Aula 16

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO DIRETO AO PONTO

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 16

Distribuição Uniforme Discreta .................................................................. 2

Distribuição de Bernoulli .......................................................................... 4

Distribuição Binomial ............................................................................... 7

Distribuição Geométrica .......................................................................... 25

Distribuição Hipergeométrica ................................................................... 27

Distribuição de Poisson ........................................................................... 31

Distribuições contínuas ........................................................................... 38

Distribuição Uniforme Contínua ................................................................ 38

Distribuição Exponencial ......................................................................... 40

Distribuição Normal ................................................................................ 42

Distribuição Normal Padrão ..................................................................... 49

Distribuição normal como aproximação da binomial .................................... 74

Tabela para a distribuição normal padrão .................................................. 78

Relação das questões comentadas ........................................................... 79

Gabaritos .............................................................................................. 92




Olá, pessoal!

Tudo bem?

Na aula passada aprendemos noções sobre variáveis aleatórias e aprendemos

conceitos muito importantes como esperança matemática, variância de

variáveis aleatórias, covariância, etc.

Nosso foco nesta 16ª aula será o estudo direcionado das distribuições de

probabilidade. Há distribuições que, por sua importância, merecem um

destaque especial e até um nome! Vamos começar com a mais simples delas.

A distribuição t de Student será estudada na próxima aula nos intervalos de

confiança.

Distribuição Uniforme Discreta

A distribuição uniforme discreta é aquela em que todos os elementos têm a

mesma probabilidade de ocorrer. Podemos citar o exemplo usado na aula

passada: a probabilidade de ocorrência de um número qualquer em um dado

não viciado é 1/6.

Na aula passada já aprendemos como calcular a esperança neste exemplo do

dado:

Para calcular a esperança, multiplicamos cada valor da variável pela sua

probabilidade, ou seja, multiplicamos por . Depois somamos tudo.




Vamos somar tudo agora?

Repare que poderíamos tornar o cálculo mais breve:

Em uma distribuição uniforme discreta, a esperança é a média aritmética dos

valores.

01. (Economista – TJ/RO 2008/CESGRANRIO) Uma urna contém dez bolas,cada uma gravada com um número diferente, de 1 a 10. Uma bola é retirada

da urna aleatoriamente e X é o número marcado nesta bola. X é uma variávelaleatória cujo(a)

(A) desvio padrão é 10. (B) primeiro quartil é 0,25.

(C) média é 5. (D) distribuição de probabilidades é uniforme.

(E) distribuição de probabilidades é assimétrica.

Resolução




Como todas as bolas têm a mesma probabilidade de sair, concluímos que sua

distribuição de probabilidades é uniforme. Letra D

Distribuição de Bernoulli

A distribuição de Bernoulli se caracteriza pela existência de apenas dois

eventos, mutuamente exclusivos, que denominaremos de sucesso e fracasso,

em um experimento que é realizado uma única vez.

São experimentos que os resultados apresentados apresentam ou não uma

determinada característica.

Vejamos alguns exemplos:

i) Lançamos uma moeda. O resultado ou é “cara” ou não é.

ii) Uma pessoa escolhida, ao acaso, dentre 500 pessoas, é ou não do sexo

feminino.

iii) Em uma urna temos 500 bilhetes numerados de 1 a 500. Retiramos um

bilhete ao acaso. O bilhete sorteado é múltiplo de 11 ou não é.

Em todos esses casos, estamos interessados na ocorrência de um sucesso

(ocorrência de cara, sexo feminino, múltiplo de 11) ou fracasso (ocorrência de

coroa, sexo masculino, número que não múltiplo de 11). Usaremos, a partir de

agora, constantemente esta terminologia (sucesso/fracasso).

Normalmente usamos as seguintes notações:

A probabilidade de ocorrer um sucesso é .

A probabilidade de ocorrer um fracasso é .

Adotamos o valor 0 para o fracasso e 1 para o sucesso.

Vejamos um exemplo: Lançamos um dado honesto e observamos a face que

fica para cima. Se a face voltada para cima for o número 5, teremos um

sucesso. Se a face voltada para cima for um número diferente de 5, teremos

um fracasso.

Assim, a probabilidade de obtermos um sucesso é igual a e a

probabilidade de obtermos um fracasso será igual a .

Assim, temos a seguinte distribuição de probabilidades (lembre-se que

adotamos o valor 0 para o fracasso e 1 para o sucesso).




0 5/6

1 1/6

Vamos calcular a esperança. Para isto, devemos multiplicar cada valor que a

variável assume pela sua respectiva probabilidade e devemos somar tudo.

0 5/6 0

1 1/6 1/6

Vamos agora calcular a variância. Para isto, devemos elevar X ao quadrado,

multiplicar pelas probabilidades e somar. Assim, teremos calculado o valor de

.

0 5/6 0 0² = 0 0

1 1/6 1/6 1² = 1 1/6

Agora aplicamos a fórmula da variância:

Vamos agora generalizar. Temos um experimento de Bernoulli tal que a

probabilidade de um sucesso seja p e a probabilidade de um fracasso seja q.

0

1

Vamos calcular a esperança e a variância desta variável aleatória.

Multiplicando cada valor da sua variável pela respectiva probabilidade.




0 0

1

Somando...

Assim, concluímos que a esperança da distribuição de Bernoulli é a própria

probabilidade de obter um sucesso. No nosso exemplo acima, temos que

.

Vamos agora calcular a variância. Para isto, devemos elevar X ao quadrado,

multiplicar pelas probabilidades e somar. Assim, teremos calculado o valor de

.

0 0² = 0

1 1² = 1

Vamos agora aplicar a fórmula da variância.

Colocando em evidência, temos:

Como :

Ou seja, a variância da distribuição de Bernoulli é o produto da probabilidade

de obter um sucesso pela probabilidade de obter um fracasso.

No nosso exemplo, temos:




Em resumo, a distribuição de Bernoulli pode assumir os valores 0 e 1 (fracasso e

sucesso, respectivamente). A probabilidade de ocorrer um fracasso é igual a e a

probabilidade de ocorrer um sucesso é . A esperança é igual a e a variância é igual

a .

Distribuição Binomial

Ainda estamos interessados em experimentos que possuam dois resultados

possíveis: um sucesso e um fracasso. É importante destacar que não devemos

associar os nomes “sucesso” e “fracasso” aos seus “reais” significados. Por

exemplo: Um casal terá um filho. Podemos dizer que se o filho for homem

teremos um sucesso e se for uma mulher um fracasso, mas também poderia

ser o contrário: mulher = sucesso e homem = fracasso. Ok?

A diferença da distribuição binomial para a distribuição de Bernoulli é que no

caso anterior o experimento seria realizado apenas uma vez. Aqui na

distribuição binomial realizaremos o experimento n vezes.

Então imagine que repetimos um ensaio de Bernoulli n vezes, ou, como se diz

também, obtemos uma amostra de tamanho n de uma distribuição de

Bernoulli. Suponha ainda que as repetições sejam independentes, isto é, o

resultado de um ensaio não tem influência alguma no resultado de qualquer

outro ensaio. Uma amostra particular será constituída de uma sequência de

sucessos e fracassos, ou, se quisermos, de zeros e uns (zero = fracasso e um

= sucesso).

Vamos voltar ao nosso exemplo do dado.

Lançamos um dado honesto e observamos a face que fica para cima. Se a face

voltada para cima for o número 5, teremos um sucesso. Se a face voltada para

cima for um número diferente de 5, teremos um fracasso.

Quando estávamos estudando a distribuição de Bernoulli, nós tínhamos

lançado este dado apenas uma vez. Agora lançaremos este dado n vezes.

Vamos supor que n = 3, ou seja, vamos lançar o dado 3 vezes.

Lembrando: sucesso, neste exemplo, é sair o número 5. Neste caso, temos

e .

Pois bem, imagine que lançamos o dado três vezes e obtivemos os seguintes

resultados: 2, 4, 5. Neste caso, tivemos FFS (fracasso, fracasso, sucesso).




Neste caso, dizemos que a variável binomial assumiu o valor X = 1, pois

obtivemos apenas um sucesso.

Imagine agora que lançamos o dado três vezes e obtivemos os seguintes

resultados: 5, 2, 5. Neste caso, tivemos SFS (sucesso, fracasso e sucesso).

Dizemos agora que a variável binomial assumiu o valor X = 2, pois obtivemos

dois sucessos.

Podemos concluir que se realizamos n ensaios de Bernoulli, o número máximo

de sucessos é igual a n. Ora, se lançamos o dado 3 vezes, podemos obter um

sucesso (resultado = 5) no máximo 3 vezes. Não tem como lançar o dado 3

vezes e o número 5 sair quatro vezes! Ok?

Dessa forma, realizando 3 ensaios de Bernoulli, podemos obter:

- Nenhum sucesso (X=0)

- Um sucesso (X=1)

- Dois sucessos (X=2)

- Três sucessos (X=3).

Nosso objetivo agora será calcular a probabilidade de obtermos k sucessos

(neste caso, k = 0,1,2 ou 3).

Vamos calcular a probabilidade de obtermos nenhum sucesso (X=0).

Neste caso, estamos obtendo 3 fracassos (FFF). Ou seja, queremos lançar o

dado três vezes e obter números diferentes de 5 nos três lançamentos.

Como os eventos são independentes, a probabilidade será o produto das

probabilidades.

Sabemos que a probabilidade de obtermos um número diferente de 5 é igual a

. Portanto, a probabilidade de obtermos 3 números diferentes de 5 será

igual a:

Vamos agora calcular a probabilidade de obtermos um sucesso em 3 ensaios.




Queremos, em três ensaios, obter exatamente um resultado igual a 5.

Queremos, portanto, obter 1 sucesso e dois fracassos. Devemos observar que

o sucesso por ocorrer no primeiro, no segundo ou no terceiro lançamento. Ou

seja, podemos obter SFF, FSF ou FFS.

Vamos agora calcular a probabilidade de obtermos dois sucessos em 3 ensaios.

Queremos obter 2 sucessos, ou seja, queremos obter dois resultados iguais a 5

em 3 lançamentos. Podemos obter SSF ou SFS ou FSS.

Finalmente, vamos calcular a probabilidade de obtermos 3 sucessos em 3

lançamentos. Ou seja, queremos calcular a probabilidade de os três

lançamentos serem iguais a 5.

Poderíamos sempre fazer assim para calcular probabilidades. O problema é

que se o número de ensaios aumenta, a probabilidade fica cada vez mais

complicada de calcular.

Por isso, vamos aprender uma fórmula para calcular essas probabilidades.

Na aula de Análise Combinatória aprendemos como calcular combinações.




Exemplo:

A maneira mais fácil de utilizar esta fórmula é a seguinte:

O número de combinações sempre será uma fração.

No denominador, devemos colocar o fatorial expandido do menor número.

Quantos fatores há no denominador? Dois!! Pois bem, devemos expandir o

outro número, no caso o número 5, em dois fatores.

Nos livros e provas de Estatística não utilizamos muito a notação que foi usada

na aula de combinatória: .

A partir de agora utilizaremos com muito mais frequência a notação seguinte:

Alguns casos especiais podem ser memorizados para ganharmos tempo:

Pois bem. Voltemos à probabilidade. Vamos supor que existe um ensaio de

Bernoulli tal que a probabilidade de obtermos um sucesso seja e a

probabilidade de obtermos um fracasso seja . Realizaremos este ensaio n

vezes e queremos calcular a probabilidade de obtermos k sucessos

(obviamente ).




A probabilidade pode ser calculada através da seguinte fórmula:

Como vamos memorizar esta fórmula?

A fórmula sempre começa com o binomial de n sobre k (combinações de n

elementos tomados k a k). Ou seja, número lançamentos sobre o número de

sucessos que se quer obter.

Depois multiplicamos pela probabilidade de obter um sucesso elevada ao

número de sucessos ( ) pela probabilidade de obter um fracasso elevada ao

número de fracassos ).

Voltemos ao nosso exemplo do dado.

Vamos lançar um dado 3 vezes. Consideramos como sucesso obter o número

5. Assim, e .

Queremos calcular a probabilidade de obtermos 0,1,2 ou 3 sucessos.

Começamos colocando o binomial de n sobre k.

Agora multiplicamos pela probabilidade de obtermos um sucesso elevado ao

número de sucessos.

Agora multiplicamos pela probabilidade de obtermos um fracasso elevada ao

número de fracassos. Ora, como são 3 lançamentos e nenhum sucesso,

teremos 3 fracassos.

Vamos agora calcular a probabilidade de obtermos um sucesso.

Começamos colocando o binomial de n sobre k (ensaios sobre sucessos).




Agora multiplicamos pela probabilidade de obtermos um sucesso elevada ao

número de sucessos.

Como é apenas 1 sucesso, teremos 2 fracassos.

Agora multiplicamos pela probabilidade do fracasso elevado ao número de

fracassos.

E assim por diante.

Observe que se são n ensaios dos quais são k sucessos, o número de fracassos

será n – k.

Vamos reunir nossos resultados em uma tabela.

0

1

2

3

Temos uma variável aleatória discreta, ok?

X são os possíveis valores assumidos pela variável e P(X) suas respectivas

probabilidades. Na aula passada, aprendemos como calcular a esperança e a

variância de uma variável aleatória discreta.




Vamos começar com o cálculo da esperança. Vamos multiplicar X por P(X) e

somar todos os resultados.

0

1

2

3

A esperança é igual a:

Vamos agora calcular a variância. Devemos elevar X ao quadrado, multiplicar

os resultados obtidos pelas respectivas probabilidades e somar tudo. Depois é

só aplicar a fórmula.

0

1

2

3




Agora aplicamos a fórmula da variância.

Simplificando a fração...

Bem trabalhoso, não?

Para facilitar as nossas vidas, existem fórmulas para o cálculo da esperança e

da variância.

Para calcular a esperança, basta multiplicar o número de ensaios pela

probabilidade de obter um sucesso.

E agora a variância.

Para calcular a variância, multiplicamos o número de ensaios pela

probabilidade do sucesso e pela probabilidade do fracasso.

Bem mais rápido!!

Vamos agora treinar um pouco.




02. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Uma variável aleatória X segue uma distribuiçãobinomial com os seguintes parâmetros: número de ensaios = 100;

probabilidade de sucesso em cada ensaio = 0,2. De acordo com essasinformações, qual é o valor esperado de X?

a) 0,2

b) 0,8

c) 20

d) 80

e) 100

Resolução

Concursos disputados (e com altos salários como esse) também têm questões

muito fáceis. A questão é se o candidato teve tempo de estudar tudo.

Quem tinha pelo menos uma noção e sabia a fórmula, resolveu esta questão

em segundos.

Acabamos de ver que o valor esperado (esperança) de uma variável aleatória

binomial X é o produto do número de ensaios pela probabilidade de sucesso.

Letra C

03. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Sabendo que a variável aleatória X tem distribuição

binomial de parâmetros: e , a média e a variância de X serão,

respectivamente:

a) 8 e 4,8

b) 8 e 3,2

c) 4 e 2,4

d) 8 e 2,4

e) 4 e 4,8

Resolução

Como acabamos de ver, a média (esperança) da variável X com distribuição

binomial é igual a .

A variância da variável X é igual a , onde .




Letra A

04. (SUSEP 2010/ESAF) Um estudo indica que, nas comunidades que vivem

em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal, aprobabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. Desse

modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a:

a) 37/64 b) 45/216

c) 1/64 d) 45/512

e) 9/16

Resolução

Chamemos de “sucesso” ter um filho do sexo masculino: probabilidade

igual a 1/4. Chamemos de “fracasso” ter um filho do sexo feminino: probabilidade

igual a 3/4.

A probabilidade de, em cinco experimentos (n = 5), obtermos 2sucessos (k=2), pelo teorema binomial é:

Anulada

05. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e

pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, onúmero de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o

número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolasdiferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com

reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729.

b) 100/243. c) 10/27.

d) 115/243.

e) 25/81.

Resolução

Suponha que temos apenas uma bola vermelha.




O número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, logotemos 5 bolas amarelas.

O número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas, logo

temos 10 bolas azuis.

O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, logo temos

20 bolas pretas.

Total de bolas: 1 + 5 + 10 + 20 = 36 bolas.

20 bolas pretas e 16 não-pretas.

Ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual aprobabilidade de exatamente duas bolas serem pretas?

Como o processo é com reposição, os eventos são independentes e podemos

aplicar o teorema binomial.

Vamos considerar que extrair uma bola preta é um sucesso. A probabilidade do

sucesso é p = 20/36. A probabilidade do fracasso é q = 16/36.

Queremos obter 2 sucessos em 3 ensaios.

Letra B

06. (CEB Distribuição – Administrador 2010/Fundação Universa) O mau

funcionamento de uma das máquinas de uma indústria fez com que 10% das

peças produzidas em um determinado lote apresentassem defeito. Escolhendo-

se aleatoriamente cinco peças desse lote, a probabilidade aproximada de que

menos de três delas apresentem esse defeito, se cada peça retirada é reposta

antes de se retirar a próxima, é de

(A) 90%. (B) 91%. (C) 93%. (D) 96%. (E) 99%.

Resolução

Vamos considerar que escolher uma peça com defeito é um sucesso e escolher

uma peça boa é um fracasso.




Escolhendo uma peça aleatoriamente, a probabilidade de ser defeituosa é 10%

e a probabilidade de ser boa é 90%.

Assim, e .

“Escolhendo-se aleatoriamente cinco peças desse lote, a probabilidade

aproximada de que menos de três delas apresentem esse defeito, se

cada peça retirada é reposta antes de se retirar a próxima, é de...”

Como o experimento é feito com reposição, os eventos são independentes.

Assim, podemos aplicar o teorema binomial.

Queremos obter menos de 3 sucessos. Ou seja, podemos ter 0, 1 ou 2

sucessos em 5 ensaios.

Queremos calcular:

Vamos calcular cada parcela separadamente e somar os resultados.

P(X=2)

P(X=1)

P(X=0)

Desta forma, a probabilidade de que menos de três delas apresentem esse

defeito é:

Letra E

Questão bem trabalhosa (principalmente as contas, que fiz na calculadora).




07. (AFC-CGU 2008/ESAF) Seja X uma variável aleatória discreta com função

de probabilidade binomial )(xf , onde e é o número

de combinações de n elementos tomados x a x. Sendo n=6 e p=1/3,

determine f(6).

a) 1/729

b) 1

c) 0

d) 64/729

e) 8/729

Resolução

Basta aplicar a fórmula que vimos.

Letra A

08. (AFC-CGU 2008/ESAF) Seja F(x) a função de distribuição da variável

aleatória definida na questão anterior, determine )0(F .

a) 0

b) 1/729

c) 64/729

d) 243/729

e) 1.

Resolução

Como vimos na aula passada, a função de distribuição fornece a probabilidade

de X ser menor ou igual a um dado valor.

Se x = 0, a função dará a probabilidade de X ser menor ou igual a zero.

A variável binomial sempre assume valores maiores ou iguais a 0. Na verdade,

. Ou seja, X nunca poderá ser negativo.




Assim, concluímos que .

Letra C

09. (ATA-MF 2009/ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valormais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?

a) 35%

b) 17%

c) 7%

d) 42%

e) 58%

Resolução

Muito parecido com o exemplo que utilizei na exposição teórica. Vamos

considerar que sair o número 1 é sucesso e sair qualquer outro número é

fracasso. Vamos lançar o dado três vezes (n=3) e queremos a probabilidade de

obter um sucesso (k=1).

Neste caso, p = 1/6 e q = 5/6.

Letra A

10. (AFRFB 2009 ESAF) Em um experimento binomial com três provas, a

probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de

ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso

são, em percentuais, respectivamente, iguais a:

a) 80 % e 20 %

b) 30 % e 70 %

c) 60 % e 40 %




d) 20 % e 80 %

e) 25 % e 75 %

Resolução

Chamamos de k o número de sucessos. Assim, se o número de sucessos é 2,

então k = 2. Se o número de sucessos é igual a 3, então k = 3.

A probabilidade de ocorrerem dois sucessos é indicada por P(X=2) e a

probabilidade de ocorrerem três sucessos é indicada por P(X=3). Como são

três tentativas (três provas), então n=3.

O problema nos disse que a probabilidade de ocorrerem dois sucessos é igual a

doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos.

Algebricamente,

Aplicamos a fórmula do teorema binomial que diz que a probabilidade de em n

provas obtermos k sucessos é dada por

Assim,

Observe que (1-p)0 é igual a 1, e que .

Cortando...




Obviamente, se a probabilidade de obter um sucesso é de 20%, a

probabilidade do fracasso é de 80%.

Letra D

11. (MPOG 2006 ESAF) Um experimento binomial é um experimento que

comporta um número fixo de provas independentes, n. Cada prova tem os

resultados classificados em apenas duas categorias, a saber: sucesso ou

fracasso. Muito embora essa classificação seja arbitrária, costuma-se denotar a

probabilidade de sucesso por p, e a probabilidade de fracasso por q. Desse

modo, realizando-se 50 provas, a probabilidade de se obter 30 sucessos é

dada por

a) 30 30 20

50C p q

b) 30 20 30

50C p q

c) 30 0 20

50C p q

d) 30 20

50C p q

e) 30 20 0

50C p q

Resolução

A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma sequência de n

provas independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova é p e

de a probabilidade de cada fracasso é q, é igual a

30 30 20

50

k k n k

nC p q C p q .

Letra A




12. (APOG- SAD/PE 2010/CESPE-UnB)

A figura acima apresenta a distribuição percentual da população de crianças e

jovens entre cinco a dezenove anos de idade que nunca procurou um dentista,

por renda domiciliar per capita no Brasil em 1998. “As diferenças entre os

diversos grupos de renda per capita é acentuada. Aproximadamente 25% da

população brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca procuraram

um dentista. Entretanto, este valor sofre oscilações segundo a renda variando

de 50,7% naqueles domicílios com renda de até R$ 37,75 a 1,5% naqueles

domicílios com renda per capita entre R$ 1.813,00 e R$ 40.500,00”.

A. Nunes et al. Medindo as desigualdades em saúde

no Brasil, OPAS/OMS, 2001 (com adaptações)

Considerando que uma amostra aleatória simples de cinco mil indivíduos fosse

retirada da população de crianças e jovens entre cinco e dezenove anos de

idade no Brasil em 1998, se X representa o número de indivíduos nessa

amostra que nunca procurou um dentista, então a variância de X é

A) inferior a 400.

B) superior a 400 e inferior a 600.

C) superior a 600 e inferior a 800.




D) superior a 800 e inferior a 1.000.

E) superior a 1.000.

Resolução

25,2% da população brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca

procuraram um dentista.

Isto significa que, para cada pessoa entrevistada, é como se fosse um jogo em

que há 25,2% de chance de esse eleitor nunca ter procurado um dentista e

(100-25,2)%=74,8% de chance de esse eleitor alguma vez na vida ter

procurado um dentista.

Portanto, é como se cada eleitor entrevistado fosse uma distribuição de

Bernoulli. A distribuição de Bernoulli se caracteriza pela existência de

apenas dois eventos, mutuamente exclusivos, que denominaremos de

sucesso e fracasso. No nosso exemplo, podemos afirmar que o “sucesso” é o

entrevistado nunca ter procurado um dentista e “fracasso” já ter procurado um

dentista. Normalmente a probabilidade do sucesso é designada por p e a

probabilidade do fracasso por q. Nesse caso temos que p=25,2% e q=74,8%.

Observe que p+q=1 ou, de outra maneira, p+q=100%.

A distribuição binomial nada mais é do que a generalização da distribuição

de Bernoulli. Há um sucesso, com probabilidade p, e um fracasso, com

probabilidade q, tal que p+q=1, mas o número de experimentos pode ser

qualquer um. No nosso exemplo. Realizaremos o mesmo experimento

(perguntar a um entrevistado se ele já visitou um dentista) 5000 vezes. Numa

distribuição binomial, a variância é dada pela fórmula

Nesta fórmula, n é o número de experimentos, p é a probabilidade do sucesso

e q a probabilidade do fracasso. Temos então,

Resposta D) superior a 800 e inferior a 1.000.

Na minha concepção, é uma questão difícil, pois nem todos perceberiam que

se trata de uma distribuição binomial.




13. (ANA 2009/ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidadede ocorrer determinada variação genética e de 1%. Ao se examinar ao acaso

três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade deexatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética?

a) 0,98%

b) 1% c) 2,94%

d) 1,30%

e) 3,96%

Resolução

Temos um experimento binomial em que a probabilidade de obtermos um

sucesso (ter a variação genética) é igual a 1%. A probabilidade do fracasso é

igual a 99%. Queremos calcular a probabilidade de ocorrer 1 sucesso em 3

ensaios.

Letra C

Distribuição Geométrica

A distribuição geométrica também se refere a sucessos e fracassos, mas,

diferentemente da binomial, é a probabilidade de que o sucesso ocorra

exatamente no k-ésimo ensaio. Por exemplo, no jogo de cara ou coroa, qual a

probabilidade de que a coroa só ocorra na quarta jogada? Ou qual é a

probabilidade de que o dado só dê o número 5 na terceira jogada?

Assim, a forma geral da distribuição geométrica é dada por:

Ou seja, já que queremos um sucesso apenas no k-ésimo ensaio, queremos

que aconteça (uma sequência de k-1 fracassos seguido de apenas um

sucesso).

14. (AFC-CGU 2008/ESAF) A probabilidade de sucesso em um experimento

aleatório é p. Seja X o número de experimentos independentes realizados até

se obter o primeiro sucesso. Qual a probabilidade de X = k, onde k=1,2,3,....

a) (1-p)k-1.

b) p(1-p)k-1.




c) k pk-1(1-p).

d) pk-1(1-p).

e) k(1-p)k-1 p.

Resolução

Aplicação direta da teoria vista.

Em cada experimento, a probabilidade de sucesso é p e a probabilidade de

fracasso é q.

Nos k-1 primeiros experimentos, temos fracasso e temos no último

experimento um sucesso.

Para que X seja igual a k devemos ter k-1 fracassos e 1 sucesso, nesta ordem.

Como os eventos são independentes, a probabilidade pedida é igual ao produto

das probabilidades.

Letra B

15. (Petrobras 2011/CESGRANRIO) Uma pessoa lança repetidamente um dado

equilibrado, parando quando obtém a face com o número 6. A probabilidade de

que o dado seja lançado exatamente 3 vezes é

a) 1/216

b) 1/36

c) 25/216

d) 1/6

e) 25/36

Resolução

Este problema ilustra perfeitamente a distribuição geométrica. Vamos

considerar que o sucesso é obter o número 6 (p=1/6). Queremos obter um

sucesso exatamente no 3º lançamento. A probabilidade do fracasso é igual a

5/6. Queremos obter, nesta ordem, fracasso-fracasso-sucesso.

Letra C




Distribuição Hipergeométrica

Já comentei algumas vezes que para podermos usar o teorema binomial, os

processos devem ser feitos com reposição (para que os eventos sejam

independentes).

A distribuição hipergeométrica refere-se à probabilidade de, ao retirarmos,

sem reposição, n elementos de um conjunto N, saiam k elementos com o

atributo sucesso, considerando-se que, do total de N elementos, s possuem

esse atributo e, portanto, N-s possuem o atributo fracasso.

Assim, a probabilidade de obtermos um sucesso (no primeiro experimento) é

igual a p = s/N. Queremos calcular a probabilidade de que, retirando-se n

elementos, k possuam o atributo sucesso e n-k possuam o atributo fracasso.

Esta probabilidade é dada por:

Exemplo: Sabe-se que há 10% de peças defeituosas em um lote de 50. Ao

retirar oito peças desse lote, sem reposição, qual a probabilidade de que duas

delas sejam defeituosas?

Resolução

Como são 10% de peças defeituosas em um total de 50, então há 5 peças

defeituosas.

Temos 50 objetos e escolheremos 8. Este é o nosso denominador.

Pede-se a probabilidade de retirar duas (do total das 5) peças defeituosas e

seis (de um total de 45) peças em bom estado.

16. (IPHAN 2009/FUNIVERSA) Em um instituto de pesquisa trabalham, entre

outros funcionários, 3 físicos, 6 biólogos e 2 matemáticos. Deseja-se formar




uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para realizar uma pesquisa. Se essa

equipe for composta escolhendo-se os pesquisadores de forma aleatória, a

probabilidade de todos os físicos serem escolhidos é um número cujo valor

está compreendido entre

(A) 0,00 e 0,01.

(B) 0,01 e 0,02.

(C) 0,02 e 0,03.

(D) 0,03 e 0,04.

(E) 0,04 e 0,05.

Resolução

Neste caso, o processo é feito sem reposição, pois um mesmo profissional não

poderá ser escolhido duas vezes.

Dos 11 estudiosos, vamos escolher 4. Este é o nosso denominador.

Queremos que os 3 físicos sejam escolhidos. Assim, vamos escolher 3 físicos

(dentre 3 disponíveis) e 1 profissional (dentre os 8 não-físicos).

Letra C

Vejam outra maneira de resolver esta questão sem o uso da fórmula da

distribuição hipergeométrica:

Quer-se calcular a probabilidade de todos os físicos serem escolhidos. Como há

apenas 3 físicos, obrigatoriamente a quarta pessoa será escolhida dentre os

biólogos/matemáticos (não-físicos).

Existem quatro maneiras de dispor a ordem dos sorteados (F é um físico e X é

um não-físico):

Assim, vou calcular uma dessas probabilidades e multiplicar o resultado por 4.

São 11 pessoas. Assim, a probabilidade de o primeiro ser um físico é 3/11.




Como o processo é sem reposição, a probabilidade de o segundo ser físico é

2/10 (pois agora temos 2 físicos e um total de 10 pessoas). A probabilidade de

o terceiro ser físico é 1/9.

Agora temos que escolher o último como não-físico. Sobraram um total de 8

pessoas e todos eles são não-físicos. A probabilidade de um deles ser escolhido

é 8/8.

Letra C

17. (APEX Brasil 2006/Fundação Universa) Em uma empresa, há 12 dirigentes

de níveis hierárquicos distintos capacitados para a elaboração de determinado

estudo: 5 diretores e 7 gerentes. Para isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão

sorteados aleatoriamente para integrarem um grupo que realizará o referido

estudo. A probabilidade de os 4 dirigentes sorteados serem do mesmo nível

hierárquico está entre:

(A) 0,01 e 0,05.

(B) 0,06 e 0,10.

(C) 0,11 e 0,15.

(D) 0,16 e 0,20.

(E) 0,21 e 0,25.

Resolução

Novamente o nosso processo será realizado sem reposição. São 12 pessoas e

vamos escolher 4, sem reposição. Este é o nosso denominador.

Só que agora queremos calcular duas probabilidades e somar, pois queremos

que os 4 sejam diretores ou que os 4 sejam gerentes.

Probabilidade de os 4 serem diretores: Dos 5 diretores, escolheremos 4 e dos

7 gerentes escolheremos nenhum (zero).




Probabilidade de os 4 serem gerentes: Dos 7 gerentes, escolheremos 4 e dos 5

diretores escolheremos nenhum (zero).

Letra B

Podemos também resolver estas questões de distribuição hipergeométrica com

os conhecimentos adquiridos na aula de probabilidade.

Para que os quatro dirigentes sejam do mesmo nível hierárquico, podemos

escolher 4 diretores ou 4 gerentes.

Vamos calcular cada uma das probabilidades separadamente e depois somar

os resultados.

Probabilidade de escolher 4 diretores

A probabilidade de o primeiro ser um diretor é igual a 5/12.

A probabilidade de o segundo ser um diretor é igual a 4/11.

A probabilidade de o terceiro ser um diretor é igual a 3/10.

A probabilidade de o quarto ser um diretor é igual a 2/9.

A probabilidade de os 4 serem diretores é igual a

Observe que 4 x 3 = 12 (podemos cancelar o 4 e o 3 com o 12). Observe

ainda que 5 x 2 =10. Cancelamos 5 e 2 com 10.

Probabilidade de escolher 4 gerentes

A probabilidade de o primeiro ser um gerente é igual a 7/12.

A probabilidade de o segundo ser um gerente é igual a 6/11.

A probabilidade de o terceiro ser um gerente é igual a 5/10.




A probabilidade de o quarto ser um gerente é igual a 4/9.

A probabilidade de os 4 serem gerentes é igual a

Observe que 6 x 5 x 4 = 120 e que 12 x 10 = 120. Assim, podemos cancelar

6, 5 e 4 com 12 e 10.

A probabilidade pedida é igual a

Letra B

Distribuição de Poisson

Vamos utilizar como exemplo um objeto muito utilizado no cotidiano: o

telefone. Talvez até sejamos capazes de dizer quantas vezes, em média, nosso

telefone toca por dia. Mas quantas vezes o telefone não toca? Essa pergunta é

muito difícil de responder. Quando uma variável aleatória tem um

comportamento parecido com esse, dizemos que ela segue uma distribuição de

Poisson.

Se considerarmos que sucesso é tocar o telefone, é muito difícil calcular p, a

probabilidade de isso ocorrer, já que não temos como calcular a não-ocorrência

do evento.

A solução é imaginar que p é muito pequeno , já que o toque do

telefone dura apenas alguns segundos em um dia de 24 horas (86.400

segundos). Dessa forma, o número de vezes que o experimento é realizado

(telefone toca ou não toca), que é o n da distribuição binomial, é realizado

muitas vezes. É assim que modelamos a distribuição de Poisson: partimos de

uma distribuição binomial, considerando que p é muito pequeno (tende a zero)

e que n é muito grande (tende a infinito).




Mesmo p tendendo a zero e n tendendo a infinito, o produto np tende a um

número diferente de zero.

Esse produto np é a média da distribuição binomial.

Esse número é exatamente o número médio de vezes que o evento ocorre.

No exemplo do telefone, é o número de vezes que o telefone toca por dia.

Ainda é possível calcular a variância partindo da distribuição binomial.

Como p tende a 0, 1-p tende a 1.

A distribuição de Poisson se caracteriza, dessa forma, por ter média igual à

variância. Para calcularmos a probabilidade de uma variável como essa,

partimos da distribuição binomial e fazemos e (não farei aqui a

demonstração desse fato, pois deve ser utilizado conhecimentos de

matemática universitária).

Onde o número e é uma constante e vale aproximadamente 2,718...

Os autores Bussab e Morettin dizem que a aproximação da binomial por

Poisson é boa se (Estatística Básica, Atual Editora).

18. (TRANSPETRO 2011/CESGRANRIO) Uma distribuição discreta deprobabilidade que fornece a frequência de ocorrência de certos tipos de

eventos aleatórios, podendo ser usada como aproximação da distribuição

binomial, corresponde à distribuição (A) geométrica

(B) hipergeométrica (C) normal

(D) uniforme

(E) de Poisson

Resolução

Aplicação direta da teoria vista.

Letra E




19. (AFC-CGU 2008/ESAF) Tem-se que , onde é o

número de combinações de n elementos tomados x a x, é a função de

probabilidade de uma variável aleatória binomial. Fazendo-se na sua expressão

, , mas com , tem como limite a função de probabilidade

de uma variável aleatória de Poisson, que é:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução

Aplicação direta da exposição teórica.

Letra B

20. (MPOG 2006 ESAF) Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson,

com parâmetro “m”, e k = 0, 1, 2, 3... se e somente se

a) ( )mm e

P X kk

b) ( )k mm e

P X kk

c) ( )k mm e

P X kk

d) ( )km e

P X kk

e) ( )!

k mm eP X k

k

Solução

A fórmula para se determinar a probabilidade de um dado número X de

sucessos em uma distribuição de Poisson é

O parâmetro foi chamado de m e o número de sucessos X foi

chamado de k.




Assim,

( )!

k mm eP X k

k

.

Letra E

21. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Na revisão tipográfica de um livro com 600

páginas, encontrou-se, em média, 1,2 erros por página. Considerando

e estimando o número de páginas que não precisam sofrer

alterações por não apresentarem defeitos, tem-se:

a) 500 páginas

b) 420 páginas

c) 200 páginas

d) 180 páginas

e) 36 páginas

Resolução

Como a média é de 1,2 erros por páginas, temos uma distribuição de Poisson

com . Já que queremos saber o valor esperado de páginas sem defeitos,

devemos considerar

Portanto, a probabilidade de certa página não conter erros é de 0,30 = 30%.

Como o livro tem 600 páginas, o esperado é que:

páginas não tenham defeitos.

Letra D

22. (MEC 2009 CESGRANRIO) O número de clientes que chega a cada hora a

uma empresa tem Distribuição de Poisson, com parâmetro 2, ou seja, a

probabilidade de que cheguem k clientes é dada por 22

!

k

ek

para k = 0, 1, 2, ....

Qual é a probabilidade de que, em uma determinada hora, cheguem dois ou

mais clientes?

(Dado: e-2 = 0,14)




(A) 0,28

(B) 0,35

(C) 0,42

(D) 0,58

(E) 0,72

Solução

A probabilidade pedida é dada por ( 2) ( 3) ...P K P K

Teríamos que calcular infinitas parcelas. A melhor maneira de resolver esta

questão é calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de

que cheguem menos de dois clientes. Lembramos que a probabilidade total é

igual a 1.

Como assim probabilidade complementar?

É muito comum o evento ser complicado de calcular. Em muitos desses casos,

poderemos utilizar o seguinte artifício: ao invés de calcular a probabilidade que

o enunciado pediu, você calculará a probabilidade que o enunciado não

pediu.

Calcular a probabilidade de que cheguem menos de dois clientes é dada por

( 0) ( 1)P K P K .

0 12 2( 0) ( 1) 0,14 0,14 0,14 0,28 0,42

0! 1!P K P K

( 2) ( 3) ... 1 0,42 0,58P K P K

Letra D

23. (AFRFB 2009 ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria

ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por

dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três

petroleiros em dois dias é igual a:

a) 432

73e

b) 43

71e

c) 471

3e




d) 271

3e

e) 232

3e

Resolução

A média é de dois petroleiros por dia. Devemos calcular a média para 2 dias.

Obviamente a média será de 4 petroleiros a cada 2 dias. Logo =4.

Lembre-se da fórmula:

Letra C

24. (ICMS-RJ 2009/FGV) O número de clientes que buscam, em cada dia, osserviços de um renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com

média de 2 pacientes por dia. Para cada cirurgia efetuada, o cirurgião recebeR$ 10.000,00. No entanto, ele consegue fazer o máximo de duas cirurgias em

um dia; clientes excedentes são perdidos para outros cirurgiões. Assinale aalternativa que indique o valor esperado da receita diária do cirurgião.

(considere e–2 = 0,14) (A) R$ 5.600,00.

(B) R$ 8.400,00. (C) R$ 10.000,00.

(D) R$ 14.400,00.

(E) R$ 20.000,00.

Resolução

Questão muito bem feita.

Vamos considerar que X é a variável que informa o número de clientes que

buscam, em cada dia, os serviços do renomado cirurgião. O problema informou

que essa distribuição é de Poisson com média de dois pacientes por dia, ou

seja, .




Vamos agora calcular a probabilidade de X=0 ou X=1 (nenhum cliente

procurar o cirurgião ou um cliente procurar o cirurgião).

O problema nos informou que se chegarem 2 ou mais clientes, o cirurgião

atenderá apenas 2 clientes. Por exemplo, se chegarem 50 clientes na clínica, o

cirurgião atenderá apenas 2. Portanto, se chegarem 2 ou mais clientes, o

cirurgião trabalhará como se tivessem chegado apenas 2 clientes.

Se chegarem 2, 3, 4 ou 50 clientes, a receita do cirurgião será de R$

20.000,00.

Resumindo:

Se chegar nenhum cliente, a receita do cirurgião será 0 (probabilidade igual a

0,14= 14%).

Se chegar um cliente, a receita do cirurgião será R$ 10.000,00 (probabilidade

igual a 0,28 = 28%).

Em qualquer outro caso, a receita do cirurgião será R$ 20.000,00

(probabilidade igual a ).

Clientes (X) Receita do médico (R) Probabilidade

0 0 0,14

1 10.000,00 0,28

2 ou mais 20.000,00 0,58

Para calcular o valor esperado da receita diária do médico, devemos multiplicar

cada receita pela sua respectiva probabilidade e somar tudo.

Letra D




Distribuições contínuas

A partir de agora vamos começar a estudar as distribuições contínuas. Vamos

começar com duas menos importantes (distribuição uniforme e distribuição

exponencial) e depois vamos estudar e resolver muitos exercícios da

distribuição contínua mais importante e que mais aparece em provas de

concursos (para todas as áreas, principalmente os concursos fiscais) que é a

distribuição normal.

Distribuição Uniforme Contínua

No início da aula, estudamos a distribuição uniforme discreta. Vimos que

naquela distribuição todos os valores têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Este é o modelo mais simples de variável aleatória contínua. Sua função

densidade de probabilidade é representada através de um segmento de reta

horizontal. É igual a zero em toda a reta real, com exceção de um dado

intervalo, onde assume um valor constante. Se o intervalo em que a função é

constante for limitado pelos números “a” e “b”, seu gráfico terá a seguinte

representação.

Utilizando o cálculo integral (assunto de cursos na área de exatas como

engenharia, matemática, etc), pode-se demonstrar que o valor esperado e a

variância são dados por:

Para calcular probabilidades, devemos calcular as áreas abaixo do gráfico como

vimos na aula passada.




25. (AFC-CGU 2008 ESAF) Sendo X uma variável aleatória uniformemente

distribuída no intervalo [0,1], determine sua variância.

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 1/4.

d) 1/6.

e) 1/12.

Graficamente, teremos um segmento de reta horizontal. Sabemos que a

probabilidade é dada em termos de área. Sabemos ainda que a probabilidade

total é igual a 1 ou 100%. Portanto, para que a área do retângulo seja igual a

1, a altura deve ser igual a 1, pois a base também é igual a 1.

A média é dada por:

A variância é dada por:

Letra E

Para os engenheiros e ex-estudantes de cursos afins, segue a resolução utilizandocálculo integral.

2 2( ) ( ) { ( )}VAR X E X E X

2

1 12

0 0( ) ( ) ( )VAR X x f x dx x f x dx




21 1

2

0 0

21 1

2

0 0

21 1

3 2

0 0

2

( ) 1 1

( )

( )3 2

1 1 1 1 4 3( ) 0 0

3 2 3 4 12

1( )

12

VAR X x dx x dx

VAR X x dx xdx

x xVAR X

VAR X

VAR X

Distribuição Exponencial

A distribuição exponencial é uma importante distribuição de probabilidade, mas muitopouco cobrada em concursos públicos. Nem todos os livros de Estatística abordam esteassunto. Para você ter uma ideia, estou agora em minhas mãos com três importantes ebons livros de Estatística:

Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin – Estatística Básica

Luiz Gonzaga Morettin – Estatística Básica – Probabilidade e Inferência

Paul L. Meyer – Probabilidade – Aplicações à Estatística

Cada um dos livros contribui com apenas 1 página sobre Distribuição Exponencial. Estapágina contém teoria e exercício resolvido.

Resumindo: estou com 3 livros muito famosos de Estatística e reunindo tenho apenas 3páginas (1 em cada livro). Imagine o que você vai encontrar sobre este assunto nos livrosdirecionados para concursos: absolutamente nada!!

Uma variável aleatória contínua X, que tome todos os valores não-negativos, terá umadistribuição exponencial com parâmetro , se a sua função densidade deprobabilidade for dada por:

A esperança ou valor médio desta variável aleatória é dada por:




A variância desta variável aleatória é dada por:

26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Se X é uma variável aleatória exponencial de

parâmetro , então a expectância de X é igual a:

a) 0,10

b) 0,20

c) 0,30

d) 0,40

e) 0,50

Resolução

Expectância é o mesmo que esperança (valor médio).

A esperança ou valor médio desta variável aleatória é dada por:

Letra A

Problemas sobre a distribuição exponencial que envolva cálculos de

probabilidades, só podem ser resolvidos utilizando cálculo integral. Assim,

segue um problema aos que são engenheiros e ex-estudantes de área afins

(este exercício foi retirado de uma prova para o cargo específico de

Estatístico).

27. (IBGE 2010/CESGRANRIO)O intervalo de tempo entre a chegada de dois

navios a um porto, em horas, segue distribuição exponencial com média 1. Seacaba de chegar um navio, qual a probabilidade aproximada de que leve mais

de uma hora até a chegada do próximo? (A) 0,37

(B) 0,5 (C) 0,63

(D) 0,75

(E) 0,9

Resolução

A média é igual a 1, ou seja, .




A nossa f.d.p. (função densidade de probabilidade) é dada por:

Queremos calcular a probabilidade de x>1.

Letra A

Distribuição Normal

Um dos mais importantes exemplos de uma distribuição contínua de

probabilidade é a distribuição ou curva normal, ou a distribuição de Gauss,

definida pela equação

21

21( )

2

X

f x e

onde,

3,1415926535...

2,718281828...

e

média

desvio padrão

Calma... Você não precisará memorizar essa fórmula. Coloquei a título de

curiosidade e para mostrar um fato: a distribuição normal só depende da

média e do desvio padrão (ou da variância se preferir). Como o desvio padrão

será elevado ao quadrado na fórmula, diremos que a distribuição normal

depende da média e da variância.

Na aula passada, resolvemos vários problemas calculando áreas sobre os

gráficos. Os problemas envolvendo a distribuição normal serão bem parecidos.

Só que aqui utilizaremos tabelas fornecidas pelas provas. Este assunto é muito

cobrado nas provas e, com o devido treino, se tornará muito fácil.




Como acabamos de falar, a distribuição normal é bem definida quando são

fornecidos a média e a variância.

Logo, ( )f x depende de e de 2 , que são os parâmetros da Distribuição Normal.

Indicaremos 2( , )N . Ou seja, X tem uma distribuição normal, com média ( ) e variância ( 2 ).

Exemplo: N(4,9) significa uma distribuição normal com média 4 e variância 9.

A distribuição N(0,1) de média 0 e variância 1 é muito importante e recebe um nomeespecial: distribuição normal padrão ou distribuição normal reduzida.

Vamos apenas afirmar que distribuição normal serve como uma excelente

aproximação para grande classe de distribuições, que têm enorme importância

prática.

Além disso, esta distribuição apresenta algumas propriedades matemáticas muitodesejáveis, que permitem concluir importantes resultados teóricos.

Genericamente, o gráfico da distribuição normal tem o seguinte aspecto:

O gráfico se apresenta em forma de um sino, perfeitamente simétrica em relação àordenada principal ( Mo Md ). Esse fato é importantíssimo. O GRÁFICOREPRESENTATIVO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL É SIMÉTRICO EM RELAÇÃO À MÉDIA!!! E que em toda distribuição normal, a média, a moda e a mediana são iguais.

Isto significa que TUDO QUE ACONTECER DO LADO ESQUERDO, também acontecerádo LADO DIREITO!! Isso é muito importante.

É óbvio que a função matemática vista anteriormente mostra uma função teórica, e quena prática os fenômenos estudados dificilmente seguiriam exatamente esta função. Mas oque buscamos, ou ainda, o objetivo deste tópico é tentar estudar este fenômeno de umamaneira mais próxima possível da realidade.

Vimos anteriormente que a distribuição normal depende exclusivamente da média e dodesvio padrão. São eles que vão influenciar “o formato do gráfico”.




Vamos dar uma olhada no gráfico da distribuição normal padrão (ou reduzida).Lembrando que esta distribuição tem média 0 e variância igual a 1.

A média é uma medida de posição. É ela que vai determinar se o gráfico está “mais para a esquerda ou mais para a direita”. Ou seja, suponha que o desvio padrão é constante: seaumentarmos a média, o gráfico se desloca para a direita; se diminuirmos a média, ográfico se desloca para a esquerda.

O gráfico que vimos acima, tem média 0 e variância igual a 1.

Vamos agora construir um gráfico com média 2 e variância 1. Perceba que o formato dográfico continua exatamente o mesmo. A única coisa que vai mudar é que o gráfico nãovai ficar centrado no 0, vai ficar centrado no 2, que é a média.

O desvio padrão é uma medida de dispersão, de afastamento. O desvio padrão ( ) determina a abertura, visto que todas as curvas normais têm uma área total igual a 1 ou100%. Se diminuirmos o desvio padrão, a distribuição terá um menor grau de afastamento

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3,00 -2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00




e o gráfico se concentrará em torno da média (B). Se aumentarmos o desvio padrão, adistribuição será mais dispersa, e o gráfico se afastará da média (A).

Vamos comparar os gráficos de duas distribuições normais com a mesma

média (média = 0) e com variâncias diferentes. O primeiro gráfico terá

variância igual a 1 e o segundo gráfico terá variância igual a 4.




Observe que o primeiro gráfico é bem mais concentrado em torno da média. É

por isso que ele tem menor variância.

Vamos agora aprender e algumas propriedades muito importantes da

distribuição normal (independente da sua média/variância).

Propriedades da Curva Normal

i) A função é simétrica em torno de e área abaixo do gráfico é igual a 1. A áreaà esquerda da média é igual a 0,5 e a área à sua direita também é igual a 0,5 (por isso a média é igual à mediana). 50% dos valores estão abaixo da média e50% dos valores estão acima da média.

ii) A função tem um ponto de máximo para x , por isso a média é igual à moda.

iii) A função é duplamente assintótica. Ou seja, a medida que seguimos ao longo doeixo x, o gráfico se aproxima cada vez mais do eixo x, porém nunca tocando-o.

iv) 68,27% dos elementos estão entre os valores , 95,45% dos elementos

estão entre os valores 2 e 99,73% dos elementos estão entre os valores

3 (esses valores são tabelados).

Professor, não entendi essa última propriedade!!

Vejamos com exemplos numéricos. Vamos considerar uma distribuição normal commédia 3 e desvio padrão igual a 2, ou seja, e .




Assim, e . Ora, nós dissemos que 68,27% dos valoresestão entre . No nosso exemplo a área entre os números 1 e 5 é igual a 68,27%.

Se fosse a distribuição normal padrão (aquela com média 0 e desvio padrão

igual a 1), diríamos que a área compreendida entre os números -1 e 1 é igual

a 68,27%.

Também afirmamos que a área compreendida entre é igual a 95,45%.

Voltemos ao nosso exemplo da distribuição normal de média 3 e desvio padrão

2.

Neste caso, e . Isto significa que a

área compreendida entre os números é igual a 95,45%.

Finalmente, afirmamos que a área compreendida entre é igual a

99,73%.

Voltemos ao nosso exemplo da distribuição normal de média 3 e desvio padrão

2.




Neste caso, e . Isto significa que a

área compreendida entre os números é igual a 99,73%.

Na distribuição normal padrão (ou reduzida) dizemos que a área entre os

números é igual a 68,27%; que a área entre os números é igual a

95,45% e que a área entre os números é igual a 99,73%.

28. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Qual dos tipos de distribuição a seguir

corresponde a uma distribuição de variável aleatória contínua, aplicada

frequentemente em situações em que valores extremos são menos prováveis

do que valores moderados?

(A) Binomial. (B) Normal.

(C) de Poisson. (D) Geométrica.

(E) Hipergeométrica.

Resolução

As distribuições binomial, Poisson, Geométrica e Hipergeométrica são todas

discretas. A única distribuição contínua, dentre as alternativas, é a normal.

Pelo formato do seu gráfico, vemos que valores extremos são menos prováveis

do que valores moderados.

Letra B




Distribuição Normal Padrão

Já falei que representamos as distribuições normais com o símbolo e

que a distribuição normal com média 0 e variância 1, é chamada de

distribuição normal padrão ou distribuição normal reduzida.

A grande maioria dos problemas sobre distribuição normal envolve cálculos de

áreas sobre o gráfico. Só que a fdp da distribuição normal é bastante

complicada de trabalhar. Então os estatísticos resolveram criar uma tabela que

fornecesse as áreas abaixo dos gráficos da distribuição normal.

Nós até já vimos algumas áreas.

Na distribuição normal padrão (ou reduzida) dizemos que a área entre os

números é igual a 68,27%; que a área entre os números é igual a

95,45% e que a área entre os números é igual a 99,73%.

Bom, na sua prova virá uma tabela parecida com a seguinte (ou alguma

variação/parte dela).







Vamos aprender a trabalhar com essa tabela antes de começar a resolver as

questões de concursos.

Exemplo: Calcule a probabilidade de uma variável aleatória normal padrão

assumir valores entre 1 e 1,5.

Resolução

Ora, sabemos que a variável aleatória normal padrão possui média 0 e desvio

padrão 1 (desvio padrão unitário). Eis a área que queremos calcular.

O que esta tabela fornece é a probabilidade de X estar entre zero e Z0. É

importante olhar o que a tabela fornece. É possível construí-la de diversas

formas, trazendo informações diferentes. Veremos alguns outros exemplos de

tabelas na resolução das questões.

A tabela nos fornece a área compreendida entre os números 0 e Z. Assim, se

procurarmos o número 1,00 na tabela, ela fornecerá a área entre os números

0 e 1.




À esquerda temos a parte inteira e a primeira casa decimal de Z. Acima temos

a segunda casa decimal de Z. Concluímos que a área entre 0 e 1,00 é igual a

0,3413 (área vermelha abaixo).

Vamos agora olhar o outro valor na tabela: 1,50.

Assim, concluímos que a área compreendida entre 0 e 1,5 é igual a 0,4332

(área verde abaixo).




Então, para obter a área entre 1 e 1,5, basta subtrair a área verde da

vermelha. Ficamos com: 0,4332 - 0,3413 = 0,0919=9,19%.

A variável assume valores entre 1 e 1,5 com probabilidade igual a 9,19%.

Exemplo: Calcule a probabilidade de uma variável aleatória normal padrão

assumir valores menores que .

Resolução

Ora, sabemos que a distribuição normal é simétrica em relação à média.

Assim, calcular a probabilidade de a variável assumir valores menores que

é o mesmo que calcular a probabilidade de a variável assumir valores maiores

que 2. Veja o gráfico a seguir.

Bom, sabemos que a área à direita do zero é igual a 0,5. A tabela que estamos

trabalhando nos fornece a área entre o 0 e 2.




Olhe a tabela e verifique que a área entre o 0 e 2 é igual a 0,4772 (região

azul).

Assim, a área pedida é igual a 0,5 – 0,4772 = 0,0228 = 2,28%, ou seja a área

vermelha é toda a área à direita do zero (0,5) menos a área da região azul.

Vocês perceberam que até agora só trabalhamos com a distribuição normal

padrão (ou reduzida). Isso porque a tabela que é fornecida em todas as provas

de estatística sempre se refere a essa distribuição.

Pois bem, vamos agora aprender como utilizar a tabela da distribuição normal

reduzida mesmo quando a distribuição normal do problema possui média

diferente de 0 e variância diferente de 1.

Exemplo: Considere uma variável aleatória normal com média 3 e desvio

padrão 2. Calcule a probabilidade de essa variável assumir valores entre 4 e 7.

Resolução

Graficamente, o que queremos é o seguinte:




O problema é que não temos uma tabela que forneça áreas em uma

distribuição normal de média 3 e desvio padrão 2.

Nós vamos agora aprender a “transportar” uma distribuição qualquer para a

distribuição normal reduzida.

Queremos saber a área entre os números 4 e 7. Devemos nos perguntar:

- O número 4 desta distribuição corresponde a que número na distribuição

normal padrão?

- O número 7 desta distribuição corresponde a que número na distribuição

normal padrão?

Bom, existe uma fórmula para fazer esta correspondência. Ei-la:

Onde X é o número que queremos “transportar”, é a média e é o desvio

padrão.

Vamos substituir os nossos valores:

Vamos agora substituir os valores 4 e 7 para descobrir os seus

correspondentes.




Isto significa que o número 4 corresponde ao 0,5 da distribuição normal

padrão.

Isto significa que o número 7 corresponde ao número 2,0 da distribuição

normal padrão.

Conclusão: Calcular a área entre os números 4 e 7 (na distribuição normal de

média 3 e desvio padrão 2) é o mesmo que calcular a área entre os números

0,5 e 2,0 na distribuição normal padrão. Ou seja, as áreas abaixo são iguais!!!

Sensacional, não?




Agora é só ir lá na tabela da distribuição normal reduzida e calcular a área.

Ora, a tabela diz que a área entre o 0 e 0,5 é igual a 0,1915.

A área entre 0 e 2 é igual a 0,4772.

Como queremos a área entre 0,5 e 2,0, basta subtrair 0,4772 – 0,1915 =

0,2857 = 28,57%.

Resposta: A probabilidade de uma variável aleatória com média 3 e desvio

padrão 2 assumir valores entre 4 e 7 é igual a 28,57%.

29. (SAD-PE 2010/CESPE-UnB) Considere que o tempo de espera por

atendimento X em certo local siga uma distribuição normal com média igual a

15 minutos. Com base nessas informações, assinale a opção correta acerca de

probabilidades.

A) P( X = 15 minutos) > 0,45.

B) P(X < 10 minutos) = P(X > 20 minutos).

C) P(X > 15 minutos) < 0,48.

D) P(X > 20 minutos) < P(X > 25 minutos).

E) P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos).

Resolução

Como o problema nos disse que a média é igual a 15 minutos, temos então o

seguinte gráfico:

Analisemos, agora, cada uma das alternativas:

A) P(X =15 minutos) > 0,45

FALSO

Ao contrário de uma variável aleatória discreta, uma variável

aleatória contínua pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo

definido de valores.




Desta maneira, para distribuições de probabilidade, não se

consegue enumerar todos os possíveis valores de uma variável

aleatória contínua com os valores de probabilidades correspondentes.

Para definir uma função de probabilidade contínua, é necessário

utilizar critérios diferentes das variáveis discretas, isto porque X

deverá estar compreendido entre dois valores diferentes (em se

considerando uma variável aleatória contínua), sendo que em geral a

probabilidade de x assumir um determinado valor é 0. Portanto, a

probabilidade de a variável X ser igual a 15 minutos é igual a 0.

Portanto a letra A) é falsa!!

No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são

especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade associada

a um número específico é zero.


VERDADEIRO!!!

Para analisar esta alternativa lembre-se: A DISTRIBUIÇÃO NORMAL É

SIMÉTRICA!! Repita!! A DISTRIBUIÇÃO NORMAL É SIMÉTRICA!!

Simétrica em relação a quem?? Simétrica em relação à média!!!

Ou seja, o que acontece à esquerda da média é idêntico ao que acontece à

direita. E o que isso tem a ver com a questão? Ora, 10 está a 5 unidades

(esquerda) da média enquanto que 20 está a 5 unidades (direita) da média.

Então, a probabilidade de X ser menor do que 10 é igual a probabilidade de X

ser maior do 15. Veja no gráfico...




C) P(X > 15 minutos) < 0,48.

Falsa

A média ( ) centra a curva e visto que todas as curvas normais têm uma área

total igual a 1 ou 100%, a probabilidade de X ser maior do que 15 (média) é

exatamente 50%=0,50>0,48.

D) P(X > 20 minutos) < P(X > 25 minutos). Falsa

Claramente no gráfico verificamos que a probabilidade de X ser maior do que

20 é maior do que a probabilidade de X ser maior do que 25. No gráfico, a

probabilidade de X ser maior do que 20 é a soma da área vermelha com a

área cinza, enquanto que a probabilidade de X ser maior do que 25 é apenas a

área cinza.

E) P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos). Falsa

Ora, dizer que P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos) é o mesmo que dizer

que P(X < 5 minutos) + P(X > 20 minutos) = 1 =100%.




Claramente percebemos que esta alternativa é falsa, pois a área total sob o

gráfico é que é igual a 1.

Letra B

30. (Prefeitura Municipal de Florianópolis – Economista – 2008 – FEPESE)

Assinale a alternativa que completa corretamente a frase abaixo. A

distribuição normal de probabilidade é caracterizada por:

a) ter um formato de sino, com uma área total sob a curva igual a 1.

b) ser tipicamente uma distribuição discreta de probabilidade.

c) ter pontos de inflexão da curva quando o valor de variável é igual à média

mais ou menos dois desvios-padrão.

d) ter a média e a mediana iguais e superiores à moda quando a distribuição

normal é assimétrica à direita.

Resolução

A) Esta alternativa é claramente verdadeira como vimos na

exposição teórica. B) A distribuição normal é uma distribuição contínua. Falso.

C) Eu ainda não tinha falado sobre a propriedade do ponto de inflexão. Afunção tem dois pontos de inflexão para x . O ponto de inflexão é

aquele em que a curva muda de concavidade. Em torno da média, o gráfico tem concavidade voltada para baixo. Nas caudas, a concavidade está

voltada para cima. O ponto em que a concavidade muda é denominadoponto de inflexão. Falso.

D) A distribuição normal é sempre simétrica e a média, a moda e a medianasão sempre iguais. Falso

Letra A




31. (SAD-PE 2008 FGV) A respeito de distribuição normal de probabilidades,

analise as afirmativas a seguir:

I. Se uma variável tem distribuição normal com média e desvio padrão ,

então o intervalo ( – 2; + 2) contém cerca de 95% de seus valores

possíveis.

II. Se uma variável aleatória X tem distribuição normal com média e

variância 2, então a variável Z = (X – )/ tem distribuição normal com média

0 e variância 1.

III. Se uma variável tem distribuição normal de probabilidades, então o valor

de sua média é igual ao de sua mediana.

IV. Se uma variável X tem distribuição normal com média 0,1, então a

probabilidade de que X assuma um valor negativo é maior do que 50%.

Assinale:

(A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.

(B) se somente as afirmativas II e IV estiverem corretas. (C) se somente as afirmativas I, II e III estiverem corretas.

(D) se somente as afirmativas II, III e IV estiverem corretas.

(E) se todas as afirmativas estiverem corretas.

Resolução

I. Vimos anteriormente que 68,27% dos elementos estão entre os

valores , 95,45% dos elementos estão entre os valores 2 e

99,73% dos elementos estão entre os valores 3 . Verdadeiro.

II. Sempre que aplicamos a seguinte fórmula:

xZ

.

Transformamos a distribuição dada em uma distribuição normal padrão que

possui média 0 e variância 1. Verdadeiro.

III. Vimos na exposição teórica que em toda distribuição normal, a

média, a moda e a mediana são iguais. Verdadeiro.

IV. A média é igual a 0,1. Assim, a probabilidade de a variável assumir

valores negativos (menor que 0) é menor que 50% (isto porque 0 está

à esquerda da média).

Letra C




32. (Auditor IBGE 2010 CESGRANRIO) Seja H a variável aleatória que

representa as alturas dos cidadãos de certo país. Sabe-se que H tem

distribuição normal com média 1,70 m e desvio padrão 0,04 m. A

probabilidade de que um cidadão desse país tenha mais do que 1,75 m de

altura é, aproximadamente,

(A) 9,9%

(B) 10,6%

(C) 22,2%

(D) 39,4%

(E) 40,6%

Resolução

Como o problema nos disse que a média é igual a 1,70 m, temos então o

seguinte gráfico:

Queremos calcular a probabilidade de que um cidadão desse país tenha mais

do que 1,75 m de altura, ou seja, queremos calcular a seguinte área:

Se padronizarmos a variável H, ou seja, subtrairmos a média e dividirmos pelo

desvio-padrão, obteremos:




Resumindo: Calcular a probabilidade de que um cidadão desse país tenha mais

do que 1,75 m de altura na distribuição normal com média 1,70 m e desvio

padrão 0,04 m é o mesmo que calcular a probabilidade de que Z > 1,25 em

que Z é a distribuição normal padronizada (média zero e variância igual a 1).

Assim,

( 1,75) ( 1,25)P H P Z

Devemos obter a probabilidade através da tabela fornecida na prova:

A tabela diz que (0 1,25) 0,39435P Z . Sabemos que a probabilidade

de Z > 0 é igual a 0,5 (isso porque a distribuição normal é simétrica e a área

total é igual a 1.

Pense assim: A área total sob a curva é igual a 1. Logo, a probabilidade de a

variável estar acima da média é igual a 0,5.

Assim, a probabilidade pedida é:




( 1,25) ( 0) (0 1,25)P Z P Z P Z

( 1,25) 0,5 0,39435 0,10565 10,565%P Z

Letra B

33. (Estatístico – Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Se X tem distribuição

normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de que X > 5,

aproximadamente, vale:

a) 0,25

b) 0,28

c) 0,33

d) 0,37

e) 0,46

Resolução

Se a variância é igual a 9, então o desvio-padrão é igual a 3 (basta calcular a

raiz quadrada).

Para calcular a probabilidade de que X > 5 vamos fazê-lo na distribuição

normal padronizada. Vamos calcular o valor correspondente de X = 5 na

distribuição normal padronizada. Para padronizar basta subtrair a média e

dividir pelo desvio-padrão.

4 5 4 10,33

3 3 3

X XZ

Ou seja, calcular a probabilidade de que X > 5 é o mesmo que calcular a

probabilidade de que Z > 0,33.

Assim, ( 5) ( 0,33)P X P Z . Temos que utilizar a tabela fornecida na prova.




A tabela nos informa que a probabilidade de a variável estar no intervalo 0 <

Z < 0,33 é igual a 0,1297. Estamos interessados nos valores maiores do que

0,33. Sabemos que a probabilidade de Z ser maior do que 0 é igual a 0,5 (já

que a probabilidade total é 1,0 e que a distribuição normal é simétrica em

relação à média. Assim, a probabilidade pedida é

( 5) ( 0,33) 0,50 0,1297 0,3703P X P Z

Letra D

34. (Estatístico TCE-RO 2007 CESGRANRIO) O gasto médio dos clientes de um

posto de gasolina é uma variável aleatória normal com média R$ 100,00 e

desvio padrão R$ 25,00. Os 10% dos que mais consomem recebem um

tratamento VIP, incluindo lavagem de carroceria, calibragem nos pneus e

verificação do óleo e da água. Quanto você precisa gastar nesse posto de

gasolina, em reais, para obter tratamento VIP?

(A) 158,00

(B) 149,00

(C) 141,00

(D) 132,00

(E) 128,00

Resolução

Temos uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 25.

Queremos calcular o valor X tal que 10% dos valores sejam superiores a X. Em

suma, queremos calcular X de tal forma que a área à direita de X seja 10%.




A prova forneceu uma tabela das áreas da distribuição normal padronizada. De

acordo com a tabela P(Z>1,28) = 0,10.

Devemos achar o correspondente de 1,28 (da distribuição normal padrão) na

distribuição do gasto médio dos clientes do posto de gasolina.

Usaremos a fórmula de padronização:

1,28




Letra D

35. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Numa escola, têm-se as seguintes informações

sobre os salários de dois professores:

Professor Salário Mensal

Em R$ Padronizado

(Z)

Gauss 1.400 2

Euler 900 -0,5

Baseando-se nos dados acima, a média e o desvio padrão para os salários da

escola serão, respectivamente de:

a) R$ 500,00 e R$ 100,00

b) R$ 1.000,00 e R$ 200,00

c) R$ 1.000,00 e R$ 100,00

d) R$ 1.150,00 e R$ 100,00

e) R$ 1.150,00 e R$ 200,00

Resolução

O enunciado da questão está bastante incompleto. Eles deveriam dizer que os

salários dos professores seguiam uma distribuição normal, etc.

A padronização Z é feita de acordo com a seguinte fórmula:

Onde é a média e é o desvio padrão.

Vamos formar duas equações a partir dos dados da tabela:

A primeira equação pode ser arrumada da seguinte forma:




A segunda equação pode ser arrumada da seguinte forma:

Já que e , podemos afirmar que:

Como , então:

A média é igual a R$ 1.000,00 e o desvio padrão é igual a R$ 200,00.

Letra B

Instruções: Para resolver às questões de números 36 e 37 utilize as

informações abaixo referentes à distribuição normal padrão Z:

36. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os salários dos empregados de uma

determinada categoria profissional apresentam uma distribuição normal com

média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos

empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00

é




a) 87%

b) 89%

c) 92%

d) 96%

e) 98%

Resolução

Para calcular a probabilidade de que 1.000 < X < 1.520 vamos utilizar a

distribuição normal padrão. Vamos calcular o valor correspondente de X =

1.000 e X = 1.520 na distribuição normal padronizada. Para padronizar basta

subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão.

Ou seja, calcular a área entre 1.000 e 1.520 na distribuição normal do

problema é o mesmo que calcular a área entre -1,25 e 2 na distribuição

normal padrão.

Ora, mas calcular a área de -1,25 até 2 é o mesmo que calcular a área de -

1,25 até 0 e de 0 até 2.

Como a distribuição normal é simétrica, a área de -1,25 até 0 é igual à área de

0 até 1,25.

Agora é só pegar os valores dados na tabela:

Portanto:

Letra A




37. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A distribuição das medidas dos cabos

fabricados por uma indústria é considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos

medem no máximo 2,4 metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros.

A média das medidas destes cabos é igual a

a) 7,8 metros

b) 8,0 metros

c) 8,2 metros

d) 8,4 metros

e) 9,4 metros

Resolução

Graficamente, temos o seguinte problema:

E foi fornecida a seguinte tabela:

Já que a probabilidade de x estar entre a média e 16,4 é 48%, então

16,4 corresponde a 2,00 na distribuição normal padronizada.

Para padronizar os valores devemos subtrair a média e dividir pelo

desvio padrão.

A tabela forneceu valores à direita da média. O problema é que 2,4 está à

esquerda da média. Aproveitamos o fato de que a distribuição normal é

simétrica em relação à média. Então o 2,4 da distribuição X corresponde a (-

1,50) da distribuição normal padronizada.




Como

Como

Letra D

38. (ICMS-RJ 2008/FGV) Dentre as distribuições de probabilidades a seguir,

aquela em que é:

a) de densidade )2

exp(2

1)(

2xxf

, x

b) de densidade 1)( xf , 10 x

c) xnx ppx

nxXP

)1()( , x = 0, 1, 2, ..., n

d) !

)(x

exXP

x , x = 0, 1, 2, ...

e)

n

MN

xn

M

x

N

xXP )( , x = 0, 1, 2, ... n

Resolução

E(X) é o mesmo que valor esperado, média, esperança de uma variável

aleatória.

E(X-E(X))² significa valor esperado dos quadrados dos desvios e é o mesmo

que variância. Assim, o problema quer saber qual é a distribuição que possui

média e variância iguais. A alternativa A é uma distribuição normal com média

0 e desvio padrão unitário. Essa foi a única questão que eu vi que ele cobrou o

conhecimento da “fórmula” da distribuição normal. Mesmo assim, eu não me

preocuparia em decorar.

Na alternativa B temos uma variável uniforme contínua no intervalo entre 0 e

1. Sua média é 0,5.

Como vimos, a variância é calculada da seguinte maneira:




A variância e a média são diferentes.

Na alternativa C temos uma distribuição binomial, cuja média é np e cujavariância é npq.

Na alternativa D temos uma distribuição de Poisson. Sua média é e sua

variância também. Essa é a resposta da questão.

Na alternativa E temos uma distribuição hipergeométrica. Não vimos a fórmulada média e da variância desta distribuição. De qualquer forma, segue uma

tabelinha com um resumo sobre a média e a variância das distribuiçõesdiscretas.

Distribuição Forma Geral

P(X=k)

Média Variância

Binomial

Geométrica

Hipergeométrica

Poisson

39. (COPERGAS 2011/FCC) O tempo que um sistema computacional leva para

executar certa tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal com

média 100 segundos e desvio padrão 10 segundos. Se a tarefa é realizada 3vezes, a probabilidade de ela ser executada em mais do que 108,4 segundos

em pelo menos uma dessas 3 vezes é: Dado: Se Z tem distribuição normal padrão, então:

P(Z < 0,84) = 0,8; P(Z < 1,96) = 0,975 (A) 0,356.

(B) 0,488. (C) 0,512.

(D) 0,536.

(E) 0,544.

Resolução




Essa questão é bem interessante porque mistura distribuição normal com adistribuição binomial.

Existe uma tarefa que vai ser realizada 3 vezes. Queremos saber aprobabilidade de ela ser executada em mais do que 108,4 segundos em pelo

menos uma dessas 3 vezes.

Vamos considerar que executar a tarefa em mais do que 108,4 segundos é umsucesso. Sua probabilidade é p.

Queremos então executar uma tarefa 3 vezes e obter pelo menos um sucesso.Assim, queremos calcular a seguinte probabilidade:

Ora, como k só pode ser 0,1,2 ou 3, então é bem mais fácil calcular edizer que:

Ou seja, a probabilidade de obter pelo menos um sucesso é igual a 1 menos a

probabilidade de obtermos 3 fracassos (X=0).

Pois bem, a conta que queremos fazer é a seguinte:

Só precisamos agora calcular p e q. E como vamos fazer isso?

Ora, utilizando as informações do texto.

“O tempo que um sistema computacional leva para executar certa tarefa é

uma variável aleatória com distribuição normal com média 100 segundos edesvio padrão 10 segundos.”

Eu disse que p é a probabilidade de executar a tarefa em mais do que 108,4segundos.

Vamos utilizar a padronização.

Ou seja, a probabilidade de a variável normal do problema ser maior que

108,4 é igual à probabilidade de a variável normal padrão ser maior que 0,84.

O problema informou que P(Z < 0,84) = 0,8, ou seja, a área abaixo de 0,84 é

igual a 0,8. Então a área acima de 0,84 é igual a 0,2 (pois a área total é iguala 1.

Assim,

Consequentemente, .

A probabilidade pedida será:




Letra B

Poderíamos também ter calculado a soma efetivamente.

Distribuição normal como aproximação da binomial

Sob certas condições, podemos utilizar a distribuição normal como uma

aproximação da distribuição binomial.

Eis um trechinho do livro Estatística para Economistas (Rodolfo Hoffmann):

“Na prática, para saber se a forma de uma distribuição binomial pode ser

considerada aproximadamente igual à forma da distribuição normal, usamos a

seguinte regra empírica: se quando , ou quando quando

, a aproximação é aceitável. Para maior exatidão, devemos ter

maiores do que 15 (ver Hoel, 1968, p.88 e Silva Leme, 1972, p.119)”.

Vejamos um problema para entendermos melhor a aplicação prática deste

fato.

40. (AFC-CGU 2008/ESAF) Em determinadas circunstâncias, uma variável

aleatória binomial pode ser bem aproximada por uma variável aleatória

normal. Seja X uma variável aleatória binomial com n = 400 e p = 1/2. Calcule

o valor mais próximo de usando a aproximação da variável

binomial pela normal, dado que , ,

e , é a função de distribuição de uma variável

aleatória normal padrão Z.

a) 0,95

b) 0,97

c) 0,98

d) 0,984

e) 0,99

Resolução

O exercício não forneceu uma tabela com as áreas da distribuição normal. Ele

forneceu valores da função de distribuição da variável aleatória normal padrão.




Por exemplo: significa que a área abaixo do número 1,96 é igual

a 0,975 (ver figura abaixo).

O nosso objetivo é descobrir a probabilidade de X assumir valores entre 181 e

219.

O texto informou que X é uma variável aleatória binomial. O texto ainda

informa que utilizaremos a distribuição normal como uma aproximação da

binomial.

Vamos calcular a média e a variância. Como a variável é binomial, utilizemos

as fórmulas vistas:

Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, temos:

Esta variável binomial X é muito próxima de uma variável normal de média

200 e desvio padrão igual a 10.

Vamos reescrever o enunciado deixando-o mais simples: calcule a

probabilidade de uma variável normal de média 200 e desvio padrão 10

assumir valores entre 181 e 219?

Vamos “transportar” estes valores para a variável normal reduzida.

Substituindo X por 181, temos:




Substituindo X por 219, temos:

Assim, o nosso objetivo será calcular a área entre -1,9 e 1,9.

O problema não fornece valores da função de distribuição para z = 1,9. Como

ele pede o valor mais próximo, vamos utilizar Z = 1,96.

Isto significa que a área vermelha seguinte é 97,5%.

Como a área total é igual a 1, então a área verde é igual a 100% - 97,5% =

2,5%.

Só que estamos interessados na área entre -1,96 e 1,96.




Ora, se a área da região que fica após 1,96 é igual a 2,5%, então, por

simetria, a área da região que fica abaixo de -1,96 também será 2,5%.

Portanto, a área entre -1,96 e 1,96 será igual a 100% - 2,5% - 2,5% = 95%.

Assim, aproximadamente 95% dos valores de Z estão entre -1,9 e 1,9.

Concluímos que aproximadamente 95% dos valores de X estão entre 181 e

219.

Letra A

Ficamos por aqui. Um abraço e até a próxima aula.




Tabela para a distribuição normal padrão




Relação das questões comentadas

01. (Economista – TJ/RO 2008/CESGRANRIO) Uma urna contém dez bolas,

cada uma gravada com um número diferente, de 1 a 10. Uma bola é retiradada urna aleatoriamente e X é o número marcado nesta bola. X é uma variável

aleatória cujo(a) (A) desvio padrão é 10.

(B) primeiro quartil é 0,25. (C) média é 5.

(D) distribuição de probabilidades é uniforme.

(E) distribuição de probabilidades é assimétrica.

02. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Uma variável aleatória X segue uma distribuiçãobinomial com os seguintes parâmetros: número de ensaios = 100;

probabilidade de sucesso em cada ensaio = 0,2. De acordo com essasinformações, qual é o valor esperado de X?

a) 0,2

b) 0,8

c) 20

d) 80

e) 100

03. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Sabendo que a variável aleatória X tem distribuição

binomial de parâmetros: e , a média e a variância de X serão,

respectivamente:

a) 8 e 4,8

b) 8 e 3,2

c) 4 e 2,4

d) 8 e 2,4

e) 4 e 4,8

04. (SUSEP 2010/ESAF) Um estudo indica que, nas comunidades que vivem

em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal, aprobabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. Desse

modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a:

a) 37/64 b) 45/216

c) 1/64

d) 45/512 e) 9/16




05. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas epretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o

número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e onúmero de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas

diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com

reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729.

b) 100/243. c) 10/27.

d) 115/243. e) 25/81.

06. (CEB Distribuição – Administrador 2010/Fundação Universa) O mau

funcionamento de uma das máquinas de uma indústria fez com que 10% das

peças produzidas em um determinado lote apresentassem defeito. Escolhendo-

se aleatoriamente cinco peças desse lote, a probabilidade aproximada de que

menos de três delas apresentem esse defeito, se cada peça retirada é reposta

antes de se retirar a próxima, é de

(A) 90%. (B) 91%. (C) 93%. (D) 96%. (E) 99%.

07. (AFC-CGU 2008/ESAF) Seja X uma variável aleatória discreta com função

de probabilidade binomial )(xf , onde e é o número

de combinações de n elementos tomados x a x. Sendo n=6 e p=1/3,

determine f(6).

a) 1/729

b) 1

c) 0

d) 64/729

e) 8/729

08. (AFC-CGU 2008/ESAF) Seja F(x) a função de distribuição da variável

aleatória definida na questão anterior, determine )0(F .

a) 0

b) 1/729

c) 64/729

d) 243/729

e) 1.




09. (ATA-MF 2009/ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valormais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?

a) 35%

b) 17%

c) 7%

d) 42%

e) 58%

10. (AFRFB 2009 ESAF) Em um experimento binomial com três provas, a

probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de

ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso

são, em percentuais, respectivamente, iguais a:

a) 80 % e 20 %

b) 30 % e 70 %

c) 60 % e 40 %

d) 20 % e 80 %

e) 25 % e 75 %

11. (MPOG 2006 ESAF) Um experimento binomial é um experimento que

comporta um número fixo de provas independentes, n. Cada prova tem os

resultados classificados em apenas duas categorias, a saber: sucesso ou

fracasso. Muito embora essa classificação seja arbitrária, costuma-se denotar a

probabilidade de sucesso por p, e a probabilidade de fracasso por q. Desse

modo, realizando-se 50 provas, a probabilidade de se obter 30 sucessos é

dada por

a) 30 30 20

50C p q

b) 30 20 30

50C p q

c) 30 0 20

50C p q

d) 30 20

50C p q

e) 30 20 0

50C p q




12. (APOG- SAD/PE 2010/CESPE-UnB)

A figura acima apresenta a distribuição percentual da população de crianças e

jovens entre cinco a dezenove anos de idade que nunca procurou um dentista,

por renda domiciliar per capita no Brasil em 1998. “As diferenças entre os

diversos grupos de renda per capita é acentuada. Aproximadamente 25% da

população brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca procuraram

um dentista. Entretanto, este valor sofre oscilações segundo a renda variando

de 50,7% naqueles domicílios com renda de até R$ 37,75 a 1,5% naqueles

domicílios com renda per capita entre R$ 1.813,00 e R$ 40.500,00”.

A. Nunes et al. Medindo as desigualdades em saúde

no Brasil, OPAS/OMS, 2001 (com adaptações)

Considerando que uma amostra aleatória simples de cinco mil indivíduos fosse

retirada da população de crianças e jovens entre cinco e dezenove anos de

idade no Brasil em 1998, se X representa o número de indivíduos nessa

amostra que nunca procurou um dentista, então a variância de X é

A) inferior a 400.

B) superior a 400 e inferior a 600.

C) superior a 600 e inferior a 800.

D) superior a 800 e inferior a 1.000.

E) superior a 1.000.




13. (ANA 2009/ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidadede ocorrer determinada variação genética e de 1%. Ao se examinar ao acaso

três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade deexatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética?

a) 0,98%

b) 1% c) 2,94%

d) 1,30%

e) 3,96%

14. (AFC-CGU 2008/ESAF) A probabilidade de sucesso em um experimento

aleatório é p. Seja X o número de experimentos independentes realizados até

se obter o primeiro sucesso. Qual a probabilidade de X = k, onde k=1,2,3,....

a) (1-p)k-1.

b) p(1-p)k-1.

c) k pk-1(1-p).

d) pk-1(1-p).

e) k(1-p)k-1 p.

15. (Petrobras 2011/CESGRANRIO) Uma pessoa lança repetidamente um dado

equilibrado, parando quando obtém a face com o número 6. A probabilidade de

que o dado seja lançado exatamente 3 vezes é

a) 1/216

b) 1/36

c) 25/216

d) 1/6

e) 25/36

16. (IPHAN 2009/FUNIVERSA) Em um instituto de pesquisa trabalham, entre

outros funcionários, 3 físicos, 6 biólogos e 2 matemáticos. Deseja-se formar

uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para realizar uma pesquisa. Se essa

equipe for composta escolhendo-se os pesquisadores de forma aleatória, a

probabilidade de todos os físicos serem escolhidos é um número cujo valor

está compreendido entre

(A) 0,00 e 0,01.

(B) 0,01 e 0,02.

(C) 0,02 e 0,03.

(D) 0,03 e 0,04.

(E) 0,04 e 0,05.




17. (APEX Brasil 2006/Fundação Universa) Em uma empresa, há 12 dirigentes

de níveis hierárquicos distintos capacitados para a elaboração de determinado

estudo: 5 diretores e 7 gerentes. Para isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão

sorteados aleatoriamente para integrarem um grupo que realizará o referido

estudo. A probabilidade de os 4 dirigentes sorteados serem do mesmo nível

hierárquico está entre:

(A) 0,01 e 0,05.

(B) 0,06 e 0,10.

(C) 0,11 e 0,15.

(D) 0,16 e 0,20.

(E) 0,21 e 0,25.

18. (TRANSPETRO 2011/CESGRANRIO) Uma distribuição discreta deprobabilidade que fornece a frequência de ocorrência de certos tipos de

eventos aleatórios, podendo ser usada como aproximação da distribuição

binomial, corresponde à distribuição (A) geométrica

(B) hipergeométrica (C) normal

(D) uniforme

(E) de Poisson

19. (AFC-CGU 2008/ESAF) Tem-se que , onde é o

número de combinações de n elementos tomados x a x, é a função de

probabilidade de uma variável aleatória binomial. Fazendo-se na sua expressão

, , mas com , tem como limite a função de probabilidade

de uma variável aleatória de Poisson, que é:

a)

b)

c)

d)

e)

20. (MPOG 2006 ESAF) Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson,

com parâmetro “m”, e k = 0, 1, 2, 3... se e somente se

a) ( )mm e

P X kk

b) ( )k mm e

P X kk




c) ( )k mm e

P X kk

d) ( )km e

P X kk

e) ( )!

k mm eP X k

k

21. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Na revisão tipográfica de um livro com 600

páginas, encontrou-se, em média, 1,2 erros por página. Considerando

e estimando o número de páginas que não precisam sofrer

alterações por não apresentarem defeitos, tem-se:

a) 500 páginas

b) 420 páginas

c) 200 páginas

d) 180 páginas

e) 36 páginas

22. (MEC 2009 CESGRANRIO) O número de clientes que chega a cada hora a

uma empresa tem Distribuição de Poisson, com parâmetro 2, ou seja, a

probabilidade de que cheguem k clientes é dada por 22

!

k

ek

para k = 0, 1, 2, ....

Qual é a probabilidade de que, em uma determinada hora, cheguem dois ou

mais clientes?

(Dado: e-2 = 0,14)

(A) 0,28

(B) 0,35

(C) 0,42

(D) 0,58

(E) 0,72

23. (AFRFB 2009 ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria

ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por

dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três

petroleiros em dois dias é igual a:

a) 432

73e

b) 43

71e




c) 471

3e

d) 271

3e

e) 232

3e

24. (ICMS-RJ 2009/FGV) O número de clientes que buscam, em cada dia, osserviços de um renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com

média de 2 pacientes por dia. Para cada cirurgia efetuada, o cirurgião recebeR$ 10.000,00. No entanto, ele consegue fazer o máximo de duas cirurgias em

um dia; clientes excedentes são perdidos para outros cirurgiões. Assinale aalternativa que indique o valor esperado da receita diária do cirurgião.

(considere e–2 = 0,14) (A) R$ 5.600,00.

(B) R$ 8.400,00. (C) R$ 10.000,00.

(D) R$ 14.400,00.

(E) R$ 20.000,00.

25. (AFC-CGU 2008 ESAF) Sendo X uma variável aleatória uniformemente

distribuída no intervalo [0,1], determine sua variância.

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 1/4.

d) 1/6.

e) 1/12.

26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Se X é uma variável aleatória exponencial de

parâmetro , então a expectância de X é igual a:

a) 0,10

b) 0,20

c) 0,30

d) 0,40

e) 0,50

27. (IBGE 2010/CESGRANRIO)O intervalo de tempo entre a chegada de dois

navios a um porto, em horas, segue distribuição exponencial com média 1. Seacaba de chegar um navio, qual a probabilidade aproximada de que leve mais

de uma hora até a chegada do próximo? (A) 0,37




(B) 0,5 (C) 0,63

(D) 0,75

(E) 0,9

28. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Qual dos tipos de distribuição a seguir

corresponde a uma distribuição de variável aleatória contínua, aplicada

frequentemente em situações em que valores extremos são menos prováveis

do que valores moderados?

(A) Binomial. (B) Normal.

(C) de Poisson.

(D) Geométrica.

(E) Hipergeométrica.

29. (SAD-PE 2010/CESPE-UnB) Considere que o tempo de espera por

atendimento X em certo local siga uma distribuição normal com média igual a

15 minutos. Com base nessas informações, assinale a opção correta acerca de

probabilidades.

A) P( X = 15 minutos) > 0,45.


C) P(X > 15 minutos) < 0,48.

D) P(X > 20 minutos) < P(X > 25 minutos).

E) P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos).

30. (Prefeitura Municipal de Florianópolis – Economista – 2008 – FEPESE)

Assinale a alternativa que completa corretamente a frase abaixo. A

distribuição normal de probabilidade é caracterizada por:

a) ter um formato de sino, com uma área total sob a curva igual a 1.

b) ser tipicamente uma distribuição discreta de probabilidade.

c) ter pontos de inflexão da curva quando o valor de variável é igual à média

mais ou menos dois desvios-padrão.

d) ter a média e a mediana iguais e superiores à moda quando a distribuição

normal é assimétrica à direita.

31. (SAD-PE 2008 FGV) A respeito de distribuição normal de probabilidades,

analise as afirmativas a seguir:

I. Se uma variável tem distribuição normal com média e desvio padrão ,

então o intervalo ( – 2; + 2) contém cerca de 95% de seus valores

possíveis.




II. Se uma variável aleatória X tem distribuição normal com média e

variância 2, então a variável Z = (X – )/ tem distribuição normal com média

0 e variância 1.

III. Se uma variável tem distribuição normal de probabilidades, então o valor

de sua média é igual ao de sua mediana.

IV. Se uma variável X tem distribuição normal com média 0,1, então a

probabilidade de que X assuma um valor negativo é maior do que 50%.

Assinale:

(A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (B) se somente as afirmativas II e IV estiverem corretas.

(C) se somente as afirmativas I, II e III estiverem corretas. (D) se somente as afirmativas II, III e IV estiverem corretas.

(E) se todas as afirmativas estiverem corretas.

32. (Auditor IBGE 2010 CESGRANRIO) Seja H a variável aleatória que

representa as alturas dos cidadãos de certo país. Sabe-se que H tem

distribuição normal com média 1,70 m e desvio padrão 0,04 m. A

probabilidade de que um cidadão desse país tenha mais do que 1,75 m de

altura é, aproximadamente,

(A) 9,9%

(B) 10,6%

(C) 22,2%

(D) 39,4%

(E) 40,6%

33. (Estatístico – Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Se X tem distribuição

normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de que X > 5,

aproximadamente, vale:

a) 0,25

b) 0,28

c) 0,33

d) 0,37

e) 0,46

34. (Estatístico TCE-RO 2007 CESGRANRIO) O gasto médio dos clientes de um

posto de gasolina é uma variável aleatória normal com média R$ 100,00 e

desvio padrão R$ 25,00. Os 10% dos que mais consomem recebem um

tratamento VIP, incluindo lavagem de carroceria, calibragem nos pneus e




verificação do óleo e da água. Quanto você precisa gastar nesse posto de

gasolina, em reais, para obter tratamento VIP?

(A) 158,00

(B) 149,00

(C) 141,00

(D) 132,00

(E) 128,00

35. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Numa escola, têm-se as seguintes informações

sobre os salários de dois professores:

Professor Salário Mensal

Em R$ Padronizado (Z)

Gauss 1.400 2

Euler 900 -0,5

Baseando-se nos dados acima, a média e o desvio padrão para os salários da

escola serão, respectivamente de:

a) R$ 500,00 e R$ 100,00

b) R$ 1.000,00 e R$ 200,00

c) R$ 1.000,00 e R$ 100,00

d) R$ 1.150,00 e R$ 100,00

e) R$ 1.150,00 e R$ 200,00

Instruções: Para resolver às questões de números 36 e 37 utilize as

informações abaixo referentes à distribuição normal padrão Z:

36. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os salários dos empregados de uma

determinada categoria profissional apresentam uma distribuição normal com

média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos

empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00

é

a) 87%

b) 89%

c) 92%




d) 96%

e) 98%

37. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A distribuição das medidas dos cabos

fabricados por uma indústria é considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos

medem no máximo 2,4 metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros.

A média das medidas destes cabos é igual a

a) 7,8 metros

b) 8,0 metros

c) 8,2 metros

d) 8,4 metros

e) 9,4 metros

38. (ICMS-RJ 2008/FGV) Dentre as distribuições de probabilidades a seguir,

aquela em que é:

a) de densidade )2

exp(2

1)(

2xxf

, x

b) de densidade 1)( xf , 10 x

c) xnx ppx

nxXP

)1()( , x = 0, 1, 2, ..., n

d) !

)(x

exXP

x , x = 0, 1, 2, ...

e)

n

MN

xn

M

x

N

xXP )( , x = 0, 1, 2, ... n

39. (COPERGAS 2011/FCC) O tempo que um sistema computacional leva para

executar certa tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal commédia 100 segundos e desvio padrão 10 segundos. Se a tarefa é realizada 3

vezes, a probabilidade de ela ser executada em mais do que 108,4 segundosem pelo menos uma dessas 3 vezes é:

Dado: Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 0,84) = 0,8; P(Z < 1,96) = 0,975

(A) 0,356. (B) 0,488.

(C) 0,512.

(D) 0,536.

(E) 0,544.




40. (AFC-CGU 2008/ESAF) Em determinadas circunstâncias, uma variável

aleatória binomial pode ser bem aproximada por uma variável aleatória

normal. Seja X uma variável aleatória binomial com n = 400 e p = 1/2. Calcule

o valor mais próximo de usando a aproximação da variável

binomial pela normal, dado que , ,

e , é a função de distribuição de uma variável

aleatória normal padrão Z.

a) 0,95

b) 0,97

c) 0,98

d) 0,984

e) 0,99




Gabaritos

01. D

02. C

03. A

04. Anulada 135/512

05. B

06. E

07. A

08. C

09. A

10. D

11. A

12. D

13. C

14. B

15. C

16. C

17. B

18. E

19. B

20. E

21. D

22. D

23. C

24. D

25. E

26. A

27. A

28. B

29. B

30. A

31. C

32. B

33. D

34. D

35. B

36. A

37. D

38. D




39. B

40. A

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Aula 16