Aula 1 - Matemática atuarial de pessoas

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MATEMTICAATUARIAL DEPESSOAS SUSEPAula1AndrCunha 12/02/2010

Este documento contm o contedo programtico do curso (plano de ensino) e aborda os seguintes tpicos: Conceitos bsicos de Probabilidade e Matemtica Financeira. Noes de Clculo Diferencial e Integral.

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Caro concursando, Estamos comeando um trabalho curto, porm bem intenso. O objetivo estarmos muito bem preparados no dia 17 de abril para prestar a prova da SUSEP. O desafio grande. Matemtica Atuarial uma matria longe de ser elementar, pouco estudada (quase que na totalidade somente por quem da rea) e, como se no bastasse, houve mudanas significativas entre os editais de 2006 e 2010. Matemtica Atuarial (Pessoas + Danos) responde neste concurso por 50% da prova especfica, contra apenas 20% no certame de 2006. Entram tpicos novos, como Mltiplos Decrementos e Anuidades Contnuas, e deixam de constar outros, como Valores Garantidos. Essas mudanas no edital, acredito, refletem a constante evoluo no processo de capacitao profissional no mundo como um todo, mais particularmente na Inglaterra e nos Estados Unidos, onde a Aturia mais desenvolvida. O Brasil vem correndo mais devagar, mas vem. Desde 2005 o IBA (Instituto Brasileiro de Aturia) s aceita como membros bacharis em Cincias Atuariais que so aprovados em seus exames de admisso. Por essas razes extremamente desafiador escrever esse curso. Para voc, concursando, sugiro que tente manter a cabea fria, principalmente com o que vai cair na prova. Ir bem em concurso ir melhor que os outros, e me parece que (quase) todos esto com o mesmo problema. Tenho recebido vrios e-mails todos os dias de pessoas preocupadas com bibliografia. Eu tenho razovel experincia como professor, aluno auto-didata e aturio, e confesso que tive relativa dificuldade em montar uma bibliografia para o presente curso. Devido a todo esse ambiente de mudanas j descrito, apesar de ser necessrio resolver muitas questes de concursos anteriores e vamos faz-lo , isso no ser suficiente. Por isso o curso vir quente. Vou tentar expor a matria da maneira mais simples possvel, como foi dito na Aula 0, mas nunca abrindo mo do rigor matemtico. Gosto muito de uma frase de Max Weber: O homem no teria conseguido o possvel se, repetidas vezes, no tivesse tentado o impossvel. Vamos tentar o impossvel. Que todos os alunos do Ponto dos Concursos passem na SUSEP.

Andr Cunha

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PLANO DE ENSINOO planejamento de um curso um processo dinmico, no esttico, principalmente em se tratando de um curso novo. Foram feitas algumas alteraes no plano de ensino. Aula 0 Data Contedo 31/01 INTRODUO. Introduo s Funes de Sobrevivncia e Tbua de Mortalidade. Paralelo entre Matemtica Financeira e Matemtica Atuarial. Valor Presente Atuarial (VPA). 12/02 CONCEITOS BSICOS. Conceitos bsicos de Probabilidade e Matemtica Financeira. Noes de Clculo Diferencial e Integral.

1

2-3 22/02 FUNES DE SOBREVIVNCIA. Funes de e Sobrevivncia de uma vida. Tbua de Mortalidade. Tempo 01/03 de vida futuro de um recm-nascido, tempo at a morte de uma pessoa de idade x, fora de mortalidade, tbua de mortalidade, relao entre a tbua de mortalidade e funo de sobrevivncia, esperana de vida, leis de mortalidade, mtodos para fracionar idades, tbuas selecionadas. Comutaes. 4 5 08/03 ANUIDADES. Anuidades discretas, contnuas e variveis. 15/03 SEGUROS DE VIDA. Seguros de vida pagos no fim do ano da morte, relao entre seguro de vida e anuidades pagas no momento da morte, seguros variveis. 6 22/03 PRMIOS. Clculo de prmio nico, fracionado, puro e comercial. Planos pagveis por sobrevivncia, morte e invalidez. RESERVAS. Mtodos prospectivo, retrospectivo e recorrncia. 29/03 MLTIPLAS VIDAS. Funes sobrevivncia de mltiplas vidas status da vida conjunta, status do ltimo sobrevivente, funes de contingncia e anuidades reversveis. 05/04 MLTIPLOS DECREMENTOS. Modelos de mltiplos decrementos e suas aplicaes. Tbuas de mltiplos decrementos. 09/04 REGIMES FINANCEIROS E RISCOS. Regimes financeiros: repartio simples, repartio de capitais de cobertura e capitalizao. Risco de subscrio. Risco de longevidade. Risco da taxa de juros. Risco em garantias mnimas.

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Contedo1. Probabilidade ....................................................................................................... 7 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 2.1. 2.2. 2.3. Os Diferentes Tipos de Probabilidade .............................................. 7 Conjuntos e Eventos ............................................................................ 10 Definio Axiomtica de Probabilidade ......................................... 10 Probabilidades Conjunta e Condicional ......................................... 10 Independncia ........................................................................................ 12 Definio de Varivel Aleatria ........................................................ 13 Funo Discreta de Probabilidade ................................................... 14 Funo de Distribuio de Probabilidade ..................................... 15

2. Variveis Aleatrias......................................................................................... 13

2.4. Funo de Sobrevivncia ......................................................................... 15 2.5. Funes de Distribuio e de Densidade de Probabilidade para Variveis Contnuas .................................................................................. 16 2.6. Funes de Probabilidade Conjunta .................................................... 18 2.6.1. Funes de Probabilidade Marginal 2.6.3. Variveis Aleatrias Independentes 3.1. 3.2. 3.3. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. .......................................................21 .......................................................23 2.6.2. Funes de Probabilidade Condicional .......................................................22 3. Valores Esperados Envolvendo Uma nica Varivel Aleatria ....... 24 Mdia .......................................................................................................... 24 Valor Esperado de Uma Funo de Varivel Aleatria ............ 25 Varincia ................................................................................................... 26 Taxa efetiva de juros ................................................... 27 Funo de acumulao ................................................. 28 Taxa instantnea de juros ............................................. 28 Valor Presente ............................................................ 30 Taxas nominais e taxas efetivas .................................... 32 Anuidades ou Rendas ................................................... 33

Matemtica Financeira ......................................................... 27

4.4.1. Valor Presente de uma srie de pagamentos.................................................31

4.6.1. Renda imediata, postecipada e temporria....................................................34 4.6.2. Renda imediata, antecipada e temporria......................................................35 4.6.3. Renda diferida de m anos, postecipada e temporria....................................37

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Pgina 6 de 71 4.6.4. Renda diferida de m anos, antecipada e temporria......................................38 4.6.5. Rendas vitalcias (Perpetuidades).................................................................39 4.6.6. Rendas fracionadas........................................................................................40 4.6.7. Rendas contnuas...........................................................................................42 5. Noes de Derivada e Integral .............................................. 45 5.1. 5.2. 6. 7. 8. Noes de Derivada ..................................................... 45 Noes de Integral....................................................... 46

Exerccios de Fixao .......................................................... 49 GABARITO ......................................................................... 55 Resoluo dos Exerccios de Fixao ...................................... 56

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1.

Probabilidade

A probabilidade a teoria matemtica que permeia toda a Matemtica Atuarial. Um fenmeno aleatrio quando o seu comportamento futuro no pode ser previsto com absoluta certeza. Por exemplo, as condies climticas no dia da prova da SUSEP no podem ser previstas com 100% de acerto. Por outro lado, possvel que a previso do tempo seja realizada em termos probabilsticos. Se voc tiver a curiosidade de consultar o site da empresa Climatempo1, constatar que a previso dada em termos de tendncias e que, inclusive, a seguinte observao feita: Esta tendncia resultado de modelos matemticos e no tem interferncia direta dos meteorologistas. Estes valores podem variar muito de um dia para o outro.. Ou seja, a Climatempo est dizendo para os seus clientes, que so leigos em Meteorologia, que a previso do tempo possui uma margem de erro e que isto se deve utilizao de modelos matemticos probabilsticos de previso. As variveis demogrficas so aleatrias por natureza. No sabemos quais sero os seus valores futuros seno depois de observ-los. Para exemplificar, no sabemos quando vamos morrer (ainda bem!), ou qual a taxa de natalidade que ter o Brasil em 2010. Faremos uma breve reviso dos conceitos fundamentais da teoria da probabilidade nesta aula. 1.1. Os Diferentes Tipos de Probabilidade A) Probabilidade como a razo entre o nmero de resultados favorveis e o nmero total de resultados possveis (teoria clssica) Nesta abordagem a probabilidade de um dado evento2 E calculada a priori3 pela frmula

1 2

http://www.climatempo.com.br O conceito de evento ser formalizado mais adiante nesta aula. 3 Aqui, a priori significa aquilo que est relacionado com o raciocnio lgico a partir de proposies auto-evidentes ou o que pressuposto por experincia. Neste

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(1)

P=

NE N

em que P a probabilidade de E, NE representa o nmero de ocorrncias de E e N o nmero de todos os resultados possveis. Uma noo importante que est subentendida em (1) que os resultados devem ser equiprovveis. Exemplo 1. Lance uma moeda no viciada (ou justa) duas vezes. Os resultados possveis so cara-cara (CC), cara-coroa (CK), coroa-cara (KC) e coroa-coroa (KK). Qual a probabilidade de se obter pelo menos uma coroa? Seja E o evento que denota a obteno de pelo menos uma coroa; ento E o conjunto dos resultados

E = {CK, KC, KK} .O nmero de elementos em E 3. Como N = 4, temos que

P[ E ] =

NE 3 = . N 4

A definio clssica de probabilidade possui alguns defeitos, como, por exemplo, a sua no capacidade de abordar situaes em que os resultados so no equiprovveis. B) Probabilidade como freqncia relativa Considere n realizaes de um experimento aleatrio (vide definio mais adiante). Ento, define-se a probabilidade de um dado evento E como

contexto, a posteriori denotaria o que est relacionado com o raciocnio lgico a partir dos fatos que so observados.

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Pgina 9 de 71(2)

P[ E ] = lim n

nE n

em que nE denota o nmero de ocorrncias de E. Como na prtica no podemos obter infinitas realizaes, temos que (2) estima P[E] dado um valor finito de n. Observe que 0 P[ E ] 1 , pois nE n . Um dos problemas desta abordagem justamente o fato de nunca podermos realizar o experimento por um nmero infinito de vezes. Outra dificuldade que assume-se que a razo nE/n possui um limite para n tendendo a infinito. Apesar dos problemas mencionados acima, a definio de probabilidade como freqncia relativa essencial para a aplicao da teoria da probabilidade ao mundo real. C) Probabilidade baseada na teoria axiomtica Esta a abordagem moderna da probabilidade. Para desenvolv-la, preciso introduzir os conceitos de experimento aleatrio, espao amostral e evento. Um experimento aleatrio simplesmente um experimento em que os resultados so no determinsticos, isto , probabilsticos. O espao amostral o conjunto de todos os possveis resultados de um experimento aleatrio. Um evento um subconjunto do espao amostral que satisfaz a certas restries (no vem ao caso, neste curso, detalhar quais so estas restries). De forma geral, quase todo subconjunto do espao amostral um evento4. O moderno tratamento axiomtico da teoria da probabilidade em grande parte devido pesquisa do brilhante matemtico russo Andrei N. Kolmogorov (1903-1987)5.

4

5

Nem todo subconjunto do espao amostral um evento. Eventos so subconjuntos do espao amostral que tm medidas de probabilidade consistentes com os axiomas da probabilidade do item 1.3. Apesar deste tipo de informao no ser importante para a prova, no nos custa nada conhecer um pouco da histria da matemtica e pagar o tributo a um dos maiores matemticos de todos os tempos!

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Pgina 10 de 711.2. Conjuntos e Eventos Um conjunto uma coleo de objetos abstratos ou concretos. Um exemplo de conjunto concreto o conjunto de todos os residentes na cidade de So Paulo cuja altura exceda 1,60 m. O conjunto de todos os habitantes de So Paulo com altura entre 1,60m e 1,70m um subconjunto do conjunto anterior. No estudo da probabilidade, ns estamos interessados no conjunto de todos os possveis resultados de um experimento (espao amostral) e nos subconjuntos daquele conjunto. comum representar o espao amostral de um experimento aleatrio usando a letra grega (mega). Eventos so subconjuntos de . O prprio conjunto um evento, o qual denominado evento certo. 1.3. Definio Axiomtica de Probabilidade Seja um experimento aleatrio com espao amostral . Considere um evento qualquer E. Define-se probabilidade como a funo P[.] que atribui um nmero P[E] para o evento E do espao amostral denominado probabilidade de E tal que a) P[E] 0. b) P[] = 1. c) P[E F] = P[E] + P[F] se E F = . As expresses (a), (b) e (c) so os axiomas da probabilidade. 1.4. Probabilidades Conjunta e Condicional Assuma que se queira realizar o seguinte experimento: estamos numa certa cidade do Brasil e desejamos coletar dados sobre o tempo local. Em particular estamos interessados em trs eventos, os quais sero denominados A, B e C, onde A o evento que representa uma temperatura igual ou maior a 20 C em qualquer dia; B o evento que denota um ndice de precipitao maior ou igual a 10mm em qualquer dia;Andr Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010

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C o evento que representa a ocorrncia simultnea de A e B, isto , C = AB (ou C = A B); Como C um evento, P[C] uma probabilidade que satisfaz os axiomas. Mas P[C] = P[AB]; neste caso, diz-se que P[AB] a probabilidade conjunta dos eventos A e B. Em muitas situaes prticas, o fenmeno aleatrio de interesse pode ser desmembrado em duas etapas. A informao do que ocorreu numa dada etapa pode influenciar as probabilidades de ocorrncias das etapas seguintes. Nestes casos, diz-se que ganhamos informao e que podemos recalcular as probabilidades de interesse. Essas probabilidades recalculadas so conhecidas como probabilidades condicionais. A definio de probabilidade condicional ser motivada pelo exemplo a seguir. Exemplo 2. Considere os eventos A, B e C definidos acima. Seja ni o nmero de dias em que o evento i ocorreu. Ao longo de 1000 dias (n = 100), foram feitas as seguintes observaes: nA = 711, nB = 406, nAB = 200. Pela interpretao da probabilidade em termos da noo de freqncia relativa, podemos estimar que: P[A] nA/n = 711/1.000 = 0,711 P[B] nB/n = 406/1.000 = 0,406 P[AB] nAB/n = 200/1.000 = 0,200 Agora considere a razo nAB/nA . Esta a freqncia relativa de ocorrncia do evento AB quando o evento A ocorre. Dito de outra forma, nAB/nA corresponde frao do tempo em que o ndice de precipitao maior ou igual a 10mm naqueles dias em que a temperatura igual ou maior a 20 C. Portanto, estamos lidando com a freqncia de um evento, dado que (ou condicionado ao fato de que) outro evento ocorreu. Note que

n AB n AB / n P[ AB] = nA nA / n P[ A]

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Pgina 12 de 71Este conceito emprico sugere que seja introduzido o conceito de uma medida de probabilidade condicional definida por P[ AB] , P[ A]

(3)

P[ B / A] =

P[ A] > 0

em que P[ B / A] denota a probabilidade de que B ocorra dado que A ocorreu. Similarmente,

(4)

P[ A / B] =

P[ AB] , P[ B]

P[ B] > 0

1.5. Independncia Os eventos A e B, pertencentes ao espao amostral , com P[A] > 0 e P[B] > 0, so independentes se e somente se (5)

P[ AB] = P[ A]P[ B] . Importante para a Prova!

Como P[ AB] = P[ B / A]P[ A] = P[ A / B]P[ B] , segue-se que (6) (7)

P[ A / B] = P[ A] P[ B / A] = P[ B]

so vlidas quando A e B so eventos independentes. A definio de independncia diz que, se A e B so independentes, ento o resultado B no ter efeito sobre a probabilidade de A e vice-versa.

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2.

Variveis Aleatrias

2.1. Definio de Varivel Aleatria Uma quantidade X, associada a cada possvel resultado do espao amostral, denominada varivel aleatria discreta se assume valores num conjunto contvel ou enumervel6 (como o conjunto dos nmeros inteiros ou o conjunto dos nmeros naturais ), com certa probabilidade. Logo, uma varivel aleatria uma funo, e no uma varivel propriamente dita. So exemplos de variveis aleatrias discretas:

Nmero de coroas obtido no lanamento de duas moedas; Nmero de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote; Nmero de defeitos em um carro que sai de uma linha de produo.

Considere o lanamento de duas moedas mencionado acima. O espao amostral = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}, e os valores que a varivel aleatria X (nmero de coroas) pode assumir so X = {0, 1, 2}. Observe que o valor x = 0 est associado ao resultado (cara, cara), o valor x = 1 est associado aos resultados (cara, coroa) e (coroa, cara) e o valor x = 2 est associado ao resultado (coroa, coroa). Uma varivel aleatria contnua uma funo que associa elementos do espao amostral ao conjunto dos nmeros reais (conjunto no enumervel). Exemplos de variveis aleatrias contnuas:6

Um conjunto enumervel quando possvel estabelecer uma correspondncia do tipo um para um (biunvoca) com o conjunto dos nmeros naturais. Isto quer dizer que possvel contar um conjunto enumervel.

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Tempo de resposta de um sistema computacional; Volume de gua perdido por dia, num sistema de abastecimento; Resistncia ao desgaste de um tipo de ao, num teste padro.

2.2. Funo Discreta de Probabilidade A funo que atribui a cada valor de uma varivel aleatria discreta sua probabilidade chamada de funo discreta de probabilidade ou, simplesmente, funo de probabilidade (8)

P[ X = xi ] = f ( xi )

i = 1,2,...

Uma funo de probabilidade satisfaz 0 f(xi) 1 e i f(xi) = 1. As variveis aleatrias discretas so completamente caracterizadas pela sua funo de probabilidade. Exemplo 3. Considere o lanamento de um dado no viciado. A probabilidade de se obter um resultado de 1 a 6 igual a 1/6. O espao amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A Fig. 1 ilustra a funo de probabilidade f(xi) =1/6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, da varivel aleatria X.

f(x)1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

0

1

2

3

4

5

6

7

x

Figura 1: funo de probabilidade.

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2.3. Funo de Distribuio de Probabilidade A funo de distribuio ou funo acumulada de probabilidade de uma varivel aleatria discreta X definida pela expresso (9)

F ( x) = P[ X x] .

A Fig. 2 mostra a funo de distribuio F(x) da varivel aleatria do exemplo 3.

F(x)1 5/6 2/3 1/2 1/3 1/6

1

2

3

4

5

6

x

Figura 2: funo de distribuio de probabilidade.

2.4. Funo de Sobrevivncia A funo de sobrevivncia de uma varivel aleatria discreta X definida pela expressoAndr Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010

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(10)

S ( x) = P[ X > x] .

claro que F(x) + S(x) = 1, para todo x.

2.5. Funes de Distribuio, de Densidade de Probabilidade e de Sobrevivncia para Variveis Contnuas Diz-se que f(x) uma funo contnua de probabilidade ou funo densidade de probabilidade para uma varivel aleatria contnua X, se satisfaz duas condies: 1. f(x) > 0 para todo x (-,); 2. a rea definida por f(x) igual a 1. A condio 2 dada pela integral

(11)

f ( x)dx = 1 .

Para calcular probabilidades, temos que, para a bb

(12)

P[a X b] = f ( x)dx .a

Observe que a probabilidade de ocorrncia de um dado valor isolado k sempre nula, ou seja, P[x = k] = 0. As funes de distribuio e de sobrevivncia de uma varivel aleatria contnua X tambm so definidas pela expresso (9) e (10), que podem ser postas nas formasx

(13)

F ( x) =

f ( )d .SUSEP 2010

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Pgina 17 de 71S ( x ) = f ( ) d .x

(14)

De (11), (13) e (14), mais uma vez temos a relao F(x) + S(x) = 1

As Figuras 3 e 4 ilustram as funes densidade de probabilidade e de distribuio de uma varivel aleatria Normal (vide definio no item 4.1).

Figura 3: funo densidade de probabilidade Normal.

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Figura 4: funo de distribuio Normal.

2.6. Funes de Probabilidade Conjunta possvel definir mais de uma varivel aleatria num mesmo espao de probabilidade7. Por exemplo, considere o lanamento simultneo de duas moedas no viciadas. Aqui a ordem do resultado7

Um espao amostral e uma medida de probabilidade P formam um espao de probabilidade . Na verdade, esta definio incompleta; no obstante, est coerente com os conceitos ensinados nesta aula. Para maiores detalhes sobre as sutilezas da teoria de probabilidade, recomendamos que voc consulte (no agora que voc est na reta final para a SUSEP, mas somente depois de passar!) An Introduction to Probability Theory and Its Applications de William Feller. Esse livro considerado uma das bblias da teoria de probabilidade.

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Pgina 19 de 71no importante de modo que os resultados elementares do experimento aleatrio so 1 = CC (cara-cara), 2 = CK (cara-coroa) e 3 = KK (coroa-coroa). Logo, o espao amostral = {CC, CK, KK}. Agora vamos definir as variveis aleatrias: X 1 ( ) = 0 se pelo menos uma das moedas der cara (C) ( X 1 ( ) = 1 para os demais casos) e X 2 ( ) = 1 se der uma cara e uma coroa (CK) ( X 2 ( ) = +1 para os demais casos). Ento P[X1=0] = (porque P[CC] = e P[CK]= ), P[X1=1] = , P[X2=-1] = e P[X2=+1] = . Alm disso, note que a probabilidade do evento conjunto P[X1=0, X2=+1] = P[CC] = . O evento conjunto {X x, Y y} = {X x} {Y y} consiste em todos os resultados tais que X ( ) x e Y ( ) y (veja a Fig. 5).

y

(x, y)

x

Figura 5: a regio hachurada representa o evento conjunto.

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A funo de distribuio conjunta de X e Y definida como (15)FXY ( x, y ) = P[ X x, Y y ] .

Se FXY ( x, y ) for contnua e diferencivel (logo X e Y s podem ser variveis aleatrias contnuas!), a funo densidade de probabilidade conjunta de X e Y pode ser a partir da expresso2 [ FXY ( x, y )] . xy

(16)

f XY ( x, y ) =

A Fig. 6 mostra a funo densidade de probabilidade conjunta Normal. O volume total sob a superfcie da Fig. 6 igual a um, haja vista que

f

XY

( x, y )dxdy = 1

(evento certo).

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Figura 6: grfico da densidade conjunta Normal.

A probabilidade do evento {X x, Y y} dada porx y

(17)

FXY ( x, y ) =

d d f

XY

( , ) .

Sejam X e Y variveis aleatrias discretas. Ento a funo discreta de probabilidade conjunta definida por (18)

f XY ( xi , yk ) = P[ X = xi , Y = yk ] .

2.6.1.

Funes de Probabilidade Marginal

Dada uma funo densidade de probabilidade conjunta, pode-se obter a funo densidade de probabilidade de cada uma das variveis aleatrias individuais.

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Pgina 22 de 71Sejam X e Y variveis aleatrias contnuas com densidade conjunta fXY(x,y). Ento fX(x) e fY(y) so denominadas densidades marginais de X e Y, respectivamente, se so obtidas de fXY(x,y) por meio das expresses

(19) (20)

f X ( x) =

fXY

XY

( x, y )dy

fY ( y) =

f

( x, y )dx

Note que as funes de densidade de probabilidade marginal fX(x) e fY(y) correspondem s funes de densidade de probabilidade individuais de X e Y, respectivamente. Podemos obter resultados similares para variveis aleatrias discretas. Dada a funo discreta de probabilidade conjunta fXY(xi,yk), as funes discretas de probabilidade marginal so dadas por (21) (22)

f X ( xi ) = f XY ( xi , yk )k

f Y ( yk ) = f XY ( xi , yk )i

2.6.2.

Funes de Probabilidade Condicional

Sejam X e Y variveis aleatrias discretas com funo de probabilidade conjunta fXY(xi,yk). Ento as funes discretas de probabilidade condicional P[X=xi/Y=yk] = fX/Y(xi/yk) e P[Y=yk/ X=xi] = fY/X(yk/xi) so definidas como (23)

f X / Y ( xi / yk ) =

f XY ( xi , yk ) , f Y ( yk ) f XY ( xi , yk ) , f X ( xi )

f Y ( yk ) 0

(24)

fY / X ( yk / xi ) =

f X ( xi ) 0

De (21) e (22) resulta que (25)

f XY ( xi , yk ) = f X / Y ( xi / yk ) fY ( yk ) = fY / X ( yk / xi ) f X ( xi )

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Pgina 23 de 71Podemos definir as densidades condicionais associadas a duas variveis aleatrias contnuas X e Y (com densidade conjunta fXY(x,y) e densidades marginais fX(x) e fY(y)) de forma anloga8. A densidade condicional de Y dado o resultado X = x definida por

(26)

fY / X ( y / x) =

f XY ( x, y ) , f X ( x)

f X ( x) 0

e a densidade condicional de X dado o resultado Y = y como

(27)

f X / Y ( x / y) =

f XY ( x, y ) , fY ( y )

fY ( y ) 0 .

2.6.3. Variveis Aleatrias Independentes Quando X e Y so variveis aleatrias independentes a funo de probabilidade conjunta igual ao produto das funes marginais de probabilidade, ou seja (28)f XY ( x, y ) = f X ( x) f Y ( y ) .

Podemos generalizar a frmula (26). Sejam X1, X2, ..., Xn variveis aleatrias independentes com funo de probabilidade conjunta f(x1, x2, ..., xn) e funes marginais de probabilidade f(x1), f(x2), ..., f(xn). Ento vlida a expresso (29)

f ( x1 , x2 ,..., xn ) = f ( x1 ) f ( x2 )... f ( xn ) .

Se X e Y so independentes, ento a densidade condicional de X, dado que Y = y ,

(30)8

f X / Y ( x / y) =

f XY ( x, y ) f X ( x) fY ( y ) = = f X ( x) . fY ( y ) fY ( y )

Apesar de termos afirmado que possvel obter as densidades condicionais (24) e (25) de forma anloga ao caso anterior (que envolvia variveis aleatrias discretas), observe que (24) e (25) so obtidas a partir da definio de probabilidade condicional.

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e a densidade condicional de Y, dado que X = x ,

(31)

fY / X ( y / x ) =

f XY ( x, y ) f X ( x) fY ( y ) = = fY ( y ) . f X ( x) f X ( x)

3.

Valores Esperados Varivel Aleatria

Envolvendo

Uma

nica

J dissemos que uma varivel aleatria completamente caracterizada (ou especificada) pela sua funo de probabilidade. Isto quer dizer que temos toda a informao acerca de X quando sabemos quem fX(x) (isto , quando conhecemos a frmula de fX(x)). Na prtica, bastante comum no conhecermos fX(x). Neste caso, como faramos para caracterizar X? O fato que normalmente temos acesso a diversas observaes de uma varivel aleatria e podemos nos aproveitar deste fato para tentar obter uma descrio, ainda que parcial, da mesma. Uma maneira alternativa de caracterizar uma varivel aleatria envolveria a obteno de estimativas de alguns de seus momentos ou mdias estatsticas. Na prtica, os momentos mais importantes so a mdia (momento de 1 ordem) e a varincia (momento de 2 ordem). A mdia uma medida de posio de fX(x) (veremos o que isso quer dizer logo seguir), ao passo que a varincia uma medida de disperso (ou do grau de variabilidade) de fX(x). A Estatstica tambm define momentos de ordem mais alta como a assimetria (3 ordem) e a curtose (4 ordem), mas eles no sero vistos neste curso porque no so relevantes para a prova. Vejamos a seguir os conceitos de mdia e varincia. 3.1. Mdia A mdia (tambm conhecida como valor esperado ou esperana) uma medida de posio de uma funo de probabilidade, servindo para localizar a funo sobre o eixo de variao da varivel em questo. Em particular, a mdia

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Pgina 25 de 71caracteriza o centro de uma funo de probabilidade9. A mdia uma caracterstica numrica de uma funo de probabilidade. Se X for uma varivel aleatria discreta que pode tomar os valores x1, x2, ..., xn com probabilidades f(x1), f(x2), ..., f(xn), ento a mdia de X definida porn

(32) E[ X ] = x1 f ( x1 ) + x 2 f ( x 2 ) + ... + x n f ( x n ) = xi f ( xi ) .i =1

em que E denota o operador esperana matemtica. Se a varivel aleatria discreta X puder tomar um nmero infinito de valores, ento (30) pode ser generalizada na forma

(33) E[ X ] = x1 f ( x1 ) + x 2 f ( x 2 ) + ... + x n f ( x n ) + ... = xi f ( xi ) .i

O valor esperado de uma varivel aleatria contnua X com densidade de probabilidade fX(x) dada pela integral (34) E[ X ] = xf ( x)dx .

3.2. Valor Esperado de Uma Funo de Varivel Aleatria Seja X uma varivel aleatria discreta com funo de probabilidade fX(xi) e g(X) uma funo de X. Ento o valor esperado de g(X) (35) E[ g ( X )] = g ( xi ) f X ( xi ) .i

9

A mediana e a moda tambm so medidas de posio. A mediana tambm procura caracterizar o centro de uma funo de probabilidade, s que usando um critrio diferente. A mediana calculada com base na ordem dos valores de uma varivel aleatria. A moda (ou modas) corresponde ao valor (ou valores) de mxima probabilidade.

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Pgina 26 de 71Caso X seja uma varivel aleatria contnua com densidade de probabilidade fX(x), o valor esperado de g(X) dado por

(36) E[ g ( X )] =

g ( x) f

X

( x)dx .

Se g ( X ) = g1 ( X ) + g 2 ( X ) , em que g1(X) e g2(X) tambm so funes de X, ento vale (37) E[ g ( X )] = E[ g1 ( X )] + E[ g 2 ( X )] . Relacionamos abaixo algumas propriedades importantes da esperana matemtica E(.). Sejam a e c valores constantes e X uma varivel aleatria (tanto faz se contnua ou discreta), ento valem: 1. E[c] = c ; 2. E[cX ] = cE[ X ] ; 3. E[a + cX ] = a + cE[ X ] . Note-se que tambm usual denotar a mdia de X usando o smbolo X ou a letra grega . 3.3. Varincia Sejam X uma varivel aleatria (discreta ou contnua) e g ( X ) = [ X X ]2 uma funo de X. Define-se a varincia de X (denotada por var(X) ou 2) como o valor esperado E[g(X)] dado por2 (38) var( X ) = X = E[ g ( X )] = E[ X X ]2 = E[ X 2 2 XX + X 2 ] = E[ X 2 ] [ X ]2

Sejam a e c constantes e Z = a + cX. No difcil demonstrar que vale a propriedade (39) var(a + cX ) = c 2 var( X ) .

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A raiz quadrada da varincia chamada de desvio-padro ou erro-padro, sendo denotada pelo smbolo .

4.

Matemtica Financeira

Juros simples no tm nenhuma aplicao relevante para a matemtica atuarial.10 Desta forma, tudo o que se falar daqui para frente envolver apenas capitalizao composta ou contnua. Aqui cabe um parntesis: No tem cado questes envolvendo clculo diferencial e integral nas provas da SUSEP. S que desta vez a ESAF pede no edital anuidades contnuas. Este tpico s pode ser tratado atravs de derivadas e integrais. Por isso veremos matemtica financeira tambm sob essa perspectiva. a) Se voc j estudou clculo alguma vez na sua vida, no deve ter problemas nesta parte, e pule o item 5 desta aula. b) Se voc nunca estudou, vou tentar passar os bizs11 para a prova. No acredito que a ESAF pegue pesado em clculo, at por ser a primeira vez que essa matria consta do edital. Isso ser feito no item 5. Recomendo sua leitura antes do item 4. c) Se voc nunca estudou, uma outra opo pular essa parte. Clculo se d em 4 semestres, 6 horas por semana em um curso de engenharia ou matemtica de alto nvel. No d para aprender em 2 meses. Alm disso, no acredito que caia mais de uma questo envolvendo clculo. Isso implica que umas nove questes no envolvero. Por ltimo, todos temos deficincias. Um dos componentes da frmula do sucesso12 saber reconhec-las, e focar nos nossos pontos fortes. 4.1. Taxa efetiva de juros Dito isso, vamos definir taxa efetiva de juros i, como o montante que uma unidade monetria (u.m.) ir render durante um perodo. Assim, se temos 1 real no comeo do perodo, no fim dele teremos 1 + i.

10

Na minha opinio, a melhor aplicao de juros simples para resolver problemas de juros simples em provas! 11 Carioqus ou Militars para dicas. 12 Desculpe se pareceu brega, mas para mim verdade.

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Pgina 28 de 714.2. Funo de acumulao Definimos a funo de acumulao a(t) como a que representa o valor acumulado de uma u.m. no tempo t. Propriedades de a(t): 1. a(0) = 1 2. t2 > t1 a(t2) > a(t1) 3. a(1) - a(0) = i a(1) = 1 + i 4. a( +) = a().a() A propriedade 1 vem direto da definio de a(t). A propriedade 2 diz que a taxa de juros sempre positiva. Apesar de matematicamente podermos ter i negativo, bem razovel sup-lo positivo para todas as situaes que veremos daqui em diante. A propriedade 3 vem direto da propriedade 1. E da definio de taxa efetiva de juros. A propriedade 4 afirma que os juros que rendem 1 u.m. durante um determinado perodo so iguais aos juros proporcionados por essa mesma u.m. durante uma parte deste perodo mais os juros obtidos reinvestindo-se o capital resultante durante o resto do perodo. Funo de acumulao para t perodos, t inteiro, i constante. (40) a (t ) = a(1) = a (1) = a (1) t = (1 + i ) tk =1 k =1 t t

13

Funo de acumulao para t perodos, t inteiro, taxa efetiva de juros de ik, constante durante o perodo k. (41) a(t ) = (1 + ik )k =1 t

Note que (40) um caso particular de (41) para i = ik. 4.3. Taxa instantnea de juros capitalizao contnua A taxa de capitalizao contnua t (l-se delta t) definida por: (42) t =

1 da (t ) a (t ) dt

13

A frmula (40) vale mesmo para t no inteiro.

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da(t ) a variao da funo acumulao com o tempo. Mede o dt quanto de juros foi agregado durante um intervalo de tempo infinitesimal dt. Dividimos o resultado pelo valor no incio do perodo, a(t), e temos a taxa instantnea de juros, exatamente como fazemos no caso discreto.Dessa forma, t representa e taxa de juros exatamente no instante t. Outra forma de apresentar a taxa instantnea de juros 14 (43) t =

d ln(a (t )) dt

Onde ln( x) = log e ( x) denota o logaritmo neperiano de um nmero positivo x, ou logaritmo de x na base e 2,71828. Partindo de (43) chega-se funo de acumulao para o caso contnuo: (44) r dr a(t ) = e 0t

Quando a taxa instantnea de juros for constante, t = , temos:

(45)

a(t ) = et

Repare que as equaes (40) e (45) referem-se funo de acumulao para taxas de juros constantes. Assim, temos obrigatoriamente

(1 + i ) t = e t (1 + i ) t = (e ) t 1 + i = e E finalmente temos as relaes entre a taxa instantnea de juros e a taxa de juros i: (46) = ln(1 + i ) ou (47) i = e 1 Exemplo 4: Determine a taxa de juros composta equivalente taxa instantnea de juros = 2%. Soluo: Como constante usamos (47):14

Compare as equaes (42) e (43) com as (12) e (13) da Aula 0.

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Pgina 30 de 71i = e 1 = e 0,02 1 = 0,0202 = 2,02%Exemplo 5: Seja t =0,02t, para 0 t 2. Determine a funo de acumulao a(t). Soluo: Como a taxa instantnea varivel, temos de usar (44): r dr 0 , 02 rdr a(t ) = e 0 = e 0t 2

Mas

2

0

0,02rdr = 0,01r 22

[

]

2

0

= 0,01 2 2 0,01 0 2 = 0,04

Assim,

0 , 02 rdr a(t ) = e 0 = e 0,04

4.4. Valor Presente O valor presente (ou atual) de uma u.m. em t o inverso da funo de acumulao a(t). 1Tempo

1 a(t )

0

t

Repare a importncia da funo de acumulao para se trazer a valor presente qualquer montante no futuro. O valor presente (VP) de M, t perodos frente, no regime de juros compostos a taxa i a.p. (ao perodo), dado por:

MTempo

VP

0

t

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Pgina 31 de 71(48) VP =

M M = a(t ) (1 + i ) t

1 . Isso facilita muito nossa notao, posto (1 + i ) que a equao (48) se reduz a VP = Mv t .Por definio, v = O valor presente (VP) de M, t perodos frente, no regime de capitalizao contnua com taxa de capitalizao contnua t dado por:

MTempo

VP

0

t

(49)

r dr M M VP = = t = Me 0 r dr a(t ) e 0

t

4.4.1.

Valor Presente de uma srie de pagamentos

Sejam dados n pagamentos M1, M2, ... , Mn, nos tempos t1, t2, ... , tn. O VP desta srie de pagamentos, no regime de capitalizao composta, dado por

M1

M2 ...

Mn

Tempo

VP

0

t1

t2

...

tn

(50) VP = M 1v + M 2 v + ... + M n vt1 t2

tn

= M jvj =1

n

tj

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4.5. Taxas nominais e taxas efetivas At agora estudamos somente taxas de juros efetivas, isto , o efetivo custo do dinheiro. Mas quando algum vai ao banco pedir um financiamento e informado que os juros nominais cobrados sero de 12% ao ano com capitalizao mensal (12% a.a.c.c.m), ser que essa pessoa pagar efetivamente 12% ao ano? A resposta no. Vejamos o motivo. A populao em geral leiga em matemtica (e em muitas outras coisas). Para o leigo, 12% a.a. equivale a 1% a.m. (ao ms). O seu limite de clculo esse. E assim que so feitas muitas transaes. Desta forma, 12% a.a.c.c.m significa pagar 12%/12 = 1% ao ms. Mas quem paga 1% ao ms paga efetivamente quanto ao ano? Sendo i a taxa anual efetiva, para cada unidade monetria que ele devia no nicio do ano, ele dever, ao final de um ano, 1 + i. Mas ele est pagando 1% a.m. Portanto, para cada unidade monetria que ele devia no nicio do ano, ele dever, ao final de um ano, (1 + 0,01)12. Como os dois capitais no fim do ano tm de ser iguais, temos:

1 + i = (1 + 0,01)12 , de onde i = 0,1268Concluso: 12 % a.a.c.c.m equivalem a 12,68% de taxa efetiva. Para generalizar o resultado obtido usamos exatamente o mesmo raciocnio acima. Sendo: i(m) = taxa nominal pagvel m vezes por perodo i = taxa efetiva do perodo m = nmero de divises do perodo Temos ento

i (m) (51) 1 + i = 1 + m (52) i(m)

ou

m

1 m = m (1 + i ) 1

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Pgina 33 de 71Nota 1: No necessrio memorizar (52), pois apenas manipulao algbrica de (51). Nota 2: No nem necessrio memorizar (51), tendo entendido como chegamos na frmula. Nota 3: A taxa efetiva de juros sempre maior ou igual taxa nominal. As taxas s sero iguais quando forem iguais a zero. i i (m ) . Nota 4: No confundir taxa efetiva ou taxa nominal com taxa real r. A taxa real a taxa efetiva descontada a inflao, ou seja, 1+ i , onde a taxa de inflao do perodo. At segunda 1+ r = 1+ ordem, no vamos usar taxas reais neste curso. Nota 5: Prova-se que lim i ( m ) = , a taxa instantnea de juros.m

Exemplo 6: Determine a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa de 20% a.a.c.c.t (20% ao ano com capitalizao trimestral). Soluo Como so 4 trimestres ao ano, temos: m=4 i(m) = 0,24

0,2 De (51), 1 + i = 1 + = 1,2155 4 Assim, a taxa efetiva anual de 21,55%. 4.6. Anuidades ou Rendas Peo a vocs agora especial ateno neste tpico, devido sua importncia. Apesar de ainda no pertencer ao escopo da Matemtica Atuarial, visto que as rendas so certas e portanto independem de um elemento de risco,15 todo o raciocnio deste item anlogo ao que veremos na Aula sobre anuidades sob a tica atuarial, inclusive do ponto de vista notacional. Rendas so pagamentos peridicos, normalmente anuais, podendo ser de mesmo montante ou no, efetuados durante determinado tempo ou infinitamente, comeando imediatamente ou

15

O valor presente das rendas depende do risco de taxa de juros. O que no sofre risco o pagamento a ser feito. Os antigos detentores de ttulos da Enron no concordam com essa afirmao.

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Pgina 34 de 71diferidos por alguns anos, e so pagos ou no incio ou no fim de cada ano. Daqui em falado nada, constantes e o taxa de juros diante, at o final do curso, quando no for as rendas so formadas por pagamentos regime adotado o de capitalizao composta i.

Toda renda discreta segue o esquema grfico abaixo (repetido por convenincia).

M1

M2 ...

Mn

Tempo

VP

0

t1

t2

...

tn

(50)

VP = M 1v + M 2 v + ... + M n v = M j vt1 t2 tn j =1

n

tj

4.6.1.

Renda imediata, postecipada e temporria

Esta renda segue o seguinte esquema grfico:

1

1 ...

1

Tempo

VP

0

1

2

...

n

Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do primeiro ano (imediata), no final de cada ano (postecipada), durante n anos (temporria). Notao: Valor presente (t = 0):

an

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Valor acumulado (t = n):

sn

(53)

1 vn an = v + v + ... + v = i2 n

(54)

sn = (1 + i)

n1

+ (1 + i)

n 2

(1 + i) n 1 + ... + (1 + i) + 1 = i

Para a obteno de (53) foram usados:

O VP de uma soma de fluxos a soma dos VP`s dos fluxos A frmula da Soma de termos em Progresso Geomtrica:

Soma =

a1 q n 1 , onde a1 o primeiro termo da srie e q a q 1

(

)

razo entre qualquer termo e seu antecessor. Repare que

sn = an (1 + i) n . Isso no coincidncia. Pode sern

provado facilmente multiplicando (53) por (1 + i) . Melhor que provar visualizar.

an

e

sn

so valores da mesma anuidade. A nica

diferena so as datas s quais ambos se referem, 0 e n, respectivamente. Qualquer fluxo em t = 0 pode ser levado para t = n n multiplicando-se por (1 + i) . Logo, podemos ver direto que (55)

sn = an (1 + i) n

4.6.2.

Renda imediata, antecipada e temporria


1

1

1 ...

1

Tempo

VPAndr Cunha

0

1

2

... n-1

n


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Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do primeiro ano (imediata), no comeo de cada ano (antecipada), durante n anos (temporria). Notao: Valor presente (t = 0):

&& an&&n sn 1

Valor acumulado (t = n):

(56)

&& an = 1 + v + v + ... + v2

1 vn 1 vn = = 1 v d

(57)

&&n = (1 + i) + (1 + i) sn

n1

(1 + i) n 1 + ... + (1 + i) = d

Mais uma vez, e pelos mesmos motivos,

(58)

&&n = an (1 + i) n && s

16

Aqui cabe outro parntesis. Nas equaes (56) e (57) apareceu pela primeira vez a taxa de desconto d. A taxa de juros i a razo entre os juros pagos e o valor inicial (Vi). A taxa de desconto d a razo entre os juros pagos e o valor final (Vf). Exemplificando, seja um investimento de 100 reais que acumula no final do perodo 110 reais. A taxa de juros i dada por

Juros 10 = = 10% Vi 100Juros 10 = = 9,09% Vf 110

A taxa de desconto d dada por

16

Deste ponto at o final da aula, nem sempre apresentaremos o valor acumulado, por dois motivos: cai muito menos e, se cair, basta levar o VP ao VF, como fizemos em (55) e (58).

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Pgina 37 de 71Relaes entre d, i e v.

Juros Vi Juros i d= = d = Vf Vf 1+ i Viv+d = i 1 + v + d =1 1+ i 1+ i

Isto posto, voltemos s anuidades. 4.6.3. Renda diferida de m anos, postecipada e temporria


1 ... 0 ... VPmm m+1

1 ...

1

Tempo m+2

VP0

...

m+n

Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do m-simo ano (diferida), no final de cada ano (postecipada), durante n anos (temporria). Notao: Valor presente (t = 0): m / an Podemos calcular essas rendas diretamente, como fizemos em (53) e (54), sem maiores dificuldades. Mas preferimos calcular de outra forma, pois o raciocnio que usaremos o mesmo que vamos precisar para resolver as questes de concurso. Primeiro passo: Calcular o valor dessa renda no instante m ( VPm ): Esse valor nada mais que o valor presente de uma renda imediata, postecipada e temporria, ou seja,

an

.

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Pgina 38 de 71Segundo passo: Calcular o valor dessa renda no instante 0. Em outras palavras, trazer essa renda do instante t = m para o instante t = 0. Para isso, basta multiplicar VPm por vm. Desta forma,

(59)

1 v n v m v m+ n = m / an = v an = v i im m

Outra forma de calcular m / an (60)m/

an = am+n am

17

A equao (60) decorre do fato de que uma renda diferida de m anos, temporria por n anos, pode ser interpretada como uma renda imediata durante m + n anos, subtraindo-se uma renda imediata de m anos. Desenvolvendo (60), temos que:

1 v m+ n 1 v m v m v m+ n = m / an = i i i4.6.4. Renda diferida de m anos, antecipada e temporria


1 ... 0 ... VPmm

1 ...

1

Tempo m+1

VP0

...

m+n-1

m+n

Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do m-simo ano (diferida), no comeo de cada ano (antecipada), durante n anos (temporria). Notao:

17

Faltou a cantoneira no termo am+n, por limitaes do editor de texto utilizado.

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&& Valor presente (t = 0): m / an && Primeira forma de calcular m / an .Primeiro passo: Calcular o valor dessa renda no instante m ( VPm ): Esse valor nada mais que o valor presente de uma renda imediata, antecipada e temporria, ou seja,

&& an

.

Segundo passo: Calcular o valor dessa renda no instante 0. Em outras palavras, trazer essa renda do instante t = m para o instante t = 0. Para isso, basta multiplicar VPm por vm. Desta forma,

(61)

1 v n v m v m+ n && && = m / an = v an = v d dm m

Outra forma de calcular m / an (62)m/

&& && && an = am+n am de (60). O

A interpretao de (62) anloga desenvolvimento deixamos para o aluno. 4.6.5. Rendas vitalcias (Perpetuidades)

Rendas vitalcias, anuidades vitalcias, ou ainda perpetuidades, consistem de pagamentos de 1 u.m. feitos eternamente. Pode parecer elucubrao matemtica, mas no . Em 2009, o Banco do Brasil precificou uma captao de bnus perptuos no valor de US$ 1,5 bilho!18 As perpetuidades podem ser imediatas ou diferidas, antecipadas ou postecipadas, mas obviamente nunca temporrias. Temos ento quatro casos possveis para as perpetuidades:

18

Fonte: www.bb.com.br

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imediata postecipada: imediata antecipada:

a&& a

diferida de m anos postecipada: m / a

&& diferida de m anos antecipada: m / a

Para calcul-las, ou voc utiliza o mesmo raciocnio empregado para o clculo das anuidades temporrias, ou percebe que as perpetuidades so apenas um caso limite das anuidades temporrias, quando o nmero de anos n tende ao infinito. Optamos pela segundo mtodo. Temos ento, dado que lim v n = 0 :n

(63)

1 vn 1 = a = lim an = lim n n i i 1 vn 1 && && = a = lim an = lim n n d d v m v m+ n v m = m / a =limm / an = lim n n i i v m v m+ n v m && && = m / a =limm / an = lim n n d d

(64)

(65)

(66)

4.6.6.

Rendas fracionadas

No pretendemos neste resumo de matemtica financeira esgotar o assunto. Mas vamos introduzir aqui o conceito de rendas fracionadas, e quando estudarmos o assunto em matemtica atuarial nos aprofundaremos. As anuidades fracionadas podem ser imediatas ou diferidas, antecipadas ou postecipadas, temporrias ou perptuas. Vamos apresentar agora apenas renda fracionada imediata, postecipada e temporria. As derivaes dos outros 7 casos so anlogas s que fizemos nos subitens 4.6.1 a 4.6.5.

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Pgina 41 de 71Esta renda segue o seguinte esquema grfico:

1/m

1/m ...

1/m

Tempo

VP

0

1/m

2/m

...

nm =n m

Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. ao ano, divididos em m vezes de 1/m, pagos imediatamente, no final de cada subperodo, durante n anos. Notao: Valor presente (t = 0):(m an ) (m sn )

Valor acumulado (t = n): Temos ento

a

( m) n

1 2 3 1 n 1 m = v + v m + v m + ... + v m + v n m 1

O termo entre parntesis uma P.G. de nm termos cujos primeiro termo e razo so iguais a v m . Assim,

a

( m) n

1 nm 1 1 vm 1 vm vm = = 1 m m 1 vm 1 m

n 1 v 1 m 1 v

Multiplicando denominador e numerador da equao acima por

(1 + i )

1 m

, e usando a relao

v (1 + i ) = 1

1 m

e a equao (52) temos:

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(67)

a

( m) n

1 vn = = ( m) 1 i (1 + i) m 1 m

1 vn

e como

( ( s nm) = a nm) (1 + i) n , segue que ( m)

(68)

sn

1 vn (1 + i) n 1 n = ( m) (1 + i) = i i ( m)

Repare na semelhana das frmulas (67) e (68) com as frmulas (53) e (54), respectivamente. Elas diferem apenas pelo denominador, i ( m ) no caso fracionrio e i no caso no fracionrio.( ( Como i i (m ) , a nm ) a n e s nm ) s n

Em outras palavras, o VP da anuidade fracionada postecipada maior que o VP da paga somente uma vez no perodo. Este um resultado esperado, pois os pagamentos foram antecipados. 4.6.7. Rendas contnuas

Estudamos o pagamento de uma renda sendo feito em m vezes durante o ano. Agora imagine a frequncia m se tornando cada vez maior, indefinidamente, e o intervalo de tempo 1/m cada vez menor, indefinidamente. Teremos assim o que chamamos de renda contnua. Repare que nesse caso no faz sentido se falar em renda antecipada ou postecipada, mas continua a fazer sentido renda diferida ou imediata, e renda temporria ou vitalcia. Como fizemos com rendas fracionadas, vamos estudar apenas um caso. Os outros 3 casos so anlogos. Anuidade contnua, imediata e vitalcia Notao: Valor presente (t = 0): Valor futuro (t = n):

an

sn 1 vn 1 vn = lim ( m) = , m i SUSEP 2010

Do exposto temos que: (69)Andr Cunha

an = lim am

( m) n


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Pgina 43 de 71Onde usamos o fato de lim im ( m)

= , a taxa instantnea de juros.

A nica diferena da equao (69) para (53) e (56) que no denominador aparece a taxa instantnea de juros , no lugar de i e d, respectivamente. Outra forma de provar a equao (69) calcular a integraln

vt v n v0 t = , an = v dt = ln v 0 ln v 0n

Como

ln v = ln(1 + i) 1 = ln(1 + i) = ,

Segue que

vn 1 1 vn an = = , sn, adivinhem:

Para o clculo don

sn = an (1 + i) =

(1 + i) n 1

Exemplo 7: Um felizardo foi contemplado por uma promoo de sua operadora de carto de crdito que lhe dar R$ 5.000,00 por ms, durante 10 anos, sempre no final de cada ms. Sabendo que a taxa de juros de mercado de 1% a.m., determine quanto que a operadora teria de separar hoje, para honrar esse compromisso. O primeiro pagamento dentro de um ms. Soluo: Trata-se de uma renda imediata, postecipada e temporria. Temos o esquema abaixo:

5.000

5.000 ...

5.000

Tempo

VPAndr Cunha

0

1

2

...

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A operadora ter de separar o VP desta renda. Usando (53),

VP = 5000a120

1 vn 1 1,01120 = 5000 = 5000 = 5000 69,70052 0,01 i

Assim, VP = R$348.502,60. Exemplo 8: Uma empresa planeja emitir bnus perptuos remunerando o seu detentor taxa de 10% a.a. Supondo que cada bnus tenha cupons anuais de R$ 500,00, o primeiro sendo pago no dia da emisso, determine o quanto a empresa vai conseguir captar se emitir 100.000 bnus. Soluo: Esta renda segue o seguinte esquema grfico (por bnus):

500

500

500 ...Tempo

VP

0

1

2

...

Esta uma perpetuidade imediata antecipada. Para um bnus, usando (64), temos:

&& VP = 500 a = 500 Mas d =

1 d

i 0,1 1 = = 1 + i 1 + 0,1 11

Assim,

VP = 500

1 = 500 11 = 5500 dSUSEP 2010

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Pgina 45 de 71Como a empresa planeja emitir 100.000 bnus, ela deve captar 100.000 x 5.500 = R$ 550.000.000

5.

Noes de Derivada e Integral

O melhor nome para esse item seria Remendo de Clculo, mas ficaria muito feio no ndice. Procuramos ser rigorosos ao tratar da Teoria das Probabilidades e de Matemtica Financeira. Para o clculo integral, no temos a menor pretenso de sermos rigorosos. Tratar com rigor essa matria, mesmo em um resumo, no tomaria menos de 100 pginas de material, algo de que no dispomos e nem precisamos. Este item se destina aos que nunca viram clculo integral antes, e seu objetivo ajudar no clculo de algumas integrais bsicas, caso caiam na prova da SUSEP. mais um guia de como calcular algumas derivadas e integrais. Agora, e somente agora, o objetivo no aprender, decorar. Quem quiser aprender, deve faz-lo aps o concurso, pois mesmo que no estudasse mais nada alm de clculo at a prova da SUSEP, ainda assim o tempo seria insuficiente para sua devida compreenso. Aos demais j iniciados em clculo, sugiro ir diretamente aos exerccios. 5.1. Noes de Derivada Para o que pode cair na prova, toda funo derivvel. Isto , toda funo f(x) tem uma derivada chamada f`(x).19 A tabela abaixo lista as principais funes e suas respectivas derivadas,sendo a uma constante qualquer, e g e h funes de x.

19

Isto no verdade. H funes no derivveis em alguns pontos. H at funes no derivveis em nenhum ponto.

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Pgina 46 de 71f(x) a x xa ln( x) f`(x) 0 1 ax a 1 1/x ex a x ln(a)

ex ax ag

a g' g ' + h'

g+h5.2. Noes de Integral

Integral o inverso da derivada. Sendo mais preciso, se queremos calcular a integral de f(x), queremos calcular uma funo F(x) tal que F(x) = f(x).

2 x 21

Por exemplo, se f(x) = 2x, F ( x) = x 2 , pois a derivada de x 2 = 2x .

Como a derivada de uma constante zero, qualquer funo do tipo F ( x) = x 2 + c, c constante, uma integral de f(x). Notao: F ( x) = f ( x)dx Assim, como fizemos para as principais integrais na tabela abaixo. derivadas, resumimos as

f(x) 0 1

F(x) c x+c

xa1/x

x a +1 +c a +1

ln(x) + c ex + cax +c ln(a )a G

ex ax

agg+hAndr Cunha

G+HSUSEP 2010


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Na tabela acima, novamente a uma constante qualquer, g e h so funes de x. G e H so as integrais de g e h, respectivamente. Exemplos: a) f ( x) = x F ( x) = 5

x6 f ( x)dx = x dx = +c 65

b) f ( x) = 4 F ( x) = 4dx = 4 1dx = 4 x + c c) f ( x) = x 2 + 3 x + 10 F ( x) = f ( x)dx = ( x 2 + 3x + 10)dx

f ( x) = x 2 dx + 3xdx + 10dx =

x3 x2 + 3 + 10 x + c 3 2

A integral que vimos acima a chamada integral indefinida. Sempre haver a constante na soma. O que pode cair na prova so as integrais definidas. So praticamente iguais s definidas, mas com uma diferena. Vamos estabelecer a integral definida de f(x), variando no intervalo de a at b, como segue:b

f ( x)dx =F (b) F (a)a

Assim, so os seguintes passos que temos de tomar para calcular uma integral. 1 passo: Calcular a integral indefinida F(x) 2 passo: Calcular F(b) e F(a) 3 passo: Calcular F(b) - F(a) simples assim. No tem segredo. Mas no vou lhe enganar. Com isso, voc, que no pulou essa parte, no vai ter aprendido nada de clculo. Mas vai responder s questes que envolvem integrais. s isso que importa. Exemplos: d) Calcule

(x0

6

2

+ 3 x + 10)dx .

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Pgina 48 de 711 passo: Vimos, no exemplo c), que a integral indefinida da x3 x2 + 3 + 10 x + c funo ( x 2 + 3x + 10) F ( x) = 3 2 2 passo:

F (6) =

63 62 + 3 + 10 6 + c = 72 + 54 + 60 + c = 186 + c 2 3

F (0) = c3 passo: Portanto,

(x0

6

2

+ 3 x + 10)dx = F (6) F (0) = 186 + c c = 186

Repare que a constante c foi anulada durante o processo. Como isso sempre ocorrer na integral definida, na prtica no vamos mais escrever a constante no clculo da integral.

10

e) Calcule

v dtt 0

Para a integral, v constante (s no constante o que depender da varivel de integrao, que neste caso t)

Da tabela, a integral de v t 10 10 t

vt . Teremos ento ln v

vt 1 v 10 v 10 v 0 v 10 1 v 10 1 v dt = ln v = ln v = ln(1 + i) 1 = ln(1 + i) = 0 0

S para concluir. Clculo muito mais que isso. Mas dificilmente numa prova da ESAF cair algo mais sofisticado. Mesmo assim, se cair, uma questo somente no capaz de lhe tirar do preo.

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6.

Exerccios de Fixao

O enunciado abaixo refere-se s questes de nmeros 1 a 4. Aps vrios anos de magistrio no ensino superior, um professor de Estatstica constatou que, em sua aula na graduao, a funo de probabilidade de X, varivel aleatria que representa o nmero de alunos ausentes s sextas-feiras, a seguinte X f(x) 0 0,010 1 0,020 2 0,310 3 0,320 4 0,240 5 0,080 6 0,019 7 0,001

1. Ento a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos estaro ausentes (A) 0,63 (B) 0,13 (C) 0,87 (D) 0,56 (E) 1 2. O valor esperado da varivel aleatria X (A) 3,08 (B) 3,26 (C) 2,12 (D) 0,32 (E) 0,96

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Pgina 50 de 713. O valor esperado de Y = 5X + 4 (A) 4 (B) 3,1 (C) 15,4 (D) 19,4 (E) 81 4. A varincia de X (A) 9,49 (B) 1,22 (C) 10,71 (D) 19,4 (E) 81 O enunciado a seguir refere-se s questes de nmeros 5 e 6. Seja X uma varivel aleatria com densidade de probabilidade f X ( x) = 2 2 x para 0 x 1 e f X ( x) = 0 para os demais valores. 5. A probabilidade de se obter X maior do que 0 (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1

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Pgina 51 de 716. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1

O enunciado a seguir refere-se s questes de nmeros 7 a 10 Um total de 15.064.859 alunos esto matriculados no ensino superior, divididos entre cursos com durao de 4 anos, de 2 anos e de menos de 2 anos. A matrcula, separada por sexo, mostrada na tabela a seguir. 4 anos Homens Mulheres 4.076.416 4.755.790 2 anos 2.437.905 3.310.086 Menos de 2 anos 172.874 311.788

Fonte: Digest of Educational Statistics 1997, Tabela 170.

Nessa populao, as probabilidades aproximadas de matrcula em um dos tipos de instituio de ensino superior, por sexo, so 4 anos Homens Mulheres 0,27 0,32 2 anos 0,16 0,22 Menos de 2 anos 0,01 0,02

Considere o experimento de extrair aleatoriamente um estudante matriculado de sua populao. Defina a varivel aleatria X = 0, se um homem selecionado, e X = 1, se uma mulher selecionada. Defina a varivel aleatria Y = 1, se o estudante escolhido de um curso de 4 anos, Y = 2, se o estudante escolhido de um curso de 2 anos e Y = 3, se de um curso de menos de 2 anos.

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Pgina 52 de 717. Qual a probabilidade do estudante escolhido aleatoriamente ser homem (X = 0)? (A) 0,44 (B) 0,56 (C) 0,59 (D) 0,38 (E) 0,03

8. Qual a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente, ser de um curso de 2 anos (Y = 2)? (A) 0,44 (B) 0,56 (C) 0,59 (D) 0,38 (E) 0,03 9. Assinale a alternativa com a funo discreta de probabilidade marginal f ( x) .

0, x = 0 (A) f ( x) = 1, x = 1 0,56, x = 0 (B) f ( x) = 0,44, x = 1 0,44, x = 0 (C) f ( x) = 0,56, x = 1 0,59, x = 0 (D) f ( x) = 0,38, x = 1 0,38, x = 0 (E) f ( x) = 0,59, x = 1

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Pgina 53 de 7110. A funo de probabilidade condicional para Y, dado que X =1 0,57, y = 1 (A) fY / X ( y / x = 1) = 0,40, y = 2 0,02, y = 3 0,02, y = 1 (B) fY / X ( y / x = 1) = 0,29, y = 2 0,48, y = 3 0,48, y = 1 (C) fY / X ( y / x = 1) = 0,29, y = 2 0,02, y = 3 0,04, y = 1 (D) fY / X ( y / x = 1) = 0,40, y = 2 0,57, y = 3 0,57, y = 1 (E) fY / X ( y / x = 1) = 0,40, y = 2 0,04, y = 3

11. Determine o valor presente de uma anuidade que paga R$20 de forma contnua, durante 6 anos e meio. A taxa de juros composta de 10% a.a. 12. (AFC STN 2008 ESAF) Em uma loja de departamentos est sendo oferecida a seguinte promoo: nas compras acima de R$ 5.000,00, o valor parcelado em 5 parcelas mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira em 90 dias. Com base nessa condio e sabendo que a taxa aplicada ao mercado de 2,5% a. m., podemos afirmar financeiramente que: A) as compras com valores de at R$ 5.000,00, quando parceladas, compensam financeiramente as compras de valores superiores a este valor, indicadas pela promoo. B) a loja deve fazer mais vezes esta promoo, especialmente em pocas festivas tipo Natal, pois trar um maior volume de vendas e de ganho nas operaes. C) 10% um desconto possvel para o pagamento a vista. D) o valor a vista no pode ter desconto, pois no propicia o retorno dos clientes, implicando em prejuzos operao.

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Pgina 54 de 71E) a loja deve evitar fazer esta promoo, pois, por ter custo financeiro, descapitaliza a empresa, visto que reduz financeiramente seu capital de giro. 13. Uma perpetuidade antecipada e imediata tem, a uma taxa de juros de 5%, valor presente de R$ 210. Qual o valor de cada pagamento? 14. Considere uma anuidade que paga 1 real no fim do primeiro perodo, 2 reais no fim do segundo, e assim por diante, at o fim do sexto perodo, quando paga 6 reais. Determine uma expresso para o valor presente desta renda.

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Pgina 55 de 71

6.1C 2A 3D 4B 5E 6C 7A 8D 9C

GABARITO

10 - E 11 - R$ 96,90 12 C 13 - R$ 10 14 && a 6 6v 6

i

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7.

Resoluo dos Exerccios de Fixao

O enunciado abaixo refere-se s questes de nmeros 1 a 4. Aps vrios anos de magistrio no ensino superior, um professor de Estatstica constatou que, em sua aula na graduao, a funo de probabilidade de X, varivel aleatria que representa o nmero de alunos ausentes s sextas-feiras, a seguinte X f(x) 0 0,010 1 0,020 2 0,310 3 0,320 4 0,240 5 0,080 6 0,019 7 0,001

1. Ento a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos estaro ausentes (A) 0,63 (B) 0,13 (C) 0,87 (D) 0,56 (E) 1 Resoluo A probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 estaro ausentes dada por4

f ( x) = 0,310 + 0,320 + 0,240 = 0,87x=2

GABARITO: C

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Pgina 57 de 712. O valor esperado da varivel aleatria X (A) 3,08 (B) 3,26 (C) 2,12 (D) 0,32 (E) 0,96 Resoluo7

E[ X ] = xf ( x)x =0

Logo, E[X]

= 0 0,01 + 1 0,02 + 2 0,31 + 3 0,32 + 4 0,24 + 5 0,08 + 6 0,019 + 7 0,001 = 3,081 3,08GABARITO: A 3. O valor esperado de Y = 5X + 4 (A) 4 (B) 3,1 (C) 15,4 (D) 19,4 (E) 81 Resoluo

E[Y ] = E[5 X + 4] = 5E[ X ] + 4 = 5 3,081 + 4 = 15,405 + 4 = 19,405 19,4 .GABARITO: D

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Pgina 58 de 714. A varincia de X (A) 9,49 (B) 1,22 (C) 10,71 (D) 20,305 (E) 85,525 Resoluo7

var( X ) = E[ X 2 ] X 2 = x 2 f ( x) X 2 .x =0

xx =0

7

2

f ( x) =0 2 0,01 + 12 0,02 + 2 2 0,31 + 3 2 0,32 + 4 2 0,24 + 5 2 0,08 +

+ 6 2 0,019 + 7 2 0,001 = 10,713Ento,

var( X ) = E[ X 2 ] X 2 = 10,713 3,0812 = 10,713 9,493 = 1,22 .GABARITO: B O enunciado a seguir refere-se s questes de nmeros 5 e 6. Seja X uma varivel aleatria com densidade de probabilidade f X ( x) = 2 2 x para 0 x 1 e f X ( x) = 0 para os demais valores. 5. A probabilidade de se obter X maior do que 0 (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1Andr Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010

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Resoluo O grfico da funo densidade de probabilidade f X ( x) = 2 2 x est representado abaixo. A probabilidade de se obter X maior do que 0 , por definio, igual rea sob f(x), a qual unitria, pois representa a probabilidade do evento certo. Conferindo:

P[ X > 0] =

base altura 1 2 = = 1. 2 2

f(x) 2

1

0

0,5

1

x

GABARITO: E 6. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1

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Pgina 60 de 71

Resoluo A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 igual rea sob f(x) no intervalo 0,5 < x 1 . Ou seja

P[ X > 0,5] =

0,5 1 = 0,25 . 2

GABARITO: C O enunciado a seguir refere-se s questes de nmeros 7 a 10. Um total de 15.064.859 alunos esto matriculados no ensino superior, divididos entre cursos com durao de 4 anos, de 2 anos e de menos de 2 anos. A matrcula, separada por sexo, mostrada na tabela a seguir. 4 anos Homens Mulheres 4.076.416 4.755.790 2 anos 2.437.905 3.310.086 Menos de 2 anos 172.874 311.788

Fonte: Digest of Educational Statistics 1997, Tabela 170.

Nessa populao, as probabilidades aproximadas de matrcula em um dos tipos de instituio de ensino superior, por sexo, so 4 anos Homens Mulheres 0,27 0,32 2 anos 0,16 0,22 Menos de 2 anos 0,01 0,02

Considere o experimento de extrair aleatoriamente um estudante matriculado de sua populao. Defina a varivel aleatria X = 0, se um homem selecionado, e X = 1, se uma mulher selecionada. Defina a varivel aleatria Y = 1, se o estudante escolhido de um curso de 4 anos, Y = 2, se o estudante escolhido de um curso de 2 anos e Y = 3, se de um curso de menos de 2 anos.

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Pgina 61 de 717. Qual a probabilidade do estudante escolhido aleatoriamente ser homem (X = 0)? (A) 0,44 (B) 0,56 (C) 0,59 (D) 0,38 (E) 0,03 Resoluo Seja

f XY ( xi , yk ) ,

i = 1,2

e

k = 1,2,3 ,

a

funo

discreta

de

probabilidade conjunta da populao de homens e mulheres da questo. Sendo assim, temos as seguintes probabilidades conjuntas:f XY ( x = 0, y = 1) = 0,27 (i=1, k=1), f XY ( x = 0, y = 2) = 0,16 (i=1, k=2), f XY ( x = 0, y = 3) = 0,01 (i=1, k=3), f XY ( x = 1, y = 1) = 0,32 (i=2, k=1), f XY ( x = 1, y = 2) = 0,22 (i=2, k=2) e f XY ( x = 1, y = 3) = 0,02 (i=2, k=3).

Note

que

fi =1 k =1

2

3

XY

( xi , yk ) = 0,27 + 0,16 + 0,01 + 0,32 + 0,22 + 0,02 = 1

(probabilidade do evento certo). O enunciado determina que a Observe que P[ X = 0] = f X ( x = 0) , escolhido aleatoriamente ser marginal f X (x) no ponto x =0. probabilidade P[ X = 0] seja calculada. isto , a probabilidade de o estudante homem igual probabilidade Vimos que f X ( xi ) = f XY ( xi , yk ) . Logo,k

P[ X = 0] = f X ( x = 0) = f XY ( x = 0, y = 1) + f XY ( x = 0, y = 2) + f XY ( x = 0, y = 3)]

P[ X = 0] = 0,27 + 0,16 + 0,01 = 0,44GABARITO: A

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Pgina 62 de 718. Qual a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente, ser de um curso de 2 anos (Y = 2)? (A) 0,44 (B) 0,56 (C) 0,59 (D) 0,38 (E) 0,03 Resoluo Seja g Y ( y ) = f XY ( xi , yk ) a funo de probabilidade marginal de Y.i

P[Y = 2] = g Y ( y = 2) g Y ( y = 2) = f XY ( x = 0, y = 2) + f XY ( x = 1, y = 2)

P[Y = 2] = P[ X = 0, Y = 2] + P[ X = 1, Y = 2] = 0,16 + 0,22 = 0,38 .GABARITO: D 9. Assinale a alternativa com a funo discreta de probabilidade marginal f ( x) .

0, x = 0 (A) f ( x) = 1, x = 1 0,56, x = 0 (B) f ( x) = 0,44, x = 1 0,44, x = 0 (C) f ( x) = 0,56, x = 1 0,59, x = 0 (D) f ( x) = 0,38, x = 1 0,38, x = 0 (E) f ( x) = 0,59, x = 1

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Pgina 63 de 71Resoluo Sabemos que f X ( xi ) = f XY ( xi , yk ) . Portanto,k

f X ( x = 0) = f XY ( x = 0, y = 1) + f XY ( x = 0, y = 2) + f XY ( x = 0, y = 3) = 0,44 na questo 7). f X ( x = 1) = f XY ( x = 1, y = 1) + f XY ( x = 1, y = 2) + f XY ( x = 1, y = 3) =

(calculado

= 0,32 + 0,22 + 0,02 = 0,56 .Assim a funo de probabilidade marginal f ( x ) dada por

0,44, x = 0 f ( x) = 0,56, x = 1GABARITO: C 10. A funo de probabilidade condicional para Y, dado que X =1 0,57, y = 1 (A) fY / X ( y / x = 1) = 0,40, y = 2 0,02, y = 3 0,02, y = 1 (B) fY / X ( y / x = 1) = 0,29, y = 2 0,48, y = 3 0,48, y = 1 (C) fY / X ( y / x = 1) = 0,29, y = 2 0,02, y = 3 0,04, y = 1 (D) fY / X ( y / x = 1) = 0,40, y = 2 0,57, y = 3 0,57, y = 1 (E) fY / X ( y / x = 1) = 0,40, y = 2 0,04, y = 3 Andr Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010

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Pgina 64 de 71

Resoluo Pela definio de probabilidade condicional temos que

fY / X ( y = 1 / x = 1) = fY / X ( y = 2 / x = 1) = fY / X ( y = 3 / x = 1) =

4.755.790 0,57 8.377.664 3.310.086 0,40 8.377.664 311.788 0,04 8.377.664

Observe que

fY / X ( y = 1 / x = 1) + fY / X ( y = 2 / x = 1) + fY / X ( y = 3 / x = 1) 1 (evento certo)Assim a funo de probabilidade marginal fY / X ( y / x = 1) dada por

0,568, y = 1 fY / X ( y / x = 1) = 0,395, y = 2 0,037, y = 3

e

fY / X ( y / x = 1) = 0 p/ os demais valores de y.

Tambm podemos resolver a questo usando a frmula

fY / X ( y / x = 1) =

f XY ( x, y ) . f ( x = 1)

Assim sendo,

fY / X ( y = 1 / x = 1) = fY / X ( y = 2 / x = 1) = fY / X ( y = 2 / x = 1) =GABARITO: EAndr Cunha

f XY ( x = 1, y = 1) 0,32 = 0,57 f ( x = 1) 0,56 f XY ( x = 1, y = 2) 0,22 = 0,40 0,56 f ( x = 1) f XY ( x = 1, y = 3) 0,02 = 0,04 f ( x = 1) 0,56


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Pgina 65 de 71

11. Determine o valor presente de uma anuidade paga R$20 de forma contnua, durante 6 anos e meio. A taxa de juros composta de 10% a.a. Resoluo

O enunciado pede

20a6,5 .

Da frmula (69), temos que

a 6,5 =

1 v 6 ,5

.

Foi dado i = 10%, a taxa de juros composta. Vamos calcular a taxa instantnea de juros .

= ln(1 + i) = ln1,10 = 0,953 .1 v 6,5 1 1,10 6,5 = 20 = 20 4,85 = 96,90 0,0953

Portanto, 20a 6,5 = 20

GABARITO: R$ 96,90 12. (AFC STN 2008 ESAF) Em uma loja de departamentos est sendo oferecida a seguinte promoo: nas compras acima de R$ 5.000,00, o valor parcelado em 5 parcelas mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira em 90 dias. Com base nessa condio e sabendo que a taxa aplicada ao mercado de 2,5% a. m., podemos afirmar financeiramente que: A) as compras com valores de at R$ 5.000,00, quando parceladas, compensam financeiramente as compras de valores superiores a este valor, indicadas pela promoo. B) a loja deve fazer mais vezes esta promoo, especialmente em pocas festivas tipo Natal, pois trar um maior volume de vendas e de ganho nas operaes. C) 10% um desconto possvel para o pagamento a vista. D) o valor a vista no pode ter desconto, pois no propicia o retorno dos clientes, implicando em prejuzos operao. E) a loja deve evitar fazer esta promoo, pois, por ter custo financeiro, descapitaliza a empresa, visto que reduz financeiramente seu capital de giro.

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Resoluo Questo facilitada pelo examinador, pois as opes A, B, D e E no fazem o menor sentido. Mas vamos ver porque o item C est correto. Para facilitar os clculos vamos supor uma compra no valor de 10.000. O raciocnio funciona para qualquer valor que voc escolher. Assim, pela promoo, sero pagas 5 parcelas mensais iguais de 2.000, a primeira em 90 dias. Temos ento o seguinte esquema grfico, sendo o tempo expresso em meses:

2000

2000

2000

2000

2000

Tempo (meses)

VP0

0

1

2

3

4

5

6

7

A taxa de juros de mercado de 2,5% a.m. Vamos calcular o VP dos pagamentos. Trata-se de uma anuidade diferida e temporria. Pode ser antecipada (3 anos de diferimento) ou postecipada (2 anos de diferimento). Por que?

Antecipada:

&& VP = 20003 / a5VP = 20002 / a5

Postecipada:

Vamos usar a segunda frmula: ambas tm de dar o mesmo resultado. Verifique.

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Pgina 67 de 71De (59) :

1,0252 1,0257 VP = 20002 / a5 = 2000 = 2000 4,4220 = 8844 0,025Assim, uma venda de 10.000, nas condies do exerccio, equivale a uma receita vista de 8.844. Qualquer valor vista superior 8.844 vivel para a empresa. Logo, um desconto de 10%, que resultaria numa venda de 9.000 vista, possvel. GABARITO: C 13. Uma perpetuidade antecipada e imediata tem, a uma taxa de juros de 5%, valor presente de R$ 210. Qual o valor de cada pagamento? Resoluo O examinador no precisa ser rigoroso. ele quem manda. Na falta de rigor dele com o enunciado, ns temos de usar de bom senso para acertar a questo. A taxa de 5%. Vamos supor que seja ao perodo. No fosse assim, o problema seria indeterminado. O problema agora nos d o VP e pede o valor de cada pagamento. Sugiro sempre fazer o esquema grfico, pois nos ajuda a evitar erros.

P

P

P ...Tempo

0VP = 210

1

2

...

Como se trata de uma anuidade imediata antecipada, usamos a equao (64). Como VP = 210, temos

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Pgina 68 de 71&& VP = P a 210 = P

1 0,05 i P = 210d = 210 = 210 = 10 1+ i 1,05 d

Logo, o valor de cada pagamento de R$ 10. Verifique, sem fazer contas, porque a equao 210 = P + P a levaria ao mesmo resultado! GABARITO: R$ 10. 14. Considere uma anuidade que paga 1 real no fim do primeiro perodo, 2 reais no fim do segundo, e assim por diante, at o fim do sexto perodo, quando paga 6 reais. Determine uma expresso para o valor presente desta renda. Resoluo Esta questo teoria disfarada de exerccio. Vejamos o motivo. Esta renda segue o seguinte esquema grfico:

1

2

3

4

5

6

Tempo (perodos)

VP0

0

1

2

3

4

5

6

Trazendo os 6 pagamentos a valor presente, temos:

VP0 = v + 2v 2 + 3v 3 + 4v 4 + 5v 5 + 6v 6Esta equao j responde a questo. Fcil, no? Entretanto, alm de ser um procedimento pouco elegante (mas esquea

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Pgina 69 de 71elegncia na prova, o que importa acertar), a opo correta poderia (poderia no, iria!) vir em outro formato. Soluo 1: A equao VP0 = v + 2v 2 + 3v 3 + 4v 4 + 5v 5 + 6v 6 o que se chama informalmente de P.A P.G. Os termos em v esto em P.G. e seus coeficientes em P.A. O macetepara resolv-la multiplicar ambos os membros dela pela razo da P.G. Temos ento:

VP0 = v + 2v 2 + 3v 3 + 4v 4 + 5v 5 + 6v 6 v VP0 = v 2 + 2v 3 + 3v 4 + 4v 5 + 5v 6 + 6v 7Subtraindo a 2 equao da 1, chegamos a

(1 v) VP0 = v + v 2 + v 3 + v 4 + v 5 + v 6 6v 7 (1 v) VP0 = v (1 + v + v 2 + v 3 + v 4 + v 5 ) 6v 7O termo (1 + v + v 2 + v 3 + v 4 + v 5 ) o VP de uma renda imediata, antecipada e temporria de 6 anos, ou seja,

&& a6 .

7 && Assim, (1 v) VP0 = v a 6 6v e segue que

VP0 =

v v7 && a6 6 . (1 v) (1 v)

J est razoavelmente compacto, mas d para melhorar. Se 1 , ento com alguma manipulao algbrica, chegamos a v= 1+ i v 1 = . (1 v) i Finalmente, conclumos que VP0 =

&& a 6 6v 6 i

.

Importante: Uma renda que consiste de pagamentos em P.A., comeando com 1 u.m. a partir do final do primeiro ano, at chegar a

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n u.m`s no final do n-esimo ano, recebe a notao de increasing annuity).

( Ia) n

(Ia de

Usando raciocnio idntico ao que usamos neste exerccio, provase que

( Ia) n =

&& an nv n i

Soluo 2: J usando a notao apresentada, (Ia) 6 a soma de 6 anuidades diferidas, postecipadas e temporrias20. A tabela abaixo ilustra essa afirmao. Ano 1 1 Ano 2 1 1 Ano 3 1 1 1 Ano 4 1 1 1 1 Ano 5 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 Ano 6 1 1 1 1 1 1 6

0/ 1/ 2/ 3/ 4/ 5/

a6 a5 a4 a3 a2 a1

Soma

Esta soma tem exatamente os mesmos pagamentos que ( Ia 6 ) . Portanto, ter o mesmo VP. J colocando na notao de somatrio, podemos afirmar que5

( Ia ) 6 = k / a6 k . Desenvolvendo, usando a frmula (59),k =0

( Ia ) 6 = k / a 6 k = k =0

5

v k v k + 6 k 5 v k v 6 k =0 = = i i k =0 k =05

(v k v 6 )i

5

=

vk v6k =0 k =0

5

5

i

20

O termo

0/

a 6 pode ser visto como uma renda diferida em zero anos.http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010

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Pgina 71 de 71Como

& v k = a&6 , ek =0

5

vk =0

5

6

= 6v 6 , temos finalmente que

( Ia) 6 =

&& a 6 6v 6

i&& a 6 6v 6

GABARITO:

i

O que importa nessa aula o raciocnio que usamos para calcular as anuidades. No podemos decorar frmulas para tudo, mas podemos raciocinar em cima de qualquer coisa que nos peam. Na Aula 4 veremos anuidades sob a tica atuarial. Logo, ser uma aula mais completa. Mas certamente podemos dizer que compreender a parte de Matemtica Financeira da aula atual um passo gigante para compreender a Aula 4. Abrao a todos e bons estudos.

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