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solos 2
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Aula 06: Fluxo bidimensional
Docente: Mariana Ramos Chrusciak, M.Sc.
Universidade Federal de Roraima
Departamento de Engenharia Civil
CIV-20 – Mecânica dos Solos II
Universidade Federal de Roraima
Departamento de Engenharia Civil
CIV-20 – Mecânica dos Solos II
Aula 5
Da aula passada:
EQUAÇÃO DE LA PLACE
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Solução da equação de Laplace
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Aula 6
Método Analítico: fluxo unidimensional;
Método gráfico: duas famílias de curvas ortogonais entre si -> redes de fluxo;
Métodos numéricos: Diferenças finitas (M.D.F.) e Elementos discretos (M.E.F.);
Método analítico – fluxo unidimensional
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Aula 6
(Eq. 1)
(Eq. 2)
A equação abaixo pode ser utilizada para a solução de alguns problemas de escoamento simples. Para demonstrar isso, consideremos um problema de fluxo unidimensional, como o da figura.
Método analítico – fluxo unidimensional
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Aula 6
Para calcularmos os valores A1 e A2 referentes ao escoamento através da camada de solo nº 1, devemos conhecer as seguintes condições de contorno.
Da eq. 2
Combinando as eq. 2, 3 e 4 tem-se:
(Eq. 3) (Eq. 4)
(Eq. 5)
Método analítico – fluxo unidimensional
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(Eq. 7)
(Eq. 6)
(Eq. 8)
Para o fluxo através da camada de solo nº 2, devemos conhecer as seguintes condições de contorno.
Da eq. 2 e condição 1
Da eq. 2 e 6 condição 2
Combinando as eq. 2, 6 e 7 tem-se:
Método analítico – fluxo unidimensional
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(Eq. 9)
(Eq. 4)
Em qualquer instante, o fluxo através da camada de solo nº 1 é igual a o fluxo através da camada de solo nº 2, de modo que:
Em que
Ou:
Substituindo a eq. 9 na eq. 5:
De modo similar, combinando as
eq. 8 e 9:
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(Eq. 10)
Método analítico – fluxo unidimensional
(Eq. 11)
Redes de fluxo
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Aula 6
A rede de fluxo é a solução gráfica da equação de Laplace, composta de dois grupos de curvas perpendiculares entre si, formando quadrados curvilíneos.
Redes de fluxo
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Aula 6
Num meio isotrópico, a equação da continuidade representa duas famílias de curvas, ortogonais entre si:
linhas de fluxo
linhas equipotenciais
Uma linha de fluxo é uma linha ao longo da qual uma partícula de água caminha de montante para jusante. Uma linha equipotencial é uma linha ao longo da qual, a carga total é constante.
Redes de fluxo
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Se forem colocados piezômetros ao longo de uma equipotencial, os níveis de água serão os mesmos em todos eles.
Redes de fluxo
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Um conjunto de linhas de fluxo e linhas equipotenciais denomina-se rede de fluxo. Uma rede de fluxo deve ser desenhada de modo que:
As linhas equipotenciais interceptam as linhas de fluxo em ângulos retos
Os “elementos de fluxo” devem ser aproximadamente quadrados.
Redes de fluxo
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As linhas equipotenciais interceptam as linhas de fluxo em ângulos retos
Os “elementos de fluxo” devem ser aproximadamente quadrados.
Redes de fluxo
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As linhas equipotenciais interceptam as linhas de fluxo em ângulos retos
Os “elementos de fluxo” devem ser aproximadamente quadrados.
Redes de fluxo
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A faixa limitada por duas linhas de fluxo adjacentes denomina-se canal de fluxo.
Seja um canal de fluxo, com linhas equipotenciais formando elementos “quadrados”.
Redes de fluxo
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Sejam h1, h2, h3..., hn as cargas totais correspondentes às linhas equipotenciais.
Como não existe fluxo através das linhas de fluxo, então as vazões nas seções transversais de um canal de fluxo são iguais:
De acordo com a Lei de Darcy, tem-se:
Redes de fluxo
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Se os elementos de fluxos forem desenhados aproximadamente “quadrados”, a diferença de carga entre duas equipotenciais adjacentes quaisquer será a mesma (queda de potencial ). Assim,
E
onde,
H = diferença de carga total entre montante e jusante
Nd = número de quedas de potencial
Redes de fluxo
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Se o número de canais de fluxo for igual a Nf , então a vazão total através de todos os canais de fluxo será dada por:
Embora seja conveniente desenhar elementos de fluxo aproximadamente “quadrados”, também se pode desenhar elementos “retangulares”, de modo que sejam mantidas constantes as relações entre a largura e o comprimento do elemento. Assim, tem-se:
Redes de fluxo
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Traçado das Redes de fluxo
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Traçado das Redes de fluxo
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PROCEDIMENTO:
Definir as condições de contorno (fluxo e equipotenciais)
Três ou quatro canais de fluxo são suficientes
traçar curvas suaves (parábolas)
Traçado das Redes de fluxo
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PROCEDIMENTO:
As linhas de fluxo e equipotenciais são ortogonais
Formam quadrados (circunferências inscritas)
Traçado das Redes de fluxo
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Traçado das Redes de fluxo
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Traçado das Redes de fluxo – erros frequentes
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Traçado das Redes de fluxo – erros frequentes
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Redes de fluxo – para solos anisotrópicos
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Na natureza, a maioria dos solos apresenta certo grau de anisotropia em termos de permeabilidade. Na equação da continuidade tem-se então:
Dividindo-se os dois membros da equação por kz, resulta:
Fazendo , tem-se então:
que é similar à equação da continuidade para solos isotrópicos.
Redes de fluxo – para solos anisotrópicos
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Para traçar a rede de fluxo segue-se o seguinte procedimento:
Adotar uma escala vertical apropriada (z)
Adotar escala horizontal (x’ ) de modo que se tenha
Com as escalas adotadas, desenhar a rede de fluxo como se o solo fosse isotrópico.
Redes de fluxo – para solos anisotrópicos
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Se o número de canais de fluxo for igual a Nf , então a vazão total através de todos os canais de fluxo será dada por:
Redes de fluxo – para solos anisotrópicos
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