Aula 7: Capacidades caloríficas de gases ideais, processos ......Compare com os valores medidos de CV para diversos gases na Tabela 18.1. Vemos que, para um gás monoatômico, a previsão

UFABC – Fenômenos Térmicos – Prof. Germán Lugones

Aula 7: Capacidades caloríficas de gases ideais, processos adiabáticos, equipartição da energia.

Energia interna: Do ponto de vista microscópico podemos pensar que a energia interna de um gás é o resultado de duas contribuições:

• Por um lado temos a soma das energias cinéticas (translacional, rotacional, vibracional) de todas as moléculas constituintes.

• Por outro lado temos a contribuição de todas as energias potenciais decorrentes das interações entre as moléculas do sistema.

Gás ideal: • é um sistema onde as interações entre as moléculas do sistema são

muito pequenas e podem ser negligenciadas. • a energia interna de um gás ideal é apenas o resultado da soma das

energias cinéticas (translacional, rotacional, vibracional) de todas as moléculas constituintes.

Energia interna de um gás ideal

Gás ideal monoatômico: • As partículas do gás monoatômico possuem apenas energia cinética

translacional, ½ mv2. • Nas aulas de Teoria Cinética dos gases vimos que a energia cinética

translacional média de uma molécula é Kméd = (3/2) k T. • Portanto, para um gás que contenha N moléculas a energia cinética

translacional média será N (3/2) k T. • Vamos considerar que a energia interna U de um gás ideal é dada

simplesmente pela soma das energias cinéticas de seus átomos. Portanto, para um gás monoatômico devemos ter:

• Uma amostra de n moles de tal gás contém N=nNA átomos.

Lembrando que R=kNA , a energia interna U da amostra é então:

U = 32 NkT

U = 32 nRT

No caso de sólidos e líquidos, não é muito importante especificar em que condições ocorreu a variação da temperatura. Geralmente ela ocorre a pressão constante;

Por outro lado, no caso dos gases, as condições nas quais o calor é fornecido é muito importante. Como consequência, existe a necessidade de se discriminar o calor específico molar de acordo com o processo. Temos, assim, que:

Q = ncV∆T (processo a volume constante)

Q = ncP∆T (processo a pressão constante)

onde cV é o calor específico molar a volume constante e cP é o calor

específico molar a pressão constante.

Calores específicos dos gases

A partir de U podemos deduzir uma expressão para o calor específico molar de um gás ideal. Vamos deduzir primeiro uma expressão para o caso em que o volume do gás permanece constante quando ele absorve ou perde calor (cV)

• Consideremos n moles de um gás ideal na pressão p e temperatura T, confinado em um cilindro de volume V fixo.

• Suponha que adicionamos uma pequena quantidade de energia para o gás sob a forma d e c a l o r Q a u m e n t a n d o lentamente a temperatura do reservatório térmico.

Calor Específico a V=cte

Como consequência do calor adicionado, a temperatura do gás aumenta um pouco para T+ΔT, e sua pressão sobe para p+Δp, levando o gás para o estado final f.

Em tais experimentos, podemos encontrar que o calor Q está relacionado com a variação de temperatura ΔT por:

TncQ VΔ=

onde cV é uma constante chamada de calor específico molar a

volume constante.

Substituindo Q =ncV ΔT na primeira lei da termodinâmica (ΔU= Q – W),

temos:

Como o volume é mantido constante, o gás não pode se expandir, i.e. não pode realizar trabalho (W = 0).

Isolando cV da ultima equação temos:

Agora usamos que

Substituindo em cV = ΔU / (n ΔT) temos:

ΔU = ncVΔT − W

cV =ΔUnΔT

U = 32 nRT ⟹ ΔU = 3

2 nRΔT

cV = 32 R = 12.47

Jmol . K

• Como a Tabela mostra, a previsão teórica concorda muito bem com o valor experimental para gases monoatômicos.

• Para gases diatômicos e gases poliatômicos os valores são maiores que 3/2 R por razões que serão indicadas mais adiante.

Capítulo 18 — Propriedades térmicas da matéria 259

A Equação 18.25 concorda com valores medidos do calor específico molar? Usando unidades SI na Equação 18.25, obtemos

CV = 32 1 8,314 J>mo l # K2 = 12,47 J>mo l # K

Compare com os valores medidos de CV para diversos gases na Tabela 18.1. Vemos que, para um gás monoatômico, a previsão é muito boa, mas, para gases diatômicos e poliatômicos, nossa previsão está bem distante da realidade.

Essa comparação nos informa que nosso modelo de moléculas puntiformes é su-ficientemente bom para gases monoatômicos, mas, para moléculas monoatômicas e poliatômicas, precisamos de um modelo mais sofisticado. Por exemplo, podemos representar uma molécula diatômica como duas massas puntiformes, semelhante a um pequeno haltere elástico (Figura 18.18), com uma força de interação entre os átomos do tipo indicado na Figura 18.8. Tal molécula pode ter uma energia ciné-tica adicional associada à rotação em torno dos eixos que passam por seu centro de massa. Os átomos também podem apresentar um movimento vibratório para a frente e para trás ao longo da linha que os une, com energias cinéticas e energias potenciais adicionais.

Quando o calor flui para o interior de um gás monoatômico a volume constante, toda a energia adicionada é usada para aumentar a energia cinética molecular trans-lacional aleatória. A Equação 18.23 mostra que isso dá origem a um aumento de temperatura. Porém, quando a temperatura aumenta pelo mesmo valor em um gás dia-tômico ou poliatômico, é necessário calor adicional para suprir o aumento da energia rotacional e da energia do movimento vibratório. Logo, um gás poliatômico tem um calor específico molar maior que um gás monoatômico, como mostra a Tabela 18.1.

Entretanto, como podemos saber qual é a quantidade de energia associada a cada espécie de movimento de uma molécula complexa, em comparação com a energia cinética translacional? O novo princípio de que precisamos denomina-se princípio da equipartição da energia. Ele pode ser deduzido a partir de considerações sofis-ticadas de mecânica estatística: essa dedução está fora do nosso objetivo, e vamos considerar esse princípio um axioma.

O princípio da equipartição da energia afirma que cada componente da veloci-dade (linear ou angular) possui, em média, uma energia cinética associada a cada molécula igual a 12kT, ou seja, metade da constante de Boltzmann multiplicada pela temperatura absoluta. O número dos componentes da velocidade necessários para descrever completamente o movimento de uma molécula constitui o número de graus de liberdade. Para um gás monoatômico, existem três graus de liberdade (para os componentes das velocidades vx, vy e vz); isso resulta em um total da ener-gia cinética média por molécula igual a 3 (1

2kT), consistente com a Equação 18.16.

TABELA 18.1 Calores específicos molares de gases.

Tipo de gás Gás CV (J/mol · K)

Monoatômico He 12,47

Ar 12,47

Diatômico H2 20,42

N2 20,76

O2 20,85

CO 20,85

Poliatômico CO2 28,46

SO2 31,39

H2S 25,95

Figura 18.18 Movimentos de uma molécula diatômica.

x

y

z

m1 m2

k′

(c) Movimento vibratório. A molécula oscila como se os núcleos estivessem ligados por uma mola.

x

y

z

m1 m2

Eixos independentes de rotação

(b) Movimento rotacional. A molécula gira ao redor de seu centro de massa. Essa molécula tem dois eixos de rotação independentes.

cmx

y

z

vy

vx

vz

m1 m2

(a) Movimento translacional. A molécula se move como um todo; sua velocidade pode ser descrita como os componentes x, y e z de seu centro de massa.

Podemos tratar a massa de cada átomo como localizada em seu núcleo.

x

y

z

m1 m2

k′


x

y

z

m1 m2



cmx

y

z

vy

vx

vz

m1 m2



x

y

z

m1 m2

k′


x

y

z

m1 m2



cmx

y

z

vy

vx

vz

m1 m2



Book_SEARS_Vol2.indb 259 02/10/15 1:52 PM

Suponhamos que a temperatura do gás ideal é aumentada em ΔT, mas agora o calor Q que produz a variação ΔT é adicionado com o gás em pressão constante. Neste caso temos:

onde cp é uma constante chamada de calor específico molar a pressão constante.

Para relacionar os calores específicos molares cp e cv, começamos com a primeira lei da termodinâmica:

Q = ncPΔT

ΔU = Q − W

Calor Específico a P=cte

𝛥U e Q são dados por:

Como o processo é realizado a pressão constante, o trabalho W é dado por:

Por outro lado, usando a relação PV=nRT temos 𝛥(PV)=𝛥(nRT) ⟹ P𝛥V=nR𝛥T já que o processo é realizado a pressão contante. Portanto, o trabalho no processo a pressão constante fica:

ΔU = ncVΔT Q = ncPΔT

W = PΔV

W = nRΔT

Agora podemos substituir 𝛥U, Q e W na primeira lei da Termodinâmica:

ΔU = Q − W

Fazendo estas substituições e dividindo por n ΔT, encontramos:

Esta previsão da teoria cinética concorda bem com o experimento, não apenas para gases monoatômicos, mas para gases em geral, desde que suas densidades sejam baixas o suficiente para que possamos tratá-los como ideais.

O cp é maior do que o calor específico molar a volume constante cv porque

num processo a pressão constante a energia deve ser fornecida não apenas para elevar a temperatura do gás, mas também para que o gás realize trabalho (devido à expansão).

cP = cV + R

A previsão de que cv = 3/2 R concorda com o experimento para gases

monoatômicos, mas falha para gases diatômicos e poliatômicos. Esta discrepância aparece porque as moléculas com mais de um átomo podem armazenar energia interna em outras formas além de energia cinética de translação.

HELIO OXIGENIO METANO

Graus de liberdade e Calores Específicos Molares

Para levar em consideração todas as maneiras pelas quais a energia pode ser armazenada em um gás, James Clerk Maxwell introduziu o teorema da equipartição da energia:

Todo tipo de molécula tem um certo número f de graus de liberdade, que são maneiras independentes pelas quais uma molécula pode armazenar energia. Cada grau de liberdade tem a ele associada - na média - uma energia de ½ kT por molécula (ou ½ RT por mol).

Isto significa que de modo geral teremos:

Refazendo as deduções das transparências anteriores para este caso geral, temos

U =f2

nRT

cV =f2

R = f × 4.16J

mol . K

Moléculas monoatômicas: só existe movimento translacional. Os deslocamentos nas direções x, y e z são independentes, logo, f = 3.

Moléculas diatômicas: Para uma molécula diatômica, existem dois eixos possíveis de rotação, perpendiculares um ao outro e ao eixo molecular. (Não incluímos a rotação em torno do eixo molecular porque, em colisões comuns, não existe nenhuma possibilidade de que haja variação do movimento de rotação em torno desse eixo.)

Portanto temos

Contagem de graus de liberdade

260 Física II

Para uma molécula diatômica, existem dois eixos possíveis de rotação, perpen-diculares um ao outro e ao eixo molecular. (Não incluímos a rotação em torno do eixo molecular porque, em colisões comuns, não existe nenhuma possibilidade de que haja variação do movimento de rotação em torno desse eixo.) Se somarmos dois graus de liberdade de rotação a uma molécula diatômica, a energia cinética total mé-dia por molécula é 52kT em vez de 32kT. A energia cinética total de n moles é Ktotal ! nNA (5

2kT) ! 52n(kNA)T ! 5

2nRT, e o calor específico molar (a volume constante) é

(18.26)Calor específico molar, a volume constante, gás diatômico ideal

CV = R52 Constante do gás

Em unidades SI,

CV ! 52(8,314 J/mol · K) ! 20,79 J/mol · K

Esse valor está próximo dos valores medidos para os gases diatômicos forneci-dos na Tabela 18.1.

O movimento vibratório também pode contribuir para o calor específico dos ga-ses. As ligações moleculares não são rígidas; elas podem se esticar e encurvar, e as vibrações resultantes produzem graus de liberdade e energias adicionais. Contudo, para a maior parte dos gases diatômicos, o movimento vibratório não contribui de modo significativo para o calor específico. A razão para isso é sutil e envolve alguns conceitos de mecânica quântica. Resumidamente, podemos dizer que a ener-gia da vibração só pode variar por meio de saltos finitos. Se a variação de energia no primeiro salto for muito maior que a energia contida em muitas moléculas, então quase todas as moléculas permanecem no estado mínimo de energia. Nessas circunstâncias, as variações de temperatura não produzem variações apreciáveis na energia de vibração das moléculas, e dizemos que os graus de liberdade das vibrações são “congelados”. Em moléculas mais complexas, os intervalos entre os níveis de energia de cada estado permitido são muito menores, e as vibrações contribuem para o calor específico. As energias de rotação das moléculas também variam por meio de saltos finitos, porém eles geralmente são muito pequenos; o “congelamento” de um grau de liberdade da rotação ocorre somente em casos raros.

Na Tabela 18.1, os valores elevados de CV para as moléculas poliatômicas in-dicam contribuições da energia de vibração. Além disso, as moléculas com três ou mais átomos não alinhados possuem três, e não dois graus de liberdade de rotação.

Pelo que acabamos de estudar, concluímos que o calor específico depende da temperatura, geralmente aumentando quando ela aumenta. A Figura 18.19 mostra um gráfico da dependência de CV em relação à temperatura no gás hidrogênio (H2), mostrando as temperaturas em que as energias de rotação e de vibração começam a contribuir para o calor específico.

Figura 18.19 Valores experimentais de CV, o calor específico molar a volume constante, para o gás hidrogênio (H2). A temperatura é representada em escala logarítmica.

Vibração

Abaixo de 50 K, as moléculas de H2 passam por translação, mas não sofrem rotação nem vibração.

Um movimento rotacional apreciável começa a ocorrer acima de 50 K.

Um movimento vibratório apreciável começa a ocorrer acima de 600 K.

Translação

Rotação

7 R>25R>23 R>2

R>2

4 R

3 R

2R

R

25 50 100 250 500 1.000 2.500 5.000 10.000

CV

T (K)O

7 R>25R>23 R>2


260 Física II


2kT) ! 52n(kNA)T ! 5




Em unidades SI,

CV ! 52(8,314 J/mol · K) ! 20,79 J/mol · K






Vibração




Translação

Rotação

7 R>25R>23 R>2R>2

4 R

3 R

2R

R

25 50 100 250 500 1.000 2.500 5.000 10.000

CV

T (K)O

7 R>25R>23 R>2


Movimento vibratório - Efeitos quânticos:

▪ As ligações moleculares não são rígidas; elas podem se esticar e encurvar, e as vibrações resultantes produzem graus de liberdade e energias adicionais. ▪ Contudo, para a maior parte dos gases diatômicos, o movimento vibratório não contribui de modo significativo para o calor específico. ▪ A razão para isso é sutil e envolve alguns conceitos de mecânica quântica. Resumidamente, podemos dizer que a energia da vibração só pode variar por meio de saltos finitos. Se a variação de energia no primeiro salto for muito maior que a energia contida em muitas moléculas, então quase todas as moléculas permanecem no estado mínimo de energia. ▪Nessas circunstâncias, dizemos que os graus de liberdade das vibrações são “congelados”.

▪ Em moléculas mais complexas, os intervalos entre os níveis de energia de cada estado permitido são muito menores, e as vibrações contribuem para o calor específico.

▪ As energias de rotação das moléculas também variam por meio de saltos finitos, porém eles geralmente são muito pequenos; o “congelamento” de um grau de liberdade da rotação ocorre somente em casos raros.

260 Física II


2kT) ! 52n(kNA)T ! 5




Em unidades SI,

CV ! 52(8,314 J/mol · K) ! 20,79 J/mol · K






Vibração




Translação

Rotação

7 R>25R>23 R>2

R>2

4 R

3 R

2R

R

25 50 100 250 500 1.000 2.500 5.000 10.000

CV

T (K)O

7 R>25R>23 R>2


Calor específico molar a volume constante, para o gás hidrogênio (H2). A temperatura é representada em escala logarítmica.

296 Física II

nCP dT ! nCV dT " nR dT

Quando dividimos ambos os membros pelo fator comum n dT, obtemos

CP = CV + R (19.17)Calor específico molar à pressão constante

Para um gás ideal:

Calor específico molar a volume constante

Constante do gás

Como havíamos previsto, o calor específico molar à pressão constante de um gás ideal é maior que o calor específico molar a volume constante; a diferença é dada pela constante dos gases R.

Usamos o modelo do gás ideal para deduzir a Equação 19.17, porém, verifica--se que ela é obedecida com um pequeno erro percentual por muitos gases reais a pressões moderadas. Na Tabela 19.1, fornecemos alguns valores medidos de CP e de CV para diversos gases reais em baixas pressões; em quase todos esses gases, a diferença entre os valores indicados é aproximadamente R ! 8,314 J/mol # K.

A tabela também mostra que os calores específicos molares de um gás estão relacionados à sua estrutura molecular, conforme discutimos na Seção 18.4. De fato, as duas primeiras colunas da Tabela 19.1 são as mesmas da Tabela 18.1.

TABELA 19.1 Calores específicos molares de gases a baixas pressões.

CV CP CP − CV

Tipo de Gás Gás (J/mol # K) (J/mol # K) (J/mol # K) g ! CP /CV

MonoatômicoHe 12,47 20,78 8,31 1,67Ar 12,47 20,78 8,31 1,67

Diatômico

H2 20,42 28,74 8,32 1,41

N2 20,76 29,07 8,31 1,40O2 20,85 29,17 8,32 1,40CO 20,85 29,16 8,31 1,40

Poliatômico

CO2 28,46 36,94 8,48 1,30

SO2 31,39 40,37 8,98 1,29

H2S 25,95 34,60 8,65 1,33

Razão entre os calores específicosA última coluna da Tabela 19.1 indica os valores sem dimensões da razão entre

os calores específicos, CP/CV, representada por g (letra grega gama):

(19.18)

Calor específico molar à pressão constante


Razão entre os calores específicos g =

CV

CP

(Essa relação também é chamada de “razão das capacidades caloríficas”.) Nos gases, CP é sempre maior que CV, e g é sempre maior que um. Na próxima seção, veremos que essa grandeza g desempenha um papel importante no processo adia-bático de um gás ideal.

Podemos usar nossa discussão sobre o modelo cinético teórico do calor especí-fico molar de um gás ideal (Seção 18.4) para fazer previsões sobre os valores de g. Como exemplo, em um gás monoatômico, CV ! 3

2 R. Pela Equação 19.17,

CP ! CV " R ! 32R " R ! 5

2R


Calores específicos molares de gases a baixas pressões.

Processo adiabático de um gás ideal

Um processo para o qual Q=0 é um processo adiabático. Podemos assegurar que Q=0 ou realizando o processo rapidamente ou realizando-o em um recipiente bem isolado.

C o n s i d e re m o s u m c i l i n d ro i s o l a d o termicamente. Removendo massa do pistão, podemos permitir que o gás se expanda adiabaticamente.

Como Q=0, a primeira lei da termodinâmica (𝛥U = Q–W) mostra que, neste caso:

A Expansão Adiabática de um Gás Ideal

ΔU = − W

No diagrama P-V o processo ocorre ao longo de uma linha (chamada de adiabática) que tem a equação:

Como o gás vai de um estado inicial a para um estado final b, podemos escrever

298 Física II

medida que o gás se expande de um volume Va até Vb, ele realiza trabalho, de modo que sua energia interna diminui e sua temperatura cai. Se o ponto a, representando o estado inicial, está sobre uma isoterma a uma temperatura T ! dT, então o ponto b, representando o estado final, estará sobre uma isoterma com uma temperatura mais baixa T. Para uma compressão adiabática do ponto Vb até o ponto Va, o processo se inverte e a temperatura do gás aumenta.

O ar nos tubos de saída de compressores usados para calibrar pneus e encher tanques de gás usados em mergulhos sempre sai mais quente que o ar que entra no compressor, porque a compressão é rápida e aproximadamente adiabática. Um resfriamento adiabático ocorre quando você abre uma garrafa de sua bebida car-bonatada preferida. O gás sob pressão acima da superfície da bebida se expande rapidamente em um processo quase adiabático; a temperatura do gás diminui tanto que o vapor d’água se condensa, formando uma nuvem em miniatura (ver Figura 19.14).

ATENÇÃO “Aquecer” e “resfriar” sem calor Lembre-se de que, quando você menciona um “aquecimento adiabático” ou um “resfriamento adiabático”, você está querendo dizer, na realidade, que ocorre um “aumento de temperatura” ou um “resfriamento de tempe-ratura”, respectivamente. Em um processo adiabático não existe absolutamente nenhuma troca de calor, e a variação da temperatura ocorre em razão do trabalho realizado pelo sistema ou sobre o sistema.

Gás ideal adiabático: relacionando V, T e PPodemos deduzir uma relação entre as variações de temperatura e de volume em

um processo adiabático infinitesimal de um gás ideal. A Equação 19.13 fornece a variação da energia interna dU para qualquer processo de um gás ideal, adiabático ou não; logo, dU " nCV dT. Além disso, o trabalho realizado pelo gás é dado por dW " P dV. Então, como dU " #dW, temos

nCV dT "−P dV (19.19)

Para obter uma relação contendo somente a temperatura T e o volume V, eli-minamos P usando a equação do gás ideal na forma P " nRT/V. Substituindo na Equação 19.19 e reagrupando, encontramos

nCV dT = - nRT

V dV

dTT

+RCV

dVV

= 0

O coeficiente R/CV pode ser expresso em termos de g " CP/CV. Obtemos:

RCV

=CP - CV

CV=

CP

CV- 1 = g - 1

dTT

+ 1g - 1 2 dVV

= 0 (19.20)

Como em um gás g é sempre maior que um, (g # 1) é sempre positivo. Isso significa que, na Equação 19.20, dV e dT sempre têm sinais opostos. Na expansão adiabática de um gás ideal (dV > 0), sempre ocorre uma diminuição de temperatura (dT < 0), e na compressão adiabática de um gás ideal (dV < 0) sempre ocorre um aumento de temperatura (dT > 0); isso confirma nossa previsão anterior.

Para uma variação finita da temperatura e do volume, podemos integrar a Equa-ção 19.20 e obtemos

Figura 19.20 Diagrama PV de um processo adiabático (Q " 0) de um gás ideal. À medida que o gás se expande de um volume Va até Vb, ele realiza trabalho positivo W sobre seu ambiente, sua energia interna diminui ($U " #W < 0) e sua temperatura cai de T ! dT até T. (Um processo adiabático também é mostrado na Figura 19.16.)

Para um gás ideal, uma curva adiabática é sempre mais inclinada em qualquer ponto que a isoterma que passa pelo mesmo ponto.

P

b

aPa

VaO V

Pb

Vb

TT + dT

W

Processo adiabático a S b:Q = 0, ∆U = -W


PaVγa = PbV

γb

A relação entre a pressão e o volume durante um processo adiabático é

onde 𝛾= cp/cv, é a razão entre os calores específicos molares do gás.

PV γ = constante

Também podemos escrever uma equação para um processo adiabático em termos de T e V. Para fazer isso, usamos PV = nRT para eliminar P da Eq. anterior, obtendo

TV γ−1 = constante ⇒ TaVγ−1a = TbV

γ−1b

Capítulo 19 — A primeira lei da termodinâmica 299

ln T ! (g − 1) ln V " constanteln T ! ln V g#1 " constante

ln(TVg#1) " constante

e, finalmente,

TV g #1 " constante (19.21)

Portanto, para um estado inicial (T1, V1) e um estado final (T2, V2),

T1V1g #1 " T2V2

g #1 (processo adiabático, gás ideal) (19.22)

Como usamos a equação do gás ideal na dedução das equações 19.21 e 19.22, o valor de T só pode ser expresso na temperatura absoluta (em Kelvin).

Também podemos converter a Equação 19.21 em outra relação entre a pressão e o volume eliminando T, mediante a equação do gás ideal na forma T " PV/nR. Substituindo essa expressão na Equação 19.21, encontramos

PV

nR V g - 1 = constante

ou, como n e R são constantes,

PVg " constante (19.23)

Para um estado inicial (P1, V1) e um estado final (P2, V2), a Equação 19.23 fornece

P1V1g

" P2V2g (processo adiabático, gás ideal) (19.24)

Também podemos calcular o trabalho realizado por um gás ideal durante um processo adiabático. Sabemos que, em qualquer processo adiabático, Q " 0 e W " #$U. Em um gás ideal, $U " nCV(T2 # T1). Se conhecemos o número de moles n, a temperatura inicial T1 e a temperatura final T2, teremos simplesmente

W = nCV 1T1 - T22 (19.25)

Número de moles Temperatura inicial

Temperatura final


Trabalho realizado por um gás ideal, processo adiabático

Também podemos usar a relação PV " nRT na equação anterior para obter

(19.26)


Pressão inicial, volume

Pressão final, volumeRazão entre os calores específicosConstante do gás

Trabalho realizado por um gás ideal, processo adiabático

W = 1P1V1 - P2V22 = 1P1V1 - P2V22RCV

g - 11

(Usamos o resultado CV " R/(g # 1) do Exemplo 19.6.) Se o processo adiabático é uma expansão, a temperatura diminui, T1 é maior que T2, P1V1 é maior que P2V2, e o trabalho realizado é positivo. Se o processo adiabático é uma compressão, o trabalho é negativo.

Na análise precedente do processo adiabático, usamos a equação de estado do gás ideal, que vale somente para estados de equilíbrio. Estritamente falando, nos-

BIO Aplicação Exalando adiabaticamente Coloque sua mão alguns centímetros à frente da sua boca, abra bem a boca e exale. Sua respiração parecerá quente em sua mão, pois os gases exalados surgem aproximadamente na temperatura do interior do seu corpo. Agora, junte seus lábios como se fosse apitar e novamente sopre sua mão. Os gases exalados parecerão muito mais frios. Nesse caso, os gases sofrem uma expansão basicamente adiabática enquanto passam por entre os lábios, de modo que sua temperatura diminui.


Coloque sua mão alguns centímetros à frente da sua boca, abra bem a boca e exale. Sua respiração parecerá quente em sua mão, pois os gases exalados surgem aproximadamente na temperatura do interior do seu corpo.

Agora, junte seus lábios como se fosse apitar e sopre sua mão. Os gases exalados parecerão muito mais frios. Nesse caso, os gases sofrem uma expansão basicamente adiabática enquanto passam por entre os lábios, de modo que sua temperatura diminui.

Exalando adiabaticamente

Quando um gás se expande adiabaticamente, temos dQ=0, logo, a Primeira Lei para um processo infinitesimal (dU = dQ -

dW) fica:

Por outro lado, diferenciando a lei dos gases ideais (PV = nRT) temos:

Eliminando dT das duas equações acima temos:

Prova da equação PV γ = constante

Substituindo R = cP – cV e dividindo por PV, obtemos:

Integrando a última expressão temos:

Esta equação pode ser reescrita como ln(PVγ) = constante, logo temos:

Como γ >1, a curva que representa um processo adiabático é mais íngreme que a correspondente a um processo isotérmico (PV = cte).

Usando P Vγ = c com (γ≠1), temos:

Para eliminar a constante c, usamos:

Portanto:

Trabalho de um gás ideal em um processo adiabático

Processo isotérmico de um gás ideal

Para qualquer gás ideal, a energia interna é dada por:

onde f é o número de graus de liberdade das moléculas que compõem o gás.

Portanto, a variação de energia interna é:

Em um processo isotérmico, temos 𝛥T=0. Portanto:

A energia interna do gás ideal não muda em um processo isotérmico.

U =f2

nRT

ΔU =f2

nRΔT

ΔU = 0 processo isotérmico, gás ideal

Como 𝛥U = 0, a primeira lei da termodinâmica fica 0=ΔU= Q – W. Logo:

Q = W processo isotérmico, gás ideal

Suponha que colocamos um gás ideal em um cilindro com um pistão. Suponha também que permitimos que o gás seja expandido de um volume inicial Vi para um volume final Vf

enquanto mantemos constante a temperatura T do gás. Tal processo, a temperatura constante, é chamado de expansão isotérmica (e o reverso é chamado de compressão isotérmica).

Trabalho de um gás ideal em um processo isotérmico

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Aula 7: Capacidades caloríficas de gases ideais, processos ......Compare com os valores medidos de CV para diversos gases na Tabela 18.1. Vemos que, para um gás monoatômico, a previsão