7/25/2019 Aula 1 de Clculo 2

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1 Aplicaes de Integrao

1.1

reas entre as Curvas

Usaremos as integrais para encontrar reas de regies entre grficos de duas funes.

Considere a regio S que se encontram duas curvas f(x)=y e g(x)=y e entre as retas

verticais a=x e b=x , onde f e g so funes contnuas e g(x)f(x) para todo x

em ba, .

Dividimos Sem nfaixas de larguras iguais e ento aproximamos a i-sima faixa por um

retngulo com base x e altura ** ii xgxf . A soma de Reimann

xxgxfn

=i

ii 1

**

Definimos a reaAda regio Scomo o valor-limite da soma das reas desses retngulosaproximantes

1 xxgxfn

=i

iin

1

**lim

Assim,

2 A reaAda regio limitada pelas curvas f(x)=y , g(x)=y e pelas retas a=x ,

b=x , onde f e g so contnuas e g(x)f(x) para todo x em ba, ,

dxxgxfb

a

Exemplo 1.1 Encontre a rea da regio limitada acima por xe=y , limitada abaixo

por x=y , e limitada nos lados por 0=x e 1=x .

Exemplo 1.2 Encontre a rea da regio delimitada pelas parbolas 2x=y e22 xx=y .

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Para encontrarmos a rea entre as curvas xf=y e xg=y onde xgxf para alguns valores de

x , ento dividimos determinada regio Sem vrias

regies 2,1,SS com reas 2,1,AA

Em seguida, definimos a rea da regio S como a

soma das reas das regies menores 2,1,SS ouseja, +A+A=A 21 . Uma vez que

xfxg,xfxg

xgxfxgxf=xgxf

onde

onde,

temos a seguinte expresso paraA.3 A rea entre as curvas xf=y e xg=y e entre a=x e b=x

dxxgxf=Ab

a

Exemplo 1.3 Encontre a rea da regio delimitada pelas curvas 2/e0cossen =x=x,x,x=y .

Algumas regies so mais bem tratadas considerando x como funo de y . Se uma

regio delimitada por curvas com equaes c=y,xg=x,xf=x e d,=y em que fe g so contnuas e ygyf para dyc , ento sua rea

dyygyf=Ad

c

Exemplo 1.4 Encontre a rea delimitada pela reta 1x=y e pela parbola

62 +x=y .

1.2 Volumes

Comeamos interceptando Scom um plano e obtendo uma regio plana que chamada

seco transversal de S. Seja xA a rea da seco transversal de S no plano Px

perpendicular ao eixo x e passando pelo ponto x , onde bxa . Dividindo S em nfatias iguais a x .

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Definio de Volume

Seja Sum slido que esto entre a=x e b=x . Se a rea da seo transversal de Sno

plano xP , passando por x e perpendicular ao eixo x , xA , onde A uma funocontnua, ento o volume de S

dxxA=xxA=Vb

a

i

n

=in

1

lim

Exemplo 1.5 Mostre que o volume de uma esfera de raio r 3r=V3

4.

Exemplo 1.6 Encontre o volume do slido obtido pela rotao em torno do eixo xdaregio sob a curva x=y de 0 a 1.

Exemplo 1.7 Encontre o volume do slido obtido pela rotao da regio delimitadapor 8,, =yx=y e 0=x em torno do eixoy.

Exemplo 1.8 A regio , delimitada pelas curvas x=y e x=y , girada ao redordo eixox. Encontre o volume do slido resultante.

Exemplo 1.9 Encontre o volume do slido obtido pela rotao da regio no exemplo1.8 em torno da reta 2=y .

Observao 1: Se a seo transversal um disco, encontramos o raio do disco eusamos

raio=A Observao 2: Se a seo transversal uma arruela, encontramos o raio interno intr e o

raio externoextr a partir de um esboo, e calculamos a rea da arruela subtraindo a rea

do disco interno da rea do disco externo:

intext rr=A

Exemplo 1.10 Encontre o volume do slido obtido pela rotao da regio do exemplo1.8 em torno da reta 1=x .

Exemplo 1.11 A figura abaixo mostra a forma de um slido com base circular de raio1. Seces transversais paralelas perpendiculares base so tringulos equilteros. Ache

o volume do slido.

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Exemplo 1.12 Encontre o volume de uma pirmide de base quadrada com lado Lecuja altura seja h.

Exemplo 1.13 Uma cunha cortada a partir de um cilindro circular de raio 4 por doisplanos. Um plano perpendicular ao eixo do cilindro. O outro intercepta o primeiro

com um ngulo de 30 ao longo de um dimetro do cilindro. Encontre o volume da

cunha.

1.3 Volumes por Cascas Cilndricas

A figura mostra uma casca cilndrica com raio interno 1r , raio

externo2r , e altura h. Seu volume V calculado subtraindo-se

o volume 1V do cilindro interno do volume 2V do cilindro

externo:

hrr=hrhr=VV=V 222 2122211

121212122

2 rrhrr

=hrrrr=V

Como 1rr=r 2 e 122

1rr=r , o volume de uma casa cilndrica se torna

1 rhr=V 2

e pode ser memorizada como

V = [circunferncia] [altura] [espessura]

Agora, considere So slido obtido pela rotao em torno do eixo yda regio limitada

por xf=y 0onde xf , a=x=y 0, e b=x , onde 0a>b

2 O volume do slido da figura acima, obtido pela rotao em torno do eixoydaregio sob a curva xf=y de aat b,

badxxfxV

b

a

0onde,)(2

espessuraalturanciacircunfer

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A melhor maneira de lembrar dessa frmula pensar numa casca tpica, cortada e

achatada como na figura abaixo, com raio x, circunferncia x2 , altura xf eespessura x ou dx .

Exemplo 1.14 Encontre o volume do slido obtido pela rotao em torno do eixoydaregio delimitada por 2

2xx=y e 0=y .

Exemplo 1. 15 Encontre o volume do slido pela rotao em torno do eixoyda regioentre x=y e 2x=y .

Exemplo 1.16 Use cascas cilndricas para encontrar o volume do slido obtido pelarotao em torno do eixoxda regio sob a curva x=y de 0at 1.

Exemplo 1.17 Encontre o volume do slido obtido pela rotao da regio delimitadapor 2xx=y e 0=y em torno da reta 2.=x

1.4 Valor mdio de uma funo

O teorema do valor mdio para integrais

Se f for contnua em ba, , ento existe um nmero cem ba, tal que

dxxfab

=f=cf

b

a

med 1

ou seja,

abcf=dxxfb

a

Exemplo 1.19 Encontre o valor mdio da funo 2x+=xf 1 no intervalo 1,2 .

Exemplo 1.20 Como 2x+=xf 1 contnua no intervalo 1,2 , o Teorema doValor Mdio para Integrais indica que existe um nmero cem 1,2 tal que

1212

1

cf=dxx+ 2

encontre o valor de c.