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Aula 8, CVT
ROLDÃO DA ROCHA
1UFABC
March 10, 2020
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Para casa
I ∫∫S
x2 dS =4π3.
onde S é a esfera unitária.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Fluxo de um campo vetorial
I Superfície S:I Fluido com densidade ρ
Campo vetorial: velocidade v.I Fluxo de v através de S:
F ≡ ρv
I Unidades:
[F] = [ρv] =massavolume
comprimentotempo
=massa
área.tempo
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Fluxo de um campo vetorial
I Superfície S:I Fluido com densidade ρ
Campo vetorial: velocidade v.I Fluxo de v através de S:
F ≡ ρv
I Unidades:
[F] = [ρv] =massavolume
comprimentotempo
=massa
área.tempo
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Fluxo de um campo vetorial
I Superfície S:I Fluido com densidade ρ
Campo vetorial: velocidade v.I Fluxo de v através de S:
F ≡ ρv
I Unidades:
[F] = [ρv] =massavolume
comprimentotempo
=massa
área.tempo
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Fluxo de um campo vetorial
I Superfície S:I Fluido com densidade ρ
Campo vetorial: velocidade v.I Fluxo de v através de S:
F ≡ ρv
I Unidades:
[F] = [ρv] =massavolume
comprimentotempo
=massa
área.tempo
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Fluxo de um campo vetorial
I Fluxo de sangue em um aneurisma
I Fluxo de calor na lataria de um fusquinha
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Fluxo de um campo vetorial
I Fluxo de sangue em um aneurisma
I Fluxo de calor na lataria de um fusquinha
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Fluxo de um campo vetorial
I
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Fluxo de um campo vetorial
I
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Fluxo de um campo vetorial através de superfícies
I A cada ponto de S, se calcula o produto escalar entre o campo vetorial F e anormal n:
I onde dS = ndS.
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Fluxo de um campo vetorial através de superfícies
I A cada ponto de S, se calcula o produto escalar entre o campo vetorial F e anormal n:
I onde dS = ndS.
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Fluxo de um campo vetorial através de superfícies
I O fluxo de um campo vetorial F através de S é dado por:∫∫S
F · n̂dS.
I Dada uma superfície parametrizada por u, v ,
~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
o seu vetor normal n (já vimos na aula passada!) é dado por:
n =∂~r∂u×∂~r∂v.
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Fluxo de um campo vetorial através de superfícies
I O fluxo de um campo vetorial F através de S é dado por:∫∫S
F · n̂dS.
I Dada uma superfície parametrizada por u, v ,
~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
o seu vetor normal n (já vimos na aula passada!) é dado por:
n =∂~r∂u×∂~r∂v.
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Fluxo de um campo vetorial através de superfícies
I Fluxo de um campo vetorial F através de S:∫∫S
F · n̂dS.
I Vetor normal n:
n =∂~r∂u×∂~r∂v.
I Então
∫∫S
F · n̂dS =
∫∫S
F ·
n̂︷ ︸︸ ︷∂~r∂u ×
∂~r∂v
�����:
∥∥∥ ∂~r∂u ×
∂~r∂v
∥∥∥ �����*∥∥∥ ∂~r
∂u×∂~r∂v
∥∥∥dudv︸ ︷︷ ︸dS
=
∫∫S
F ·(∂~r∂u×∂~r∂v
)dudv
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Fluxo de um campo vetorial através de superfícies
I Fluxo de um campo vetorial F através de S:∫∫S
F · n̂dS.
I Vetor normal n:
n =∂~r∂u×∂~r∂v.
I Então
∫∫S
F · n̂dS =
∫∫S
F ·
n̂︷ ︸︸ ︷∂~r∂u ×
∂~r∂v
�����:
∥∥∥ ∂~r∂u ×
∂~r∂v
∥∥∥ �����*∥∥∥ ∂~r
∂u×∂~r∂v
∥∥∥dudv︸ ︷︷ ︸dS
=
∫∫S
F ·(∂~r∂u×∂~r∂v
)dudv
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Fluxo de um campo vetorial através de superfícies
I Fluxo de um campo vetorial F através de S:∫∫S
F · n̂dS.
I Vetor normal n:
n =∂~r∂u×∂~r∂v.
I Então
∫∫S
F · n̂dS =
∫∫S
F ·
n̂︷ ︸︸ ︷∂~r∂u ×
∂~r∂v
�����:
∥∥∥ ∂~r∂u ×
∂~r∂v
∥∥∥ �����*∥∥∥ ∂~r
∂u×∂~r∂v
∥∥∥dudv︸ ︷︷ ︸dS
=
∫∫S
F ·(∂~r∂u×∂~r∂v
)dudv
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I Ex.1: calcule o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = (x , y , 0) através dohemisfério norte da esfera de raio 1.
I Ex. 2: calcule o fluxo do campo vectorial F(x , y , z) = (x , y ,−2z) através dasuperfície S = {(x , y , z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1 + 2z2, 0 < z < 1}, cuja normal temterceira componente negativa.
I Ex. 3: determine o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = (x , y , z) através de S,parametrizada por
~r(x , y) = (x , y , x2 + y2),
com x2 + y2 ≤ 1 tal que (x , y) ∈ R2.
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I Ex.1: calcule o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = (x , y , 0) através dohemisfério norte da esfera de raio 1.
I Ex. 2: calcule o fluxo do campo vectorial F(x , y , z) = (x , y ,−2z) através dasuperfície S = {(x , y , z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1 + 2z2, 0 < z < 1}, cuja normal temterceira componente negativa.
I Ex. 3: determine o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = (x , y , z) através de S,parametrizada por
~r(x , y) = (x , y , x2 + y2),
com x2 + y2 ≤ 1 tal que (x , y) ∈ R2.
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I Ex.1: calcule o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = (x , y , 0) através dohemisfério norte da esfera de raio 1.
I Ex. 2: calcule o fluxo do campo vectorial F(x , y , z) = (x , y ,−2z) através dasuperfície S = {(x , y , z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1 + 2z2, 0 < z < 1}, cuja normal temterceira componente negativa.
I Ex. 3: determine o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = (x , y , z) através de S,parametrizada por
~r(x , y) = (x , y , x2 + y2),
com x2 + y2 ≤ 1 tal que (x , y) ∈ R2.
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I Ex. 4: calcule o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = (0, 0,−z), através de S:
Figure: Fig. em http://www.professores.uff.br/paulab/wp-content/uploads/sites/109/2017/08/2012-I-Calculo-III-lista11.pdf
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I Temperatura: campo escalar T = T (x , y , z).I O fluxo de calor é definido como o campo vetorial
F = −κ∇T ,
onde κ é uma constante denominada condutividade térmica.I A taxa de transmissão de calor através da superfície S é dada por∫∫
SF · n̂dS = −
∫∫S∇T · n̂dS.
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I Temperatura: campo escalar T = T (x , y , z).I O fluxo de calor é definido como o campo vetorial
F = −κ∇T ,
onde κ é uma constante denominada condutividade térmica.I A taxa de transmissão de calor através da superfície S é dada por∫∫
SF · n̂dS = −
∫∫S∇T · n̂dS.
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I Temperatura: campo escalar T = T (x , y , z).I O fluxo de calor é definido como o campo vetorial
F = −κ∇T ,
onde κ é uma constante denominada condutividade térmica.I A taxa de transmissão de calor através da superfície S é dada por∫∫
SF · n̂dS = −
∫∫S∇T · n̂dS.
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I Ex. 5: calcule o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = (x , y , 2z), através de S,que é o gráfico
~r(x , y) = (x , y , xy)
tal que x2 + y2 ≤ 1.
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I Ex. 6: calcule o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = (y , x , z), através de S, queé a fronteira da região sólida contida pelo parabolóide z = 1− x2 − y2 e peloplano z = 0.
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Para casa
ICalcule o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = (−x , 0, 2z), através deS = S1 ∪ S2 tampada, limitada por z = 1 e z = x2 + y2,
