Atividades resolvidas de expressões algébricas

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Resolução de atividades Capítulo 3

Atividades para classe Página 78

1 Sérgioescreveutrêsexpressõesalgébricasnoca-dernodele:umaracionalinteira,umaracionalfra-cionária e outra irracional. Identifique cada umaemseucaderno.

i) 8a3 ____ 3 1 6 ? d XX 3 2 c2 & expressão algébrica racional

inteira, pois não apresenta variável no denominador ou em radical.

ii) y __ 2 1

d XXXXXX 2 1 x   _______ 5 & expressão algébrica irracional,

pois apresenta variável em radical.

iii ) 9 ___ 2t   2    d XX 7  

 ___ p   & expressão algébrica racional fracio-nária, pois apresenta variável no denominador.

2 Consideredoisnúmeros,aeb,erepresenteoquesepedeemcadaitemcomumaexpressãoalgébrica.

a)Asomadessesdoisnúmeros.

  a 1 b

b)Oproduvtodessesnúmeros.

  a ? b

c)Asomadosquadradosdessesnúmeros.

  a2 1 b2

d)Oquadradodasomadessesnúmeros.

(a 1 b)2

e)Odobrodocubodasomadessesdoisnúmeros.

2 ? (a 1 b)3

f) Araizquadradadotriplodoprodutodessesnú-meros.

d XXXXXXXX 3 ? a ? b

3 Calculeovalornuméricodasexpressõesalgébri-casparaosvaloresindicados.

a)4c25d,parac53ed54.

4 ? 3 2 5 ? 4 5 12 2 20 5 28

b)3x222x14,parax52.

3 ? 22 2 2 ? 2 1 4 5 3 ? 4 2 4 1 4 5 12

c)3x222x14,parax5 22.

3 ? (22)2 2 2 ? (22) 1 4 5 3 ? 4 1 4 1 4 5 20

d)2a21b2,paraa5 21eb5 21.

2(21)2 1 (21)2 5 21 1 1 5 0

Módulo 1: Expressões algébricas e)25p1q __21pq,parap51__3eq53.

25 ? 1 __ 3 1 3 __ 2 1 1 __ 3 ? 3 5 2 5 __ 3 1 3 __ 2 11 5

5 210 ____ 6 1 9 __ 6 1 6 __ 6 5 5 __ 6

4 Numparquedediversões,paga-seumingressode

RS||10,00emaisRS||5,00poratraçãovisitada.

a)Quanto deverá pagar uma pessoa que visitounesseparquenatrações?

v é o valor a ser pago pelo visitante.

v 5 10 1 5n

b)Quantas atrações visitou uma pessoa que pa-gouRS||45,00nesseparque?

Para v 5 45, tem-se:

10 1 5n 5 45

5n 5 45 2 10

n 5 35 ___ 5 V n 5 7

Essa pessoa visitou 7 atrações no parque.

5 Considereaexpressãoalgébrica2x25.

a)Qualéovalornuméricodessaexpressãoalgé-bricaparax53?Eparax50?Eparax521?

para x 5 3 & 23 2 5 5 8 2 5 5 3 para x 5 0 & 20 2 5 5 1 2 5 5 24

para x 5 21 & 221 2 5 5 1 __ 2 2 5 5 1 2 10 ______ 2 5

5 2 9 __ 2 5 24,5

b)Paraqualvalordexovalornuméricodessaex-pressãoéiguala11?

2x 2 5 5 11

2x 5 11 1 5

2x 5 16

Como 16 5 24 V 2x 5 24 & x 5 4

6 Umobjeto,abandonadodeumaalturadedmetros,

leva aproximadamente d XX d __5 segundos para chegar

aochão.Quantotempolevaparaatingirochãoumaboladefutebolabandonadadeumaalturade:

Seja t o tempo de queda do objeto em segundos e d a altura de queda do objeto.

a)5metros?

t 5 d XX d __ 5 ; para d 5 5 m,

t 5 d XX 5 __ 5 Æ t 5 d X 1 Æ t 5 1 s

Portanto, uma bola abandonada de uma altura de 5 m leva 1 segundo para chegar ao chão.

b) 1,25metro?

Para d 5 1,25 m,

  t 5 d XXXX 1,25

____ 5 V t 5  d XXXXX 0,25 5 d XX 1 __ 4 5 1 __ 2 5 0,5 Æ

V t 5 0,5 s

Portanto, uma bola abandonada de uma altura de 1,25 m leva aproximadamente 0,5 segundo para chegar ao chão.

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7 A áreaA de um trapézioé dada pela fórmula

A5 (B1b)?h __________2 ,sendoB:

medida da base maior; b:medidadabasemenor;h:medidadaaltura.

a)CalculeaáreadeumtrapézioemqueB55,b53eh54.

A 5 (5 1 3) ? 42

___________ 21 V

V A 5 8 ? 2 V A 5 16

b)Quantomedeabasemaiordeumtrapéziodeárea9cm2cujaalturamede3cmecujabasemenormede1,5cm?

A 5 (B 1 1,5) ? 3

___________ 2 V

V 9 ? 2 5 (B 1 1,5) ? 3 V

V 18 ___ 3 5 B 1 1,5 V

V 6 2 1,5 5 B VV B 5 4,5a base maior do trapézio mede 4,5 cm.

8 Marina calcula amédiadasnotasdosalunos,M,

comafórmulaM5T1PM12PB

  ______________4 ,emqueT,PM

ePBrepresentam,respectivamente,notasdetra-balhosedasprovasmensalebimestral.Atabelamostraasnotasdetrêsalunos.Calculeamédiadecadaum.

Josué ∫ M 5 9 1 5 1 2 ? 3 _____________ 4 5  20 ____ 4 5 5

Carla ∫ M 5 8 1 10 1 2 ? 6 _____________ 4 5 30 ___ 4 5 7,5

Sílvia ∫ M 5 6,5 1 8,5 1 2 ? (6,5)

___________________ 4 5 28 ___ 4 5 7

9 Emumacertacidade,ostaxistascobramumpreçofixo (bandeirada)deRS||4,00emaisRS|| 1,20porquilômetrorodado.p é o total a ser pago pela corrida.

a)Quantodevepagarumpassageiroquerodarxquilômetros?p 5 4 1 1,20x

b)Quantodevepagarumpassageiroquerodar15quilômetrosnessacidade?

para x 5 15 km:  p 5 4 1 1,20 ? 15  p 5 4 1 18 Æ p 5 22 Um passageiro que rodou 15 km deve pagar

RS|| 22,00.c)SeumpassageiropagouRS||31,60porumacorri-

da,quantosquilômetroselerodounessacidade? para p 5 31,60, tem-se: 31,60 5 4 1 1,20x

NOTAS

Aluno TrabalhosProva

mensalProva

bimestral

Josué 9,0 5,0 3,0

Carla 8,0 10,0 6,0

Sílvia 6,5 8,5 6,5

31,60 2 4 5 1,20x

27,60

______ 1,20 5 x V x 5 23

numa corrida cujo valor pago foi RS|| 31,60 o pas-sageiro rodou 23 km.

Atividades para casa Página 79

10 Copie as expressões seguintes em seu caderno,identificando-ascomo irracionais, racionais intei-rasouracionaisfracionárias.

a)4x215y ___7

É, de acordo com a classificação das expressões al-gébricas, uma expressão algébrica racional inteira.

b) d XX 21d XX 31a É uma expressão algébrica racional inteira.

c) 5__x 2d XX 7___y 

É uma expressão algébrica racional fracionária.

d)d XXXXXXX x222

________5

É uma expressão algébrica irracional.

e) x31x21x11_______________p 

É uma expressão algébrica racional fracionária.

f) a __22d XX a 

É uma expressão algébrica irracional.

11 OterraçoItália,emSãoPaulo(Brasil),possui165metrosdealtura,ea torreTaipei 101,emTaiwan(China),queémaisalta,temxmetrosdealtura.

a)Que expressão algébrica representa quantosmetrosatorreTaipei101émaisaltaqueoterra-çoItália?

x 2 165 é a expressão que representa quantos metros a torre Taipei 101 é mais alta que o terraço itália.

b)CalculeaalturadatorreTaipei 101,sabendoqueelaé344metrosmaisaltadoqueoterraçoItália.

a torre Taipei 101 tem 344 metros de altura a mais que o terraço itália, logo,

x 2 165 5 344 V x 5 344 1 165 V x 5 509 a torre Taipei 101 tem 509 metros de altura.

12 Representeemseucadernooquesepedeemcadaitemcomumaexpressãoalgébrica.

a)Oprodutodosnúmerosa,bec. abc

b)Asomadotriplodexcomodobrodey. 3x 1 2y

c)Oquadradodezmenosocubodet. z2 2 t3

d)Araizquadradadasomademen. d XXXXXX m 1 n  

e)Asomadoquadradodepcom5. p2 1 5

f) Oquadradodasomadex,yez. (x 1 y 1 z)2

g)Asomadosquadradosdex,yez. x2 1 y2 1 z2

h

B

b

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13 Calculeeregistreemseucadernoovalornumé-ricodasexpressõesalgébricasdeacordocomosvaloresindicadosparaasvariáveis.

a)7x23y,parax53ey55 7 ? 3 2 3 ? 5 5 21 2 15 5 6

b)b31b22b11,parab53 33 1 32 2 3 1 1 5 27 1 9 2 2 5 34

c)b31b22b11,parab5 22 (22)3 1 (22)2 2 (22) 1 1 5 28 1 4 1 2 1 1 5 21

d)rs 22r2s,parar5 22es5 23 (22) ? (23)2 2 (22)2 ? (23) 5

5 (22) ? 9 2 4 ? (23) 5 218 1 12 5 26

e) d XXXXXXXXXXX x 21y19

____________xy25 ,parax54ey50

d XXXXXXXXXXX 42 1 0 1 9

____________ 4 ? 0 2 5 5 d XXXXXXX 16 1 9

________ 25 5

d XXX 25 ____

25 5 5 ____ 25 5 21

f) 2y32y2,paray5 21 2(21)3 2 (21)2 5 2(21) 2 1 5 1 2 1 5 0

g)3a1 b _______c 2

,paraa52,b5 24ec56

3 ? 2 1 (24)

____________ 62 5 6 2 4 ______ 36 5 2 2 ______ 36 2 5 1 ___ 18

h)x212y2,parax51__2ey51__4

@ 1 __ 2 # 2 1 2 ? @ 1 __ 4 # 2 5 1 __ 4 1 2 ? @ 1 ___ 16 # 5 1 __ 4 1 1 __ 8 5

5 2 11 _____ 8 5 3 __ 8

i) 6p21,2t1t2,parap51,25et50,16 ? 1,25 2 1,2 ? 0,1 1 (0,1)2 5

5 7,5 2 0,12 1 0,01 5 7,39

j) x11_________11 1_____x11

,parax51__3

1 __ 3 11

________ 1 1 1 _____

1 __ 3 1 1

5

1 13 _____ 3 _________

1 1 1 _____ 1 1 3 _____ 3

5

4 __ 3 _______

1 1 1 ___ 4 __ 3

5

4 __ 3 ______ 4 1 3 ______ 4 5

5 4 __ 3 ? 4 __ 7 5 16 ___ 21

14 PedrorecebeumsaláriodeSreaispormês.ParacadaminutoquePedrochegaatrasadoaotraba-lho,sãodescontadosDreaisdosaláriodele.

a)Escrevaumaexpressãoalgébricaquerepresen-te o total recebido porPedro emummês emquetevenminutosdeatraso.

Para n minutos de atraso

S é o salário efetivamente recebido no mês por Pedro.

S 5 S 2 nD

b)ConsidereS5900eD52.SePedro teve3minutosdeatrasonummês,qualfoiototalre-cebidoporele?

S 5 900 2 3 ? 2

S 5 894

no mês em que atrasou 3 minutos, Pedro rece-beu RS|| 894,00.

15 Épossíveldescobrirquantocalçaumapessoaco-nhecendoo comprimento do pé dessa pessoa.A

fórmulaS55p128

________4 possibilitaessecálculo,em

queSrepresentaonúmerodosapato,ep,ocom-

primentodopé(emcentímetros).

a)Deacordocomafórmula,qualdeveseronúme-rodosapatodeumapessoacujopétem24cmdecomprimento?

p 5 24 cm

S 5 5 ? 24 1 28 ___________ 4 5 148 ____ 4 5 37

O número do sapato deve ser 37.

b)SeAldocalça40,qualéocomprimentoaproxi-madodopédele?

S 5 40

40 5 5p 1 28

________ 4 Æ 160 5 5p 1 28 Æ

Æ 160 2 28 5 5p Æ p 5 132 ____ 5 Æ p 5 26,4

O comprimento aproximado do pé de aldo é 26,4 cm.

c)Meçaocomprimentodoseupéeuseafórmulaparaverificarseovalorencontradocorrespon-deaonúmerodesapatoquevocêusa.

Resposta pessoal.

16 Numapapelaria,opreçodeumalapiseiraéoquá-druplodovalordeumacaneta.CecíliacomprouCcanetaseLlapiseirasnessapapelaria.

Sendo PL o preço de cada lapiseira.

a)Chamandodexopreçodecadacaneta,escrevaumaexpressãoalgébricaquerepresenteototalgastoporCecília.

PL 5 4x

Cx 1 4Lx é a expressão que representa o gasto de Cecília.

b)SabendoqueCecíliacomprou8canetase3la-piseiras,egastou,nototal,RS||24,00,calculeopreçodecadacanetaedecadalapiseira.

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24 5 8x 1 4 ? 3 ? x V 24 5 20x V

V 24 ___ 20 5 x Æ 6 __ 5 5 x Æ x 5 1,2

Então PL 5 4x 5 4,8.

O preço da caneta é RS|| 1,20 e o da lapiseira, RS|| 4,80.

Boxe Cálculo mentalPágina 81

Reduzamentalmenteosseguintesmonômiosse-melhantes.

a) 13x17x 5 20x

b)42a159a22a 5 99a

c) b __312b ___35 1 __ 3 b 1 2 __ 3 b 5 3 __ 3 b 5 1b 5 b


1 Observeasexpressõesalgébricasaseguirecopieemseucadernoasquerepresentammonômios.

a)214a3b É um monômio.

b)4x12y não é um monômio.

c) 2a3p _____7

É um monômio.

d)x21 não é um monômio.

e) d XXX xy 

não é um monômio.

f) z ___pq 


2 Identifiqueemseucadernoocoeficientenuméricoeaparteliteraldecadaumdosmonômiosaseguire,depois,indiqueosmonômiossemelhantes.

a) 12xy2

Coeficiente numérico 5 12; parte literal 5 xy2

b)22xy

Coeficiente numérico 5 22; parte literal 5 xy

c)xy2

Coeficiente numérico 5 1; parte literal 5 xy2

d)p __3

Coeficiente numérico 5 1 __ 3 ; parte literal 5 p

e)2p5

Coeficiente numérico 5 21; parte literal 5 p5

f) 3xy ____4

Coeficiente numérico 5 3 __ 4 ; parte literal 5 xy

Monômios semelhantes: a) e c); b) e f).

3 Determineemseucadernoograudecadaumdosmonômiosaseguir.

g é o grau do monômio.

a)2x5y3z6

g 5 5 1 3 1 6 5 14

b)2a4b3

g 5 4 1 3 5 7

c)3y7

g 5 7

d)xy2

g 5 1 1 2 5 3

e)x g 5 1

f) 25 g 5 0

4 Substituaaemcadaumadasexpressões,paraquesejamválidasasigualdades:

a)3x5y3z1?y3z58x5y3z

y3z 5 8x5y3z 2 3x5y3z

y3z 5 5x5y3z

5 5x5

b)?zw24xyzw523xyzw

5 xy

c) 10b8c9d51?50

5 210b8c9d5

5 Calculeemseucadernoovalorden,sabendoqueosmonômios5x3ynz7e24anb6cntêmomesmograu.3 1 n 1 7 5 n 1 6 1 n10 1 n 5 6 1 2n10 2 6 5 2n 2 nn 5 4

6 Simplifiqueasexpressõesemseucaderno, redu-zindoostermossemelhantes.

a)5t 2111t222t25 14t2

b) 14k12p29k13p 5 14k 2 9k 1 2p 1 3p 55 5k 1 5p

c)4x312x225x12x423x313x215x17

5 2x4 1 4x3 2 3x3 1 2x2 1 3x2 25x 1 5x 1 7 55 2x4 1 x3 1 5x2 1 7

d) 8y3 1 y2 2 6y3 1 5y 2 4y2 2 4y

5 8y3 2 6y3 1 y2 2 4y2 1 5y 2 4y 5 2y3 2 3y2 1 y

e) 2a ___314a2a __2 5 4a 1 24a 2 3a ______________ 6 5 25a ____ 6

f) w2___121

2y ___32w

2___812y 5

2y 1 6y ________ 3 1 2w2 23w2

_________ 24 5

5 8y

 ___ 3 2 w 2 ___ 24

g)2,5x3y220,7x2y321,8x3y21x2y211,7x2y3

5 2,5x3y2 2 1,8x3y2 20,7x2y3 1 1,7x2y3 1 x2y2 5

5 0,7x3y2 1 x2y3 1 x2y2

Módulo 2: Monômios: definição e adição algébrica

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7 Copieecompleteatabelaemseucaderno.

x x2 x2 1 x2 x4 2x2

1 12 5 1 12 1 12 5 2 14 5 1 2 ? 12 5 2

4 42 5 16 16 1 16 5 32 44 5 256 2 ? 16 5 32

10 102 5 100 100 1 100 5 200 104 5 10 000 2 ? 100 5 200

22 (22)2 5 4 4 1 4 5 8 (22)4 5 16 2 ? 4 5 8

Observando a tabela em seu caderno, verifiquequalafirmaçãoestácorreta.I.x21x25x4 ∫ incorretaII.–x21x252?x2 ∫ correta

8 Escrevaomonômioquerepresentaoperímetrodecadafiguraabaixo.

a)ABCDéumquadradocomladodemedidax.

E

A

D C

B

F

Ostriângulos ABEeBCFsãoequiláteros.perímetro 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 5 6x

b) ___

AB ,___

BC e___

CD têmmedida5L___

EF ,___

FG e___

GH têmmedida3L

A E

C

DH

B

G F

notando que AH 1 CD 5 5L 2 3L 5 2L, tem-se perímetro 5 3 ? 5L 1 3 ? 3L 1 2 ? L 5 26L

9 Claraconstruiualgumasfigurasusandopeçasre-tangularesiguaisàdafiguraabaixo.

x

y

a)Vejaalgumasdas figurasconstruídasporCla-raedetermineemseucadernooperímetrodecadaumadelas.

  figura A

perímetro 5 2 ? 5x 1 2y 5 10x 1 2y

figura B

perímetro 5 3y 1 5x 1 (y 2 x) 5 4y 1 4x

b)ObserveoutrafiguraqueClaraconstruiu.

figura CÉpossívelestabelecerumarelaçãoentreasvariá-veisy ex.Qualéessarelação?a partir da observação da figura C é possível esta-belecer que y 5 3x.

10 Considereosmonômios6bx2e2bx2.

a)Determineemseucadernoovalornuméricoda

somadessesmonômiosparab51__4ex5 22.

6bx2 1 2bx2 para b 5 1 __ 4 e x 5 22

36 ? 1 ___ 42 ? (22)2 1 21 ? 1 ___ 42

? (22)2 5

5 3 __ 21 ? 42 1 1 __ 21

? 42 5 6 1 2 5 8

ou ainda

6bx2 1 2bx2 5 8bx2, então 8 ? 1 __ 4 ? (22)2 5 5 2 ? 4 5 8

b)Sabendoqueb56equexéumnúmeroracio-nalpositivo,qualdeveserovalordexparaqueovalornuméricoda somadosmonômios sejaiguala12?

6bx2 1 2bx2 5 12 V

8bx2 5 12 Æ 8 ? 6x2 5 12 Æ 48x2 5 12 V

x2 5 12 4 ______ 48 4 Æ x 5 d XX 1 __ 4 5 1 __ 2

Atividades para casa Página 83

11 Dentreasexpressõesalgébricasaseguir,identifi-queaquelasquesãomonômios.

a)2a2b não é um monômio.

b) 2x ___5

É um monômio.

c)22,78

É um monômio.

d)xyz2

É um monômio.

e) abcd _____e 


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f) 3dXXXX ab2


12 Considere osmonômios apresentados a seguir erespondaemseucaderno.

2x3y 8x2y xy324x3y   x2y2

____ 6

a)Qualéotermocujocoeficientenuméricoéiguala24?

O termo é 24x3y.

b)Quaistermossãosemelhantes?

Os termos 2x3y e 24x3y, pois apresentam a mes-ma parte literal.

c)Qualéotermocujocoeficientenuméricoéiguala1?

O termo de coeficiente numérico igual a 1 é xy3.

d)Qualotermocujaparteliteraléx2y?

O termo cuja parte literal é x2y é o termo 8x2y.

e)Qualéotermocujocoeficientenuméricoéigual

a1__6?

O termo cujo coeficiente numérico é igual a 1 __ 6 é o

termo x2 y2

_____ 6 .

13 Verifiquequaisafirmaçõessãoverdadeirasecor-rijaasfalsasemseucaderno.

a)Osmonômios5x2ye5xy2sãosemelhantes.

Falsa. Os monômios 5x2y e 5xy2 não são seme-lhantes.

b)Ocoeficientenuméricodomonômiop __3éiguala

3.

Falsa. O coeficiente numérico de p __ 3 é 1 __ 3 e não 3.

c)Ocoeficientenuméricodomonômio2z8éiguala21.

Verdadeira.

d)Aparteliteralde8ax3éax. Falsa. a parte literal de 8ax3 é ax3.

e)5ab16ad17abpodeser reduzidoaapenasummonômio.

Falsa. 5ab 1 6ad 1 7ab pode ser reduzido a 12ab 1 6ad.

14 Indiqueemseucadernoograudecadaumdosmo-nômiosabaixo.

a)232s2t3u  d) b

g 5 2 1 3 1 1 5 6 g 5 1

b)xyz e) 2

g 5 1 1 1 1 1 5 3 g 5 0

c)8c5 f) pq ___4

g 5 5 g 5 2

15 Simplifiqueasexpressõesemseucaderno, redu-zindoostermossemelhantes.

a)3p3117p329p3 5 11p3

b)8d25c213c19d13d25

5 8d 1 9d 2 5c 1 13c 1 3d2 5 17d 2 18c 1 3d2

c)7x2y21x3y26x3y1x2y25

5 7x2y2 1 x2y2 1 x3y 2 6x3y 5 8x2y2 2 5x3y

d)7x228x1325x21x135

5 7x2 2 5x2 2 8x 1 x 1 6 5 2x2 2 7x 1 6

e) a2___315b ___223a21a

2___22b __45

5 a2 __ 3 23a2 1 a

2 __ 2 1 5b ___ 2 2 b __ 4 5 2a2 2 18a2 1 3a2

_______________ 6 1

1 10b 2 b ________ 4 5 213 ____ 6 ? a2 1 9 __ 4 ? b

f) 2x25x13y13x212y 5

5 2x 2 5x 1 3x 1 3y 2 12y 5 29y

g)2,752x213,14x21,315x2112,8x 5

5 2,752x2 2 1,315x2 1 3,14x 1 12,8x 5

5 1,437x2 1 15,94x

h)y __312y2

5y ___61

y __2 5

2y 1 12y 2 5y 1 3y  __________________6 5 2y

i) 0,75a13,27a221,6a15,62a21a 5

5 0,75a 2 1,6a 1 a 1 3,27a2 1 5,62a2 5

5 0,15a 1 8,89a2

16 Escrevaemseucadernoummonômiocomasca-racterísticasdescritasaseguir.

a)Na parte literal, aparecem apenas as variá-veisaeb.

b)Temomesmograu domonômioab2, porém,nãoésemelhanteaele.

c)Ograuéigualaocoeficientenumérico.

Se na parte literal aparecem apenas as variáveis a e b e o monômio tem o mesmo grau de ab2 mas não é semelhante a ele, a parte literal só pode ser a2b.O grau é 3, portanto o coeficiente numérico também é igual a 3; então o monômio é 3a2b.

17 ObtenhaummonômioMque,adicionadoaomonô-

mio2x3y _____7 ,resulta

x3y ____14.

M 1 2x3y

 _____ 7 5 x3y

 ___ 14

M 5 x3y

 ___ 14 2 2x3y

 _____ 7

M 5 x3y 24x3y

 __________ 14

M 5 23x3y

 ______ 14

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74


18 VejacomoSandraeLuísareduzirammonômiosse-melhantes.

Asduasalunasacertaramsuasreduções?Justifi-quesuaresposta.Somente a redução de Sandra está correta, pois Luísa incorretamente adicionou os expoentes das variáveis nos dois casos. O correto seria a 1 a 5 2a e 3b4 1 3b4 5 6b4.

19 SendoABCDeDEFGretângulos,escrevaummonô-mioquerepresenteoperímetrodafigurapintada.

5x

A E

G

D

CB

2x

7x

F5x

AE 5 7x 2 5x 5 2x

CG 5 5x 2 2x 5 3x

Então, o perímetro é:

p 5 5x 1 7x 1 3x 1 5x 1 2x 1 2x

p 5 24x

20 QualdeveseromonômioAparaque,aoreduzir-mosaexpressão5x21722x21A,obtenhamosummonômiodegrauzero?Para que a expressão tenha grau zero, o coeficiente numérico de x2 deve ser igual a zero. assim, 5x2 2 2x2 1 A 5 0 Æ A 5 23x2.

21 Calculeovalornuméricodecadaexpressãoabai-xo,paraosvaloresindicadosdasvariáveis.

Dica: reduza antes os termos semelhantes.

a)7,3x15,8x23,1xparax52,7895

7,3x 1 5,8x 2 3,1x 5 10x

para x 5 2,7895, tem-se: 10 ? 2,7895 5 27,895

b) a ___1215b1a __424b12a ___3,

paraa52,45eb5 20,45

a __ 12 1 5b 1 a __ 4 2 4b 1 2a ___ 3 5 a 1 3a 1 8a  ____________ 12 1b 5

 5 a 1 b 5 2,45 2 0,45 5 2

22 Calculeosvaloresdemen,sabendoqueosmonô-miosxnym,x3y2nzexy mz2têmomesmograu.n 1 m 5 3 1 2n 1 1

n 1 m 5 4 1 2nm 5 4 1 2n 2 nm 5 4 1 n Por outro lado, n 1 m 5 3 1 m Æ n 5 3.Substituindo o valor de n na equação m 5 4 1 n obtém-se m 5 4 13 Æ m 5 7.


1 Escrevaemseucadernoopolinômioopostoacadaumdospolinômiosdositensabaixo.

a)x212x11 O polinômio oposto é 2x2 2 2x 2 1.

b)x416x O polinômio oposto é 2x4 2 6x.

c)x527x318x215x12 O polinômio oposto é 2x5 1 7x3 2 8x2 2 5x 2 2.

d)6x623x514x3210x215x19

O polinômio oposto é 26x6 1 3x5 2 4x3 11 10x2 2 5x 2 9.

e)8x415x322x213x17

O polinômio oposto é 28x4 2 5x3 11 2x2 2 3x 2 7.

2 Escrevaopolinômioreduzidocorrespondenteaosseguintespolinômios.

a)x712x524x712x625x5 5x7 24x7 1 2x6 112x5 2 5x5 5 23x7 1 2x6 2 3x5

b)2a23b2c15a13b17c 5 2a 1 5a 23b 113b 2c 1 7c 5 7a 1 6c

c) k __3 1 k2 2 k __2 1 3k2____2 5 k2 1 3k2

___ 2 1 k __ 3 2 k __ 2 5

5 2k2 1 3k2 _________ 2 1 2k 2 3k ________ 6 5 5 __ 2 k2 2 1 __ 6 k

3 Escrevanoseucadernoograudosseguintespoli-nômios.

a)24t612t517t412t13

24t6 é o termo de maior grau, logo o grau do po-linômio é 6.

b)a3b212a4b323ab41b611

2a4b3 é o termo de maior grau, logo o grau do polinômio é 4 1 3 5 7.

c)x21y2

x2 e y2 têm o mesmo grau, logo o grau do polinô-mio é 2.

d)a1b 1 c

  a, b e c têm o mesmo grau, logo o grau do poli-nômio é 1.

Módulo 3: Polinômios: definição e adição algébrica

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75


4 Classifiquecadapolinômiodeumaúnicavariávelcomocompletoouincompleto.Emseguida,escre-vaospolinômiosincompletosnaformageral.

a)2x313x22x12

É um polinômio completo.

b)t221

É um polinômio incompleto, e sua forma geral é t2 1 0t1 2 1.

c)x41x31x22x21

É um polinômio completo.

d)y514y316

É um polinômio incompleto, e sua forma geral é y5 1 0y4 1 4y3 1 0y2 1 0y 1 6.

5 ConsidereospolinômiosP53x215x21,Q5x318x225x11eR52x323x216eefetueasoperaçõesindicadasabaixo.

P 5 3x2 1 5x 2 1

Q 5 x3 1 8x2 2 5x 1 1

R 5 2x3 2 3x2 1 6

Utilizando o método prático:

a)P1Q

3x2 1 5x 2 1

1 x3 1 8x2 2 5x 1 1

x3 1 11x2 1 0x 1 0

P 1 Q 5 x3 1 11x2

b)P1R

3x2 1 5x 21

1 2x3 2 3x2 1 0x 16

2x3 10x2 1 5x 15

P 1 R 5 2x3 1 5x 1 5

c)Q1R

x3 18x2 2 5x 11

1 2x3 23x2 1 0x 16

5x2 2 5x 17

Q 1 R 5 5x2 2 5x 1 7

d)P1Q1R

3x2 15x 21

x3 18x2 25x 11

1 2x3 23x2 10x 1 6

0x3 18x2 20x 1 6

P 1 Q 1 R 5 8x2 1 6

e)P2R

3x2 15x 21

1 x3 13x2 20x 26 (2R)

x3 16x2 15x 27

  P 2 R 5 x3 1 6x2 1 5x 2 7

f) Q2R

x3 18x2 25x 11

1 x3 13x2 10x 26 (2R)

2x3 1 11x2 25x 25

  Q 2 R 5 2x3 1 11x2 2 5x 2 5

g)P2Q

3x2 1 5x 21

1 2x3 28x2 1 5x 21 (2Q)

2x3 25x2 1 10x 22

P 2 Q 5 2x3 2 5x2 1 10x 2 2

h)Q2P1R

x3 1 8x2 25x 11

1 0x3 2 3x2 25x 11 (2P)

2x3 2 3x2 10x 16

2x2 210x 18

  Q 2 P 1 R 5 2x2 2 10x 1 8

6 Considere três fábricas A, B e C. Por dia, sãoproduzidosxcarrosnafábricaA;nafábricaB,odobrodoscarrosproduzidosemAmenos100uni-dades;naC,metadedaproduçãodeAmais200unidades.

a)RepresenteaproduçãodasfábricasBeCcompolinômios.

Quantidade de carros produzidos na fábrica A: x Quantidade de carros produzidos na fábrica

B: 2x 2 100 Quantidade de carros produzidos na fábrica

C: x __ 2 1 200

b)Qualpolinômiorepresentaototaldecarrospro-duzidospordianastrêsfábricas?

x 1 2x 2 100 1 x __ 2 1 200 5 3x 1 x __ 2 1 100 5

5 6x 1x _______ 2 1 100 5 7x ___ 2 1 100

7 Na figura, sãomostradosdois retângulos,A eB,comasrespectivasdimensões.

50

3x

2x

30A

B

Escrevaemseucadernoumpolinômioquerepre-senteoperímetrosolicitadoemcadaumdositens.a)doretânguloA; 2 ? (5x) 1 2 ? 30 5 10x 1 60

b)doretânguloB; 2 ? (3x) 1 2 ? 20 5 6x 1 40

c)daregiãoformadapelauniãodosretângulosAeB. 2 ? (5x) 1 2 ? 50 510x 1 100

3x2 1 5x 2 1

1 x3 1 8x2 2 5x 1 1

x3 1 11x2 1 0x 1 0

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76


8 SendoAeBospolinômiosA55x312x22x13eB52x418x315x24calculeoquesepedeemcadaitem.

a)A1B 5x3 12x2 2x 13

1 2x4 1 8x3 10x2 15x 24

2x4 1 13x3 12x2 14x 21

A 1 B 5 2x4 1 13x3 1 2x2 1 4x 2 1

b)A2B5x3 12x2 2x 13

1 x4 28x3 10x2 25x 14

x4 23x3 12x2 26x 17

A 2 B 5 x4 23x3 1 2x2 2 6x 1 7

c)B2A

2x4 18x3 20x2 1 5x 24

1 0x4 25x3 22x2 1 x 23

2x4 13x3 22x2 1 6x 27

B 2 A 5 2x4 1 3x3 2 2x2 1 6x 2 7

9 ObtenhaumpolinômioPque,adicionadoaopolinô-mio2a4b23a3b21a2b32ab4,resultenopolinômio8a4b2a3b212ab4.

Seja P o polinômio.

P 1 2a4b 2 3a3b2 1 a2b3 2 ab4 55 8a4b 2 a3b2 1 2ab4

P 5 8a4b 2 2a4b 2 a3b2 1 3a3b2 2 a2b3 1 2ab4 1 ab4

P 5 6a4b 1 2a3b2 2 a2b3 1 3ab4

10 Noesquemadesenhadoabaixo, cada retânguloapartirdasegunda linhadeveserpreenchidocomasomadosdoispolinômioslocalizadosnosretân-gulos imediatamente inferiores.Copieoesquemaem seu caderno, substituindo cada símbolo pelopolinômiocorrespondente.

10x2

2x213x21 5x218x12

5 2x2 1 3x 2 1 1 5x2 1 8x 1 2

5 (2 1 5)x2 1 (3 1 8)x 1 1

5 7x2 1 11x 1 1

1 5 10x2

5 10x2 2

5 10x2 2 7x2 2 11x 2 1

5 3x2 2 11x 2 1

5x2 1 8x 1 2 1 5 5 2 5x2 2 8x 2 2

5 3x2 2 11x 2 1 2 5x2 2 8x 2 2

5 (3 2 5)x2 1 (211 2 8)x 2 3

5 22x2 2 19x 2 3

11 DadosospolinômiosP58x312x11eQ5ax311bx213,qualovalordeaequalcondiçãoparaovalordebdevesersatisfeitademodoqueP1Qsejaumpolinômiodo2ograu?

P 1 Q 5 (8 1 a)x3 1 bx2 1 2x 1 4

Para que P  1  Q seja um polinômio do 2o grau é necessário ter:

b 0 e

8 1 a 5 0 Æ a 5 28

12 OpolinômioPfoiobtidosubtraindo-seopolinômiox21ax115dopolinômioax222x119.Sabe-sequeovalornuméricodePéiguala8parax53.Comessasinformações,calculeovalordea.P 5 ax2 2 2x 1 19 2 x2 2 ax 2 15P 5 (a 2 1)x2 1 (22 2 a)x 1 4Para x 5 3 e P 5 8 tem-se:(a 2 1) ? 32 1 (22 2 a) ? 3 1 4 5 89a 2 9 2 6 2 3a 1 4 5 8 6a 5 8 1 11

a 5 19 ___ 6 

Atividades para casaPágina 87

13 Identifiqueeregistreemseucadernoquaisdes-tasexpressõessãopolinômios.

Lembrando que um polinômio é formado pela adi-ção de monômios (expressões algébricas racionais inteiras).

a) x1y ______

z1t 

não é um polinômio, pois é uma expressão algé-brica racional fracionária.

b) x 1 d XX x  

não é um polinômio, pois é uma expressão algé-brica irracional.

c)21p

É um polinômio.

d)z31z225z1t

É um polinômio.

e)k

É um polinômio.

f) 22

É um polinômio.

14 Observeospolinômiosdasfichase,depois,regis-treemseucadernooqueépedidoemcadaitem.

I)2pqr1q22pr

II)abcde221

III)u1v1t

IV)4x25

V)x__

213

VI)r4s21s

VII)a31b1c

VIII)5x12y1z

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77


a)Polinômiode3termosdo1ograu.

iii) u 1 v 1 t

b)Polinômiode3termosdo3ograu.

i) 2pqr 1 q2 2 pr

c)Polinômiode2termosdo1ograu.

iV) 4x 2 5

d)Polinômiode2termosdo6ograu.

ii) abcde2 2 1

15 Determineemseucadernoograudos seguintespolinômios.

a) 122y312y

É um polinômio de grau 3.

b)4a2b13ab4


c)5x22xyz


d)7x523x2118x16


e)5


f) x1x212x223x2

x 1 3x2 23x2 5 x é um polinômio de grau 1.

16 Reduzaostermossemelhanteseobtenhaaformareduzidadospolinômiosabaixo.

a)2x17y25x18y1x

2x 2 5x 1 x 1 7y 1 8y 5 22x 1 15y

b) 2a ___32a2___21a __312a

2____5 5 2a ___ 3 1 a __ 3   2 a

2 __ 2 1 2a2

____ 5 5

5 3a ___ 3 1 25a2 1 4a2 ___________ 10 5 2a2

____ 10 1 a

c) (x312x2)1(4x322x2)1(225x3)

(1 1 4 2 5)x3 1 (2 2 2)x2 1 2 5 2

17 Umpolinômiodo2ograunavariávelx é tal queocoeficientenuméricodecada termoé igualaograudessetermo.Escrevaessebinômio.

2x2 1 1x1 1 0x0 5 2x2 1 x

18 DadosospolinômiosPeQ,sendoP58x513x427x32x13eQ52x52x418x315x224,calcule.

a)P1Q

8x5 13x4 27x3 10x2 2 x 1 3

1 2x5 2 x4 18x3 15x2 1 0x 2 4

10x5 12x4 1 x 3 15x2 2 x 2 1

P 1 Q 5 10x5 1 2x4 1 x3 1 5x2 2 x 2 1

b)P2Q8x5 13x4 27x3 10x2 2 x 1 3

1 22x5 1 x4 28x3 25x2 1 0x 1 4 (2Q)

6x5 14x4 215x3 25x2 2 x 1 7

P 2 Q 5 6x5 1 4x4 2 15x3 2 5x2 2 x 1 7

c)Q2P

2x5 2x4 18x3 15x2 10x 24

1 28x5 23x4 17x3 10x2 1x 23 (2P)

26x5 24x4 115x3 15x2 1x 27

Q 2 P 5 26x5 2 4x4 1 15x3 1 5x2 1 x 2 7

19 ConsiderandoospolinômiosA 5x1y1z, B5x1 1y2zeC52x2y22z,obtenha:

a)A1B

x 1 y 1 z

1 x 1 y 2 z

2x 1 2y 1 0z

  A 1 B 5 2x 1 2y

b)A1C

x 1 y 1 z

1 2x 2 y 2 2z

3x 1 0y 2 z

  A 1 C 5 3x 2 z

c)B1C

x 1 y 2 z

1 2x 2 y 2 2z

3x 1 0y 2 3z

  B 1 C 5 3x 2 3z

d)A1B1C

x 1y 1z

x 1y 2z

1 2x 2y 22z

4x 1y 22z

A 1 B 1 C 5 4x 1 y 2 2z

e)A2B

x 1y 1z1 2x 2y 1z(2B)

0x 10y 12z  A 2 B 5 2z

f) C2A

2x 2y 22z

1 2x 2y 2z (2A)

x 22y 23z

  C 2 A 5 x 2 2y 2 3z

4P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd 77 30.10.08 09:41:01

78


g)B2C

x 1y 2z

1 22x 1y 12z (2C)

2x 12y 1z

  B 2 C 5 2x 1 2y 1 z

h)C2B2A2x 2y 22z

1 2x 2y 1z (2B)

2x 2y 2z (2a)0x 23y 22z

  C 2 B 2 A 5 23y 2 2z

20 Omaiorretângulodafigurafoiconstruídojuntan-do-seváriosretângulosmenores.

5

x

amarelo azul

8

2x

a)Qualpolinômiorepresentaasomadasáreasdetodososretângulosazuis?

8 ? (2x) 1 5x 1 8 ? 2 5 16x 1 5x 1 16 5 21x 1 16

b)Quepolinômio representaa somadasáreas detodososretângulosamarelos?

5 ? (2x) 1 8x 1 5 ? 2 5 10x 1 8x 1 10 5 18x 1 10

c)Determine o polinômio que representa a áreadoretângulomaior.

(5 1 8) ? (2x 1 x 1 2) 5 13 ? (3x 1 2) 5 39x 1 26

21 Doisirmãosherdaramumterrenoretangular,com20metrosdefrenteporymetrosdefundo.Oter-renofoidivididoemdoislotes,comomostraafigu-ra.OlotedeCelsoéoquetemxmetrosdefrente,eodeMarcela,ooutro.

y

x

20

a)QuantosmetrostemafrentedolotedeMar-cela?

O lote de Marcela tem (20 2 x) metros de frente.

b)Quepolinômio representaoperímetrodo lotedeMarcela?

2 ? (20 2 x) 12y 5 40 22x 1 2y é o polinômio que representa o perímetro do lote de Marcela.

22 ConsidereospolinômiosP,QeR.P52x413x2,Q52x41xeR5x3.

a)QualéograudopolinômioP1Q?

P 1 Q 5 x4 1 3x2 1 x é um polinômio de grau 4.

b)QualéograudopolinômioP1R?

P 1 R 5 2x4 1 x3 1 3x2 é um polinômio de grau 4.

c)QualéograudopolinômioQ1R?

Q 1 R 5 2x4 1 x3 1 x é um polinômio de grau 4.

d)EncontreumpolinômioSdo4ograu,talqueopolinômioP1Ssejado2ograu.

Seja S 5 ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e P 1 S 5 2x4 1 3x2 1 ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e P 1 S 5 (21 1 a)x4 1 bx3 1 (3 1 c)x2 1 dx 1 e Para que P 1 S seja um polinômio do 2o grau é 

preciso que: 21 1 a 5 0 V a 5 1 b 5 0 3 1 c 0 V c 23 Como há infinitos valores para c 23, haverá in-

finitos polinômios S da forma x4 1 cx2 1 dx 1 e. Por exemplo: S 5 x4 1 x2 1 x 2 3.

e)EncontreumpolinômioTdo4ograu,talqueopolinômioP1Tsejado1ograu.

Seja T 5 ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e

P 1 T 5 2x4 1 3x2 1 ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e

P 1 T 5 (21 1 a)x4 1 bx3 1 (3 1 c)x2 1 dx 1 e

Para que P 1 T seja um polinômio do 1o grau é preciso que:

21 1 a 5 0 Æ a 5 1 b 5 0

3 1 c 5 0 Æ c 5 23 d 0

Há infinitos polinômios T que satisfazem essas condições.

Exemplo: T 5 x4 2 3x2 1 5x 2 9

23 AoadicionarospolinômiosAeB,ambosnavariávelx,obteve-se2x317x225x22.OvalornuméricodeAparax51éiguala26.QualovalornuméricodeBparax51?

A 1 B 5 2x3 1 7x2 2 5x 2 2

Substituindo x 5 1 e sabendo que o valor numérico de A para x 5 1 é 26 tem-se:

26 1 B(1) 5 2 ? 13 1 7 ? 12 25 ? 1 22,

onde o símbolo B(1) denota o valor numérico de B para x 5 1. Então:

B(1) 5 2 1 6

B(1) 5 8

Portanto o valor numérico de B para x 5 1 é 8.

24 Escrevaemseucadernodoispolinômiosde3ter-mosdo3ograunavariávely,taisqueasomade-lessejaumbinômiodo2ograu.

Para que dois polinômios de 3o grau somados re-sultem em um polinômio do 2o grau basta que os termos de 3o grau sejam opostos e que o coeficien-te do termo de 2o grau resultante seja diferente de zero.Uma resposta possível seria: y3 1 y2 1 y e 2y3 1 y2 1y

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79



1 Calcule as seguintes multiplicações entre monô-mios.

a)4y6?6y35 4 ? 6y613 5 24y9

b)5a2b3?(24ab8)5 5 ? (24)a211b318 5 220a3b11

c)8x4y3z5 ? (2x2yz3) ? 2x3 5 8 ? (21) ? 2x41213

y31 1z513 5 216x9y4z8

d)2__3t4w?6__5wz35 2 __ 31 ?

26 ___5 t4w111z3 5 4 __ 5 t4w2z3

e)0,2x?3,1x2?2x35 0,2 ? 3,1 ? 2x11213 5 1,24x6

f) 2abcd ? ab3d _____22 ? 4c3 5 12 abcd ? ab3d _____ 2211

? 4c3 5

5 4 __ 11 a111 b113 c113 d111 5 4 __ 11 a

2b4c4d2

2 Usandoapropriedadedistributiva,calculeosse-guintesprodutos.

a)3x(x312x222) 3x ? x3 1 3x ? 2x2 2 3x ? 2 5

5 3x113 1 3 ? 2x112 2 6x 5 3x4 1 6x3 2 6x

b)a3b2(2ab1b2a)

a3b2 ? 2ab 1 3b2 ? b 2 a3b2 ? a 5

5 2a311b211 1 a3b2 1 1 2 a311 b2 5

5 2a4b3 1 a3b3 2 a4b2

c)5p2t4(2p3t526p7t1p22t)

5p2t4 ? 2p3t5 2 5p2t4 ? 6p7t 1 5p2t4 ? p2 2 5p2t4 ? t 5 5 10p5t9 2 30p9t5 1 5p4t4 2 5p2t5

d)2y2

____5 @ y3

___6210y ____7 #

2y2

____ 5 ? y3

__ 6 2 2y2

____ 5 ? 10y

 ____ 7 5 12y5

____ 3015 2

420y3

______ 357 5

5 y5

___ 15 2 4y3

____ 7

e)24,25a(4a23) 24,25a ? 4a 1 4,25a ? 3 5 217a2 1 12,75a

f) k2(k21k2t11)

k2 ? k2 1 k2 ? k 2 k2t 1 k2 5 k4 1 k3 2 k2t 1 k2

3 Efetueasmultiplicaçõesentrepolinômios indica-dasabaixo.

a) (x13)?(x25) x ? x 2 x ? 5 1 3 ? x 2 3 ? 5 5 x2 22x 2 15

b)(y32yz)?(z2y1y3z) y3z2y 1 y3 ? y3z 2 yz ? z2y 2 yz ? y3z 5

5 y4z2 1 y6z 2 y2z3 2 y4z2 5 y6z 2 y2z3

c) (2b21)(b213b24) 2b ? b2 1 2b ? 3b 2 2b ? 4 2 b2 2 3b 1 4 5

5 2b3 1 6b2 2 8b 2 b2 2 3b 1 4 55 2b3 1 5b2 2 11b 1 4

d)(m1p)(m22mp1p2) m ? m2 2 m ? mp 1 mp2 1 pm2 2 p ? mp 1 p ? p2 5

5 m3 2 m2p 1 mp2 1 pm2 2 mp2 1 p3 5 m3 1 p3

Módulo 4: Multiplicação de polinômios e) @ a __221__3#@ 3a ___213__2# a __ 2 ? 3a ___ 2 1 a __ 2 ? 3 __ 2 2 1 __ 3 ? 3a ___ 2 2 1 __ 3 ? 3 __ 2 5

5 3a2 ____ 4 1 3a ___ 4 2

13a ___ 62 2 1 __ 2 5 3a2

____ 4 1 3a 22a _______ 4 2 1 __ 2 5

5 3a2 ____ 4 1 a __ 4 2 1 __ 2

f) (x322)(2x41x212x21)

2x3 ? x4 1 x3 ? x2 1 x3 ? 2x 2 x3 1 2x4 2 2x222 ? 2x 1

1 2 5 2x7 1 x5 1 2x4 2 x3 1 2x4 2 2x2 2 4x 1 2 5

5 2x7 1 x5 1 4x4 2 x3 2 2x2 2 4x 1 2

4 Considereumblocoretangularquefoidivididoemtrêspartes,comomostraafiguraabaixo,eescrevaemseucadernoumpolinômiopararepresentaroqueépedido.

x

y

32y4x

1 2 3

Dica: lembre-se de que o volume de um bloco re-tangular é igual ao produto do comprimento pela sua largura e altura desse bloco.

a)ovolumedaparte1;4x ? x ? y 5 4x2y

b)ovolumedaparte2;2y ? y ? x 5 2xy2

c) ovolumedaparte3;3xy

d)ovolumedoblocooriginal.4x2y 1 2xy2 1 3xy

5 Observeoretânguloaseguir.

x � 1

x � 3

a)Determine o polinômio que representa o perí-metrodessafigura.

Perímetro 5 2 ? (x 1 3) 1 2 ? (x 1 1) 5 52x 1 6 1 2x 1 2 5 4x 1 8

b)Determine o polinômio que representa a áreadessafigura.

área 5 (x 1 3) ? (x 1 1) 5 x2 1 x 1 3x 1 3 55x2 1 4x 1 3

c)Determine o valor numérico do polinômio querepresentaoperímetrodafigura,considerandox51.

Perímetro para x 5 1: 4 ? 1 1 8 5 12

d)Determineovalornuméricodopolinômioquerepresentaaáreadafigura,considerandox51.

área para x 5 1: 12 1 4 ? 1 1 3 5 8

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80


6 Umretângulofoidivididoemquatroretângulosme-nores,comomostraafigura.

3

y

2y 4

1

2

3

4

a)Determineaáreadecadaretângulo.

• áreadoretângulo 1 5 2y ? y 5 2y2

• áreadoretângulo 2 5 2y ? 3 5 6y • áreadoretângulo 3 5 4y • áreadoretângulo 4 5 4 ? 3 5 12 • áreadoretângulo maior 5 soma das áreas dos

retângulos 1, 2, 3 e 4

2y2 1 6y 1 4y 1 12 5 2y2 1 10y 1 12

b)Use a propriedade distributiva para efetuar amultiplicação(y13)?(2y14).

(y 1 3) ? (2y 1 4) 5 2y2 1 4y 1 6y 1 12 55 2y2 1 10y 1 12

7 Pelasregrasdeumtorneiodeautomobilismo,emcadacorridaoprimeirocolocadoganhaxpontos,o segundo, 2 pontos amenos que o primeiro e oterceiro,3pontosamenosqueosegundo.No ano passado, o campeão do torneio venceu 3corridas e obteve, ainda, 4 segundos lugares e 2terceiroslugares.

a)Qualpolinômiorepresentaototaldepontosob-tidospelocampeãodotorneio?

x pontos para o 1o colocado

(x 2 2) pontos para o 2o colocado

[(x 2 2) 2 3] pontos para o 3o colocado

3x 1 4(x 2 2) 1 2[(x 2 2) 2 3] 55 3x 1 4x 2 8 1 2x 2 4 2 6 5 9x 2 18 é o polinô-mio que representa o total de pontos do campeão.

b)Considerandox5 10,calculeo totaldepontosobtidospelocampeão.

Para x 5 10, tem-se: 9 ? 10 2 18 5 90 2 18 5 72

Atividades para casaPágina 91

8 Observeosmonômiosdadosnasfiguras.

5x3

�2x2

�4y4

3y3

6x5y

8xy3

amarelo azul

a)Calculeoprodutodosmonômiosqueestãonostriângulos.

8 ? x ? y3 ? 6 ? x5 ? y 5 8 ? 6 ? x ? x5 ? y3 ? y 5 5 48x6y4

b)Calculeoprodutodosmonômiosqueestãonosretângulos.

3 ? y3 ? 5 ? x3 5 3 ? 5 ? y3 ? x3 5 15y3x3

c)Calculeoprodutodosmonômiosqueestãonoscírculos.

24 ? y4 ? (22 ? x2) 5 (24) ? (22) ? y4 ? x2 5 8y4x2

d)Calculeoprodutodetodososmonômiosemfi-gurasamarelas.

5 ? x3 ? (22 ? x2) ? 8 ? x ? y3 55 25 ? 2 ? 8 ? x3 ? x2 ? x ? y3 5 280x6y3

e)Calculeoprodutodetodososmonômiosemfi-gurasazuis.

24 ? y4 ? 6 ? x5 ? y ? 3 ? y3 5 524 ? 6 ? 3 ? y4 ? y ? y3 ? x5 5 272y8x5

9 Calcule os produtos entre osmonômios de cadaitem.

a)8k5?(22k)?k3

28 ? 2 ? k5 ? k ? k3 5 216k9

b)p3?pq?2p4q8

2 ? p3 ? p ? p4 ? q ? q8 5 2p8q9

c)4x2y3?(23x4y5z2)?xz3

24 ? 3 ? x2 ? x4 ? x ? y3 ? y5 ? z2 ? z3 5 212x7y8z5

d)4h ___5?10h ____9 ?99h ____2

24 h ____ 51

? 210h ____ 91

? 1199h _____ 21

5 2 ? 2 ? 11 ? h ? h ? h 5 44h3

e)0,3c2d?2cd2?(27,12c2d2) 20,3 ? 2 ? 7,12 ? c2 ? c ? c2 ? d ? d2 ? d2 5

5 24,272c5d5

f) y __3?y2

___5?10y4z

y __ 3 ?

y2

__ 51 ? 210 ? y4 ? z 5 2 __ 3 ? y ? y2 ? y4 ? z 5

2y7z _____ 3

g)a?2ab?3abc?4abcd 2 ? 3 ? 4 ? a ? a ? a ? a ? b ? b ? b ? c ? c ? d 5 24a4b3c2d

h)23x3y4z?@ 27__6xyz # ?2x5yz2t2

13 ? 7 __ 61 ? 21 ? x3 ? x ? x5 ? y4 ? y ? y ? z ? z ? z2 ? t2 5

5 7x9y6 z4t2

10 Apliqueapropriedadedistributivaparacalcularosprodutosindicadosemcadaitem.

a)2p?(3p18) 2p ? 3p 1 2p ? 8 5 6p2 1 16p

b)7x2(x223x12) 7x2 ? x2 2 7x2 ? 3x 1 7x2 ? 2 5 7x4 2 21x3 1 14x2

c)25yz2(y23z4) 25yz2 ? y 1 5yz2 ? 3z4 5 25y2z2 1 15yz6

d)2b3c2d5?(4b2c32bc3d13c4d2) 2b3c2d5 ? 4b2c3 2 2b3c2d5 ? bc3d 1 2b3c2d5 ?

?3c4d25 2 ? 4 ? b312 ? c213 ? d5 2 2 ? b311 ? c213 ? ?d511 ? 2 ? 3 ? b3 ? c214 ? d512 55 8b5c5d5 2 2b4c5d6 1 6b3c6d7

e) 2a ___3@ 3a3____4 2a __226#

12a ___ 31

? 13a3

____ 42 2

12a ____ 3 ? a __ 21 2 2a ___ 31

? 26 5 a4 __ 2 2 a

2 __ 3 2 4a

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81


f) 2,25t4(1,2t214t13) 2,25t4 ? 1,2t2 1 2,25t4 ? 4t 1 2,25t4 ? 3 5

5 2,25 ? 1,2 ? t412 1 2,25 ? 4 ? t411 1 2,25 ? 3 ? t4 5 5 2,7t6 1 9t5 1 6,75t4

g)23h2(2h41h52 2h16) 3h2 ? h4 2 3h2 ? h5 1 3 ? 2h2 ? h 2 3h2 ? 6 5

5 3h6 2 3h7 1 6h3 2 18h2

h)xy2

____3 @ x2y15__2xy23__7y4#

xy2

____ 3 ? x2y 1 xy2

____ 3 ? 5 __ 2 xy 2 xy2

____ 31 ?

13 __ 7 y4 5

5 x ? x2 ? y2 ? y

  ____________ 3 1 5x? x ? y2 ? y

  ___________ 6 2 xy2 ? y4

_______ 7 5

5 x3y3

____ 3 1 5x2y3

______ 6 2 xy6

____ 7

11 Simplifique em seu caderno a expressão 2z3x ?? 4zx31x2?3x24z2?(23z2x4).

2 ? 4 ? z311 ? x113 1 3 ? x211 1 4 ? 3 ? z212 ? x4 55 8z4x4 1 3x3 1 12z4x4 5 (8 1 12)z4x4 1 3x3 55 20z4x4 1 3x3

12 Determineemseucadernoosseguintesprodutosentrepolinômios.

a) (x13)(x25)

x ? x 2 5 ? x 1 3 ? x 2 15 5 x2 2 2x 2 15

b)(2y223y)(y212y)

2y2 ? y2 1 2y2 ? 2y 2 3y ? y2 2 3y ? 2y 55 2y4 1 4y3 2 3y3 2 6y2 5 2y4 1 y3 2 6y2

c) (a2t2)(a21at21t4)

a ? a2 1 a ? at2 1 at4 2 t2 ? a2 2 t2 ? at2 2 t2 ? t4 5 5 a3 1 a2t2 1 at4 2 t2a2 2 at4 2 t6 5 a3 2 t6

d)(x2y13x4y22xy)(2x4y2x2y)

x2y ? 2x4y 2 x2y ? x2y 1 3x4y2 ? 2x4y 2 3x4y ? ? x2y 2 2xy ? 2x4y 1 2xy ? x2y 5 2x214 ? ? y111 2 x212 ? y111 1 3 ? 2x414 ? y111 2 3 ? x412 ? ? y111 2 2 ? 2 ? x114 ? y111 1 2 ? x112 ? y 111 5 2x6y2 2 x4y2 1 1 6x8y2 2 3x6y2 24x5y2 1 2x3y2 5 2x6y2 2 x4y2 1 6x8y2 2 4x5y2 1 2x3y2

e)x(x11)(x21)

x(x ? x 2 x 1 x 2 1) 5 x(x2 2 1) 5 x ? x2 2 x 55 x3 2 x

13 Copieositensemseucaderno,substituindocadademaneiraatornarassentençasverdadeiras.

a)2x3?4x25 5 2 ? 4 ? x3 ? x2

5 8x5

b)8y4?516y9

5 2y5, pois 8y4 ? 2y5 5 16y9

c)25x3y2?530x4y2z3

5 26xz3, pois (25x3y2) ? (26xz3) 5 30x4y2z3

d)8a3b2?526a4b11

5 23ab9 ______ 4 , pois 8a3b2 ? 23ab9

______ 4 5 26a4b11

14 Atabelamostraonúmerodeviagensdiáriasdas3linhasdeumaempresaeadistânciapercorridaemcadaviagem.

CidadeNúmero de

viagens diárias

Distância até São Paulo

(em quilômetros)

Campinas N D

Americana N220 D130

Limeira N224 D154

Escreva o polinômio que representa a distânciapercorridaemumdiapeloônibusdecadalinha.

a)SãoPaulo–Campinas. ND

b)SãoPaulo–Americana. (N 2 20) ? (D 1 30) 5 ND 1 30N 2 20D 2 600

c)SãoPaulo–Limeira.

(N 2 24) ? (D 1 54) 5 ND 1 54N 2 24D 2 1 296

d)Dastrêslinhas.

ND 1 ND 1 ND 1 30N 1 54N 2 20D 2 24D 2 2 600 2 1 296 5 3ND 1 84N 2 44D 2 1 896

15 Emumaempresadeônibusovalordaspassagensvariadeacordocomadistânciadaviagem.Opre-ço cobrado é de RS|| 0,73 por quilômetro rodado.Umônibustransportouxpassageirospor100kmex13passageirospor50km.Determine o polinômioV que representa o totalobtidopelaempresacomovalorcobradodospas-sageirosdesseônibus.

V 5 0,73 ? 100 ? x 1 0,73 ? 50 ? (x 1 3)V 5 73x 1 36,5 ? (x 1 3)V 5 73x 1 36,5x 1 109,5V 5 109,5x 1 109,5

Boxe DesafioPágina 92

OpolinômioP54x416x312xfoidivididopelomonômioDeoresultadofoiQ52x313x211.QualéomonômioD?

Seja D 5 axn o monômio. Se P : D 5 Q, então

4x4 16x3 12x  ______________ axn    5 2x3 1 3x2 1 1 Æ 4x4 ____ axn   5 2x3 Æ

Æ 2 4 : a 5 2 Æ a 5 2 4 2 n 5 3 Æ n 5 1

aqui a comparação foi feita usando os primeiros termos de P e de Q, porém uma comparação com os segundos ou terceiros termos leva ao mesmo resul-tado: a 5 2 e n 5 1.Logo o monômio é D 5 2x1 5 2x.

Atividades para classePágina 94

1 Efetueemseucadernoasdivisõesabaixo.

a)26x1613x13

26x16 _____

13x13 5 26 ___ 13 ? x16213 5 2x3

b)22a74a5

22a7 _____

4a5 5 2 2 __ 4 ? a725 5 2 1 __ 2 ? a2 5 2 a2 __ 2

Módulo 5: Divisão de polinômios

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82


c) 18x6y4;9x4y3

18x6y4

______9x4y3518___9?x624y42352x2y

d)220a7b3c2;24a6b3c

220a7b3c2__________

24a6b3c   5220_____

24 ?a726b323c22155ac

e) 2a10b2______3 ;10a

5b2_______9

2a10b2______3 ? 9______

10a5b2518a5____30 53a5

____5

f) (8b3220b2116b);(24b)

8b32 20b21 16b  ________________24b  58b3

_____24b 220b2

_____24b 116b _____

24b 5 

522b32115b22124b121522b215b 24

g)(6t4u627t6u13t2u);3t2u

6t4u62 7t6u1 3t2u  __________________3t2u

   5 

52t422u62127__3t622u 12111t222u1215

5 2t2u527__3t411

h)(z314z226z12);(z11)

z3 1 4z2 2 6z 12 z 1 12 z3 2 z2 z2 13z 29

0 1 3z2 2 6z2 3z2 2 3z

0 2 9z121 9z19

11 !resto

i) (a322a22a12);(a21)

a3 2 2a2 2 a 1 2 a21

2 a3 1 a2 a22a2 2

0 2 a2 2 a

1 a2 2 a

22a 12

12a 22

0

2 Copieasoperaçõesemseucaderno,substituindocada pelo monômio que mantém a igualdadeverdadeira.

a)3p2?515p6

515p6

____3p2

55p622

55p4

b)?a2b4c52a8b4cd2

5 2a8b4cd2_________

a2b4c

52a822d2

52a6d2

c)2x??2x358x12

22x458x12

58x12_____

22x4

524x1224

524x8

d)36xy3;52x

536 xy3

 ______2x 

518y3

e);7x3511x2

511x2?7x3

577x5

f) 15t2uw;53uw

5515t2uw ________13uw   

55t2

g);ab5a2b3

5a2b3?ab

5a211b311

5a3b4

3 Respondaemseucaderno.

a)Qualéorestodadivisãodopolinômio81x3119x221por9x221?

81x3 19x2 1 0x 21 9x221

2 81x3 1 9x 9x11

019x2 1 9x 21

29x2 11

9x ! resto

Orestoé9x.

b)Qualéodividendodeumadivisãodepolinô-miosemqueodivisoréx211,oquocienteéx323eorestoé2x?

SejaDV5dividendo,DR5divisor,Q5quocien-teeR5resto.Entãotem-se

DV5Q?DR1R.

Assim:

DV5(x323)?(x211)12x

DV5x3121x323x22312x

DV5x51x323x212x23

4 O retânguloABCD da figura tem área 9x3y3z4.ObtenhaomonômioM,querepresentaocompri-mentodoladoAB.

M

A

C

D

B6xy3

áreadoretângulo5M?6xy3

M?6xy359x3y3z4

M539x3y3z4

________26xy3

M53__2x321z4

M53x2z4_____2

5P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd 82 11/3/08 3:27:45 PM

83


5 Copieoesquemaaseguiremseucaderno,sigaasorientações e determine os monômios indicadospelasletrasm,n,oep.

divida adicione 3a4

multipliquepor 2a2

subtraia8a5

divida por 5a

2a4

p m

no

por �3a

• m 5 2a4 1 3a4 Æ m 5 5a4

• n 5 5a4 ? 2a2 Æ n 5 10a6

• o 5 10a6 _____ 5a    Æ o 5 2a5

• p 5 2a5 2 8a5 Æ p 5 26a5

Finalmente,

  p _____

23a   5 26a5 _____

23a   Æ p _____

23a   5 2a4

6 EncontreopolinômioPque,multiplicadopelomonômio3xy2,resultanopolinômio3x4y226x2y4118x3y3224xy5.

P ? 3xy2 5 3x4y2 2 6x2y4 1 18x3y3 224xy5

P 5 3x4y2 26x2y4 118x3y3 224xy5

_____________________________ 3xy2

P 5 x3 2 2xy2 1 6x2y 2 8y3

7 OparalelogramoaoladotemalturaAiguala12b4c3eáreaiguala96b9c32 12b5c311.QualéopolinômioBquerepresentaocomprimen-todessafigura?

área do paralelogramo 5 B ? A

B ? 12b4c3 5 96b9c3 2 12b5c3 1 1

B 5 96b9c3 212b5c3 11 __________________ 12b4c3

B 5 8b5 2 b 1 1 ______ 12b4c3

8 DadosopolinômioA54x2y224x3yeomonômioB52x2y,determineemseucadernocadaumadassituaçõesaseguir.

a)AsomadeAeB. A 1 B 5 4x2y 2 24x3y 1 2x2y A 1 B 5 6x2y 2 24x3y

b)OprodutodeAporB. A ? B 5 (4x2y 2 24x3y) ? 2x2y 5

5 4 ? 2x212y111 2 24 ? 2x312y111 55 8x4y2 2 48x5y2

c)OquocientedeAporB. A : B 5 (4x2y 2 24x3y) : 2x2y 5

5 4 : 2x222y121 2 24 : 2x322y121 5 2 2 12x

9 Paulodesejadividirospolinômiosabaixoobten-do,emtodososcasos,quociente igualap22.Descubraodivisoreorestoemcadacaso.

a)4p2216p112

DR ? (p 2 2) 1 R 5 4p2 2 16p 1 12

DR 5 4p2 216p 1 12 2R

  __________________ p 2 2

4p2 2 16p 1 12 2R p 22

2 4p2 1 8p 4p 2 8

2 8p 1 12 2R

1 8p 2 16

24 2R

24 2 R 5 0 Æ 2R 5 4 Æ R 5 24 Divisor 5 4p 2 8, resto 5 24.

b)6p27

DR ? (p 2 2) 1 R 5 6p 2 7

DR ? (p 2 2) 5 6p 2 7 2 R

DR 5 6p 2 7 2 R

 ___________ p 2 2

6p 2 7 2 R p 2 2

2 6p 1 12 6

5 2 R

5 2 R 5 0 Æ 2R 5 25 Æ R 5 5

Divisor 5 6, resto 5 5.

c)3p323

DR ? (p 2 2) 1 R 5 3p3 2 3

DR ? (p 2 2) 5 3p3 2 3 2 R

DR 5 3p3 2 3 2 R

  ___________ p 2 2

3p3 1 0p2 1 0p 2 3 2 R p 2 2

2 3p3 1 6p2 3p2 1 6p 1 12

6p2 1 0p2

6p2 1 12p

12p 2 3 2 R

2 12p 1 24

21 2 R

21 2 R 5 0 2R 5 221 R 5 21 Divisor 5 3p2 1 6p 1 12, e resto 5 21.

A

B

4P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd 83 30.10.08 09:41:16

84


c) (30p3q2);(25p3q2)

30p3q2

_______25p3q2526p323q222526

d)(16,72x6y7z3);(2,2x5y2)

16,72x6y7z3

__________2,2x5y2 57,6x625y722z357,6xy5z3

e) @ 2ab6_____15 #;@ b5

___3# 2ab6

_____155 ?

31___b552ab625

______5 52ab ____5

f) 28z2w7_________

212z2w5

228z2w7_________

2123z2w552w2____3

g)6ab7216a2b5c3

________________24ab3

36ab7

 ______24ab32

416a2b5c3_________

214ab3 523__2b72314a221b523c352

523b4____2 14ab2c3

h)(2xy1x2y328x3y):(2xy)

5 2xy

 ____2xy 1 x2y3

____2xy 2 8x3y

 _____2xy 5 11 x221y321

________2 24x y

511xy2

___2 24x2

i) 28t214t110_______________2

28t214t110______________2 524t212t15

13 Dentre osmonômios representados nas fichas aseguir,escrevaemseucadernoosmonômiosquesatisfazemcadasituação.

2a6b2 2a3 12a5215a6b2 23a3

a)Doismonômiosque,divididos,resultamem6a2.

12a5____

2a356a52356a2

Resposta:12a5e2a3

b)Doismonômiosque,divididos,resultam5a3b2.

215a6b2________

23a3 55a623b255a3b2

Resposta:215a6b2e23a3

c)Doismonômioscujasomaseja2a3.

2a31(23a3)52a3

Resposta:2a3e23a3

d)Ummonômioquemultiplicadopor2b3resulta4a6b5.

4a6b5______

2b3 52a6b52352a6b2

Resposta:2a6b2

e)Doismonômioscujadiferençaseja17a6b2.

2a6b22(215a6b2)517a6b2

Resposta:2a6b2e215a6b2

f) Doismonômioscujoprodutotenhagrau6.

2a3?(23a3)526a6

Resposta:2a3e23a3.

x 12

x 11

1

10 Nafiguraabaixo,cadacuboamarelorepresentaomonômio4teoscubosazuisrepresentam,juntos,opolinômio16mt124t.

amarelo azul

Descubraopolinômioquerepresentacadasituação.

a)Todososcubos.

12 ? 4t 1 16mt 1 24t 5 48t 1 16mt 1 24t 5516mt172t

b)Umcuboazul.

16mt124t ___________8 52mt13t

c)Umcuboazuledoiscubosamarelos.

2mt13t12?4t52mt111t

d)Doiscubosazuisdivididosporquatrocubosama-relos.

2(2mt13t)

___________4?4t   52m13_______8 5m __413__8

e)Oprodutodeumcuboazulporumcuboamarelo.

(2mt 1 3t) ? 4t 5 4 ? 2mt ? t 1 4 ? 3t ? t 558mt2112t2

11 Observeacaixadepapelãoaolado.

a)Represente com um polinômio o volume Vdessacaixa.

V5(x12)?(x11)?1

V5x21x12x12

V5x213x12

b)DeterminearazãoentreovolumeVdessacaixaeaáreadatampa.

Aáreadatampaserá:

Ad5(x12)?(x11)5x213x12

ArazãoV ___At  5x

213x12___________x213x12

51

Atividades para casaPáginA95

12 Efetueasseguintesdivisões.

a) (14x5);(7x2)

14x5____

7x252x52252x3

b)(220a6b3);(4a6b)

220a6b3________

4a6b  525a626b321525b2

5P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd 84 31.10.08 15:31:55

85


14 Márciaconstruiuoretângulodafigurausandopa-litosdefósforo,todosdecomprimento2L.Aáreadesseretânguloéiguala48L2.

...

2L

2L

...

a)Quantomedemosdoismenoresladosdessere-tângulo?

2L 1 2L 5 4L

Os lados menores do retângulo medem 4L.

b)Quantomedemosdoismaioresladosdessere-tângulo?

área do retângulo 5 48L2

4L · lado maior 5 48L2

lado maior 5 48L2 _____ 4L 

lado maior 5 12L

a medida de cada um dos lados maiores é 12L.

c)Quantos palitos, no total, Márcia usou paraconstruiroretângulo?

perímetro 5 4L 1 4L 1 12L 1 12L

perímetro 5 32L

cada palito mede 2L

número de palitos 5 32L ____ 2L

número de palitos 5 16

Márcia usou 16 palitos para construir o retângulo.

15 ConsidereopolinômioM 5 x2___31 x __ 2eomonômio

N 5x__6.EfetueM : N

M __ N 5 x

2 __ 3 1 x __ 2 _______

x __ 6 5 2x2 1 3x ________ 6 ? 6 __ x   5 2x221 1 3x121 5 2x13

16 Qualéoquocientedadivisãodopolinômio18y9124y523y416y3por3y2?

18y9 1 24y5 23y4 1 6y3 3y2

2 18y9 6y7 1 8y3 2 y2 1 2y

0 1 24y5

2 24y5

0 23y4

13y4

0 1 6y3

2 6y3

0

Resposta: 6y7 1 8y3 2 y2 1 2y

17 CalculeovalordaexpressãoA5x1y ______x2y  para

x53a ___5ey5a__3.

A 5 3a ___ 5 1 a __ 3

_______ 3a ___ 5 2 a __ 3

5 9a15a _______ 15

_______ 9a25a _______ 15

5 14a ____ 15

____ 4a ___ 15

5 714a ____ 15 ? 15 ____

24a  5 7 __ 2

18 Copieasdivisõesabaixoemseucadernosubsti-tuindo cada símbolo pelosmonômios correspon-dentes.

a) 3b15 b11

23b2 3

2

5 3, pois 3(b 1 1) 5 3b 1 3 que aparece abaixo do dividendo como 2 3b 2

b)

6a2 1 1 7 12

2 6a2 1 3a2

2 6a 1 7

1 6a 1 6

tem-se

3a 5 6a2

5 6a2 ____ 3a  

5 2a

25 3a ? 2

5 26a Æ 5 0a

2 ? 2 5 26

2 5 2 6 __ 2

5 3

5 7 1 6

5 13

c) 2 1 10m23

2 1 1 __ 2

1 __ 2

5 1 __ 2 ? 10m

5 5m

2 5m 5 0

5 5m

21 1 5 1 __ 2

5 1 __ 2 1 1

5 1 1 2 ______ 2

5 3 __ 2

4P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd 85 30.10.08 09:41:25

86


19 O retângulo a seguir tem altura 16x4y3. A áreadesse retângulo é representada pelo polinômio128x6y3216x5y3.

16x4y3

A

QualéopolinômioquerepresentaocomprimentoAindicadonafigura?

área do retângulo ABCD 5 128x6y3 2 16x5y3

altura do retângulo ABCD 5 16x4y3

altura 3 comprimento 5 área

comprimento 5 área ______ altura

comprimento 5 128x6y3 216x5y3

________________ 16x4y3

comprimento 5 8x624y323 2 x524y323

comprimento 5 8x2 2x

20 O volume da caixa retangular da figura seguintepodeserrepresentadopelopolinômioV52x311 4x2y.DetermineopolinômioHquerepresentaaalturadessacaixa.

2x

x

H

V 5 2x31 4x2y

H ? x ? 2x 5 V

H ? 2x2 5 2x3 1 4x2y

H 5 2x3 14x2y

 __________ 2x2

H 5 2(x3 12x2y)

____________ 2x2

H 5 x322 1 2x222y

H 5 x 1 2y

Cálculo da receita diária do quiosque Água Cristalina

Resolução de problemas

Representando a situaçãoPágina 96

Laura decidiu escrever uma fórmulamatemáticaquerepresentasseototalarrecadopeloquiosqueemcadavendarealizada.Assim,nofinaldodiaelapoderiasimplesmenteadicionartodosessesvalo-res,obtendoareceitadiáriadoquiosque.Paraisso,elautilizouasseguintesvariáveis.T:Totalrecebido(emreais)comavenda.n1:Quantidadedegalõesde5litrosqueforamven-didos.n2: Quantidade de galões de 10 litros que foramvendidos.EasconstantesP1:Preçodecadagalãode5litros.P2:Preçodecadagalãode10litros.UtilizamosP155,5eP258

UtilizeasvariáveisdefinidasporLauraeescrevaemseucadernoafórmulamatemáticaqueLauradefiniu.

De acordo com as variáveis definidas por Laura:

T 5 5,5n1 1 8n2

Resolução do problemaPágina 97

1 Dentretodososdadosexistentesnatabeladepre-çosenaficha,quaissãonecessáriosparaocálculodareceitaobtidanasexta-feira?

Para o cálculo da receita obtida na sexta-feira são necessários: a data da venda, o preço de cada tipo de galão e a quantidade vendida de cada um deles.

2 Como Laura já havia definido todas as variáveisnecessárias para o cálculo, e também a fórmulamatemática que relacionava essas variáveis, elaresolveu coletar os dados das fichas. Selecionoutodasasfichasdasvendasrealizadasnaquelediaefoipreenchendoatabelaaseguir.

Número da vendaGalão de 5 litros

Quantidade Valor (n1 ? P1)

1 4 4 ? 5,5 5 22

2 1 1 ? 5,5 5 5,5

3 0 0

4 0 0

5 2 2 ? 5,5 5 11

6 3 3 ? 5,5 5 16,5

7 2 2 ? 5,5 5 11

8 6 6 ? 5,5 5 33

9 0 0

10 1 1 ? 5,5 5 5,5

11 1 1 ? 5,5 5 5,5

12 2 2 ? 5,5 5 11

4P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd 86 30.10.08 09:41:27

87


Número da venda

Galão de 10 litros

Quantidade Valor (n2 ? P2)

Valor total (T)

1 0 0 RS|| 22,00

2 1 1 ? 8 5 8 RS|| 13,50

3 3 3 ? 8 5 24 RS|| 24,00

4 2 2 ? 8 5 16 RS|| 16,00

5 0 0 RS|| 11,00

6 0 0 RS|| 16,50

7 3 3 ? 8 524 RS|| 35,00

8 0 0 RS|| 33,00

9 4 4 ? 8 5 32 RS|| 32,00

10 0 0 RS|| 5,50

11 3 3 ? 8 5 24 RS|| 29,50

12 0 0 RS|| 11,00

Copieatabelaacimaemseucadernopreenchen-docorretamenteosespaçosvazios.Depois,consi-dereasinformaçõesdatabelapararesponderàsquestões.

a)Qualfoiareceitatotalobtidapeloquiosquena-queledia?

Receita total obtida 5 22,00 1 13,50 1 24,00 1 116,00 1 11,00 1 16,50 1 35,00 1 33,00 1 32,00 1 15,50 1 29,50 1 11,00 5 249 naquele dia a receita total foi de RS|| 249,00.

b)Qual éonúmerodavendaquegerouamaiorreceita?

a venda de número 7 gerou a maior receita.

c)Emqualvendafoicompradaamaiorquantidadedegalões?

O maior número de galões comprados foi registrado na venda número 8.

d)Quantos galões de 5 litros foram vendidosnessedia?Ede10litros?

número de galões de 5 litros: 4 1 1 1 2 1 3 1 12 16 11 11 12 5 22 número de galões de 10 litros: 1 1 3 1 2 1 3 1 4 1 13 5 16 Foram vendidos 22 galões de 5 litros e 16 galões de 10 litros.

e)Qualareceitatotalobtidacomavendadosga-lõesde5litros?Edosde10litros?

22 ? RS|| 5,50 5 RS|| 121,0016 ? RS|| 8,00 5 RS|| 128,00a receita com a venda de galões de 5 litros foi de RS|| 121,00 e com os de 10 litros foi de RS|| 128,00.

Comunicação de resultadosPágina 97

Tipo de galão ReceitaGalãode5L RS||121,00Galãode10L RS||128,00

Galãode5Le10L RS||249,00

Faça vocêPágina 97

AtabelaaseguirmostraototaldevendasrealizadasnumdiapelaconcessionáriaCarroNovo,decadaumdostrêsmodeloscomosquaiselatrabalha:

Modelo Asdra Boro Cívico

Unidades vendidas

10 5 8

1 SendopA,pBepCospreçosdosmodelosAsdra,BoroeCívico,respectivamente,escrevaumaex-pressãoalgébricaque representea receita totalobtidapelaconcessionárianessediacomavendadoscarros.Receita total 5 10pa 1 5pb 1 8pc

2 SabendoquepA5RS||20000,00,pB5RS||35000,00epC5RS||55000,00,calculeovalordessareceita.Receita total 5 10 ? RS|| 20 000,00 1 5 ??RS|| 35 000,00 1 8 ? RS|| 55 000,00 5 5RS|| 200 000,00 1 RS|| 175 000,00 11 RS|| 440 000,00 5 RS|| 815 000,00

Questões globaisPágina 100

1 Classifiquecadaexpressãoemseucadernocomora-cionalinteira,racionalfracionária,irracionalinteiraouirracionalfracionária.

a)22x12x Expressão algébrica racional inteira.

b)3x12x ___7

Expressão algébrica racional inteira.

c)413__y   Expressão algébrica racional fracionária.

d)d XXX 2x  13 Expressão algébrica irracional inteira.

e)5y1 1___d XX x    

Expressão algébrica irracional fracionária.

f) d XX x  11__y  

Expressão algébrica irracional fracionária.

2 Calculeovalornuméricodasexpressõesalgébri-casaseguir.

a)xy23parax55ey52. 5 ? 2 2 3 5 7

b)3xy24xparax55ey52. 3 ? 5 ? 2 2 4 ? 5 5 30 2 20 5 10

c)5x223y,parax521ey52. (21)2 23 ? 2 5 5 2 6 5 21

d)28a13b __________5 ,paraa522eb522.

28(22) 13(22)

________________ 5 5 16 26 ______ 5 5 10 ___ 5 5 2

e)d XXXXXXXX b21c2,parab55ec512.

d XXXXXXXX 52 1 122 5 d XXXXXXXXX 25 1144 5 d XXXX 169 5 13

f) a1b ______12a __

b    ,paraa51eb51__4.

111 __

4 ______

1 2 1 __ 1 __ 4

5 4 11 _____ 4

_____ 1 24 5 5 __ 4 ? @ 1 ___ 23 # 5 2 5 __ 12

4P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd 87 30.10.08 09:41:28

88


3 ConsidereA5xy23eB53xy24x.

a)EfetueA?B.

(xy 2 3)(3xy 2 4x) 5 3x2y2 2 4x2y 2 9xy 1 12x

b)Calculeo valornuméricodaexpressãoobtidanoitemaparax55ey52.

3 ?(5)2 ?(2)2 2 4 ?(5)2 ?2 2 9 ?5 ?2 1 12 ?5 55 300 2 200 2 90 1 60 5 360 2 290 5 70

4 Efetueasoperaçõesentreosmonômiosindicadasabaixo.

a)5x313x3____2 2x3

10x3 13x3 22x3 ________________ 2 5 11x

3 ____ 2

b)4y15y223y1y2

6y2 1y

c)8t512t2?5t3

  8t5 1 10t5 5 18 ?t5

d)b21b2_______

2b?b   

2b2 ____

2b2 5 1

e) x2y3z4?x5z8t3

x215y3z418 t3 5 x7y3z12t3

f) 7g4219g4

___________2g ?2g2

212g4 ______ 

22g3   5 6g423 5 6g

5 Efetueasoperaçõesabaixoeencontreovalornu-méricodecadaitemparaw52et521.

a)2w?(3w21w24)

6w3 12w2 28w 5 6(2)3 12(2)2 28(2) 5 56(8) 12(4) 216 5 48 1 8 2 16 5 56 2 16 5 40

b)(4t12)(2t13)

24t2 112t 22t 1 6 5 24(21)2 112(21) 22(21) 1

16 5 24 2 12 1 2 1 6 5 216 1 8 528

c) @ t __221#@ t __322# t

2 __ 6 2 t __ 2 ? 2 2 t __ 3 12 5 t

2 __ 6 1 2t 23t ________ 3 12 5 t

2 __ 6 2

2 4t ___ 3 12 5 (21)2

_____ 6 2 4(21)

______ 3 12 5 1 __ 6 1 8 __ 6 1 12 __ 6 5

5 21 __ 6 5 7 __ 2

d)t(t1w)2w(t2w)

t2 1 tw 2 wt 1 w2 5 t2 1 w2 5 (21)2 1 (2)2 55 1 1 4 5 5

e) (w322t2)(2w23t2)

2w4 23w3 t2 1 2t2w 1 6t4 5 2(2)4 23(2)3 (21)2 12 (21)2 (2) 16(21)4 5 216 224 14 16 5 240 110 5

5 230

6 ParacalcularatemperaturaemgrausFahrenheit(tF)equivalenteaumadadatemperaturaemgraus

Celsius(tC),soma-se32a 9

__5 de tC.

a)Escreva a expressão algébrica dessa conver-são.

  9 __ 5 tc 1 32 5 tF

b)CalculeatemperaturatFequivalentea25°C.

9 __ 5 ? 25 1 32 5 tF Æ tF 5 45 1 32 5 77

77° F

7 DadosospolinômiosA 52x23eB562x,cal-cule.

a)AB (2x 2 3) ? (6 2 x) 5 12x 2 2x2 2 18 1 3x 5

5 22x2 1 15x 2 18

b)2A1B

2 ? (2x 2 3) 1 (6 2 x) 5 4x 2 6 1 6 2 x 5 3x

c)A2B

(2x 2 3) 2 (6 2 x) 5 2x 2 3 2 6 1 x 5 3x 2 9

d)AB118________2A1B  

22x2 1 15x 2 18 1 18 ____________________  3x    5   22x2 1 15x ___________ 3x    5

5   22x ____ 3   1 5

8 Efetue as operações entre polinômios indicadasabaixo.

a) (c312c214c23)2(25c312c221)

c3 1 5c3 1 2c2 2 2c2 1 4c 2 3 1 1 5 6c31 4c 2 2

b) (2y22y)?(3y24y2)

_____________________27y1y   

6y328y4 23y2 14y3

_____________________ 26y  5

8y4 110y3 23y2

________________ 26y    5

52 8y3 110y2 13y

  _______________ 6

c) (a1b1c)(a2b1c)

a2 2 ab 1ac 1 ba 1 bc 2 b2 1 ca 2 bc 1 c2 5 5a2 2 b21 c21 2ac

d)(x 12)(x23)2(x11)(x24)

x2 2 3x 12x 2 6 2 x2 1 4x 2 x 1 4 5 2x 2 2

e) @ 2p___311__2#(6p2112p22)

2p

 ___ 3 ? 6p2 1 2p

 ___ 3 ? 12p 22 ? 2p

 ___ 3 1 1 __ 2 ? 6p2 1 1 __ 2 ?

? 12p 22 ? 1 __ 2 5 4p3 1 11p2 1 18p 2 4p

 _________ 3 21 5

5 4p3 111p2 1 14p

 ____ 3 21

9 A figura ao lado é formada por dois quadradosverdeseumretânguloamarelo.

b

b

a

a

verde

amarelo

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89


a)Escrevaemseucadernoaexpressãoalgébricaquerepresentaoperímetrodessafigura. 4a14b

b)Determineoperímetrodessafiguraparaa52eb53. 4?214?358112520

c)Escrevaemseucadernoaexpressãoalgébricaquerepresentaaáreadessafigura.Área5a21b21ab

d)Determineaáreadessafiguraparaa53eb57.Paraa53eb57Área5a21b21ab53217213?75914912155 58121579

10 Substituaemseucadernocadacírculocomaex-pressão algébrica do cartão colorido correspon-dentee,depois,calculeoresultado.

Odobrodoquadradodex.

Oprodutodexpelasomadexcomy.

Oprodutodexey.

Asomadosquadradosdexey.

2 1 2 5

(x21y2)2 2x21x?(x1y)2x?y5x21y22 2x21

1x21xy2x?y5y2

11 Descubraoserrosere-escrevaasexpressõesemseucaderno,fazendoascorreçõesnecessárias.

a) (2a1b)1(3a16b)56a17b

(2a1b)1(3a16b)52a1b13a16b5 55a 17b

b)m(5m115n)56m115mn

m(5m1 15n)55m2115mn

c) (x1y)?(x2y)52x22y

(x1y)?(x2y)5x22xy1yx2 y25x22y2

d)(p2q)2(p1q)52q

(p2q)2(p1q)5p2q2p2q522q

e) (p2q)?(p1q)5p212pq1q2

(p2q)?(p1q)5p22q2ou(p1q)25

5p21 2pq1q2

Questões globaisPÁgina101

1 2 Umasalaquadrada foiampliada,acrescentando-se4metrosnasualargurae2metrosnoseucom-primento,comomostraafigura.

x

2

x 4

a)Escreva um polinômio que represente a áreaoriginaldasala.x?x5x2

b)Escrevaumpolinômioquerepresenteaáreadasalaapósaampliação.(x14)(x12)5x212x14x185x216x18

c)Sabendoque,apósaampliação,asalaganhou50m2adicionais,determineasdimensõesori-ginaisdasala.6x185506x542x57asdimensõesoriginaisdasalaeram7mpor7m.

13 Em uma lanchonete, um refrigerante em latacustaRS||2,00,eopreçodeumsanduíchecor-respondeaodobrodopreçoxdeumaporçãodebatatafrita.

Preçodeumrefrigeranteemlata:RS||2,00Preçodeumaporçãodebatatafrita:xPreçodeumsanduíche:2x

a)Pedro foi a essa lanchoneteepediuum refri-geranteemlata,doissanduícheseumaporçãodebatatafrita.QualaexpressãoalgébricaquerepresentaototalgastoporPedro?aexpressãoalgébricadogastodePedroé:212?2x1 x55x12

b)SabendoquePedrogastouRS||9,50,determineopreçodeumsanduíche.5x1259,505x59,50225x57,50x51,502?1,5053,00OpreçodosanduícheéRS||3,00.

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90


14 Encontreopolinômioreduzidoquerepresentaaáreadafiguraabaixo.

1

y

2y

y

2y ? (y 1 1) 1 y ?   (y 1 1)

_______ 2 5 2y2 12y 1 y2 1 y

 ______ 2 5

5 4y2 14y 1y2 1y

  _________________ 2 5 5y2 15y

 _________ 2

15 Lucaspensouemumnúmerodiferentedezero,oduplicou e acrescentou 5 unidades ao resultado.Depois,multiplicouototalpor3esubtraiu15uni-dades do valor obtido. Então, dividiu o resultadoencontradopelonúmeroqueelepensou.

a)RepresenteonúmeroqueLucaspensoucomavariável x e escreva uma expressão algébricaquedescrevatodasasoperaçõesrealizadas.

x é o número pensado por Lucas.

(2x 1 5) ? 3 2 15

________________ x

b)SimplifiqueaexpressãoobtidaedescubraqualfoiovalorencontradoporLucas.

6x 1 15 2 15 ____________ x    5 6x ___ x    5 6

c)Copie e complete a tabela em seu caderno. ÉpossíveldescobrirqualfoionúmeroqueLucaspensou?

Número pensado Resultado encontrado

5 [(5 ? 2 15) ? 3 2 15] 5 5 6

21 [(21 ? 2 1 5) ? 3 2 15] (21) 5 6

3,5 [(3,5 ? 2 1 5) ? 3 2 15] (3,5) 5 6

210 [(210 ? 2 1 5) ? 3 2 15] (210) 5 6

não é possível descobrir o número que Lucas pensou, pois o resultado não depende do número pensado.

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Atividades resolvidas de expressões algébricas