A U L A 2

DEFINIÇÃO DE VETOR; REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETORES; OPERAÇÕES COM VETORES; VETORES DA BASE CANÔNICA.

AFINAL DE CONTAS...

NOÇÃO INTUITIVA

• Grandezas escalares: ficam completamente definidas por apenas um número real ( acompanhado de uma unidade adequada). Exemplos: Comprimento, área, volume, etc.

• Grandezas Vetoriais: não ficam completamente definidas pelo seu módulo, ou seja, pelo seu número e sua unidade correspondente. Assim, precisamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Exemplos: Força, Velocidade, aceleração, etc.

NOÇÃO DE DIREÇÃO E SENTIDO

Observe as figuras a seguir:

Observações:

• A noção de direção é dada por uma reta e por toda as que lhe são

paralelas. Ou seja, retas paralelas tem mesma direção;

• A cada direção podemos associar dois sentidos.

DEFINIÇÃO DE VETOR EREPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETORES

Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados, ou seja, é o conjunto de todos os segmentos equipolentes a um segmento orientado AB, que foi dado. O vetor nulo é aquele representado por todos os segmentos orientados nulos.

A

B𝑣

NOTAÇÕES UTILIZADAS

O vetor determinado pelo segmento orientado AB é indicado, usualmente, por = ou pela notação de Grassmann = (B – A), que corresponde a uma diferença simbólica entre a extremidade e a origem do vetor.

A

B

= = (B – A)

IGUALDADE DE VETORES

Dois vetores e são iguais (ou são o mesmo vetor) se, e somente se, os segmentos orientados AB e CD são equipolentes. Como todos os segmentos nulos são equipolentes entre si, eles determinam um único vetor, chamado vetor nulo e indicado por .

A B

DC

MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR

É a distância da origem à extremidade de um segmento orientado que o represente.

x1

y

O

y

xx2

y1

y2

x2 – x1

y2 – y1

A

B dAB = || =

MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR

Exemplo

Dados os vetores = (1, 3) e = (2, 1), determinar

a) ||b) | + |

OPERAÇÕES COM VETORES

Multiplicação de um vetor por um escalar

Dado um vetor (não nulo) e um escalar k (não nulo), a multiplicação de k por resulta o vetor k, múltiplo escalar de , determinado da seguinte maneira: k possui a mesma direção de ; se k 0, então k tem o mesmo sentido de ; se k 0, então k tem sentido oposto ao

de ; a magnitude de k vale |k| vezes a magnitude de , isto é, |k|=|k|||.

𝑣

12�⃗�

31 =

Adição de vetores

Definimos a adição de vetores e (não nulos) da seguinte maneira: posicionamos os vetores de modo que suas origens coincidam e formamos um paralelogramo. Esta regra para a adição de vetores é conhecida como regra do paralelogramo.

𝑣

�⃗�

+

OPERAÇÕES COM VETORES

De maneira semelhante à regra do paralelogramo, podemos também definir a adição dos vetores e da seguinte maneira: posicionamos a origem de sobre a extremidade de , o vetor soma + é o vetor cuja origem é a origem de e extremidade é a extremidade de .

�⃗�

𝑣 +

OPERAÇÕES COM VETORES

Podemos também adicionar e posicionando a origem de sobre a extremidade de , o vetor soma + é o vetor cuja origem é a origem de e extremidade é a extremidade de

�⃗�

𝑣 +

OPERAÇÕES COM VETORES

A subtração de vetores não é definida. A expressão – deve ser entendida como a adição do vetor com o vetor oposto de , isto é,

– = + (– )

𝑣

−�⃗�

OPERAÇÕES COM VETORES

VETORES EM V3

Três vetores em V3 tem papel especial.

Sejam

= (1, 0, 0) = (0, 1, 0) = (0, 0, 1)

VETORES DA BASE CANÔNICA

Estes vetores , e são chamados vetores da base canônica.

Ele tem comprimento 1 e direção e sentido dos eixos x, y e z positivos.

VETORES DA BASE CANÔNICA

Da mesma forma, em duas dimensões, definimos:

= (1, 0) = (0, 1)

VETORES DA BASE CANÔNICA

Se = (a1, a2, a3), então podemos escrever:

= (a1, a2, a3) = (a1, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, a3) = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1) = a1 + a2 + a3

VETORES DA BASE CANÔNICA

Assim, qualquer vetor em V3 pode ser expresso em ternos de , e .

Por exemplo,

(1, 2, 6) = 2 + 6

VETORES DA BASE CANÔNICA

Da mesma forma, em duas dimensões, podemos escrever

= (a1, a2) = a1 + a2

REFERÊNCIAS

LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009.

WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.

SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. SP: Bookman, 2009.

CORRÊA, P. S. Q, Álgebra linear e geometria analítica. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

CENGAGE LEARNING 2010.