REVISADO - Calculo III

Cálculo III

Cálculo III

Rafael da Silva Valada

Organizado por Universidade Luterana do Brasil

Universidade Luterana do Brasil – ULBRACanoas, RS

2016

Rafael da Silva Valada

Conselho Editorial EAD

Andréa de Azevedo EickAstomiro Romais,

Claudiane Ramos FurtadoDóris Cristina Gedrat

Kauana Rodrigues AmaralLuiz Carlos Specht Filho

Mara Lúcia Salazar MachadoMaria Cleidia Klein Oliveira

Thomas Heimann

Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores a emissão de conceitos.

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da ULBRA.

A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.

Dados técnicos do livro

Diagramação: Marcelo FerreiraRevisão: Ane Sefrin Arduim

Apresentação

Desde muito tempo, a humanidade desenvolvera a ideia fundamental do cálculo diferencial e integral. Arquimedes, em 300 A.C, já tra-

balhava intuitivamente com o conceito de limite ao tentar avaliar a área de um círculo através da construção de polígonos internos e externos ao círculo e calculando as médias entre as áreas dos mesmos. O limite estava em ir aumentando o número de lados do polígono. É interessante observar que um dos grandes feitos do cálculo diferencial foi a obtenção da área abaixo de curvas num plano cartesiano, e, assim, a área exata do círculo pôde ser apurada.

Issac Newton e Gotfilde Leibneiz desenvolveram o ferramental matemáti-co para a construção do cálculo diferencial para funções de uma variável real e, neste livro, veremos a extensão de seus trabalhos para funções de duas ou mais variáveis. Para isso, começaremos por fazer uma definição apropriada para funções de duas ou mais variáveis e objetos que as definem, como o do-mínio de definição, bem como gráficos de funções de duas ou mais variáveis.

Posteriormente, repetindo os passos da construção do cálculo diferen-cial e integral para uma variável, definiremos o processo de limite para funções de duas variáveis e, subsequentemente, o operador da derivada parcial, que é uma generalização das derivadas que já aprendemos em cursos anteriores de cálculo. Veremos a aplicação das derivadas parciais à obtenção de pontos críticos de funções multivariadas, e a construção de um novo objeto matemático chamada derivada direcional. Mais geral que a derivada parcial, a derivada direcional implica na definição do chamado gradiente de uma função.

O gradiente é uma função vetorial que indica a direção em que ocorre a maior taxa de crescimento de uma função, ou a menor taxa de cresci-mento de uma função.

Apresentação v

Por fim, estenderemos as operações de integrais anteriormente defini-das para funções de uma variável e para funções de duas ou três variáveis, levando às definições de integrais duplas e triplas.

Essas novas integrais herdam as propriedades de linearidade das inte-grais simples, quando a operação é sobre constantes e somas.

Se a integral simples representa geometricamente a área abaixo de uma curva contínua no plano cartesiano, a integral dupla representa geometrica-mente o volume abaixo de superfície representado no espaço tridimensional.

Integrais duplas também são amplamente usadas na obtenção da área entre curvas, bem como integrais triplas são usadas para obtenção do vo-lume de sólidos.

Neste livro, procurou-se ser o mais objetivo possível quanto a defini-ções e provas de teoremas, e também na resolução de exemplos resolvidos. Tendo em vista que o aprendizado em Matemática se dá através do conhe-cimento e do pleno exercício deste conhecimento, o livro apresenta uma série de exercícios resolvidos, de modo que algumas questões de exemplo são resolvidas no próprio corpo do livro, e outras são resolvidas através de vídeos, chamados Videoexemplos, que serão devidamente disponibilizados na plataforma virtual da disciplina.

Tenhamos um bom trabalho em nossos estudos, buscando sempre o prazer e a diversão ao estudar Matemática. O matemático francês Hery Poin-caré dizia que o matemático nasce matemático e que o estudo apenas revela suas habilidades ocultas. Pois bem: deixemos, então, que nossas habilidades mais naturais sejam afloradas ao estudarmos cálculo multivariado.

1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital .........................1

2 Integrais Impróprias ............................................................19

3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais ............................32

4 Limites de Funções de Duas Variáveis ..................................61

5 Derivadas Parciais ...............................................................72

6 Regra da Cadeia e suas Aplicações .....................................93

7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis ............115

8 Gradiente e Derivada Direcional .......................................127

9 Integrais Duplas e suas Aplicações ....................................146

10 Integrais Triplas e suas Aplicações .....................................164

Sumário

Capítulo 1

Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital

1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS).

Rafael da Silva Valada1

2 Cálculo III

Introdução

Neste capítulo, estudaremos limites que recaem em formas in-determinados. De certa maneira, já estudamos esses casos em disciplinas iniciais de cálculo diferencial e integral, mas sem aplicação de uma técnica robusta que funcionasse para todos os casos. Indeterminações do tipo zero sobre zero, ou infinito sobre infinito, eram resolvidas com alguns algoritmos de reso-lução ou simplificações algébricas. Veremos que estes casos eram expressões de uma regra mais geral, chamada de Regra de L’Hôpital.

1 Formas indeterminadas

Admita o limite

( )0

sinlimx

xx→

(1)

Neste caso, as técnicas já estudadas para obtenção de limites, a saber, inspeção direta ou manipulações algébricas apropriadas, não funcionam.

O que torna o limite 1 problemático é o fato de o numera-dor e o denominador tenderem ambos a zero, levando a uma indeterminação do tipo

00.

Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 3

Neste caso específico, podemos construir um raciocínio que levará à solução de nosso problema: sabemos que à me-dida que 0x → , a função seno pode ser próxima de seu pró-prio argumento, ou seja, para x pequeno sin( )x x≈ . Isso é equivalente a obtermos aproximações lineares locais para a função sin( )x .

Lembre que se uma função ( )f x for diferenciável em um ponto 0x , então para valores 0x x→ temos a aproximação:

( ) ( )( )0 0 0( ) 'f x f x f x x x≈ + − (2)

E quanto mais próximo x estiver de 0x melhor é a aproxi-mação.

Admitindo que ( ) sin( )f x x= e que 0 0x = temos:

( ) ( )sin( ) sin 0 cos(0) 0x x x≈ + − =

E, assim, podemos fazer:

( )0 0 0

sinlim lim lim1 1x x x

x xx x→ → →

= = = (3)

Resolvendo o limite. Observe que se aplicarmos a aproxi-mação linear local ao denominador do limite 1, ou seja, a x obtemos a própria função x .

Com intuito de obter uma regra geral que possa ser apli-cada a qualquer caso vamos estender a ideia da aproximação linear local para um grupo maior de funções.

4 Cálculo III

2 Regra de L’Hôpital

Admita que o limite:

0

( )lim( )x x

f xg x→

(4)

seja uma forma indeterminada do tipo 00

, ou seja:

0 0

lim ( ) 0, lim ( ) 0.x x x x

f x g x→ →

= =

Admita, também que as funções ( )f x e ( )g x sejam dife-renciáveis em 0x x= e que '( )f x e '( )g x sejam contínuas em

0x x= .

A diferenciabilidade de ( )f x e ( )g x em 0x x= garante a continuidade das funções neste ponto e a implicação:

0 00 0( ) lim ( ) 0, ( lim ( ) 0) .

x x x xf x f x g x g x

→ →== = =

Por fim, a continuidade de '( )f x e '( )g x em 0x x= im-plica:

0 00 0'( ) lim '( ), '( lim '( ).)

x x x xf x f x g x g x

→ →==

Neste ponto, aplicaremos as aproximações lineares locais de ( )f x e ( )g x , ao limite 4, analogamente ao que fizemos com o limite 1 e, assim, obtém-se:


( ) ( )( )( ) ( )( )0 0

0 0 0

0 0 0

'( )lim lim( ) 'x x x x

f x f x x xf xg x g x g x x x→ →

+ −=

+ − (5)

Observe que 0 0( ) 0 .), ( 0f x g x= = e podemos fazer:

( )( )( )( )0 0

0 0

0 0


f x x xf xg x g x x x→ →

−=

− (6)

Finalmente, simplificando os termos 0x x− que aparecem no limite à direita da igualdade, temos:

( )( )0 0

0

0


f xf xg x g x→ →

= (6)

A equação 6 é conhecida como a Regra de L’Hôpital.

Observe que aplicando a regra de L’Hôpital ao limite 1, obtemos imediatamente:

( )0 0 0

sin cos( )lim lim lim cos( ) 11x x x

x x xx→ → →

= = =

(7)

Na prática, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, enquan-to as indeterminações acontecerem no limite, mas não sim-plesmente.

Resta definirmos na forma de uma proposição ou teorema o resultado acima para possíveis casos de indeterminação. A seguir veremos tais casos.

6 Cálculo III

3 Tipos de formas indeterminadas

3.1 Forma do tipo 00

Teorema 1: suponha que lim represente um dos limi-

tes lim, lim , lim , lim , lim ,x a x xx a x a+ −→ →+∞ →−∞→ →

e que lim ( ) 0f x = e

lim ( ) 0g x = . Se ( ) ( )0 0lim ' 'f x g x tem um valor finito L ,

ou se este limite for +∞ ou −∞ , então:

( )( )0 0

0

0



=

(8)

Exemplos:

1) Em cada questão, confirme a forma indeterminada do tipo 00

e use a regra de L’Hôpital para seu efetivo cálculo:

a) 2

2

4lim2x

xx→

−−

b) 0

sin(2 )limx

xx→

c) 2

1 sin( )limcos( )x

xxπ→

−

d) ( )4

3lim

1sinx

x

x

−

→+∞


e) 20

tan( )limx

xx−→

f) 0 2

1 cos( )limx

xx→

−

Resoluções:

a) 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0 2lim lim lim lim 2 42 2 2 0 1x x x x

x x xx→ → → →

− −⇒ = ⇒ = =− −

b) Videoexemplo

c)

( )( )

( )( )

2 2 2 2

2

1 sin cos cos1 sin( ) 02lim lim lim limcos( ) 0 sin sincos

2

cos02lim 01sin

2

x x x x

x

x xxx x xπ π π π

π

π

π

π

π

→ → → →

→

− −− = = ⇒ =−

= = =

d) Videoexemplo

e) 2 20 0 0 0

2

0

2tan( ) tan(0) 0 sec ( ) sec (0) 1lim lim lim lim lim0 0 2 2 0 0x x x x x

x xx x− − − − −→ → → → →

= = ⇒ = = = ∃⋅

f) Videoexemplo

3.2 Forma do tipo ∞∞

Teorema 2: suponha que lim represente um dos limi-tes lim, lim , lim , lim , lim ,

x a x xx a x a+ −→ →+∞ →−∞→ →e que lim ( )f x = ∞ e

8 Cálculo III

lim ( )g x = ∞ . Se ( ) ( )0 0lim ' 'f x g x tem um valor finito L , ou se este limite for +∞ ou −∞ , então:

( )( )0 0

0

0



=

(8)

Exemplos:

2) Em cada questão, confirme a forma indeterminada do tipo ∞∞

e use a regra de L’Hôpital para seu efetivo cálculo:

a)

b) 0

ln( )lim1

sin( )x

x

x

+→

c) 3 2

3

4limx

x x xx→+∞

+ −

d)

e) 3

3limx

x

ex→+∞

f)


Resoluções:

a) 1 1lim lim lim 0x xx x x

xe e e∞→+∞ →+∞ →+∞

∞= ⇒ = =∞

b) Videoexemplo

c)

d) Videoexemplo

e) 3 3 3 3

3 2

3 9 27lim lim lim lim3 6 6

x x x x

x x x x

e e e ex x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

∞ ∞ ∞= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∞∞ ∞ ∞

f) Videoexemplo

3.3 Forma do tipo 0 ⋅∞ e ∞ − ∞

As indeterminações do tipo 0 ⋅∞ e ∞ − ∞ podem ser resolvi-das, às vezes, através de manipulações algébricas que levam às formas indeterminadas 1.3.1 e 1.3.2, e então se utiliza a regra de L’Hôpital para a conclusão.

Primeiro, vamos observar por qual razão 0 ⋅∞ e ∞ − ∞ são formas indeterminadas:

Â Admita o limite:

10 Cálculo III

0lim ln( )x

x x+→

(1.9)

Aplicando propriedades de limites podemos escrever:

(1.10)

E daí segue a indeterminação, pois temos limites confli-tantes: enquanto o primeiro tende a zero o segundo tende a infinito.

Â Considere o limite:

0

1 1limsin( )x x x+→

−

(11)

Neste caso, também temos um caso de limites conflitantes, pois enquanto um “puxa” para cima o outro “puxa” para baixo.

Exemplos:

3) Calcule os limites abaixo:

a) 0

lim ln( )x

x x+→

b) ( )0

lim 1 tan( ) sec( )x

x x+→

−

c) 0

1 1limsin( )x x x+→

−

d) 2limx

x x x→+∞

+ −


e) 0

1limx

xx+→

⋅

f) 0

1limx

xx+→

⋅

Resoluções:

a)

b) Videoexemplo

c)

d) Videoexemplo

e) 0 0 0 0

1 1lim 0 lim lim lim 1 1x x x x

xx xx x x+ + + +→ → → →

⋅ = ∞ ⋅ ⇒ ⋅ = = =

f) Videoexemplo

12 Cálculo III

3.4 Formas do tipo 00 , 0∞ , 1∞

As formas indeterminadas do tipo 00 , 0∞ , 1∞ também mos-tram um caráter indeterminado por indicarem limites conflitan-tes em sua essência.

Novamente, as soluções às vezes podem ser obtidas por manipulações algébricas que recaiam nas formas 0

0 ou ∞

∞.

Então, para calcularmos )()( lim xg

axxf

→, faremos:

)()(lim xg

axxfy

→=

Aplicando logaritmo natural nos dois membros da igual-dade:

Reescrevendo:

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência:


Transformando na forma de potência:

O problema consiste em resolver o expoente .

Exemplos:

4) Calcule os limites abaixo:

a) ( ) 1

0lim 1 xx

x→

+

b) ( ) 1

0lim x

x

xe x→

+

c) 3lim 1

x

x x→+∞

−

d) 0

1limx

xx+→

⋅

e) 0

lim x

xx

+→

f) 0

1limx

xx+→

⋅

14 Cálculo III

Resoluções:

a)

b) Videoexemplo

c)

d) Videoexemplo

e)

f) Videoexemplo


Recapitulando

Neste capítulo, estudamos operações com limites indetermina-

dos nas formas 00

e ∞∞

. Vimos que tais indeterminações po-dem ser resolvidas com a chamada regra de L’Hôpital, que afirma que tais indeterminações são resolvidas ao calcularmos as derivadas de numerador e denominador que geraram essas indeterminações.

Referências

ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

______. Cálculo, um novo horizonte. Gabarito: 2, 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Thomson, 2002.

Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: http://phet.colorado.edu/pt_ BR/

Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx

16 Cálculo III

Atividades

Resolva os limites abaixo:

1) 2

7

49lim7x

xx→

−−

2) 2

23

6 9lim7 12x

x xx x→

− +− +

3) 0

cos( ) 2 1lim3x

x xx→

+ −

4) 0

2lim ln( )x

x x+→

5) ( )2

lim 2 sec( )x

x xπ

π+

→

−

6)

( ) 1

20

lim 1 3 xx

x+→

+

7)

[ ]sin( )

0cossec( )lim x

xx

+→

8) 1 ln( )

0lim x

xx

+→

9) sin( )

0lim x

xx

+→


10) x

xx1lim

∞→

11) )ln(

lim2

xx

x ∞→

12) )(

)cos(1lim0 xsen

xx

−→

13) )/1(

)/1(limxarctg

xsenx ∞→

14) )(cot

0)1(lim xg

xx (

→

15) ]1)/.[cos(lim −∞→

xxx

m

16) x

x x

(

∞→

31lim

17) )]1ln().1[(lim1

−−(→

xxx

Gabarito

1) 14

2) 0

3) 23

4) 0

5) 2−

18 Cálculo III

6) 23e

7) 1

8) e

9) 1

10) 1

11) ∞

12) 0

13) 1

14) – e

15) 0

16) 3e

17) 0


Capítulo 2

Integrais Impróprias


20 Cálculo III

Introdução

Neste capítulo, veremos como podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo, mesmo que os limites de integração sejam infinitos ou quando há pontos de descontinuidade da função, a qual estamos integrando. A solução prevê utilizar-mos a operação de limite juntamente com a operação de in-tegral.

1 Integrais Impróprias

O teorema fundamental do cálculo afirma que se f for con-tínua em [ ],a b e F for uma antiderivada de f em a, b então

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a= −∫ (1)

Observe que, caso nossa integral possua limites no infinito, o teorema não se aplica, visto que o infinito não é um número, mas, sim, uma ideia, e não está sujeito às operações básicas da aritmética.

Outra questão é se a função ( )f x possui uma desconti-nuidade infinita no intervalo fechado [ ],a b , ou seja, a função tende ao infinito para um ponto c pertencente a [ ],a b . Para esses casos, chamamos a integral de imprópria, por possuir uma impropriedade invalidando a aplicação do teorema fun-damental do cálculo.

Capítulo 2 Integrais Impróprias 21

Este aparente problema será resolvido com a inserção da operação de limite em nossas integrais.

2 Integrais sobre intervalos infinitos

Uma integral imprópria com intervalos infinitos pode possuir as seguintes formas:

( )

a

f x dx∞

∫ (2)

( )

b

f x dx−∞∫ (3)

( )f x dx

∞

−∞∫ (4)

3 Integrais com pontos de descontinuidades infinitas

Uma integral imprópria com intervalos descontínuos infinitos pode possuir as seguintes formas:

( )

b

a

f x dx∫ (5)

22 Cálculo III

quando ( )f c representa uma descontinuidade infinita de ( )f x e c pertence a [ ],a b .

( )

b

a

f x dx∫ (6)

quando ( )f a representa uma descontinuidade infinita de ( )f x .

( )

b

a

f x dx∫

(7)

quando ( )f b representa uma descontinuidade infinita de ( )f x .

4 Resolução de integrais impróprias

Para uma integral imprópria temos duas possibilidades:

Â A integral converge: dizemos que a integral converge quando suas partes constituintes convergirem para um valor real.

Â A integral diverge: dizemos que a integral diverge quando suas partes constituintes divergirem, ou seja, re-sultarem em um valor infinito.

Para a devida resolução, ou seja, para transformarmos as impropriedades apresentadas nas equações 2 a 7, devemos introduzir a operação de limites nas integrais:


Â Integrais sobre intervalos infinitos

( ) lim ( )

a a

f x dx f x dxβ

β

∞

→+∞=∫ ∫ (8)

( ) lim ( )

b b

f x dx f x dxβ

β→−∞

−∞

=∫ ∫ (9)

( ) lim ( ) lim ( )

c

c

f x dx f x dx f x dxβ

β ββ

∞

→−∞ →∞−∞

= +∫ ∫ ∫ (10)

onde c representa qualquer número real.

Â Integrais sobre descontinuidades infinitas

se ( )f a representa uma descontinuidade infinita de ( )f x .

se ( )f b representa uma descontinuidade infinita de ( )f x .

( ) lim ( ) lim ( )

b b

c x ca a

f x dx f x dx f x dxβ

ββ

− +→ →= +∫ ∫ ∫

(10)

se ( )f c representa uma descontinuidade infinita de ( )f x .

24 Cálculo III

Exemplos:

1) Calcule as integrais abaixo:

a) ( )2

2

11

dxx

∞

−∫

b) 0

xe dx−∞

−∫

c) 31

dxx

∞

∫

d) 0

sin( )xe x dx−∞

∫

e) ( )22 1

x dxx

∞

−∞ +∫

f) xdx∞

−∞∫

g) 1

0

1 dxx∫

h) ( )

7

232

1

1dx

x− +∫


i) 3

0

13

dxx−∫

j) ( )2

4

0

13

dxx −∫

k) dx∫

l) 1

0

11

dxx−∫

Resoluções:

a)

( ) ( )

( )

( )

( )

2 22

12

2

2

2

2

222

1 1lim1 1

____________________________________1 1 11

1 1 1 11 11

____________________________________

1 1lim lim11

dx dxx x

dudx u x du dxdxx

udx du u duu u xx

dxxx

β

β

β

β β

∞

→∞

→∞

−−

→∞

⇒− −

⇒ = − ⇒ = ⇒ =−

− −∴ = = = = =− −−

− = − −

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

a integral con

1 1lim1 2 1

1 verge102 2

β

β β→∞

− − = − − −

= + = ⇒1 = 1

26 Cálculo III

b) Vídeoexemplo

c)

23

3 31 1

3

311

2

2 2 2

lim

____________________________________1

2 2____________________________________

1

a integral co

1 1 1 1lim lim 02 2 2 1 2

nve2

dx dxx x

dx xx dxx x

dxx x

β

β

β β β

∞ ∞

→∞

−−

∞

→∞ →∞

⇒

−= = =−

− − − = = − = + = ⋅ ⇒

∫ ∫

∫ ∫

∫rge

d) Videoexemplo

e)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

1

2 2 22 2 21

22

2 2

12

22

2

lim lim1 1 1

____________________________________

1 221

1 1 1 12 2 2 1 2 2 11

__________________________________

x x xdx dx dxx x x

x du dudx u x x dxdx xx

x x du udx u dux u xux

β

β ββ

−−

∞

→−∞ →∞−∞

= ++ + +

⇒ = + ⇒ = ⇒ =+

− −∴ = = = = =− ++

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫__


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

2 22 21

1

2 2

1

2 2 2 2

lim lim1 1

1 1lim lim2 1 2 1

1 1 1 1lim lim2 1 1 2 1 2 1 2 1 1

1 a integr14 4

a0

x xdx dxx x

x x

β

β ββ

β

β ββ

β ββ β

→−∞ →∞

→−∞ →∞

→−∞ →∞

++ +

− − = + + +

− − − − − + − + + + + −= + = ⇒

∫ ∫

l converge

f) Videoexemplo

g) ( ) ( ) ( )

1 11

0 0 00

1 1lim lim ln( ) lim ln(1) l

a integral div

n( ) 0

erge

dx dx xx x ββ β β

β

β+ + +→ → →

= = = − = + ∞ = ∞

⇒

∫ ∫

h) Videoexemplo

i)

28 Cálculo III

j) Videoexemplo

k)

( )

( ) ( ){ }

2 22

1 11

1

1 1lim lim ln 11 1

li

a integral diverge

m ln 1 2 ln(1 1)

dx dx xx x ββ β

β

β

+ +

+

→ →

→

= = − −− −

− − − − − = ∞

⇒

∫ ∫

l) Videoexemplo

Recapitulando

Neste capítulo, estendemos a ideia fundamental de funções de uma variável para funções de duas ou mais variáveis. Vimos a descrição genérica do domínio de funções através de exem-plos do domínio expressos em termos analíticos, bem como gráficos. Por fim, vimos alguns exemplos de gráficos de fun-ções de duas variáveis e tais gráficos representam superfícies tridimensionais.

Referências


______. Cálculo, um novo horizonte. v.2, 6.ed. Porto Ale-gre: Bookman, 2000.


STEWART, J. Cálculo. v. 1 São Paulo: Thomson, 2002.



Atividades

1) Resolva as integrais abaixo:

a) 4

31

1 dxx

∞

∫

b) 3

41

1 dxx

∞

−∫

c) 2 1

5 2dx

x−∞ −∫

d) xdx∞

−∞∫

e) 2

0

xe dx−∞

∫

f) 1

3

1 dxx

−

−∞∫

g) ( )

7

232

1

1dx

x− +∫

30 Cálculo III

h) ( )10

20

13

dxx −∫

i) 1

0

11

dxx −∫

j) ( )( )0 1 2

dxx x

∞

+ +∫

Gabarito

a) Converge para 3

b) ∞ ⇒ diverge

c) ∞ ⇒ diverge


d) ∞ ⇒ diverge

e) Converge para 1/2

f) Converge para – 1/2

g) Converge para 9

h) ∞ ⇒ diverge

i) ∞ ⇒ diverge

j) Converge para )2ln(

k) Converge para e1

l) ∞ ⇒ diverge

m) Converge para – 1/4

n) Converge para – 3/2

o) ∞ ⇒ diverge

p) Converge para 1/2


Capítulo 3

Funções de duas ou mais Variáveis Reais


Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 33

Introdução

Neste capítulo, o objetivo principal é estender a ideia fun-damental que temos de funções, uma variável real para fun-ções de duas ou mais variáveis reais. Analisando aspectos básicos de nossa compreensão de funções de uma variável, obtemos domínios análogos para o domínio de funções de duas variáveis, bem como representações gráficas destes domínios.

Também estudaremos gráficos de funções de duas variá-veis.

1 Funções de duas variáveis 2 ou mais variáveis

Admita uma placa fina e delgada, ou seja, a espessura da chapa é muito menor que as dimensões x e y. Admita ain-da que localmente houve a transferência de energia (calor) para a placa. Neste caso, a temperatura de qualquer pon-to da placa para cada intervalo de tempo t será dada por duas coordenadas espaciais, a saber (x,y) e uma coordenada temporal t. A função que descreve a temperatura da chapa necessariamente será uma função de três variáveis u(x,y,t). Dessa maneira, para cada entrada x, y, t haverá um único valor de temperatura u.

34 Cálculo III

Figura 1 Distribuição de Temperaturas em uma chapa fina (FONTE, 2014).

Em nossos estudos, iremos nos deter nas funções de duas ou três variáveis. Em cursos mais avançados de matemática há o surgimento de funções n-dimensionais em espaços n-dimen-sionais, e as propriedades estudadas serão casos mais gerais do que estudaremos em nossa disciplina.

A seguir, temos as definições de funções de duas e três variáveis:

Â Função de duas variáveis: uma função f de duas variáveis, x e y , é uma regra que associa um número real ( , )f x y para cada ponto ( , )x y de algum conjunto D no plano xy .

( , )z f x y= (1)


Â Função de três variáveis: uma função f de três vari-áveis , ,x y z é uma regra que associa um número real

( , , )f x y z para cada ponto ( , , )x y z de algum conjunto D no espaço xyz .

( , , )w f x y z= (2)

2 Domínio de funções de duas variáveis reais

Para o caso de uma função de duas variáveis ( , )z f x y= , a ideia de domínio de funções de uma variável é estendida natu-ralmente. Vamos pensar um pouco: para uma função de uma variável, ( )y f x= , o domínio representa o conjunto de valores de x que “podem” ser utilizados na função, ou seja, o domínio é constituído por pontos na reta dos reais que implica que tere-mos a construção de retas sobre a reta dos reais. O conjunto de todos estes pontos representa o domínio de ( )f x .

De forma resumida, o domínio de uma função ( )y f x= será um conjunto de pontos dispostos em uma reta.

Quando temos uma função de duas variáveis, ( , )z f x y= , é natural pensar que o domínio será o conjunto de pares ,x y que “podem” ser usados na função. Ora, como a disposição destes pontos está no plano ( , )x y , podemos dizer que o domí-nio de funções de duas variáveis são regiões do plano ( , )x y . De forma resumida, o domínio de uma função ( , )z f x y= será um conjunto de pontos dispostos em um plano.

36 Cálculo III

De forma análoga, o domínio de uma função de três variá-veis será um conjunto de pontos dispostos no espaço.

3.2.1 Problemas associados ao domínio de z=f(x,y)

Podemos identificar alguns “problemas” associadas ao domí-nio de funções conhecidas, como as funções racionais, funções logarítmicas, funções trigonométricas e funções irracionais, ou combinações das mesmas. Quando falamos em problemas nos referimos a possíveis restrições que aparecem no domínio


de z=f(x,y) a própria estrutura da função. Abaixo citamos al-guns desses casos:

1 ( , ) 0( , )

z h x yh x y

= ⇒ ≠ (3)

( , ) ( , ) 0z h x y h x y= ⇒ ≥ (4)

( )ln ( , ) ( , ) 0z h x y h x y= ⇒ > (5)

A definição do domínio de uma função de duas variáveis pode ser expressa de forma analítica ou de forma gráfica. Em cada caso, as restrições do domínio devem ficar claras.

Exemplos:

1) Obtenha o domínio das funções abaixo, expressando sua resposta de forma analítica e forma gráfica:

a) ( )2 2( , ) 25f x y x y= − +

b) 2 24

( , )x y

f x yy

− −=

c) 2 2( , )

25yf x y

x y=

+ −

d) 2( , )f x y y x= −

e) ( )2 2( , ) ln 1f x y x y= − −

38 Cálculo III

f) 2

5( , )2

xyf x yy x

−=−

Resoluções:

a)

b) Videoexemplo


c)

d) Videoexemplo

e)

40 Cálculo III

f) Videoexemplo

3 Gráficos de funções de duas variáveis

Analogamente ao gráfico de f(x), que é definido como o grá-fico da função ( )y f x= no plano xy , definimos o gráfico de ( , )z f x y= no espaço ( , , )x y z como sendo o gráfico da equação ( , )z f x y= .

Abaixo, temos alguns exemplos de gráficos de funções de duas variáveis:

Â 112

z x y= − −


Figura 2 Gráfico 1. Gráfico de um plano.

Fonte: autor, (2014).

Â 2 21z x y= − −

Figura 3 Gráfico 2 Fonte: autor (2014).

42 Cálculo III

Â 2 2z x y= +

Figura 4 Gráfico 3.

Fonte: autor (2014).

4 Curvas de nível de funções de duas variáveis

Seja uma função ( , )z f x y= cortada por um plano horizontal=k. Todos os pontos da intersecção ( , )f x y k= pro-jetados sobre o plano xy formam curvas que recebem o nome de curvas de nível de altura k. Um conjunto de curvas de nível é chamado de Mapa de Contorno da função ( , )z f x y= .

Considere, por exemplo, o gráfico da função que plotamos 2 2z x y= + acima, dada pela Figura 4:


Figura 5 Gráfico 3.


A representação da vista superior deste gráfico é dada na Figura 6:

Figura 6 Vista superior do Gráfico 3.


44 Cálculo III

Agora, vamos plotar a função 2 2z x y= + um plano pa-ralelo ao plano xy em alguma altura específica, por exemplo

1z = , neste caso temos as Figuras 7 e 8:

Figura 7 Gráfico 3 cortado por um plano de altura 1.


Figura 8 Vista superior da intersecção da função com o plano.



Observe a curva que aparece da intersecção da função com o plano. Neste caso, temos a curva de nível de altura 1:

Figura 8 Curva de Nível k=1.


Caso incluamos vários planos de diferentes alturas, tere-mos o mapa de contorno da função 2 2z x y= + dado na Figura 9.

46 Cálculo III

Figura 9 Curvas de Nível da função 2 2z x y= + .



Exemplos:

2) Esboce o mapa de contorno das funções abaixo:

a) ( )2 2( , ) 25 , 0,1,2,3,4,5f x y x y k= − + =

b) 2 2( , ) 4 , 0,1,3f x y x y k= + =

c) 2 2( , ) , 4,0,9f x y y x k= − = −

d) ( ) ( )2 2( , ) 2 3 , 1,4,9f x y x y k= − + − =

e) 3( , ) , 1,0,1, 2f x y x y k= − = −

f) 2( , ) , 1, 2,3f x y y x k= − =

Resoluções:

a)

( )( ) ( )

2 2

2 2 2

2

2

2

2

2

( , ) 25 , 0,1,2,3,4,5

25 25

25

f x y x y k

x y k x y k

x y k

= − + =

∴ − + = ⇒ − + =

⇒ + = −

48 Cálculo III

b) Videoexemplo

c) 2 2( , ) , 4,0,9f x y y x k= − = −


d) Videoexemplo

e) 3( , ) , 1,0,1, 2f x y x y k= − = −

50 Cálculo III

f) Videoexemplo

Recapitulando

Neste capítulo, estendemos a ideia fundamental de funções de uma variável para funções de duas ou mais variáveis. Vimos a descrição genérica do domínio de funções de tais funções através de exemplos do domínio expressos em termos analí-ticos, bem como gráficos. Por fim, vimos alguns exemplos de gráficos de funções de duas variáveis e tais gráficos represen-tam superfícies tridimensionais.


Referências

KREYSZIG, E. Matemática Superior para Engenharia v.1, 9.ed., LTC, 2009.

ZIll, D. G, Cullen, M. R. Equações Diferenciais. v.1, 3.ed, Makron Books, 2001.

______. Matemática Avançada para Engenharia. v.1, 3.ed Bookman, 2009.



Atividades

1) Obtenha o domínio das funções abaixo, expressando sua resposta de forma analítica e forma gráfica:

a) ( )2 2( , ) 36f x y x y= − +

b) 2 24

( , )x y

f x yy

− −=

52 Cálculo III

c) 2

2

( , )

52

xyf x yx y

=

+ −

d) 3( , )f x y y x= −

e) ( )2 2( , ) ln 1f x y x y= + −

f) 2 3

( , ) x yf x yy x

+=−

g)

2sin( )( , ) xf x yy x

=−

2) Esboce o mapa de contorno das funções abaixo:

a) ( , ) , 2, 1,0,1, 2,3f x y y x k= − = − −

b) ( , ) , 0,1, 2,3, 4,5f x y y x k= − =

c) 2 2( , ) , 4,9,16,25f x y x y k= + =

d) 2 2

( , ) , 1, 2,3, 42 3x yf x y k= + =

e) ( ) ( )2 22 1

( , ) , 1, 2,3, 42 3

x yf x y k

− −= + =

f) 2 2( , ) , 4,0, 4f x y y x k= − = −

g) 2( , ) , 0,1, 4,9f x y y k= =


Gabarito

1)

a)

b)

54 Cálculo III

c)


d)

e)

56 Cálculo III

f)


g)

2)a) Imagem abaixo

58 Cálculo III

b) Imagem abaixo

c) Imagem abaixo


d) Imagem abaixo

e) Imagem abaixo

60 Cálculo III

f) Imagem abaixo

g) Imagem abaixo


Capítulo 4

Limites de Funções de Duas Variáveis


62 Cálculo III

Introdução

O processo de limite utilizado para funções de uma variável real pode ser generalizado para funções de duas ou mais vari-áveis. A ideia fundamental de limite se mantém invariante, po-rém, os caminhos para os quais podemos chegar a um ponto do qual queremos avaliar o limite, que para funções de uma variável eram dois, se mostrará infinito para funções de duas ou mais variáveis.

1 Limites de funções de duas ou mais variáveis

Quando procuramos o limite de uma função de uma variável, temos as seguintes operações:

0

lim ( ).x x

f x→

(1)

Que implica em calcularmos os limites laterais

0

lim ( )x x

f x+→

(2)

e

0

lim ( )x x

f x−→

(3)

Dessa maneira, temos apenas dois sentidos nos quais x pode se aproximar de 0x .

Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 63

Quando calculamos o limite de funções de duas ou mais variáveis é um pouco mais complexo, tendo e vista que pode-mos chegar até o ponto ( )0 0,x y , por infinitos caminhos.

Neste contexto, temos dois casos possíveis:

1.1 Limites ao longo de curvas

Neste caso, chegamos até o ponto ( )0 0,x y por uma curva parametrizada por função da variável t. Esses limites ao lon-go de curvas paramétricas podem ser obtidos substituindo as equações paramétricas dentro da equação para a função f e computando o limite apropriado da função resultante que será de uma variável. Assim temos, para limites de funções de duas e três variáveis, respectivamente:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0 0

0 0 0 0

, ,

, , , ,

lim ( , ) lim ( ), ( )

lim ( , , ) lim ( ), ( ), ( )x y x y t t

x y z x y z t t

f x y f x t y t

f x y z f x t y t z t→ →

→ →

=

=

(4)

Exemplos:

1) Calcule o limite da função 2 2( , ) xyf x yx y

= −+

através das seguintes curvas:

a) 0y =

b) 0x =

c) y x=

d) y x= −

e) 2y x=

64 Cálculo III

Resolução:

a)

( ) ( )( )

0 0, , 0 0 02 2 2

0

0lim lim ( ,0) lim lim 0 0

ao longo do eixo x

x y x y t t t

y

xy f tx y t→ → → →

= ⇒

− = = − = = +

b)

( ) ( )( )

0 0, , 0 0 02 2 2

0

0lim lim (0, ) lim lim 0 0

ao longo do eixo y

x y x y t t t

x

xy f tx y t→ → → →

= ⇒

− = = − = = +

c) ( ) ( )0 0

2 2

2 2 2 2, , 0 0

0

20lim lim ( , ) lim lim

2

1 1lim

ao longo da r

2

eta

2

x y x y t t t

t

y x

xy t tf t t

y x

x y t t t→ → → →

→

= ⇒

− = = − = − + +

= − = −

=

d)

e) ( ) ( ) ( )0 0

2 2

3 32

22 2 2 4, , 0 20 0

20

2lim lim ( , )

ao lo

lim lim

l

ngo da curva

im 01

x y x y t t t

t

y x

xy t tf t tx y t tt t

y

tt

x

→ → → →

→

= ⇒

− = = − = − + + + = − = +

=


1.2 Limites gerais

O limite de uma função de duas variáveis pode ser definido da seguinte forma:

Seja f uma função de duas variáveis, então

( ) ( )0 0, ,lim ( , )

x y x yf x y L

→=

(5)

se dado qualquer 0ε > , podemos encontrar um número 0δ > de modo que ( , )f x y satisfaça

( , )f x y L ε− < (6)

sempre que ( ),x y estiver no domínio de f e a distância entre ( ),x y e ( )0 0,x y satisfizer

( ) ( )2 2

0 00 x x y y δ< − + − <

(7)

O seguinte teorema relaciona a obtenção de limites de duas variáveis através da definição geral e sua obtenção atra-vés de curvas paramétricas:

Teorema:

(i) Se f(x,y) tende a L quando (x, y) tende a (xo, yo), então f(x, y) tende a L quando (x, y) tende a (xo, yo) ao longo de qualquer curva suave do domínio de f(x, y).

(ii) Se o limite de f(x, y) deixa de existir quando (x, y) tender a (xo, yo) ao longo de alguma curva suave, ou se f(x, y) tiver limites diferentes quando (x, y) tender a (xo, yo) ao

66 Cálculo III

longo de duas curvas suaves diferentes do domínio de f(x, y), então o limite de f(x, y) não existe quando (x, y) tender a (xo, yo).

Exemplos:

2) Calcule o limite das funções abaixo:

a) ( ) ( )( )3 2

, 2, 3lim 4 5 7

x yx xy y

→ −− + −

b) ( ) ( )

2 2

2 2, 3,4lim

x y

x yx y→

−+

c) ( ) ( )

4 4

2 2, 0,0lim

x y

x yx y→

−+

d) ( ) ( )1,2 3,lim

2 2x y

xy yx x xy y→

−− + −

e) Mostre que o limite não existe ( ) ( )

2 2

2 2, 0,0

2limx y

x yx y→

−+

f) ( ) ( ), 1, 1

2 2

2 2lim

x y

x yx y→ − −

−+

Resoluções:

a) ( ) ( )( ) ( ) ( )23 2 3

, 2, 3lim 4 5 7 2 4 2 3 5 3 7

8 72 15 7 86x y

x xy y→ −

− + − = − ⋅ ⋅ − + − −

= − − − = −


b) Videoexemplo

c) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 24 42 2

2 2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0,

2

0

20lim lim lim 00x y x y x y

x y x yx y x yx y x y→ → →

− +− = ⇒ = − =+ +

d) Videoexemplo

e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0,0

2 2 2 2

2 2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0,0

2 0 2 0lim 0 lim lim 2 20 02 0 20 lim lim 1 1 lim0

x y x y x y

x y x y x y

x y xyx y x

y x yxy x y

→ → →

→ → →

− −= ⇒ = ⇒ = =+ +

⋅ − −⇒ = ⇒ = − = − ⇒ = ∃+ +

f) Videoexemplo

2 Continuidade

Lembramos que definimos uma função de uma variável conti-nua pela assertiva

00lim ( ) ( )

x xf x f x

→= (8)

Estando o conceito de continuidade para funções de duas e três variáveis temos

( ) ( )0 0, 0, 0lim ( , ) ( , )x y x y

f x y f x y→

=

(9)

( ) ( )0 0 0, , 0 0 0, ,lim ( , , ) ( , , )

x y z x y zf x y z f x y z

→= (10)

68 Cálculo III

Exemplos:

3) Determine se ( , )f x y é contínua no ponto especificado:

a) ( )2( , ) 3 2 em 1,3f x y x xy= + −

b) 2 2( , ) xfy

yx

x y =−

c) ( , ) 4f x y xy= −

d)

e) ( )2( , ) 5 3 em 1,0f x y x xy= +

f) 2

( , ) xf x y e=

Resoluções:

a)

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

2

2

2 , 1,3, 1,3

( , ) 3 2 em 1,3

( 1,3) 3 1 21)

2)

1 3 3lim ( , ) ( 1,3)

lim 3 2 3 x yx y

f x y x xy

ff x y f

x xy → −→ −

= + −

− = − + − = − ⇒ = −+ = −

b) Videoexemplo

c) A função é cont

( , ) 4 4ínua 4p a

0 4 ar

f x y xy xy xyxy

= − ⇒ − ≥ ⇒ ≥⇒ ≥

d) Videoexemplo


e) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

2

2

2 , 1,0, 1,0

( , ) 5 3 em 1,0

1,0 5 1 3 1 0 5lim ( , ) (1,0)

li

1)

2 m 3 5) 5 x yx y

f x y x xy

ff x y f

x xy →→

= +

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ =+ =

f) Videoexemplo

Recapitulando

Repetindo os passos para a construção da derivada, estuda-mos neste capítulo a generalização da operação de limite para funções de duas ou mais variáveis. Vimos que a principal di-ferença entre esses limites e os limites de funções de uma va-riável são os caminhos pelos quais podemos chegar ao ponto do qual pretendemos avaliar o limite. Também generalizamos o conceito de continuidade de funções de uma variável para funções de duas variáveis.

Referências



STEWART, J. Cálculo. v. 1 São Paulo: Thomson, 2002.

70 Cálculo III



Atividades

1) Resolva os limites abaixo:

d) ( ) ( ) ( ), 0,0

6

23 2lim

x y

x

x y→ +

e) ( ) ( ), 0,0

2 3

5 5

3lim2 2x y

x yy x→ −

Gabarito

1)

a) 5


b) 11913

c) 0

d) ∃

e) ∃


Capítulo 5

Derivadas Parciais


Capítulo 5 Derivadas Parciais 73

Introdução

A derivada de uma função de duas ou mais variáveis será in-troduzida neste capítulo. Veremos as definições, bem como devemos proceder para computar tais derivadas. As regras an-teriormente estudadas de derivação permanecem as mesmas, porém, como estamos calculando derivadas de funções de no mínimo duas variáveis, devemos também calcular a derivada com respeito a cada variável.

1 Derivadas parciais de funções de duas variáveis

Analogamente ao limite que define a derivada de uma função de uma variável, ( )y f x=

0

('( ) lim ( ) ,)x

f x x ff x xx∆ →

∆ −=∆

+ (1)

podemos estender a mesma ideia para uma função de duas variáveis. Porém, quando derivamos uma função de duas va-riáveis ( , )z f x y= , temos duas opções; calcular a derivada com respeito a variável x ou a variável y .

1.1 Derivada com respeito a x

Se ( , )z f x y= , então a derivada parcial de f em relação a x é a derivada com respeito a x da função que resulta quan-

74 Cálculo III

do y é mantido fixo e fazemos x variar. O limite 1 pode ser estendido:

0

(( , ) lim , ) ( , )xx

f f xf x yx

x y f x yx∆ →

∂ ∆ −+= =∆∂ (2)

onde denota a derivada parcial de ( , )f x y com res-peito a variável x .

1.2 Derivada com respeito a y

Se ( , )z f x y= , então a derivada parcial de f em relação a y é a derivada com respeito a y da função que resulta quan-do x é mantido fixo e fazemos y variar. O limite 1 pode ser estendido:

0

(( , ) lim , ) ( , )yy

f f xf x yy

y y f x yy∆ →

∂ + ∆ −= =∆∂

(3)

onde denota a derivada parcial de ( , )f x y com res-peito a variável y .

Exemplos:

1) Calcule as primeiras derivadas parciais (com respeito a x e a y) das funções abaixo:

a) 3 2( , ) 2 2 4f x y x y y x= + +

b) f (x,y) = x3 y + 5y3


c) 2 2( , ) 3 2f x y x xy y= − +

d)

e) ( , ) sin( ) cos(7 )f x y x y=

f) 2 21( , ) 24 2

2f x y x y= − −

g) 2 3

4 x yz e=

h) 2sin(4 )xyz e y=

i)

yxz ye=

j) 2 ln( )xz y e xy= +

k) ln( 2)z xy= +

l) 4 3 22 3 1z x y xy y= − + +

Resoluções:

a)

3 2

3 3

2 2 2 2

( , ) 2 2 46 0 4 6 4

4 2 0 4 2x x

y y

f x y x y y xf x y f x yf x y f x y

= + += + + ⇒ = +

= + + ⇒ = +

b) Videoexemplo

76 Cálculo III

c)

d) Videoexemplo

e)

( )

( , ) sin( ) cos(7 )cos( ) cos(7 ) cos( ) cos(7 )sin( ) 7sin(7 ) 7sin( )sin(7 )y y

x x

f x y x yf x y f x yf x y f x y

== ⇒ == − ⇒ = −

f) Videoexemplo

g)

2 3

2 3 2 3

2 3 2 3

3 3

2 2 2 2

( , ) 4

4 2 8

4 3 12

x y

x y x y

x y x yy y

x x

f x y e

f xy e f xy e

f x y e f x y e

=

= ⋅ ⇒ =

= ⋅ ⇒ =

h) Videoexemplo

i) 2

2 2

1

yx

y yx x

y y y yx x x

y

x

x

x

y

z ye

y yz y e z ex x

yz e y e z e ex x

=

− = ⇒ = −

= + ⇒ = +

j) Videoexemplo


k)

ln( 2)1

2 21

2 2

x

y

x

y

z xyyz y z

xy xyxz x z

xy xy

= +

= ⇒ =+ +

= ⇒ =+ +

l) Videoexemplo

2 Taxas de variação e inclinações

Dada uma função de duas variáveis ( , )f x y e suas respec-tivas derivadas parciais ( , )xf x y e ( , )yf x y , a interpretação geométrica das derivadas no ponto ( )0 0,x y , ( )0 0,xf x y e

( )0 0,yf x y , mais uma vez, estende a interpretação geométrica da deriva de uma função de uma variável:

( )0 0,xf x y representa a inclinação da reta tangente no ponto ( )0 0,x y da curva ( , )f x y interceptada pela plano

0y y=

Figura 1 Derivada parcial com respeito a x.

Fonte: Wikipédia (2014).

78 Cálculo III

Â ( )0 0,yf x y representa a inclinação da reta tangente no ponto ( )0 0,x y da curva ( , )f x y interceptada pela pla-no 0x x= .

Figura 2 Derivada parcial com respeito a y.

Fonte: Wikipédia (2014).

3 Notação

Como vimos nas definições de derivada parcial 2 e 3, temos duas formas de representar as derivas parciais de uma função

( , )z f x y= .

Notação Compacta Notação Diferencial

Derivada com

respeito a x( , )x xz f x y= z f

x x∂ ∂=∂ ∂

Derivada com

respeito a y( , )y yz f x y= z f

y y∂ ∂=∂ ∂


4 Derivadas parciais de ordens superiores

Lembre-se que podemos calcular as derivadas sucessivas de uma função de uma variável y=f(x), obtendo assim derivadas de qualquer ordem, onde a ordem representa o número de deriva-das calculadas. Assim, para uma função de uma variável temos:

Â Primeira ordem: ' dyydx

=

Â Segunda ordem: 2

2'' d yydx

=

Â Terceira ordem: 3

3''' d yydx

=

e assim sucessivamente.

No caso das derivadas parciais, a cada derivada obtida podemos calcular o resultado em função de x ou em função de y, dessa maneira temos a seguinte árvore:

Figura 3 Derivada parcial até segunda ordem.


80 Cálculo III

Observe que a sequência das variáveis a serem derivadas muda conforme a notação.

Exemplos:

2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das fun-ções abaixo:

a) 2 3 4( , )f x y x y x y= +

b) ( )2 2( , ) lnf x y x y= +

c) 3 5( , ) 2 yf x y x e=

d) ( , ) cos( )xf x y e y=

e) ( , ) cos( )sinh( ) sin( ) cosh( )f x y x y x y= +

f) 2 3 4( , )f x y x y x y= +

g) ( )( , ) lnf x y xy=

h) 4 2 3 2( , ) 2 4 3f x y xy x y x y= − + −

i) 2 2( , )f r s r s= +

j) ( , ) cos xf x y xy

=

k) 2 2( , , ) 3f x y z x z xy= +


l) ( , , ) t x yf x y z xe ye ze−= − +

Resoluções:

a)

2 3 4

3 23 3

2 3

22 2 4

2 3

( , )

2 122 4

6 4

63

6 4y

xxx

xy

yy

yx

f x y x y x y

f y x yf xy x y

f xy x

f x yf x y x

f xy x

= +

= += + ⇒ = + == + ⇒ = +

b) Videoexemplo

c)

3 5

52 5

2 5

3 53 5

2 5

( , ) 2

126

30

5010

30

y

yy

y

yyy

xx

y y

xy

x

x

y

y

f x y x e

f xef x e

f x e

f x ef x e

f x e

=

== ⇒ = == ⇒ =

d) Videoexemplo

82 Cálculo III

e)

( , ) cos( )sinh( ) sin( ) cosh( )sin( )sinh( ) cos( ) cosh( )

cos( )sinh( ) sin( ) cosh( )sin( ) cosh( ) cos( )sinh( )

cos( ) cosh( ) sin( )sinh( )

cos( )sinh( ) sin( ) cosh( )

x

xx

xy

y

yy

yx

f x y x y x yf x y x y

f x y x yf x y x y

f x y x y

f x y x yf

= += − +

= − −⇒ = − +

= +

= +⇒

= −sin( ) cosh( ) cos( )sinh( )x y x y +

f) Videoexemplo

g)

( )

2

2

( , ) ln

11

0

11

0

xxx

x

yyy

yx

y

f x y xy

ff x

x f

fyf

y f

=

= −= ⇒ = = −= ⇒ =

h) Videoexemplo


i)

84 Cálculo III

j) Videoexemplo

k)

l) Videoexemplo

5 Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis

Quando calculamos a derivada de funções de mais de duas variáveis, termos mais opções conforme o número de variáveis que define as funções. No entanto, a ideia fundamental da derivada parcial é a mesma, ou seja, quando derivamos a função com respeito a uma variável, fixamos as demais.


Exemplos:

3) Calcule as derivadas parciais indicadas das funções abaixo:

a)

b)

c) ( )2

2 ln( )xyx y

∂ ∂ ∂ ∂

d)

e) ( )3

23 cos(xyx

∂∂

f) ( )2 2

2 x yx y x

∂ ∂ + ∂ ∂ ∂

Resoluções:

a)

( ) ( )

( )

( )

3 3

32 3 4 2 3 4

3

3

3

3 4

2

23

2 4 2 12 24

24

x y x y x y x yx x x x

xy x y y x y xyx x x

x y x y xyx

∂ ∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + = ∂ ∂ ∂

∂⇒ + =∂

86 Cálculo III

b) Videoexemplo

c)

( ) ( )2

2

2

ln( ) ln( )

1 1 0

xy xyx y x y y

x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = − = ∂ ∂ ∂

d) Videoexemplo

e)

( ) ( )

( )

( )

32 2

3

4 6

32 3 4

2 2

23

2

6

2

cos( ) cos( )

sin( ) cos( ) sin( )

sin( )

xy xyx x x x

y xy y xy y xyx x x

x y x y y xyx

∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = − = ∂ ∂ ∂

∂⇒ + =∂

f) Videoexemplo

Recapitulando

Neste capítulo, vimos a definição de derivada parcial de fun-ções de duas ou mais variáveis. Percebemos que a derivada simples, ou ordinária é um caso particular deste novo objeto.

Estudamos derivadas parciais de primeira ordem, segun-da ordem e de ordens superiores. Interessantemente o cálculo das derivadas é efetivamente o mesmo para a derivada com respeito a determinada variável, ou seja, vimos que calcular


a derivada parcial se resume a calcular derivadas ordinárias conforme o número de variáveis que define a função.

Referências



STEWART, J. Cálculo. v. 1 São Paulo: Thomson. 2002.



Atividades

1) Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo:

a) 2 2( , )f r t r t= +s) s2

b) ( , ) sin( )yf x y xe y x= +

c) ( , ) ln x yf x yx y

+= −

88 Cálculo III

d) ( , ) cos xf x y xy

=

e) , ) sin( ) co( s( )s φ θ φ θ=

f) ( , ) Ax Byg x yCx Dy

+=+

g) 2( , ) sec( )f x y x y xy=

h) 2 3 3 23 5z x y x y= −

i) xyz e=

j) 3 2cos( )z x xy=

2) Calcule as derivadas de segunda ordem das funções abaixo:

a) cos( )z x y=

b) ( , ) 3 2f x y x y= +

c) ( , ) xyf x y e=

d) 2 3 2( , ) 5 cos( )f x y x y xy= +

e) 1( , )f x yxy

=


f) ( , ) tan xf x yy

=

3) Calcule as derivadas indicadas abaixo:

a) ( )44

44 x y y xy

∂ +∂

b) de ( , )xxx yf f x y e +=

c) ( )2

22 sin(2 7 )x y

x y ∂ ∂ + ∂ ∂

d) ( )22

2 x yx y

∂ ∂ + ∂ ∂

e) de ( , ) cos( )xxy f x y x yf = +

f) de ( , , ) sin( )xyz f x y zf x y z= + +

Gabarito

1)

a) 2 2 2 2

; srr sf f

r s r s= =

+ +

b) cos( ); sin( )x yy yf e y x f xe x= + = +

90 Cálculo III

c) 2 2 2 2;x y

y xf fx y x y

−= =− −

2x–2y

d)

e) cos( )cos( ); sin( )sin( )s sφ θφ θ φ θ= = −

f) ( )( )

( )( )2 2; yx

AD BC BC ADf y f x

Cx Dy Cx Dy− −

= =+ +

g) 2 2

2 3

2 sec( ) sec( ) tan( );

sec( ) sec( ) tan( )y

xf xy xy x y xy xyf x xy x y xy xy

= +

= +

h) 3 2 2 2 2 36 15 ; 9 10z zxy x y x y x yx y

∂ ∂= − = −∂ ∂

i) 2

1 ;x xy yz z xe e

x y y y∂ ∂ −= =∂ ∂

j) 3 242 2 2 23 cos( ) sin( ); 2 sin( )z zx xy x y xy x y xyx y

∂ ∂= − = −∂ ∂

2)

a) ( ) ( ) ( )3/2

cos sin1 1; cos ;4 2xx yy xy yx

y yf f x y f f

x x= − = − = = −

b) ( ) ( ) ( )3/2 3/2 3/2

9 1 3; ;4 3 2 3 2 2 3 2xx yy xy yxf f f f

x y x y x y= − = − = = −

+ + +


c) 2 2e ; e ; e exy xy xy xy

xx yy xy yxf y f x f f xy= = = = +

d) 3 2 210 ; 30 ; 30xx yy xy yxf y f x y f f xy= = = =

e) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

5/2 5/2 5/2 3/23 3 3 1; ;4 4 4 2xx yy xy yx

y x xyf f f fxy xy xy xy

= = = = −

f)

3)

a) 24x

b) ( )

( )3/2

1 e14

x yx y

x y

++ −

+

c) ( )2196 cos 2 7x x y− +

d) ( )5/22

34

y

y x+

92 Cálculo III

e) ( )sin x y+

f) ( )cos x y z− + +


Capítulo 6

Regra da Cadeia e suas Aplicações


94 Cálculo III

Introdução

Neste capítulo, iremos perceber que a derivada parcial de uma função de duas variáveis é um caso particular de um obje-to matemático mais geral chamado Derivada Direcional. Tais derivadas indicam a taxa de variação de nossa função com respeito a qualquer direção arbitrária. Também neste capítulo, aparecerá o gradiente de uma função de duas variáveis como o indicativo das direções de maiores e menores taxas de cres-cimento da função.

1 Funções Diferenciáveis de duas variáveis

Primeiramente, vamos recordar a definição mais intuitiva de diferenciabilidade de funções de uma variável:

Uma função ( )y f x= , diferenciável em um ponto 0x x= é aquela que satisfaz as seguintes propriedades:

Â ( )f x é contínua em 0x x= .

Â O gráfico de ( )f x possui uma reta tangente não vertical em 0x x= .

Podemos definir uma função diferenciável de uma maneira mais formal: uma função f de uma variável é diferenciável em

0x se existe um número 0'( )f x tal que f∆ pode ser escrita na forma

0'( )f f x x xε∆ = ∆ + ∆ (1)

Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 95

onde ε é uma função de x∆ tal que ε vai para zero se x∆ vai para zero e 0ε = se 0x∆ = .

Para o caso de funções de duas variáveis, podemos esten-der as definições acima, fazendo as devidas adequações:

(i) Uma função ( , )z f x y= , diferenciável em um ponto ( )0 0,x y é aquela que satisfaz as seguintes proprieda-des:

Â ( , )f x y é contínua em ( )0 0,x y .

Â A superfície ( , )z f x y= tem um plano tangente não ver-tical em ( )0 0,x y .

Uma função f de duas variáveis é diferenciável em ( )0 0,x y se ( )0 0,xf x y e ( )0 0,yf x y existirem e f∆ puder ser escrita como

0 0 0 0 1 2( ) ( ), ,yxf f x x f xy y yy xε ε∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (2)

onde 1ε e 2ε são funções de x∆ e y∆ tendendo a zero, se cada quantidade respectiva tende a zero e são nulos se os deltas são nulos.

2 Diferenciais

Quando estudamos a diferencial para funções de uma variável )(xfy = , definimos a diferencial como uma variável inde-

pendente, podendo valer qualquer número real. A diferencial de y foi definida como:

96 Cálculo III

(3)

Para uma função de duas variáveis, ),( yxfz = , definimos as diferenciais e como variáveis independentes, podendo valer qualquer valor. Logo, a diferencial , também chamada de diferencial total, é definida como:

Exemplos:

1) Dada a função , se x varia de 3 para 3,02 e y varia de 2 para 1,95, determine:

a) A variação exata da função ),( yxfz = para as varia-ções indicadas.

b) A variação aproximada, usando diferenciais.

2) O comprimento e a largura de um retângulo foram me-didos com uma régua, encontrando-se 50 cm e 40 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0,1. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo come-tido no cálculo da área do retângulo e compare com o erro exato.

3) Uma lata cilíndrica possui diâmetro da base medindo 10 cm e altura medindo 12 cm. Usando diferenciais, calcule


a variação no volume da lata quando o diâmetro aumenta para 10,04 cm e a altura aumenta para 12,01 cm.

4) Um cone circular reto possui raio da base igual a 8 cm e altura 20 cm. Utilize diferenciais para calcular a variação no volume do cone, quando o raio aumenta 0,01 cm e a altura diminui 0,01 cm.

Resoluções

1) a)

A variação exata é dada por ozzz −=∆ (final menos inicial).

O valor inicial da função é calculado quando 3=x e 2=y :

O valor final da função é calculado quando e

Então a variação exata será:

b) Usando diferencial, aplicamos

98 Cálculo III

Se x varia de 3 para 3,02, então

Se y varia de 2 para 1,95, então

Então:

Veja que , isto é, usando diferencial o valor da variação, é próxima da variação exata. Quanto menores as variações das variáveis independentes, mais o valor da diferencial se aproxima do valor exato. Normalmente, utilizamos a diferencial para calcular a variação de funções ou de grandezas, pois o cálculo se torna mais fácil.

2)


Área: yxA .= erro:

Usando diferencial: ou

Erro exato:

Veja que a diferença nos cálculo é de 0,01 cm².

3)

100 Cálculo III

4)


2.1 Igualdade das derivadas mistas

No capítulo 5, percebemos nos exemplos que as derivadas mistas são idênticas para as questões-exemplo resolvidas. Neste ponto, podemos enunciar o seguinte teorema: Seja f uma função diferenciável de duas variáveis. Se xf , yf , xxf e

yyf são contínuas em um conjunto aberto, então

xy yxf f= (3)

102 Cálculo III

ou

2 2f fy x y x

∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂ (4)

3 Regra da cadeia

Quando estudamos as regras de derivação, aparece a chama-da regra da cadeia, que possibilita que calculemos a derivada de uma função mesmo quando ela não está escrita em termos da variável a qual estamos derivando. Dito de outra forma, se

( )y f x= e x , por sua vez, é uma função de t , ( )x x t= , po-demos calcular a derivada com respeito de t diretamente da função y , usando a regra da cadeia que afirma:

dy dy dxdt dx dt

=

(5)

Desejamos, neste momento, desenvolver regras análogas para funções de duas variáveis, e para tal enunciaremos dois teoremas:

3.1 Teorema 1

Se ( )x t e ( )y t são diferenciáveis em t e se ( , )z f x y= for diferenciável no ponto ( )( ), ( )x t y t , então ( )( ), ( )z f x t y t= é diferenciável em t e

dz z dx z dydt x dt y dt

∂ ∂= +∂ ∂

(6)


Exemplos:

1) Dado a função e ( )x t , ( )y t , determine dzdt

:

a) ; cos( ), sin( )z xy y x t y t= + = =

b) 2 2 3; ,z x y x t y t= = =

c) 2 3 4 23 ; ,z x y x t y t= = =

d) 2sin( ); ,z x y x t y t= = =

Resoluções:

a) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

; cos( ), sin( )

, sin( )2 1sin( ) cos( )

1 2 2, cos( )2

12 2 2

cos( ) cos( ) sin( )

2 cos

z xy y x t y tdz z dx z dydt x dt y dtz y dx tx dtxy y dz y xt tz x dy dt xy y xy yty dtxy y

dz y x x x yy xdt xy y xy y xy y

t t t

= + = =∂ ∂= +∂ ∂

∂ = = − ∂ + + ⇒ = − +∂ + + += =∂ + + + −⇒ = − + =

+ + +

+ −=

( )( ) ( )( )2 2cos ( ) cos( ) sin ( )

2 cos( )sin( ) sin( )( ) sin( ) sindz t t tdt t t tt t t

+ −⇒ =++

b) Videoexemplo

104 Cálculo III

c)

d) Videoexemplo

3.2 Teorema 2

Se ( , )x u v e ( , )y u v são tiverem derivadas de primeira ordem no ponto ( , )u v e se ( , )z f x y= for diferenciável no ponto ( )( , ), ( , )x u v y u v , então ( )( , ), ( , )z f x u v y u v= tem derivadas de primeira ordem no ponto ( ),u v dadas por:

z z x z yu x u y u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(7)

e

z z x z yv x v y v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(8)


Exemplos:

2) Dada a função ( , )z f x y= e ( , )x x u v= , ( , )y y u v= , de-

termine zu

∂∂ e

zv

∂∂

a) , 2 ,xy uz e x u v yv

= = + =

b) ( )2 2 2tan ; ,uz x y x x y u vv

= − = =

c) 23 2 ; ln , lnz x y x u v u y u v v= − = + = −

d) 2 2cos( )sin( ) ,z x y x u y u v= = = +

106 Cálculo III

Resoluções:

a)

( )

2

2

, 2 ,

;

12

1

12 2

2 2

xy

xy

xy xy

x

uv

y

y

uv

x

uz e x u v yv

z z x z y z z x z yu x u y u v x v y v

z yexz xeyx yu u vx y uv v vz z x z y z xye xe e yu x u y u u v v

u uev

+

= = + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ =∂ ∂ =

∂∂ ∂ = =∂ ∂

∂ ∂ = = − ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∴ = + ⇔ = ⋅ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+= +

( ) ( )

2 2

2

2 2

22

2 2

2

2 2

4 4

1

2 2

x

u uv u

y x

uvv v

u uvuu v

y x

v

y

v

v u v z u ve ev v u v

z z x z y z u xuye xe e yv x v y v v v v

u v uu uv u uve ev v v

+ +

+ +

+ ∂ + = ⇒ = ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∴ = + ⇔ = ⋅ + − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − −= − =

=2 2

22 2 2

2 2

2 2u uv u uv

v vu z ue ev v v

+ + − ∂ −⇒ = ∂

b) Videoexemplo


c)

23 2 ; ln , ln

;

3

2

1 2

ln ln 1

3 1 2 2

3 3 3 34

z x y x u v u y u v vz z x z y z z x z yu x u y u v x v y v

zx

zyx v y uu u ux yu vv vz z x z y z v uu x u y u u u

u v uuu

= − = + = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ = ∂∂ = −

∂∂ ∂ = + =∂ ∂

∂ ∂ = = − − ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∴ = + ⇔ = ⋅ + − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = − =

( ) ( )

( )

( )

2 2

3 2 3 2

3 2

4 3 3 4

3 ln 2 ln 1

3ln 2ln 2 ln ln 2 ln 2

ln 2

v u z u v uu u u

z z x z y z u vv x v y v v

u v u v u v

z u vv

− ∂ + −⇒ =∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∴ = + ⇔ = ⋅ − ⋅ − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + = + + = +

∂⇒ = +∂

d) Videoexemplo

108 Cálculo III

4 Taxas relacionadas em duas direções

Umas das mais importantes aplicações da regra da cadeia é a determinação de taxas que se relacionam em duas direções. A seguir, teremos alguns exemplos que contemplam tal aspecto.

Exemplos:

3) Resolva os problemas abaixo:

a) A que taxa está variando a área de um retângulo se seu comprimento é de 8 metros e está crescendo a 3 m/s, enquanto que sua largura é de 6 metros e está crescendo a 2 m/s?

b) Dois lados de triângulo têm comprimento a=5 cm e b= 10 cm e o ângulo entre eles é π/3. Se a estiver crescendo a uma taxa de 2 cm/s, e b estiver crescen-do a uma taxa de 1 cm/s e θ mantendo-se constante, a que taxa está crescendo ou decrescendo o terceiro lado?

Resoluções:

a) A que taxa está variando a área de um retângulo se seu comprimento é de 8 metros e está crescendo a 3 m/s, enquanto que sua largura é de 6 metros e está crescendo a 2 m/s?


8, 6

8, 6

33 2 3 6 2 8 34

m3

ms

s

2

4

x y

x y

dA A dx A dyA xydt x dt y dt

A dxydA dAx dt y x

A dy dt dtxy dt

dAdt

= =

= =

∂ ∂= ⇒ = +∂ ∂

∂ = = ∂ ⇒ = + ⇒ = ⋅ + ⋅ =∂ = =∂

⇒ =

b) Videoexemplo

Recapitulando

Neste capítulo, vimos a extensão da definição de diferencia-bilidade de funções de uma variável para funções de duas variáveis. Obtemos regras equivalentes à regra da cadeia para funções de duas variáveis através de dois teoremas fundamen-tais. Por fim, aplicamos essa nova relação para o estudo de problemas de variação bidimensional.

Referências



110 Cálculo III

STEWART, J. Cálculo. V.1. São Paulo: Thomson, 2002.



Atividades

1) Dada a função ( , )z f x y= e ( )x t , ( )y t , determine dzdt

:

a) ( )2

2 3ln 2 ; ,z x y x t y t= + = =

b) 13cos( ) sin( ); , 3z x xy x y tt

= − = =

c) 41 2 ; ln( ),z x xy x t y t= + − = =

d) 1

1 33; ,xyz e x t y t−= = =

e) ( )2cos ; ,2

ttz xy x y e= = =

2) Dada a função ( , )z f x y= e ( , )x x u v= , ( , )y y u v= , de-

termine zu

∂∂

e zv

∂∂

a) 28 2 3 ; ,z x y x y x uv y u v= − + = = −

b) ; 2cos( ), 3sin( )xz x u y vy

= = =


c) 2 1; ,x yz e x uv y

v= = =

d) 2 3; cos( ), sin( )z x y xy x u v y u v= − = =

e) 2 2 3; , 4xz x u v y uvy

= = − =

3) Dois lados de triangulo têm comprimentos a=4 cm e b=3 cm, mas estão crescendo a uma taxa de 1 cm/s. Se a área do triângulo permanece constante, a que taxa está varian-do o ângulo θ entre a e b quando θ=π/6

4) Suponhamos que as dimensões de uma caixa retangular variam de 9 cm, 6 cm e 4 cm, para 9,02 cm, 5,97 cm e 4,01 cm, respectivamente. Usando diferenciais, podemos dizer que uma aproximação da variação do volume desta caixa é:

a) 0,06 cm³ d) 2,10 cm³

b) – 0,06 cm³ e) 1,80 cm³

c) – 2,10 cm³

5) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. Usando a lei de Ohm,

RVI = , e a regra da cadeia, a taxa de variação à qual a

corrente I (em ampères) varia é:

a) – 0,225 ampères/min d) 0,025 ampères/min

112 Cálculo III

b) – 0,025 ampères/min e) 0,125 ampères/min

c) 0,225 ampères/min

6) A altura de um cone circular reto é 15 cm e está aumen-tando a 0,2 cm/min. O raio da base é 10 cm e está de-crescendo a 0,3 cm/min. Com que rapidez o volume está variando?

7) O comprimento, a largura e a altura de uma caixa retan-gular crescem a uma taxa de 1 pol/s, 2 pol/s e 3 pol/s, res-pectivamente. A que taxa o volume está crescendo quando o comprimento é 2 pol, a largura 3 pol e a altura 6 pol?

8) As dimensões de um bloco de madeira retangular foram medidas como 10 cm, 12 cm e 20 cm, com um possível erro de 0,05 cm em cada uma das medições. Usando di-ferencial, calcule o erro aproximado na área superficial do bloco.

9) A potência consumida numa residência elétrica é dada por P = E²/R (em watts). Se E = 200 volts e R = 8 ohms, em quanto a potência vai variar se E é decrescida de 5 volts e R é decrescida de 0,2 ohm?

Gabarito

1)

a)


b)

c)

d)

e)

2)

a) 2 2 3 3 2 224 16 2 3, 16 24 2 3u v uv v u v u v u− − + − − −

b) 3

sin 2cos cos,3sin 3sin

u u vv v

− −

c) , 0ue

d)

2 2 3 3

3 2 4 4 3 3 4 2 2

3 sin cos 4 sin cos ,2 sin cos sin cos 3 sin cos

u v v u v vu v v u u v u v v

−− + + −

e)

2 2 2 2

2 3 4

3,4 4

u v v uu v uv+ −

3) r s7 3

36ad/−

4) b

5) c

114 Cálculo III

6)

7) 60 pol³/s

8) 8,4 cm²

9) 125 watts


Capítulo 7

Máximos e Mínimos de Funções de duas

Variáveis


116 Cálculo III

Introdução

Neste capítulo, estenderemos a ideia fundamental de obtermos pontos críticos para funções de duas variáveis. Tais conceitos já haviam sido desenvolvidos para funções de uma variável e desempenhavam um papel central nas aplicações do cálculo diferencial e integral, tendo em vista a grande quantidade de problemas e a vastidão de suas aplicações na ciência, enge-nharia, economia e outras áreas. Para tal, começaremos de-finindo máximo e mínimo local de funções de duas variáveis.

1 Máximos e mínimos locais de funções de duas variáveis

Â Máximo Local e Absoluto: uma função de duas variáveis ( , )f x y possui um máximo local ou relativo em um pon-

to ( )0 0,x y se ao definirmos um círculo com centro em ( )0 0,x y todos os pontos dentro desse círculo satisfazem a condição ( ) ( )0 0, ,f x y f x y≥ . Um máximo global ou absoluto estende o círculo de modo a cobrir todo o es-paço bidimensional que definem o domínio de f .

Â Mínimo Local e Absoluto: uma função de duas variáveis ( , )f x y , possui um mínimo local ou relativo em um pon-

to ( )0 0,x y se ao definirmos um círculo com centro em ( )0 0,x y todos os pontos dentro desse círculo satisfazem a condição ( ) ( )0 0, ,f x y f x y≤ . Um mínimo global ou absoluto estende o círculo de modo a cobrir todo o es-paço bidimensional que definem o domínio de f .

Capítulo 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis 117

2 Extremo relativo

Tendo em vista a construção de máximos e mínimos relativos de funções de uma variável, onde a derivada se anula em tais pontos, implicando em retas tangentes horizontais no ponto estudado, parece razoável supor que máximos ou mínimos re-lativos em um ponto ( )0 0,x y aparecerão quando as derivadas parciais naquele ponto forem nulas, implicando em planos tangentes horizontais avaliados em ( )0 0,x y .

Dests maneira ,podemos enunciar o seguinte teorema:

Teorema: se f possuir um extremo relativo (máximo ou mí-nimo relativo) em ( )0 0,x y e suas derivadas de primeira ordem existirem neste ponto, então

( )0 0, 0x xf y = (1)

e

( )0 0, 0y xf y = (2)

3 Pontos críticos e teste da segunda derivada

Novamente estendendo a definição feita para funções de uma variável, um ponto crítico de uma função de duas variáveis é aquele onde as derivadas parciais de primeira ordem se anu-

118 Cálculo III

lam, ou a função não é diferenciável naquele ponto implican-do que uma ou outra derivada parcial não exista no ponto supracitado.

Tal definição indica um método para a obtenção de pontos críticos, mas não demonstra como se pode avaliar se estamos diante de um ponto de máximo ou mínimo relativo. Para fazer a devida classificação devemos fazer o teste da segunda de-rivada. A classificação pode ser em mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela.

Teorema: seja f uma função de duas variáveis tal que suas segundas derivadas são contínuas em um círculo centra-do em ( )0 0,x y , ponto crítico de f , e seja D o determinante expresso por

( ) ( )( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

, ,, ,

xx xy

x yy y

f x y f x yD

f x y f x y=

(3)

Então, temos quatro possibilidades:

Â Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y > então ( )0 0,x y é um mínimo relativos de f .

Â Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y < então ( )0 0,x y é um máximo relativos de f .

Â Se 0D < então ( )0 0,x y é um ponto de sela de f .

Â Se 0D = nada pode ser afirmado.


4 Algoritmo de determinação de pontos críticos de uma função de duas variáveis

A seguir, enumeramos uma sequência de passos para a deter-minação de pontos críticos de uma função de duas variáveis:

1) Calcule ( ),xf x y e ( ),yf x y .

2) Faça ( ), 0xf x y = e ( ), 0yf x y = .

3) Observe que (2) leva a um sistema de duas incógnitas para x e y ; resolva o sistema obtendo os pontos críticos de f .

4) Calcule ( )0 0,xxf x y , ( )0 0,yyf x y e ( )0 0,xyf x y onde ( )0 0,x yrepresenta um ponto crítico de f .

5) Repita (4) para todos os pontos obtidos em (2).

6) Monte o determinante

( ) ( )( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

, ,, ,

xx xy

x yy y

f x y f x yD

f x y f x y=

7) Classifique os pontos conforme:

Â Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y > então ( )0 0,x y é um mínimo relativos de f .

Â Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y < então ( )0 0,x y é um máximo relativos de f .

Â Se 0D < então ( )0 0,x y é um ponto de sela de f .

Â Se 0D = nada pode ser afirmado.

120 Cálculo III

Exemplos:

1) Localize todos os pontos críticos e pontos de sela das fun-ções abaixo:

a) 2 2( , ) 3 2 8f x y x xy y y= − + −

b) 4 4( , ) 4f x y xy x y= − −

c) 2( , ) 2 2 1f x y x xy y x= + − − +

d)

2 4( , )f x y xyx y

= + +

e) 2( , ) yf x y x y e= + −

Resoluções:

a)

( )

( )

( )

2 2

2,6

( , ) 3 2 86 2 0 6 2 0

2 2 8 0 2 2 8 0

6 2 06 2 0 6 2 04 24 6

2 2 8 32 2 8 0 6 6

Mas 6 2 3 3 6 2Ponto Crítico: :

2

6 6

2,6

4

x x

xx x

y

x

y

yy

f x y x xy y yf x y f x yf x y f x y

x yx y x yy y

x yx y x y

x y x y x

f f

xP

f

= ⇔ = ⇒ = ⇒ =

= − + −= − ∴ = ⇒ − == − + − ∴ = ⇒ − + − =

− =− = − = ⇔ ⇒ ⇒ = ⇒ = − + = ×− + − = − + =

= ∴ =

=( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0

2,60 0 0 0

2,6

2,6e : 2,6 é ponto de mínimo re

, , 6 22 2 8

, , 2 22 2

8 0 6 0 lativo

yyy

xx xy

xy

xy

y

xy yx

xx

f x y f x yf D

f x y f x yf f

P

f

D f

− ∴ = ⇒ = = = − = = − ∴ ⇒ −

= > = > ⇒

b) Videoexemplo


c)

{

( )

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

2

2, 2

0 0 0 0

2, 20 0 0 0

2, 2

( , ) 2 2 12 2 0 2 2 0

Ponto Crítico: : 2

2 0 2 0

2 22

2

2 2, , 2 1

0 0 1, , 1 0

, 2

1 1

x x

xx

y y

yy yyyy

xy yx

xx

xx xy

xy

xy

f x y x xy y xf x y f x yf x f x

x yy

x

f ff x y f x y

f f Df x y f x y

D

P

f f f

−

−

−

= + − − += + − ∴ = ⇒ + − == − ∴ = ⇒ − =

+ =⇒ = − =

= ∴ = = ∴ = ⇒ = = = − = = ∴ ⇒

⇒ −

= − ( ) ( )2, 1e : 2, 2 é ponto de s1 0 2 la0 exx Pf

−−< = > ⇒

{

( )

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

2

2, 2

0 0 0 0

2, 20 0 0 0

2, 2

( , ) 2 2 12 2 0 2 2 0

Ponto Crítico: : 2

2 0 2 0

2 22

2

2 2, , 2 1

0 0 1, , 1 0

, 2

1 1

x x

xx

y y

yy yyyy

xy yx

xx

xx xy

xy

xy

f x y x xy y xf x y f x yf x f x

x yy

x

f ff x y f x y

f f Df x y f x y

D

P

f f f

−

−

−

= + − − += + − ∴ = ⇒ + − == − ∴ = ⇒ − =

+ =⇒ = − =

= ∴ = = ∴ = ⇒ = = = − = = ∴ ⇒

⇒ −

= − ( ) ( )2, 1e : 2, 2 é ponto de s1 0 2 la0 exx Pf

−−< = > ⇒

d) Videoexemplo

e)

{

( )

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

2

0,0

0 0 0 0

0,00 0 0 0

0,0

0,0

( , )2 0 2 0

1 0 1 0

00

1

2 2, , 2 0

1 2, , 0 1

0 0

2 0 2 0

Ponto Crítico: : 0,0

e

y

x xy y

y

xx xx

xx xyy

xy

x

y y

yy yyyy

xy y

xx

yx

f x y x y ef x f xf e f e

xy

e

f ff x y f x y

f e f Df x y f x y

f f f

D f

P

= + −= ∴ = ⇒ =

= − ∴ = ⇒ − =

=⇒ =

=

= ∴ = = − ∴ = − ⇒ = = = − − = = ∴ ⇒

= − < = >

⇒

⇒ ( ): 0,0 é ponto de máximo relativoP

{

( )

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

2

0,0

0 0 0 0

0,00 0 0 0

0,0

0,0

( , )2 0 2 0

1 0 1 0

00

1

2 2, , 2 0

1 2, , 0 1

0 0

2 0 2 0

Ponto Crítico: : 0,0

e

y

x xy y

y

xx xx

xx xyy

xy

x

y y

yy yyyy

xy y

xx

yx

f x y x y ef x f xf e f e

xy

e

f ff x y f x y

f e f Df x y f x y

f f f

D f

P

= + −= ∴ = ⇒ =

= − ∴ = ⇒ − =

=⇒ =

=

= ∴ = = − ∴ = − ⇒ = = = − − = = ∴ ⇒

= − < = >

⇒

⇒ ( ): 0,0 é ponto de máximo relativoP sela

2) Resolva os problemas abaixo:

a) Ache três números positivos cuja soma é 36, de modo que o produto seja máximo.

b) Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo com um volume de 64 m3, e que re-quer uma quantidade mínima de material para a sua confecção.

122 Cálculo III

Resoluções:

a) Ache três números positivos cuja soma é 36, de modo que o produto seja máximo.

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2

2

2

3636 36 36

( , ) 3636 2 0 36 2 0

36 2 0 36 2 0

36 2 036 2 0

036 2 0 36 2 0

36 2 0 2

e

3

y

x

y

x

x y z x y z Px y z z x y x y x y P

P x y xy x y xyP y xy y P y xy yP x x xy P x x xy

x x xyy xy y

xx x xy x x y

x y x y

+ + = ⋅ ⋅ =+ + = ⇒ = − − ⇒ ⋅ ⋅ − − =

∴ = − −= − − ∴ = ⇒ − − =

= − − ∴ = ⇒ − − =

− − =

− − ==

− − = ⇒ − − = ⇒− − = ⇒ + =

( )

{

( ) ( )

( )

( )

( )

2

1 1

0,0

1 0,0

0,0

6

036 2 0 36 2 0

36 2 0 2 36

2 36 2 4 723 36 1

Pontos Críticos: : 0,0 e : 12

2 122 36 2 36

2 0

: 2 0

36 6

1

3

,

2 2

2

yy yy

xy y

xx xx

yx x

P P

yy xy y y x y

x y x y

x y x yy y x

x y x y

P y f

P P x f

P P x y P

⇒ ⇒

=− − = ⇒ − − = ⇒ − − = ⇒ + =

+ = − − = −− = − ⇒ = ⇒ =

+ = + =

= − ∴ =

= − ∴ =

= =

− − ∴ ⇒

⇒

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

0,0

12,12

0 0 0 0

12,120

12,12

2

, , 0 361296

, , 36 0

1296 0 0

2 24, ,

: 2 24,

36 2 2

e : 0,0 é ponto de

1

sela

2

xx xy

xy

xx

xx

yy

yy yy

xy

xx

xx x

y

y

xy

xyx

P x y P x yD

P x y P x y

D P

P y fP x y P x y

P P x f DP x y

P P x

P

y P

⇒ = = = −

= − < = ⇒

= − ∴ = − = − ∴ = − ⇒ = = = − − ∴ ⇒ −

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0

12,12e : 12,12 é ponto de máximo r

24 12432

, 12 24

432 0 0

36 12 : (12,1

elat

2,

ivo

s 12)Ma

yy

xx

P x y

D P P

z x y z P

− −= =

− −

= > < ⇒

= − − ⇒ = ⇒

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2

2

2

3636 36 36

( , ) 3636 2 0 36 2 0

36 2 0 36 2 0

36 2 036 2 0

036 2 0 36 2 0

36 2 0 2

e

3

y

x

y

x

x y z x y z Px y z z x y x y x y P

P x y xy x y xyP y xy y P y xy yP x x xy P x x xy

x x xyy xy y

xx x xy x x y

x y x y

+ + = ⋅ ⋅ =+ + = ⇒ = − − ⇒ ⋅ ⋅ − − =

∴ = − −= − − ∴ = ⇒ − − =

= − − ∴ = ⇒ − − =

− − =

− − ==

− − = ⇒ − − = ⇒− − = ⇒ + =

( )

{

( ) ( )

( )

( )

( )

2

1 1

0,0

1 0,0

0,0

6

036 2 0 36 2 0

36 2 0 2 36

2 36 2 4 723 36 1

Pontos Críticos: : 0,0 e : 12

2 122 36 2 36

2 0

: 2 0

36 6

1

3

,

2 2

2

yy yy

xy y

xx xx

yx x

P P

yy xy y y x y

x y x y

x y x yy y x

x y x y

P y f

P P x f

P P x y P

⇒ ⇒

=− − = ⇒ − − = ⇒ − − = ⇒ + =

+ = − − = −− = − ⇒ = ⇒ =

+ = + =

= − ∴ =

= − ∴ =

= =

− − ∴ ⇒

⇒

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

0,0

12,12

0 0 0 0

12,120

12,12

2

, , 0 361296

, , 36 0

1296 0 0

2 24, ,

: 2 24,

36 2 2

e : 0,0 é ponto de

1

sela

2

xx xy

xy

xx

xx

yy

yy yy

xy

xx

xx x

y

y

xy

xyx

P x y P x yD

P x y P x y

D P

P y fP x y P x y

P P x f DP x y

P P x

P

y P

⇒ = = = −

= − < = ⇒

= − ∴ = − = − ∴ = − ⇒ = = = − − ∴ ⇒ −

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0

12,12e : 12,12 é ponto de máximo r

24 12432

, 12 24

432 0 0

36 12 : (12,1

elat

2,

ivo

s 12)Ma

yy

xx

P x y

D P P

z x y z P

− −= =

− −

= > < ⇒

= − − ⇒ = ⇒

2

b) Videoexemplo


Recapitulando

Neste capítulo, estudamos como obter pontos críticos de uma função de duas variáveis através das primeiras derivadas par-ciais da função, e subsequente identidade zero. Vimos como classificar esses pontos em máximos relativos, mínimos relati-vos e pontos de sela. Por fim, aplicamos essa nova técnica na resolução de problemas sobre pontos críticos com funções de duas variáveis.

Referências


______. Cálculo, um novo horizonte. v.2. 6.ed. Porto Ale-gre: Bookman, 2000.

STEWART, J. Cálculo. v. I. São Paulo: Thomson, 2002.



Atividades

1) Localize todos os pontos críticos e pontos de sela das fun-ções abaixo:

124 Cálculo III

a) 2( , ) 3 2 3f x y y xy y x= + + + +

b) 2 2( , ) 3f x y x xy y x= + + −

c) 2 2 2( , )f x y x yxy

= + +

d) ( )( , ) sinxf x y e y=

e) 4 4( , ) 4f x y xy x y= − −

f) 2 2( , ) 4 2 1f x y x x y y= − − − + −

g) 2 2( , ) 2f x y x x y= − −

h) 2 2( , ) 4 2f x y x y x y= + − +

i) 3 3( , ) 3f x y x xy y= + −

j) ( )( , ) cosxf x y e y=

2) Ache três números positivos cuja soma é 24 de modo que o produto seja máximo.

3) Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, com um volume de 32 m3 e que requer uma quantidade mínima de material para a sua confecção.

4) Um tanque retangular deve ter 3 m³ de capacidade. O custo do material das faces laterais é de R$ 20,00 o metro quadrado, do fundo é de R$ 30,00 o metro quadrado e a


tampa sozinha custa R$ 40,00. Calcule as dimensões mais econômicas para este tanque.

5) (ENADE-2005) Considere em R³ uma bola de centro na

origem e raio 4. Em cada ponto ),,( zyx dessa bola, a temperatura T é uma função do ponto, expressa por

Nessa situação, partindo-se de

um ponto ),,( 000 zyx da fronteira da bola e caminhando-

-se em linha reta na direção do ponto ),,( 000 zyx −−− , ob-serva-se que a temperatura:

a) Será máxima nos pontos da fronteira da bola.

b) Estará sempre aumentando durante todo o percurso.

c) Estará sempre diminuindo durante todo o percurso.

d) Atingirá o seu maior valor no centro da bola.

e) Assumirá o seu maior valor em 4 pontos distintos.

Gabarito

1)

a) Ponto de sela ( )1, 2P − ;

b) Ponto de mínimo ( )2, 1P − ;

c) Ponto de mínimo ( )1, 1P − − ; Ponto de mínimo ( )1,1P

d) Não existem pontos críticos.

126 Cálculo III

e) Ponto de sela ( )0,0P ; Ponto de máximo ( )1, 1P − − ; Ponto de máximo ( )1,1P

f) Ponto de máximo ( )2,1P −

g) Ponto de máximo ( )1,0P

h) Ponto de mínimo 1 1,2 4

P − i) Ponto de sela ( )0,0P ; Ponto de mínimo ( )1, 1P −

j) Não existem pontos críticos.

2) x=y=z=8.

3) x=y=4, z=2

4) 1,587 m X 1,587 m X 1,191 m

5) d


Capítulo 8

Gradiente e Derivada Direcional


128 Cálculo III

Introdução

As derivadas parciais de primeira ordem de uma função ( , )f x y definem as taxas de variação de f nas direções pa-

ralelas aos eixos x e . Neste capítulo, estudaremos objetos mais gerais que as derivadas parciais que resultarão em taxas de variação de ( , )f x y em qualquer direção arbitrária. Tais quantidades são chamadas Derivadas Direcionais.

1 Derivada direcional com respeito a uma direção arbitrária

A derivada direcional de uma função de duas variáveis ( , )f x y será um caso geral das definições de primeiras derivadas de f .

Admita um vetor definido no espaço bidimensional

1 2ˆ ˆV v i v j= +

(1)

onde 1v e 2v representam as componentes do vetor nas dire-ções x e y , respectivamente.

Existem uma infinidade de vetores que possuem a mesma direção de V

e tal direção pode ser obtida por um objeto de-

nominado versor

1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ

Vv i v j v vi j

V V Vµ == ++

(2)

Capítulo 8 Gradiente e Derivada Direcional 129

onde V

representa o módulo do vetor V

e obtido por 2 2

1 2vV v= +

.

O versor indica informação apenas da direção de V

e, por isso, seu módulo é a unidade, ou seja, é um vetor unitário. Desta maneira, podemos escrever

1 2ˆ û u i u j= +

(3)

fazendo as atribuições 11

ˆvu iV

= e 22u v

V= .

A questão a ser respondida aqui é qual a taxa de variação de uma função de duas variáveis ( , )f x y na direção do vetor V

e representado por 1 2ˆ û u i u j= + ?

Estamos em posição de definirmos a derivada direcional ( , )f x y de na direção de 1 2

ˆ û u i u j= + :

Se f for uma função diferenciável de x e y e se u for um vetor unitário, então a derivada direcional de f na direção de u será

( ) ( )1 2, ,u x yf f x y u f x uD y= + (4)

ou

( ) ( ) ( ) ( ), cos , sinu x yf fD x y f x yφ φ= + (5)

onde é o φ ângulo formado entre o vetor u e a direção x .

Observe que fazendo ˆ 0u i φ= ⇒ = e temos

130 Cálculo III

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), cos , sin 0 ,0xx y xf f x y f x y f yD x= + = (6)

e fazendo ˆ2

u j πφ= ⇒ = que implica

( ) ( ) ( ), cos , sin ,

2 2y x y yf f x y f x y yD f xπ π = + = (7)

Em outras palavras as derivas parciais de primeira ordem são casos particulares da derivada direcional quando impo-mos direções paralelas aos eixos x e y .

Exemplos:

1) Determine as derivadas direcionais de ( , )f x y na direção do vetor a e no ponto P solicitado:

a) ( )2 ˆ ˆ3 4 ; : 1,( , ) 3 ; 2f x y ix a jy P= +=

b) ( )2 ˆ ˆ2 ; : 2) ,, 3 0( ; a i jf x y x xy P= − = + −

c) ( ) ˆ( , ) cos ˆ5 2 ; : ,; 04

x a if x y e jy P π = − =

d) ( )ˆ ˆ5 2 ;( , 0 0) ; : ,y xf x y xe y a i j Pe− −= =


Resoluções:

132 Cálculo III

2 O gradiente

A definição de derivada direcional desenvolvida e expressa pela equação (4) motiva uma outra construção em termos do produto escalar entre dois vetores, a saber

(8)

O segundo vetor do produto escalar (8) é nosso vetor uni-tário e o primeiro vetor é definido como o gradiente da função

( , )f x y e denotado por

( ) ( )ˆ ˆ.( , ) , ,x yf x y f x y f jxi y+∇ = (9)

Dessa maneira, a derivada direcional pode ser expressa por

(10)

1) Determine o gradiente de ( , )f x y das funções abaixo:

a) 2( , ) 3f x y x y=

b) 2( , ) 3f x y x xy= −

c) ( )( , ) cosxf x y e y=

d) ( , ) y xf x y xe ye= −


Resoluções:

a) ( ) ( )

2

22

( , ) 3

( , ) , ,

6( ,

ˆ ˆ

ˆ63

ˆ) 3

x

x

y

y

f x y x y

f x y f x y f x y

xyf x y xy x

f x

i j

fi j

=

∇ =

= ⇒ ∇ = =

+

+

b) Videoexemplo

c)

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( , ) cos

( , ) , ,

cos( , ) c

ˆ ˆ

os sinˆ ˆsin

x

x

xx x x

xy

y

f x y e y

f x y f x y f x y

e yf x y e y e y

f e

j

y

i

fi j

=

∇ =

= ⇒ ∇ = −

+

= −

d) Videoexemplo

3 Propriedades do gradiente

O gradiente de ( , )f x y não é meramente uma ferramenta operacional para o cálculo da derivada direcional, mas um objeto matemático capaz de dar informações sobre as dire-ções de maior crescimento de f . Abaixo, listamos algumas propriedades do gradiente:

Â Se ( , ) 0f x y∇ =

então todas as derivadas direcionais se-rão nulas.

134 Cálculo III

Â Se ( , ) 0f x y∇ ≠

então dentre todas as derivadas direcio-nais de f a derivada na direção e sentido de ( , )f x y∇ possui o maior valor e é dada por

( , )uD f f x y= ∇ (11)

Â Se ( , ) 0f x y∇ ≠

então dentre todas as derivadas direcio-nais de f a derivada na direção e com sentido contrá-rio de ( , )f x y∇ possui o menor valor e é dada por

( , )uD f f x y= − ∇ (12)

Â Se f for diferenciável em ( )0 0,x y e se ( , ) 0f x y∇ ≠

, então 0 0( , )f x y∇ é normal à curva de nível de f que passa pelo ponto ( )0 0,x y .

1) Determine o vetor unitário na direção na f cresce mais rapidamente no ponto P e obtenha a taxa de variação de f em P nesta direção:

a) ( )2( , ) ; : 2,0yf x y x e P= −

b) ( )( , ) 3 ln( ); : 2, 4f x y x y P= −

c) ( )( , ) ; : 0, 2xf x y Px y

=+


Resoluções:

a)

136 Cálculo III

2) Determine o vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente no ponto P e obtenha a taxa de varia-ção de f em P nesta direção:

a) ( )2( , ) ; : 2,0yf x y x e P= −

b) ( )( , ) ; : 2,3xyf x y e P=

c) ( )( , ) ; : 3,1x yf x y Px y

−=+


Resoluções:

a)

b) Videoexemplo

138 Cálculo III

c)

3) Esboce a curva de nível de f que passa pelo ponto P e represente graficamente o vetor gradiente em P :


a) ( )2 2( , ) ; : 3, 4f x y x y P= +

b) ( )2( , ) ; : 2, 2yf x y Px

= −

c) ( )2 2( , ) ; : 2, 1f x y x y P= − −

Resoluções:

a)

( )( ) ( )

2 2

2 2

( , ) ; : 3, 4

( , ) , ,

2( , ) 2 (3,4

ˆ ˆ

ˆ ) 6ˆ ˆ ˆ2 82

ˆ ˆ(3,4) 62

85

x

x

y

yi j

fi y j

f x y x y P

f x y f x y f x y

xf x y x f

fi j

i

y

jfx y

= +

∇ =

= ⇒ ∇ = ∇ = =∇ =

+

+

+ ⇒

=

+

+

b) Videoexemplo

c)

jif 24)1,2( +=−∇

4) Uma partícula que procura o calor está localizada no pon-to de uma placa de metal, cuja temperatura é

140 Cálculo III

dada pela função Determine uma equação para a trajetória da partícula:

a) Se ela se mover na direção do aumento máximo da temperatura;

b) Se ela se mover na direção do decréscimo máximo da temperatura.

Resoluções:

a) Se ela se mover na direção do aumento máximo da temperatura;

( ) ( ) ( ){

2 2 ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) cons

( , ) 10 8 2 ; : 2,3 , ( , ) , ,

16 , 4 ( , ) 16 4

( , ), 16 4

416

t ( )

e 41

,46

yx

x y

i T j

i j

dx

T x y x y P T x y T x y x y

T x T y f x y x y

f x y k xkdy dx dyv t k v t i j i j i jdt dt dt dt

dydx dy dy ydt

dxdt

yk

y

dt dx xdt

kxk yk

xk

+

= ⇒ = + ⇒ + =

=⇒ = = ⇔ =

=

= − − ∇ =

= − = − ⇒ ∇ = − −

∇ = − −

−− − ∴

−

1 14 4

14

11 44

14

3,

com (2) 3

1 1ln ln (2) 3 3 24 4 4 2

322

3

y

dy dx dy dx y x C y Cx y Cy x y x

xy x

C

y

=

⇒ = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = = ⇒ = ⋅

= =

⇒ =

⇒

⇒

∫ ∫

b) Videoexemplo

Recapitulando

Neste capítulo, definimos a chamada derivada direcional de uma função de duas variáveis. Vimos que tal objeto possibilita


determinar a taxa de variação de uma função de duas variá-veis em qualquer direção arbitrária. Neste contexto, a derivada parcial é um caso particular da derivada direcional. Por fim, definimos o gradiente de uma função de duas variáveis. Ob-jeto matemático que aparece naturalmente em cursos de cál-culo vetorial, o gradiente se mostrou como ferramenta para a determinação da direção de maior crescimento de uma função de duas variáveis.

Referências


______. Cálculo, um novo horizonte. v.2. 6.ed. Porto Ale-gre: Bookman, 2000.

STEWART, J. Cálculo. v 1. São Paulo: Thomson, 2002.



Atividades

1) Determine as derivadas direcionais de ( , )f x y na direção do vetor a e no ponto P solicitado. Caso o vetor a seja unitário, será representado por u :

142 Cálculo III

a) ( ) ( )32( , ) 1 ; : 3 1 1ˆ

2 2; ˆ,1f x y x u i jy P = += +

b) ( ) ( )2( , ) ; : 0,0 ; 3 4ˆ ˆln 15 5

x uf y P i jx y+ = − += +

c) ( )3 2( , ) ; : 2,1 ; ˆ ˆ4 4 3x af i jx y y P == −

d) ( ) ( )2( , ) ln ; : 1 4 ˆ3; ˆ3,f x y y x P a i j= − +=

e) ( ) ˆ ârctan( , ) ; : 2, 2 ;y if ax

P jx y = − − = −

2) Determine o vetor unitário na direção na f cresce mais rapidamente no ponto P e obtenha a taxa de variação de f em P nesta direção:

a) ( )3 24( , ) ; : 1,1f x y yx P= −

b) ( )2 2( , ) ; : 4, 3f x y x y P= + −

3) Determine o vetor unitário na direção na f decresce mais rapidamente no ponto P e obtenha a taxa de variação de f em P nesta direção:

a) ( )2 2( , ) 20 ; : 1, 3f x y x y P= − − − −

b) ( )( , ) cos 3 ; : ,6 4

f x y x y P π π = −

4) Esboce a curva de nível de f que passa pelo ponto P e represente graficamente o vetor gradiente em P :


a) ( )( , ) 4 2 3; : 1, 2f x y x y P= − +

b) ( )2 2( , ) 4 ; : 2,0f x y x y P= + −

5) (ENADE-2003) Considere uma piscina e, em cada ponto do água, a pressão hidrostática no ponto. Em cada ponto, o gradiente de pressão:

a) É horizontal.

b) É vertical e aponta para cima.

c) É vertical e aponta par baixo.

d) É inclinado e aponta para cima.

e) É inclinado e aponta para baixo.

Gabarito

1)

a) 6 2

b)

c) 0

d) 8 2−

e) 24

144 Cálculo III

2)

a) ( )ˆ ˆ3 2 ; 1,1 4 13

13i ju f−= ∇ − =

b) ( )ˆ ˆ4 3 ; 4, 3 1

5i ju f−= ∇ − =

3)

a) ( )ˆ ˆ3 ; 1,3 2 10

10i ju f− −= − ∇ − = −

b) ˆ ˆ3 ; , 5

6 410i ju f π π− = − ∇ = −

4)

a)


b)

5)

c)


Capítulo 9

Integrais Duplas e suas Aplicações


Capítulo 9 Integrais Duplas e suas Aplicações 147

Introdução

Neste capítulo, analogamente ao que foi desenvolvido em todo o livro, faremos a extensão do processo de integração para funções de duas variáveis. Neste caso, voltamos à defi-nição principal de integral de Riemann, implicada na soma de Riemann, e obteremos um caso mais geral, onde há possibili-dade de integrarmos funções de duas variáveis.

1 Definição de integral dupla

A integral de Riemann, estudada em disciplinas iniciais de cál-culo, tem origem na chamada Soma de Riemann que expressa uma integral definida da seguinte forma

1( ) lim ( *)

b n

n kka

xf x dx f x→∞ =

= ∆∑∫

(1)

Para estender essa ideia para funções de duas variáveis, definimos uma região R tal que seja a projeção ortogonal de nossa superfície ( , )z f x y= sobre o plano ( , )x y e fazendo a devida generalização da equação 1 obtemos

1lim ( *, *) .

n

kkn

f x y A→∞ =

∆∑

(2)

Observe que nesse caso estamos admitindo incrementos de área ao invés de incrementos de comprimento como foi

148 Cálculo III

feito em 1. O limite 2 define o que chamaremos de integral dupla. Analogamente, a área sob a curva obtida pela integral simples 1 a integral dupla representará o volume abaixo da superfície ( , )z f x y= e expresso por

1( , ) lim ( *, *) .

n

n kk

R

f x y dA f x y A→∞ =

= ∆∑∫∫ (3)

Ou em termos do volume, temos

( , )

R

V f x y dA= ∫∫ (3)

AY

Z

X

Z = f(x,y)

Figura 1 volume abaixo de uma superfície.

Fonte: Wikipédia, (2014).

A seguir definiremos uma série de propriedades para esse novo objeto matemático.


2 Propriedades

Analogamente às propriedades de integração definidas para funções de uma variável, temos as seguintes propriedades para integrais duplas, que são uma expressão de que a line-aridade das integrais simples se estendem naturalmente para integrais duplas.

( ) ( ), ,

R R

c f x y dA c f x y dA=∫∫ ∫∫ (4)

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,R R R

f x y g x y dA f x y dA g x y dA+ = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ (5)

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,R R R

f x y g x y dA f x y dA g x y dA− = − ∫∫ ∫∫ ∫∫

(6)

( ) ( ) ( )

1 2

, , ,R R R

f x y dA f x y dA f x y dA= +∫∫ ∫∫ ∫∫ (7)

Comentários sobre as propriedades:

Â A equação 4 expressa que a operação de integral dupla não opera sobre constantes, e assim podemos retirá-la de “dentro da integral”.

Â As equações 5 e 6 afirmam que a integral de uma soma de funções é idêntica à integral de parcela da soma, independentemente das demais.

Â Por fim, a equação 7 implica que temos liberdade, con-forme a conveniência de dividirmos a região R em sub-

150 Cálculo III

-regiões menores e calcular a integral em cada região. No final, somamos todas as contribuições de cada uma dessas regiões e obtemos a integral completa.

3 Cálculo de integrais duplas

O cálculo efetivo de integrais duplas vai depender da região R ao qual estamos trabalhando. De forma geral, podemos divi-dir a forma da região R em duas categorias:

Â Regiões retangulares: nesse caso, por mais que nossa superfície ( , )z f x y= seja irregular no interior de R sua projeção sobre o plano será um retângulo.

Â Regiões não retangulares: essas regiões normalmente são definidas por funções de x ou y implicando em regi-ões de qualquer formato.

A seguir, estudaremos cada caso com maior atenção.

4 Cálculo de integrais duplas em regiões retangulares

Seja R um retângulo definido pelas desigualdades a x b≤ ≤ e c y d≤ ≤ . Se ( , )z f x y= for contínua nesse retângulo, temos

( ), ( , ) ( , )

d b b d

R c a a c

f x y dA f x y dx dy f x y dy dx= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1.7)


É importante observar que a ordem dos incrementos está associada às desigualdades supracitadas, ou seja, se inver-temos a ordem das integrais devemos inverter a ordem dos infinitésimos.

Outra observação importante é que devemos calcular as integrais de “dentro para fora”, ou seja, primeiro calculamos a integral mais interna admitindo como variável o infinitésimo mais interno e, subsequentemente, calcula-se a segunda inte-gral. Em outras palavras, calculamos duas integrais simples, uma de cada vez.

Exemplos:

1) Calcule as integrais duplas abaixo:

a) ( )3 2

0 1

1 8xy dy dx+∫ ∫

b) ( )2 3

1 0

1 8xy dy dx+∫ ∫

c) ( )1

23 1

1

4x y dy dx−

−∫ ∫

d) ( )1

20

2

22

x y dx dy− −

+∫ ∫

e) ( )2 1

0 0

sin( )y x dy dx∫ ∫

152 Cálculo III

f)

6 7

4 3

dx dy−

∫ ∫

g) ( )

2

12

cos( )x xy dy dxπ

π∫ ∫

Resoluções:

a)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) [ ] ( ) ( )

2

2 2

23 2 3 2 2

0 1 0 1 1 1

2

1

3 2 33

00 1 0

2

2 2

1 8 1 8 1 8 82

4 2 4 2 1 4 1 2 16 1 4 1 12

1 8 1 12 6 3 6 3 0 57

yxy dy dx xy dy dx xy dy y x

y xy x x x x x

xy dy dx x dx x x

+ = + ∴ + = +

= + = + ⋅ − + ⋅ = + − − = +

∴ + = + = + = + ⋅ − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

b) Videoexemplo

c) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2 2 23 1 3 1 1

1

22 2 2 2 2 2

2 2 3 3

11 1 1 1 1

33 1 3

01 1 1

4 4 4 2

1 2 1 1 2 1 2 2 2

2 24 2 3 0 183 3

x y dy dx x y dy dx x y dy x y y

x x x x x

x y dy dx x dx x

−− − −

−

− = − ∴ − = −

= ⋅ − ⋅ − − − − = − + + =

∴ − = = = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2 2 23 1 3 1 1

1

22 2 2 2 2 2

2 2 3 3

11 1 1 1 1

33 1 3

01 1 1

4 4 4 2

1 2 1 1 2 1 2 2 2

2 24 2 3 0 183 3

x y dy dx x y dy dx x y dy x y y

x x x x x

x y dy dx x dx x

−− − −

−

− = − ∴ − = −

= ⋅ − ⋅ − − − − = − + + =

∴ − = = = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ 523

d) Videoexemplo


e)

( ) ( ) ( )

( )

12 1 2 1 1

0

2

2 2

0 0 0 0 0

22 1 2

00 0 0

sin( )2

sin( ) sin( ) sin( )2 2 2

sin

sin( ) sin( ) sin( )

1 0 1

1 1sin( ) cos( )2

1 1 1 1cos(2) cos(0

2

)2 2

(

2

)

yy x dy dx y x

x x

x dy dx y x dy

y x dy d xxx dx

x

= ∴ =

= − =

∴ = = − = − − − = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

cos(2)2

f) Videoexemplo

g)

2) Calcule as integrais duplas na região R definida pelas de-sigualdades indicadas:

a) { }2 2

; ( , ) : 0 1, 0 11R

xy dA R x y x yx y

= ≤ ≤ ≤ ≤+ +∫∫

b)

c)

154 Cálculo III

Resoluções:

a)

b) Videoexemplo

c)

{ }12 1 2 1 1

3 0 3 0 0 0

12 1 2

3 0 3

2

32 2

0

2

2 2

; ( , ) : 3 2, 0 1

13 3

1 1 13 6 6

R

y x dA R x y x y

yy x dy dx y x dy dx y x dy x x

y x dy dx x dx x

− −

− −

= − ≤ ≤ ≤ ≤

⇒ = =∴ = =

∴ = = =

∫∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

5 Integrais duplas em regiões não retangulares

Regiões não retangulares são casos gerais das regiões retan-gulares. Por simplicidade, faremos a classificação de regiões não retangulares em duas categorias:

1) Tipo I: limitada à direita e à esquerda por retas verticais x a= e x b= e é limitada abaixo e acima por curvas contínuas


e expressas em termos da variável x , ou seja, 1 1( )y g x= e

2 2 ( )y g x= para a x b≤ ≤ e com 21( ) ( )g x g x≤ .

2) Tipo II: limitada abaixo e acima por retas horizontais y c= e y d= e é limitada à direita e à esquerda por curvas contínuas e expressas em termos da variável y , ou seja,

1 1( )x h y= e 2 2 ( )x g y= para c y d≤ ≤ .

Observe que para o caso particular de uma região defini-da por duas retas horizontais e por duas retas verticais, temos uma região retangular.

Tendo em vista cada tipo de região não retangular, pode-mos definir duas classes de integrais duplas:

Para regiões do tipo I: Para ( , )z f x y= continua, temos

( )

2

1

( )

( )

, ( , )g xb

R a g x

f x y dA f x y dydx=∫∫ ∫ ∫ (8)

Para regiões do tipo II: Para ( , )z f x y= continua, temos

( )

2

1

( )

( )

, ( , )h yd

R c h y

f x y dA f x y dxdy=∫∫ ∫ ∫ (9)

Exemplos:


a) ( )2

22

0

x

x

y x dy dx∫ ∫

156 Cálculo III

b) ( )( )cos

0 0

sin( )y

x y dx dyπ

∫ ∫

c) ( )22R

x y dA−∫∫ , na região triangular definida pelas retas 1y x= − + , 1y x= + e 3y = .

d) 3 32

1

y

y

y dx dy−

∫ ∫

e) 2

1

14

x

x

x dy dxy∫ ∫

f) 2

2 1

02

x

y

e dx dy∫ ∫

g) ( )2

2

21

1

x

x

x y dy dx− −

−∫ ∫


Resoluções:

a)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2 2 2 2

2

2 2

0 0

2 2 2

0 0 0

2

32 2 2

3234 7

2 4 7 4 7

5

0

8 5 8

3

1 13 3 3 3

1 1 1 13 3 3 3

1 1 1 1 32 2562 2 015 24 15 24 15 24

xx x x

x x x x

x

x

xyy x dy dx y x dy dx y x dy

x xx x x x

y x dy dx x x dx x x dx

x x

= ∴ =

⋅ − = −

⇒ = − ∴ −

= − = − − = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫3072 128360 15

−= = −–1024120

b) Videoexemplo

c) ( )22R

x y dA−∫∫ , na região triangular definida pelas retas 1y x= − + , 1y x= + e 3y = .

( )

( ) ( ){ }

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

1 1 13 31

11

2

2 2 2 2

1 1 1

2

2 22

1

2 3

2

2

e

2 , 1, 1, 3

1 1 1 1 1 1 1

( , ) : 1 1 , 1 3

2 2 2

1 1 1 1

2 1

R

y y yy

yy y y

x y dA y x y x y

y x x y y x x y y y yR x y y x y y

x y dx dy x y dx dy x y dx x y x

y y y y y y

y y y y

− − −−

−− − −

− = − + = + =

∴ = − + ⇒ = − = + ⇒ = − ⇒ − = − ⇒ =

⇒ = − ≤ ≤ − ≤ ≤

⇒ − = − ∴ − = −

= − − − − − − −

= − + − +

∫∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )3

313 3

2 2 3

2 3 2 3

2 2 3

11

3 4

1 1

1 2

2 2 1 1 2 2 2

2 1 682 2 23 2 3

y

y

y y y y

y y y y y y y

x y dx dy y y dy y y−

−

− − + − +

= − + − − + − = −

⇒ − = − = − = −

∫ ∫ ∫

d) Videoexemplo

158 Cálculo III

e) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

2

2 3

2

1 11

2

1 14 4

32

11 13 5

2 2

11 1 44 4

2 2 2 2 2 2

4 92 25 80

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

x x xdy dx dy dx dy x y dyy y y

x y xy x x x x

x dy dx x x dx x xy

− = ∴ =

= = = − = −

⇒ = − = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ 13

f) Videoexemplo

g)

6 Cálculo de área com uso de integrais duplas

A operação de integral dupla pode ser utilizada como ferra-menta para a obtenção da área da região R, que trabalhamos neste capítulo. Para tal, o que fazemos é usar como superfície a função constante ( , ) 1f x y = na integral dupla que define um volume qualquer V. Nesse caso, a integral resultante repre-sentará a área da região R e será dada por


R

A dA= ∫∫ (9.10)

Exemplos:

4) Utilize a integral dupla para obter a área entre as curvas solicitadas:

a) 21 ; 2

2y x y x= =

b) 2 ; 3 4y x y x= − − =

c) cosh( ); sinh( ); 0, 1y x y x x x= = = =

Resoluções:

a)

2

2

44 2 4 42121 00 0 0

2 2 2 2

2

2 2 3

2

1 1 1; 2 2 2 0 4 02 2 2

10, 4 ( , ) : 0 4, 22

1 1 1622 6 3

R

xx

x

x

y x y x x x x x x x

x x A dA R x y x x y x

A dy dx y dx x x dx x x

= = ⇒ = ⇒ − = ⇒ − =

⇒ = = ⇒ = ⇒ = ≤ ≤ ≤ ≤

⇒ = = = − = − =

∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

b) Videoexemplo

c)

{ }

( ) ( )cosh( )1 1 1

cosh( )

sinh( )0 sinh( ) 0 0

1

0

cosh( ); sinh( ); 0, 1

( , ) : 0 1, sinh( ) cosh( )

cosh( ) sinh( )

sinh( ) cosh( ) sinh(1) cosh(1) 1

Rx

x

xx

y x y x x x

A dA R x y x x y x

A dy dx y dx x x dx

x x

= = = =

⇒ = ⇒ = ≤ ≤ ≤ ≤

⇒ = = = −

= − = − +

∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

160 Cálculo III

Recapitulando

Neste capítulo, vimos a definição de uma integral dupla, bem como as propriedades que asseguram a linearidade desse novo objeto matemático. Vimos o cálculo efetivo de integrais duplas em regiões retangulares, bem como em regiões mais gerais. Por fim, obtivemos um novo processo para a obtenção da intensidade da área definida entre funções contínuas.

Referências



STEWART, J. Cálculo. v 1. São Paulo: Thomson, 2002.



Atividades



a) ( )2

21

0

x

x

x y dy dx∫ ∫

b)

293

0 0

y

y dx dy−

∫ ∫

c) ∫ ∫2

0

³

²

x

xdydx

d)

2

02

1 cosx y dy dx

x x

π

π

∫ ∫

e) 2 2

1

0 0

x

y x y dy dx−∫ ∫

2) Calcule a integral dupla nas regiões limitadas pelas cur-vas:

a) 2 16; , , 8R

x dA y y x xx

= = =∫∫

b) ( ) 122 21 ; , 4, 0

R

x y dA y x y x−

+ = = =∫∫

c) ( ) 2 23 2 ; 1R

x y dA x y− + =∫∫

d) ; , 6 , 0R

xy dA y x y x y= = − =∫∫

162 Cálculo III

e) ( ) 31 ; ,R

x dA y x y x− = =∫∫

3) Use a integral dupla para obter a área entre as curvas:

a) sin( ); cos( ); 04

y x y x x π= = ≤ ≤

b) 2 29 ; 9 9y x y x= − = −

Gabarito

1)

a) 135

b) 9

c) 43

d) 1

e) 1

12

2)

a) 576

b) 17 12

−

c) 0


d) 503

e) 760−

3)

a) 2 1−

b) 32


Capítulo 10

Integrais Triplas e suas Aplicações


Capítulo 10 Integrais Triplas e suas Aplicações 165

Introdução

Neste capítulo, estudaremos a definição e a aplicação de inte-gral tripla que nada mais é do que um passo além das integrais duplas. Tal procedimento mostra que podemos generalizar o conceito de integral ao de infinito para espaços N dimensio-nais. Os passos principais para a construção da integral tripla repetem os mesmos passos que já vimos na construção das integrais duplas.

1 Definição de integrais triplas

Começamos nossa construção da integral tripla pela visua-lização de uma caixa subdividida em pequenos incrementos de volume com intensidades kV∆ . Admita também uma curva definida pela função de três variáveis ( , , )w f x y z= . Obser-ve que o volume no interior da curva define uma região G onde o volume pode ser computado pelo soma dos incremen-tos kV∆ . No entanto, como a região G é arbitrária e definida pela função, os incrementos não caberão completamente den-tro da região; seria necessário montar elementos de volume cada vez menores até que tenhamos infinitésimos de volume.

É interessante lembrar a diferença entre incrementos e in-crementos infinitesimais. Os incrementos são quantidades que pertencem ao mundo real e podem ser medidos através de al-gum instrumento real que, por sua vez, utiliza algum princípio físico. Um incremento infinitesimal é um objeto abstrato que só

166 Cálculo III

pode ser visto em nossa mente levando à máxima que pode-mos ter incrementos tão pequenos quanto queiramos.

Para avaliar o volume no interior da região G definido pela curva ( , , )w f x y z= devemos somar todos os incrementos infini-tesimais de volume, ou seja, tornar as divisões tão pequenas que obteremos a igualdade

( , , ) lim ( , , )k k k kn

G

f x y z dV f x y z V→∞

= ∆∫∫∫ nlim (1)

A integral que aparece à esquerda da equação (1) é cha-mada integral tripla.

2 Propriedades

Analogamente às propriedades de integração definidas para funções de duas variáveis temos as seguintes propriedades para integrais triplas:

( ) ( ), , , ,

G G

c f x y z dV c f x y z dV=∫∫∫ ∫∫∫ (1)

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,G G G

f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV+ = + ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ (2)

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,G G G

f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV− = − ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ (3)

( ) ( ) ( )

1 2

, , , , , ,G G G

f x y z dV f x y z dV f x y z dV= +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ (4)


3 Cálculo de integrais triplas em caixas retangulares

Seja R uma caixa retangular definida pelas desigualdades a x b≤ ≤ , c y d≤ ≤ e k y l≤ ≤( , , )w f x y z= . Se ( , , )w f x y z= for contínua nessa caixa, temos

( ), , ( , , )

b d l

G a c k

f x y z dV f x y z dzdydx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (5)

É importante observar que a ordem dos incrementos estão associados às desigualdades supracitadas, ou seja, se inver-temos a ordem das integrais, devemos inverter a ordem dos infinitésimos.

Exemplos:

1) Calcule as integrais triplas abaixo:

a)

b)

c) 1 54

0 0 0

cosx y dzdydxπ

∫ ∫ ∫

d) 2 3 9

3

1 1

3

3

xy z dzdydx∫ ∫ ∫

168 Cálculo III

e)

5 5 5

0 0 0

dzdydx∫ ∫ ∫

f)

4 5 6

3 4 5

xyz dzdydx∫ ∫ ∫

g)

3 4 2

1 1 0

xzxe dzdydx−

∫ ∫ ∫

Resoluções:

a) ( ) ( )

2 3 2 3 2 3 2 42 3 2 2 3 2 2

2

01 0 0 1 0 0 0

2 3 333

01 0

2 4 2 2 2

3

1

2

02

2

1

12 12 12 3

3 2 0 48 48 48 16

16 3 432 432 216 648

xy z dzdydx xy z dz dydx xy z dz xy z

xy xy xy dydx xy dy xy

x x x dx x

− −

−

−−

= =∴ =

= ⋅ − = ⇒ ∴ =

= ⋅ = ⇒ = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

b) Videoexemplo

c) ( )

( )

1 5 1 14 4 45

00 0 0 0 0 0 0

4 4 41

00

2

0

2

0

cos cos 5 cos

5sin1 5 sin15 sin 5 sin12 32

x y dzdydx zx y dydx x y dydx

x y dx x dx x

π π π

π π ππ

= =

= = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

d) Videoexemplo


e)

( )

( )

5 5 5 5 5 5 55

00 0 0 0 0 0 0

5 55 5

0 00 0

5

5 25 25 125

dzdydx z dydx dydx

y dx dx x

= =

= = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

f) Videoexemplo

g)

( )

( ) ( )

( )

3 4 2 3 4 3 42

01 1 0 1 1 1 1

33 34

111 1

6

2

2 2 2

2 6 2

1

51 5 1 52

5 5 515 5 102 2 2

xz xz x

x x x

xe dzdydx e dydx e dydx

e y dx e dx e x

e e e e

− − −

−

= = −

= − = − = −

= − − − = − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

4 Cálculo de integrais triplas em regiões gerais

Seja G um volume definido com superfície superior dada pela função 2 ( , )z g x y= e pela superfície inferior dada pela função

1( , )z g x y= , e seja R a projeção de G no plano xy. Se a fun-ção ( , , )w f x y z= for contínua em G, então

( )

2

1

( , )

( , )

, , ( , , )g x y

G R g x y

f x y z dV f x y z dz dA

=

∫∫∫ ∫∫ ∫ (6)

170 Cálculo III

Observe que a equação (6) indica uma ordem para inte-gração de modo a primeiro integrarmos com respeito a z e subsequentemente com respeito as variáveis do plano xy.

Para o caso particular de 1( , )g x y l= e 2 ( , )g x y k= temos uma caixa retangular e recaímos na técnica dada na Seção 1.4.

Exemplos:


a)

214

0 0 0

cosx

x y dzdxdyπ

∫ ∫ ∫

b) 23 ln

1 0

x z

x

yxe dydzdx∫ ∫ ∫

Resoluções:

a)

22

1 1 14 4 4

00 0 0 0 0 0 0

144 4 4

00

3

00

cos cos cos

cos 1 1 1 2 2cos sin4 4 4 4 2 8

xxx y dzdxdy xz y dxdy x y dxdy

x y dy y dy y

π π π

π π π

= =

= = = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

b) Videoexemplo


5 Cálculo de volume com uso de integrais triplas

A operação de integral tripla pode ser utilizada como ferra-menta para a obtenção do volume de um sólido G ao qual trabalhamos neste capítulo. Para tal, o que fazemos é usarmos como superfície a função constante ( , , ) 1f x y z = na integral tripla. Neste caso, a integral resultante representará o volume do sólido G e será dado por

G

V dV= ∫∫∫ (7)

Exemplos:

3) Utilize a integral tripla para obter o volume entre as curvas solicitadas:

a) 2 21; 5 ; 9z z x x y= = − + =

b) 2 2

1; 6; 14 9x yz z= = + =

c) 2 2 2 25 5 ; 6 7z x y z x y= + = − −

172 Cálculo III

Resoluções:

a)

b) Videoexemplo

c)

( ) ( )

2 22

2 22

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

22

16 71 22

1 5 51 22

1

2

2

32 2 2

11 22 2

1 11 22 2

2

5 5 ; 6 75 5 6 7 ; 5 5 6 7

1 2 1 12 12 21 2

36 12 6 1 22

x yx

G x yx

x

x

z x y z x yx y z x y x y x y

y xx y x

y x

V dV dzdydx

x y dydx x dx π

− −−

+− −−

−

− −− −

= + = − −⇒ + < < − − + = − −

= −⇒ + = ⇒ ⇒ − < <= − −

= =

= − − = − =

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫


Recapitulando

Neste capítulo, vimos a definição de uma integral tripla, bem como as propriedades que asseguram a linearidade desse novo objeto matemático. Vimos o cálculo efetivo de integrais triplas em caixas retangulares, bem como em regiões mais ge-rais. Por fim, obtemos uma novo processo para a obtenção da intensidade do volume de sólidos definidos por funções con-tínuas.

Referências


______. Cálculo, um novo horizonte. v. 2. 6.ed. Porto Ale-gre: Bookman, 2000.

STEWART, J. Cálculo. v. I. São Paulo: Thomson, 2002.



Atividades


174 Cálculo III

a) ( )1 2 1

1

2

0

2 2

0

x y z dxdydz−

+ +∫ ∫ ∫

b)

22

0 1 1

y z

yz dxdzdy− −

∫ ∫ ∫

c)

23 9

0 0 0

z x

xy dydxdz−

∫ ∫ ∫

d)

2 22

2 2

32 4

0 0 5

x yx

x y

x dzdydx− −−

− + +∫ ∫ ∫

e) ( )sinG

xy yz dV∫∫∫ , onde G é a caixa retangular definida

pelas desigualdades 0 0 1 0; ; .6

x y z ππ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

f) G

xyz dV∫∫∫ , onde G é o sólido do primeiro octante li-

mitado pelo cilindro parabólico 22z x= − e os planos

0; ; 0.z y x y= = =

2) Calcule o volume sólido utilizando integrais triplas:

a) O sólido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano 3 6 4 12.x y z+ + =

b) O sólido limitado pela superfície 2y x= e os planos 4; 0.y z z+ = =


Gabarito

1)

a) 8

b) 473

c) 815

d) 12815

e) 2 3

2π π−

f) 16

2)

a) 4

b) 25615

Documents

REVISADO - Calculo III