Aula 03 “Modelização de Sistemas” - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~felippe/texts/contr_systems_ppt03p.pdf · diferencial (de 2ª ordem), ou seja, têm o mesmo modelo : condições

Aula 03

“Modelização de Sistemas”

entrada

(input)

saída

(output)

Modelização de Sistemas ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

carro / massa / mola



entrada

(input)

saída

(output)

força aplicada deslocamento



2ª Lei de Newton

,uxkxxm +′µ−−=′′logo

Sir Isaac Newton, 1643-1727


,uxkdt

dx

dt

xdm

2

2

=+µ+

ou

,ukxxxm =+′µ+′′


e portanto,


m = 1 kgµ = 4 N·s/m k = 3 N/m


Agora, se dermos valores para o m, µ e k :


==′

=+′µ+′′=+µ+

b)0(x,a)0(x

,ukxxxmxkdt

dx

dt

xdm

2

2

m = 1 kg µ = 4 N·s/m k = 3 N/m



==′

=+′+′′=++

b)0(x,a)0(x

,ux3x4xx3dt

dx4

dt

xd

2

2

e o modelo torna-se em:m = 1 kg µ = 4 N·s/m k = 3 N/m



movimento translacional mecânico

problema similar ao

anterior




(forma

equivalente

na vertical)


problema similar ao

anterior



entrada (input)

saída (output)

força aplicada


deslocamento


,uxkdt

dx

dt

xdm

2

2

=+µ+


,ukxxxm =+′µ+′′ou


Novamente, usando a 2ª Lei de Newton,obtém-se:

ukxxxm

xkdt

dx

dt

xdm

2

2

=+′µ+′′=

=+µ+

b)0(x,a)0(x ==′

movimento translacional mecânicocarro / massa / mola ou

Portanto, estes 2 sistemas são descritos pela mesma equação diferencial (de 2ª ordem), ou seja, têm o mesmo modelo:

condições iniciais:


==′

=+′µ+′′=+µ+

b)0(x,a)0(x

,ukxxxmxkdt

dx

dt

xdm

2

2


movimento translacional mecânicocarro / massa / mola ou

m = 1 kg

µ = 4 N·s/m

k = 3 N/m

movimento translacional mecânicoAgora, dando os mesmos valores para o m, µ e kque foram dados para o problema carro / massa / mola, temos:


==′

=+′µ+′′=+µ+

b)0(x,a)0(x

,ukxxxmxkdt

dx

dt

xdm

2

2

m = 1 kg µ = 4 N·s/m k = 3 N/m

carro / massa / mola movimento translacional mecânicoou


==′

=+′+′′=++

b)0(x,a)0(x

,ux3x4xx3dt

dx4

dt

xd2

2

carro / massa / mola movimento translacional mecânicoou

(ambos possuem o mesmo modelo)

m = 1 kg µ = 4 N·s/m k = 3 N/m



Observação:

Note que se µ = 0

Este sistema torna-se o “oscilador harmónico”.


circuito RLC série

circuito RLC série

tensão na entrada

tensão na saída


entrada (input)

saída (output)

tensão na entrada tensão na saída

circuito RLC série


,0vvRCvLCv oooi =−′−′′−

Lei de Kirchhoff para malhas:

Gustav Kirchhoff, 1824-1887

logo


,vvdt

dvRC

dt

vdLC io

o

2

o

2

=++

,vvvRCvLC iooo =+′+′′

ou

circuito RLC série

e portanto,

Logo, este sistema também é descrito por uma equação diferencial (de 2ª ordem).


iooo

oo

2

o

2

vvvLCvRC

vdt

dvRC

dt

vdLC

=+′+′′=

=++

b)0(v,a)0(v oo ==′

circuito RLC série

Ou seja, o modelo deste sistema é uma equação diferencial(de 2ª ordem):

condições iniciais:


==′

=+′+′′=++

b)0(v,a)0(v

,vvvRCvLCvdt

dvRC

dt

vdLC

oo

iooooo

2

o

2

circuito RLC série


R = 1000 ΩL = 250 H

C = 1,333 x 10-3 F

circuito RLC série Dando valores

para o R, L e C:


==′

=+′+′′=++

b)0(v,a)0(v

,vvvRCvLCvdt

dvRC

dt

vdLC

oo

iooooo

2

o

2

R = 1000 Ω

L = 250 HC = 1,333 x 10-3 F

circuito RLC série


==′

=+′+′′=++

b)0(v,a)0(v

,vvvRCvLCvdt

dvRC

dt

vdLC

oo

iooooo

2

o

2

R = 1000 Ω

L = 250 H C = 1,333 x 10-3 F

circuito RLC série


==′

=+′+′′=++

b)0(v,a)0(v

,v3v3v4vv3dt

dv4

dt

vd

oo

iooooo

2

o

2

circuito RLC série


R = 1000 Ω

L = 250 H C = 1,333 x 10-3 F

movimento rotacional mecânico


x(t) = momento aplicado ao sistema entrada/input [N∙m];

ω(t) = velocidade angular saída/output [rad/s];

J = momento de inércia [kg ∙m2];

µ = coeficiente de fricção viscosa [N∙m /rad/s]


entrada (input)

saída (output)

momento (ou torque) aplicado

velocidade angular



,x=ωµ+ω′J


Usando a Lei de Newton para sistemas rotacionais

,'momentos ω= J

tem-se que


x

dt

d

=µω+ω′=

=ωµ+ω

J

J

a)0( =ω


Logo, este sistema é descrito por uma equação diferencial(de 1ª ordem):

condição inicial:


=ω

=µω+ω′=µω+ω

a)0(

,xdt

dJJ


Ou seja, o modelo deste sistema é uma equação diferencial(de 1ª ordem):


=ω

=µω+ω′=µω+ω

a)0(

,xdt

dJJ


Agora, dando valores para o J e µ:

J = 0,5 kg/m2

µ = 2 N∙m /rad/s


=ω

=µω+ω′=µω+ω

a)0(

,xdt

dJJ


Agora, dando valores para o J e µ: µ = 2 N∙m /rad/sJ = 0,5 kg/m2


=ω

=ω+ω′=ω+ω

a)0(

,x244dt

d



um sismógrafo

xi(t) = deslocamento da caixa em relação ao espaço inercial;

xo(t) = deslocamento da massa m em relação ao espaço inercial;

y(t) = deslocamento da massa m em relação à caixa.

sismógrafo

y(t) = [xo(t) - xi(t)]


entrada

(input)

saída

(output)

deslocamento

da caixa

deslocamento

da massa m

sismógrafo


Novamente, pela 2ª Lei de Newton

Sir Isaac Newton, 1643-1727

,)xx(k)xx(xm ioioo −−′−′µ−=′′e portanto,

,xm)xx(k)xx()xx(m iioioio′′−=−+′−′+′′−′′ µ

y’’(t) y’(t) y(t)


logo,

,xmykyym i′′−=+′µ+′′

ou,

,dt

xdmyk

dt

dy

dt

ydm

2

i

2

2

2

−=+µ+

sismógrafo



=′=

′′−=+′µ+′′=

=+µ+

b)0(y,a)0(y

,xmykyym

kydt

dy

dt

ydm

i

2

2

sismógrafo

um servomotor hidráulico

servomotor hidráulico


entrada do sistema (input)

saída do sistema (output)

obtém-se,


ou,


,)t(xK

AK

dt

dy

K

A

dt

ydm

2

1

2

2

2

2

=

ρ+µ+

,)t(xK

AK)t(y

K

A)t(ym

2

1

2

2

=′

ρ+µ+′′


,)t(xK

AK)t(y

K

A)t(ym

2

1

2

2

=′

ρ+µ+′′

A = área do pistão [m2];

ρ = densidade do óleo [kg/m3];

Q = taxa do caudal do óleo que vai para o cilindro de potência (taxa de fluxo de massa)[kg/s];

∆P = (P1 – P2) = diferença de pressão no cilindro de potência (queda na pressão do óleo)[N/m2].

Q = K1 ∙ x – K2 ∙ ∆P


um sistema térmico

sistema térmico


entrada do sistema

(input)

saída do sistema

(output)

sistema térmico

obtém-se,

onde,

sistema térmico

,)t(hR)t(dt

dRC i=θ+θ

hi(t) = taxa de entrada de calor [cal/s];

θ(t) = temperatura do líquido que sai [ºC];

R = resistência térmica (ganho do sistema) [ºC⋅s/cal];

C = capacitância térmica [cal/ºC];

T = RC = constante de tempo do sistema [s].


outros exemplos

)(

2

2

2

2

2

2

2

2

zzyyxx uuuk

z

u

y

u

x

uk

t

u

++=

=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

sistema linearcontínuo, invariante no tempo, com memória e causal

este sistemadescreve a propagação de uma onda noespaço

por equações diferenciais parciais:


[ ] [ ]( ) [ ]nxnnxny 422 −=

Sistema discreto, não linear, variante no tempo, sem memória e causal.

ou por equações de diferenças:


[ ]

[ ]

[ ]

+⋅−=

−+−=

+−⋅=

+−++

=

vxmkxxtNx

xxkxxmkx

kxxxmkx

xmkxxxxxx

sx

µµ

µω

µω

µλθ

θ

1114334

3322014113

202214112

411111321

4

1

)()(

)()1(

)(

)(),,(

&

&

&

&

este sistema acima descreve a dinâmicada evolução da SIDA (AIDS)

Sistemas mais complexos são representados não apenas por uma, mas por várias equações.


Obrigado!

Felippe de [email protected]

Departamento de Engenharia Eletromecânica

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