21
Aula 3: Derivada e Integral . Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE Aula 3 – p.1/17

Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Aula 3: Derivada e Integral .

Margarete Oliveira Domingues

PGMET/INPE

Aula 3 – p.1/17

Page 2: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Integral

Aula 3 – p.2/17

Page 3: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Conceito de Integral definida

Pode ser motivado pelo conceito da área limitada por uma

curva � � � ��� �

, o eixo � e a vertical que passa pelos pontos

� � � e � � �

Aula 3 – p.3/17

Page 4: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Conceito de Integral definida

Pode ser motivado pelo conceito de soma limite

subdivide–se � � � � �

em � sub–intervalos pormédias de pontos � ��� � ��� � � � � �� �

� �� � � � ���� ��� � � � � ���� �� ��� �

são escolhidos pontos� ���� �� �

� � � � � ��� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � ��

� �� � � �

em que � � � e � � � �

, considerando�� � � ��� � � � � � � � , pode-se escrever o somatório

Aula 3 – p.3/17

Page 5: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Conceito de Integral definida

���� �

� � � � � ��� � � � � � � � ��

��� �� � � � � �� ��

Este somatório representa a área de todos osretângulos plotados

Qdo � � � tal que�� � � �

esse somatório édenotado por �

�� ��� �� � �

integral definida da função

� ��� �

em

� ���

.

� ��� �é o integrando e

� ���

é o limite de integração

Aula 3 – p.3/17

Page 6: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Integral definida

Esse limite existe se

� ��� �

é continua ou contínua porpartes em

� ���

.

Se

� ��� �

possuir valores positivos e negativos, essaintegral representa a soma algébrica dessas áreas

áreas positivas as áreas em que

� ��� ��� �

áreas negativas as áreas em que

� ��� � � �

.

Aula 3 – p.4/17

Page 7: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Propriedades

Se

� ��� �

e � ��� �

são duas funções integráveis em

� ���

então

��

� � ��� � � � ��� � � � ��

�� ��� �� � � �

� � �� �� �

�� � � ��� �� � � �

��

� ��� �� � � em que � é uma constante.

��

� ��� �� � � ��

� ��� �� � � ��

� �� �� � � em que

� ��� �

éintegrável em

� �� � e� ���

.

��

� ��� �� � � �

�� � ��� �� �

��

� ��� �� � � �

Aula 3 – p.5/17

Page 8: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Propriedade (cont.)

Se � � � � �

e � � � ��� � �

em que � e sãoconstantes, então

� � � � � � �

��

� ��� �� � � � � � � �

Se � � � � �

e

� �� � � � ��� �

, então

��

� ��� �� � �

��

� ��� �� �

�����

��

� ��� �� ������

� ��

� � ��� � � � �

Aula 3 – p.6/17

Page 9: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Teoremas de valor médio paraintegrais

Se

� ��� �

é contínua em

� ���

existe um�

em

� ��� �

talque �

�� ��� �� � � � � � � � � � � �

Se

� ��� �

e � ��� �

são continuas em

� ���

e � ��� �

não mudade sinal nesse intervalo, então existe um

em

� ��� �

talque �

�� ��� � � ��� �� � � � � � �

��

� ��� �� � �

Se � ��� � � �tem–se o caso anterior.

Aula 3 – p.7/17

Page 10: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Integrais indefinidas

Dada uma função

� ��� �

qq

� ��� �

tal que

� � ��� � � � �� �

é integral indefinidade� ��� �� ��� � � � tb. é, pois

� � ��� � � � � � � � ��� � � � �� �

.

O símbolo

� �� �� � expressa a integral indefinida.

EX: se

� � �� � � � �

, então,

� ��� � � � �� � �� �

� �

é uma integral indefinida ou anti–derivada.Aula 3 – p.8/17

Page 11: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Teorema fundamental do cálculointegral

Possibilita o uso de soluções de integrais indefinidas,qdo conhecidas, para calcular integrais definidas.

Se

� ��� �

é contínua em

� ���

� ��� �

é tal que

� � ��� � � � �� �então,

��

� ��� �� � � � � � � � � � � ��

Aula 3 – p.9/17

Page 12: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Métodos de integração

� ��� �

e � ��� �

funções contínuas

� � ��� �

e � � ��� �

funções contínuas

Integração por partes

� ��� � � � ��� �� � � � �� � � ��� �� � � ��� � � ��� �� �

Aula 3 – p.10/17

Page 13: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Métodos de integração

Frações parciais: Polinômios racionais

� �� � � ��� �

�� � �

� �� � � �� � � ��� �

em que � � ��

��

�� , que sempre podem ser

integradas em termos dessas funções elementares.Ex:

���

�� � � � � � � � �

�� � � �

� � � � � �

� � � � � �

� �� � �

� � � �

� � � � � � � � � � � �

�� � �

� � � � � � � � �

�� � �

� � � � � � � �

� �

Aula 3 – p.10/17

Page 14: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Métodos de integração

Funções racionais de � � �� e �� � � podem ser sempreintegradas em termos de funções elementares pelasubstituição

��� � � � � � .

Aula 3 – p.10/17

Page 15: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Integral imprópria

Se o intervalo de integração

� ���

não é finito ou se

� ��� �

não está definido ou é ilimitado em um ou mais pontos de� ���

, a integral de

� ��� �

é dita imprópria.EX:

� �� � � �

� � � �� ���� �

� �� � � � � �� �� � �

��� �� � ������

��

Aula 3 – p.11/17

Page 16: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Métodos numéricos

Aula 3 – p.12/17

Page 17: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Integrais definidas

São baseados na subdivisão de um intervalo

� ���

em

� partes iguais de tamanho

�� �� � � � �

� .

Em geral, as aproximações melhoram a medida que �

aumenta.

Notação:

� � � � � �� � � � ��� � � é denotado � �, em que

� � ��

��

�� � �.

Aula 3 – p.13/17

Page 18: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Regra do Retângulo

��

� �� �� � � �� � � � � � � � � �� �

Geometricamente isto significa a área de todos os retângu-

los plotadosAula 3 – p.14/17

Page 19: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Regra do Trapézio

��

� �� �� � �

���

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � �

Geometricamente isto significa aproximar

� �� �

por segmen-

tos de reta.Aula 3 – p.15/17

Page 20: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Regra de Simpson

��

� �� �� � �

���

� � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � ��� � � � �� � � � � ��

divide–se o intervalo

� ���

em um número ímpar deintervalos iguais

aproximando

� ��� �

por uma forma quadrática

utilizando três pontos sucessivos correspondentes a

� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� �� � �� � � � �

geometricamente, neste caso faz–se uma curva

� � � ��� �por um conjunto de aproximações de arcos

parabólicos.Aula 3 – p.16/17

Page 21: Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo conhecidas, para calcular integrais definidas. Se é contínua em é tal que então, Aula

Fim da Aula 3

Aula 3 – p.17/17