ENGENHARIA ELTRICACONVERSO ELETROMECNICA DE ENERGIA

PROF ANDERSON DA SILVA JUC (apontamentos)

8. Lei Circuital de AmpreAgora que a intensidade de campo magntico (H) foi definida e demonstrada como tendo unidade de ampre-espiras/metro, pode-se deduzir uma expresso muito til. Sabe-se que H um vetor que tem o mesmo sentido e o mesmo lugar geomtrico circular que o do campo magntico B. Uma integrao de linha de H ao longo de algum percurso circular dado resulta em:

H dl= 0

2 .r

I1 dl= I1 2.r

Ampre [A]Eq.09

Obs: a integral de linha usada porque H tem dimenso por unidade de comprimento.

Esta equao mostra que a integral de linha fechada da intensidade do campo magntico igual s correntes envolvidas (ou ampre-espiras) que produzem as linhas de campo magntico. Esta relao denominada de Lei de Ampre de Circuito, e expressa por:

H dl=

= NIx

Eq.10

Onde designa os ampre-espiras envolvidos pelo percurso fechado assumido das linhas de fluxo. tambm conhecido como fora magnetomotriz e freqentemente abreviada como fmm.

8. Lei Circuital de AmpreAs definies anteriores foram feitas a partir da experincia elementar de Ampre com dois condutores conduzindo corrente. Pela manipulao correta destas grandezas, outras frmulas teis podem ser obtidas. A equao Eq.08 uma equao vetorial que descreve a intensidade do campo magntico para uma dada geometria e corrente. Se o comprimento total do percurso de uma linha de fluxo for suposto como sendo l, ento a fora magnetomotriz (fmm) associada linha de fluxo especificada : = Hxl = B xl Eq.11

Agora, nas situaes onde B uma constante e penetra uma rea fixa e conhecida (A), o fluxo magntico correspondente pode ser escrito da equao Eq.07 como sendo:

= BxA

Eq.12

8. Lei Circuital de AmpreIntroduzindo a equao Eq.12 na equao Eq.11, obtm-se: = Hxl = l B xl = xA

Eq.13

J est claro que a fmm que gera o fluxo , que penetra a rea de seo transversal especificada A. Contudo, esse fluxo limitado em mdulo pelo que chamado a relutncia do circuito magntico, que definida como:

O termo entre parnteses mostra uma grande semelhana com a definio de resistncia em um circuito eltrico. Um exame da equao Eq.13 fornece uma interpretao similar para o circuito magntico.

=

l xA

Eq.14

= x

Eq.15

A equao Eq.15 tambm conhecida como a Lei de Ohm do circuito magntico. somente vlida se B e A forem quantidades fixas.

9. Circuitos MagnticosAplicando a equao acima no circuito magntico simples, temos: NI = H l , no caso: N I = Hn ln

A intensidade de campo magntico (H), produz uma induo magntica (B) em toda a regio sujeita ao campo magntico.Figura 21

B=.H ou B=/A [Wb/m2]

A unidade da induo magntica (B) o Weber/metro2 (1 Wb=108 linhas de campo magntico. = permeabilidade magntica do ncleo = o . r (o = 4 x 10-7 Wb/A.m) r = permeabilidade relativa do material, valores tpicos de r esto na faixa de 2.000 a 6.000, para materiais usados em mquinas.

9. Circuitos MagnticosPara o circuito magntico abaixo, temos:

= H .lOnde H a fora magnetizante em uma seo do circuito magntico e l, o comprimento da seo.

Todos os termos que aparecem nessa equao so conhecidos, com exceo das foras magnetizantes para as diferentes partes do circuito magntico, que podem ser obtidas a partir do grfico B-H se a densidade de fluxo (B) for conhecida.

Figura 22

+N I - Hab.lab - Hbc.Ibc - Hca.lca=0 NI = Hab.lab + Hbc.Ibc + Hca.lca

9. Circuitos MagnticosOs dispositivos de converso de energia que incorporam um elemento mvel exigem entreferros nos ncleos. Portanto, as estruturas magnticas apresentam um entreferro (espao de ar inserido entre duas pores magnticas) em seu circuito magntico. Este entreferro pode ser inserido propositalmente, como ocorre nos motores e geradores eltricos como mostrado na Figura 23, ou involuntariamente devido ao processo construtivo, como indicado na Figura 24 Figura 23 Entreferro de um motor eltrico.

9. Circuitos Magnticos

Figura 24 Entreferro involuntrio.

A colocao de chapas lado a lado introduz um pequeno entreferro involuntrio entre elas. Qualquer que seja sua origem e tamanho, o entreferro parte importante da estrutura magntica e deve sempre ser considerado no circuito magntico.

9. Circuitos MagnticosA Figura 25 mostra as linhas de campo magntico em uma estrutura com a presena de um entreferro, destacando o fenmeno do espraiamento dessas linhas na regio do entreferro Figura 25 - Espraiamento das linhas de campo.

O efeito do espraiamento das linhas de campo equivale a um acrscimo da rea de passagem do fluxo magntico no entreferro e como tal deve ser corrigida. Algumas frmulas empricas ajudam-nos a resolver, so elas:

9. Circuitos MagnticosA. Entreferro com faces paralelas e iguais Figura 26 Entreferro com faces paralelas e iguais. lgY

X

Neste caso, a rea efetiva de passagem do fluxo magntico no entreferro dada por:

S g = ( X + l g ).(Y + l g )

9. Circuitos MagnticosB. Entreferro com faces paralelas e diferentes Fig. 27 Entreferro com faces paralelas e diferentes.Y

X

lg

Nesta condio, a rea efetiva de passagem do fluxo magntico estimada a partir da expresso:

S g = ( X + 2l g ).(Y + 2l g )

9. Circuitos MagnticosOs dispositivos de converso de energia que incorporam um elemento mvel exigem entreferros nos ncleos. Um circuito magntico com um entreferro (vcuo) mostrado a seguir:

ln lg N I = + An n A g o

onde: n = g =

N I = ( n + Figura 28

g

)onde: F = N . IEq.16

N i = Hn ln + Hg lg

= (

n

+ g

)

NI =

Bnn

ln +

Bgo

l onde: g

B=H ;H=B/ onde: n = Relutncia magntica do ncleo; [A/Wb] g = Relutncia magntica do entreferro; [A/Wb] = fora magnomotriz; [Ae]

g n NI = l + l An n n A g o g onde:

B=/A

9. Circuitos MagnticosCircuito Eltrico Anlogo:

Figura 29

9. Circuitos Magnticos

9. Circuitos Magnticos

9. Circuitos MagnticosIdentifica-se as seguintes relaes entre as grandezas eltricas e magnticas:

Circuito EltricoI :Corrente Eltrica (A) E :Fora eletromotriz (V)

Circuito Magntico: Fluxo Magntico (Wb)

F = Ni :Fora magnetomotriz (Aesp)

:Condutividade (S/m)

J=

I : Densidade de S2

B=

:Permeabilidade (H/m) S(Wb / m )2

: Densidade de Fluxo Magntico

Corrente Eltrica ( A / m )

R=

1 l : Resistncia ( ) S

=

1 l :Relutncia ( Aesp / Wb ) S

G=

1 :Condutncia ( S ) R

1 = :Permencia ( Wb / Aesp )

Note-se que a associao entre o circuito eltrico e o circuito magntico levou a denominao densidade de fluxo magntico como sinnimo do campo magntico.

Exerccios1. Dada a pea abaixo, determinar a densidade de fluxo B em Tesla. 2. Com base na figura do exerccio anterior, se a densidade de fluxo for 1,2 T e a rea da seo reta for 0,25 pol.2, determinar o fluxo magntico no interior da pea.Soluo:

= B. A

Convertendo 0,25pol.2 em m2: Soluo:

6.10 5Wb B= = A 1,2.10 3 m 2 B = 5.10 2 T

1m 1m . A = 0,25 pol.2 39,37 pol. 39,37 pol. A = 1,613.10 4 m 2

= 1,2Tx1,613.10 4 m 2 = 1,936.10 4 Wb

Exerccios3. Para o circuito magntico em srie visto na figura abaixo, pede-se: a) Calcular o valor de I necessrio para gerar um fluxo magntico =4.10-4 Wb. b) Determinar e nessas condies. r para o material Soluo: 4.10 4 Wb a) B= = = 2.10 1T A 2.10 3 m 2 B = 0,2T Do grfico BxH, temos: H(ao fundido) = 170A/m, logo: NI = Hl I = Hl/N = (170A/m x 0,16m)/400 I = 68mA b) = B/H = 0,2(T)/1.709 (A.esp./m)

= 1,176.10-3 (Wb/A.m) Logo a permeabilidade relativa : r= /0

= 1,176.10-3/4..10-7

r=935,83

Exerccios4. O reator mostrado na Figura abaixo foi construdo com um material magntico de permeabilidade relativa R = 3000 . A bobina de excitao possui 200 espiras. Calculemos a corrente na bobina de excitao necessria para estabelecer 2 uma densidade de fluxo magntico 1, 2Wb / m . dada a permeabilidade do vcuo = 4 10 (.H / m) E as dimenses esto em cm. Soluo:7 0

A soluo do problema se resume em montar o circuito eltrico anlogo do problema magntico. Assim, para este caso temos:20

5

l = 2 ( 2,5 + 20 + 2,5) + 2 ( 20 2 2,5) = 80 cm ou 0,8m

S = 5 10 = 50cm 2 ou 50 104 m2Como conseqncia resulta: 1 l 1 0,8 = = . = 42,44.10 3 ( Aesp / Wb ) 7 4 S 3000.4 10 50.10

5

2 4 4 Sendo B = 1,2Wb / m , obtm-se: = B.S = 1,2.50.10 = 60.10 Wb

ExercciosDessa forma, o circuito eltrico anlogo dado por: = 60 104 wb

= 200i

R = 42.44 103 ( Aesp / ws )

Da anlise do circuito eltrico anlogo, obtemos: Substituindo pelos seus valores, obtm-se: ou ainda:

Ni =

200i = 42,44.10 3.60.10 4

i = 1,27 A

Exerccios5. A estrutura magntica da Figura abaixo confeccionada de material magntico de permeabilidade relativa R = 4000 . O nmero de espiras da bobina de excitao 400 espiras. Determine a f.m.m. e a corrente da bobina para estabelecer uma densidade de fluxo magntico 0,5Wb / m 2 no brao direito da estrutura. Obs.: todas as dimenses so expressas em cm.

1400i3

2R2

3R3

Soluo: O primeiro passo na resoluo do problema, consiste em montar o circuito eltrico anlogo, o qual possui a mesma geometria que a estrutura magntica. Assim, para o problema em questo, o circuito eltrico anlogo dado ao lado. Em seguida calculamos as relutncias de cada trecho. Para o problema em questo resultam:

1 l1 1 [2.(2,5 + 20 + 5) + (40 2.2,5)].10 2 1 = = . = 71,6.10 3 ( Aesp / Wb) 7 4 S1 4000.4 10 5.5.10

2 =

1 l3 1 [2.(5 + 30 + 2,5) + (40 2.2,5)].10 2 3 = = . = 87,5.10 3 ( Aesp / Wb ) 7 4 S 3 4000.4 10 5.5.10

1 l2 1 [(40 2.2,5)].10 2 = . = 13,9.10 3 ( Aesp / Wb) 7 4 S 2 4000.4 10 10.5.10

ExercciosNo brao direito da estrutura dado B3 = 0,5Wb / m 2, de modo que:

3 = B3 .S 3 = 0,5.25.10 4 = 12,5.10 4 WbDa malha direita do circuito obtemos: 2 2 = 3 3 De modo que:87,5.10 3.12,5.10 4 2 = = 78,7.10 4 Wb 3 13,9.10

Aplicando-se a lei de Kirchoff para as correntes obtm-se: 1 = 2 + 3 = 91,2.10 4 Wb Aplicando-se agora a lei de Kirchoff das tenses para a malha da esquerda, podemos escrever:

Ni = 11 + 2 2Resultando: e tambm:

fmm = Ni = 71,6.10 3.91,2.10 4 + 13,9.10 3.78,7.10 4 = 762 Aespi= fmm 762 = = 1,9 A N 400

Exerccios6. A Figura abaixo mostra uma estrutura magntica confeccionada com material magntico de permeabilidade relativa R = 2000 , na qual foi introduzido um entreferro de comprimento 1 mm. Todas as demais dimenses esto em cm. Vamos calcular a corrente na bobina de excitao, a qual possui 500 espiras, necessria para estabelecer um fluxo magntico no entreferro de 5.10 4 Wb .

Soluo: No circuito eltrico anlogo desta estrutura, alm da fonte de f.m.m. que produz o campo magntico devemos inserir duas relutncias em srie; uma relativa poro do ncleo magntico e outra devido ao entreferro, como mostra a Figura ao lado.

A partir da anlise de malhas obtm-se:

Ni = (1 + 2 )

ExercciosNa qual:

1 l1 1 [2(1 + 6 + 1) + 2(12 2.1)].10 2 1 = . = . = 35,8.10 4 Aesp / Wb 7 4 S1 2000.4 .10 2.2.10

a relutncia do ncleo e: 1 l2 1 1.10 3 2 = . = . = 180.10 4 Aesp / Wb 7 4 0 S 2 4 .10 (2 + 0,1)(2 + 0,1).10 a relutncia do entreferro. Observe que apesar do entreferro ter apenas 1 mm, sua relutncia, neste caso, algo em torno de 5 vezes maior que a relutncia do ncleo. Sendo = 5.10 4 Wb obtemos:

500i = (35,8 + 180)10 4.5.10 4

Resultando:

i = 2,16 A

.

Anexo 01: O Parmetro IndutnciaA indutncia uma caracterstica dos campos magnticos e foi descoberta primeiramente por Faraday, em 1831. De um modo geral, indutncia pode ser caracterizada como aquela propriedade de um elemento do circuito pela qual a energia pode ser armazenada num campo de fluxo magntico. Um fator importante e diferenciador da indutncia, contudo, que ela aparece num circuito apenas quando h uma corrente varivel, ou mesmo um fluxo varivel. No entanto, um elemento do circuito possa ter indutncia, em virtude de suas propriedades geomtricas e magnticas, sua presena no circuito somente poder ser sentida, desde que haja uma variao da corrente no tempo. Para cobrir o assunto completamente, a indutncia ser analisada sob trs pontos de vista: a) de circuito; b) de energia e c) fsico.

O Parmetro Indutnciaa) Anlise sob o ponto de vista de circuito A relao entre tenso e corrente referente ao parmetro indutncia expressa a seguir:

di vL = L. dtEq.01

A equao mostra a diferena de potencial vL que aparece nos terminais do parmetro indutncia, quando uma corrente varivel circula para o terminal c do circuito.b I c +v(t) L

Note-se que a ponta da seta na varivel vL est mostrada no terminal c, indicando que este terminal , neste instante, positivo em relao ao terminal d, pois o coeficiente angular (di/dt), ou declividade, positiva, caso contrrio, a ponta da seta estaria apontando para o ponto d (coeficiente angular negativo).

VL -

aFigura 1

d

O Parmetro IndutnciaQualquer elemento do circuito que apresente a propriedade de indutncia denominado indutor e designado pelo smbolo constante no circuito anterior. Como elemento ideal, o indutor considerado como no tendo resistncia, embora, na prtica, deve ter a resistncia do fio que constitui a bobina.vL L = di dtVolt. s / A ou Henrys (H)Eq.02

A razo entre a diferena de potencial nos terminais do indutor num determinado instante de tempo e a derivada correspondente da funo corrente-tempo, expressa o parmetro indutncia.di = 1 .vL.dt L i( t ) t 1 di = .vL.dt L i( 0 ) 0t

Expressando a corrente no indutor em funo da tenso, nota-se que a corrente em um indutor dependente da integral da tenso atravs de seus terminais, assim como a corrente na bobina no incio da integrao i(0).Eq.03

1 i( t ) = vL.dt + i( 0 ) L 0

O Parmetro IndutnciaUma anlise na equao (Eq. 04) abaixo revela uma propriedade importante da indutncia: a corrente num indutor no pode variar abruptamente, num tempo nulo, pois uma alterao finita na corrente num tempo nulo requer que uma tenso infinita aparea no indutor, o que fisicamente impossvel.

di vL = L. dt

Eq.04

1 i( t ) = vL.dt + i( 0 ) L 0

t

Eq.05

Por outro lado, a equao (Eq. 05) revela que, num tempo nulo, a contribuio para a corrente no indutor do termo com a integral zero, de forma que a corrente + imediatamente antes (I ) e depois (I ) da aplicao da tenso no indutor a mesma. Portanto, pode-se considerar a indutncia como tendo a propriedade de inrcia.

O Parmetro Indutnciab) Anlise sob o ponto de vista de energia Supondo que um indutor tenha corrente inicial nula (i(0)=0A) . Ento, se um corrente i circula na bobina, na qual existe uma diferena de potencial vL, a energia total recebida no intervalo de tempo de 0 a t :W = W = W =

v .i.dtL 0 t

t

Joule ( J )

di L. dt .i.dt 0

L.i.di0

i

Considerando o indutor como sendo ideal, a equao anterior estabelece que o indutor absorve uma quantidade de energia que proporcional ao parmetro indutncia (L), bem como, ao quadrado do valor instantneo da corrente. Desta forma, a energia armazenada pelo indutor num campo magntico, e de valor finito e recupervel.

1 W = .L.i2 2

Joule ( J )Eq.06

Face ao fato, de que a energia associada com o parmetro indutncia aumenta e diminui com a corrente, podemos concluir que o indutor tem a propriedade de ser capaz de retornar energia fonte da qual a recebe.

O Parmetro IndutnciaA equao anterior revela que, uma forma alternativa de identificar o parmetro indutncia em termos da quantidade de energia armazenada no seu campo magntico, correspondente sua corrente instantnea. Assim, pode-se escrever que:

2.W L = 2 i

Henry ( H )Eq.07

J foi demonstrado que, para a diferena de potencial existir nos terminais de um indutor, a corrente deve variar.

Logo, uma corrente constante resulta em uma queda de tenso nula nos terminais do indutor ideal. Isso no verdadeiro, em relao energia absorvida e armazenada no campo magntico do indutor. A equao acima, confirma imediatamente esse fato. Uma corrente constante resulta numa energia armazenada fixa. Qualquer tentativa de se alterar esse estado de energia encontra uma resistncia firme dos efeitos do armazenamento inicial de energia. Isso, novamente, reflete o aspecto inercial de indutncia.

O Parmetro Indutnciac) Anlise sob o ponto de vista fsico A tenso nos terminais de um indutor pode ser expressa, sob o ponto de vista de circuito, em funo da corrente que circula no indutor. Contudo essa mesma tenso pode ser descrita pela Lei de Faraday em termos do fluxo produzido pela corrente e pelo nmero de espiras (N) da bobina do indutor. Conseqentemente, pode-se escrever:

di d vL = L. = N. dt dt N.d.dt L = di.dt

Nesses casos, onde o fluxo () diretamente proporcional corrente i para todos os valores (isto resistor linear), essa ltima expresso se torna:

L =

N. Wb i A

t

= (H)Eq.09

L =

N.d (H ) diEq.08

Aqui, o parmetro indutncia tem uma representao hbrida, porque em parte expresso em funo da varivel do circuito (corrente i), e em parte, em funo da varivel do campo (fluxo ).

O Parmetro IndutnciaPara se evitar essa representao hbrida, substitui o fluxo por seu equivalente:

fmm N.i = = relutncia' Magntica Eq.10

Onde a fmm a fora magnetomotriz que produz o fluxo no circuito magntico que tem relutncia .

Se o ncleo suposto como tendo um comprimento mdio de lm metros e uma rea de seo transversal de Am metros quadrados, ento a relutncia magntica pode ser escrita como:

=

lm .AmEq.11

Onde a permeabilidade, uma propriedade fsica do material magntico.

O Parmetro IndutnciaManipulando adequadamente as equaes anteriores, resulta na expresso para o parmetro indutncia, como sendo:

N2..Am N2 L = = lm

Eq.12

Uma anlise da equao anterior revela alguns fatos interessantes sobre o parmetro indutncia que no esto facilmente disponveis quando essa varivel definida, tanto do ponto de vista de circuito como de energia. O que mais impressiona, o fato de a indutncia, como a resistncia, ser dependente da geometria das dimenses fsicas e da propriedade magntica do meio. Isso importante porque nos diz o que pode ser feito para se alterar o valor de da indutncia L. a) Desta forma, o parmetro indutncia pode ser aumentado de quatro formas: aumentando o nmero de espiras; b) utilizando ncleo de ferro de maior permeabilidade; c) reduzindo o comprimento mdio do ncleo de ferro; e d) aumentando a rea de seo transversal do ncleo de ferro.

Bibliografia1. 2. 3. 4. 5. Fundamentos de Mquinas Eltricas. Autor: Vincent DEL TORO Mquinas Eltricas. Autor: A. E. FITZGERALD Mquinas eltricas e Transformadores. Autor: Irving I. KOSOW Apostila POLI/USP Cincia e Engenharia de Materiais. Autor: W. D. CALLISTER