Matemática Atuarial 01

8/13/2019 Matemtica Atuarial 01

1/23

Bibliografia:

1. C. W. Jordan, Lifes Contingencies - The Society of Actuaries/!"#.

2. Jos$ %on&ales %al$ - 'le(entos de C)lculo Actuarial - *(+resso en La renta Lo+e& -Buenos Aires - e&e(bro !.

*. *ntrodu01o:

A an)lise siste()tica das conting2ncias de 3ida hu(ana constitui osfunda(entos do trabalho de u( atu)rio. 4a solu01o dos +roble(as en3ol3endo essasconting2ncias, ele necessita +roceder alguns ti+os de (edi01o dos seus efeitos5 e e( setratando de +roble(as de nature&a financeira, ou se6a, de siste(as de financia(ento, ele

+recisa ta(b$( de utili&ar u(a s$rie de +rinc7+ios, segundo os 8uais as (edi09es se6a(co(binadas co( as fun09es de 6uros, no sentido de 8uantificar (onetaria(ente.

A +ri(eira +reocu+a01o do atu)rio $ co( as conting2ncias de (orte esobre3i32ncia. 4esta +ri(eira a+ostila, considerare(os a +roble()tica de dar e+ress1o8uantitati3a +ara os +adr9es obser3ados de (ortalidade e, definire(os e ea(inare(os asdi3ersas fun09es 8ue s1o utili&adas +ara esse fi(. 4as a+ostilas seguintes, desen3ol3ere(osf;r(ulas nas 8uais as fun09es de (ortalidade e as fun09es de 6uros s1o co(binadas de for(aa +rodu&ir 3alores (onet)rios +ara as anuidades +or sobre3i32ncia e +ara os seguros de 3ida.

. A fun01o sobre3i32ncia:

< +adr1o nor(al de (ortalidade obser3ado entre as 3idas hu(anas $geral(ente fa(iliar. A eli(ina01o +or (orte das 3idas indi3iduais, $ u( tanto forte nos+ri(eiros anos de 3ida, decrescendo na (eninice +ara crescer ao longo da adolesc2ncia e da(eia-idade e acelerar o cresci(ento co( a a+roi(a01o do li(ite ()i(o desobre3i32ncia (w). rocurando u(a 8uantifica01o da etens1o desses efeitos, 3a(osco(e0ar +or definir u(a fun01o de +robabilidade funda(ental.

Se6a x a idade e( anos da 3ida hu(ana. 'nt1o x+ode assu(ir 8ual8uer3alor de 0=&ero> at$ o li(ite ()i(o de sobre3i32ncia(w).

)g.

APOSTILA N 1 DE MATEMTICA ATUARIAL

A Medio da Mortalidade

APOSTILA N 1 DE MATEMTICA ATUARIAL

A Medio da Mortalidade


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Considerare(os agora a +robabilidade de u(a no3a 3ida, de idade 0=&ero>,sobre3i3er ? idade x. 4;s +ode(os estudar essa +robabilidade co(o u(a fun01o de x, e nosreferire(os a ela co(o fun01o sobre3i32ncia, s(x).

A fun01o sobre3i32ncia s(x)te( as seguintes +ro+riedades:

i) s=> $ u(a fun01o cont7nua, decrescente e( rela01o ? 3isto 8ue a +robabilidade de =@>sobre3i3er ? idade $ (aior 8ue a de sobre3i3er ? idade t, t @5

ii) s=> $ u(a fun01o cont7nua de x definida no inter3alo @ , 8ue decresce do3alor s=@> D at$ s=> D @.

Notao: (0) =+essoa de eata(ente idade &ero.

w = li(ite ()i(o de sobre3i32ncia, ou se6a, a +ri(eira idade e( 8ue n1o h)sobre3i3entes =geral(ente w$ u(a idade +r;i(a de @@ anos>.

Eig. : FCur3a de sobre3i32ncia deri3ada da e+eri2ncia realG:

se6a linearG:

)g.


3/23

Kerifica-se 8ue a fun01o de sobre3i32ncia s=> D -:

@#5 @ @# atende ?s

+ro+riedades estudadas +ois:

s(x) =- /@# @

s(0) =s(105) =@

ortanto, s=> D -

:

@# $ u(a fun01o cont7nua e decrescente no inter3alo @ @#,assu(indo o 3alor ()i(o de no +onto D @ e o 3alor (7ni(o de @ no +onto D D @#.

a fun01o de sobre3i32ncia s=> D -:

@#5 @ @#, +ode(os tirar

8ue:

.+rob =@> sobre3i3er ? idade #=s=#> D -#

@#D M/".

.+rob =@> sobre3i3er ? idade =s=> D -/

@#D N/#.

.+rob=@> falecer entre # e anos: s=#> - s=> D M/" - N/# D !/N#.

Oual $ a +robabilidade + de =#> sobre3i3er ? idade de anosP ' de (orrerat$ essa idadeP

)g. N


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s(42) = + . s=#> + Ds

s

= >

= >

# D

N / #

M / " D " / @, +ortanto, a +robabilidade contr)ria

corres+ondente a -+ D - "/@ D N/@.

Su+ondo u(a segunda fun01o: s=> D

@. @@ - @ @@,5 te(os:

y = Q uu

D Q . u y D Qu

s D

@.

-

@@ - D/ ,

,,

= >

= -

@ @@

@5 @ @@.

s=@> D

@. @@ D

s=@@> D

@. @ D @

8ue, +ortanto, s=> $ u(a fun01o de sobre3i32ncia. ede-se calcular ent1o:

.+rob =@> sobre3i3er ? idade NM D s=NM> D

@ @@ - NM D R/ @ D / #

.+rob =@> sobre3i3er ? idade M D s=M> D

@ @@- M D M / @ D N / #

.+rob =NM> sobre3i3er ? idade M Ds

s

= >

= >

M

NM D

N / #

/ # D N /

.+rob =@> (orrer entre as idades NM e M

D D s=NM> - s=M> D / # - N / # D / #.s s

s

= > = >

= >

NM M

@

.+rob =NM> (orrer antes dos M D D / # - N / #

/ # D

/ #

/ # D /

s s

s

= > = >

= >

NM M

NM

*


5/23

N. T)bua de (ortalidade:

N.. A+resenta01o:

Su+onha(os 8ue se dese6e estudar o efeito da fun01o de sobre3i32ncia

s = > D

@ @@- 5 @ @@,

nu( deter(inado gru+o de @@.@@@ 3idas rec$(-nascidas.

Eig. N

Agora, o nU(ero de 3idas sobre3i3entes ? idade $ u(a 3ari)3elaleat;ria co( o 3alor es+erado de:

' => @@.@@@ . s=> D= @@.@@@!!

@ D !!.!!, 8ue $ denotado +or l.

ode(os agora calcular o nU(ero es+erado de (ortes ocorridas no I ano de3ida: @@.@@@ - !!.!! D #@, 8ue $ denotado +or d.

Ka(os deter(inar agora le d:

lD @@.@@@ . s=> D @@.@@@!R

@ D !R.!!# e,

dD !!.!! - !R.!!# D #@

)g. #


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Seguindo este racioc7nio, +ode(os elaborar a seguinte T)bua contendo ascolunas le d, sendo lo nI de sobre3i3entes a cada idade e d o nI de (ortes ocorridasentre as idades e .

TBUA 1

arte da Vi+ot$tica T)bua de ortalidade co( s=> D /@ @@ 5 @ @@:

Ia!x

"x x Ia!x

"x x

@N#

@@.@@@!!.!!!R.!!#!R.R!!".!R@!".MR

#@#@#@M#@!##

M"R!

@-

!M.!#!M.N"!#.!"!#.N!!.RMR

-

#"#@#N#M#R

-

As fun09es le dt2( as seguintes defini09es:

lD Q . s=>, onde Q $ u(a constante +ositi3a, e

dD l- lQ $ conhecido co(o Frai& da t)buaG e corres+onde ao 3alor de l@, assu(indo geral(enteu(a +ot2ncia de @ n1o inferior a @#.

ara facilitar as rela09es 8ue a+resentare(os a seguir $ con3eniente ter asseguintes inter+reta09es de le d:

l re+resenta o nU(ero de sobre3i3entes eata(ente co( idade , e

dre+resenta o nU(ero de falecidos entre as idades e .

*(+ortante: H +reciso ficar be( claro ne( l, e ne( d t2( significado a +artir dosres+ecti3os 3alores absolutos.

Tal significado de+ende do 3alor escolhido +ara Frai& da t)buaG. '( su(a, seu significado $se(+re relati3o. Ta(b$( $ +reciso ter +er(anente(ente e( considera01o 8ue l $ u(afun01o cont7nua de , e(bora 3alores tabulados a+arece( nas T)buas de ortalidade a+enas

+ara 3alores inteiros de .

N.. robabilidades de (orte e de sobre3i32ncia:

robabilidades de (orte e sobre3i32ncia +ode( ser obtidas direta(ente dascolunas le dconstantes das t)buas de (ortalidade e as rela09es a+resentadas anterior(ente

)g. M


7/23

+ode( i(ediata(ente sere( 3erificadas co( base nos conceitos ele(entares de+robabilidade.

.+D

l

l

+

$ a +rob de => sobre3i3er +elo (enos (ais ano, ou se6a, de atingir e( 3ida aidade .

. n :+ Dl

l

:A n

:$ a +rob de => sobre3i3er +elo (enos (ais #anos, ou se6a, de atingir e( 3ida

a idade n.

4.

.8D - +D - l l D l - l D d

l:A

:

: :A :

:l:$ a +rob. de => falecer e( (enos de ano, ou

se6a, antes de atingir a idade .

./n :8 D 8 D - + D -

l

l D

l - l

l D

d

ln : n :

:An

:

: :An

:

yyD:

:An-

:

$ a +rob de => falecer e( (enos

de #anos, ou se6a, antes de atingir a idade n.

. n 8/ Dd

l n

$ a +rob de => sobre3i3er a idade n e falecer antes de atingir a idade

n.

.n ( :8/ D

l - l

l D

d

l:An :AnA(

:

yyD:An

:AnA(-

:

$ a +rob de => sobre3i3er a idade n e falecer antes

de atingir a idade n(.

* de sobre3i32ncia s=>, na +r)tica essas tabelas s1o constru7das geral(ente co( basee( obser3a09es e(+7ricas constantes de estat7sticas sobre dados de (ortalidade. Ouando

isto $ feito, os 3alores de 8s1o desen3ol3idos a +artir de u(a in3estiga01o da (ortalidade, e

)g. "


8/23

esses 3alores s1o usados +ara construir a coluna dos l e dos dda t)bua de (ortalidadeutili&ando-se o seguinte +rocesso:

X( 3alor arbitr)rio 8ual8uer, geral(ente u(a +ot2ncia +ositi3a de @

n1o inferior a @#

, $ escolhido +ara o 3alor de linicial e deno(inado de Frai& da t)buaG. 4ocaso 3a(os considerar co(o linicial a 8uantidade l@.

'nt1o: d@D l@. 8@

lD l@- d@

dD l. 8

lD l- d

e, generali&ando, te(os: dD l. 8

lD l- d, e a t)bua de (ortalidade constitui +or si s; a inteira defini01o do +adr1o deco(+orta(ento da (ortalidade.

4, cont7nua, associada ? t)bua de (ortalidade, (es(o 8uando n1ose conhece eata(ente 8ue e+ress1o (ate()tica ela tenha.

N. ela01o entre as fun09es l e s=>:

s=> re+resenta a +robabilidade de =@> sobre3i3er a idade e, lre+resenta a 8uantidade desobre3i3entes co( eata(ente a idade .

l: D l . s =:> s =:> Dl

l D +@

:

@: @

)g. R


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Co(o l@D Q $ u(a constante =rai& da t)bua>, o co(+orta(ento dessas fun09es s1o id2nticas,a+enas 8ue: s=> est) contida no inter3alo @ s=> e,

lest) contida no inter3alo @ lQ

ortanto, as +robabilidades de sobre3i32ncia e de (orte a+resentadas nosubite( N.., +ode( ser obtidas substituindo-se de3ida(ente a fun01o l+ela fun01o s=>.Assi(, +or ee(+lo te(os 8ue:

.Dl

l Q .

:

:

+ DQ . s=: A>

s=:> D

s=: A>

s=:>

.8D[ ]l

l Q .

:

:

- l D

Q s=:> - s=: A>

s=:>

Ds=:> - s=: A >

s=:>

:A

. A fun01o L e a taa central de (ortalidade (:

.. A fun01o L:

%a$os !&i#i' a s!i#t! o:

L corres+ondente ao nU(ero de +essoas 8ue tendo co(+letado anos de idade n1oco(+letara( ainda anos de idade.

Se considerar(os a hi+;tese de 8ue a ocorr2ncia de (ortes entre asidades e tenha u(a distribui01o unifor(e, tere(os 8ue:

LD ( )l:+ / sendo l D / l A l:A/ : :A

ortanto, L re+resenta o nU(ero ($dio de sobre3i3entes entre assucessi3as idades e .

.. Taa Central de ortalidade =(>:

Ki(os 8ue a +rob. de 8ue => (orra antes de atingir a idade $re+resentada +or:

)g. !


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8Dd

l

. Cha(are(os esse 8uociente de Ftaa anual de (ortalidadeG.

Se co(+arar(os o nU(ero de (ortes ocorridas entre as idades e =d>, co( o nU(ero de +essoas 8ue, e( u( dado (o(ento =nu( censo +or ee(+lo>declara( ter idade =e(bora na 3erdade tenha( idade igual ou su+erior a e inferior a>, o 8ue +elo 8ue foi 3isto +ode ser re+resentado +ela fun01o L, o no3o 8uociente ser):

(D ( )

d

L

:

:

Dd

/ l A l

:

: :A. Cha(are(os esse 8uociente de Ftaa central de (ortalidadeG.

Co(o dD l- lte(os (D ( )

l

l

:

:

- l

l A l D .

l - l

A l

:A

: :A

: :A

:A /

di3idindo o nu(erador e o deno(inador +or l, te(os:

(D . -

A

:

:

+ara se obter (e( fun01o de 8, basta substituir ++or - 8 ! - + +or 8e, !#to:(D . 8

- 8

:

:

*x!'+,+ios:

i) e(onstrar 8ue: +D

- (

A (

:

:

(D / . - +

A + ( A ( . + D / - / +:

:: : : :

)g. @


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( . + +D - ( + =/ A ( > D / - ( + D/ - (

/ A (: : : :

:

:

ii)e(onstrar 8ue: 8D

(:

A (:

+D/

/ / /

- (

A ( - 8 D

/ - (

A ( 8 D -

/ - (

A (:

::

:

::

:

:

8 D / A ( - / A ( A (

8 D / (/ A (

: : ::

: ::/

#. A Eor0a da ortalidade:

#.. *ntrodu01o:

As fun09es de +robabilidade definidas anterior(ente s1o Uteis +ara (edira (ortalidade e( deter(inados inter3alos de te(+o. A fun01o 8, +or ee(+lo, 8ue (ede a

+rob de => falecer antes de atingir a idade , +ode ser inter+retada co(o u( indicador donI ($dio de (ortes efeti3a(ente ocorridas entre as idades e . 4esse sentido, 8, $co(u(ente conhecido co(o Ftaa anual de (ortalidadeG.

H claro, no entanto, 8ue a intensidade da (ortalidade 3aria a cada(o(ento entre cada inter3alo a , e assi( $ i(+ortante se chegar a algu( ($todo de se(edir essa 3aria01o a cada instante.

#.. Taa *nstantnea de ortalidade =Eor0a de ortalidade>:

< gr)fico da Eigura , co( altera01o na escala das ordenadas, +odere+resentar a cur3a l, 3isto 8ue lD Q . s=> - sendo a constante l@. < grau de inclina01odessa cur3a e( 8ual8uer +onto est) relacionado co( o nU(ero de (ortes nas +roi(idadesdesse +onto: 8uanto (aior for o decl73e da cur3a, (aior ser) o nU(ero de (ortes. < grau deinclina01o $ (edido +ela deri3ada da fun01o l, sendo natural, +ortanto, 8ue estude(os e(seguida a deri3ada dessa fun01o.

Ka(os to(ar u( caso concreto co(o u(a fun01o => conhecida, defor(a 8ue a diferencia01o +ossa ser real(ente 8uantificada:

)g.


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Se6a s=> D /@ . @@ e se6a a rai& da t)bua =l@> igual a @.@@@,ent1o:

lD .@@@ . @@

enotando a deri3ada de le( rela01o a +or l, te(os:

lD -#@@

@@

8ue (ede a taa de decresci(ento de le( rela01o a . 4a idade de # anos, +or ee(+lo:

]l: :=# D -#@@

@@-# D - ", a+roi(ando +ara inteiro o (ais +r;i(o. *sto significa 8ue

na idade de # anos, lest) decrescendo na taa de " 3idas +or ano.

Co(o u(a (edida da taa de (ortalidade, tal (edi01o n1o $ satisfat;ria3isto 8ue ela de+ende do nU(ero de 3idas 8ue est1o su6eitas ao risco de (orte na idade eatade # anos, denotada +or l#D ".@@@. i3idindo " +or ".@@@, obte(os +ara a idade de# anos, o 7ndice de (ortalidade "/".@@@ D @,@@, u( resultado 8ue inde+ende do nU(erode 3idas co( eata(ente # anos.

'ste 7ndice de (ortalidade $ conhecido co(o Ffor0a da (ortalidadeG ou

co(o a Ftaa instantnea de (ortalidadeG e $ denotado +elo s7(boloMx. Suadefini01o $dada +or:

MxD -l

l

ou, o 8ue $ e8ui3alente, +orMxD -

s :

s :

= >

= >

As seguintes +ro+riedades deMx de3e( ser (e(ori&adas:

=> Mx $ u(a (edida de (ortalidade Fno +reciso (o(ento e( 8ue se atinge a idade G5

=> Mx e+ressa essa (ortalidade na for(a de u(a taa anual.

< 3alores de Mx n1o est1o restritos ao inter3alo @ Mx , defor(a diferente das fun09es de +robabilidade 8ue a ele est1o restritos, +odendo assu(ir

8ual8uer 3alor +ositi3o. *sto +ode ser 3isto a +artir da rela01oMxD -l

l

, 8ue eceder)

da unidade 8uando o 3alor nu($rico da inclina01o da cur3a leceder ao corres+ondente

3alor l. Tal fato ocorre nor(al(ente nos li(ites inferiores e su+eriores de dura01o da 3ida,

)g.


13/23

ou se6a, nos +ri(eiros +oucos dias seguintes ao nasci(ento e de no3o no ano da idade 8ue+rocede a idade . e fato, na (edida 8ue se a+roi(a da idade , l, se a+roi(a de

&ero eMxtende a infinito.

Einal(ente $ +oss73el escre3er u(a e+ress1o alternati3a +araMx, 3isto

8ue +or diferencia01o te(os 8ue log u D uu

,.

ortanto: MxD - logl.

elhor co(+reens1o da nature&a da Ffor0a de (ortalidadeG =Ftaa

instantnea de (ortalidadeG> +ode ser obtida analisando a rela01o Mx D -l

l

e( ter(os

da defini01o de deri3ada. A deri3ada de l+ode ser e+ressa co(o: lh

: D li(l - l

h @

:Ah :

e,

+ela rela01oMxD -l

l

, te(os 8ue +ode(os denotar 8ue:

MxD - li(l - l

l D li(

l - l

l D li(

8

hh @

h

h @

h

h @

h

h . h .

Agora, a e+ress1o h :8

h +ode ser 3ista co(o u(a taa anual de

(ortalidade calculada co( base na (ortalidade ocorrida no inter3alo de idade a h. or

ee(+lo, se h D Y =ano>, h :8

h D

/ 8

/

D / 8 8ue corres+onde ao dobro da

+robabilidade => falecer antes de decorrer (eio ano. Ouando h se a+roi(a de &ero, o li(itedessa e+ress1o, a Ffor0a da (ortalidadeG ou a Ftaa instantnea de (ortalidadeG, +ode serentendida co(o a taa anual no(inal de (ortalidade calculada co( base na (ortalidadeocorrida no instante e( 8ue se atinge a idade .

ode(os facil(ente 3er +or8ue o 3alor deMx nor(al(ente ecede a no in7cio e no fi( da t)bua de (ortalidade. A (ortalidade infantil $ alta no +er7odoi(ediata(ente +osterior ao nasci(ento. Considerando as +ri(eiras horas de 3ida, +or

ee(+lo, o 3alor de NM# @/ 8 +ode eceder a /NM#, ent1o a taah 8

h

@ ecede . Ouando

(enores inter3alos de te(+o s1o to(ados, a taa cresce ainda (ais. Considere(os o final dat)bua de (ortalidade. esde 8ue n1o ha6a sobre3i3entes na idade , n;s +ode(os escre3er

h :8 D 8 D -: : , 8ue $ 3erdadeiro +ara 8ual8uer 3alor de . Se $ u(a tal idade 8ue h D

- $ (enor 8ue , se segue 8ue: C : :8

C :

B , e assi( 3alores de Mx ecedentes a

ocorrer1o no ano entre as idades - e .

)g. N


14/23

4@5 @ @@ $ f)cil 3erificar 8ue

Mx $ (aior 8ue e( 8ual8uer idade.

#.N. A for0a da (ortalidade 3ersus a for0a dos 6uros:

Se a+licar(os u( ca+ital inicial =C@> ao longo de ano, obtere(os oca+ital final =C>. A diferen0a entre Ce C@corres+onde aos 6uros =*>. ortanto, * re+resentaa for0a dos 6uros sobre C@ao final de ano.

* D C- C@Se o ca+ital final =C> s; ser) +ago ao final de ano caso a +essoa 8ue no

in7cio do ano tinha eata(ente a idade este6a 3i3a, a for0a da (ortalidade atuacon6unta(ente co( a for0a dos 6uros. 4este caso, o 3alor, no instante &ero, de C n1o $ (ais

C@ D C - *, (as si(: ( ) ( ) ( )C@W D C - * . D C - * . - 8 sendo 8 D

d

l : : :

:

:a for0a da

(ortalidade.

ortanto, do (es(o (odo 8ue i =taa efeti3a anual de 6uroscorres+ondente a *> re+resenta a for0a dos 6uros ao longo do +er7odo de ano, te(os 8ue 8 =taa efeti3a anual de (ortalidade> re+resenta a for0a da (ortalidade ao longo do ano 8ue3ai da idade at$ a idade .

M. Algu(as Ea(osas Leis de ortalidade:

M.. *ntrodu01o:

As e+ress9es 8ue at$ a8ui utili&a(os +ara re+resentar fun09es desobre3i32ncia s1o confessada(ente artificiais. ate()ticos h) (uito 8ue se (ostra(intrigados co( o +roble(a de construir fun09es anal7ticas, 8ue re+rodu&a, co( fidelidade at7+ica cur3a l. 'ssa cur3a $ u(a retorcida cur3a descendente, e a +resen0a de +elo (enosdois +ontos de infle1o torna dif7cil re+resent)-la +or 8ual8uer f;r(ula si(+les. Ka(osea(inar das (ais i(+ortantes solu09es +ro+ostas +elos (ate()ticos.

M.. Lei de e oi3re =.">:

A +ri(eira e (ais si(+les +ro+osta foi sugerida +or Abraha( e oi3rede for(a 8ue lfosse re+resentada +or u(a linha reta. e oi3re reconhecia 8ue esta erau(a rude a+roi(a01o. Seu ob6eti3o, contudo, era o de na +r)tica tornar si(+lificado oc)lculo dos 3alores das anuidades de sobre3i32ncia, 8ue na8uela $+oca era u(a etenuantetarefa. 'le reco(enda3a a utili&a01o de sua hi+;teses so(ente no inter3alo entre as idades de

)g.


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a RM anos. A f;r(ula encontrou +ronta aceita01o e foi (uito utili&ada e( seu ob6eti3osi(+lificador. 'la +ode ser e+ressada +or:

lD =Q-> e deri3a da seguinte e+ress1o deMx D

MxD -l

l

:

: D -

- Q

Q=C - :> D

C - :

lD l

D- =-Q>

- :

D Q= - :>:

Mx

s=> Dl

l

:

@ D

Q=C - :>

Q=C - @> D

C - :

C D -

:

C

4 e Lei de aQeha( =.RM@>:

A+resentando sua f;r(ula, Ben6a(in %o(+ert& escre3eu 8ue FH+oss73el 8ue a (orte se6a conse8u2ncia de =duas> causas gerais 8ue coeiste(: a +ri(eiraseria o acaso, se( 8ue se ti3esse +r$3ia dis+osi01o +ara a (orte ou deteriori&a01o e asegunda seria a deteriori&a01o, ou se6a, cresci(ento da inabilidade de co(bate a destrui01oG.'( outras +ala3ras: (ortes acidentais e naturais. eri3ando sua lei, contudo, ele s;considerou as (ortes naturais, 3isto 8ue na hi+;tese de %o(+ert& a for0a da (ortalidade,co(o 3ere(os, cresce e( +rogress1o geo($trica. Eicou +ara aQeha( co(binar e( sua lei

de (ortalidade o efeito das (ortes acidentais e naturais. ara isso, ele adicionou ? e+ress1o(ate()tica da for0a de (ortalidade de %o(+ert& =Mx D Bc> u(a constante A, fa&endo

Mx D ABC. ate(atica(ente falando, +ode(os considerar, +ortanto, a e+ress1o dafor0a de ortalidade de %o(+ert& u( caso +articular da de aQeha(, onde a constante A $nula.

Na !i ! /a!a$ t!$os o'ta#to:

My D A BCy

)g. #


16/23

My D -l

l

y

y D A BC sendo l D

dl

dte(os:y y

y

y, My D -

ly.

.dl

d

y

y D A BC -

dl

l D =A BC . d sendo d log D

y y

y

yy y

l >

Ddl

l

y

y

, > >te(os: - d log D =A BC . d - log D =A BCyl y

y yl y

@

dy Q onde Q $ a constante de integra01o, donde se tira 8ue:

lyDe

Q

dy

. e sendo, +ortanto, l D e . e D e .

- =A BCZ

@

@-Q -@ -Q

>

l D e Q ,

=

l D l . e D l . e ly @

- =A BCy

@

@

-A dy

@

>

.

dy dy

B cy

@ @

..

e-Ay

B Log C

D l@ . e-A=-@>

. e

-BC

-C@

D

e

CZ

Log C Log C

@

. l @ . e-A . e

-B

C-

Log CD l@. e

-A . e-B

-

Log C

C

ao'a &a3!#o:

i)e-AD s

ii) ( ) ( ) ( ) ( )e BC C

Log CLog C

BC

-

Log C -B -B

Log C D e e-B-

Log C D e . e

.

)g. M


17/23

onde: ( ) ( )e eB Log C B Log C

=

=

g el@. Q. Q Dl@

eB

-

Log C

@ Dl

g

t!$os &i#a"$!#t! !:

l: Log C

C:

eB

D l . -A . Dl

Log C

. A -

Log C D@ e : =e-B

-

=eB

-

Log C@

e-

: =eB

C:

>>

= >

>.

D Q . s . C l D Q . s . C g

g =!i ! /a!a$>

Caso articular: A D @ =lei de %o(+ert&>

s D e D e D l D Q . . g: -A -@ :: C:

l D Q . gC

MxD ABCD @ BCMxD BC

4os seus escritos originais, %o(+ert& restringiu o uso da f;r(ula

l D Q . gC ao inter3alo de idade co(+reendido entre @ ou # anos at$ ## ou M@ anos, e

n1o $ +oss73el usar essa f;r(ula ao longo de todas as idades se( se alterar as constantes e(algu( +onto, geral(ente entre #@ e M@ anos. *sto $ ;b3io, +ois n1o se +odia es+erar 8ue u(af;r(ula si(+les co( a+enas +ar(etros +udesse re+resentar a retorcida cur3a l ao longode todas as idades. J) a Lei de aQeha( troue u(a not)3el (elhoria ? hi+;tese de%o(+ert&, e a no3a f;r(ula, co( u(a ade8uada escolha das constantes g, c e s, +ode serfre8uente(ente a+licada entre a idade de @ anos e at$ 8uase a idade final de sobre3i32ncia.

Tanto a Lei de %o(+ert& 8uanto a de aQeha( +ossue( +ro+riedadesde grande i(+ortncia +r)tica na si(+lifica01o de +robabilidades co(+ostas en3ol3endo asobre3i32ncia de (ais de u(a 3ida, o 8ue ser) 3isto (ais tarde. '( decorr2ncia disso, a(basas leis continua( a sere( usadas atual(ente. A Lei de %o(+ert& foi utili&ada na constru01oda F!N" Standart Annuity TableG e a Lei de aQeha( foi usada na FCo(issioners !Standart


18/23

Cada u(a dessas leis en3ol3e u( certo nU(ero de n1o es+ecificados+ar(etros, e, +ortanto, cada u(a delas d) orige( a u( nU(ero infinito de diferentesfun09es de sobre3i32ncia. 'ssas leis de (ortalidade define( a+enas a for(a das fun09es

(ate()ticas e n1o fornece( (edi09es nu($ricas de (ortalidade a n1o ser 8ue 3aloresa+ro+riados se6a( escolhidos co(o +ar(etros. Kerifica-se 8ue os 3alores de cada+ar(etro cae( dentro de u( inter3alo restrito 8uando a fun01o de sobre3i32ncia seguefiel(ente o +adr1o usual da (ortalidade.

or ee(+lo, sob a Lei de aQeha(,

MxD A BC,

os a'$!t'os #o'$a"$!#t! !sto '!st'itos aos s!i#t!s i#t!'6a"os:

@,@@ A @,@@N,

@-M B @-N

,@R C ,

". T)buas de ortalidade Selecionadas:

Ka(os ad(itir 8ue u(a Co(+anhia de Seguros s; aceite as +ro+ostas deSeguros de Kida das +essoas 8ue fore( +re3ia(ente a+ro3adas e( ea(e ($dico. 'ssegru+o segurado $ assi( considerado u( gru+o selecionado 3isto 8ue, co( base nosresultados dos ea(es ($dicos, os riscos indese6)3eis fora( eli(inados. H claro 8ue, nos

anos subse8uentes iniciais, a (ortalidade desse gru+o selecionado $ sensi3el(ente inferior ?de u( outro gru+o segurado for(ado se( a eig2ncia de ea(e ($dico. Co( o +assar dosanos, co(o o ea(e ($dico $ feito a+enas na ocasi1o do ingresso no +lano de seguro, adistin01o entre as taas de (ortalidade do gru+o selecionado e do gru+o n1o selecionado 3aise redu&indo (ais ou (enos ra+ida(ente.

'sses anos subse8uentes iniciais 8ue sucede( aos ea(e ($dico desele01o constitue( o +er7odo de sele01o. Se, +or ee(+lo, considerar(os 8ue o +er7odo desele01o se6a constitu7do +elos N anos seguintes ao da reali&a01o dos ea(es de sele01o=ea(e ($dico>, $ natural 8ue o efeito da sele01o 3ai +erdendo intensidade ao longo dessesN anos e( fun01o do afasta(ento da data e( 8ue foi feito o ea(e ($dico at$ 8ue, no final

desses N anos =ao final do +er7odo de sele01o considerado>, o efeito da sele01o n1o $ (aissentido. Ao final do +er7odo de sele01o, a (ortalidade do gru+o selecionado e do gru+o n1oselecionado tende( a se igualar.

%a$os !#ota':

)g. R


19/23

[ ]8 n+ co(o sendo a +robabilidade de 8ue u(a +essoa de idade n, ad(itida no seguroco( ea(e ($dico na idade , 3enha a falecer antes da idade n.

7!"o ! !sta$os at8 ai &i+a &9+i" ! +o#+"i' !:

[ ] [ ] [ ] [ ]8 8 8 8 .....,- - -N+ + N

ou se6a, 8ue a (ortalidade +ara =duas> +essoas de (es(a idade di3erge e( fun01o da idadede ad(iss1o no seguro co( ea(e ($dico, sendo (enor +ara a8uela +essoa 8ue h) (enoste(+o fe& seu ea(e ($dico de ad(iss1o. 4or(al(ente a diferen0a

[ ] [ ]8 n n n + + - 8 -n decresce ra+ida(ente e se torna des+re&73el +ara efeito dea+lica09es +r)ticas a+;s alguns anos.

A seguir, 3a(os estudar o ee(+lo de u(a t)bua de (ortalidadeselecionada de for(a a se 3isuali&ar o 8ue esta(os estudando:

=K*' E


20/23

Coluna =>: [ ] [ ] [ ] [ ][ ]

[ ]d

l:

:

D l - l 8 Dd

: : ::

+

Coluna =N>: [ ] [ ] [ ] [ ][ ]

[ ]d

l:

:+ + + +

+

+

D l - l 8 Dd

: : ::

Coluna =>: [ ] [ ] [ ][ ]

[ ]

dl

x

x

+ + ++

+

D l l 8 Dd

N

Na +o"#a &i#a" o !'$a#!#t!:

Coluna =#>: d: n+ D l - l 8 Dd

ln B /.:An :AnA :An

:An

:An5

A"$as 'oai"ia!s i$o'ta#t!s:

[ ] [ ]

[ ]n

n

+l

Dl

n N+

5 $ a +rob. de => rec$( ad(itido no seguro co( ea(e ($dico

sobre3i3er ? idade n, sendo n N.

[ ] [ ]

[ ]n

n

+l

Dl

n +

5 $ a +rob. de => rec$( ad(itido no seguro co( ea(e ($dico

sobre3i3er ? idade n, sendo n .

[ ][ ]

[ ]+

l

+

+

+

Dl

$ a +rob. de => ad(itido no seguro co( ea(e ($dico sobre3i3er ?

idade , sobre3i3er ? idade .

[ ][ ]

/8 :++

D d:ANl :

$ a +rob. de =>, ad(itida no seguro co( ea(e ($dico na idade ,

sobre3i3er ? idade N e falecer antes de atingir a idade .

R. Kida $dia:

R.. Ouantidade de eist2ncia:

)g. @


21/23

TD l . dt D l . dt A l . dt A ...:At :At@

:At

@

Considerando 8ue o nU(ero ($dio de sobre3i3entes entre as idades t e t +ode ser

esti(ado co(o Lt

Y =lt lt>, te(os 8ue:TD L L L ... D

D ( ) ( ) ( ) / l A l A / l A l A / l A l A ...: :A :A :A :A :AN

T D / l A l: : :AttD

C-:-, conhecida co(o 8uantidade =de anos> de eist2ncia, +ois

corres+onde ao nI de anos 8ue, a +artir da idade , 3i3er1o todos os co(+onentesdo gru+o =+o+ula01o> at$ 8ue ele se etinga.

R.. Kida $dia:

i) %ia $8ia +o$"!ta:

A 8uantidade Tde eist2ncia $ desfrutada (uito desigual(ente +elos indi37duosdo gru+o inicial. Xns 3i3e( +ouco dias e outros (orre( co( idades etre(a(ente altas. Sedistribu7sse(os e8uitati3a(ente essa 8uantidade Tentre todos os co(+onentes do gru+o l,

ent1o obter7a(os o 8ue se deno(ina de 3ida ($dia co(+leta, ou se6a:

e:o D

T

l

:

: 8ue ta(b$( $ conhecido co(o e+ectati3a de 3ida das +essoas de idade .

ii) %ia $8ia a'!6iaa:

Se e( 3e& de ad(itir(os 8ue as (ortes ocorre( no (eio do ano, ad(itir(os 8ueelas ocorre( no in7cio do ano, tere(os o 8ue se cha(a de 3ida ($dia abre3iada, ou se6a:

el l

::

t

:

:

DT - / l

D

l

D e - / : ::At

:o=

iii) 9"+"o ! 7x!$ o os 6a"o'!s ! 6ia $8ia:

Te(os: el

::

Dl A l A l A ...:A :A :AN

$"ti"i+a#o o #$!'ao' ! o !#o$i#ao' o' "x?1 t!$os !:

)g.


22/23

( )

( )

el

l

l

e

::

:

:

:o

Dl l A l A l A ...

. l D

l

l.

.l A l A l A ...

l

l. A

l A l A ... D , . A e

, De

A eou , D

e - /

A /

:A :A :A :AN

:A

:A

:

:A :A :AN

:A

:

:A :AN: :A

::

:A:

:o

+

+

+

=

=

i6) %ia $8ia i&!'ia:

H a8uela na 8ual s; se co(e0a a contar os anos de 3ida a +artir de u(a idaden, ou se6a:

:

-n-:-C

Dt

tAnA:nA:

:

nA:o

:/nl

ll/

Dl

TDe

no caso da 3ida ($dia co(+leta.

-n--

Dt

tn

nn/n

l

l

Dl

l/-TDe

no caso da 3ida ($dia abre3iada.

6) %ia $8ia t!$o'9'ia:

A 3ida ($dia te(+or)ria +or #anos inclui, e3idente(ente, os anos 8ue n1o s1oconsiderados na 3ida ($dia diferida. ortanto:

/ /n o

n oe eD e D e -

:n[

oo

no caso da 3ida ($dia co(+leta.

)g.


23/23

/n e D e D e - /e:n[

n no caso da 3ida ($dia abre3iada.

6i) %ia $8ia i#t!'+!taa:

H a 3ida ($dia diferida +or # anos e te(+or)ria +or $ anos, ou se6a:

n (eo

(

o/

: [ D n / D /e - /ee n

on(

o no caso da 3ida ($dia co(+leta.

n (e (

/: [

D n / D /e - /ee n n( no caso da 3ida ($dia abre3iada.

*(+ortante: Xtili&a-se a 3ida ($dia, entre outras finalidades, +ara se a3aliarco(+arati3a(ente duas ou (ais t)buas de (ortalidade

)g N

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Matemática Atuarial 01