Polos Olmpicos de TreinamentoCurso de lgebra - Nvel 2Prof. Marcelo MendesAula1ProdutosNotaveisVariosproblemasdeAlgebraparaalunosdoEnsinoFundamental utilizamProdutosNotaveis,ques aoidentidadesclassicasenvolvendomultiplica caodeexpress oes.Vejamosalgunsexemplosparadiversosprodutosnot aveisqueauxiliaraonaforma caodeideiasparaproblemasfuturosmaisdifceis.1Quadradodasomaoudadiferencadedoisn umeros(a + b)2= a2+ 2ab + b2(a b)2= a22ab + b2Problema1. (OCM)Provequen aoexisteminteirospositivosaebtaisqueb2+ba2+a= 4.Solucao. Suponha queexistamtaisinteirospositivosaeb. Aequacaodada eequivalenteab2+ b=4_a2+ a_=4a2+ 4a. Issolembraoquadradode2a + 1, quee4a2+ 4a + 1.Assim,seriabomsomarmos1decadalado,paraobtermosb2+ b + 1 = 4a2+ 4a + 1.Poroutrolado,b2< b2+ b< b2+ 2b + 1 = (b + 1)2poisbeuminteiropositivo. Comob2e(b + 1)2s aoquadradosconsecutivos, issomostraquen aoseriapossvelb2+ bseroquadradodeuminteiro.Nopr oximoexemplo,vamosutilizarum fato utildepensarqueumn umero comtodososdgitos1s, como11...1, podeserescritonaforma99...99. Seon umeropossuirapenasodgito4, porexemplo, como44...4, entaooescrevemosnaforma4 99...99. Avantagemdessas altera coes e saber que 99...9. .n= 10n1 (verique esse fato para quantidades pequenasde9s).POT2012-Algebra-Nvel 2-Aula1-Prof. MarceloMendesProblema2. Sejan>1umn umerointeiro. Provequeon umero_11...1. .n44...4. .2nn aoeracional.Solucao. Mostrarque11...144...4n aoeracionaleequivalenteaprovarque11...144...4n aoe umquadradoperfeito. Ouseja, esteproblematentamostrar quen aoh aoutrosquadradosperfeitoscomoformatodon umero144.Podemosescrever11...144...4= 11...1 102n+ 44...4 =10n19102n+ 4 102n19=10n19_102n+ 4 (10n+ 1)_ =10n19(10n+ 2)2.Agora, esuciente mostrarmosque 10n1nunca pode serquadrado perfeito sen > 1.Issoeverdadepelofatode10n 1deixarresto3nadivisaopor4en aoexistirquadradoperfeitonessasitua cao.Problema3. (i)Sen euminteiropositivotalque2n + 1 eumquadradoperfeito,mostrequen + 1 easomadedoisquadradosperfeitossucessivos.(ii)Se3n + 1 eumquadradoperfeito,mostrequen + 1 easomadetresquadrados.Problema4. Suponha que um n umero inteironsejaasomade doisn umeros triangulares,ou seja,n =a2+a2+b2+b2. Mostre que 4n+1 pode ser escrito como a soma de dois quadradosemtermosdeaeb.Problema5. Sejax Rtalquex +1x= 5. Calculex2+1x2.Problema6. (EUA)On umero121b,escritonabaseinteirab, eoquadradodeuminteiroparaquaisvaloresdeb?Problema7. SejaD = a2+b2+c2,sendoaebinteirosconsecutivosec = ab. MostrequeDesempreuminteiro mpar.Problema8. (EUA)Determineasomadosdgitosnabase10de_104n2+8+ 1_2,sendonuminteiropositivo.Problema9. Mostrequeasomadosquadradosdedoisn umeros mparesconsecutivoseumn umeroparn aom ultiplode4.2POT2012-Algebra-Nvel 2-Aula1-Prof. MarceloMendesProblema 10.(IME) Mostre que os n umeros 49, 4489, 444889, 44448889, ..., obtidos colocando-se48nomeiodon umeroanterior,s aoquadradosden umerosinteiros.Problema11. Sex12+ 2x6(1 2y2) + 1 = 0ex R,entaomostrequey< 1.Problema12. Ache todos os inteiros positivosx, ytais quey2x(x+1)(x+2)(x+3) = 1.Problema 13. Determinetodas as triplas den umeros reais (x, y, z) ques aosolu caodaequacao4x4x2_4y4+ 4z41_2xyz + y8+ 2y4z4+ y2z2+ z8= 0.Problema14. (OCM) Determine todos os valores reais dex, yezsatisfazendo a igualdade3x2+ y2+ z2= 2xy + 2xz.Problema15. (OCM) Determine todos os pares de inteiros (x, y) que satisfazem a equacaox2+ x + 1995 = y2+ y.Problema16. (EUA)Encontrex2+ y2sex, y Zexy + x + y= 71, x2y + xy2= 880.2Diferencadequadradosa2b2= (a + b)(a b)Problema17. Quantosparesden umerosinteirospositivos mensatisfazemaequacaom2n2= 2011?Solucao. Suponhaqueexistaminteirospositivos mentaisquem2 n2=2011. Da,(m + n)(m n)=2011. Como2011eprimoem + n>m n, poisn>0, seguequem + n = 2011emn = 1e,portanto,m = 1006en = 1005.Problema18. Provequeexisteexatamenteumn umeronatural ntalque28+ 211+ 2neumquadradoperfeito.Solucao. Vamos buscar solu coes paraa equacao 28+211+2n=k2, k Z. Elaeequivalente a 28 _1 + 23_+2n= k2ou 2n= k2482= (k +48)(k 48). Assim,k +48 = 2ae k 48=2b, sendon=a +b. Subtraindoessas equacoes, obtemos 96=2a 2be,portanto, 25 3= 2b _2ab1_. Emcadamembrodessaigualdade,temosafatoracaoempartepareparte mpar. Igualando, obtemosb=5ea=7. Portanto, a unicasolu caoen = a + b = 7 + 5 = 12.Problema19. Determineovalordoproduto_1 122_ _1 132_..._1 192_ _1 1102_.3POT2012-Algebra-Nvel 2-Aula1-Prof. MarceloMendesProblema20. (EUA)Simpliqueaexpress ao(5 +6 +7)(5 +6 7)(5 6 +7)(5 +6 +7).Problema21. (OCM/ITA) Qual e o menor inteiorpositivon tal quenn 1 < 0, 01.Problema22. Quantosparesden umerosinteirosmensatisfazemaequacaom2 n2=2014?Problema23. Sejaa = 1umn umeroreal. Simpliqueaexpress ao_1 +1a__1 +1a2__1 +1a4_..._1 +1a2100_.Problema24. Racionalizeaexpress ao1(1 +642)(1 +322)(1 +162)(1 +82)(1 +42)(1 +22).Problema25. (OCM)Encontreoquocientedadivisaodea128b128por(a64+ b64)(a32+ b32)(a16+ b16)(a8+ b8)(a4+ b4)(a2+ b2)(a + b).Problema26. Aexpress ao2n + 1eoquadradodeuminteiroparaexatamentequantosn umerosnaturaisn?Problema27. Determinetodasassolu coesinteirasdaequacao32x52y= 104.Problema28. (EUA)Sex +x21 +1xx21= 20,entaodetermineovalordex2+_x41 +1x2+x41.Problema29. Umquadradoecortadoem49quadradosmenores. Todosessesquadradostemasmedidasdeseuslados, emcentmetros, expressasporn umerosinteirospositivos.Haexatamente48quadradoscomareaigual a1cm2. Determineon umeroderesultadospossveisparaexpressar,emcm2,amedidadaareadoquadradooriginal.Problema30. Sejap umn umero primo mpardado. Quantosvaloresdekinteiropositivoexistemtaisque_k2pketambemuminteiropositivo?Problema 31. (EUA) Existe um unico par de inteiros positivos x e y satisfazendo a equacaox2+ 84x + 2008 = y2.Determineovalordex + y.Problema32. (EUA)Calcule(104+ 324)(224+ 324)(344+ 324)(464+ 324)(584+ 324)(44+ 324)(164+ 324)(284+ 324)(404+ 324)(524+ 324).4POT2012-Algebra-Nvel 2-Aula1-Prof. MarceloMendes3ProdutosnotaveisenvolvendocubosSomadedoiscubos: a3+ b3= (a + b)(a2ab + b2)Diferencadedoiscubos: a3b3= (a b)(a2+ ab + b2)Cubodasomadedoisn umeros: (a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3= a3+ b3+ 3ab(a + b)Cubodadiferen cadedoisn umeros: (a b)3= a33a2b + 3ab2b3= a3b33ab(a b)Problema33. (Eslovenia)Sejama, b Rtaisquea3 3a2+ 5a=1eb3 3b2+ 5b=5.Calculeovalordea + b.Solucao. Asexpress oesnessasequacoeslembramoscubosdasdiferen casdeae1ebe1,respectivamente. Assim,podemosreescreve-lascomo(a 1)3+ 2(a 1) = 2,(b 1)3+ 2(b 1) = 2.Somando-as,obtemos(a + b 2)_(a 1)2(a 1)(b 1) + (b 1)2+ 2 = 0.Agora,observeque(a 1)2(a 1)(b 1) + (b 1)2+ 2= (a 1)2(a 1)(b 1) +(b 1)24+3(b 1)24+ 2=_a 1 b 12_2+3(b 1)24+ 2> 0.Assim,a + b = 2.Problema34. Provequesea + b + c = 0,entaoa3+ b3+ c3= 3abc.Solucao. Sea + b = c,entao(a + b)3= (c)3,ouseja,a3+ b3+ 3ab(a + b) = c3a3+ b3+ 3ab(c) = c3.Logo, a3+ b3+ c3= 3abc.Problema 35. (Putnam) Sejamx, y, z n umeros reais distintos dois a dois. Prove que3x y +3y z +3z x = 0.Problema 36. Determine o n umero de solu coes reais distintas da equacao3x+37 x = 3.5POT2012-Algebra-Nvel 2-Aula1-Prof. MarceloMendesProblema37. (EUA/OCM) Mostre que se x e um n umero satisfazendo3x + 93x 9 =3,entao75< x2< 85.Problema38. (IME 1991)Mostre que33 +_9 +12527 33 +_9 +12527e um n umeroracional.Problema 39. (EUA) Se x e y s ao n umeros inteiros tais que x3+y3+(x+y)3+30xy= 2000,determineovalordex + y.Problema40. (Leningrado)Proveque(231)(331) . . . (10031)(23+ 1)(33+ 1) . . . (1003+ 1)=33675050.4Outrosprodutosnotaveisab a b + 1 = (a 1)(b 1)ab + a + b + 1 = (a + 1)(b + 1)Problema 41. Determine o n umero de pares ordenados (m, n) de n umeros inteiros positivosques aosolu coesdaequacao4m+2n= 1.Solucao. A equacao4m +2n= 1 e equivalente a mn2m4n+8 = 8 (m4)(n2) = 8,seguindoosmodelospropostosnestase cao.Aspossibilidadess aom 4=1, n 2=8; m 4=2, n 2=4; m 4=4, n 2=2; m4 = 8, n 2 = 1,ouseja,osparesordenados(m, n)s ao(5, 10); (6, 6); (8, 4); (12, 3).Problema42. Determine todos os n umeros inteiros tais que a soma e o produto s ao iguais.Problema43. (IME) Sejamx1ex2as razes da equacaox2+(m15)x+m = 0. Sabendoquex1ex2s aon umerosinteiros,determineoconjuntodospossveisvaloresdem.6POT2012-Algebra-Nvel 2-Aula1-Prof. MarceloMendesProblemasdaOBMProblema44. (OBM1afase/2002)Sexy= 2ex2+ y2= 5,entaox2y2+y2x2+ 2vale:a)52b)254c)54d)12e)1Problema45. (OBM3afase/2003)Mostrequex2+4y24xy +2x4y +2> 0 quaisquerquesejamosreaisxey.Problema46. (OBM2afase/2005)a) Fatoreaexpress aox29xy + 8y2.b) Determinetodososparesdeinteiros(x; y)taisque9xy x28y2= 2005.Problema 47. (OBM1afase/2005) Os inteiros positivos x e y satisfazema equacao_x +12y _x 12y= 1. Qualdasalternativasapresentaumpossvelvalordey?a)5 b)6 c)7 d)8 e)9Problema48. (OBM3afase/2006) Encontretodososparesordenados(x; y)deinteirostaisquex3y3= 3(x2y2).Problema 49.(OBM 2afase/2006) Sejam a e b n umeros reais distintos tais que a2= 6b+5abeb2= 6a + 5ab.a) Determineovalordea + b.b) Determineovalordeab.Problema50. (OBM2afase/2008) Sejamxeyn umerosreaispositivossatisfazendoasequacoesx2+ y2= 1ex4+ y4=1718. Calculeovalorde1xy.Problema51. (OBM1afase/2010)Quantoss aoospares(x, y)deinteirospositivostaisquex2y2= 22010?a)1000 b)1001 c)1002 d)1003 e)1004Problema 52. (OBM3afase/2010) Sejama, b e c reais tais que a =b e a2(b+c) =b2(c + a) = 2010. Calculec2(a + b).Problema53. (OBM1afase/2011)Qual eovalordaexpress ao201120112+ 20112003216 20112007?a) 2 201120072b) 2 201120032c) 2 20112007d) 2 20112003e) 2 2011201127POT2012-Algebra-Nvel 2-Aula1-Prof. MarceloMendesDicas3. Observeque2n + 1 eoquadradodeuminteiro mpareque3n + 1eoquadradodeumn umeron aom ultiplode3.6. N umerosnabasebs outilizamdgitos0, 1, ..., b 1.10. Escreva44...4. .n+188...8. .n9 = 4 10n+119+ 8 10n19+ 9.12. Agrupexcomx + 3ex + 1comx + 2.13. Comece separando o 1 de dentro dos parenteses (escrevendo x4depois). Em seguida,agrupey8, z8e2y4z4.14. Seumasomadequadradosden umerosreaise0,entaotodososn umeross aoiguaisa0.15. Vejaaresolucaodoproblema1.16. Fatoreefacasubstituicoesdevari aveisx + y= sexy= p.21. Multipliqueainequacaomembroamembropor n +n 1. Voceobter a n +n 1 > 100,cujamenorsolu caoe2500.23. Multipliqueedividatudopor1 1a.27. Primeiramente,descarteoscasosemqueosn umeross aonegativos. Depois,usequesomae diferen cade doisn umeros inteirostemamesma paridade. Porm, lembre-sequeoprodutodedoisn umerosnegativosepositivo.30. Escreva k2pk = n2e complete o trin omio quadrado perfeito que come ca com k2pk,somandoesubtraindop24 .31. Completeotrin omioquadradoperfeitoquecome cacomx2+ 84x.32. Fatoreaexpress aox4+ 324 = x4+ 182. Adicaesomaresubtrair2 x2 18.39. Passe2000paraoladoesquerdodaequacaoefatorefazendoaparecerofatorx + y.8POT2012-Algebra-Nvel 2-Aula1-Prof. MarceloMendesRespostas5. 236. b > 28. 412. y= x2+ 3x + 113. (t2, t, t)ou(t2, t, t), t R14. x = y= z= 015. Naoexistepar(x, y)16. 14619.112020. 1630 13621. 250122. 023.1a21011a124.642 125. a64 b6426. 127. x = 3, y= 228. 51, 00529. 230. 1(paracadaprimo mparp)31. 8032. 37336. 239. 1042. (0, 0),(2, 2)43. 0, 7, 9, 25, 27, 349