Arco  Duplo  

Departamento  de  Matemá.ca  Março/  2017  

Arco  duplo  Resumo das fórmulas

sen(2x) = 2 ⋅senx ⋅cosx

cos(2x) = cos2 x − sen2x

tg(2x) = 2 ⋅ tgx1− tg2x

Arco  duplo  cos(2x) = cos2 x − sen2x

cos(2x) = cos2 x − (1− cos2 x)

cos(2x) = cos2 x −1+ cos2 x

cos(2x) = 2 ⋅cos2 x −1

Arco  duplo  Exemplo 1

Pág. 79

M3C3 - 04

AULA 12

MATEMÁTICA 3

Fórmulas do arco duplo

sen 2x = 2 sen x . cos x

cos 2x = cos2 x − sen2 x

EXERCÍCIOS

1. Prove que:

a) sen 2x = 2 sen x . cos x

b) cos 2x = cos2 x − sen2 x

2. Sendo sen x = 5

3 e 0 < x <

2

π, calcular:

a) sen 2x

b) cos 2x

3. (MACK) Se y = 4 . cos 15º . cos 75º, então y2 vale:

a) 1

b) 4

1

c) 2

1

d) 4

3

e) 2

4. (UNIFOR-CE) A expressão (sen 2

x + cos

2

x)2 é

equivalente a:

a) 1

b) 0

c) cos2 x

d) 1 + sen x

e) 1 + cos x

5. (FUVEST) Um arco x está no terceiro quadrantedo círculo trigonométrico e verifica a equação5 cos 2x + 3 sen x = 4. Determine os valores de sen xe cos x.

ARCO DUPLO

Pág. 79

M3C3 - 04

AULA 12

MATEMÁTICA 3

Fórmulas do arco duplo

sen 2x = 2 sen x . cos x

cos 2x = cos2 x − sen2 x

EXERCÍCIOS

1. Prove que:

a) sen 2x = 2 sen x . cos x

b) cos 2x = cos2 x − sen2 x

2. Sendo sen x = 5

3 e 0 < x <

2

π, calcular:

a) sen 2x

b) cos 2x

3. (MACK) Se y = 4 . cos 15º . cos 75º, então y2 vale:

a) 1

b) 4

1

c) 2

1

d) 4

3

e) 2

4. (UNIFOR-CE) A expressão (sen 2

x + cos

2

x)2 é

equivalente a:

a) 1

b) 0

c) cos2 x

d) 1 + sen x

e) 1 + cos x

5. (FUVEST) Um arco x está no terceiro quadrantedo círculo trigonométrico e verifica a equação5 cos 2x + 3 sen x = 4. Determine os valores de sen xe cos x.

ARCO DUPLO

sen2x + cos2 x =1

35

!

"#$

%&

2

+ cos2 x =1

cos2 x =1− 925

cos2 x = 1625

,

∴cosx = 45

, pois 0 < x < π2

sen2x = 2 ⋅senx ⋅cosx

sen2x = 2.35

. 45

∴sen2x = 2425

a)

b) cos2x = cos2 x − sen2x

cos2x = 45

"

#$%

&'

2

−35

"

#$%

&'

2

cos2x = 1625

−925

∴cos2x = 2425

Pág. 79

M3C3 - 04

AULA 12

MATEMÁTICA 3

Fórmulas do arco duplo

sen 2x = 2 sen x . cos x

cos 2x = cos2 x − sen2 x

EXERCÍCIOS

1. Prove que:

a) sen 2x = 2 sen x . cos x

b) cos 2x = cos2 x − sen2 x

2. Sendo sen x = 5

3 e 0 < x <

2

π, calcular:

a) sen 2x

b) cos 2x

3. (MACK) Se y = 4 . cos 15º . cos 75º, então y2 vale:

a) 1

b) 4

1

c) 2

1

d) 4

3

e) 2

4. (UNIFOR-CE) A expressão (sen 2

x + cos

2

x)2 é

equivalente a:

a) 1

b) 0

c) cos2 x

d) 1 + sen x

e) 1 + cos x

5. (FUVEST) Um arco x está no terceiro quadrantedo círculo trigonométrico e verifica a equação5 cos 2x + 3 sen x = 4. Determine os valores de sen xe cos x.

ARCO DUPLOArco  duplo  Exemplo 2 a) 1 b) c) d) e) 2 1

412

34

y = 4 ⋅cos15o ⋅sen15o

y = 2 ⋅2 ⋅sen15o ⋅cos15o

y = 2 ⋅sen(2 ⋅15o)

y = 2 ⋅sen30o = 2 ⋅ 12=1

Resposta A

Arco  duplo  Exemplo 3 (UNIFOR-CE) A expressão é equivalente a a)  1 d) b) 0 e) c) cos2 x

1+ senx

Resposta D

sen x2+ cos x

2

!

"#

$

%&

2

1+ cosx

sen x2+ cos x

2

!

"#

$

%&

2

= sen2 x2

!

"#

$

%&+ 2.sen

x2.cos x

2+ cos2 x

2

!

"#

$

%&

1

senx

∴ sen x2+ cos x

2

"

#$

%

&'

2

=1+ senx

Arco  duplo  Exercícios

Pág. 80

M3C3 - 04

6. (FUVEST) Se cos 2

x =

4

3, então cos x vale:

a) − 8

3

b) 8

3

c) 4

14

d) 8

1

e) 4

34

7. (UNESP) Se cos x = a, para x ∈ [0, 2

π] e a ≠ 0 e

a ≠ 1, o valor de tg (2x) é:

a) ( )

−

−

2

2

a1 2a

12a

b) a

a1 2−

c) 2a 2a1−

d) 1 2a

a1 2a2

2

−

−

e) 2a2 − 1

8. (FUVEST) O número de raízes da equação

cos 2x − sen x = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, é:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

TAREFA OBRIGATÓRIA

1. (MACK) Se x ∈ ]0, 2

π[, então

é sempre igual a:

a) cotg 2x

b) cotg x

c) tg x

d) tg 2x

e) 1

2. (MACK) O valor de cos 75º . cos 15º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

3

d) 4

1

e) 3

3. (FUVEST) O valor de (tg 10º + cotg 10º) . sen 20º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

d) 2

5

e) 4

4. (FUVEST) Calcular o valor de

y = (sen 22º30' + cos 22º30' )2

5. (FUVEST) Determine todos os valores de x pertencentesao intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação

cos2 2x = 2

1 − sen2 x.

cos2 x − sen2 x

(cos x + sen x)2 − 1

Arco  duplo  Exercícios

Pág. 80

M3C3 - 04

6. (FUVEST) Se cos 2

x =

4

3, então cos x vale:

a) − 8

3

b) 8

3

c) 4

14

d) 8

1

e) 4

34

7. (UNESP) Se cos x = a, para x ∈ [0, 2

π] e a ≠ 0 e

a ≠ 1, o valor de tg (2x) é:

a) ( )

−

−

2

2

a1 2a

12a

b) a

a1 2−

c) 2a 2a1−

d) 1 2a

a1 2a2

2

−

−

e) 2a2 − 1

8. (FUVEST) O número de raízes da equação

cos 2x − sen x = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, é:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

TAREFA OBRIGATÓRIA

1. (MACK) Se x ∈ ]0, 2

π[, então

é sempre igual a:

a) cotg 2x

b) cotg x

c) tg x

d) tg 2x

e) 1

2. (MACK) O valor de cos 75º . cos 15º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

3

d) 4

1

e) 3

3. (FUVEST) O valor de (tg 10º + cotg 10º) . sen 20º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

d) 2

5

e) 4

4. (FUVEST) Calcular o valor de

y = (sen 22º30' + cos 22º30' )2

5. (FUVEST) Determine todos os valores de x pertencentesao intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação

cos2 2x = 2

1 − sen2 x.

cos2 x − sen2 x

(cos x + sen x)2 − 1

Arco  duplo  Exercícios

Pág. 80

M3C3 - 04

6. (FUVEST) Se cos 2

x =

4

3, então cos x vale:

a) − 8

3

b) 8

3

c) 4

14

d) 8

1

e) 4

34

7. (UNESP) Se cos x = a, para x ∈ [0, 2

π] e a ≠ 0 e

a ≠ 1, o valor de tg (2x) é:

a) ( )

−

−

2

2

a1 2a

12a

b) a

a1 2−

c) 2a 2a1−

d) 1 2a

a1 2a2

2

−

−

e) 2a2 − 1

8. (FUVEST) O número de raízes da equação

cos 2x − sen x = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, é:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

TAREFA OBRIGATÓRIA

1. (MACK) Se x ∈ ]0, 2

π[, então

é sempre igual a:

a) cotg 2x

b) cotg x

c) tg x

d) tg 2x

e) 1

2. (MACK) O valor de cos 75º . cos 15º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

3

d) 4

1

e) 3

3. (FUVEST) O valor de (tg 10º + cotg 10º) . sen 20º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

d) 2

5

e) 4

4. (FUVEST) Calcular o valor de

y = (sen 22º30' + cos 22º30' )2

5. (FUVEST) Determine todos os valores de x pertencentesao intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação

cos2 2x = 2

1 − sen2 x.

cos2 x − sen2 x

(cos x + sen x)2 − 1

Arco  duplo  Exercícios

Pág. 80

M3C3 - 04

6. (FUVEST) Se cos 2

x =

4

3, então cos x vale:

a) − 8

3

b) 8

3

c) 4

14

d) 8

1

e) 4

34

7. (UNESP) Se cos x = a, para x ∈ [0, 2

π] e a ≠ 0 e

a ≠ 1, o valor de tg (2x) é:

a) ( )

−

−

2

2

a1 2a

12a

b) a

a1 2−

c) 2a 2a1−

d) 1 2a

a1 2a2

2

−

−

e) 2a2 − 1

8. (FUVEST) O número de raízes da equação

cos 2x − sen x = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, é:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

TAREFA OBRIGATÓRIA

1. (MACK) Se x ∈ ]0, 2

π[, então

é sempre igual a:

a) cotg 2x

b) cotg x

c) tg x

d) tg 2x

e) 1

2. (MACK) O valor de cos 75º . cos 15º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

3

d) 4

1

e) 3

3. (FUVEST) O valor de (tg 10º + cotg 10º) . sen 20º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

d) 2

5

e) 4

4. (FUVEST) Calcular o valor de

y = (sen 22º30' + cos 22º30' )2

5. (FUVEST) Determine todos os valores de x pertencentesao intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação

cos2 2x = 2

1 − sen2 x.

cos2 x − sen2 x

(cos x + sen x)2 − 1

Arco  duplo  Exercícios

5.

Pág. 80

M3C3 - 04

6. (FUVEST) Se cos 2

x =

4

3, então cos x vale:

a) − 8

3

b) 8

3

c) 4

14

d) 8

1

e) 4

34

7. (UNESP) Se cos x = a, para x ∈ [0, 2

π] e a ≠ 0 e

a ≠ 1, o valor de tg (2x) é:

a) ( )

−

−

2

2

a1 2a

12a

b) a

a1 2−

c) 2a 2a1−

d) 1 2a

a1 2a2

2

−

−

e) 2a2 − 1

8. (FUVEST) O número de raízes da equação

cos 2x − sen x = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, é:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

TAREFA OBRIGATÓRIA

1. (MACK) Se x ∈ ]0, 2

π[, então

é sempre igual a:

a) cotg 2x

b) cotg x

c) tg x

d) tg 2x

e) 1

2. (MACK) O valor de cos 75º . cos 15º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

3

d) 4

1

e) 3

3. (FUVEST) O valor de (tg 10º + cotg 10º) . sen 20º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

d) 2

5

e) 4

4. (FUVEST) Calcular o valor de

y = (sen 22º30' + cos 22º30' )2

5. (FUVEST) Determine todos os valores de x pertencentesao intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação

cos2 2x = 2

1 − sen2 x.

cos2 x − sen2 x

(cos x + sen x)2 − 1

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6. (FUVEST) Se cos 2

x =

4

3, então cos x vale:

a) − 8

3

b) 8

3

c) 4

14

d) 8

1

e) 4

34

7. (UNESP) Se cos x = a, para x ∈ [0, 2

π] e a ≠ 0 e

a ≠ 1, o valor de tg (2x) é:

a) ( )

−

−

2

2

a1 2a

12a

b) a

a1 2−

c) 2a 2a1−

d) 1 2a

a1 2a2

2

−

−

e) 2a2 − 1

8. (FUVEST) O número de raízes da equação

cos 2x − sen x = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, é:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

TAREFA OBRIGATÓRIA

1. (MACK) Se x ∈ ]0, 2

π[, então

é sempre igual a:

a) cotg 2x

b) cotg x

c) tg x

d) tg 2x

e) 1

2. (MACK) O valor de cos 75º . cos 15º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

3

d) 4

1

e) 3

3. (FUVEST) O valor de (tg 10º + cotg 10º) . sen 20º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

d) 2

5

e) 4

4. (FUVEST) Calcular o valor de

y = (sen 22º30' + cos 22º30' )2

5. (FUVEST) Determine todos os valores de x pertencentesao intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação

cos2 2x = 2

1 − sen2 x.

cos2 x − sen2 x

(cos x + sen x)2 − 1

Pág. 80

M3C3 - 04

6. (FUVEST) Se cos 2

x =

4

3, então cos x vale:

a) − 8

3

b) 8

3

c) 4

14

d) 8

1

e) 4

34

7. (UNESP) Se cos x = a, para x ∈ [0, 2

π] e a ≠ 0 e

a ≠ 1, o valor de tg (2x) é:

a) ( )

−

−

2

2

a1 2a

12a

b) a

a1 2−

c) 2a 2a1−

d) 1 2a

a1 2a2

2

−

−

e) 2a2 − 1

8. (FUVEST) O número de raízes da equação

cos 2x − sen x = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, é:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

TAREFA OBRIGATÓRIA

1. (MACK) Se x ∈ ]0, 2

π[, então

é sempre igual a:

a) cotg 2x

b) cotg x

c) tg x

d) tg 2x

e) 1

2. (MACK) O valor de cos 75º . cos 15º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

3

d) 4

1

e) 3

3. (FUVEST) O valor de (tg 10º + cotg 10º) . sen 20º é:

a) 2

1

b) 1

c) 2

d) 2

5

e) 4

4. (FUVEST) Calcular o valor de

y = (sen 22º30' + cos 22º30' )2

5. (FUVEST) Determine todos os valores de x pertencentesao intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação

cos2 2x = 2

1 − sen2 x.

cos2 x − sen2 x

(cos x + sen x)2 − 1

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