Assim, de acordo com o tipo de níveis atribuídos para o fator, a técnica apropriada será escolhida. Logo, temos o seguinte esquema:

Rejeita H0

Teste de comparações múltiplas

Fator Qualitativo

H0

H1

Aceita H0

FatorQuantitativo

ANOVA Regressão

As pressuposições devem ser satisfeitas!

1

Teste de Comparações Teste de Comparações Teste de Comparações Teste de Comparações MúltiplasMúltiplas

Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros

DTAiSeR-Ar

2

ContrastesContrastes

O estudo de contrastes é muito importante na Estatística Experimental,principalmente quando o experimento em análise é composto por mais do quedois tratamentos. Com o uso de contrastes é possível ao pesquisador estabelecercomparações, entre tratamentos ou grupos de tratamentos, que sejam de interesse.

Veremos os fundamentos para estabelecer grupos de contrastes, obter aestimativa para cada contraste estabelecido, bem com estimar a variabilidadeassociada a cada um destes contrastes.

3

Os testes de comparações múltiplas (TCM), ou teste de comparações entremédias, servem como um complemento do teste F (da ANOVA), para detectardiferenças de efeito entre os tratamentos.

A técnica de comparações múltiplas permite testar as hipóteses do tipo:

H0: Y = 0

Ha: Y ≠ 0onde Y é um contraste.

DefiniçãoDefinição

Contraste de médias são funções lineares de médias, cuja soma dos coeficientes é nula.

Matematicamente:Considere a seguinte função linear de médias populacionais de tratamentos

Y será um contraste entre médias se satisfizer a seguinte condição:

II mamamaY ...2211

01

I

iia

4

OBS.1: Todo contraste é uma função linear, mas nem toda função linear é

um contraste.

Na prática, geralmente não se conhece os valores das médias populacionais mi

, mas suas estimativas. Daí, em Estatística Experimental, não se trabalha com ocontraste Y mas com o seu estimador , que também é uma função linear demédias obtidas por meio de experimentos ou amostras. Assim tem-se que oestimador para o contraste de médias é dado por:

II mamamaY ˆ...ˆˆˆ2211

OBS. 2: O pesquisador pode formular aqueles contrastes que sejam de maior

interesse para ele.

Y

A estimativa da variância de da estimativa de um contraste Y, admitindo independência entre as médias é dado por:

)ˆ(ˆ...)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ 22

221

211 II mVamVamVaYV

I

II

J

sa

J

sa

J

saYV

22

2

222

2

1

212

11 ...)ˆ(ˆ

em que, Ji é o número de repetições do tratamento i.

Se , teremos:2222 ... ssss sQMs Re2 Se , teremos:222

221 ... ssss I

22

2

22

1

21

1 ...)ˆ(ˆ sJ

a

J

a

J

aYV

I

I

sQMs Re2

Se , teremos:JJJJ I ...21

J

saaaYV I

222

2211 ...)ˆ(ˆ

Exemplo: Obtenha a estimativa da variância das estimativas dos contrastes do exemplo anterior.5

Testes deTestes deComparações MúltiplasComparações Múltiplas

a) Tukeyb) Duncanc) SNKd) Dunnette) Scott-Knottf) Scheffég) Bonferronih) t-studenti) F

Há um número elevado de testes para tais fins, apresentaremos alguns deles:

6

OBS.: O teste F (da ANOVA) e os TCM não são

equivalentes! O F é um teste na média dos contrastes e não

um contraste específico.

a) Teste de a) Teste de TukeyTukey((ou DHSou DHS))

7

((ou DHSou DHS))

A sigla DHS (Diferença Honestamente Significante) é a tradução original HSD, do inglês (Honestly Significant Difference).

História: Desenvolvido por J. W. Tukey (1955).

Teste de Teste de TukeyTukey

Utilizado para testar todo e qualquer contraste entre duas médias.

Limitação: Não permite comparar grupos de médias entre si.

Base: Uma diferença mínima significativa (d.m.s.): .

Procedimento: Para testar todos os I(I – 1)/2 = CI,2 contrastes do tipo

Y = mk – mq , para 1≤ k < q ≤ I ,

cujas hipóteses são:

H0: Y = 0 H0: mk = mq H0: mk – mq = 0

Ha: Y ≠ 0 Ha: mk ≠ mq H0: mk – mq ≠ 0

sendo k ≠ q e k, q = 1, 2, ..., I.

8

1) Sua expressão é:

2

Re11)ˆ(ˆ

2

1 sQM

JJqYVq

qk

Se , teremos:qk JJ

J

sQMq

Re

Teste de Teste de TukeyTukey

em que:

é a d.m.s. = diferença mínima significativa.

Se , teremos:JJJ qk

q é a amplitude total estudentizada, obtida em tabelas com n (número detratamentos ou médias de tratamentos) e n’ (número de graus de liberdade doresíduo a um nível α de probabilidade).

é a estimativa da variância da estimativa do contraste entre duasmédias de tratamentos.

)ˆ(ˆ YV

9

OBS. 1OBS. 1: É um teste conjunto, pois é feito com nível de

significância conjunto, por isso se diz que ele é mais “exigente”.

OBS.2OBS.2: Quando temos muitos tratamentos, o teste de comparações múltiplas fica mais

trabalhoso e consequentemente a conclusão fica mais difícil.

Tarefa 1.

a) Como fazer o teste de Tukey?b) Em que situações ele pode ser aplicado?c) O que é necessário?d) Descreva por itens os passos para realizar o teste de Tukey.e) Quais as suas vantagens e desvantagens?f) Utilize os dados do exemplo do DIC (feito na sala de aula) e aplique o teste

10

f) Utilize os dados do exemplo do DIC (feito na sala de aula) e aplique o teste de Tukey ao mesmo nível de significância considerado na ANOVA. Conclua adequadamente o teste, apresentando a tabela com as médias e as separações entre os grupos (“letras”), além de concluir biologicamente.

InterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolação

11

InterpolaçãoInterpolação

Não sendo possível apresentar tabelas exaustivas, que cubram todos os valorespossíveis de probabilidade ou dos parâmetros das distribuições, há muitas vezesnecessidade de fazer interpolações para estimar os valores que nos interessam apartir de valores tabelados.

A denominação interpolação linear assume que a função tabelada varia a uma taxaconstante entre dois valores sucessivos da tabela. Embora haja outros métodos deinterpolação (por exemplo, interpolação harmônica), este é o processo deinterpolação mais vulgarmente utilizado para o efeito.interpolação mais vulgarmente utilizado para o efeito.

Sejam y1 e y2 dois valores consecutivos do corpo de uma tabela, a quecorrespondem os antecendentes x1 e x2, respectivamente. Suponha-se quepretendemos estimar o valor ye correspondente ao argumento xe, sendo x1 < xe < x2.Calculamos primeiro a proporção :

12

1

xx

xxe

)( 121 yyyye e depois calculamos ye :

12

Exemplo:Exemplo:

Suponha que queremos o valor q(4, 35; 5%) da tabela de Tukey, contudo note queeste valor não se encontra na tabela. Logo, precisamos fazer uma interpolaçãopara estimar o valor.O valor anterior e posterior a este são q(4, 30; 5%) = 3,85 e q(4, 40; 5%) = 3,79.Assim:

13

5,03040

3035

12

1

xx

xxe

x1 = 30 e y1 = 3,85xe = 35 e ye = ?x2 = 40 e y2 = 3,79

Calculamos primeiro a proporção :

82,3

)85,379,3(5,085,3

)( 121

e

e

e

y

y

yyyy

14

b) Teste de Duncan b) Teste de Duncan

15

b) Teste de Duncan b) Teste de Duncan ((ou teste de amplitudes múltiplasou teste de amplitudes múltiplas))

Limitação: Não permite comparar grupos de médias entre si.

Teste de DuncanTeste de Duncan

Desenvolvido por Duncan (1955), este teste também é conhecido como Teste de múltiplas amplitudes.

É utilizado para testar todo e qualquer contraste entre duas (2) médias.

Base: Várias diferenças mínimas significativas (Di).

OBS. 1: É o menos rigoroso que o de Tukey, pois enquanto o de Tukey mantém amesma probabilidade α para todos os contrastes, o de Duncan considera aprobabilidade

(1 – α)n – 1

para cada contraste dependendo do número de n de médias abrangidas pelo contraste.

16

1) Sua expressão é:

Teste de DuncanTeste de Duncan

em que:

Di é a d.m.s. = diferença mínima significativa.

Procedimento:

Se , teremos:qk JJ

J

sQMzD ii

Re

Se , teremos:JJJ qk

2

Re11)ˆ(ˆ

2

1 sQM

JJzYVzD

qk

iii

i

zi é a amplitude total estudentizada, obtida em tabelas para o teste deDuncan com n (número de médias ordenadas envolvidas pelo contraste) e n’(número de graus de liberdade do resíduo) a um nível α de probabilidade.

é a estimativa da variância da estimativa do contraste entre duasmédias de tratamentos.

Ji é o número de repetições das médias confrontadas no contraste.

)ˆ(ˆ YV

OBS: É um procedimento sequêncial baseado na amplitude total estudentizada, válido para a totalidade dos contrastes de médias duas a duas.

17

OBS. 4: Quando I =2 tratamentos, as amplitudes de Tukey e Duncan são

iguais.

Exemplo:

Teste de DuncanTeste de DuncanOBS. 2: Os resultados do método de

Ducan, em geral, são os mesmos que os obtidos com Tukey, porém no Tukeymantém-se o nível em todos os CI,2

contrastes, enquanto que o Duncan temos (1 – α)n – 1 , sendo n o número de médias abrangidas. Logo, para cada n tem-se um

diferente.

OBS. 3: Nota-se também que (de Tukey) é maior que qualquer um dos Di

de Duncan o que o torna mais rigoroso.

31 kg/100m2 a

27 kg/100m2 b

26 kg/100m2 b c

23 kg/100m2 c

Dm

Bm

Cm

Am

As médias seguidas de mesma letra não

diferem entre si pelo teste de Duncan a 5%

de significância.

Pelo teste de Duncan, concluímos ao nível de 5% de significância que a variedade D teve desempenho médio significativamente superior as

variedades B, C e A, e que não houve diferença entre B e C e entre C e A.18

c) c) Teste de StudentTeste de Student--NewmanNewman--Keuls Keuls (ou SNK) (ou SNK)

19

(ou SNK) (ou SNK)

Teste de SNK (Student Newman Keuls)Teste de SNK (Student Newman Keuls)

O procedimento para a realização deste teste é bastante semelhante ao testede Duncan. A diferença é que nas DMS's do SNK são usados os valorestabelados de q(i,n’,) (Tabela de Tukey) ao invés de z(i,n’,).

q(i,n’,) sendo:

_ nível de significância estabelecido ();_ correspondente a combinação entre o número de médias abrangidas na

20

_ correspondente a combinação entre o número de médias abrangidas nacomparação (i); e_ grau de liberdade do resíduo (n’) da ANOVA.

1) Sua expressão é:

Re11

)ˆ(ˆ2

1),',(

sQM

YVqSNK nii

Se , teremos:qk JJ

sQM Re

Teste de SNKTeste de SNK

Se , teremos:JJJ qk

A diferença mínima significante (DMS) entre duas médias pelo teste de SNK é dada por:

21

2

Re11),',(

sQM

JJqSNK

qk

nii

J

sQMqSNK nii

Re),',(

Tarefa 2.

Utilize os dados do exemplo do DIC (feito na sala de aula) e aplique oteste de SNK ao mesmo nível de significância considerado na ANOVA.Conclua adequadamente o teste, apresentando a tabela com as médias e asseparações entre os grupos (“letras”), além de concluir biologicamente.

d) Teste de d) Teste de DunnettDunnett

22

d) Teste de d) Teste de DunnettDunnett

Limitação: Não permite comparar os tratamentos experimentais entre si etambém grupos de tratamentos.

Base: diferenças mínimas significativas (d.m.s.).

Teste de Teste de DunnettDunnett

Utilizado se o interesse estiver na comparação de um determinado tratamento (controle ou padrão) com os demais, não havendo interesse na comparação

dos tratamentos experimentais entre si.

Base: diferenças mínimas significativas (d.m.s.).

Vantagem: Se fizer o mesmo com os outros testes (mesmo interesse) o poderé menor para detectar diferenças. Por isso que ele é usado, tem um podemmaior. É mais sensível que o teste de Tukey e de Scheffé, pois detectadiferenças onde os dois últimos não detectam.

Desvantagem: Despreza as outras comparações entre as médias.

OBS: É um modificação do teste t para comparações múltiplas. 23

Teste de Teste de DunnettDunnett

Procedimento:

Um experimento com I tratamentos, um dos quais é o controle, permite a aplicação do teste a I –1 comparações.

OBS1: O método é exato, quando os dados são balanceados. No caso de dados desbalanceados, o método é aproximado.

1) Calcular a estimativa de cada contraste entre um tratamento regular e o controle.

controleII

controle

controle

mmY

mmY

mmY

ˆˆˆ

...

ˆˆˆ

ˆˆˆ

11

22

11

teste a I –1 comparações.

24

Teste de Teste de DunnettDunnett

em que:

Di é a d.m.s. = diferença mínima significativa.

zi é a amplitude total estudentizada, obtida em tabelas com n (número de médiasordenadas envolvidas pelo contraste) e n’ (número de graus de liberdade do resíduoa um nível α de probabilidade).

é a estimativa da variância da estimativa do contraste entre duas médias de)ˆ(ˆ YV

2) Sua expressão é:

conti

sglIJJ

sQMdd11

Re' );Re.,1(

é a estimativa da variância da estimativa do contraste entre duas médias detratamentos.

Ji é o número de repetições das médias confrontadas no contraste.

)ˆ(ˆ YV

3) Compara-se com d’:

Se , o contraste é significativo ao nível α de probabilidade, indicandoque as duas médias testadas diferem entre si.

Caso contrário, as médias não diferem entre si.

'ˆ dY

Y

25

e) Teste de e) Teste de ScottScott--KnottKnott

26

e) Teste de e) Teste de ScottScott--KnottKnott

Qual é a vantagem e desvantagem de utilizar o teste de Scott-Knott?

Tarefa 3.

27

Contrastes ortogonaisContrastes ortogonaisContrastes ortogonaisContrastes ortogonais

28

Contrastes OrtogonaisContrastes Ortogonais

Sejam os contrastes:

Dizemos que Y1 é ortogonal a Y2 se: . Portanto,

II mamamaY ˆ...ˆˆˆ22111

II mbmbmbY ˆ...ˆˆˆ22112

0 )ˆ ,ˆov( 21 YYC

0)ˆ,ˆ(1

221

I

ii

i

ii sJ

baYYCov

^ ^

01

I

iiiba

Se , teremos:222

221 ... ssss I

Se , teremos:JJJJ I ...21

01

I

i i

ii

J

ba

1i iJ

A implicação imediata é que podemos

decompor a soma de quadrados de

tratamento (SQTrat) exatamente por

contrastes ortogonais.

29

OBS2: Três ou mais contrastes serão ortogonais entre si se eles forem ortogonais 2 a 2.

OBS1: Contrastes ortogonais significa que são independentes, ou seja, o valor de um independe do

valor do outro que lhe é ortogonal.

OBS4: O teste para comparações múltiplas t e F exigem ortogonalidade dos contrastes (o que significa

independência)

OBS3: Num experimento com I tratamentos, podemos formular vários grupos de contrastes ortogonais, porém cada

grupo terá apenas (I – 1) contrastes ortogonais.

30

Exemplo: Verifique se o conjunto de contrastes é ortogonal:

213

3212

43211

2

3

mmC

mmmC

mmmmC

31

ComoComo montarmontar umum conjuntoconjunto dede contrastescontrastes ortogonais?ortogonais?

Regra prática para obter grupos de contrastes ortogonais:

Se um contraste tiver, como no nosso exemplo, 3 médias contra uma deve-se, no próximo contraste montá-lo com as médias que formam um grupoesquecendo-se o que ficou sozinha. E assim por diante.

Se o primeiro contraste contar 2 grupos de médias, nos próximos trabalham-se dentro de cada grupo.

433

212

43211 )()(

mmC

mmC

mmmmC

212

3211 2)(

mmC

mmmC

Exemplos:

# Número ímpar de médias de tratamentos # Número par de médias de tratamentos

32

3 tratamentos: m1, m2 e m3 4 tratamentos: m1, m2, m3 e m4