ATPS Calculo III

Atividade Prática SupervisionadaEngenharia Civil – 3º ano - Cálculo III

Professor: Paulo Jordá

Marcos Antonio da Silva Freitas RA: 9852521977

Paulo Augusto da Costa RA: 9853519722

Setembro - 2015São Paulo

1

FACULDADE ANHAGUERA CAMPUS MARTEAvenida Braz Leme, nº 3029 – São Paulo – SP

CEP: 02022-011 – (11) 2972-9008www.unianhanguera.edu.br

Marcos Antonio da Silva Freitas RA: 9852521977

Paulo Augusto da Costa RA: 9853519722

Valvezone Seixas Silveira RA: 9899529339

Desenvolvimento de Atividades Práticas Supervisionadas do curso de Engenharia Civil 3º série, período noturno, campus marte, curso Cálculo III. Realizado através do ensino de aprendizagem, desenvolvidos por etapas.

São Paulo2015

2

SUMARIO

1. Historia do Calculo Integral...................................................9

2. Etapa 1 – Passo 2...............................................................10

3. Etapa 1 – Passo 3...............................................................13

4. Etapa 2 – Passo 1...............................................................15

5. Etapa 2 – Passo 2...............................................................21

6. Etapa 2 – Passo 3...............................................................22

7. Etapa 2 – passo 4................................................................22

8. Bibliografia...........................................................................23

3

4

ATIVIDADES PRÁTICAS

SUPERVISIONADASEngenharia Civil

3ª Série

Cálculo III

A Atividade Prática Supervisionada (ATPS) é um procedimento

metodológico de

ensino-aprendizagem desenvolvido por meio de etapas, acompanhadas pelo

professor, e que tem por objetivos:

_ Favorecer a autoaprendizagem do aluno.

_ Estimular a corresponsabilidade do aluno pelo seu aprendizado.

_ Promover o estudo, a convivência e o trabalho em grupo.

_ Auxiliar no desenvolvimento das competências requeridas para o

exercício

profissional.

_ Promover a aplicação da teoria na solução de situações que simulam a

realidade.

_ Oferecer diferenciados ambientes de aprendizagem

Para atingir estes objetivos, a ATPS propõe um desafio e indica os passos

a serem

percorridos ao longo do semestre para a sua solução.

Aproveite esta oportunidade de estudar e aprender com desafios da vida

profissional.

AUTORIA:

5

Gesiane de Salles Cardin Denzin

Anhanguera Educacional de Limeira

.

COMPETÊNCIAS E HABILIDADES

Ao concluir as etapas propostas neste desafio, você terá desenvolvido as

competências e habilidades que constam, nas Diretrizes Curriculares Nacionais,

descritas a seguir.

_ Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e

instrumentais à Engenharia.

_ Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados.

_ Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia.

Participação

Esta atividade será, em parte, desenvolvida individualmente pelo aluno e,

em parte, pelo grupo. Para tanto, os alunos deverão:

• organizar-se, previamente, em equipes de 3 a 4 participantes;

• entregar seus nomes, RAs e e-mails ao professor da disciplina e

• observar, no decorrer das etapas, as indicações: Individual e Equipe.

DESAFIO

O petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum = óleo) é um

recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto,

oleoso, inflamável, geralmente menos denso que a água e que possui uma

coloração que varia do incolor até o preto.

Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação.

Atribuíam-se ao petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e anti-sépticas.

Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Além de gerar

gasolina, que serve de combustível para grande parte dos automóveis que

circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo, como por exemplo,

a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel.

6

O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a

profundidade em que o óleo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do

solo ou até milhares de metros abaixo do nível do mar.

A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de petróleo

no Brasil.

Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos,

paleontólogos, engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentem maior

probabilidade de se encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda,

satélites e de pequenos terremotos artificiais, essas regiões são selecionadas e se

confirmada a presença de petróleo, inicia-se o projeto para extração do mesmo.

Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de

Santos.

O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total

mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém descoberto.

Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser

devidamente realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses

números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas,

fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que

poderá ser extraído.

Objetivo do Desafio

Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros

da Petrofuels,

que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto.

Livro Texto da Disciplina

A produção desta ATPS é fundamentada no livro-texto da disciplina, que

deverá ser utilizado para solução do desafio:

HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs.); MCCALLUM, William G (orgs.)

et al. Cálculo de Uma Variável. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e

Científicos, 2004, v.1.

7

ETAPA 1 (tempo para realização: 05 horas)

_ Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de

integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo

professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como

função inversa da derivada.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de

integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros

didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao

estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e

elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas

com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a

compreensão e realização dos próximos passos.

3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de

apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa.

Sites sugeridos para pesquisa

• GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR>. Acesso

em: 22 abr. 2012.

• Curso de GeoGebra. Disponível em: <http://www.youtube.com/playlist?

list=PL8884F539CF7C4DE3>. Acesso em: 22 abr. 2012.

8

História do Calculo Integral

Há historia exata do surgimento do Calculo Diferencia e Integral é de difícil

precisão, mas temos idéia que seu surgimento tem relações com antigas

questões, como plantio de uma área ao longo das margens dos rios, problemas

com figuras planas, determinação de um terreno ou até mesmo nas questões

financeiras. Em 1700 a.C. foi encontrado um tablete de argila, que estava

impresso um problema envolvendo juros, ou uma pratica de cobrança de taxa

sobre o empréstimo de dinheiro.

O uso do processo de limites para calcular áreas e o volume de varias

formas e sólidos, é apresentada pelos gregos antigos, com Arquimedes de

Siracusa. (287 – 212 a.C), onde sua idéia principal era obter um circulo e nele

inscrever uma série de polígonos regulares, com números cada vez maiores de

lados, ficando conhecido como método da exaustão. A idéia básica seria uma

sucessão de valores numéricos, que se aproximaria de um determinado valor,

sem atingir este valor.

Para Descartes a Geometria Analítica pode ser descrita por dois pontos

cujas coordenadas são X e Y, ele achava que sua abordagem tinha vantagens

sobre o método adotado pelos antigos gregos. Mas se limitava a expressões

algébricas de números finitos, a equação de uma seção cônica, como a elipse,por

exemplo, só apresenta três termos. A mais importante das técnicas de Descartes

foi a das series infinitas, exemplo é soma y=x-x2/ 2 + x3 - x4/4 + x5/ 5.....vimos que a

soma de infinitos termos pode convergir para um valor infinito.

Na época de Newton, a matemática com series infinitas não eram bem

fundamentadas. A própria serie binomial de Newton da generalização das series

infinitas, não demonstrada rigorosamente, aplicou seu método aos resultados que

já conhecia, e verificou que os resultados coincidiam, com isso pode calcular a

área definida por varias curvas.

9

Johannes Kepler talvez tenha sido o primeiro a fazer uso dos indivisíveis,

não na astronomia, mas para resolver o calculo de volumes de barris de vinho,

procedendo o calculo para três dimensões e considerando um sólido como uma

de muitas fatias infinitamente finas, ou laminas e depois somando seus volumes

individuais, sem perceber chegou ao passo do Calculo Integral.

Quando o método dos indivisíveis foi descoberto no século XVII, os

matemáticos voltaram a abordar esse problema. Entre os principais matemáticos

envolvidos com essa questão, estava, Pierre de Fermat (1601 – 1665) e René

Descartes (1596 – 1650). Fermet estava interessado na quadratura de curvas cuja

equação geral é y= xn, onde n é um inteiro positivo. Essas curvas são chamadas

de parábolas generalizadas.

A vocação de Fermat pode ter sido a lei e o serviço público, mas a sua

paixão era a matemática. Apesar de Fermat e Descartes terem inventado a

geometria analítica independentemente um do outro, Fermat foi

consideravelmente mais longe que Descartes, ao introduzir os eixos

perpendiculares e ao formular equações para retas, circunferências, parábolas e

hipérboles.

Enquanto Newton e Leibniz partilham a autoria do cálculo, Fermat fez

descobertas criticamente importantes neste campo mais de uma década antes de

cada um deles ter nascido. Descobriu as equações das tangentes, localizou os

pontos máximos e mínimos e calculou a área abaixo de muitas e diferentes

curvas.

Passo 2 (Equipe)

Leiam os desafios propostos:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

10

Resposta

Resposta: b

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo

fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde

q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que

expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:

11

a -3 + 1 * da + 3-3 + 1

a 3 + 1 * da + 33 + 1

13

3a

13

a 4 * da + 34

a -2 * da + 3-2

3 a

1 * a 4 + 3 * a -2 + 3

3 4 -2 a

a 4 - 3_ + 3 ln |a| + C 12 2 a2

16,1=

. du

C’(q) = 1.000 + 50q

C(0) = 10.000

= +

1.000q + 50 + C = 1.000q + 25 + C Resposta: a

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu

exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é

o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado

para C(t) é dado por: C( t ) = 16,1 × e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde

corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

.

12

=

10.000 + 1.000q + 25

U = 0,07 t du = 0,007 t

230. + C = 230 + C

+ C

= 230 - 230 = 304.319 – 264.562 = Resposta: c

Desafio D

(a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22

A área sob a curva y = de x = -3 a x = 2

dx

U = du = xdx 2du = xdx

dx = 2xdx

2du =

= 2 + C = 2 + C

= 2 - 2

= 5,436 – 0,446 = Resposta: a

Passo 3 (Equipe)

13

39,76

A área sob a curva y = e de x = - 3 a x = 2 é dada por:

4,99

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos

cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b) X.

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio B:

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a) X.

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).




Para o desafio C:



Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c) X.



Para o desafio D:

Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a) X.


14




Conforme resultado dos exercícios proposto às respostas foram:

3 – 0 – 1 - 9

ETAPA 2

PASSOS

PASSO 1

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de

integração por partes e por substituição. Pesquisem também em: livros didáticos

do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações

ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração por partes e por

substituição.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de

integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as

principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa

pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos

passos.

Técnicas de integrações

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite

expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por

partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte, onde e são funções de classe C no

intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas

são contínuas entre a e b.

15

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integral

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua

http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_do_produto

http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral

A fórmula canônica é dada pela seguinte expressão:

ou, ainda, de forma mais enxuta:

1. Integral por parte:

Se existe uma primitiva G para a função g, isto é: G'(x)=g(x), então:

f(x).G'(x) dx = f(x).G(x) - f'(x).G(x) dx

Pela derivada do produto de duas funções, segue que:

(f(x).G(x))' = f'(x).G(x)+f(x).G'(x) = f'(x).G(x)+f(x).g(x)

e integrando os membros desta última igualdade, obteremos:

(f(x).G(x))' dx = [f'(x).G(x) + f(x).g(x)] dx

isto é,

f(x).G(x) = [f'(x).G(x) + f(x).g(x)] dx

16

assim,

f(x).G(x) = f'(x).G(x) dx + f(x).g(x) dx

donde segue o resultado.

Exemplo: Para calcular x.ln(x) dx, tomamos g(x)=x e f(x)=ln(x). Assim, uma primitiva para g=g(x) é a função G(x)=x²/2 e f'(x)=1/x e a fórmula de integração por partes, nos informa que:

f(x).g(x) dx = f(x).G(x) - f'(x).G(x) dx

Substituindo as funções acima definidas, teremos:

x.ln(x) dx = ln(x).x²/2 - (1/x).x dx

Logo,

x.ln(x) dx = ½ x² ln(x) - x + C

A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários.

1.1. Integral por substituição

17

Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções.

Para obter a integral da forma:

f(u(x)) u'(x) dx

substituímos u=u(x) na integral acima e calculamos a integral

f(u) du

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a

função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde

uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer

substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções

trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

Exemplos: Para cada integral substituímos a variável indicada.

1. u=x²+3x.

(x²+3x).(2x+3) dx= u du=u²/2+C=(x²+3x)²/2+C

2. u=x²+1.

5x/(x²+1) dx=(5/2) 2x/(x²+1) dx=(5/2) du/u=(5/2)ln(u)+C=(5/2)ln(x²+1)+C

3. u=x+1.

18

http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_da_cadeia

x/(x+1)dx= (u-1)/u du= du- du/u=u-ln(u)+C=x+1-ln(x+1)+C

1.2. Substituições trigonométricas

As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais

contendo expressões da forma:

Neste caso, as substituições adequadas são:

Passos para a integração:

Passo1: Faça uma escolha para . Ex.: .

Passo2: Calcule .

Passo 3: Faça a substituição , . Neste ponto a integral

deve estar em termos de . Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova

escolha para .

Passo 4: Calcule a integral resultante, se possível.

Passo 5: Substituir por ; assim, a resposta final estará em termos de .

Exemplo

19

http://pt.wikipedia.org/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_por_substitui%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica

Considere a integral usando a substituição ,

obtêm-se

A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feita utilizando integração por partes:

Voltando a equação original:

Agora deve se voltar à incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo

para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e

cateto oposto a igual a , consequentemente o cateto adjacente ao ângulo

valerá . Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações

fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

O ângulo pode ser expresso como:

20

http://pt.wikipedia.org/wiki/Seno

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cosseno

Obtendo assim a resposta final.

PASSO 2

Considerem as seguintes igualdades

I) = II)

I) =

U = du = 2t -6

= = = = = =

II)

= =

= =

21

= =

= =

= = =

= =

= =

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras (X)

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

PASSO 3

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio

dos Cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a). 4




22

Ao associar a letra da alternativa correta conforme a resposta do exercício

referente ao Passo 2 juntamente com os números dados, obteremos a seguinte

resposta: 4

Passo 4

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome

de Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a seqüência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Conclusão do Desafio

Referente às respostas obtidas com os desafios desenvolvidos, podemos concluir

que, a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído de um poço de

petróleo recém descoberto é de 30.194.

BIBLIOGRAFIA

1. Uma Breve Introdução à Historia do calculo diferencial e integral, BATISTA,

Roberto Jr.;

2. STEWART, James. Cálculo - volume I. São Paulo: Pioneira Thompson

Learning, 2002. 4ª edição;

3. Site http://www.brasilescola.com, visita em 10/09/2015 ás 16:35;

4. Site http://www.ead.ftc.br, visita em 12/09/2015 ás 09:45;

23

http://www.ead.ftc.br/

http://www.brasilescola.com/

ETAPA 3

PASSOS

PASSO 1

SURGIMENTO DO CLACULO DE AREAS

Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma

realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como

o triângulo, quadrado, retângulo, trapézio, losango, paralelogramo entre outras, basta

relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários. Algumas situações

exigem ferramentas auxiliares no resultado das áreas, como exemplo as regiões existentes

sob uma curva. Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as noções de

integrações desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz.

Podemos representar algebricamente uma curva no plano, através de uma lei de

formação chamada Função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar

áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem

diversas aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:

Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na

variável x, entre o intervalo a e b:

24

A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos

retângulos, pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos

retângulos de altura f(x) e base dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à

área de cada retângulo. A soma das áreas infinitesimais fornecerá a área total da

superfície sob a curva.

Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a

seguinte expressão:

Exemplo

Determine a área da região a seguir delimitada pela parábola definida pela

expressão f(x) = – x² + 4, no intervalo [0,2].

25

Determinando a área através da integração da função f(x) = –x² + 4.

Portanto, a área da região delimitada pela função f(x) = –x² + 4, variando de -2 a

2, é de 10,6 unidades de área.

Fonte: http://www.brasilescola.com

Passo 2

Leiam o desafio abaixo:

26


Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e

S2 são,

respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Figura 1. Figura 2.

Resolução:

Figura 1:

f(x) = 1/x

Integral de lnIxI entre x=1 e x=2.

= ln2 – ln1 = 0,6931 u.a.

Figura 2:

f(x) = 4/x

Integral de 4lnIxI entre x=0 e x=4.

= 4ln4 – 4ln0 = 5,5452 u.a.

Figura I é verdadeira

Figura II é falsa

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa (x)

(d) (I) e (II) são falsas

Passo 3 (Equipe)

27

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio

dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:



Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c). (x)


Passo 4




2. a seqüência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.




petróleo recém descoberto é de 30.194,8.

ETAPA 4

PASSOS

28

PASSO 1

Historia do calculo do volume de um sólido

Sólidos e Superfícies de Revolução

Ao fazermos uma região do plano girar em torno de uma reta fixa qualquer do

plano, obtemos uma figura espacial, um sólido, denominado Sólido de Revolução.

A reta fixa em torno da qual ocorre o giro é denominada Eixo de Revolução.

Vejamos um exemplo deste sólido:

Ao fazer o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 3, y = 0 e

y = 2 girar em torno do eixo y, obtemos um cilindro (cilindro de revolução).

Volume de Sólidos de Revolução

Vamos agora a um dos mais interessantes problemas que ligam o Cálculo à

Geometria Analítica, que é o de determinar, através da Integral Definida, uma

expressão para o volume de um sólido de Revolução associado ao gráfico de uma

função y = f (x).

Suponhamos para isso, primeiramente, que f (x) seja uma função contínua e não-

negativa no intervalo [a, b]. Consideremos então uma partição P deste intervalo [a,

b], dada por a = x0 < x1 < x2 < . . . < xi < xi+1 < . . . < xn−1 < x0 = n.

Denotemos (como nas outras vezes) por Δxi o comprimento de cada subintervalo

[xi−1, xi ] da partição, ou seja, Δxi = xi − xi−1.

Agora, para cada um desses subintervalos [xi−1, xi ], vamos considerar o

retângulo Ri de base Δxi e altura igual f (ci ), onde ci ∈ [xi−1, xi ]. Fazendo este

29

retângulo girar em torno do eixo dos x, obtemos um cilindro de revolução cujo

volume é, da conhecida fórmula da Geometria Espacial,

V(ci ) = πr 2 · h = π[f (ci )]2Δxi .

Logo, a soma dos volumes dos n cilindros originados a partir dos n retângulos da

partição é dada por:

e esta soma, analogamente ao que aconteceu no caso do comprimento de arco e

da área sob a curva y = f (x), nos dá uma boa aproximação do que na verdade é o

volume V do sólido gerado pela rotação desta curva.

À medida que tomamos n muito grande, o valor da soma dos volumes dos

cilindros ci , dado, pela expressão acima, aproxima-se cada vez mais do volume

do referido sólido, o que nos permite então escrever

Observando, agora, que a expressão denota uma soma de Riemann

para a função [f (x)]^2 e lembrando que f (x) é supostamente contínua (o que faz

com que exista limite acima), podemos finalmente escrever:

é a expressão que define o volume V procurado.

Fonte: http://www.ead.ftc.br

PASSO 2

Desafio A

30


A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da

curva dada por y=4√x de 1/4≤ x ≤4 é: 2π/3 . (128√2 - 17√7) u.a. Está correta

essa afirmação?

Resolução:A = 2π∫〖f(y) √1+[f`(y)]^2 dy〗2π∫(1/4)^4〖4√x.√1+4/x dx〗2π∫(1/4)^4〖4√x.√x+4/(√x) dx〗8π∫(1/4)^4〖√x+4dx〗8π〖(x+4)〗^(3/2)/(3/2) = (4,1/4)┤ → 16π/3(8^(3/2) – 〖(17/4)〗^(3/2)) = 2π/3(128√2 - 17√17) u.a.

Desafio B

Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y =

2, da região R delimitada pelos gráficos das equações: y = sen x , y = (sen x)^3

de x = 0 até x=π/2?

(a) 3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.

31

Resolução:π∫〖〖(f(x)- c)〗^2- 〖(f(x)- c )〗^2 dx〗π∫〖〖(senx-2)〗^2- 〖(〖sen〗^3 x- 2 )〗^2 dx〗π∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 senx+4-(〖sen〗^6 x-4 〖sen〗^3 x+4)dx〗π∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 senx+4- 〖sen〗^6 x+4 〖sen〗^3 x-4 dx〗π[∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 ∫_0^(π/2)〖senx- ∫_0^(π/2)〖〖sen〗^6 x+4 ∫_0^(π/2)〖〖sen〗^3 x〗〗〗〗]π[(-senx cosx)/2+ x/2+ 4 cosx+ 1/6 〖sen〗^5 x cos5 senx cosx+15/48 sen x cosx-15/48+4(-cosx+(〖cos〗^3 x)/3)]π[(π/2)/2-(15 π/2)/48-(4+4(-1+1/3))]^24

π[(π/2)/2-(15 π/2)/48-(4-8/3)]

π[(π/2)/4-(15 π/2)/96-4+8/3]

π[π/4-15π/96-4/3]

π[(24π-15π-128)/96]

(〖24π〗^2-〖15π〗^2-128π)/96 = 3,26 u.v

Passo3

Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada.

Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.

Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos

realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 4, se a resposta estiver certa. (X)

Associem o número 9, se a resposta estiver errada.

Para o desafio B:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a). (X)





Passo 4

32




2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

3. colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados

indicando por meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que

poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresa

Petrofuels.




petróleo recém descoberto é de 301,948,48

CONCLUSÃO

Conforme estudo realizado sobre primitivas de funções, integrais indefinidas e

definidas, é possível concluir que na Integral Indefinida o resultado final é sempre

uma função, já na Integral Definida tem-se a resolução de uma função final.

Existem várias formas de integração: substituição, por partes, cadeia, etc. Cada

uma delas é utilizada de uma forma diferente e para resoluções de funções

diferentes, neste estudo foi possível conhecer e entender a aplicação de cada

uma, através dos diferentes exercícios resolvidos. Conclui-se que, com o

conhecimento e o domínio das integrais é possível resolver qualquer função de

uma variável.

BIBLIOGRAFIA

33

5. Uma Breve Introdução à Historia do calculo diferencial e integral, BATISTA,

Roberto Jr.;

6. STEWART, James. Cálculo - volume I. São Paulo: Pioneira Thompson

Learning, 2002. 4ª edição;

7. Site http://www.brasilescola.com, visita em 10/09/2015 ás 16:35;

8. Site http://www.ead.ftc.br, visita em 12/09/2015 ás 09:45;

34



Documents

ATPS Calculo III