Recorde: Um grupo é um par ¿, onde G é um conjunto e “∗” é uma operação em G : ( a,b ) ⟶a∗b. (ou seja, uma função ¿ : G∗G→G ). Existe um elemento e∈G tal que ∀g∈G : g∗e=e∗g=g (elemento neutro ou identidade de G); ∀g,h,l∈G : ( g∗h )∗l=g∗( h∗l) (associatividade); Dado g∈G, existe h∈G tal que g∗h=h∗g=e (existência de elemento inverso – g −1 ≔h); Exemplos: ( GL n ( R ) ,∙ ) , ( S n ,∘ ) ={f : ( 1 ,…,n ) → ( 1 ,…,n ) | f ébijeção } , ¿ AVISO: Não pedimos que a operação seja comutativa. (Exemplos: Grupos Diedrais). Recorde: Iso ( R 2 ) ≔ { f : R 2 →R 2 | f ébijeção :| f ( x) −f ( y ) | = | x−y|,∀x,y∈R 2 } . Dado x⊂R 2 um subconjunto não vazio, definimos: ¿ ( x ) ≔ { f∈Iso ( R 2 )| f ( x) =x } (Simetrias de x) ( ¿ ,∘) é um grupo; ¿ ( D ) ⊇ { rotaçõesr θ ( em tornoda origem) ;reflexões l ι | ιreta passa por 0 }; ¿ ( D) não possui translações; NOTAÇÃO: r θ rotação por θ graus no sentido anti- horário (centro implícito); p ι : reflexão respeite-se reta ι. Polígonos Regulares
Recorde: Um grupo um par , onde um conjunto e uma operao em .
(ou seja, uma funo ). Existe um elemento tal que (elemento neutro
ou identidade de ); (associatividade); Dado , existe tal que
(existncia de elemento inverso );
Exemplos:
AVISO: No pedimos que a operao seja comutativa. (Exemplos:
Grupos Diedrais).
Recorde:
Dado um subconjunto no vazio, definimos:
(Simetrias de x)
um grupo; ; no possui translaes; NOTAO: rotao por graus no
sentido anti-horrio (centro implcito); : reflexo respeite-se reta
.
Polgonos Regulares
Propriedades
O Elemento neutro nico., ento .
Inversos so nicos.Dado , seguem tais que e . Queremos . Pela
propriedade associativa, temos:
Quanto vale ? (NOTAO: )
Seja um grupo. Fixa-se . Para cada , definimos:
Valem a identidade . Note que o conjunto (pode ser finito);
