Aula 06 Teorema Transp Reynolds Cons Massa Vc Final 2014 01

Professor:

Darlan K. E. de Carvalho (Dr.)

Departamento de Engenharia Mecnica

Sumrio 1. Introduo

2. Leis Bsicas para Sistema

3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para

Sistema e Volume de Controle

4. Conservao da Massa para VC

5. Consideraes Finais

6. Bibliografia

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Eq. Bsicas na Forma Integral: Teorema do Transporte

de Reynolds, Conserv. da Massa e Energia.

1. Introduo Nossos objetos de estudo.

I Sistema (fechado): Poro de massa fixa e identificvel.

II - Volume de Controle (Sist. Aberto): Volume no espao atravs do qual a

matria escoa.

Em muitas aplicaes que envolvem fluxo de massa (ex. Fluidos que circulam atravs de equipamentos), preferimos o V.C..

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Figura: Exemplos de sistemas e volumes de controle.

1. Introduo Por qu o Volume de Controle (VC)?

Fluidos so capazes de distoro e deformao contnuas com o tempo, podendo ser difcil seguirmos a mesma poro de massa no espao e no tempo

(descrio Lagrangeana).

Muitas vezes, nos interessamos pelo efeito do escoamento sobre algum dispositivo (ex. bombas, turbinas, compressores, etc) ou estrutura (navios,

plataformas de petrleo, avies, etc).

Obs.: As equaes que estudaremos so obtidas a partir da converso da formulao de sistema para a formulao de volume de controle das equaes bsicas de

conservao (massa e energia).

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2. Leis Bsicas para Sistema Conservao da Massa: Esta Lei Fundamental da natureza exige que a massa M para um sistema fechado seja constante.

A massa, assim como a energia, uma propriedade conservada no podendo ser criada ou destruda durante um processo.

Contudo, massa e energia podem ser convertidas, uma na outra, atravs da equao:

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2E mc

2. Leis Bsicas para Sistema Onde c=2,9979 . 108 m/s a velocidade da luz no vcuo. Esta equao sugere que a massa de um sistema muda quando a energia muda.

Contudo, para a maioria das interaes encontradas na prtica da engenharia, com exceo das reaes nucleares, a mudana de massa muito pequena.

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2. Leis Bsicas para Sistema Conservao da Massa

Escrevendo a conservao da massa para um sistema (fechado), temos:

onde,

sistema

0dM

dt

(sist) (sist) (sist)

sistema

M

dM dm d

v

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2. Leis Bsicas para Sistema 1 Lei da Termodinmica (Conservao da Energia)

Esta Lei Fundamental da natureza estabelece que, para um sistema:

A taxa de transferncia temporal do calor, menos a taxa de trabalho

realizado pelo (ou sobre) o sistema igual taxa temporal de variao da

energia total do sistema, isto :

Obs.: Lembramos que esta lei afirma que a energia no pode ser criada nem destruda, apenas transformada.

sistema

dEQ W

dt

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2. Leis Bsicas para Sistema Onde, a taxa de transferncia de calor do sistema para o meio, a

taxa de trabalho realizado pelo (+) ou sobre (-) o sistema e E a energia

total do sistema, que pode ser calculada como:

Com e=u+V2/2+gz, onde e = energia especfica, u = energia interna especfica, V = mdulo da velocidade, g = o mdulo da

acelerao gravitacional, e z cota do elemento de massa dm.

(sist) (sist) (sist)

( )sist

M

eE edm e d d

v

Q

W

.

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Seja N qualquer propriedade extensiva de um sistema, e a correspondente propriedade intensiva. Neste caso, podemos escrever:

Para as propriedades apresentadas, temos:

(sist) (sist)

(sistema)

M

dN dm

v

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3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para Sistema e Volume de Controle

N (Grandeza Extensiva) (Grandeza Intensiva)

M 1

E e

Considerando um VC e um sistema (poro de fluido) cujas fronteiras coincidem, no instante t, com as regies 1 e 2.

No instante t+t, o sistema ocupa as regies 2 e 3. J o VC continua ocupando as regies 1 e 2.

,

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(e Vol. Cont.)

Tomando a taxa de variao temporal de uma propriedade extensiva N para um sistema, temos:

Expandindo o lado direito dessa equao, temos:

Obs.: Na equao anterior, Ni refere-se a propriedade extensiva na regio i.

0

(sist)

lim S St

N t t N tdN

dt t

3 2 1 20

sist

( )lim

t

N t t N t t N t N tdN

dt t

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Somando e subtraindo N1(t+t) no numerador da equao anterior e re-arrumando os termos, obtemos:

2 1 2 10

sist

3 1

0

( ) ( )lim

( ) ( ) lim

t

t

N t t N t t N t N tdN

dt t

N t t N t t

t

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Notando ainda, que o primeiro limite na equao anterior se refere ao volume de controle (pois o sist. e o V.C. coincidem em 1 e 2), podemos

escrever:

Ou ainda:

3 10 0

sist

lim limVC VCt t

N t t N t N t t N t tdN

dt t t

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3 10

sist

limVCt

N t t N t tdN N

dt t t

Considerando os elementos diferenciais de volume da figura, temos:

onde,

1 1 1 3 3 3 e d tV dA d tV dA

1 1

3 3

1 1 1

3 3 3

( )

( )

SC

SC

N t t d tV dA

N t t d tV dA


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Utilizando as definies para N1(t+t)e N3(t+t), temos:

onde SC a superfcie de controle (superfcie que envolve o volume de

controle).

Lembrando ainda que:

3 10

( )lim

tSC

N t t N t tV dA

t

VC

VC

Nd

t t

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Usando as expresses anteriores, podemos escrever , como:

Este o Teorema do Transporte de Reynolds (TTR), que relaciona as formulaes de sistema e de volume de controle.

Este teorema relaciona a descrio Lagrangeana com a descrio Euleriana para a taxa de variao temporal de uma quantidade extensiva

integral.

sist VC SC

dNd V dA

dt t

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sist

dN dt

Podemos interpretar os termos deste teorema como:

Taxa de variao temporal de qualquer propriedade

extensiva N do sistema;

Taxa de variao temporal da propriedade extensiva N

dentro do volume de controle ;

Fluxo lquido da propriedade extensiva N atravs (para

dentro!) da superfcie de controle;

Obs.: Notar que V medida com respeito ao volume de controle (VC).

sist

dN

dt

VC

dt

N d

SC

V dA

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4. Conservao da Massa para VC Escrevendo o TTR para a massa, com N=M e =1, temos:

Como, para um sistema , temos:

Que o princpio de conservao da massa para um VC.

sist VC SC

dMd V dA

dt t

0sist

dM dt

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0VC SC

d V dAt

4. Conservao da Massa para VC Obs.:

1. O primeiro termo do lado direito da equao anterior representa a taxa de

variao da massa no volume de controle;

2. O segundo termo representa o fluxo de massa atravs das superfcies de

controle (vazo mssica);

3. Esta equao (e suas formas simplificadas) conhecida como Equao da

Continuidade (na forma integral).

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4. Conservao da Massa para VC Casos Especiais da Equao da Continuidade

1. Escoamento Incompressvel: Neste caso, em que =cte, a equao da

continuidade pode ser reescrita, como:

Assumindo um volume de controle indeformvel, i.e., , temos:

0 0VC SC SC

d V dA V dAt t

0SC

V dA

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0t

4. Conservao da Massa para VC O termo

comumente chamado de vazo volumtrica atravs da superfcie de controle.

Numa seo particular A da superfcie de controle, a vazo volumtrica Q dada por:

3 1

Vazao

SC

Q V dA L T

vAA

Q V dA

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4. Conservao da Massa para VC 2. Escoamento Permanente: Neste caso, a equao da continuidade pode

ser reescrita, como:

O termo: a vazo mssica atravs da SC.

1

SC

m V dA M T

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0VC

dt

0SC SC

V dA V dA

4. Conservao da Massa para VC Note que, num escoamento permanente, as vazes volumtricas NO so necessariamente conservadas (escoamento compressvel), porm vazes

mssicas so sempre conservadas

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Figura: Princpio de conservao da massa para uma cmara

de mistura em regime permanente. Figura: Massas so necessariamente conservadas,

volumes no.

4. Conservao da Massa para VC 3. Escoamento Uniforme na Seo: Se considerarmos, adicionalmente, que o

escoamento uniforme numa seo An da superfcie de controle e a

velocidade mdia do fluido nesta seo, temos:

Note que A massa que sai do VC tem sinal (+) e a massa que entra no VC tem sinal (-) devido ao produto interno.

nV

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0

e

0

v n n

nSC

n n n

nSC

Q V dA V A

m V dA V A

.v

m Q

1

n

n n n

n A

V V dAA

nV

4. Conservao da Massa para VC De modo geral, podemos reescrever o princpio de conservao da massa, como:

Onde, em geral:

Lembrando sempre que V a velocidade relativa ao volume de controle (VC).

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entra saiVC

d m mt

m V dA

5. Consideraes Finais Na presente aula fizemos uma introduo ao estudo das leis bsicas na forma integral para V.C.

Inicialmente, revisamos rapidamente as leis de conservao da massa e energia para sistemas fechados.

Em seguida, apresentamos o Teorema do Transporte de Reynolds (TTR), que relaciona as formulaes para sistemas e volumes de controle.

Finalmente, escrevemos o TTR para a massa e comentamos alguns casos simplificados.

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6. Bibliografia [1] Introduo a Mecnica dos Fluidos. Mcdonald, Alan T. Pritchard, Philip J.,

Fox, Robert W. Editora Ltc, 6 Edio 2006.

[2] Mecnica dos Fluidos. Potter, M.C. & Wiggert, D.C., - Editora Thompson.

Traduo da 3 edio Norte-Americana, 2003.

[3] Fundamentos da Termodinmica, G. J. Van Wylen, R. E. Sontag e C.

Borgnakke; 6a edio; Ed. Edgard Blucher, 2003.

[4] Thermodynamics, An Engineering Approach, Y. A. engel, M. A. Boles,

6th Edition, 2006.

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