Aula 04 “Representação de Sistemas” - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~felippe/texts/contr_systems_ppt04p.pdf · Transformada Laplace da saída y(t)-Transformada Laplace da entrada x(t)

Aula 04

“Representação de Sistemas”

Função de Transferência

Relação entre:

Transformada Laplace da saída y(t) -

Transformada Laplace da entrada x(t)

considerando condições iniciais nulas.

Representação de Sistemas______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Pierre Simon Laplace, 1749-1827

X(s) = Transformada Laplace de x(t)

Y(s) = Transformada Laplace de y(t)


entrada (input)

saída (output)



entrada (input)

saída (output)


carro / massa / mola



)s(U

)s(X.T.F =


U(s) = Transformada Laplace de u(t)


entrada (input)

saída (output)

entrada(input)

saída (output)


,uxkdt

dx

dt

xdm

2

2

=+µ+

ou

,ukxxxm =+′µ+′′



==′

=+′+′′=++

0)0(x,0)0(x

,ukxxxmxkdt

dx

dt

xdm

2

2

µµ

logo,

),s(U)s(Xk)s(Xs)s(Xsm 2 =++ µ



e portanto, a Função de Transferência (F.T.) é dada por

ksms

1

)s(U

)s(X.T.F

2 +µ+==



movimento translacional mecânico



)s(U

)s(X.T.F =


U(s) = Transformada Laplace de u(t)


entrada (input)

saída (output)

saída(output)

entrada (input)


,uxkdt

dx

dt

xdm

2

2

=+µ+

,ukxxxm =+′µ+′′ou


==′

=+′+′′=++

0)0(x,0)0(x

,ukxxxmxkdt

dx

dt

xdm

2

2

µµ

logo,

),s(U)s(Xk)s(Xs)s(Xsm 2 =++ µ



e portanto, a Função de Transferência (F.T.) torna-se

ksms

1

)s(U

)s(X.T.F

2 +µ+==



m = 1 kg

µ = 4 N·s/m

k = 3 N/m



m = 1 kg µ = 4 N·s/m k = 3 N/m



carro / massa / mola movimento translacional mecânicoou

Já vimos que estes 2 sistemas são descritos pela mesma equação diferencial (de 2ª ordem) e têm o mesmo modelo.


==′

=+′+′′=++

0)0(x,0)0(x

,ux3x4xx3dt

dx4

dt

xd

2

2



Logo, a Função de Transferência (F.T.) é dada por

3s4s

1

)s(U

)s(X.T.F

2 ++==



Função de Transferência (F.T.) do sistema



circuito RLC série

circuito RLC série


tensão

na entrada

tensão

na saída

)s(V

)s(V.T.F

i

o=

circuito RLC série

Vi(s) = Transformada Laplace de vi(t)

Vo(s) = Transformada Laplace de vo(t)

entrada (input)

saída (output)

saída (output)

entrada(input)


,vvdt

dvRC

dt

vdLC io

o

2

o

2

=++

,vvvRCvLC iooo =+′+′′ou


circuito RLC série

==′

=+′+′′=++

0)0(v,0)0(v

,vvvRCvLCvdt

dvRC

dt

vdLC

oo

iooooo

2

o

2

logo,

),s(V)s(V)s(VsRC)s(VsLC iooo

2 =++


circuito RLC série

e portanto, a Função de Transferência (F.T.) do sistema é dada por

1RCsLCs

1

)s(V

)s(V.T.F

2

i

o

++==


circuito RLC série

R = 1000 ΩL = 250 H

C = 1,333 x 10-3 F


circuito RLC série

==′

=+′+′′=++

0)0(v,0)0(v

,v3v3v4vv3dt

dv4

dt

vd

oo

iooooo

2

o

2


circuito RLC série

e neste caso a Função de Transferência (F.T.) será:


3s4s

3

)s(V

)s(V.T.F

2

i

o

++==

circuito RLC série

Função de Transferência (F.T.)do sistema


circuito RLC série

movimento rotacional mecânico



momento (ou torque)

aplicado

velocidade angular

)s(X

)s(.T.F

Ω=

velocidade angular

momento (ou torque) aplicado

Ω(s) = Transformada Laplace de ω(t)


entrada (input)

saída (output)

saída(output)

entrada(input)



ou

,xJ =ωµ+ω′

,x)t(dt

dJ =ωµ+ω



logo,

),s(X)s()s(sJ =Ωµ+Ω

=ω

=µω+ω′=ωµ+ω

0)0(

xJdt

dJ




µ+=Ω=

Js

1

)s(X

)s(.T.F



J = 0,5 kg/m2

µ = 2 N∙m /rad/s

=ω

=ω+ω′=ω+ω

a)0(

,x244dt

d



e neste caso, a Função de Transferência (F.T.)

4s

2

)s(X

)s(.T.F

+=Ω=






sismógrafo

sismógrafo


)s(X

)s(Y.T.F

i

=

Xi(s) = Transformada Laplace de xi(t)


entrada (input)

saída (output)

deslocamento da caixa

deslocamento da massa m

saída (output)

entrada(input)


sismógrafo

ou

,xmykyym i′′−=+′+′′ µ

,dt

xdmyk

dt

dy

dt

ydm

2

i

2

2

2

−=++ µ


sismógrafo

logo,

=′=

′′−=+′µ+′′=+µ+

0)0(y,0)0(y

,xmykyymkydt

dy

dt

ydm i

2

2

),s(Xsm)s(Yk)s(Ys)s(Ysm i

22 −=+µ+


sismógrafo


ksms

ms

)s(X

)s(Y.T.F

2

2

i +µ+−==


sismógrafo



sismógrafo

Função de Transferência (F.T.)

Observe que depois de calculada a Função de Transferência (F.T.) tem a forma de polinómio/polinómio,

ou seja q(s)/p(s).


As raízes de q(s) são chamadas de zeros do sistema.

As raízes de p(s) são chamadas de polos do sistema.


O polinómio p(s) é chamado de polinómio característico

do sistema.

A equação

p(s) = 0

é chamada de equação característica do sistema.



saída (output)

entrada(input)


saída (output)

entrada (input)

Função de Transferência (F.T.) do sistema

ou simplesmente,

Caixa preta ouBloco simples


Diagramas de Blocos

Com a F.T. pode-se representar sistemas em Diagramas de Blocos:

Bloco simples ou caixa-preta (black box)

Função de Transferência (F.T.)do bloco


Diagramas de Blocos é o tema do próximo capítulo.

Blocos em cascata

Há diversos tipos de ligações possíveis nos blocos, como por exemplo, ‘blocos em cascata’:



Blocos com realimentação:(feedback)

Bloco G(s) com realimentação unitária

Bloco G(s) com realimentação não unitária H(s)

Blocos com realimentação:(feedback)


Obrigado!

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