Aula 1 Msn l Algebra

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Mecnica dos Slidos no Linear1Aula

1

Sumrio e Objectivos

Sumrio: Vectores, Tensores. Operaes Com Vectores e Tensores de 2 Ordem. Tensores de ordem superior 2. Mudana de Base. Valores e Vectores Prprios. Campos Escalares, Vectoriais e Tensoriais.

Objectivos da Aula: Familiarizao com as notaes Indicial e Tensorial. Realizao de Operaes com Vectores e Tensores tirando partido das notaes referidas.

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Vector de Posio

( )321 x,x,x=xVector

Componentes

negrito Letra normal com um ndice correspondente ao nmero da componente

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Simbologia das Grandezas

As quantidades fsicas relevantes so por vezes, grandezas escalares que podem ser representadas por caracteres, como a,b,cou a,b,g, como o caso da massa, da densidade e da temperatura. Grandezas fsicas como a fora, a velocidade e a acelerao so em geral representadas por vectores para os quais se usam letras minsculas em negrito, u,v,w ou para as suas componentes a notao indicial. As tenses, as deformaes, etc, so quantidades representadas em geral por tensores de segunda ordem, para os quais se usa a simbologia A,B,C ou a notao indicial associada s componentes do tensor. Os tensores de 2 ordem ao longo do texto so em geral referidos simplesmente como Tensores. Para algumas grandezas podem ter de utilizar-se tensores de 3 ordem para a sua representao, sendo a notao utilizada A,B,C, ou eventualmente tensores de ordem superior 3 para os quais se utiliza a notao A,B,C.

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Vector

u

B

A

Um vector geometricamente um segmento de recta, ao qual foi atribudo um sentido no espao, por exemplo, na figura, est representado um vector, u, este vector pode identificar a posio do ponto B relativamente ao ponto A, considerado como a origem do sistema de referncia. Neste caso o vector u, um vector de posio.

{ }321 Tu,u,u=uiNotao indicial

Notao Tensorial

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Vector

Um vector no espao Euclidiano tridimensional pode ser representado pelas suas componentes relativamente a uma base de vectores. Designando por a base de vectores, o vector u pode ser escrito como uma combinao linear dos vectores de base, ou seja

{ }321 ,, eee

332211 uuu eeeu ++=

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Vector

23

22

21 uuu ++=u

Grandeza do Vector

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ADIO DE VECTORES

A soma do vector u com o vector v o vector w que se obtm adicionando os dois vectores vuw +=As componentes do vector w obtm-se por adio das componentes dos vectores u e v:

111 vuw += 222 vuw += 333 vuw +=A subtraco de dois vectores tambm possvel e processa-se adicionado um dos vectores ao vector que se obtm considerando o outro vector com o sinal negativo. ( )vuw +=

111 vuw = 222 vuw = 333 vuw =

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Adio Geomtrica de Vectores

A adio e subtraco de vectores no espao tridimensional pode fazer-se geometricamente, recorrendo lei do paralelogramo, como se representa na figura. A adio de vectores comutativa e associativa.

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Produto de um Escalar por um Vector

No caso de se considerarem vectores no espao a n dimenses a adio processa-

se de modo anlogo ao referido sendo as componentes iii vuw += . Podem somar-se vezes o mesmo vector obtendo-se um vector que w = u e que corresponde ao produto de um escalar por um vector. A adio do vector u com o vector (-u) conduz ao

vector nulo designado por o.

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Produto Escalar ou Produto Interno

O produto escalar ou produto interno de dois vectores costuma representar-se por u v e :

( ) ( )22221,cos uvvuvuvuvu +==

ij

n

1jji

n

1i

n

1iii vuvu == ===vu

o smbolo de Kronecker

jiji

sese

01

ij =

=

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Produto Escalar

A grandeza resultante do produto escalar de dois vectores uma grandeza escalar, no caso de serem dois vectores ortogonais entre si, o produto escalar, u.v, tem o valor zero. No caso de se usar a conveno dos ndices repetidos, inventada por Einstein, o sinal de somatrio pode ser omitido e a equao anterior toma a forma:

===

n

1iiiii vuvuvu

contraccoA partir de dois vectores obtm-se um escalar

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Exemplo 1.1

Considere as expresses seguintes e expanda-as tendo em conta a conveno dos ndices repetidos.

e jjii wvua) b) ee ijij =a) Somando primeiro em i e depois em j obtm-se:

( )( )eee 332211332211 wwwvuvuvu ++++b) Somando em j para o 1 membro da igualdade obtm-se :

j i1 1 i2 2 i3 3ij = + + e e e ePara i=1 j 11 1 12 2 13 3 11 1 11j = + + = = e e e e e e Etc.

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Produto Vectorial

O produto vectorial de dois vectores u e v um vector que ortogonal aos vectores u e v e representado por u v. O comprimento de u v definido como sendo igual rea do paralelogramo por eles formado no espao tridimensional, como se representa na figura.

u

v

uv A=||uv||

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Produto Vectorial

O Produto vectorial dos vectores base tal que:

321 eee =13 eee2 =

213 eee =312 eee =

123 eee =231 eee =

O produto Vectorial de dois vectores pode ser calculado do seguinte modo ( ) ( ) ( )jijijjii vuvu eeeevu ==

( ) ( ) ( ) 312212311312332 vuvuvuvuvuvu eeevu ++=1

1 2 3

1 2 3

u u uv v v

det

2 3e e e=

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Exemplo 1.2

)( uvvu =Mostre que ( )jiji3

1jjj

3

1iii vuvu eeeevu =

=

==

( ) ( ) ( ) 312212311312332 vuvuvuvuvuvu eee ++=( )jiji3

1jjj

3

1iii uvuv eeeeu)(v- =

=

==

( ) ( ) ( )[ ] =++= 312212311312332 uvuvuvuvuvuv eee( ) ( ) ( ) 312212311312332 vuvuvuvuvuvu eee ++=

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Produto Escalar Triplo

( ) ( ) ( )++ 3113223321 vuvuwvuvuw=w.vu ( )12213 vuvuw 1 2 3

1 2 3

1 2 3

w w wdet u u u

v v v

=

w

w . nv

u

c/ = u vnu v

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Produto Escalar Triplo

A representao do produto escalar triplo pode ser simplificada recorrendo ao chamado smbolo permutador que representado por , tensor de 3 ordem, o qual pode ser definido do seguinte modo:

ijk

( )( )( )

1 se for i, j, k em ordem cclica e c m i, j, k distintos0 se for i, j, k t

1 se for i, j, k i, j, k distintos e em ordem cclica

oal que i j ou i k ou j kijk

no = = = =

( ).i j k ijk =e e eAs ordens cclicas de (i, j, k) com i = 1, 3 e k = 1, 3 so (1, 2, 3); (2, 3, 1) e (3, 1, 2). As ordens no cclicas de (i, j, k) so (3, 2, 1); (1, 3, 2) e (2, 1, 3).

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Exemplo 1.3

ijk pqk jq iq jpip =Mostre que

( )

==

det.

3k2k1k

3j2j1j

3i2i1i

kjiijk eee

)()()( 1k2j2k1j3i1k3j3k1j2i2k3j3k2j1i +

=

=

etc

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Produto Vectorial Triplo

( ) eew)(vu knmimnjkijknmmnjiijk wvuwvu ==( ) eknmiimkninkm wvu

ee kkmmknkn wvuwvu = (u.w) v-(u.v) w

=

=

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Produto Tensorial de dois vectores

um tensor de 2 ordem u v este tensor pode actuar num vector w.

A definio de produto tensorial est includa na igualdade seguinte [ ] ( )uwvwvu =

1. A cada para de vector ( )vu, com uE e vF, est associado um elemento FE , chamado produto tensorial de u por v e designado por vu , de tal

modo que

a) ( ) 2121 v+=+ uvuvvu (Lei Distributiva) b) ( ) vuvuvuu +=+ 2121 " c) ( ) ( ) ( )vuvuvu == (Lei Associativa)

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2. Se { }p1 ..., ee for uma base de vectores de E e { }q1 ..., ff for uma base de vectores de F, os pq vectores fei constituem uma base de FE (espao de dimenso pq).

As condies 1a) b) c) e 2 permitem-nos concluir que, com iiu eu = e v fv = , o elemento vu do produto se pode escrever na forma

( ) ( ) ( ) == fefevu iiii vuvuBase Tensorial

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O produto tensorial dos vectores de base ji e ee do espao tridimensional,

ji ee representa um conjunto de tensores de 2 ordem. Uma vez que o nmero de vectores base 3, existem 9 combinaes de produtos tensoriais entre eles.

Os 9 tensores, ji ee , constituem uma base adequada para representar as componentes de um tensor de 2 ordem e tem uma funo semelhante aos vectores

base ie em relao aos vectores.

O produto tensorial de trs vectores d origem a um tensor de 3 ordem e :

wvu =R O produto tensorial em geral no comutativo.

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Exemplo 1.5

O tensor A um tensor cartesiano de ordem 2. Mostre que a projeco de A na base

ortogonal de vectores ei definida de acordo com a relao seguinte

e.Ae jiijA = onde Aij so as nove componentes do tensor A.

O produto eA j , de acordo com a definio de tensor de 2 ordem, pode escrever-se

com a seguinte forma

( )eeeeA jnmmnj A = De acordo com a definio [ ] ( )u v w v w u = . o segundo membro da equao anterior pode ser alterado

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Exemplo 1.5

( ) ( ) eeeeeeeeeA mmjmnjmnmjnmnjnmmnj AAAA ==== Multiplicando escalarmente por ei ambos os membros da equao anterior obtm-se:

AAAA ijimmjmmj imi mjji ==== eeeeeAe

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Tensor de 2 Ordem

O tensor de 2 ordem T, pode ser expresso em termos das componentes Tij

relativas base tensorial ji ee , como sendo:

ou tendo em conta a conveno dos ndices repetidos [ ]jiijT eeT = .

[ ]jiij31j

3

1iT eeT =

==

Nestas condies as quantidades Tij so valores escalares que dependem da base

escolhida para a sua representao. A parte tensorial de T est ligada base de tensores

ji ee .

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Tensor de 2 Ordem

semelhana do que acontece com os vectores, o tensor T, ele prprio no

depende do sistema de coordenadas escolhido, mas as suas componentes Tij dependem.

O tensor completamente caracterizado pela sua aco nos trs vectores base. A aco

do tensor T no vector base ke : [ ] kjiijk T eeeeT =[ ] ( ) ijkikjkji . eeeeeee ==iijk T eeT =

ijij vT evT = ( ) jiji vT=vTAco do Tensor sobre um vector

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Adio de Tensores

A adio de vectores uma operao j conhecida e j foi referida, a soma dos vectores resultantes do produto de um tensor de 2 ordem por um vector, v, pode escrever-se com a seguinte forma

[ ] vPTvPvT tensores

desoma

+=+ [ ] jijijjijjij vPTvPvT +=+Ou Consequentemente a soma dos tensores T + P referidos mesma base tensorial facilmente calculada da seguinte forma:[ ] ijijij PT +=+PT

comutativa

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Multiplicao por um Escalar

A multiplicao de um vector, Tv, por um escalar, , tambm possvel, sendo [ ] [ ] T v T v= ou seja [ ] ijij TT =

A multiplicao por um escalar uma operao distributiva

[ ] ijijij PT +=+ PT

uTvvTu T=

A operao produto escalar seguinte no comutativa

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Produto de Dois Tensores

[ ] [ ]PT v P T v=[ ] [ ] ( ) ( ) ijkmmjikmjmjkiikijij vTPvTPv eeeeePT ==[ ]PT ij ik kjP T=

kjkiij

T TP=

TP ( ) vTP.uvTP.uvT.uP TT ==

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Tensor Identidade

A norma do tensor A designada por A um valor no negativo que igual

raiz quadrada de A:A.

Tensor Identidade

== jiijiiI eeee

O tensor T, tem um inverso, 1T , tal que

( ) vvTT =1 e ( ) vvTT =1 sendo ITTTT 11 == ijkj

1ik TT = ij1kjki TT =

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M ostre que o ten sor A pode se r considerado igu a l som a de um tenso r sim trico com

um tensor an ti-sim trico do segu in te m odo:

22AAAAA

TT ++=

Exemplo 1.6

Considere-se que a decomposio feita de tal modo que A=B+C sendo 2

AABT+= e

2AAC

T= e pretende-se mostrar que B simtrico e C anti-simtrico.

BB2

AA2

AA2

AAB Tijji

Tjijijiij

Tijij

ij ==+=+=+= Consequentemente B um tensor simtrico.

CC2

AA2

AA2

AAC Tijji

Tjijijiij

Tijij

ij ===== Consequentemente C um tensor anti-simtrico.

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Trao

O trao de um tensor A, um escalar designado por trA que igual soma dos

elementos da diagonal da forma matricial do tensor de 2 ordem,

trA= AAA 332211ii ++=A .

Em notao indicial a contraco significa, identificar dois ndices e somar considerando os ndices mudos. Em notao simblica caracterizada por um ponto entre os dois vectores. Alm da contraco simples j referida, possvel considerar a contraco dupla de dois tensores A e B, caracterizada por dois pontos, da qual resulta um escalar. A contraco dupla pode ser definida em termos do trao do seguinte modo:

ABABBAABBABA :)(tr)(tr)(tr)(tr: TTTT =====ABBA ijijijij =

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Propriedades da Contraco Dupla

I:A=trA=A:IB:C)A(C:A)B((BC):A TT ==

A:v)(uAvuv)(u:A ==y)w)(vuy)(w:v)(u = (

( jlik== )ee)(ee)ee(:)ee( ljkilkji

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Exemplo 1.7

Mostre a partir da definio (1.34) que:

a) ( ) ABAB 111 = b) ( ) ( )AAT 1 T1 = Soluo: a) Multiplicando AB esquerda por AB 11 , obtm-se:

IBBBIBBAAB === 11111 consequentemente ( ) ABAB 111 = . b) ( ) ( ) IIAAAA TT11 T === T Consequentemente ( ) ( )AAT 1 T1 =

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35

Produto Tridico

uvw

(uv)w=uvw (uvw)x=(wx)uv (uvw):(xy)=(vx)(wy)u (uvw):I=(vw)u

Propriedades do Produto Tridico

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Contraco Dupla

A contraco dupla de um tensor de 3ordem, A com um tensor de 2 ordem,

B produz um vector, como se pode verificar:

( ) ( )eeeeeB mlkji = :B: lmijkAA = ( )( )eeeee imklj BlmijkA = ei kmjllmijk BA = eiBjkijkA

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Mudana de Base

v e g= =v vj j j j'

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Mudana de Base

( ) 'jijiii'iii vQvou.vv === geve( ) iijjjij vv.v ==ee

jiijQ ge =Tensor de Transformao

[ ] [ ]jiijji'ij TT eeggT ==( ) ( )njmiijmnnm T'TT gegegg ==

ijnjmi'mn TQQT =

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Invariantes

( ) ( )ijkjik TfT,Q,Qf =AAOs invariantes so tais que Os invariantes do tensor, T, considerados fundamentais so

iiT TI =jiijT TTII =

kijkijT TTTIII =

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Valores e Vectores Prprios

Tu = v vuT jjij = T.n = v vnT ijij =

T.n = n nnT ijij =sendo a direco n chamada de direco principal ou vector prprio de T e o escalar l chamado de valor principal ou valor prprio de T. As equaes 1.53constituem um sistema de equaes a que se pode dar a forma

0n)T( jijij =

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Equao Caracterstica

|T- I | = 0 0T ijij = 0IIIIII TT2T3 =+

iiT TtrI == T( )[ ] [ ]jiijjjii22T TTTT21)(trtr21II == TT

k3j2i1ijkT TTTdetIII == T

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Campos Escalares, Vectoriais e Tensoriais

Um campo corresponde essencialmente a uma funo que definida num domnio contnuo. Uma funo tensorial uma funo cujos argumentos so uma ou mais variveis tensoriais cujos valores so escalares, vectores ou tensores. Um campo escalar est associado a uma funo cujo valor para umponto x do domnio contnuo um escalar, um campo vectorial est associado a um funo cujo valor num ponto um vector e um campo tensorial est associado a uma funo cujo valor num ponto um tensor. As funes f(A), u(A) e T(A) so exemplos de funes escalares, vectoriais e tensoriais de um tensor varivel A. O tensor varivel pode ser visto duma forma geral e pode ser um escalar, um vector ou um tensor de ordem superior.

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Gradiente de uma Funo Escalar

( ) ( ) xxgradxxxx x d)(fdfdexfdf j

j

===

Gradiente de uma funo Escalar

Gradiente de uma funo vectorial

eevv jij

ix x

vgrad ==

=

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

grad

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

x v

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Divergncia de um vector

( ) lim 1div d0

= x v.nv SV V s

( ) ( ) )grad(trxv

xdiv ji

i

ji

i

veeexvxv x==

=Teorema da Divergncia

= Sv dAdVdiv n.vv

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