Aula 1 - ISCTE-IULcm.de.iscte.pt/Aula1Vi.pdf · Aula 1 ISCTE - IUL, ... Funçªo exponencial, logaritmica e potŒncia ... derivada da funçªo f no ponto a e representa-se por f0(a)

Conceitos Básicos de Matemática

Aula 1

ISCTE - IUL, Mestrados de Continuidade

Diana Aldea Mendes

[email protected]

12 de Setembro de 2011

DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 1 / 69

Conceitos Básicos de Matemática


Tópicos

Funções reais com 1 e 2 variáveis reais

Função exponencial, logaritmica e potênciaDerivação e diferenciaçãoExtremos livres e condicionados

Matrizes e Determinantes

Operações com matrizesCálculo de um determinanteInversão de matrizesValores e vectores próprios


Funções reais de uma e duas variáveis reais

Uma função real de uma variável real denota-se por f : D ⊆ R→ R eé dada por uma expresão

y = f (x) ondex variável independentey variável dependente

Uma função real de duas variáveis reais denota-se porf : D ⊆ R2 → R e é dada por uma expresão

z = f (x, y) ondex, y variáveis independentes

z variável dependente

Example

Função de produção de Cobb-Douglas f : R2+ → R+ , f (k, l) = kαlβ,onde

k (capital), l (labour) são variáveis independentes e z = f (k, l) é a variáveldependente.



010

2030

0

20

40

0

2

4

6

8

l

alpha=0.4, beta=0.5

k

0102030 0

2040

0

10

20

30

40

50

60

l

alpha=0.2, beta=1.5

k0

1020

30 010

2030

0

20

40

60

l

alpha=1.2, beta=0.5

k

0102030

0

20

40

0

100

200

300

400

500

600

l

alpha=1.2, beta=1.5

k



Função convexa: uma função f : [a, b] ⊂ R→ R é convexa se aregião sobre (acima) o seu gráfico for um conjunto convexo. Isto é:para quaisquer x e y pertencentes a [a, b] e para todo t ∈ [0, 1], tem-se

f (tx+ (1− t)y) ≤ tf (x) + (1− t)f (y)

Função concava: uma função f : [a, b] ⊂ R→ R é concava se aregião sob (abaixo) o seu gráfico for um conjunto convexo.


5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

1

2

3

4

5

x

y

Função convexa

10 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 456

4

2

0

2

4

x

y

Função côncava



Função exponencial f : R→ R+

f (x) = ex e f (x) = ax, a > 0

Propriedades

eAeB = eA+B,eA

eB = eA−B, ax = ex ln a

axbx = (ab)x , e0 = 1, e−∞ = 0, e+∞ = +∞



0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

x

yy=exp(x)

0 10 20 30 400

2

4

6

8

x

y

y=exp(x)

0 10 20 30 4010

0

10

20

30

40

50

x

y

y=exp(2x)

0 10 20 30 400

1

2

3

4

5x 104

x

y

y=2exp(5x)



Função logarítmica: f : R+ → R

f (x) = loga x, a > 0, a 6= 1a = e → log natural ln

Propriedades

ln A+ ln B = ln (AB) , ln A− ln B = ln(

AB

)A ln B = ln BA, ln 1 = 0, ln e = 1ln 0+ = −∞, ln(+∞) = +∞



0 10 20 30 40 505

4

3

2

1

0

1

2

x

y

y=log(x)

0 10 20 30 40 502

1

0

1

2

3

4

5

x

y

y=log(x)

0 10 20 30 40 504

3

2

1

0

1

2

3

x

y

y=log(ex)

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

x

y

y=2log(2x+1)



Função potência: f : R→ R

f (x) = axk, a, k ∈ R



0 10 20 30 40 50 600

2

4

6

8

10

x

y

y=x2

0 10 20 30 40 50 6030

20

10

0

10

20

30

x

y

y=x3

0 10 20 30 40 50 60300

200

100

0

100

200

300

x

y

y=x5

10 0 10 20 30 40 50 6010

5

0

5

10

x

y

y=x1


Derivação de funções reais de uma variável real

A derivada representa a taxa de variação de uma função

Uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cadaponto do seu domínio, a função f (x)− f (a) se comportaraproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráficofor aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é aderivada da função f no ponto a e representa-se por

f ′ (a) oudfdx(a)


0 10 20 30 40 50 602

0

2

4

6

8

x

y

0 10 20 30 40 50 60 701

0

1

2

3

x

yf(x)

tangente

inclinação = f'(x)

função não derivável em a

a


Derivação de funções reais de uma variável real

Em tudo que segue k representa um número real e u, v representamfunções reais de uma variável real.

Regras de derivação

(ku)′ = ku′ (u+ v)′ = u′ + v′(xk)′ = kxk−1 (

uk)′ = kuk−1u′

(uv)′ = u′v+ uv′(u

v

)′=

u′v− uv′

v2

(ex)′ = ex (eu)′ = u′eu

(ax)′ = ax ln a, a > 0 (au)′ = u′au ln a, a > 0

(ln x)′ =1x

(ln u)′ =u′

u

Derivando a derivada de primeira ordem obtém-se a derivada desegunda ordem e assim sucessivamente derivadas de ordem superior


Exemplos - derivação

1 f (x) = 4x3 =⇒ f ′ (x) = 12x2 =⇒ f′′(x) = 24x

2 f (x) = (x− 1)2 =⇒ f ′ (x) = 2 (x− 1) =⇒ f′′(x) = 2

3 f (x) =2x2 =⇒ f (x) = 2

(x−2) =⇒ f ′ (x) = − 4

x3

4 f (x) = x3ex =⇒ f ′ (x) = x2ex (3+ x)

5 f (x) = (ln x)4 =⇒ f ′ (x) =4 ln3 x

x


Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duasvariáveis reais

A derivada parcial (de primeira ordem) de f (x, y) em ordem a variávelx designa-se por

∂f∂x(x, y)

e signifique derivar a função f em ordem a x considerando y comosendo constante

A derivada parcial (de primeira ordem) de f (x, y) em ordem a variávely designa-se por

∂f∂y(x, y)

e signifique derivar a função f em ordem a y considerando x comosendo constante


Se a função f (x, y) for diferenciável no ponto (a, b) é porque admitederivadas parciais finitas e contínuas numa vizinhança desse ponto.Neste caso o Diferencial de 1a ordem da função f no ponto (a, b)define-se por

df (a, b) =(

∂f∂x

)(a, b) dx+

(∂f∂y

)(a, b) dy

onde dx e dy designam-se por acréscimos (são numeros reaispequenos).

Quando a função for diferenciável, para o cálculo de valoresaproximados, podemos utilizar a seguinte expressão dediferenciabilidade:

f (a+ h, b+ k) ≈ f (a, b) + dx(

∂f∂x

)(a,b)

+ dy(

∂f∂y

)(a,b)



Derivando as duas derivadas parciais de primeira ordem mais uma vezem relação a cada uma das duas variáveis x, y obtemos as 4 derivadasparciais de segunda ordem de f (x, y) , isto é(

∂f∂x

)′x=

∂

∂x

(∂f∂x

)=

∂2f∂x2 ;

(∂f∂x

)′y=

∂

∂y

(∂f∂x

)=

∂2f∂x∂y(

∂f∂y

)′x=

∂

∂x

(∂f∂y

)=

∂2f∂y∂x

;(

∂f∂y

)′y=

∂

∂y

(∂f∂y

)=

∂2f∂y2

O diferencial de segunda ordem da função f no ponto (a, b) define-sepor

d2f (a, b) =

(∂2f∂x2

)(a, b) dx2 + 2

(∂2f

∂y∂x

)(a, b) dxdy

+

(∂2f∂y2

)(a, b) dy2



Example

Para f (x, y) = x3 + 2y2 temos as seguintes derivadas parciais de primeirae segunda ordem:

∂f∂x(x, y) = 3x2

∂f∂y(x, y) = 4y

∂2f∂x2 (x, y) =

(∂f∂x

)′x=(

3x2)′

x= 6x

∂2f∂y∂x

(x, y) =

(∂f∂x

)′y=(

3x2)′

y= 0

∂2f∂y2 (x, y) =

(∂f∂y

)′y= (4y)′y = 4


Os diferenciais de primeira e segunda ordem no ponto (a, b) = (1, 2) sãodados por

df (a, b) =

(∂f∂x

)(1, 2) dx+

(∂f∂y

)(1, 2) dy

=(

3x2)(1, 2) dx+ (4y) (1, 2) dy = 3dx+ 8dy

d2f (a, b) =

(∂2f∂x2

)(a, b) dx2 + 2

(∂2f

∂y∂x

)(a, b) dxdy

+

(∂2f∂y2

)(a, b) dy2 = (6x) (1, 2) dx2 + 2 (0) (1, 2) dxdy+ 4 (1, 2) dy2

= 6dx2 + 4dy2


Example

Para f (x, y) = 3xy + 2 ln(

xy

)+ x2y2, temos as seguintes derivadas

parciais de primeira ordem:

∂f∂x(x, y) = 2xy2 +

2x+ 3xyy ln 3

∂f∂y(x, y) = 2x2y− 2

y+ 3xyx ln 3


Extremos Livres (Relativos)

Definição: Sejam f : A ⊆ R→ R e a ∈ IntA.

a é um ponto de mínimo local (global) para a função f se e só senuma vizinhança V do ponto dado se tem

f (x) ≥ f (a) , ∀x ∈ V (∀x ∈ A)

O número real f (a) representa o valor mínimo que a função f assumena vizinhança V.a é um ponto de máximo local (global) para a função f se e só senuma vizinhança V do ponto dado se tem

f (x) ≤ f (a) , ∀x ∈ V (∀x ∈ A)

O número real f (a) representa o valor máximo que a função f assumena vizinhança VOs mínimos e os máximos designam-se por extremos.



Definição: Seja f (x) uma função diferenciável definida em A ⊂ R e comvalores em R É condição necessária (condição de primeira ordem) para aexistência de um extremo no ponto a ∈ A, que f ′ (a) = 0.Sendo assim, resolvendo a equação f ′ (a) = 0 obtém-se os possíveiscandidados ao extremo, ou seja os pontos estacionários (deestacionariedade) do problema.Definição: A condição suficiente (condições de segunda ordem) consta nacaracterização do ponto de estacionariedade a como máximo ou mínimo edepende do signal da derivada de segunda ordem, isto é

se f ′′ (a) > 0 então a é um mínimo

se f ′′ (a) < 0 então a é um máximo



Example

Determine, caso existem, os extremos livres da seguinte função: f (x) = x2.

Condição necessária: f ′ (x) = 2x = 0→ x = 0 é o único pontoestacionário da função dada.

Condição suficiente: f ′′(x) = 2 > 0→ logo o ponto x = 0 é ummínimo.



Sejam f : A ⊆ R2 → R e (a, b) ∈ IntA.(a, b) é um ponto de mínimo local (global) para a função f se e só senuma vizinhança V do ponto dado se tem

f (x, y) ≥ f (a, b) , ∀ (x, y) ∈ V, (∀ (x, y) ∈ A)

O número real f (a, b) representa o valor mínimo que a função f assumena vizinhança V.O número real f (a, b) representa o valor mínimo da função f .(a, b) é um ponto de máximo local (global) para a função f se e só senuma vizinhança V do ponto dado se tem

f (x, y) ≤ f (a, b) , ∀ (x, y) ∈ V, (∀ (x, y) ∈ A)

O número real f (a, b) representa o valor máximo que a função fassume na vizinhança VO número real f (a, b) representa o valor máximo que a função fassume na vizinhança V



É condição necessária (condição de primeira ordem) para a existência

de um extremo no ponto (a, b) ∈ A, que∂f∂x(a, b) = 0 e

∂f∂y(a, b) = 0.

Isto é, resolvendo o sistema de 2 equações e 2 incógnitas definido por(

∂f∂x

)(x, y) = 0(

∂f∂y

)(x, y) = 0

obtém-se os possíveis candidados ao extremo, ou seja os pontosestacionários (de estacionariedade) do problema.



As condições suficientes (condições de segunda ordem) constam nacaracterização do ponto de estacionariedade (a, b) como máximo oumínimo relativo, ou ainda como ponto de sela, e dependem dosvalores da matriz Hessiana H da função no ponto (caso exista).

Relembramos que no caso de funções reais de duas varáveis reais amatriz Hessiana é definido por

H (x, y) =

∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂x∂y

∂2f∂y2

(x,y)



O ponto de estacionariedade (a, b) é um mínimo se e só se

D1 =

∣∣∣∣ ∂2f∂x2

∣∣∣∣(a,b)

> 0 e D2 = |H (a, b)|

=

(∂2f∂x2

)(a,b)

(∂2f∂y2

)(a,b)−(

∂2f∂x∂y

)(a,b)

(∂2f

∂x∂y

)(a,b)

> 0

O ponto de estacionariedade (a, b) é um máximo se e só se

D1 =

∣∣∣∣ ∂2f∂x2

∣∣∣∣(a,b)

< 0 e D2 = |H (a, b)|

=

(∂2f∂x2

)(a,b)

(∂2f∂y2

)(a,b)−(

∂2f∂x∂y

)(a,b)

(∂2f

∂x∂y

)(a,b)

> 0



010

2030

4050

0

10

20

30

40

5010

5

0

5

10



Example

Determine, casa existem, os extremos livres da seguinte função

f (x, y) = −x3 + 4xy− y2.

Condição necessária: cálculo dos pontos estacionários (os possíveispontos de extremo)

{f ′x (x, y) = 0f ′y (x, y) = 0

{−3x2 + 4y = 04x− 2y = 0

{−3x2 + 4y = 0y = 2x{

−3x2 + 4 (2x) = 0y = 2x

{−3x2 + 8x = 0y = 2x

{x = 0 ou x = 8/3y = 0 ou y = 16/3

Portanto existam dois pontos de estacionariedade (x, y) = (0, 0) e(x, y) = (8/3, 16/3) .



Condição suficiente:averiguar quais dos pontos de estacionariedadesão pontos de extremo. Por isso é precisso determinar a matrizHessiana da função f (x, y) , isto é

H (x, y) =

[f ′′

x2 (x, y) f ′′

xy (x, y)f ′′

xy (x, y) f ′′

y2 (x, y)

]=

[−6x 4

4 −2

]

Para o ponto estacionário (x, y) = (0, 0) obtem-se

H (0, 0) =[−6x 4

4 −2

](0,0)

=

[0 44 −2

]=

[−2 44 0

]



de onde

D1 = | − 2| = −2 < 0

D2 =

∣∣∣∣ −2 44 0

∣∣∣∣ = −16 < 0

e portanto o ponto (0, 0) não é um extremi (é um ponto de sela).



Para o ponto estacionário (x, y) = (8/3, 16/3) obtem-se

H (8/3, 16/3) =[−6x 4

4 −2

](8/3,16/3)

=

[−48/3 4

4 −2

]→

de onde

D1 = | − 48/3| = −48/3 < 0

D2 =

∣∣∣∣ −48/3 44 −2

∣∣∣∣ = 48/3 > 0

e portanto o ponto (8/3, 16/3) é um ponto de máximo.


Extremos Condicionados

Definição: Um problema de extremos condicionados consiste de umafunção real f : A ⊆ R2 → R (função objectivo) cujas 2 variáveis estãoligadas por 1 condição ou seja a função f (x, y) é sujeita à 1 restrição

g(x, y) = 0

Calcular os extremos condicionados do problema é equivalente ao calcularos extremos livres da seguinte função

L (x, y; λ) = f (x, y) + λg(x, y)

designada por função Lagrangeana. A variável auxiliare λ designa-se pormultiplicador de Lagrange.



Apos da construcção da função Lagrangeana precede-se ao calculo dospontos estacionários (condição necessária). O sistema de estacionariedadeé um sistema de 3 equações e 3 incógnitas definido por

(∂L∂x

)(x, y; λ) = 0(

∂L∂y

)(x, y; λ) = 0(

∂L∂λ

)(x, y; λ) = 0



Como no caso dos extremos livre,a caracterização dos possíveis extremos,dependem de condições de segunda ordem, nomeadamente do sinal doHessiano orlado (de tipo ((3)× (3)), isto é

H2(a, b; λ′

)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0∂g∂x

∂g∂y

∂g∂x

∂2L∂x2

∂2L∂x∂y

∂g∂y

∂2L∂x∂y

∂2L∂y2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a,b,λ′)

sendo(a, b, λ′

)um ponto de estacionariedade.

Se H2(a, b; λ′

)> 0, então o ponto (a, b) é um máximo condicionado

Se H2(a, b; λ′

)< 0, então o ponto (a, b) é um mínimo condicionado



Example

Determine, caso existem, os extremos condicionados da funçãof (x, y) = x2 + y2 sujeita à restrição g (x, y) = x+ y− 2 = 0

Passo 1: construção da função Lagrangeana

L (x, y, λ) = f (x, y) + λg (x, y) = x2 + y2 + λ (x+ y− 2)

Passo 2: condições de primeira ordem (determinar os pontosestacionários)

(∂L∂x

)(x, y; λ) = 0(

∂L∂y

)(x, y; λ) = 0(

∂L∂λ

)(x, y; λ) = 0

2x+ λ = 02y+ λ = 0x+ y− 2 = 0



x = −λ/2y = −λ/2x = 2− y

x = −λ/2y = −λ/2−λ/2 = 2+ λ/2

x = −λ/2y = −λ/2λ = −2

x = 1y = 1λ = −2

Portanto (1, 1,−2) é o único ponto estacionário da Lagrangeana.



Passo 3: condições de segunda ordem (verificar se o pontoestacionário é um extremo)

H2 (1, 1,−2) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0∂g∂x

∂g∂y

∂g∂x

∂2L∂x2

∂2L∂x∂y

∂g∂y

∂2L∂x∂y

∂2L∂y2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(1,1,−2)

=

∣∣∣∣∣∣0 1 11 2 01 0 2

∣∣∣∣∣∣(1,1,−2)

= −4 < 0

logo (1, 1) é um mínimo condicionado.



Uma matriz é um quadro de números ordenados por linhas (filashorizontais) e colunas (filas verticais) que se apresenta cercado porparênteses ou parênteses rectos, sendo normalmente representada por umaletra maiúscula.Por exemplo, qualquer dos quadros seguintes representa uma matriz:

A =(

2 −32 1

)B =

[3 −2 12 1 −1

]



Definição

Designa-se por matriz de números reais de elemento genérico aij , em queo primeiro índice (i = 1, 2, ...., m) indica a linha e o segundo índice(j = 1, 2, ...., n) indica a coluna, a um quadro do tipo:

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n...

......

am1 am2 ... amn

Definição

Diz-se que uma matriz é do tipo m× n se tem m linhas e n colunas.



Casos particulares de matrizes:

A uma matriz do tipo n× n dá-se o nome de matriz quadrada deordem n.A uma matriz do tipo m× n , em que m 6= n dá-se o nome de matrizrectangular.Dada uma matriz quadrada, dá-se o nome de diagonal principal àdiagonal formada pelos elementos aij , em que i = j. Aos elementosda diagonal principal dá-se o nome de elementos principais.A uma matriz quadrada cujos elementos não principais são nulosdá-se o nome de matriz diagonal.Se todos os elementos principais de uma matriz quadrada diagonalsão unitários, então trata-se da matriz identidade: In (onde n é aordema da matriz)A uma matriz quadrada cujos elementos abaixo (acima) da diagonalprincipal são nulos dá-se o nome de matriz triangular superior(inferior).


Matrizes e DeterminantesÁlgebra das matrizes

A adição de duas matrizes consiste na adição dos elementoshomólogos de cada uma das matrizes.

C = A+ B⇒ cij = aij + bij

A adição de matrizes só é possível se elas forem da mesma ordem,obtendo-se como resultado uma matriz da mesma ordem.

Example

Considerando as matrizes A, B, C e D

A =

[2 −32 1

], B =

[3 −2 12 1 −1

]C =

[1 02 5

]D =

[0 3 14 5 −1

]DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 45 / 69


Vejamos, em dois casos em que a adição é possível, como se materializaesta operação:

A+ C =

[2 −32 1

]+

[1 02 5

]=

[2+ 1 −3+ 02+ 2 1+ 5

]=

[3 −34 6

]



B+D =

[3 −2 12 1 −1

]+

[0 3 14 5 −1

]=

[3+ 0 −2+ 3 1+ 12+ 4 1+ 5 −1− 1

]=

[3 1 26 6 −2

]



A multiplicação de uma matriz por um escalar é feita mediante amultiplicação de cada um dos elementos da matriz por esse escalar.

B = λA⇒ bij = λaij ∀λ ∈ <

Example

Sendo dados o número real e a matriz abaixo indicadas

λ = 3 ; A =[

3 −22 1

]temos que

λA = 3[

3 −22 1

]=

[3× 3 3× (−2)3× 2 3× 1

]=

[9 −66 3



O produto de duas matrizes consiste na multiplicação das linhas doprimeiro factor pelas colunas do segundo. A multiplicação de duasmatrizes só é possível quando o número de colunas da primeira matriz éigual ao número de linhas da segunda matriz.

Definição

A multiplicação de uma matriz A do tipo m× n por uma matriz B do tipop× q é possível sempre que n = p, e o seu resultado é uma matriz C, dotipo m× p, cujo elemento genérico é :

cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj =n

∑k=1

aikbkj

onde{

i = 1, 2, · · · , mj = 1, 2, · · · , p



Example

Determine o produto das matrizes A e B, onde

A(2×3) =

[1 −1 02 0 3

], B(3×2) =

2 11 −10 5

Resolução: Como a matriz A é de tipo (2× 3) e a matriz B é detipo (3× 2) , a operação A× B é possível (número de colunas daprimeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz) e oresultado vai ser uma matriz de tipo (2× 2) . A operação B×A nãoé possível, de onde concluímos que A× B 6= B×A.



A× B =

[1 −1 02 0 3

] 2 11 −10 5

=

[1× 2+ (−1)× 1+ 0× 0 1× 1+ (−1)× (−1) + 0× 5

2× 2+ 0× 1+ 3× 0 2× 1+ 0× (−1) + 3× 5

]=

[2− 1+ 0 1+ 1+ 04+ 0+ 0 2+ 0+ 15

]=

[1 24 17

]



Transposição de matrizes. Matrizes simétricas.

Chama-se matriz transposta de uma matriz A e representa-se por AT, auma matriz cujas colunas são as linhas de A (pela mesma ordem) sendo,consequentemente, as suas linhas as colunas de A.

Example

Transposta de uma matriz

A =[

2 4 21 3 5

]⇔ AT =

2 14 32 5

Matriz simétrica é uma matriz que coincide com a sua transposta:A = AT. Se A = −AT diz-se que A é anti-simétrica.



São permitidas as seguintes operações entre as filas paralelas de umamatriz (designadas por operações elementares):

1 Troca entre si de duas filas paralelas da matriz;2 Multiplicação de uma fila por um número real diferente de zero;3 Substituição de uma fila pela que se obtém somando outra,multiplicada por um número real qualquer (Operação de Jacobi).

A característica de uma matriz A, r (A), corresponde ao número máximode filas paralelas não-nulas e obtém-se condensando a matriz, isto é,transformando a matriz inicial ,aplicando as operações elementares, numamatriz triangular superior de elementos principais significativos de maiorordem possível (condensação vertical).


Matrizes e DeterminantesDeterminantes

A toda a matriz quadrada A de ordem n, se faz associar um númeroreal, designado por determinante. Utilizamos a notação det (A) ou|A|

A = [aij]i,j=1,...,n −→ det (A) = |A|O determinante de uma matriz que contém apenas um elemento (deordem 1) é o próprio elemento

A = [12] −→ |A| = |12| = 12



O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 calcula-se pelaseguinte regra:

A =[

a11 a12a21 a22

]−→ |A| =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Mais precisamente, é a diferença entre o produto dos elementos dadiagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária

|A| =∣∣∣∣ −1 4

2 9

∣∣∣∣ = (−1) · 9− 2 · 4 = −17



Cálculo de um Determinante de matrizes quadradas de ordem 3:Regra de SarrusConsidere uma matriz quadrada de ordem 3

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Em primeiro lugar, vamos repetir as duas primeiras linhas de A porbaixo da matriz, em seguida, multiplicamos os elementos da diagonalprincipal da matriz e os elementos das duas diagonais paralelas aprincipal, somando os resultados. A seguir, multiplicamos oselementos da diagonal secundária da matriz e os elementos das duasdiagonais paralelas a secundária, subtraindo os resultados, isto é



A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12 a13a21 a22 a23

|A| = (a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23)−(a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21)



Em esquema

* * ** * ** * *

à* * ** * ** * ** * ** * *

= ( \ + \ + \ ) ( / + / + / )



Example

Calcule o seguinte determinante:

A =

1 3 42 1 51 0 2

1 3 42 1 5

|A| = (1 · 1 · 2+ 2 · 0 · 4+ 1 · 3 · 5)−(4 · 1 · 1+ 5 · 0 · 1+ 2 · 3 · 2)

= (2+ 0+ 15)− (4+ 0+ 12) = 17− 16 = 1



Menor complementarConsidere uma matriz A =

[aij]

i,j=1,...,n, quadrada de ordem n: O menorcomplementar Dij , relativo ao elemento aij , e o determinante dasubmatriz quadrada, de ordem (n− 1), que se obtém de A retirando-se alinha i e a coluna j.Exemplo:

A =

1 0 −22 1 −1−1 1 0

, D12 =

∣∣∣∣ 2 −1−1 0

∣∣∣∣ = 2 · 0− (−1) · (−1) = −1

D33 =

∣∣∣∣ 1 02 1

∣∣∣∣ = 1 · 1− (0) · (2) = 1



Complemento algébricoDada a matriz quadrada de ordem n, A =

[aij]

i,j=1,...,n, o complemento

algébrico de aij é o número Aij que se obtém multiplicando-se (−1)i+j pelomenor complementar de aij, isto é

Aij = (−1)i+j ·Dij

Exemplo

A =

1 0 −22 1 −1−1 1 0

, D12 =

∣∣∣∣ 2 −1−1 0

∣∣∣∣ = 2 · 0− (−1) · (−1) = −1

A12 = (−1)1+2 D12 = (−1)3 · (−1) = 1

A33 = (−1)3+3 D33 = (−1)6 · (1) = 1


Matrizes e DeterminantesDeterminantes: matriz inversa

Cálculo da inversa de uma matriz A: Uma matriz inversa de A(neste caso denominada por B) tem de verificar a seguinte igualdade:AB = BA = I. Quando B existe designa-se por A−1 e a igualdadeanterior assume o seguinte aspecto:

AA−1 = A−1A = I

Em suma, para se poder obter a inversa, a matriz A tem de serquadrada e regular (isto é a característica é igual à ordem, ou seja|A| 6= 0).A sua fórmula de cálculo pela teoria dos determinantes é a seguinte

A−1 =AT

|A|

sendo AT a matriz dos complementos algébricos transposta.



Example

Calcule, caso possível, a inversa da seguinte matriz

A =[

2 −35 1

]Como a matriz A é quadrada e regular (pois |A| = 17 6= 0), é possíveldeterminar a sua inversa A−1 aplicando a fórmula

A−1 =AT

|A|

Primeira vez obtemos a matriz dos complementos algébricos, isto é

A =[

1 −53 2

]→ AT =

[1 3−5 2



Logo

A−1 =AT

|A| =117

[1 3−5 2

]=

[1/17 3/17−5/17 2/17

]



Propriedades dos determinantes

1 Se uma matriz quadrada A tem uma fila nula, então |A| = 02 |A| =

∣∣AT∣∣ ,

∣∣A−1∣∣ = |A|−1

3 Um determinante muda de sinal quando se trocam entre si duas filasparalelas.

|A| =∣∣∣∣ 1 3

5 −2

∣∣∣∣ C1↔C2−→ −∣∣∣∣ 3 1−2 5

∣∣∣∣


Matrizes e DeterminantesValores próprios

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então um valor próprio de A éum escalar λ tal que det (A− λIn) = 0, isto é, os valores próprios de Asão as raízes da equação det (A− λIn) = 0. A matriz A tem no mínimoum valor próprio e no máximo n valores próprios distintos.A equação det (A− λIn) = 0 designa-se por equação característica damatriz A e é uma equação polinomial de grau n na variável λ. Opolinómio de grau n na variável λ,

det (A− λIn) = λn + cn−1λn−1 + cn−2λn−2 + · · ·+ c1λ+ c0,

tem o nome de polinómio característico da matriz A.



No caso particular em que n = 2, isto é,

A =[

a11 a12a21 a22

],

o determinante característico assume a expressão

det (A− λI2) =

[a11 − λ a12a21 a22 − λ

]= λ2 + (−a11 − a22)λ+ (a11a22 − a12a21) = 0

Os valores próprios da matriz A correspondem às raízes do seu polinómiocaracterístico. Atendendo a que o polinómio característico de A é de grau2, a matriz A tem no máximo 2 valores próprios.



Example

Determinação de valores próprios. Seja A uma matriz de ordem 2definida por

A =[−5 22 −2

].

Para determinar os valores próprios de A há que determinar o polinómiocaracterístico de A, isto é

det (A− λI2) = det([−5 22 −2

]−[

λ 00 λ

])= det

[−5− λ 2

2 −2− λ

]= (λ+ 5)(λ+ 2)− 4 = λ2 + 7λ+ 6



Resolver a equação característica de A

det (A− λI2) = 0⇔ λ2 + 7λ+ 6 = 0⇔ (λ+ 1)(λ+ 6) = 0

que tem como soluções λ1 = −1 ou λ2 = −6 (ou seja os valores própriosda matriz A).


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Aula 1 - ISCTE-IULcm.de.iscte.pt/Aula1Vi.pdf · Aula 1 ISCTE - IUL, ... Funçªo exponencial, logaritmica e potŒncia ... derivada da funçªo f no ponto a e representa-se por f0(a)