UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SO PAULO

Autores:Alexandre de Almeida Bettiol Domingos 6622373690Camila Gabriela Aguiar da Cruz 6659394026Charles Gonalves da Silva 7228584065Juliana A. A. Macedo 7493691757Maraisa Lopes de Sousa 7479701234Vanessa Helena Gonalves - 6891517319

Aula Tema:-Conceito de Derivada e Regras de Derivao;-Regra da Cadeia, Derivadas de Funes Exponenciais e Logartmicas, Derivadas Trigonomtricas, Aplicaes de Derivadas;-Aplicaes da Derivada e Exemplos da Indstria, do Comrcio e da Economia.

Atividade Prtica Supervisionada apresentada a disciplina de Calculo II, ministrada pelo Professor Silvio, para obteno parcial de nota no curso de graduao em Engenharia de Produo/Civil na Universidade Anhanguera de So Paulo (Unian-SP)

So Paulo2014Sumrio

Introduo03Velocidade Instantnea04Acelerao Instantnea07Constante de Euler11Sries Harmnicas18Crescimento Populacional19Tabela e Grfico20Empresa de Consultoria e Assessoramento21Relatrio para a empresa Soy Oil22Tabela da Funo Custo e Funo Preo/Lucros24Concluso28Referncia Bibliogrfica29

Introduo

Neste trabalho a estudaremos o conceito de velocidade instantnea, que est relacionado taxa de variao de uma funo, estando presente no cotidiano, por exemplo, para determinar taxa de crescimento da populao, o crescimento econmico do pas, a reduo da mortalidade infantil, a velocidade de corpos ou objetos em movimentos, e tambm explicaremos que a velocidade instantnea a derivada primeira da equao do espao e a acelerao instantnea, consequentemente a derivada segunda a funo s, estudaremos sua utilizao, no dia a dia, na matemtica, e na fsica.Mostraremos como a matemtica est ligada a fsica, musica a nosso dia a dia nas diversas reas atravs das series harmnicas, estudaremos tambm a teoria deEuler-Mascheroni com suas curiosidades, sua histria que mostra que esta extremamente ligada a vrios fenmenos naturais.Criamos uma empresa de consultoria em engenharia fictcia chamada Concipro Consultoria & Cia Nosso Trabalho a Garantia do seu Sucesso para criarmos uma nova embalagem para lata de leo para a empresa Soy Oil, analisamos a situao da empresa e criamos uma tabela da funo preo e da funo custo, para calcularmos o lucro mximo.

Velocidade Instantnea

Velocidade instantnea quando queremos saber qual a velocidade de um determinado objeto em um instante no tempo e obtida a partir da velocidade mdia reduzindo-o se o intervalo de tempo , fazendo-o tender a zero medida que reduzido, a velocidade mdia se aproxima de um valor limite, que a velocidade naquele instante. Quando o movimento forprogressivo, a velocidade escalar instantnea ser positiva (>0) e quando for retrgrado, negativa (< 0). Esta velocidade pode ou no coincidir com a velocidade escalar mdia do movimento. Enquanto a primeira representa a velocidade real () num determinado instante, a segunda indica a velocidade escalar hipottica (m) que o mvel poderia ter mantido entre dois instantes. Se o mvel mantiver sua velocidade escalar instantnea constante, ento sua velocidade escalar mdia coincidir com a instantnea. A velocidade a primeira derivada (em relao ao tempo) da funo posio S(T), ou seja, a velocidade instantnea de um mvel ser encontrada quando o intervalo de tempo tender a zero (). Para calcular-se esta velocidade instantnea usado um calculo de derivada.

As equaes utilizadas tanto em fsica como em calculo seguem a mesma lgica, sendo que em fsica utilizamos a derivada para descrever a posio da partcula dado sua posio em relao ao seu tempo expressada por dx (t)dt t=t0 em que dx e a denotao da funo posio ou espao e t a denotao da funo tempo.Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o mdulo dessa velocidade instantnea. Podemos pensar que o mdulo da velocidade instantnea v (t1) o valor do mdulo da velocidade mdia v (t1,t2) quando t2 tomado muito prximo de t1.

Desse modo, o clculo do mdulo da velocidade instantnea v (t1) pode ser feito como o clculo do mdulo da velocidade mdia v (t1,t2), desde que o segmento de reta secante seja substitudo por um segmento de reta tangente ao grfico posio x tempo.

A funo v a partir da funo s pode ser interpretada como uma taxa de variao e, para o caso especificado, seria a taxa de variao do espao em relao ao tempo, ou seja, a velocidade.s = so+ v0.t +1/2. a.t2s = posio em um instante qualquer (m, km)s0= posio no instante inicial (m, km)vo= velocidade no instante inicial (m/s, km/h)a = acelerao (m/s2, km/h2)t = tempo (s, h)Portanto, a funo v a derivada da funo s. RA :Camila (6) + Vanessa (9) + Juliana (7) + Maraisa (4) + Charles (5) + Alexandre (0) = 31Exemplo: dado um movimento cuja funo horria : s =3t + 2t + 31t. Determine a velocidade instantnea no instante de 3 segundos.s =3t + 2t + 31tv= 6 + 4t + 62tv= 6 + 43 + 623v= 6+12+186v=204m/s

Calculando a variao da velocidade:V=s/tV=31/0 V=0V=31/1 V=31m/sV=31/2 V=15,5m/sV=31/3 V=10,33m/sV=31/4 V=7,75m/sV=31/5 V=6,2m/s

V=m/s

Clculo da rea:A=b.h/2A=1.31/2 A=15,5mA=2.15/2 A= 15,5mA=3.10/2 A=15,5mA=4.7,5/2A=15,5mA=6.5/2 A=15,5mPara cada intervalo de tempo percorrido, a rea de 15,5m, como so cinco intervalos a rea total 77,5m.

Calculando a variao do espao percorridoS=v.tS=31.0 S=0S=31.1 S=31mS=31.2 S=62mS=31.3 S=93mS=31.4 S=124mS=31.5 S=155mAcelerao Instantnea

A acelerao reflete a taxa de mudana de velocidade e expressa nas unidades m/s. Matematicamente, ela definida como a primeira derivada da velocidade. A acelerao instantnea a acelerao em qualquer dado momento. No entanto, a velocidade a primeira derivada da funo de deslocamento do objeto e, por conseguinte, a acelerao a segunda.Podemos obter a acelerao escalar instantnea, partindo da expresso que nos fornece a acelerao escalar mdia (/), fazendo tender a zero. Com este procedimento, a acelerao escalar mdia tende para um valor denominado de acelerao escalar instantnea:

Em termos prticos, vamos determinar a acelerao instantnea da seguinte forma:

A acelerao escalar instantnea representa a acelerao do mvel num determinado instante (t) e, mais precisamente, seu clculo feito atravs do processo de derivao, anlogo ao ocorrido com a velocidade escalar instantnea.A acelerao escalar instantnea de um mvel obtida atravs da derivada da funo horria de sua velocidade escalar.Simbolicamente, isto expresso assim:

Sabemos que o velocmetro de um veculo indica o mdulo de sua velocidade escalar instantnea. Quando as suas indicaes so crescentes, est ocorrendo um movimento variado do tipo acelerado. Quando o velocmetro indica valores decrescentes, o movimento classificado como retardado.De modo geral, podemos detalhar esses casos assim:a) O mvel se movimenta com uma velocidade escalar instantnea, cujo mduloaumentaem funo do tempo. O movimento denominadoacelerado.

Para que isto ocorra, a acelerao escalar instantnea deve ser no mesmo sentido da velocidade escalar instantnea, ou seja,epossuem omesmo sinal.b) O mvel se movimenta com velocidade escalar instantnea cujo mdulodiminuiem funo do tempo. O movimento denominadoretardado.

Para que isto ocorra, a acelerao escalar instantnea deve ser no sentido oposto ao da velocidade escalar instantnea, ou seja,epossuemsinais opostos.c) O mvel se movimenta com velocidade escalar instantneaconstanteem funo do tempo. O movimento denominadouniforme. Para que isto ocorra, a acelerao escalar instantnea deve sernula(= 0).Tanto o movimento acelerado quanto o retardado podem apresentar uma acelerao escalar instantnea constante. Neste caso, o movimento recebe a denominao deuniformemente aceleradoouretardado.A acelerao instantnea ser avaliada pela tangente do ngulo de inclinao da tangente curva do grfico v x t em relao ao eixo dos tempos.

a= dv/dt... tg a= dv/dta representada graficamente pelatga

A velocidade instantnea a taxa de variao instantnea da posio s em relao ao tempo, ou a derivada da posio s em relao ao tempo t,isto v = ds /dtouv' = f '(t)Sabemos tambm que a acelerao a derivada da velocidade v em relao ao tempo t,isto ,a = dv / dt.

Exemplo: dado um movimento cuja funo horria : s =3t + 2t + 31t. Determine a acelerao instantnea no instante de 3 segundos.s= 3t + 2t + 31tv= 9t+ 6t + 62 ta= 18t +12t + 62a=18*3 + 12*3 + 62a= 54 + 36 +62a= 152 m/s

Clculo da acelerao:A=v/tA=0/0 A=0A=31/1 A=31m/sA=15,5/2 A=7,75m/sA=10,33/3 A=3,44443m/sA=7,75/4 A=1,9375m/sA=6,2/5 A=1,24m/s

Calculando a acelerao com os valores resultantes da variao da velocidade, temos que conforme o aumento da velocidade maior a acelerao.

A=m/s

Quando a velocidade de uma partcula varia diz-se que a partcula sofre acelerao, para sabemos como ela esta variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em relao ao tempo sendo: a= dvdt, pois a acelerao da partcula em qualquer instante a taxa na qual sua velocidade est mudando naquele instante. Graficamente, a acelerao em qualquer ponto a inclinao da curva de v(t) naquele ponto. Em palavras, a acelerao de uma partcula em qualquer instante dada pela derivada segunda de sua posio x(t) em relao ao tempo

O que a Constante de Euler

Historicamente, os babilnios haviam aproximado o valor do nmero de Euler, em clculos financeiros, mas no h indcios da compreenso deste fato, pelo carter emprico da matemtica deste povo. Um tablete de argila dos antigos babilnios, datada de cerca de 1700 a.C., prope um problema envolvendo uma questo de investimento: Quanto tempo levar para uma soma de dinheiro dobrar se for investida a uma taxa de 20 por cento de juros compostos anualmente? (MAOR, 2008, p. 41). Em linguagem matemtica atual, ao final de cada ano, o capital inicial dever ser multiplicado por um fator 1,2. Assim, em anos, o capital ser crescido de um fator 1,2. Como o problema solicita em quanto tempo o capital dobra, isto significa resolver a equao exponencial 1,2 = 2. A resposta a esta questo recai num nmero irracional. Na poca dos antigos babilnios, tal problema foi resolvido por aproximao. A aproximao de um nmero irracional para um nmero racional importante fundamento a ser trabalho em diferentes momentos e contextos, no ciclo bsico.A representao decimal dos nmeros irracionais necessariamente infinita e no peridica. A nica via:

(...) de acesso a um nmero irracional a utilizao de aproximaes sucessivas atravs de nmeros racionais. (...) Ainda hoje, [isto] parece desconcertar todos os que enfrentam os irracionais. (...) Negando o estatuto de nmeros as razes entre grandezas que conduziam aos irracionais, foi possvel aos gregos viver praticamente ao largo de tais objetos indesejveis. H muito se sabe, no entanto, que a maioria absoluta, a quase totalidade dos Nmeros Reais existentes constituda por nmeros irracionais. Os outros, os racionais, constituem uma nfima minoria, a despeito de o homem comum no ter contato seno com uns poucos nmeros irracionais, ao longo da vida (MACHADO, 1990, p. 43-44).

Enquanto que em trs anos o capital ter sido acrescido de 1,23 = 1,728, em quatro anos tal valor passa a ser 1,24= 2,076. Assim, o tempo estimado se encontra entre trs e quatro anos. Segundo Maor (2008), para melhorar esta aproximao, os antigos babilnios utilizavam o processo da interpolao linear, que consiste em estabelecer uma relao de proporcionalidade direta, de modo que divide o intervalo de 3 para 4 anos de modo proporcional ao capital 2, que divide o intervalo 1,23 = 1,728 e 1,24= 2,076.

Observando a figura (abaixo), em linguagem atual, constri-se o grfico da funo = e, no intervalo aproxima-se a curva por um segmento de reta. Assim, pode-se estabelecer a proporo direta:

Fazendo-se

Este valor encontrado pelos babilnios, pelo processo da interpolao linear, bem prximo do valor exato, obtido pela tcnica da logaritmao:

Este procedimento dos babilnios representa uma estratgia fundamental inicial para a resoluo do problema proposto e que ainda envolve um importante raciocnio: a aproximao e o uso da estimativa.De modo geral, em problemas financeiros envolvendo juros compostos, o clculo do valor futuro ou Montante (S) em funo do capital inicial (P), aplicado a uma taxa de juros compostos (r), aplicado durante uma unidade de tempo (t) dada por:

Geralmente, a taxa de juros no dada no mesmo perodo que o tempo de aplicao. Assim, para equalizar o intervalo de tempo, digamos em perodos, encontramos um divisor de ambos estes valores, de modo que a taxa de juros fica: e o tempo de aplicao . Por exemplo, se a taxa de juros for de 100% ao ano ( = 100% a.a) e se deseje conhecer o montante aps 1ano e meio de aplicao ( = 1ano e 6 meses).

Podemos equalizar o perodo em meses, de modo que = 100/12 = 8,33 % ao ms e o tempo = 18 meses. Assim, de modo mais geral:

Existe um certo caso particular que associa o nmero de Euler ao clculo de juros compostos.

Algum no se sabe quem ou quando deve ter notado o fato curioso de que se um capital composto vezes por ano, durante anos, a uma taxa de juros e se permitirmos que n aumente sem limites, a soma de dinheiro , obtida a partir da frmula , parece aproximar-se de um certo limite. O limite para =1, =1 e =1, aproximadamente 2,718. (...) Assim, as origens do nmero e (...) pode muito bem estar ligado a um problema mundano: o modo como o dinheiro aumenta com o passar do tempo (MAOR, 2008, p. 13).

Nesta perspectiva, para uma abordagem inicial do nmero de Euler, nos reportamos a uma narrativa. Um agiota empresta 1 a juros de 100% ao ano a uma . Ao final de um ano, a pessoa encontra o agiota, devolvendo 1 + 1 = 2 . O agiota, achando injusta tal situao, argumenta que tal valor incorreto.

Se dividirmos o ano em dois semestres, a pessoa deveria pagar, depois de seis meses, a quantia de 1 + 50% de 1 = 1 . Em mais um semestre, os juros se comporiam em: 1 + 50% de 1 = 2,25 .

Porm, o agiota continua argumentando que, se o ano fosse subdividido em 4 trimestres, teramos que a pessoa deveria, ao final de cada trimestre, conforme a tabela 2.

PerodoMontante

1 trimestre 1 dinar + 25% de dinar= 1,25 dinares.

2 trimestre 1,25 dinares + 25% de 1,25 dinares= 1,25.1,25= 1,252 = 1,5625 dinares.

3 trimestre 1,5625 dinares + 25% de 1,5625 dinares= 1,5625.1,25 = 1,253 = 1,953125 dinares.

4 trimestre 1,953125 dinares + 25% de 1,953125 dinares= 1,254 = 2,4414063 dinares.

Tabela 2: Clculo do agiota, para a aplicao de 1 dinar, a 100% ao ano, supondo a correo trimestral dos juros.

Continuando a especulao, supondo agora a correo mensal, teramos (ver tabela 3):

PerodoMontante

1 ms 1 dinar + 8,33% de dinar= 1,083 dinares.

2 ms 1,083 dinares + 8,33% de 1,083 dinares= 1,083.1,083= 1,172889 dinares.

3 ms 1,172889 dinares + 8,33% de 1,172889 dinares = .1,083 = = 1,27024 dinares.

12 ms dinares = 2,6034 dinares.

Tabela 3: Clculo do agiota, para a aplicao de 1 dinar, a 100% ao ano, supondo a correo mensal dos juros.

Assim, a uma taxa de = 0,278% ao dia, o devedor teria que pagar 1,00278360, ou seja, 2,7166825 . Deste modo, a 0,011574% a hora, teramos que a pessoa, ao final de um ano, deveria pagar: 1,00011574360.24 = 1,000115748640 = 2,7181236 .

Se considerarmos a taxa por minuto, teramos = 0,00019290 % ao minuto, o que resulta numa dvida de: 1,000001929518400 = 2,7182618 .

Cada vez que a diviso de tempo aumenta e o intervalo de tempo se torna mais diminuto, ou seja, quando o tempo de composio dos juros tende a zero, o resultado da dvida parece convergir para certo nmero. Notemos que a base se aproximar do nmero 1, quando a diviso do tempo aumenta, a essncia da ideia de Napier para a tbua de logaritmos.

Levantada esta conjectura, podemos verific-la utilizando a frmula binomial de Newton, uma ferramenta comumente apresentada no ensino bsico.

Numa linguagem matemtica mais voltada ao clculo, quando n tende a infinito, tende a zero. Da, podemos escrever:

Acreditamos que este tipo de abordagem inicial, considerando-se um problema prtico, atravs de matemtica financeira, permite a introduo do nmero de Euler de modo a superar o obstculo de considerar o infinito como um nmero grande, o que possibilitaria a pensar que 1 = 1. Para um estudante iniciante, a observao ingnua do:

(...) comportamento peculiar da expresso para valores grandes de deve parecer de fato intrigante. Suponha que se consideremos apenas a expresso dentro dos parnteses, . medida que aumenta, fica cada vez mais prximo de 0 e assim ( fica cada vez mais prximo de 1, embora seja sempre maior do que 1. Assim, podemos ser tentados a concluir que para um valor grande de , realmente grande (...) a expresso ( pode ser substituda por 1. Agora, elevado a qualquer potncia sempre igual a 1. Portanto, parece que para valores grandes de deve se aproximar do nmero 1 (MAOR, 2008, p. 47). Devemos notar que a base ( que tende a 1 quando tende a infinito, presente na potncia , remete a ideia fundamental do nmero de Euler.

E esta ideia a essncia da construo da tbua de logaritmos desenvolvida por Napier.

Esta representao do nmero de Euler, associada escrita de uma soma de infinitos termos, permite abordar uma srie, que parece ser convergente. O tema sries importante assunto a ser abordado no ciclo bsico, dentro dos temas usuais do currculo de matemtica, porm raramente apresentado.

Para verificar esta outra conjectura, inicialmente determinamos um limite inferior. Isto pode ser feito pelo uso de desigualdades, em relao a clculos numricos simples, uma importante ferramenta a ser mais explorada.

Para determinar se existe um limite superior para o nmero de Euler, tem-se que:1

123n

Progresso geomtrica de razo 1/2

Na P.G. acima, de infinitas parcelas, primeiro termo e razo , no intervalo para -1