Geometria Basica

Aula 4: Cırculos

Lhaylla CrissaffDepartamento de Geometria

Universidade Federal Fluminense

2018

CırculosDefinicao 1. Cırculo e uma figura geometrica formada por todos os pontosdo plano que estao a uma mesma distancia de um ponto fixado do plano. Oponto fixado e chamado de centro do cırculo, e a distancia de qualquer pontodo cırculo ao centro e chamada raio do cırculo. Tambem chamamos de raioqualquer segmento que liga o centro a um ponto do cırculo.

Cırculo γ de centro O e raio r.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 1

Cırculos

Qualquer segmento ligando dois pontos de um cırculo e chamado decorda. Uma corda que passa pelo centro e chamada de diametro.

A medida de um diametro e tambem chamada de diametro.

AB e CD sao cordas do cırculo γ de centro O. Em especial, AB e umdiametro.

Um cırculo divide o plano em duas regioes: interior do cırculo e exteriordo cırculo. Um ponto esta no interior (ou dentro) de um cırculo de raio r se

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 2

a distancia desse ponto ao centro do cırculo for menor do que r. Se essadistancia for maior do que r, o ponto esta no exterior (ou fora) do cırculo.

Considere um angulo AOB e, com centro em O e trace um cırculo de raioqualquer.

Esse cırculo intersecta os lados de AOB nos pontos A1 e B1. O angulo

AOB divide o cırculo em dois arcos, que serao denotados por_

A1XB1 (o que

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 3

contem X) e_

A1Y B1 (o que contem Y ).

Quando AOB mede 180◦, dizemos que o arco_

A1XB1 (e tambem o arco_

A1Y B1) e um semicırculo. Entao, cada um dos arcos determinados por umareta que corta o cırculo passando pelo centro e um semicırculo.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 4

A medida de um semicırculo, por definicao, e 180◦ e de um cırculo inteiroe 360◦.

Definicao 2. Dado um angulo agudo AOB e um cırculo centrado em O, amedida do menor arco determinado por AOB e a mesma medida de AOB ea medida do maior arco determinado por AOB e 360◦ −m(AOB).

NOTACAO: o arco_

A1XB1 mede m(_

A1XB1).

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 5

Posicoes relativas entre retas e cırculos

Dados um reta r e um cırculo γ no plano, existem tres possibilidades:

• r nao intersecta γ (r e exterior a γ);

• r intersecta γ em um ponto (r e tangente a γ);

• r intersecta γ em dois pontos (r e secante a γ).

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 6

Posicoes relativas entre retas e cırculos

Considere agora um cırculo γ de centro no ponto O, um ponto A ∈ γ eo segmento OA que liga o centro do cırculo ao ponto A. Seja r a reta quepassa por A e e perpendicular ao segmento OA.

CONCLUSAO: r e tangente ao cırculo.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 7

Posicoes relativas entre retas e cırculos

Na verdade, e possıvel demonstrar que:

• Toda reta tangente a um cırculo e perpendicular ao raio no ponto detangencia.

• Toda reta perpendicular a um raio em sua extremidade e tangente aocırculo.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 8

Posicoes relativas entre cırculos

Dados dois cırculos, temos as seguinte possibilidades:

• os dois cırculos nao se intersectam;

• os dois cırculos se intersectam em um ponto;

• os dois cırculos se intersectam em dois pontos.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 9

Cırculos que nao se intersectam

Neste caso, ha duas possibilidades:

• cada cırculo esta contido no exterior do outro ou

• um dos cırculos esta contido no interior do outro.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 10

Cırculos secantes

Dizemos que dois cırculos sao secantes quando eles se intersectam emdois pontos.

Neste caso, e possıvel mostrar que a retaque liga os dois centros O1 e O2 e a media-triz do segmento determinado pelos pontos deintersecao dos cırculos.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 11

Cırculos tangentes

Dizemos que dois cırculos sao tangentes quando eles se intersectam emum ponto.

Neste caso, ha duas possibilidades:

• cırculos tangentes exteriormente ou

• cırculos tangentes interiormente.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 12

Cırculos tangentesExteriormente: os dois cırculos se intersectam em um ponto e todos os

outros pontos de cada um deles esta no exterior do outro.

Neste caso, o ponto de encontro pertence ao segmento O1O2 e a retaperpendicular a reta

←−−→O1O2 no ponto de encontro e tangente aos dois cırculos.

O ponto de encontro e chamado de ponto de tangencia.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 13

Cırculos tangentesInteriormente: os dois cırculos se intersectam em um ponto e todos os

outros pontos de um deles esta no interior do outro.

Neste caso, O1, O2 e o ponto de encontro sao colineares e a reta tangentea um dos cırculos no ponto de encontro e tambem tangente ao outro. O pontode encontro e chamado de ponto de tangencia.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 14

Angulo central

Definicao 3. Um angulo central de um cırculo e um angulo com vertice nocentro do cırculo.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 15

Angulo inscrito

Definicao 4. Um angulo inscrito e um angulo com vertice sobre o cırculo ecujos lados sao semirretas tangentes ou secantes ao cırculo.

Dado um angulo inscrito BAC de um cırculo γ, o arco de cırculo contidona uniao do interior com os lados de BAC e chamado arco subentendido porBAC. Diz-se tambem que BAC subentende tal arco.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 16

Medida do angulo inscrito

Proposicao 1. A medida de um angulo inscrito e a metade da medida doarco que ele subentende.

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 17

Proxima aula

Polıgono!

Aula 4 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 18