Atividades Práticas Supervisionadas

Engenharia de Controle e Automação

3º e 4º Semestres

Cálculo III

DESAFIOO petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum = óleo) é um recurso

natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto, oleoso, inflamável,

geralmente menos denso que a água e que possui uma coloração que varia do incolor até o

preto.

Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação. Atribuíam-se ao

petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e antissépticas. Atualmente, se configura a

principal fonte de energia do planeta. Além de gerar gasolina, que serve de combustível para

grande parte dos automóveis que circulam no mundo, vários produtos são derivados do

petróleo, como por exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel.

O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a profundidade em

que o óleo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do solo ou até milhares de metros

abaixo do nível do mar.

A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de petróleo no Brasil.

Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos, paleontólogos,

engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentem maior probabilidade de se

encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda, satélites e de pequenos terremotos

artificiais, essas regiões são selecionadas e se confirmada a presença de petróleo, inicia-se o

projeto para extração do mesmo. Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu gigantescas

reservas na bacia de Santos.

O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total mensal de óleo

que poderá ser extraído deste poço recém-descoberto.

Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente

realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses números, quando colocados lado a

lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os algarismos que irão compor a

quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído.

Objetivo do Desafio

Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels,

que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém-descoberto.

ETAPA 1

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

PASSOS

Passo 1

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais

indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na

Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da

teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um

texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada

no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos

passos.

3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a

resolução de alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar as páginas:

• GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR>.

Acesso em: 22 abr. 2012.

• Curso de GeoGebra. Disponível em:

<http://www.youtube.com/playlist?list=PL8884F539CF7C4DE3>.

Acesso em: 22 abr. 2012.

O Cálculo Integral: alguns fatos históricos.

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são

os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o

da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras

começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado,

por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse

área igual à da figura em questão.

A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de

determinar áreas.

Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o

círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se

assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios,

440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C.,

procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos

regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um

hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa sequência nunca

poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da

exaustão.

Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das

maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um

teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.

Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma

corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda

como base. Esse cálculo pode ser encontrado no livro do Simmons, volume 2.

Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar

rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a

quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi

resolvido.

Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para

encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número p.

Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da

esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da

região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um

hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número

infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para "escapar"

da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser

igual.

A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século

XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o

centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou De quadratura

parabolae onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas

desse tipo.

Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas

de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na

superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita imprecisão.

Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse

modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região

bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler

subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se

aproximava do volume desejado.

Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do

Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria

indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades

infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de

componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje

em dia escrevemos:  .

Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado

por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis desenvolveu princípios

de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre

eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gamma.

Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das, então chamadas,

"parábolas maiores": curvas do tipo  , onde   é constante e n=2,3,4, etc.

Empregou então uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do

tipo  , onde   e n=-2,-3,-4,etc. Por volta de 1640, a fórmula geral da integral das

parábolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.

O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo. Tanto

Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A

derivada da distância era a velocidade e a operação inversa, partindo da velocidade, levava à

distância. A partir desse problema envolvendo movimento, a idéia de operação inversa da

derivada desenvolveu-se naturalmente e a idéia de que a integral e a derivada eram processos

inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente

o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em direção a esse resultado; foi

Newton, entretanto, quem, continuando na mesma direção, formulou o teorema.

Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos

corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu

os métodos das fluxions - derivação - e fluents - integração - e utilizou-os na construção da

mecânica clássica. Para Newton, a integração consistia em achar fluents para um

dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com

efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral

da aceleração era a velocidade.

Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por

exemplo, a integral de y era representada por `y.

Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma

maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo  - um 's' longo - para

representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de

todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as

abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por  ".

Ambos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente, entretanto Newton via o

Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico.

Leibiniz acreditava que a notação era de fundamental importância e, de fato, a sua

notação foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar, sendo utilizada até os

dias de hoje, mantendo exatamente a mesma forma. Newton escrevia para si próprio e não foi

feliz em encontrar uma notação consistente.

Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684 e em 1686

sob o nome Calculus Summatorius . O nome Cálculo Integral foi criado por Johann

Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690.

Principalmente como conseqüência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton,

as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma época da

publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos

sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações

parciais. Essas idéias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.

Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de funções -

ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e Riemann. Foi Euler, entretanto,

quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise.

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do

conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de

Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.

Passo 2

Leiam os desafios propostos:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

= a^4/12 + (3a^-2)/-2 + 3lna

= a^4/12 – 3/2a^2 + 3lna + C

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de

U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a

profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo

total para se perfurar q pés, é:

C’(q) =1000 + 50q

= 1000q + (50q^2)/2

= 1000q +25q^2 +C

Substituindo C(0) = 10000 na expressão acima teremos:

C(q) = 1000q +25q^2 + 10000

Resposta correta alternativa A.

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu

exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número

de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por:

C(t) = 16,1.e^0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de

petróleo consumida entre 1992 e 1994?

Resposta correta alternativa C.

Desafio D

Resposta correta alternativa A.

Passo 3

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos

realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).

Para o desafio B:

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a).

Para o desafio C:

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).

Para o desafio D:

Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a).

Passo 4

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 1 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Resposta 1: Vide Etapa1, Passo 3, Desafios A, B, C e D.

Resposta 2: 3019.

ETAPA 2

Aula-tema: Integração por Substituição. Integração por Partes.

PASSOS

Passo 1

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integração

por partes e por substituição. Pesquisem também em: livros didáticos do Ensino Superior, na

Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das

técnicas de integração por partes e por substituição.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração

trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações

encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a

compreensão e realização dos próximos passos.

Integração por Partes:

 Dedução da Fórmula para a Integração por Partes

Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto, 

Integrando ambos os lados, obtemos:

ou

ou

Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há

necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos:

(1)

a qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes

podemos tornar um problema de integração mais simples.

Na prática, é usual reescrever (1) fazendo

u=f(x),          du=f '(x)dx  

,      

Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1):

(2)

Integração por Substituição:

Considere a seguinte integral:

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de

variáveis  , onde   é uma função qualquer contínua no domínio de integração.

Fazendo  :

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função

a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da

outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer

substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas).

Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

Passo 2

Considerem as seguintes igualdades:

I) = II)

Resolução I) – Integral por substituição:

u = t^2-6t

du = 2t-6 dt , du/2 = t-6 dt

∫u^4 du/2 = -1/2∫u^4 du = -1/2(u^5)/5 = (-u^5)/10 =

=

Resolução II) – Integral por partes:

u = t , du = 1 dt

dv = dt/√t+4

v = ∫dt/√t+4 , v = ∫(t+4)^-1/2 dt , v = u^-1/2 du , v = 2√(t+4)

, ∫t. dt/√t+4 = t. 2√(t+4) - 2∫√(t+4) dt =

= 2t√(t+4) – 2[2√(t+4)^3/3]entre 0 e 5 =

= [30-36] – [-10,667] = -6+10,667 = 4,667

Resposta correta alternativa A.

Passo 3

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos

cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a).

Passo 4

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Resposta 1: Vide Etapa 2, Passo 2.

Resposta 2: 30194.

ETAPA 3

Aula-tema: Cálculo de Área.

PASSOS

Passo 1

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo de

área, usando teoria de integrais para isso. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet

e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de

integração na resolução de exercícios que envolvam área obtida por duas ou mais curvas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular

área gerada por duas ou mais curvas e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais

informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será

imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Área de uma região plana.

Nesta seção apresentamos o cálculo da área de uma região limitada. Fazemos estes

cálculos em três formas diferentes: primeiro em coordenadas cartesianas; segundo em

equações representadas parametricamente; finalmente, utilizando as coordenadas polares.

Também utilizamos a integração dupla e tripla para fazer o cálculo de área de uma região

plana.

Coordenadas cartesianas

Seja y = f(x) uma função limitada pelas retas x = a, x = b e o eixo x, onde f é contínua

em [a,b].

 

Neste, caso a área é dada por

Passo 2

Leiam o desafio abaixo:

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2

são,

respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Figura 1. Figura 2.

Resolução:

Figura 1:

f(x) = 1/x

Integral de lnIxI entre x=1 e x=2.

= ln2 – ln1 = 0,6931 u.a.

Figura 2:

f(x) = 4/x

Integral de 4lnIxI entre x=0 e x=4.

= 4ln4 – 4ln0 = 5,5452 u.a.

Podemos afirmar que:

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

Passo 3

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos

cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).

Passo 4 Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 3 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Resposta 1: Vide Etapa 3, Passo 2.

Resposta 2 : 301948.

ETAPA 4

Aula-tema: Volume de Sólido de Revolução.

PASSOS

Passo 1

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo do

volume de um sólido de revolução. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em

outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de

integração no cálculo de volume.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular

o volume de um sólido de revolução e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais

informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será

imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Sólidos e Superfícies de Revolução

Ao fazermos uma região do plano girar em torno de uma reta fixa qualquer do plano,

obtemos uma figura espacial, um sólido, denominado Sólido de Revolução. A reta fixa em

torno da qual ocorre o giro é denominada Eixo de Revolução.

Vejamos um exemplo deste sólido:

Ao fazer o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 3, y = 0 ey = 2 girar em torno do eixo y, obtemos um cilindro (cilindro de revolução).

Volume de Sólidos de Revolução

Vamos agora a um dos mais interessantes problemas que ligam o Cálculo à Geometria

Analítica, que é o de determinar, através da Integral Definida, uma expressão para o volume

de um sólido de Revolução associado ao gráfico de uma função y = f (x).Suponhamos para isso, primeiramente, que f (x) seja uma função contínua e não-

negativa no intervalo [a, b]. Consideremos então uma partição P deste intervalo [a, b], dada

por a = x0 < x1 < x2 < . . . < xi < xi+1 < . . . < xn−1 < x0 = n.Denotemos (como nas outras vezes) por Δxi o comprimento de cada subintervalo

[xi−1, xi ] da partição, ou seja, Δxi = xi − xi−1.

Agora, para cada um desses subintervalos [xi−1, xi ], vamos considerar o retângulo Ri

de base Δxi e altura igual f (ci ), onde ci ∈ [xi−1, xi ]. Fazendo este retângulo girar em torno

do eixo dos x, obtemos um cilindro de revolução cujo volume é, da conhecida fórmula da

Geometria Espacial,

V(ci ) = πr 2 · h = π[f (ci )]2Δxi .Logo, a soma dos volumes dos n cilindros originados a partir dos n retângulos da

partição é dada por:

e esta soma, analogamente ao que aconteceu no caso do comprimento de arco e da área sob a

curva y = f (x), nos dá uma boa aproximação do que na verdade é o volume V do sólido

gerado pela rotação desta curva.

À medida que tomamos n muito grande, o valor da soma dos volumes dos cilindros ci

, dado, pela expressão acima, aproxima-se cada vez mais do volume do referido sólido, o que

nos permite então escrever

Observando, agora, que a expressão denota uma soma de Riemann para

a função [f (x)]^2 e lembrando que f (x) é supostamente contínua (o que faz com que exista

limite acima), podemos finalmente escrever:

que é a expressão que define o volume V procurado.

Passo 2

Desafio A

A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva

dada por y 4√x de 1/4x4 é: 2π/3(128√2 - 17√7) u.a.. Está correta essa afirmação?

Resolução:

A = 2π∫〖f(y) √1+[f`(y)]^2 dy〗2π∫(1/4)^4〖4√x.√1+4/x dx〗2π∫(1/4)^4〖4√x.√x+4/(√x) dx〗8π∫(1/4)^4〖√x+4dx〗8π〖(x+4)〗^(3/2)/(3/2) = (4,1/4)┤ → 16π/3(8^(3/2) – 〖(17/4)〗^(3/2)) =

2π/3(128√2 - 17√17) u.a.

Desafio B

Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y = 2 ,

da região R delimitada pelos gráficos das equações: y sen x , y = (sen x)^3 de x = 0 até

x=π/2?

(a) 3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.

Resolução:

π∫〖〖(f(x)- c)〗^2- 〖(f(x)- c )〗^2 dx〗π∫〖〖(senx-2)〗^2- 〖(〖sen〗^3 x- 2 )〗^2 dx〗π∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 senx+4-(〖sen〗^6 x-4 〖sen〗^3 x+4)dx〗π∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 senx+4- 〖sen〗^6 x+4 〖sen〗^3 x-4 dx〗

π[∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 ∫_0^(π/2)〖senx- ∫_0^(π/2)〖〖sen〗^6 x+4 ∫_0^(π/2)

〖〖sen〗^3 x〗〗〗〗]

π[(-senx cosx)/2+ x/2+ 4 cosx+ 1/6 〖sen〗^5 x cos5 senx cosx+15/48 sen x cosx-

15/48+4(-cosx+(〖cos〗^3 x)/3)]

π[(π/2)/2-(15 π/2)/48-(4+4(-1+1/3))]^24

π[(π/2)/2-(15 π/2)/48-(4-8/3)]

π[(π/2)/4-(15 π/2)/96-4+8/3]

π[π/4-15π/96-4/3]

π[(24π-15π-128)/96]

(〖24π〗^2-〖15π〗^2-128π)/96=3,26 u.v

Passo3

Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os

cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.

Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos

realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 4, se a resposta estiver certa.

Para o desafio B:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a).

Passo 4

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 4 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

3. colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados indicando por

meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo

poço de petróleo recém descoberto pela empresa Petrofuels.

Resposta 1: Vide Etapa 4, Passo 2, Desafio A e B.

Resposta 2 e 3: 30194848 metros cúbicos de petróleo.

BIBLIOGRAFIA

http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm

http://www.somatematica.com.br/superior/integrais2/integrais2.php

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_de_integra%C3%A7%C3%A3o

http://www.mtm.ufsc.br/~taneja/MATREDE/Math52/Math52.html

http://www.lapolli.pro.br/escolas/anhembi/calculo/teoria/5.Aplicacoes-VS.pdf

http://www.ead.ftc.br