Atividade Prática SupervisionadaEngenharia Civil – 3º ano - Cálculo III
Professor: Paulo Jordá
Marcos Antonio da Silva Freitas RA: 9852521977
Paulo Augusto da Costa RA: 9853519722
Setembro - 2015São Paulo
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FACULDADE ANHAGUERA CAMPUS MARTEAvenida Braz Leme, nº 3029 – São Paulo – SP
CEP: 02022-011 – (11) 2972-9008www.unianhanguera.edu.br
Marcos Antonio da Silva Freitas RA: 9852521977
Paulo Augusto da Costa RA: 9853519722
Valvezone Seixas Silveira RA: 9899529339
Desenvolvimento de Atividades Práticas Supervisionadas do curso de Engenharia Civil 3º série, período noturno, campus marte, curso Cálculo III. Realizado através do ensino de aprendizagem, desenvolvidos por etapas.
São Paulo2015
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SUMARIO
1. Historia do Calculo Integral...................................................9
2. Etapa 1 – Passo 2...............................................................10
3. Etapa 1 – Passo 3...............................................................13
4. Etapa 2 – Passo 1...............................................................15
5. Etapa 2 – Passo 2...............................................................21
6. Etapa 2 – Passo 3...............................................................22
7. Etapa 2 – passo 4................................................................22
8. Bibliografia...........................................................................23
3
4
ATIVIDADES PRÁTICAS
SUPERVISIONADASEngenharia Civil
3ª Série
Cálculo III
A Atividade Prática Supervisionada (ATPS) é um procedimento
metodológico de
ensino-aprendizagem desenvolvido por meio de etapas, acompanhadas pelo
professor, e que tem por objetivos:
_ Favorecer a autoaprendizagem do aluno.
_ Estimular a corresponsabilidade do aluno pelo seu aprendizado.
_ Promover o estudo, a convivência e o trabalho em grupo.
_ Auxiliar no desenvolvimento das competências requeridas para o
exercício
profissional.
_ Promover a aplicação da teoria na solução de situações que simulam a
realidade.
_ Oferecer diferenciados ambientes de aprendizagem
Para atingir estes objetivos, a ATPS propõe um desafio e indica os passos
a serem
percorridos ao longo do semestre para a sua solução.
Aproveite esta oportunidade de estudar e aprender com desafios da vida
profissional.
AUTORIA:
5
Gesiane de Salles Cardin Denzin
Anhanguera Educacional de Limeira
.
COMPETÊNCIAS E HABILIDADES
Ao concluir as etapas propostas neste desafio, você terá desenvolvido as
competências e habilidades que constam, nas Diretrizes Curriculares Nacionais,
descritas a seguir.
_ Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e
instrumentais à Engenharia.
_ Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados.
_ Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia.
Participação
Esta atividade será, em parte, desenvolvida individualmente pelo aluno e,
em parte, pelo grupo. Para tanto, os alunos deverão:
• organizar-se, previamente, em equipes de 3 a 4 participantes;
• entregar seus nomes, RAs e e-mails ao professor da disciplina e
• observar, no decorrer das etapas, as indicações: Individual e Equipe.
DESAFIO
O petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum = óleo) é um
recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto,
oleoso, inflamável, geralmente menos denso que a água e que possui uma
coloração que varia do incolor até o preto.
Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação.
Atribuíam-se ao petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e anti-sépticas.
Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Além de gerar
gasolina, que serve de combustível para grande parte dos automóveis que
circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo, como por exemplo,
a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel.
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O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a
profundidade em que o óleo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do
solo ou até milhares de metros abaixo do nível do mar.
A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de petróleo
no Brasil.
Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos,
paleontólogos, engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentem maior
probabilidade de se encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda,
satélites e de pequenos terremotos artificiais, essas regiões são selecionadas e se
confirmada a presença de petróleo, inicia-se o projeto para extração do mesmo.
Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de
Santos.
O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total
mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém descoberto.
Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser
devidamente realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses
números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas,
fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que
poderá ser extraído.
Objetivo do Desafio
Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros
da Petrofuels,
que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto.
Livro Texto da Disciplina
A produção desta ATPS é fundamentada no livro-texto da disciplina, que
deverá ser utilizado para solução do desafio:
HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs.); MCCALLUM, William G (orgs.)
et al. Cálculo de Uma Variável. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e
Científicos, 2004, v.1.
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ETAPA 1 (tempo para realização: 05 horas)
_ Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.
Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de
integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo
professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como
função inversa da derivada.
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSOS
Passo 1 (Equipe)
Façam as atividades apresentadas a seguir.
1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de
integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros
didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao
estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.
2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e
elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas
com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a
compreensão e realização dos próximos passos.
3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de
apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa.
Sites sugeridos para pesquisa
• GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR>. Acesso
em: 22 abr. 2012.
• Curso de GeoGebra. Disponível em: <http://www.youtube.com/playlist?
list=PL8884F539CF7C4DE3>. Acesso em: 22 abr. 2012.
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História do Calculo Integral
Há historia exata do surgimento do Calculo Diferencia e Integral é de difícil
precisão, mas temos idéia que seu surgimento tem relações com antigas
questões, como plantio de uma área ao longo das margens dos rios, problemas
com figuras planas, determinação de um terreno ou até mesmo nas questões
financeiras. Em 1700 a.C. foi encontrado um tablete de argila, que estava
impresso um problema envolvendo juros, ou uma pratica de cobrança de taxa
sobre o empréstimo de dinheiro.
O uso do processo de limites para calcular áreas e o volume de varias
formas e sólidos, é apresentada pelos gregos antigos, com Arquimedes de
Siracusa. (287 – 212 a.C), onde sua idéia principal era obter um circulo e nele
inscrever uma série de polígonos regulares, com números cada vez maiores de
lados, ficando conhecido como método da exaustão. A idéia básica seria uma
sucessão de valores numéricos, que se aproximaria de um determinado valor,
sem atingir este valor.
Para Descartes a Geometria Analítica pode ser descrita por dois pontos
cujas coordenadas são X e Y, ele achava que sua abordagem tinha vantagens
sobre o método adotado pelos antigos gregos. Mas se limitava a expressões
algébricas de números finitos, a equação de uma seção cônica, como a elipse,por
exemplo, só apresenta três termos. A mais importante das técnicas de Descartes
foi a das series infinitas, exemplo é soma y=x-x2/ 2 + x3 - x4/4 + x5/ 5.....vimos que a
soma de infinitos termos pode convergir para um valor infinito.
Na época de Newton, a matemática com series infinitas não eram bem
fundamentadas. A própria serie binomial de Newton da generalização das series
infinitas, não demonstrada rigorosamente, aplicou seu método aos resultados que
já conhecia, e verificou que os resultados coincidiam, com isso pode calcular a
área definida por varias curvas.
9
Johannes Kepler talvez tenha sido o primeiro a fazer uso dos indivisíveis,
não na astronomia, mas para resolver o calculo de volumes de barris de vinho,
procedendo o calculo para três dimensões e considerando um sólido como uma
de muitas fatias infinitamente finas, ou laminas e depois somando seus volumes
individuais, sem perceber chegou ao passo do Calculo Integral.
Quando o método dos indivisíveis foi descoberto no século XVII, os
matemáticos voltaram a abordar esse problema. Entre os principais matemáticos
envolvidos com essa questão, estava, Pierre de Fermat (1601 – 1665) e René
Descartes (1596 – 1650). Fermet estava interessado na quadratura de curvas cuja
equação geral é y= xn, onde n é um inteiro positivo. Essas curvas são chamadas
de parábolas generalizadas.
A vocação de Fermat pode ter sido a lei e o serviço público, mas a sua
paixão era a matemática. Apesar de Fermat e Descartes terem inventado a
geometria analítica independentemente um do outro, Fermat foi
consideravelmente mais longe que Descartes, ao introduzir os eixos
perpendiculares e ao formular equações para retas, circunferências, parábolas e
hipérboles.
Enquanto Newton e Leibniz partilham a autoria do cálculo, Fermat fez
descobertas criticamente importantes neste campo mais de uma década antes de
cada um deles ter nascido. Descobriu as equações das tangentes, localizou os
pontos máximos e mínimos e calculou a área abaixo de muitas e diferentes
curvas.
Passo 2 (Equipe)
Leiam os desafios propostos:
Desafio A
Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:
10
Resposta
Resposta: b
Desafio B
Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo
fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde
q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que
expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:
11
a -3 + 1 * da + 3-3 + 1
a 3 + 1 * da + 33 + 1
13
3a
13
a 4 * da + 34
a -2 * da + 3-2
3 a
1 * a 4 + 3 * a -2 + 3
3 4 -2 a
a 4 - 3_ + 3 ln |a| + C 12 2 a2
16,1=
. du
C’(q) = 1.000 + 50q
C(0) = 10.000
= +
1.000q + 50 + C = 1.000q + 25 + C Resposta: a
Desafio C
No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu
exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é
o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado
para C(t) é dado por: C( t ) = 16,1 × e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde
corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?
.
12
=
10.000 + 1.000q + 25
U = 0,07 t du = 0,007 t
230. + C = 230 + C
+ C
= 230 - 230 = 304.319 – 264.562 = Resposta: c
Desafio D
(a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22
A área sob a curva y = de x = -3 a x = 2
dx
U = du = xdx 2du = xdx
dx = 2xdx
2du =
= 2 + C = 2 + C
= 2 - 2
= 5,436 – 0,446 = Resposta: a
Passo 3 (Equipe)
13
39,76
A área sob a curva y = e de x = - 3 a x = 2 é dada por:
4,99
Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos
cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.
Para o desafio A:
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b) X.
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e).
Para o desafio B:
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a) X.
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (e).
Para o desafio C:
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c) X.
Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).
Para o desafio D:
Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a) X.
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).
14
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (e).
Conforme resultado dos exercícios proposto às respostas foram:
3 – 0 – 1 - 9
ETAPA 2
PASSOS
PASSO 1
Façam as atividades apresentadas a seguir.
1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de
integração por partes e por substituição. Pesquisem também em: livros didáticos
do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações
ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração por partes e por
substituição.
2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de
integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as
principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa
pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos
passos.
Técnicas de integrações
No cálculo integral, integração por partes é um método que permite
expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por
partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.
A fórmula típica é a seguinte, onde e são funções de classe C no
intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas
são contínuas entre a e b.
15
A fórmula canônica é dada pela seguinte expressão:
ou, ainda, de forma mais enxuta:
1. Integral por parte:
Se existe uma primitiva G para a função g, isto é: G'(x)=g(x), então:
f(x).G'(x) dx = f(x).G(x) - f'(x).G(x) dx
Pela derivada do produto de duas funções, segue que:
(f(x).G(x))' = f'(x).G(x)+f(x).G'(x) = f'(x).G(x)+f(x).g(x)
e integrando os membros desta última igualdade, obteremos:
(f(x).G(x))' dx = [f'(x).G(x) + f(x).g(x)] dx
isto é,
f(x).G(x) = [f'(x).G(x) + f(x).g(x)] dx
16
assim,
f(x).G(x) = f'(x).G(x) dx + f(x).g(x) dx
donde segue o resultado.
Exemplo: Para calcular x.ln(x) dx, tomamos g(x)=x e f(x)=ln(x). Assim, uma primitiva para g=g(x) é a função G(x)=x²/2 e f'(x)=1/x e a fórmula de integração por partes, nos informa que:
f(x).g(x) dx = f(x).G(x) - f'(x).G(x) dx
Substituindo as funções acima definidas, teremos:
x.ln(x) dx = ln(x).x²/2 - (1/x).x dx
Logo,
x.ln(x) dx = ½ x² ln(x) - x + C
A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários.
1.1. Integral por substituição
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Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções.
Para obter a integral da forma:
f(u(x)) u'(x) dx
substituímos u=u(x) na integral acima e calculamos a integral
f(u) du
Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a
função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde
uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).
Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer
substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções
trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.
Exemplos: Para cada integral substituímos a variável indicada.
1. u=x²+3x.
(x²+3x).(2x+3) dx= u du=u²/2+C=(x²+3x)²/2+C
2. u=x²+1.
5x/(x²+1) dx=(5/2) 2x/(x²+1) dx=(5/2) du/u=(5/2)ln(u)+C=(5/2)ln(x²+1)+C
3. u=x+1.
18
x/(x+1)dx= (u-1)/u du= du- du/u=u-ln(u)+C=x+1-ln(x+1)+C
1.2. Substituições trigonométricas
As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais
contendo expressões da forma:
Neste caso, as substituições adequadas são:
Passos para a integração:
Passo1: Faça uma escolha para . Ex.: .
Passo2: Calcule .
Passo 3: Faça a substituição , . Neste ponto a integral
deve estar em termos de . Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova
escolha para .
Passo 4: Calcule a integral resultante, se possível.
Passo 5: Substituir por ; assim, a resposta final estará em termos de .
Exemplo
19
Considere a integral usando a substituição ,
obtêm-se
A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feita utilizando integração por partes:
Voltando a equação original:
Agora deve se voltar à incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo
para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e
cateto oposto a igual a , consequentemente o cateto adjacente ao ângulo
valerá . Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações
fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:
O ângulo pode ser expresso como:
20
Obtendo assim a resposta final.
PASSO 2
Considerem as seguintes igualdades
I) = II)
I) =
U = du = 2t -6
= = = = = =
II)
= =
= =
21
= =
= =
= = =
= =
= =
Podemos afirmar que:
(a) (I) e (II) são verdadeiras (X)
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa
(d) (I) e (II) são falsas
PASSO 3
Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio
dos Cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Para o desafio:
Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a). 4
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (d).
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Ao associar a letra da alternativa correta conforme a resposta do exercício
referente ao Passo 2 juntamente com os números dados, obteremos a seguinte
resposta: 4
Passo 4
Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome
de Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a seqüência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
Conclusão do Desafio
Referente às respostas obtidas com os desafios desenvolvidos, podemos concluir
que, a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído de um poço de
petróleo recém descoberto é de 30.194.
BIBLIOGRAFIA
1. Uma Breve Introdução à Historia do calculo diferencial e integral, BATISTA,
Roberto Jr.;
2. STEWART, James. Cálculo - volume I. São Paulo: Pioneira Thompson
Learning, 2002. 4ª edição;
3. Site http://www.brasilescola.com, visita em 10/09/2015 ás 16:35;
4. Site http://www.ead.ftc.br, visita em 12/09/2015 ás 09:45;
23
ETAPA 3
PASSOS
PASSO 1
SURGIMENTO DO CLACULO DE AREAS
Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma
realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como
o triângulo, quadrado, retângulo, trapézio, losango, paralelogramo entre outras, basta
relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários. Algumas situações
exigem ferramentas auxiliares no resultado das áreas, como exemplo as regiões existentes
sob uma curva. Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as noções de
integrações desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz.
Podemos representar algebricamente uma curva no plano, através de uma lei de
formação chamada Função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar
áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem
diversas aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:
Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na
variável x, entre o intervalo a e b:
24
A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos
retângulos, pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos
retângulos de altura f(x) e base dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à
área de cada retângulo. A soma das áreas infinitesimais fornecerá a área total da
superfície sob a curva.
Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a
seguinte expressão:
Exemplo
Determine a área da região a seguir delimitada pela parábola definida pela
expressão f(x) = – x² + 4, no intervalo [0,2].
25
Determinando a área através da integração da função f(x) = –x² + 4.
Portanto, a área da região delimitada pela função f(x) = –x² + 4, variando de -2 a
2, é de 10,6 unidades de área.
Fonte: http://www.brasilescola.com
Passo 2
Leiam o desafio abaixo:
26
Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e
S2 são,
respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.
Figura 1. Figura 2.
Resolução:
Figura 1:
f(x) = 1/x
Integral de lnIxI entre x=1 e x=2.
= ln2 – ln1 = 0,6931 u.a.
Figura 2:
f(x) = 4/x
Integral de 4lnIxI entre x=0 e x=4.
= 4ln4 – 4ln0 = 5,5452 u.a.
Figura I é verdadeira
Figura II é falsa
Podemos afirmar que:
(a) (I) e (II) são verdadeiras
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa (x)
(d) (I) e (II) são falsas
Passo 3 (Equipe)
27
Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio
dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Para o desafio:
Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c). (x)
Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).
Passo 4
Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome
de Relatório 3 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a seqüência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
Conclusão do Desafio
Referente às respostas obtidas com os desafios desenvolvidos, podemos concluir
que, a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído de um poço de
petróleo recém descoberto é de 30.194,8.
ETAPA 4
PASSOS
28
PASSO 1
Historia do calculo do volume de um sólido
Sólidos e Superfícies de Revolução
Ao fazermos uma região do plano girar em torno de uma reta fixa qualquer do
plano, obtemos uma figura espacial, um sólido, denominado Sólido de Revolução.
A reta fixa em torno da qual ocorre o giro é denominada Eixo de Revolução.
Vejamos um exemplo deste sólido:
Ao fazer o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 3, y = 0 e
y = 2 girar em torno do eixo y, obtemos um cilindro (cilindro de revolução).
Volume de Sólidos de Revolução
Vamos agora a um dos mais interessantes problemas que ligam o Cálculo à
Geometria Analítica, que é o de determinar, através da Integral Definida, uma
expressão para o volume de um sólido de Revolução associado ao gráfico de uma
função y = f (x).
Suponhamos para isso, primeiramente, que f (x) seja uma função contínua e não-
negativa no intervalo [a, b]. Consideremos então uma partição P deste intervalo [a,
b], dada por a = x0 < x1 < x2 < . . . < xi < xi+1 < . . . < xn−1 < x0 = n.
Denotemos (como nas outras vezes) por Δxi o comprimento de cada subintervalo
[xi−1, xi ] da partição, ou seja, Δxi = xi − xi−1.
Agora, para cada um desses subintervalos [xi−1, xi ], vamos considerar o
retângulo Ri de base Δxi e altura igual f (ci ), onde ci ∈ [xi−1, xi ]. Fazendo este
29
retângulo girar em torno do eixo dos x, obtemos um cilindro de revolução cujo
volume é, da conhecida fórmula da Geometria Espacial,
V(ci ) = πr 2 · h = π[f (ci )]2Δxi .
Logo, a soma dos volumes dos n cilindros originados a partir dos n retângulos da
partição é dada por:
e esta soma, analogamente ao que aconteceu no caso do comprimento de arco e
da área sob a curva y = f (x), nos dá uma boa aproximação do que na verdade é o
volume V do sólido gerado pela rotação desta curva.
À medida que tomamos n muito grande, o valor da soma dos volumes dos
cilindros ci , dado, pela expressão acima, aproxima-se cada vez mais do volume
do referido sólido, o que nos permite então escrever
Observando, agora, que a expressão denota uma soma de Riemann
para a função [f (x)]^2 e lembrando que f (x) é supostamente contínua (o que faz
com que exista limite acima), podemos finalmente escrever:
é a expressão que define o volume V procurado.
Fonte: http://www.ead.ftc.br
PASSO 2
Desafio A
30
A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da
curva dada por y=4√x de 1/4≤ x ≤4 é: 2π/3 . (128√2 - 17√7) u.a. Está correta
essa afirmação?
Resolução:A = 2π∫〖f(y) √1+[f`(y)]^2 dy〗2π∫(1/4)^4〖4√x.√1+4/x dx〗2π∫(1/4)^4〖4√x.√x+4/(√x) dx〗8π∫(1/4)^4〖√x+4dx〗8π〖(x+4)〗^(3/2)/(3/2) = (4,1/4)┤ → 16π/3(8^(3/2) – 〖(17/4)〗^(3/2)) = 2π/3(128√2 - 17√17) u.a.
Desafio B
Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y =
2, da região R delimitada pelos gráficos das equações: y = sen x , y = (sen x)^3
de x = 0 até x=π/2?
(a) 3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.
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Resolução:π∫〖〖(f(x)- c)〗^2- 〖(f(x)- c )〗^2 dx〗π∫〖〖(senx-2)〗^2- 〖(〖sen〗^3 x- 2 )〗^2 dx〗π∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 senx+4-(〖sen〗^6 x-4 〖sen〗^3 x+4)dx〗π∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 senx+4- 〖sen〗^6 x+4 〖sen〗^3 x-4 dx〗π[∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 ∫_0^(π/2)〖senx- ∫_0^(π/2)〖〖sen〗^6 x+4 ∫_0^(π/2)〖〖sen〗^3 x〗〗〗〗]π[(-senx cosx)/2+ x/2+ 4 cosx+ 1/6 〖sen〗^5 x cos5 senx cosx+15/48 sen x cosx-15/48+4(-cosx+(〖cos〗^3 x)/3)]π[(π/2)/2-(15 π/2)/48-(4+4(-1+1/3))]^24
π[(π/2)/2-(15 π/2)/48-(4-8/3)]
π[(π/2)/4-(15 π/2)/96-4+8/3]
π[π/4-15π/96-4/3]
π[(24π-15π-128)/96]
(〖24π〗^2-〖15π〗^2-128π)/96 = 3,26 u.v
Passo3
Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada.
Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.
Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos
realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.
Para o desafio A:
Associem o número 4, se a resposta estiver certa. (X)
Associem o número 9, se a resposta estiver errada.
Para o desafio B:
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a). (X)
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).
Passo 4
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Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome
de Relatório 4 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
3. colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados
indicando por meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que
poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresa
Petrofuels.
Conclusão do Desafio
Referente às respostas obtidas com os desafios desenvolvidos, podemos concluir
que, a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído de um poço de
petróleo recém descoberto é de 301,948,48
CONCLUSÃO
Conforme estudo realizado sobre primitivas de funções, integrais indefinidas e
definidas, é possível concluir que na Integral Indefinida o resultado final é sempre
uma função, já na Integral Definida tem-se a resolução de uma função final.
Existem várias formas de integração: substituição, por partes, cadeia, etc. Cada
uma delas é utilizada de uma forma diferente e para resoluções de funções
diferentes, neste estudo foi possível conhecer e entender a aplicação de cada
uma, através dos diferentes exercícios resolvidos. Conclui-se que, com o
conhecimento e o domínio das integrais é possível resolver qualquer função de
uma variável.
BIBLIOGRAFIA
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5. Uma Breve Introdução à Historia do calculo diferencial e integral, BATISTA,
Roberto Jr.;
6. STEWART, James. Cálculo - volume I. São Paulo: Pioneira Thompson
Learning, 2002. 4ª edição;
7. Site http://www.brasilescola.com, visita em 10/09/2015 ás 16:35;
8. Site http://www.ead.ftc.br, visita em 12/09/2015 ás 09:45;
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