d e /.' p ar l a tl'ansforrn atioI l identique, I ) .

01', si l 'opé rateur T rcste fixe, la correspomlance o --- 9 ('1') s e r a u l I e tra l l 1'i t "onna-60B un iyoque F de '(\ [Cj s u r '\ c (5) :

F (cp) = q; (1') , et n ous p o u\' o n s d o n n er aux ronditi o n s 1) - G) l a forme suh' al l tc : 1 ' ) F (9) € -\ c (5) ; 2 � ) F: (:) = T ; 3 1 ) F: (k) = k (oü 1.' est u n e constan te ll Ulll (l r ique <lue leonq uo) ;

4') F (9 1 + cp:!) = F (9 1 ) + F' (9�) ; 5 1 ) F (9 ) 9 �) = F (9 , ) F (9�) ; G I ) F (Lim 9 . , ) = Li m (F��) . H 1 l

Ces conuiti o l l S p e uvent done s 'expri m c t· en d i s a n t quo F e s t u n e t l 'all sj()) 'matio l i ljll(fa áe (�v n t;nlle de � [C'J s la' -\c (5) qui l'esj 1ec te la ml i!tipl;cation � Z( ÚS8C fiy(' " d1éme n t un ité e t tl ·(l JI . .-;forme l a /on(,[io l l ;:; e n T .

Le problerne dont i i s 'agit peut être posé u'une façon p l us abstraite encore� s u i vant l 'esp l' i t d e l 'A n al y s u g(I II P ral e . Observon s que, apres l ' adj o n cti on (l u c o n ce p t d e (( l ll u I tip l i catio ll » a u x C' o n cepts pl' irniti fs de l'cspacl� � [C] (C L Ol' ll é) , c o i u i - t i d e vi ent u n ( / n l/ m l ( ( 1 .. ) l'cdol'l'el, que n o us nommons l ' a nneau font't/ounel ana1ytll{I/e )'\; [Cj , pt t l o n t U l l O b asc p e u t t?; tre e o n s ti tu<'� e p ar la fon ctio n z . D 'autre p a rt, l ' en se m h l e . \ ,; (5) e s t aussi u n a n n e au ( 1.1) vuctoricl et, plus pl'l�ci sément , c e que nous appclon s U l l annC(/ I I de BANA CH ('liIll p1e,ce (voyez la défi nition au nO 9) . (1 1 existe (l es a n n e a u x ( le nAX.-I.CH com plox cs ll o n t les é l é me n ts ) ) 0 sont p a s des opérateurs, mais OH démontre que tou t an n e au d e BA�HCH e s t i s o m o r phe à u n an n e au 11e tr ansform atio n s co n ti n ues d ' uI I esp ace d e R-I.NACH SUl' lui mêmü) . 1\lo1's, d ans tou tes les considérations précétlentes: I l O U S p O U VO I l S remp laccr l ' enscmble .Ac (5) p ar u n a n n e a u d e B "\�ACI I c o mp l oxc , A , quc l e o n que, e t l ' o p úrateul' T p ar Ull él l�meI lt a , arbi traire, de A .

?\ o us pou\' ons done l'ésoudre ll o tre proL li�me, avec c e s n o u vel lui-i I ty pothi' s e s . �i F est u n e tra n s fo rm ati on li n l'� aire con ti n ue de � lO] S U l' A (lu i l'esp eetu l a l l I u l ti p l icat ion ct l ' I ; 1 0 111 c n t n n i té) 0 11 doit avoil'

1 ' . 1 l ' 1 F<.:> = --. ) Q (j,) F " (-) d j, = "- J <:;! (),) _ . . _._ .- d i, . . 2 · . . - 2 " - J ' ( ) , rrl t A - Z T:"l- A - i : :::. l ' r

o ú 1.' désl g'ne u n e c o u rbc (lui véri t 'i e dos conditio ns dlj à. prl ; (' i s (� (�s : e t, p u i s qu e 1 ' o n su p p o ;; c F , (::!) = a , o n a u r a

1 J ' ii (I.) F (cp) = cp (a) = -, -. -. � 1 7 ) . • � .. l A - a l '

En ou tt'e , (À - a)-I d oit êtrc une fon c tion de ). h o l o m o rphe d an s �� - C , s'all Il u l a n t p o ur ;',: = co ; mais o n démon tl'c que cette comlition e s t 1 léj à \' (�rifiée, si (), · a)- I exis te pOUl' to u t point À de Q - C . O Il Il O tn m e spectre de a l 'ensemb le de tons les points j, pOUl' lesquels ()'-7..)- 1 n'existe p as . Alors n o u s pouvons conclure :

J!.'lant do n n é un élémcn t a q1lelr�o l /q l le de A , il ne peat pas e.ri.'iter } )[ I I-8 d ' u ne t l ' (t l /. �forma t ion li l léaire contin ue F de % [C� snr A qui reHJ)cr:te ,((, I It l lltijJ!ieation et lai,<;se fict'c l 'élémen t unité, tellc q ue F: ( ,::) = a ; et, pour q u ' it en e,� iste u n e , iI fant que le spceti'c de a soit co n term da n.'? C .

E nfin, on démon trc que cette derniul'e condition est aussi suffi s ante, ce qui rés o u t completeme n t le probleme ci dessus énon cé. Si cctte co ndition est vél'ifiée , l a tl'ansfOl'mation F est définie moyennant [3J 1 .

1 S U l' les rechorches précó d e n t es , dével opp é e s da o s ce domaine, v o y e 7. l 'l u tro ducl i o l l .

FU:NÇÕES ANAL lTICAS E AXÁLISE FUNCIOXAL 1 25

O n p e llt s e pos ( � r uu pl'ob1( ;nl G uu peu p lus g(;n l�ral , en cherchan t à d é termin er toutes (es t} ·an.�f( i } , } il a ti (m s l ill éilireB co n ti n ues de � [C] 8W' A , q u i Tespec ten t la multipllr'atio ll , 1I/ w\ /ias J 1écessnil 'cmen t [ ' a n ilé. 1 1 e s t ai sé (le " oil' qu' une tel le tl'an s formation , F , d ú i t transformer l'é l l' m e n t 1 de .� [C] daús un élé nl e n t j te l que P =j . Soit A"" l e eoni t'ed o r nainc de F : l ' é lémont j j oue l o rôl e cl' u n i té d an s A*, cc q u i veut d i rc que 1 ' 0 11 p e u t n" souclre le prob l e l [l (� c o mmc ci-(lessus, en rem p l açaItt A p ar A*.

D ' ai l l c ll l' s , le rés n ltat prl�cédent à l 'égard cl e l 'an n c a u A peut s ' étendre s an s modifi e ati o n s s u bs tanti el lcs ;1 eles a n n c anx (J,) vectoriels p l us gé n eraux (lue ceu x d e B AXA CH, e0 I l1 1 1 l t; , p ar ex e m p le , l 'ann cau "' (5) c o n s t i tué p a r toutes les transfol'm ati o n s l i néaires tl' u n e s p ace' ele B kXAC H c o mp l e x c , S , S Ul' l ui - mtmw, a v e c la struc tu re al g/' b ri q u e et topo lo�'i l f lle (lue nous a v o n s indi cluée au nQ 27. D a n s ce sen s , n o us faisoIl s une pn�mi�re c�.;ten si on au n O :30.

On p cu t enco re dMi nü' d cs f071d/o'r/s analytiques de pllls ieu J '8 éNlIlen ts a j , a:] , . . , , a J l il ' U l l a l l n c au d e B.H\'A CH com p lexe, p ermu tab J es e n tre cux dcux à d c u x . UCi't une g'(� I I I: ra lisati o n prcsqu' irnrné d i ate de c e qui p rlSee d e et que n o us fai sons au nO 30.

E n l 'i l l , 1 l 0U i; étu d i o Il S le l i c n e n tre c e i; c x tenfl io n s des fo [ ] c ti o n s an a lytiques o rd in aires e t l a t l l l " o l' Íe lles t'O I lc t i o n s a n al y ti q ues d an s d es anncaux de B A X A C H co m rnutati fs c O l t l p l e x c s , d l� v el o p p ô e p ar lH . E. Lonc H . D an s cctte th l:� o r i e , O ll d j t q n' u n c fo n e ti o ll f (z) acl lll c:t de'F inJc, f ' (a) , e n u n poin t a , I o rs cl u e, p ou" tout s > O , i i exi stu n u S' > O te l que

f (a + h) = f (a) + h f ' (a) + I h I ? (h) , avec I p (h) I < s :

p o u r Ul 'Fl U I h I < S . E n partant d e ce concep t d e dl� rin�c, 0 11 pcut d l\ \' d o p p e t· u n e t l t é o r i e e les fonc tions 311 aly ti ques tre s sernbl able it cdlc class i ' lue . Cela P O fi (; , d és ign o n s p a r C le s pec tl'e d e 1 ' 1'� I é ment a (de l ' a n lleau A con sid éré) e t soit � u n t� l é t l l c n t a rb i t r ai I'e d e 'ó' [C' J : alor:3, l e sy m bole 9 (a) a n n s e n s , cO n fOrl11 l;m e n t a u x e o n v€ l l ti o n fi pn�côde l l tes . S o i t , (l'autre p art, � l a distancc de (; ir l'ensc múle des poi n ts s i l l fJ l llic ) 's de 9 , e t. pl'C n O ll S � te! (lue O < ! < � . 8i l 'on I l é s i gne p ar CE l 'eni;ern b l e d e s p o i n t! d e �� d o n t ] a d i s tan ce à C est < s , iI G s t aisé de v o i l' que 9 es t enc o r e u n élément de ' � [Cl et que t.? (a + h) con serve un s e n s , p o ur I h I < s . E n fi n , nous dém ontrons ( PW

.Y) h" !.,;l (a + h) = �" -. 01") (a) , ...... , I ,

, ,-o n . pour I h 1 < s ,

eu (pl i veut dire que r.r (z) est an aly tique, au sen s de .M. LOHCII, au p o i u t a [ Voj r LouCl l (ln) , p . 455J .

N ous préscn to n s ce résul tat S O ll S un e formo p]us gé n érale encore, en co n sid / ;rant d e s fO l l ct.ion s 9 (z) d e l a v a r i a b l e comp l e x e :: ; d o n t l e s v a leurs s o nt él éme n ts de A au I i e u d e fonetion s an aly ti (lUeS ol'd illaires .

O n p e n t se p o seI' iei fI es (luesti o n s i n téressan tes COl l Cel'll an t l o prolongement an aly tique . P a r exemp l o , en désignant p ar � l ' op érateur d'i n tégrati ol1 ) �f =./f(l) dt :

u on observe flue la série <f (z) = � n ! zll , don t l e rayon de co nvergence est nuI , e o n -"erge, e n subs ti t u a ll t z p a r � . 8 e r a- t-i l possible d 'attein dre le d o m ai n e des n o m b r es c o m p l ex o s p ar pro l o n ge m e n t analy tÍ flu e d e 9 e n p artant du p o i n t :J ? Q ue l I i e n p e u t-i l y avoi r e n t r o ee t te q ue s ti o n c t I a th éorie des séries divergell tes ?

D a n s l e � 4 n o us n o n s occup ons de cer tainos exten s i ons des rés ul tats préCl'den ts et I l O US ( ;tqdi o n s cl ' autres probll:mes .

1 20 J . SEBASTIÃO E SILVA

Considérons une famille ; S i ! d'espaces (I,) vectoriel s e t rcpr( \ scnto n s }l ar S l a réun ion U S i d e tous l o s ensembles Si ' X o u s pouvons in trodui l'e da l l s S l u ::; cl { ', t'i ll i -,. tion � sui vantes : 1 ) sOInlnc d o d eux él(�mcnts d e S est l a somme rIe ces (�l (� m p n ts d an s u n esp ace Si que l c o n q ue de l a famille I Si : auquel i l::; ap p artie l l H e n t ( � I l S e l l l b k ; 2) j1l'odu.it d ' lln nornbrc c o m p lexe a p ar u n é l émcII t u de 5 est lo p l'od u i t d e a p a r u d a n s un espace S i (luol c o n que qui eontienno u i 3) on d i t (lu'une s u i t r� (u, ,) d ' (� l t' l l l i : t l b o e 5 com:er!/c y er s u n étément v de S , lorsqu ' i l oxiste au moins u n esp a e e S i ' d an s l e (luc l l a suite (u,, ) converge yers l 'é lémen t v .

Ccp cnd ant, pOUl' (!ue l 'enscmb l e S dev icn n e a v e c ces d é fi n iti o l l S U I l e s p a c e ( 1,)

\' cctori e l ; ii faut (et i l suffü) que l a famil le : S, 1 véri fie l e s conditi o Il S wiv3n tes : 1 ) é t a n t donn(; s d e n x espaces S , ) S" que lconques, ap p arten a n t à : S i : ' i i exi s k a n m oi l l s u u esp ace d e l a m G m e famil le qui con ti en t S i U SI, ; 2) l a s o rn m e (h! d e u s. \'l� l'teul' s : \ e pro l iuit d \m vecteu L' p ar un scal aire e t l a l imi te d ' une s u i te convergl3 n tl� de Ycrtl!urs, p l'i s d an s u n espace S i ' n e c h a n gent p as, qu and O H passe d e 5 , à n n autl'C t� s p acc de l a mC' me fami l le q ui cont ie n n c S i ' Ces c o n di ti o n s ó t a n t vé l' ifi l ; e s ; n o u s

d i sO J l s q u e S e s t, e n tant (lu 'espace (L) vectori e l , l a som me el e s e s p aecs elc l a I ' ' I I ' ' S ' alln c I i \ '

Par exc l1 lp l e : to ut espace fon c ti o n n e l ana lytique � [C] es t c x pri I J1 a b l e e0 l l1 m c s o m m e d ' u n e i n fi n i t/� !l ' e s p aces d e BANA CH complexes , E n orCet, s i l ' O I l s e c10 1 1 l l C U l t d om ai l lc fe rrné D de �� c t si 1 ' o n ll l; si gll e p ar [DJ l 'en s c m b l e d e to n tes l e g ro n ctions co rn p l c x e s q ui s o n t continues S U l' D e t holornorp hes il l 'in téri eur d e D ) i i (' s t ai s l '� d e v o í r q u e L U] est u n espace de R.\.XA CH complexe , e n app e l a n t l I o r m e d ' u n l" ! lSnw n t � de 1 1) 1 l e rn a x i m u m de 1 9 ( ::) I S U l' D ; 01'; l'espacc � LC] p e u t L-tl'e c o n s i d c', 1' \ ; e o m l l l c l a S O lll l n c d e tou s l e s espaces [D J � O lI D est u n v oisinage de C ,

E n pal'ta l l t d e ces c o n v c n ti o n s, n o us rl (:' vcl o p p o n s u n e a n a l y s e 'lu i ab o n ti t iI 11 1 1 1 . . ' e x te n úon des résul tats p L'<�c t�d e n t s . E ll pal'ticu l ier , to u t ce que n o u s a v o ll � dah l i i l ! ' 6 g a r d dCE> tra l l s formati o n s I i n l'ai res c o n tin u e s d'un esp ace fon ctio n n e l a l l a l :, ti r! IW �. [C] S U l' ll ll esp ace d e BA:"!A C H f'OI'nplexe, S , res te v al ab l e , si S est U I 1 c sp ac u (� x p l' i m ab l e e o m m e s o m m c d'esp aces de BA:S-ACI I c o m p l exes : lia!' CXl' l IIplc, / 1 1 / scconde C8/ I{WC foncLiorlll el anl/ lytiq / lf! '� [C* J '

� O llS S o rntlles done c o n d u its :\ é tudiel' les fo n ctio I ls a l l a ly ti'l l l e s d e l a \'a r i ah l e e o m p l c .\. c q u i prc n n en t l es va l e u1's dans u n esp ace fon c ti o n n e l ::w al " t,i( l l l l.' ;\' l C i ' S o i t f U.) u n e tel l e fo ndi o n , Pour chaque valeUl' admis s i b lo d e i" r (I,) e s t 1 m M ('�Ill e n t dé termÍ tl l: , ?j. ' (l e I ' esp aee .� [G] ; no us démontrO Il s q ue; si A v arj c w r u n e n s ernble fermé c o n te n u ( lans 1<: d omai ne d e régulari t, ', de f (I,) , i I ex i s tn an m oill s un \ 'oisin age de C , S U l' leqneI toutes lus fOll cti ons :p;. (::: ) de z , ainsi Oh t U l l u l' S , S O l l t l l Ol o m orp h e s , Soit cl o n e D u n d o m aine fermé de h olomor'p hie de f ( I ) et nx' U I I d O ll lai n e d c� lJ O l o lll o l' p hi e d e tou tes l e s fo ncti ons CfÀ ( ,") (lue l 'on ob tieu t, e n fai s a ll t varieI' i, SUl' D ; a 101's, n o u s pOUV OllS e O l l sidórer '?;. (t:!) cornme fon dion des dem.: v aria hle:-5 I, ; ,: dé6 nie SUl' D X l) ,� : '

l4 J '? (I, , z) = [ f P,) J (z) , pOUl' j., E D , :: € D ' : n t 0 11 voi t tout d e s uite que ee tte fon c ti o n ? ()." ,::) es t a l l al y tique au s e n s or cl i n ai rc . d an s J e d o rn ai n e D x ]) *, Réei proquc m e n t, i i est faci le d� d (" IH o n tre r f l u e to u to fO Il cti ol l an aly ti quc, au � e n s o r d i n ai ru, d a n s u u d o m ai n c d e l a fo rme D X U :' : O tl U r e p r(� s -: n te un domaine arbi traire d e �� et D* un v ois i n a ge; a u s s i a rh i tra i r e, d l� C , c 1 t; ri n i t, m O,nm n ant [4] , u n e foncti on r (J, ) d on t le c o n tred o m a i n c es t eo n tc l l u d an s � [C] e t q u i u s t l l o l o l omorphe S U l' n , ",-Vous U (:O Jl S done ) 'ó/.8s i li irfe n tlj'ier, e ) / (/ Ue/I/ I I C 8orte, les fOll ct tons analytiq / lcs ordinaires de deux variu. bles cumplcxes cu:ee les fonctions

FC�ÇÕE 8 AXALÍTICA8 E A�ÁLI S E F U XCIO �AL 1 2 7

(I11 0lyti1j / / es d ' um: sC l /te !"ar iaUe a u (,OI I t I 'edom o ine ( 'o n te / l l t da I I .'" / 1 1/ eSl !w�e fonctinu n ei n na i!Jti'l l i e - ( 'c !f u i élablit ln ( ·on n cy·i lill entt'C notre po int dc r u e ct cclui de ::\1 . F .\ N TA l'PIJ.: ,

A u nO ;-�9 n o us p l' \ ; S e n t o Il M U I! r é s u l ta t fondamen tal d e nos r e ehereh e s : l' il lentitc' e i l f i ' (; les 0/)(i, 'a te u l 's l inc'a ir(;s e () l I t / 71 I 1 S e t (es ope'ratcUY8 liuA u'Tes a l / al!} tiq ues , dml ,'; le.'i eSj ! ((/ '(':'; f01U'lio l i Jl els (/ )) ulyt lq I l Cs . :\ O U 8 d i s o Il s (lu ' n n c tra J l sfo r m ati on en tre deux \' � p a e e s S , S � est u n al!/tilJ uc ; l ors q u ' e l l c tra n s forme les fo nc ti ons a n a l y ti ques de f, à (, o l l t rt �d o m ai n e c o n te n u da l l S S ) e n d e s fon cti o n s an aly tiqucs d e I, it c o n tred o m aj n e

c' o l l ttm u d a l l S S Y , I, é taut l a \' ar j ab l c comp l exo , (Ce tte n o tion cst rcpri s e et consid (;l'l' e (' l i I ! c '· tai l all § f)) . Cela p O H� : prcn o l l s de I louveau un esp ace fo n etio I l ll e l a n aly ti 1luc '� [C' ] et �o j t S u n e s p ace de RAXACH eomplexe O lL p l u s g-énéra l c ment , u n e s p a c e <' o rn p ri s d a ]}:; 1 es cx tcI I s i ol l S q u e n o u s a v o n s faltes pn\céd e m m cIlt. o A 1 0 1"s, i I ( : � t. ai s ( ; d e " oir q u e / a ( ' Iasse des ti' l l n.�!o}'matio l1 .<; linúúrc8 con [i1/. 1 /fS de '� [ C' ] :;;ur S " u i' I / I ' lde ( / / '('(� la class( de,.;; tr l t J / ·�f( ) l 'ma tion .� l i n éa ircs o l l alyfiq ne8 de '6 [C] 8/ 1 'r S o

�\ n n O tl0 n o u ::; �(" l \ (� ral i so l l s l c s n\sul ü.ts d u S 3 . E n p arti cu l i cr, o n p ent m ai n t t ' l l :l ! l t c \ t a b l i t' li l l c a k u l 3}" l 11 bo l i l J l1 c p o u r I cs tra n s l "o r m ati o [J s l i rH�aj res d \l l1 esp ace t 'o n di o n n e l a l l a lyt iquc SUl' I ll i-rn i': 1l lc, e0 U1 1 1 1 C , p ar e x c ll l p l e , l cs o pérat(� u rs :-� , B u til i :, , ', s p a r :.\1 . F.\ X·L\ I 'P I I� d a l l s l a rb;o l nti o l l ( l n probIi::me <lu CAUC J lY p O ll r 1 (' 8 (} (lu atio n s a u x t l t.:' l"i \, ('; c: s p arti c l l es ; l i 1 1 0a i l' C' 8 , �l c o e fl 'ie i C'l l ts C O l l s tants .

. \ l ' t" !-! ard d e s e s p aecs t 'o ll cti o n n el s a n a l y ti q u e s lJIl peut s e p o s e I' t' l l corc Ll I I p r ob l ( ' I l l {� i m p o rtél n t : J)(:/e r 111 1 I I C I ' ti l / IR Ic,� (l I ( fomIJr/,/u',\' 7I I C8 de l 'C8/ ILU'C '� [ < ' J , ( · 'cs t- ,'r - r lirc tnu tes /( '8 t l' ( / n.�j(J I ' I I / ll tiO J l ,'i / 1 '1 / (i(J i rcs IJito l l thwcs de ('et cNjl ( ( ('(' dan s / / ( t- mhne . C\ d a revi e n t :t \ l ( " t. l ' l' l l l l l l e r 1I 1 l t: l l semb l e de p r opri l, t(� s ,;?, , cJ; , " ' ; ,'/�" flu i carae térise l a b as( � h (i, ) d (� l ' d e s p a c e : (' n tl r i f l e s d e « 8 0 1 1 1 I11C ) , « IH ul tj p l icateurs sea l ai r c � » e t <. l i m i t e » , d e I 'a \' o l l tI n e to n k a u t rc p rollri é t( ; d e h (i,) exprimahle a u moy c n d e c e s n o ti on s soi t i tnpl i fl u l�e p a r ,�/'1 n ':I� n , . . n ,'J�, . Soi t ,y' la conj OT lcti o ll de c e s pl'opri ét( ;s : l I O U S d i � o l1 s que .::/ c.s t l' att ri l l ll t \ l e h ( io ) / / , } "(fd l ldi!JIe p ar rap p o r t a u x n o tio n s q u e n o u s a\ "on s pr i scs pour p ri l ll i ti \'es d an s ';\ [C ] o Cet attri b u t , i ouc l ci u n l' ô l c semL l able ;1 eo1 u i des équati o Il S I I O l" l l l a le::i irréd u eti bles d an s l a tb 60ric d e ( ; .\LOI S , l,cs fonctions i l l dicat ,.iecs des 1 , ' ( u / .":/ () ! ' lIwt/ol/ . ., q / l l� n O l /8 dic / 't'/w n s (', détCi' m í l l c i " scro !/ t toulo; les fOJl (·tio7l s f (f.) q u i jfJU tS8cn t de (a j IJ 'ojJ / ' i,Jtd d' . Seu l em c n t, n o us l l o ;W O l1 S p as réus S I it l s o l c l' cet a ttr i b nt i t" n; ( l u d i b l c d � h (i,) ; to u k s l e s prop riétés d e h (),) que lI O U S a v o n s i n d iquées eomme \ ' o I I I l i tl O ll S IH';ccss aires e t s n fi'i s antes p our que f (l, ) l'ep l'l' s e n te u n e tL'an s forll1 ati on l i l l l " aire conti n ue de '6 �( ' ] SUl' lui Ill l> J fl e ren tre n t d an s e e t attri b u t , m ai s i I y a el es IH"O p ri (:� tés d e h (i,) ) c ",p rimab l c s au Ill oy en d o s n o tions p ri miti v e s , qui n e sont p a s res p cc h; e s p ar tou tes lcs tran sforrn a tio n s 1i n éaires conti l l u es d e %' [C] S U l' l ui ITl [\ m c : p 1l' e x e tn p l e � lo t 'aj t (lue h ( » a i t p O U l' dom aine d e ré gu l a l' i tó l '(, l l semble � � -· l; ) et d ' au tres p ro p ri t; t(', s que I l O US a v o n s i n d i q u(;es au nO 42 : m ais n o u s nc 5 3 \" o n 5 p as si } ' c l l s e mble de c (� S proprié tés do nne l 'attl'i L u t cherclH� , Ce prob l (�� rn e se rel i e ( ;tro i tem �Il t ;t l a constr ucti o n d ' lln e thé oric �l� I l (':ral e el es t':quations tl ifféren ti elles l i u é aires d ' onl re i n fini .

Les n oti o n s priscs poul' p ri mi ti ves S U l' % [C] peuvent être accrues . Par exemp l e, 0 11 peut c O l l i'-úl ('�l'cr e n p l u s la l I lu l ti p l i catio n (c 'est l e c as que n ous av o ns t'� t u d i (� a u x n O S � ! ) , 40) o u l ' o p é rati o l l l' , app l i quée ;\ d es � 'd \ ; m e n t s d e % [C] , A u n O 48 n o us ( ; t u d i o n s 1 e p ro b U .' m e q u i c o n si s te à d de nn i nel' to u tes le� tl' a n s fol' mati o n s l i l} ( \ aires

e O l l t i l l u C S F de l \ s p J.ce .. � l e i S U l" l u i-m 0 m e , q ui respectent l ' opérateur :t' : c't�s t-ú - (1ire t ( � l l e s fl ue F � t.? = :I' F� , que l q u e soi t 9 e � [C] . Or, l a b ase (1, - :;) - ' de � [C] j ou i t d e l a p l' oprj é t(� �j, (f, _, ;:) -l + :t'::: (). - Z)- l = O ; l a quelle e s t co n s ervée p ar to u tes lcs tra l l sform a,ti o l l s l i n é a i l' c s con ti n ue s (llÜ respecte n t 'r'; ; ::;j 1 '0 Il l'epn;scl l te par O (À , z)

1 28 ,,-. J . SEB A S T I A O E SILV A.

l a fo n ction i ndi catr ice d e F , o n aura don e - �=- O (À , .�) + �- O (À , ,:: ) =, O . t 't p ar (} I, ô z c o n séqu en t; b U, ; ,::) :=" �J, (i. - z) ; �J. rtan t u ll e fon ct i o n arbi trai re tcI l e que (j (i . . :�) \' , ; ri t 'ie I r s cond iti o n s d (�j � i ndi fl uées . )lécip roflucm ent, si la fon c ti o n i n d i c a trice d e F est de l a forme �). (/. - ,:) , 0 11 (l ,'�mon tt'e que F resp ecte l'opérateu r � . Xous retro ll VO I I S a i l l s i n n l", ;su l tat d e M , FA� n T'I' I i·: .

A n ! l O 49 n o u s a b o r do n s l ' é tucle des tran sformatio / ls p orm llÍab les a n� c 1 ' 0 / l " : 1'atem �s et rl es l i e n s CJ.ui unissent le c alcul sy m b o l i qu !: de .L'I.\'T,\ l ' Pú:-Dn;-';FO I!D à l a J ))(; thode bas (�o S U l" la transformation d e L.APLA.n;, Supposons C= (O) ot s o i t F u n e t l';1n s l 'orm a t i o n li l l éa i re continue de � le j S U l' l ui-même, p e r m utab J e a r € c �\ ; p o s o n s ) ,l ' autre p art, Fo (/, _ :::)- 1 = (j (I" z) , Fz (1) = p, (z) ; p uisquü l 'on a 1';. �:; ( i, _ �;:) - I =

.,;--'" - (/, - .-:) - 1 + i,- l , o n aur a aus si !!',_ �:; e (I- , z) = - (j (I, , z) + 1,- 1 !J. (:;) , ri'O ll (; (J, , ,-;) =

m

I I s ' e n s u i t que Fep = - !l' (z - �) 'f (�) d� , d j ' d;; < I I

I I sUl'ai t i l l U· t' ( · ssa l l t de rem p lace r, d an ::; ces eo tlsid érations , leiS s (" r ics Il e p l t i iis a n Cl: S ':/C .

� ,:: " ( ( , , : p ar J us j l l t('� gra1eii d e LAPLACE-STIl<JLT ,J ES morl j fiées , I ,:;1 r i '1. ( I) : c1 0 1 1 t l es " . .. "

� (� r i c s de p uiss a l l ces n e s o n t qu'un c as p a l'ti culier , On ost cO l l d ui t al o rs i1 , : tud ic r l a � ( .. �y- l

e O I1 \' C l" ).!,'C ll ee d e ces j n t( � .'!ral cs IJ o u r ;: = ,'J , ave c ,� j ' j' = /. , . - ( r (�) d� i , , > O) , , ,. . . I ' I ') .. . . \ o ' u

Lo � .) e s t , 'o l l sacró 11 l 'du d e des op érati o n s a n aJ y tiques e n gén( : ral . �o iCll t (I' ab o rd 5 : S !� deu:'\: e s p a c e s el e Ih:-iAcn co mpl excs e t F (u) une foncti o l l d ('· t 'j n i t · , b n s 1 1 1 1 d o m ai n e d e S e t d O l l t le c o n tredom aine s o i t contenu d a n s S * : I l OUS ( l i S O l h ( iue h I 'o n ctiol l F (u) cst analyt/(l I lC ([ / 1 8cn.'l de F.'l.XTAl'rI 1�; (Uéné, 'a1is(f} ( l a l l ii ll l l 1 1 0 l l la i n e D , J o r s (! lt 'cl le t r a l l s fol'me to nte foncti o n a n aly tique d e i. , iL co n tred o m ai l lt; e O l l tc l l tl daus D , e H Il n e fo n eti o n analy tique de j" h con tred omain e contenu d an s s r., � i, ,; t a n t l a v a r i a b l ü e o m p h\ x e , 0 11 v o i t tout d e suite que c e COllccp t d ' ana1yti dtt� e s t e O l l l [H i s e n t l'e l e C O I I l' C p t (í tcndu llo fO l l et i o l1 an aly tique (an SC II S de G.hE-u :x) e t 1 0 (, O l l c c p t res treill t de fO llcti on analy tique (C/ / { sel /s de Fmh:mrr) , l)'antre p a r t i I es t prcs I J u e i m m éd i at (lue cc t te ll (� fi n i tioll I ii n o us donne l e concept d ' a n alit ici tl' l e p l ll � l ar ge qui c o n s e r v e l e tlU!O I ' (� l Ile des fOll ctions eomposéc8.

S oient mai l l ten a n t 5 ) 5* cl eux e s p aces exprimab 1 e s c o rn m e s o m m e s d ' t' �paces (l c B A X.\ ( ' 1 f c o m p lexes , IJes n o ti on s précédeutes et les resp e c ti ves p ropri é t(; s s ' é t.end e n t ais émen t a u x fo n c tions F (u) dont le d o rn ai n e e s t c o n tenu d ans S et tl o n t ] 0 c o n tl'e(lomaine es t c o n tcnn dans S '� , Au nO 47 nous d onnons l ' expression géw}ra le de tel les fo nctioll S , lorsque le premi m' e s p ace ) 5 ost un es p ace fonc tion nel a n al �· tiqu(' : 6 l C ] : si , eu outre , 1e s e eo ml e esp ace est u n espace d e B .-\N.\C I I ) on tr ou v e Ull l' ( ; su l tat i rn p ["( hu � cn s 'ap p uy ant S U l' n n th óoreme d e ZORN ( I I) : T()ute.� le:; fonctúm.'; F (u) a n alyl /Q ue,"; {tn ,�e ll S de FANT.1prI l�: son t conti l l ues et, 1 ) ( / 1 ' cOJl séque n t, (f ll a 1ytilj lles (Ui se l / 8 de Fn{; c l I E' I ' .

E n pa r ti c u1ier : Tou tes le,>.; fonctio/l l l c!les a l 1ol!Jtujuc8 de F.\xU I' Pú: 80n t ( ·o / l l / I I / les . . \ l a fi n , n o us d ,'� \' el oppon& quclques con sidératio n s sur l e s l� ' lu a t i o l l s cliffúren t i e l l e s

<l aT Is d es () s p a('.cs ab s trai ts -- s a n s s oueis d 'origin ali té, seulemoll t p O U l' d O ll n er u n i d ( ;e do } 'i m p o r t a l l cc pratiq ue de::; no tions précédcn tes et d e la p u j � s anee de L\ n aJ y s ü gé n (�r aJ e ,

FUXÇÕES ANALÍTICA.S E ANÁLISE FUNCIO X AL 129

N O T A

Con:aul tando recen temen te, n a Bibli o teca . da Faculdade d e Ciências d e Coimbra, o s volumes de 193 1 e 32 dos « Rendicon ti deU' Accademia dei L-inceú) , que não ti n h a conseguido enco n tr a r em L i s b o a , foi-me p oss ível reler as n otas de CACCIOI 'OL I e d e F ANT.A l'PÚ; a q u e m e refiro n a In trodução. Ora, n a 2.3. n o ta de CACCIOPOLI (em répl i ca :\ de FAN'f.A P I'] I�;) d ep aro u-se-m e u m fac to que rue ti nha p assado despercebido n a pri moira le i tura, feita há três a n o s cm R oma - e é que, n e s s a nota, o autor su gere com o , aproveità n d o um l'csu1tado do própri o FANTA PPIJ.:, se pode estabelecer directame nte (isto é, sem recon'e r i1 forma integral) q ue todo o funcional linear an al ítico é contin uo. Tal d e m o n straç�ão aparece m ais tard e ) l i gei ramen te modificada, n u m arti go de rrEIClIM Ü LI,EU (C'ber d/e Stetigkeit lil/earer a n alitischer Fun ktion ale, Deu tsche lVIathemati k ) 1 936, pág. 350) . É tod avia estra n h o que TEICUlIIÜLLEU , ci tan d o a n o ta de FANTAl' PJi;; e m r e s p osta li, primeira de C,,\CC'IOl'OLI , não faç' a a mín ima referência às duas n o tas deste ú l t i m o .

O ra é fáci l v e r que a referid a dern o n s traç� ã o s e ad apta i m e diatam ente a o caso dos c li p a ç�os d e BANA C H complex o s - o que implica este outro resultad o, particul armente n o tável , tendo e m atenção o c i tad o teore m a d e ZORN :

S upo n do 5 , 5 * e .'!paços de BANACH comple:cos (5 pode ser, mais geralmen te , um espat;o expl'im h'el como soma de espaço.'! de BANACI I complexos) , lJodemos afirma?" que a analiticidade 11 0 sentido de FANTA l'PIB é eqzâ mlente à a n a litiet'dade no sen tido de FUÉCHET ( relativamente a dom irâos abertm,') .

S eri a i n teressa l l te dem o n s tr ar este resul tado directa m e n te, sem re correr ao aludido teorem a de ZOHN.

O ferece ai n d a in teresse, d o ponto de vista bib li o gr áfico, a seguinte n o ta d e que só tive conheci m e n to após a imp ressão desta memóri a ;

C . L. DA SI LVA DIAS , Sôbre o co nce ito de funcional an alitico, Anais da Academia B rasi l eira de CJ ênci as , 1943, p ágs . 1 - 9 .

J u n ho de 1 949 J. S. e S.

1 30 J . SEBA STIÃO E SILVA

E R R A T A *

Pág . Unhas Onde est' Oeveria Ist.r

12 1 e fi 1 ) , 2) (),) , b) 24 9 5 A c (5) 32 30 (substituir os p arênteses cur v o s por colchetes) 42 19 u = f (),) UÀ = f (À) 47 1 9 f (zo) u 47 19 dis t (z , z..,) < 8 . d i s t (z , 1.,0) < � , z=l=,"!tJ . 48 28 aberto conexo e a berto 64 8 [o primeiro integral deve ser precedido de (2r;i)-I ] 75 11 e (1 76 10 funcional integral 77 12 3 / CJJ f 7 9 19 h @ (h) I h h (h) 79 30 são não 94 6 � Ct) dt -r. (t , y) dt

1 1 2 24 A (t t to) B (t , to) 1 25 29 W [C] � [CE]

.. D e I x a- i ii! a o c u i d ad o do l eito r a c o rrecção de erros menQi imp o rta ntes .

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As funções analíticas e a análise funcional