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ELETRICIDADE CA

Aula 02 Elementos de circuitos e nmeros complexos

Prof. Jos Daniel de Alencar Santos jdaniel@ifce.edu.br

Escola Tcnica Aberta do Brasil - ETEC Instituto Federal do Cear - IFCE

Fortaleza - CE 2014

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Sumrio Apresentao....................................................... 03

Tpico 1 - Para comeo de conversa ................. 04

Tpico 2 - Elementos de circuitos ....................... 05

2.1 Consideraes iniciais ................................... 05

2.2 Resistor .......................................................... 05

2.3 Capacitor ....................................................... 07

2.4 Indutor ........................................................... 09

Tpico 3 - Nmeros complexos .......................... 12

3.1 Consideraes iniciais .................................. 12

3.2 Definies ..................................................... 13

3.3 Formas de Representao ........................... 15

Concluso ........................................................... 20

Referncias ........................................................ 21

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Apresentao

Nesta aula, estudaremos os elementos bsicos que constituem os

circuitos em corrente alternada. So eles: os resistores, os

indutores e os capacitores.

Verificaremos como cada um desses elementos se comporta

quando alimentados por uma tenso ou uma corrente alternada e

senoidal. Na sequncia, tambm estudaremos a teoria dos

nmeros complexos, focando suas definies e formas de

representao, as quais sero muito utilizadas no decorrer da

nossa disciplina.

Objetivos

q Entender o comportamento dos elementos passivos

(resistores, indutores e capacitores) em circuitos eltricos

excitados por fontes alternadas e senoidais.

q Identificar as formas de onda de tenso e corrente em

cargas resistivas, capacitivas e indutivas.

q Compreender a teoria dos nmeros complexos, bem como

suas operaes e formas de representao em circuitos de

corrente alternada.

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Tpico 1 - Para comeo de conversa

Para a anlise de circuitos eltricos, seja em corrente contnua ou

em corrente alternada, utilizamos as leis de Kirchhoff para

escrever as equaes que regem o comportamento do circuito.

Os mtodos matemticos so empregados aos circuitos eltricos

em corrente alternada para determinar uma tenso (funo do

tempo) a partir da aplicao de uma corrente, ou o contrrio, uma

corrente (funo do tempo) a partir da aplicao de uma tenso.

A tenso ou a corrente determinada uma composio de duas

partes: uma transitria, que geralmente dura uma pequena frao de tempo; e uma parte que corresponde ao regime permanente ou estacionrio, que permanece at que o circuito sofra alguma nova alterao.

Os tpicos desta aula tratam de circuitos eltricos em regime

permanente. O estudo do regime transitrio dos elementos de

circuito no faz parte do propsito da nossa disciplina, pois

envolve ferramentas matemticas no contempladas no ensino

mdio.

A lei de Kirchhoff das correntes LKC estabelece que a soma das correntes que entram em um n igual a soma das correntes que saem deste mesmo n. J a lei de Kirchhoff das tenses (LKT) estabelece que a soma algbrica de todas as tenses em um caminho fechado (ou malha) zero.

Para relembrar sobre as leis de Kirchhoff acesse < http://www.infoescola.com/eletricidade/leis-de-kirchhoff>

Objetivo q Relacionar o uso das leis de Kirchhoff para compreender as

equaes que regem o comportamento do circuito.

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Tpico 2 - Elementos de circuitos

2.1 Consideraes iniciais

Os elementos passivos e ideais do circuito possuem apenas uma das seguintes propriedades: resistncia, capacitncia e

indutncia. Estes so representados por resistor (R), capacitor (C)

e indutor (L).

importante esclarecer que R dissipa imediatamente qualquer energia recebida, enquanto C e L armazenam energia,

respectivamente, no campo eltrico e no campo magntico,

devolvendo posteriormente essa energia.

2.2 Resistor

Carga Resistiva

Observe a figura 2.1, em que uma fonte de tenso alternada

senoidal alimenta uma carga puramente resistiva de valor R.

A resistncia medida em ohms (), a capacitncia em farads (F) e a indutncia em henrys (H).

Objetivos q Entender o comportamento dos elementos passivos

(resistores, indutores e capacitores) em circuitos eltricos

excitados por fontes alternadas e senoidais.

q Identificar as formas de onda de tenso e corrente nas

cargas resistivas, capacitivas e indutivas.

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Fig. 2.1 Circuito puramente resistivo ref. [3], pag.63

A fonte de tenso desenvolve uma corrente diretamente

proporcional ao valor da tenso, quando aplicada sobre o resistor

(R).

Matematicamente:

em que:

As formas de onda da tenso e da corrente no resistor so

mostradas na figura 2.2, em que ambas crescem e decrescem

nos mesmos instantes.

v(t) = V = Vmaxsen(t) i(t) = iR

No resistor, as

formas de onda de

tenso e corrente

esto em fase.

O que diferencia a forma da onda uma da outra so apenas os valores de amplitude.

o que a lei de

Ohm explica:v = Ri

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Fig. 2.2 Tenso e corrente em uma carga resistiva ref. [2], pag.08

A razo entre a tenso e a corrente no resistor, em qualquer

instante de tempo, a prpria resistncia.

2.3 Capacitor

Carga capacitiva

Na figura 2.3, a fonte de tenso alternada senoidal alimenta uma

carga puramente capacitiva de valor C.

Fig. 2.3 Circuito puramente capacitivo ref. [3],

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Para a tenso de alimentao:

A corrente no capacitor (iC) dada pela expresso:

Conforme comentado na aula passada, a funo cosseno

deslocada 90 em relao funo seno. Assim, h um

deslocamento de =90 entre a tenso e a corrente no capacitor, conforme pode ser verificado na figura a seguir.

Fig. 2.4 Corrente adiantada 90 em relao tenso ref. [2], pag.09

Podemos dizer que a corrente no capacitor ideal est adiantada de 90 em relao a onda de tenso.

v(t) = V = Vmaxsen(t)

Esta expresso que representa a corrente do capacitador obtida atravs de uma operao matemtica chamada derivada. Para complementar seus estudos, pesquise sobre a expresso derivada. Como sugesto, segue o link: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAA5ngAL/teoria-limite-derivadas

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A razo entre a tenso e a corrente no capacitor dada por:

em que Xc denominada reatncia capacitiva, e dada em ohms ().

2.4 Indutor

Carga indutiva

A figura 2.5 apresenta a fonte de tenso alternada senoidal que

alimenta uma carga puramente indutiva de valor L.

Fig. 2.5 Circuito puramente indutivo ref. [3], pag.66

Para a tenso de alimentao:

A corrente no indutor (iL) dada pela expresso:

v(t) = V = Vmaxsen(t)

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A tenso auto-induzida sobre o indutor L, descrita pela lei de Lenz, vlida para situaes que envolvem correntes variveis.

No caso do indutor, a forma de onda corrente atrasada em relao forma de onda da tenso em =90, conforme mostra a figura 2.6.

A razo entre a tenso e a corrente no indutor dada por:

em que XL denominada reatncia indutiva, e medida em ohms ().

A lei de Lenz afirma que o sentido da corrente gerada pela induo eletromagntica no sentido de se opor variao do campo magntico que lhe deu origem.

Fig. 2.6 Corrente atrasada 90 em relao tenso ref. [2], pag.11

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Resumo

Apresentamos a seguir um resumo das expresses para tenso e

corrente nos elementos de circuitos (R, L e C).

Elemento Tenso para

i = Im sen t

Tenso para

i = Im cos t

Resistncia R vR = RIm sen t vR = RIm cos t

Indutncia L vL = LIm cos t vL = LIm (- sen t)

Capacitncia C vC = Im (- cos

t)C vC = Im sen t

C

Tab. 1 Tenso em cada elemento, para uma corrente senoidal adaptada da ref. [1]

Elemento Tenso para

v = Vm sen t

Tenso para

v = Vm cos t

Resistncia R IR = Vm sen t

R

IR = Vm cos t

R

Indutncia L iL = Vm (- cos

)

L

tiL = Vm sen t

L

Capacitncia C IC = CVm cos t

IC = CVm (-sen t)

Tab. 2 Corrente em cada elemento, para uma tenso senoidal adaptada da ref. [1]

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Tpico 3 - Nmeros complexos

3.1 Consideraes inicias

A melhor forma de analisar grande parte dos circuitos CA

usando nmeros complexos.

Podemos dizer que a lgebra dos nmeros reais (lgebra comum)

aplicada na anlise de circuitos CC, enquanto a lgebra dos

nmeros complexos aplicada na anlise de circuitos CA.

Como veremos no decorrer da nossa disciplina, as tenses e

correntes senoidais so transformadas e representadas na forma

de nmeros complexos, e passam a ser chamadas de fasores.

Alm disso, as resistncias, indutncias e capacitncias tambm

so transformadas em nmeros complexos, e so chamadas

impedncias.

O vdeo < https://www.youtube.com/watch?v=pOCUumUAkhA> apresenta uma breve explicao sobre os nmeros complexos.

Objetivo q Compreender a teoria dos nmeros complexos, bem como

suas operaes e formas de representao em circuitos de

corrente alternada.

Podemos encontrar maiores informaes sobre os nmeros complexos no captulo 2 da nossa apostila, disponvel em sua biblioteca virtual.

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3.2 Definies

O conceito de nmero complexo ou nmero imaginrio foi

introduzido com o intuito de representar razes quadradas de

nmeros negativos, cujos resultados no fazem parte do conjunto

dos nmeros reais.

Pela definio da unidade imaginria (j2 = -1), pode-se deduzir

que:

j3 = j2 j = -j

j4 = j2 j2 = 1

j5 = j4 j = j

j6 = j5 j = -1

j7 = j6 j = -j

j8 = j7 j = 1

j9 = j8 j = j

j10 = j9 j = -1

(e assim sucessivamente).

Um nmero complexo na forma retangular formado por uma parte real e uma parte imaginria, conforme mostra a

representao a seguir:

z = a + jb, em que a e b so nmeros

reais

a parte real b parte imaginria

possvel

representar a raiz

quadrada de um

nmero negativo

usando o nmero imaginrio j.

Exemplos:

Um nmero complexo pode ser representado de diferentes formas, dentre as quais se destacam a forma cartesiana e a forma polar, que ser tratada na prxima seo.

Denomina-se

unidade

imaginria o

nmero j, tal que

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Exemplo: z = 1,5 j3 (a = 1,5 e b = -3)

Um nmero complexo pode ser tambm representado por um

ponto no chamado plano complexo, como mostra a figura a

seguir.

Fig. 2.7 Plano complexo ref. [4], pag.343

No plano complexo, o eixo horizontal chamado de eixo real, e o eixo vertical chamado de eixo imaginrio.

Analisando o plano complexo representado na figura 2.7, temos:

Z1 = 6 Z2 = 2 j3 Z3 = j4 Z4 = -3 + j2 Z5 = -4 j4 Z6 = 3 + j3

As potncias de j s podem assumir os valores: +1, -1, +j e j.

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Nos exemplos anteriores, Z1 um nmero real, pois sua parte

imaginria nula, enquanto Z3 dito como um nmero puramente

imaginrio, pois sua parte real nula.

3.3 Formas de Representao

J que aprendemos a representao de um nmero complexo na

forma cartesiana, agora entenderemos como represent-lo nas

formas trigonomtrica, exponencial e polar.

Considerando o nmero complexo z = a + jb, mostrado na figura 2.8.

Aplicando as relaes trigonomtricas de um tringulo retngulo,

podemos escrever as partes real e imaginria de z como:

Assim:

A forma de representar um nmero complexo como z = r (cos + jsen ) chamada de forma trigonomtrica.

a = r cos b = r

z = a + jb = r(cos + jsen)

Fig. 2.8 Representao polar de z ref. [4],pag.346

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em que r chamado de mdulo ou valor absoluto de z, e o ngulo chamado de argumento ou ngulo de fase de z. O mdulo e o argumento so calculados pelas expresses:

So quatro as possibilidades:

Agora que vimos como escrever um nmero complexo na forma

retangular e na forma trigonomtrica, aprenderemos uma terceira

Dependendo do quadrante em que o nmero complexo z estiver localizado, precisamos ter cuidado na determinao do valor correto de .

z = a + jb = arctg(b/a) (1QUADRANTE) z =-a + jb = 180- arctg(b/a) (2QUADRANTE) z = -a - jb = 180+ arctg(b/a) (3QUADRANTE) z = a - jb = 360- arctg(b/a) (4QUADRANTE)

Fig. 2.9 Representao dos quadrantes ref. [5].

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forma de representar esses nmeros. Trata-se da forma exponencial.

Para isso, precisamos apresentar a conhecida frmula de Euler,

que expressa por:

Com a aplicao da frmula de Euler, um nmero complexo z = a + jb pode ser escrito na forma exponencial como:

Mostraremos agora uma ltima forma de representar nmeros

complexos, que inclusive amplamente utilizada em anlise de

circuitos CA. a representao na forma polar, a qual definida

como:

em que novamente r o mdulo de z, e o seu argumento.

ej = cos + jsen

e a base do logaritmo natural. e = 2,718...

z = rej

z = r(cos + jsen)

Observe que a forma exponencial bem parecida com a forma polar na representao de um nmero complexo.

Relembrando: r o valor absoluto de z. O ngulo o ngulo de fase de z.

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Nesta aula, trabalhamos com quatro formas diferentes de

representar um nmero complexo, resumidas na tabela abaixo:

Forma retangular Z = a + jb

Forma trigonomtrica Z = r (cos + jsen)

Forma exponencial Z = rej

Forma polar Z = r

Tab. 3 - Formas de representar um nmero complexo

A seguir, alguns exemplos de representaes de nmeros

complexos.

EXEMPLO 01: Transformar para a forma polar os seguintes

nmeros complexos:

a) z = -4 j3

b) z = -j4

RESOLUO:

a) para calcularmos o mdulo:

e para calcularmos o argumento:

Assim, o nmero na forma polar :

Para representar os nmeros complexos, utilizaremos em nossa disciplina somente as formas cartesiana e polar.

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b) j4 um nmero puramente imaginrio e, portanto, est localizado no eixo vertical do plano complexo. Se ele est no eixo

vertical, seu argumento ou 90ou 270. Pelo sinal negativo,

podemos concluir que a segunda opo a correta neste

exemplo.

Portanto:

EXEMPLO 02: Transformar os seguintes nmeros complexos

para a forma cartesiana:

a)

b)

RESOLUO:

a)

b)

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importante que todos tenham entendido tudo que vimos at o

momento sobre os nmeros complexos, para que possamos

estudar na prxima aula as operaes de adio, subtrao,

multiplicao e diviso entre esses nmeros.

Concluso

Nessa aula, comeamos a aprofundar nossos estudos em

eletricidade CA. Inicialmente, tratamos dos elementos passivos de

circuitos (R, L e C), verificando seus comportamentos com

excitaes de tenso ou corrente, com formas de onda alternadas

e senoidais. Na sequncia, vimos a teoria dos nmeros

complexos, envolvendo suas definies e formas de

representao.

importante salientar que j na prxima aula faremos uso dos

elementos passivos aqui tratados e da teoria dos nmeros

complexos para definirmos fasores e impedncia.

Voc agora pode explorar ainda mais os temas tratados. Estude

tambm pelo material postado na biblioteca virtual e pesquise

outras fontes na internet.

Bom trabalho!

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Referncias

[1] ALBUQUERQUE, R. O. Circuitos em Corrente Alternada. 2 ed. So Paulo: Makron Books, 1991.

[2] PEREIRA, A. H. Eletricidade CA. Apostila, 2010.

[3] FREITAS, J. A. L.; ZANCAN M. D. Eletricidade. Santa Maria: Universidade Federal: Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria,

2008.

[4] O'MALLEY, J. Anlise de Circuitos. 2 ed. So Paulo: Makron Books, 1993.

[5] Mundo CNC. Conceitos Bsicos em CNC's. Disponvel em http://www.mundocnc.com.br/conceito2.php. Acesso em:

14/01/2014.