Atps de Calculo II

Ribeiro Preto 2015

ATIVIDADES PRTICAS SUPERVISIONADAS

CLCULO II

Nome: Giovanna Stayse R.A.: 9906106734

Nome: Leandro Aparecido da Silva R.A.: 8484200346

Nome: Letcia Moura Vicentini R.A.: 9902015924

Nome: Marcos de Sousa da Cruz R.A.: 9902000005

Nome: Mateus Domingos R.A.: 9902005760

Curso: Eng. de Controle e Automao/ Mecnica

Turma: 3B

Ribeiro Preto 2015

ETAPA 1 (tempo para realizao: 5 horas)

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivao.

Essa atividade importante para poder verificar a aplicao da derivada inserida em conceitos

bsicos da fsica. A noo intuitiva de movimento, velocidade, acelerao algo intrnseco a

todos, j que algo natural. No entanto, quando visto sob um olhar crtico cientfico, pode se

observar as leis da fsica, em que as operaes matemticas e regras de derivao bsica esto

intimamente ligadas a essas leis.

Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1:

Sabemos que na cinemtica o conceito de velocidade instantnea dado pela frmula que fora

desenvolvida atravs de observaes do fsico, matemtico, astrnomo e filsofo Galileu

Galilei, que segundo James Stewart (2001, p. 88) [...] descobriu que a distncia percorrida

por qualquer objeto em queda livre proporcional ao quadrado do tempo em que ele esteve

caindo (desprezando a resistncia do ar). Em clculo o conceito de velocidade instantnea

abrange de forma definida a funo limite, onde preciso realizar clculos que so diferentes

da velocidade mdia em que apenas se divide o espao (s) pelo tempo (t). Usando a funo

limite possvel calcular a mdia da velocidade em intervalos cada vez menores, chegando

desta forma na frmula descrita abaixo:

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Suponhamos ento que a soma do ltimo numeral do RA dos integrantes do grupo : 19.

S = f(t) = 19t-2t com tempo em 1 segundos:

19t-2t derivando:

38t-2

Aplicando no tempo igual a um segundo temos, (38*1) -2 = 36m/s.

Acelerao igual: dvdt 38t-2

Portanto acelerao igual 38 m/s

Passo 2:

Tempo(s) Espao(m) S(m) x t(s) V(m/s) x t(s)

0s 0m 0 m/s 38 m/s

1s 19m 36 m/s 38 m/s

2s 76m 74 m/s 38 m/s

3s 171m 112 m/s 38 m/s

4s 304m 150 m/s 38 m/s

5s 475m 188 m/s 38 m/s

Passo 3:

A acelerao no mais do que a velocidade a que a velocidade varia em ordem ao tempo, ou

seja a acelerao a derivada da velocidade em ordem ao tempo.

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Passo 4:

Tempo(s) A(m/s) rea formada

0s 38 m/s Funo Constante






ETAPA 2 (tempo para realizao: 5 horas)

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivao.

Essa atividade importante para poder verificar a aplicao da derivada inserida em situaes

relacionadas s vrias reas como fsica, biologia, msica etc. Uma observao mais

aprofundada sobre o conceito de derivao e um olhar mais amplo sobre a constante de Euler,

que muito usada, mas que muitas vezes assumi um papel oculto dentro do prprio clculo

matemtico e que por sua vez est intrinsecamente ligado a vrios fenmenos naturais.

Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1:

O que a Constante de Euler?

Trata-se de um nmero irracional, conhecido como e. Foi atribuda a este nmero a notao

e, em homenagem ao matemtico suio Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um

dos primeiros a estudar as propriedades desse nmero.

Podemos expressar esse nmero com 40 dgitos decimais, ou seja:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757

O nmero de Neper, que se representa habitualmente pela letra e, deve o seu nome ao

matemtico escocs John Neper (1550-1617) e a designao e ao matemtico suo Leonhard

Euler (1707-1783). Pensa-se que a escolha do smbolo e possa dever-se ao fato de ser a

primeira letra da palavra "exponencial".

O nmero de Neper uma constante que surge em vrias aplicaes cientficas. O seu valor

encontra-se, por exemplo, ao calcular o limite da sucesso. O valor deste limite um nmero

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irracional (alm disso , tambm, transcendente, uma vez que no soluo de qualquer

equao algbrica de coeficientes racionais). O nmero de Neper, escrito com dez casas

decimais, e = 2,7182818285 (a ltima casa decimal resulta de arredondamento).

Na Natureza, o nmero de Neper aparece, por exemplo, associado desintegrao radioativa.

Uma substncia radioativa desintegra-se espontaneamente segundo uma lei de decrescimento

exponencial dada pela expresso m = m0e-kt, onde m0 a massa inicial, k uma constante

positiva que depende da substncia em causa e t o tempo em anos. O nmero e tem,

tambm, importncia prtica noutras reas como a economia, a engenharia, a biologia ou a

sociologia, por exemplo.

Frmula Euler (e) Valores (n) Resultado

1 2

5 2.48832

10 2.5937446

50 2.691588029

100 2.704813829

500 2.715568521

1000 2.716923932

5000 2.716923932

10000 2.718145927

100000 2.718145927

1000000 2.718280469

Passo 2:

fato que uma srie harmnica uma srie infinita, ou seja ela composta de ondas

senoidais com todas as frequncias mltiplas inteiras da frequncia fundamental. A frequncia

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fundamental o primeiro harmnico. No existe uma nica srie harmnica, mas sim uma

srie diferente para cada frequncia fundamental.

O fato da srie harmnica ser divergente notvel e jamais seria descoberto por meios

experimentais (somar um nmero considervel de partes e observar a tendncia). Foi umas

das primeiras sries a se descobrir em que o termo geral pode tender a zero sem que a srie

seja convergente. Isso ocorreu por volta do sculo XIV e a descoberta foi feita por Oresme. Se

fssemos capazes de somar cada termo da srie em um segundo, como um ano tem

aproximadamente 31.557.600 segundos, nesse perodo de tempo teramos somado os

31.557.600 primeiros termos, obtendo como resultado um valor um pouco superior a 17; em

10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos a pouco mais de 22. Esses nmeros

so muito pequenos para indicar que a soma divergente (tende a infinito). Suponhamos que

exista um computador que pode fazer uma soma em 1023 segundos, que o tempo gasto

pela luz para percorrer a distncia igual ao dimetro de um eltron. Tal computador seria o

mais rpido do universo, pois a velocidade da luz a mxima neste. Se tal computador fosse

somar todas as partes que pudesse da srie harmnica em um ano, teria somado 315.576x1025

termos; em mil anos 315.576x1028; e em um bilho de anos 315.576x1034 termos! Os

resultados aproximados que obteramos, em cada um dos casos, respectivamente seria: 70,804

; 77,712 e 91,527. Imagine agora que esse computador estivesse ligado desde a origem do

universo, h cerca de 15 bilhes de anos. Ele estaria hoje obtendo o valor aproximado de

94,235 para a soma da srie harmnica. Vamos alm! O nmero 1080 maior que todos os

valores anteriores, superando at a quantidade de tomos do universo conhecido. Pois bem,

para essa quantidade de termos a soma de todos eles so aproximadamente: 184,784 e

permanece nesse mesmo valor aumentando-se drasticamente a quantidade de termos, como

1080 + 109 ou 1080 + 1012. Veja que a cada passo estamos aumentando enormemente a

quantidade de termos, no entanto, a soma Sn permanece a mesma. Em vista disso nada mais

natural do que concluir que a srie seja convergente. Mas, como sabemos, isso falso. Vemos

ento que jamais descobriramos a divergncia da srie harmnica por meios puramente

experimentais. Como se chega ento aos nmeros 94,235 ou 184,784, se, para obt-los, o

idealizado computador mais rpido do universo deveria ficar ligado durante 15 bilhes de

anos? Sim, essa uma pergunta interessante e muito pertinente. Realmente, nenhum

computador consegue fazer a soma Sn dos termos da srie diretamente para valores muito

grandes. Mas possvel substituir essa soma por uma expresso matemtica que aproxime Sn

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e que possa ser calculada numericamente; e os matemticos sabem disso desde os tempos de

Euler, h mais de 250 anos.

Constante de Euler-Mascheroni (wikipedia)

A constante de Euler-Mascheroni uma constante matemtica com mltiplas utilizaes

em Teoria dos nmeros. Ela definida como o limite da diferena entre a srie harmnica e

o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim :

em que E(x) a parte inteira de x.

A demonstrao da existncia de um tal limite pode ser feita pela aplicao do mtodo da

comparao srie-integral.

As aplicaes da constante incluem sua relao com a funo gama e a frmula da reflexo de

Euler, alm da relao com a funo zeta de Riemann e com integrais e integraes

imprprias da funo exponencial para determinados valores de

Valores:

As 100 primeiras decimais dessa constante so

0,57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677

76646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graas ao mtodo de soma de

Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obraGeometria

del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

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Passo 3:

Thomas Malthus em seu trabalho publicado em 1798 An Essay on the Principle of Population, apresentou um modelo para descrever a populao presente em um determinado ambiente, em funo do tempo. Ele considerou N = N(t) como sendo o nmero de indivduos

em certa populao no instante t. Tomando as hipteses que os nascimentos e as mortes

naquele ambiente eram proporcionais populao presente e sendo a variao do tempo

conhecida entre os dois perodos, concluiu a seguinte equao para descrever a populao

presente em um determinado instante t.

N(t) = N0 * e^rt

Onde temos:

t =0 no instante inicial;

r = uma constante que varia com a espcie da populao;

n0 = A populao existente/presente no instante inicial.

obvio que o grfico dessa funo depende de r e a utilizao desse modelo parte do

pressuposto de que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influncia sobre a populao.

Dessa forma, ele serve mais como um indicador do potencial de sobrevivncia e de

crescimento de cada espcie populacional, do que um modelo que realmente mostra o que

ocorre.

Com base nas informaes acima, considerar uma colnia de vrus em um determinado

ambiente. Um analista de um laboratrio ao pesquisar essa populao, percebe que ela triplica

a cada 8 horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos

vrus haver na colnia aps 48 horas em relao ltima contagem?

N0= 2000 vrus; T = 8; N(8) = 3000

N(8)= 2000 * er8

3000 = 2000 * er8

e r8 = 3000/2000

e r8 = 1,5

ln er8 = ln 1,5

r = ln 1,5/8

r= 0,050

Em 48 horas temos:

N(48) = 2000 * e48 * 0,050

N(48) = 22.046 Vrus.

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Passo 4:

Bibliografias:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numeroe.htm

http://www.infopedia.pt/$numero-de-neper

http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/velocidade2.php

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fsica I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o

http://www.brasilescola.com/matematica/introducao-ao-estudo-das-derivadas.htm

0

2000

4000

6000

8000

10000

N(0) N(4) N(8) N(12) N(16) N(20) N(24) N(28)

2000 2442 29833644 4415

54366640

8110

N(0) N(4) N(8) N(12) N(16) N(20) N(24) N(28)

Quantidade de Vrus 2000 2442 2983 3644 4415 5436 6640 8110

Quantidade de Vrus

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