Captulo 1

JUROSSIMPLESSIMPLES

Juro e Consumo

Existe juro porque os recursos so escassos.

As pessoas tm preferncia temporal: As pessoas tm preferncia temporal: preferem consumir a poupar.

O prmio para quem poupa o juro.

Juro e Capital

O Capital tambm escasso.

O Juro a remunerao pelo uso do capital.capital.

O Juro a remunerao pelo custo do crdito.

Taxa de Juros

Juro e tempo andam juntos.

O juro determinado atravs de um coefi-ciente referido a um dado intervalo de tem-ciente referido a um dado intervalo de tem-po.

O coeficiente corresponde remunerao da unidade de capital empregado por um prazo igual quele da taxa.Ex.: 12 % ao ano.

Taxa de Juros

FORMA PORCENTUALFORMA PORCENTUAL

Na forma porcentual a taxa de juros aplicada a centos docapital.

Ex.: 12% ao ano.Ex.: 12% ao ano.

FORMA UNITRIAFORMA UNITRIA

Na forma unitria a taxa de juros aplicada a unidades docapital.

Ex.: 0,12 ao ano.

CLCULO DO JURO

JURO SIMPLES

A remunerao pelo capital inicial (o principal) diretamente proporcional:

- Ao valor aplicado;

- Ao tempo de aplicao.

(o principal) diretamente proporcional:

CLCULO DO JURO

FRMULA BSICA:

J = C . i . nJ = C . i . n

EXEMPLO

J = C . i . nJ = C . i . nonde:J = JuroC = Capital inicial (Principal)i = Taxa de Juros (na forma unitria)n = prazo de aplicao (na mesma unidade que a taxa)

Exemplo

Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00pelo prazo de 2 anos e taxa de 10% a.a. Qual ser o valora ser pago como juro ?

Resoluo: Capital Inicial (C) = 1.000,00Taxa de juros (i) = 10% a.a. Taxa de juros (i) = 10% a.a. Nmero de perodos (n) = 2 anos

Trabalhando com a taxa de juros na forma unitria, te-mos o juro do primeiro ano como sendo:

J1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00

No segundo ano, teremos:J2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00

O juro total ser a soma do juro devido no primeiro ano(J1) mais o juro devido no segundo ano (J2)

J = J1 + J2J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00

Ou ento, podemos resolver o problema diretamente:

Exemplo

Ou ento, podemos resolver o problema diretamente:

J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1J = 1.000,00 X 0,10 X 2J = $ 200,00

CLCULO DO JURO

JURO SIMPLES

Variaes da frmula bsica.

J = C.i.nJ = C.i.n

inJC =

CnJi =

CiJ

n =

MONTANTE

JURO SIMPLES

Montante a soma do juro mais o capitalaplicado.

EXEMPLO

N = C + Jonde:C= principaln= prazo de aplicaoi = taxa de juros

N = C(1 + in)

ExemploQual o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado taxade 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ?

Resoluo: Capital Inicial (C) = 1.000,00Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Nmero de perodos (n) = 2 anosNmero de perodos (n) = 2 anos

E sendo:N = C(1+in)

Substituindo-se os valores, tem-se:

N = 1.000(1+0,10 x 2)N = 1.000(1+0,20)N = 1.000 x 1,20N = $ 1.200,00

Exemplo

possvel resolver o problema, seguindo-se a definio dada pormontante:

a) Calculando o juro devido:J = CinJ = CinJ = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $ 200,00

b) Somando-se o juro com o principal:N = C + JN = 1.000,00 + 2000,00 = $ 1.200,00

MONTANTE

N = C(1 + in)

JURO SIMPLES

inNC+

=

1 nC

Ni

1=

iC

Nn

1=

TAXA PROPORCIONAL

JURO SIMPLES

A taxa i1 (referida ao perodo n1) proporcional taxa i2 (referida ao perodo n2) se:

Ou ainda:

EXEMPLO

2

1

2

1

ii

n

n=

ii11.n.n22 = i= i22.n.n11

Ou, do mesmo modo, se:

Ou ainda:

2

2

1

1

n

in

i=

ExemploVerificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano so proporcionais.

Resoluo: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.

i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a.n1 = 3 mesesn = 12 meses

2

1

2

1

n

n

ii

=

n2 = 12 meses

Como:

Substituindo-se os valores:

que so grandezas proporcionais, porque o produto dos meios(0,20 x 3) igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo, as taxas dadas so proporcionais.

123

20,005,0

=

ExemploSendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxaproporcional mensal.

Resoluo: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.

n1 = 12 mesesi = ?

2

1

2

1

n

n

ii

=

11224,0

2=

i

i2 = ?n2 = 1 ms

E, como: tem-se:

0,24 x 1 = i2 x 12 ou i = 2% a.m...02,01224,0

2 mai ==

TAXA EQUIVALENTE

Duas taxas de juros so equivalentes se:

aplicadas ao mesmo capital;

EXEMPLO

pelo mesmo intervalo de tempo.

=> Ambas produzem o mesmo juro.

No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais so igualmente equivalentes.

ExemploSeja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa-mente taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo deaplicao de 2 anos, verificar se as taxas so equivalentes.

Resoluo:

Aplicando o principal taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2anos, teremos o juro de:anos, teremos o juro de:

J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00Aplicando o mesmo principal taxa de 24% a.a. por 2 a-

nos, teremos um juro igual a:J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00

Constatamos que o juro ser gerado igual nas duas hi-pteses e, nestas condies, conclumos que a taxa de 2% a.m. equivalente taxa de 24% a.a.

PERODOS NO-INTEIROS

Quando o prazo de aplicao no um nmero in-teiro de perodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o seguinte:

I) Calcula-se o juro correspondente parte inteira de pe-

EXEMPLO

I) Calcula-se o juro correspondente parte inteira de pe-rodos.

II) Calcula-se a taxa proporcional frao de perodo queresta e o juro correspondente.

O juro total a soma do juro referente parte in-teira com o juro da parte fracionria.

ExemploQual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que aplicado taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ?

Resoluo:

Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:5 x 2 semestres = 10 semestres9 meses = 1 semestre e 3 mesesOu seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3

meses.

a) Clculo do juro:1 etapa:

J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00

Exemplo2 etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre:

Portanto: J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00Logo, o total de juros :

..06,0212,0

tam

iim ===

..06,0212,0

tam

iim ===

Logo, o total de juros :

J = J1 + J2J = 1.320,00 + 60,00J = =$ 1.320,00 ====== CORRIGIR

Observe-se que a soluo se obtm mais rapidamente lembran-do-se que 3 meses igual a 0,5 semestre e, nestas condies,5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres:

Exemplo

J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00

b) Montante:

O montante :

N = C + JN = 1.000,00 + 1.380,00 N = $ 2.380,00

Evidentemente poderamos obter o mesmo resultado ra-ciocinando por etapas para obter o montante.

JURO EXATO

Juro Exato aquele em que:

o perodo a que se refere a taxa est expresso em dias.

EXEMPLO

dias.

adotada a conveno do ano civil.

365CinJe =

ExemploQual o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que aplicadopor 40 dias e taxa de 36% a.a. ?

Resoluo:

Cin365CinJe =

52,394$365

4036,0000.10==

xxJe

JURO COMERCIAL

Juro comercial aquele em que:

o perodo a que se refere a taxa est expresso em dias.

EXEMPLO

adotada a conveno do ano comercial:

360CinJe =

ExemploCalcular o juro comercial correspondente ao exerccio do item an-terior.

Resoluo:

360CinJc =360

00,400$360

4036,0000.10==

xxJc

Observe que, nas mesmas condies de aplicao, o juro comer-cial maior que o juro exato.

DIAGRAMAS DE CAPITAL NO TEMPO

Representam o fluxo de dinheiro no tempo;

Representam o fluxo de caixa: entradas e sadas de di-nheiro;nheiro;

Graficamente:

(PERODOS)

Entradas (+)

Sadas (-)

1 20

1000

500

2000

VALOR NOMINAL

quanto vale um compromisso na data do seuvencimento.

Exemplo:Uma pessoa aplicou uma quantia hoje evai resgat-la por 20.000 daqui a 12 me-vai resgat-la por 20.000 daqui a 12 me-ses.

20.000 o valor nominal da aplicao no ms 12.

20.000

120(meses)

VALOR ATUAL

o valor que um compromisso tem em uma dataque antecede ao seu vencimento.

20.000

6 120

c

c o valor atual da aplicao de 20.000, na data 6.=> Para calcular c, precisamos saber qual a taxa dejuros.

(meses)

VALOR FUTURO

Corresponde ao valor do ttulo em qualquer dataposterior que estamos considerando no momento.

Exemplo: Uma pessoa possui 10.000 hoje.

EXEMPLO

60

10.000

c

(meses)

c o valor futuro de 10.000 na data 6.=> Para calcular c, precisamos saber qual a taxa dejuros.

Exemplo1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicao, um ttulo que ir valer $ 24.000,00 noms 12.

a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15.000,00.Ento, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplica-o, do seguinte modo:

Resoluo:

N = C (1+in)N = 24.000,00C = 15.000,00i = ?n = 12 meses

ExemploNestas condies:

24.000 = 15.000 (1+ i.12)

Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma no se altera:

)12.1(000.15000.24 i+000.15

)12.1(000.15000.15000.24 i+

=

Logo: 1,6 = 1 + i.12Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma no se

altera:1,6 -1 = 1 -1 + i.120,6 = i.12

ExemploE dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te-mos:

1212.

126,0 i

=

Logo: i = 0,05

1212.

126,0 i

=

Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi oms, a taxa tambm fica referida ao mesmo intervalo de tem-po.Ou seja:

i = 0,05 ao msOu, o que d no mesmo:

i = 5% ao ms.

Exemplob) Vamos admitir agora que no sabemos qual o valor aplicado, masque conhecemos a taxa de aplicao, que de 6% ao ms. Neste caso podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que correspon-de ao prprio valor aplicado:

N = C (1 + i.n)Onde: N = 24.000,00Onde: N = 24.000,00

C = ?i = 0,06 (note que, para usar a frmula deste modo, a taxa

deve ser colocada na forma unitria)n = 12 meses

Ento:24.000 = C (1 + 0,06 x 12)24.000 = C (1 + 0,72)24.000 = C.1,72

Exemplo

Ou seja: C = 13.953,49

Logo:

72,172,1.

72,1000.24 C

=

Ou seja: C = 13.953,49

que o valor atual na data 0, isto , quanto a pessoaaplicou hoje.

Exemplo2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00.Qual ser o valor futuro se a pessoa aplicar esta importncia taxade 5% ao ms, daqui a 3 meses ?

Temos: N = C (1 + i.n)Onde: N = ?

C = 10.000,00C = 10.000,00i = 0,05n = 3 meses

Logo:N = 10.000 (1 + 0,05 x 3)N = 10.000 (1,15)N = 11.500,00

O valor futuro ser de $ 11.500,00 daqui a 3 meses.