Aula de Álgebra Linear - 6 de Outubro

5/11/2018 Aula de Álgebra Linear - 6 de Outubro - slidepdf.com

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Á l g e b r a L i n e a r

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a

I n v a r i â n c i a

T e o r e m a d o

C o m p l e t a m e n t o

P r o p o s i ç ã o 3


P r o c e s s o d e

D e t e r m i n a ç ã o d e

u m a B a s e


E s p a ç o s V e t o r i a i s : T e o r e m a d o C o m p l e t a m e n t o

P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o

U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i á s

C a m p u s J a t a í

C o o r d e n a ç ã o d e M a t e m á t i c a

1 6 d e o u t u b r o d e 2 0 1 1

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

O b j e t i v o s d a A u l a

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o

T e o r e m a d a I n v a r i â n c i a

T e o r e m a d o C o m p l e t a m e n t o



P r o c e s s o d e D e t e r m i n a ç ã o d e u m a B a s e

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

D e n i ç ã o ( D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o ( r e c a p i t u l a n d o ) )

S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e


S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o . D e n o m i n a - s e

d i m e n s ã o d e V

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



d i m e n s ã o d e V ( n o t a ç ã o : d i m V ) o n ú m e r o d e v e t o r e s d e

u m a q u a i s q u e r d e s u a s b a s e s

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



d i m e n s ã o d e V ( n o t a ç ã o : d i m V ) o n ú m e r o d e v e t o r e s d e

u m a q u a i s q u e r d e s u a s b a s e s . D i z - s e t a m b é m , n e s t e c a s o ,

q u e V é u m e s p a ç o d e d i m e n s ã o n i t a .

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a ( T e o r e m a d a I n v a r i â n c i a ( r e c a p i t u l a n d o ) )


http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e


S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o . E n t ã o d u a s

b a s e s q u a i s q u e r d e V t ê m o m e s m o n ú m e r o d e v e t o r e s .

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a ( T e o r e m a d o C o m p l e t a m e n t o )

S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l d e d i m e n s ã o n ≥ 1

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e


S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l d e d i m e n s ã o n ≥ 1

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e


S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l d e d i m e n s ã o n ≥ 1 . S e

{u

1

, . . . ,u

r

} ⊂ V é u m s u b c o n j u n t o L . I . c o m r v e t o r e s e

r < n

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e


S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l d e d i m e n s ã o n ≥ 1 . S e

{u

1

, . . . ,u

r

} ⊂ V é u m s u b c o n j u n t o L . I . c o m r v e t o r e s e

r < n , e n t ã o e x i s t e m n − r v e t o r e s u

r +1 , . . . , u

n ∈ V , d e

m a n e i r a q u e B = {

u

1

, . . . ,u

r

,u

r +1

, . . . ,u

n

}é u m a b a s e d e

V .

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

D e m o n s t r a ç ã o .

C o n s i d e r a n d o {u

1

, . . . , u

r

} ⊂ V

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



1

, . . . , u

r

} ⊂ V

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



1

, . . . , u

r

} ⊂ V . T o m e m o s u m a b a s e

C

= {v

1

, . . . ,v

n

}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



1

, . . . , u

r


C

= {v

1

, . . . ,v

n

}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o :

S = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

n

}

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



1

, . . . , u

r


C

= {v

1

, . . . ,v

n


S = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

n

}. D e n t r e o s c o n j u n t o s d e S q u e

s ã o L . I . e q u e c o n t é m u

1

, . . . ,u

r

t o m e m o s u m c o m o m a i o r

n ú m e r o p o s s í v e l d e e l e m e n t o s

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



1

, . . . , u

r


C

= {v

1

, . . . ,v

n


S = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

n



1

, . . . ,u

r


n ú m e r o p o s s í v e l d e e l e m e n t o s . S e j a B e s s e c o n j u n t o :

B = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

s

}

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



1

, . . . , u

r


C

= {v

1

, . . . ,v

n


S = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

n



1

, . . . ,u

r



B = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

s

}M o s t r e m o s d e s s e m o d o q u e B

s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e b a s e , s e n d o o m e s m o u m a b a s e d e V

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



1

, . . . , u

r


C

= {v

1

, . . . ,v

n


S = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

n



1

, . . . ,u

r



B = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

s


s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e b a s e , s e n d o o m e s m o u m a b a s e d e V :

v

1

, . . . , v

s

s ã o o b v i a m e n t e c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



1

, . . . , u

r


C

= {v

1

, . . . ,v

n


S = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

n



1

, . . . ,u

r



B = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

s



v

1

, . . . , v

s

s ã o o b v i a m e n t e c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



1

, . . . , u

r


C

= {v

1

, . . . ,v

n


S = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

n



1

, . . . ,u

r



B = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

s



v

1

, . . . , v

s

s ã o o b v i a m e n t e c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B . O

m e s m o p o d e s e r d i t o d e v

s +1

, . . . ,v

n

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e



1

, . . . , u

r


C

= {v

1

, . . . ,v

n


S = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

n



1

, . . . ,u

r



B = {u

1

, . . . , u

r

, v

1

, . . . , v

s



v

1

, . . . , v

s

s ã o o b v i a m e n t e c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B . O

m e s m o p o d e s e r d i t o d e v

s +1

, . . . ,v

n

. S e n d o t o d o s o s

v e t o r e s d e C c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B , c o n c l u í - s e , p e l o

f a t o d e C s e r u m a b a s e d e V , q u e t o d o s o s v e t o r e s d e

V t a m b é m s ã o c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B .

A p r ó p r i a c o n s t r u ç ã o d e B g a r a n t e q u e o m e s m o é L . I .

P o r t a n t o B é u m a b a s e d e V .


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a

T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e

g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a




S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a




S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a




S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .

S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a





S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a





S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r ;

S e W = {o } t o m e m o s w

1 ∈ W , w

1 = o


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a







1 ∈ W , w

1 = o


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a







1 ∈ W , w

1 = o .

S e

W = {λ1

w

1

: λ1

∈ R}, e s t á p r o v a d o


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a







1 ∈ W , w

1 = o .

S e

W = {λ1

w

1

: λ1

∈ R}, e s t á p r o v a d o


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a







1 ∈ W , w

1 = o .

S e

W = {λ1

w

1

: λ1

∈ R}, e s t á p r o v a d o .

S e n ã o , e x i s t e

w

2

∈ W , q u e n ã o é d a f o r m a λ

1

w

1

, i s t o é ,

{w

1

, w

2

}é L . I .


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a







1 ∈ W , w

1 = o .

S e

W = {λ1

w

1

: λ1



w

2


1

w

1

, i s t o é ,

{w

1

, w

2

}é L . I .


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a







1 ∈ W , w

1 = o .

S e

W = {λ1

w

1

: λ1



w

2


1

w

1

, i s t o é ,

{w

1

, w

2

}é L . I . . S e

W é g e r a d o p o r

{w

1

, w

2

}, e s t á

t e r m i n a d o


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a







1 ∈ W , w

1 = o .

S e

W = {λ1

w

1

: λ1



w

2


1

w

1

, i s t o é ,

{w

1

, w

2

}é L . I . . S e


{w

1

, w

2

}, e s t á

t e r m i n a d o . S e n ã o , e x i s t e w

3

e m W

, q u e n ã o é

c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e {w

1 , w

2 }. E a s s i m p o r d i a n t e


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a







1 ∈ W , w

1 = o .

S e

W = {λ1

w

1

: λ1



w

2


1

w

1

, i s t o é ,

{w

1

, w

2

}é L . I . . S e


{w

1

, w

2

}, e s t á

t e r m i n a d o . S e n ã o , e x i s t e w

3

e m W

, q u e n ã o é

c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e {w

1 , w

2 }. E a s s i m p o r d i a n t e .

E s s e p r o c e s s o d e v e p a r a r s e n ã o h a v e r i a e m V u m

c o n j u n t o L . I . e i n n i t o .


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a

S e j a W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V . S e d i m W = d i m V ,

e n t ã o W = V .


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a


e n t ã o W = V .


P e l a P r o p o s i ç ã o 3 , W é n i t a m e n t e g e r a d o


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a


e n t ã o W = V .


P e l a P r o p o s i ç ã o 3 , W é n i t a m e n t e g e r a d o


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a


e n t ã o W = V .


P e l a P r o p o s i ç ã o 3 , W é n i t a m e n t e g e r a d o . L o g o W t e m

u m a b a s e


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a


e n t ã o W = V .



u m a b a s e . T o d a b a s e d e W t a m b é m é b a s e d e V d e v i d o à

h i p ó t e s e d e q u e d i m W =

d i m V


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a


e n t ã o W = V .





d i m V . L o g o t o d o v e t o r d e V

p e r t e n c e à W


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a


e n t ã o W = V .






p e r t e n c e à W . A s s i m V ⊂ W


http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

T e o r e m a


e n t ã o W = V .






p e r t e n c e à W . A s s i m V ⊂ W e , c o m o W ⊂ V , s e g u e q u e

V = W .


P r o c e s s o P r á t i c o d e D e t e r m i n a ç ã o d e u m a B a s e

R

http://find/

http://goback/



P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

d e u m S u b e s p a ç o d e Rn

O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s


P r o f . E s p . :


R

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e


O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s . P a r a t a n t o

c o n s i d e r e m o s V = [u

1

, . . . ,u

r

] u m s u b e s p a ç o d o Rn


P r o f . E s p . :


R

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e




1

, . . . ,u

r


.

S e n o s e g u n d o m e m b r o d a i g u a l d a d e p e r m u t a r m o s d o i s

d o s e l e m e n t o s q u e l á g u r a m n ã o a l t e r a m o s o s u b e s p a ç o

g e r a d o , o u s e j a


P r o f . E s p . :


R

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e




1

, . . . ,u

r


.



g e r a d o , o u s e j a


P r o f . E s p . :


R

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e




1

, . . . ,u

r


.



g e r a d o , o u s e j a :

v = [u

1

, . . . ,u

i

, . . . ,u

j

, . . . ,u

r

] = [ u

1

, . . . ,u

j

, . . . ,u

i

, . . . ,u

r

]


P r o f . E s p . :


Rn

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

d e u m S u b e s p a ç o d e R



1

, . . . ,u

r


.




v = [u

1

, . . . ,u

i

, . . . ,u

j

, . . . ,u

r

] = [ u

1

, . . . ,u

j

, . . . ,u

i

, . . . ,u

r

]

P a r a t o d o n ú m e r o r e a l α t e m - s e a s e g u i n t e i g u a l d a d e


P r o f . E s p . :


Rn

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e




1

, . . . ,u

r


.




v = [u

1

, . . . ,u

i

, . . . ,u

j

, . . . ,u

r

] = [ u

1

, . . . ,u

j

, . . . ,u

i

, . . . ,u

r

]

P a r a t o d o n ú m e r o r e a l α t e m - s e a s e g u i n t e i g u a l d a d e


P r o f . E s p . :


Rn

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e




1

, . . . ,u

r


.




v = [u

1

, . . . ,u

i

, . . . ,u

j

, . . . ,u

r

] = [ u

1

, . . . ,u

j

, . . . ,u

i

, . . . ,u

r

]

P a r a t o d o n ú m e r o r e a l α t e m - s e a s e g u i n t e i g u a l d a d e :

v = [

u

1

, . . . ,u

i

, . . . ,u

j

+ αu

i

, . . . ,u

r

]


P r o f . E s p . :


Rn

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e




1

, . . . ,u

r


.




v = [u

1

, . . . ,u

i

, . . . ,u

j

, . . . ,u

r

] = [ u

1

, . . . ,u

j

, . . . ,u

i

, . . . ,u

r

]

P a r a t o d o n ú m e r o r e a l α t e m - s e a s e g u i n t e i g u a l d a d e :

v = [

u

1

, . . . ,u

i

, . . . ,u

j

+ αu

i

, . . . ,u

r

]


P r o f . E s p . :

D e f a t o , s e j a :

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

u = β1

u

1

+ . . . + βi

u

i

+ . . . + β j

u

j

+ . . . + βr

u

r

u m e l e m e n t o d e V


P r o f . E s p . :


β β β β

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

u = β1

u

1

+ . . . + βi

u

i

+ . . . + β j

u

j

+ . . . + βr

u

r

u m e l e m e n t o d e V


P r o f . E s p . :

T h i a g o


β β β β

http://find/

http://goback/



V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

u = β1

u

1

+ . . . + βi

u

i

+ . . . + β j

u

j

+ . . . + βr

u

r

u m e l e m e n t o d e V . E s s e e l e m e n t o t a m b é m p o d e s e r

e s c r i t o d a s e g u i n t e m a n e i r a


P r o f . E s p . :

T h i a g o


β + + β + + β + + β

http://find/

http://goback/



V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

u = β1

u

1

+ . . . + βi

u

i

+ . . . + β j

u

j

+ . . . + βr

u

r


e s c r i t o d a s e g u i n t e m a n e i r a :

u = β

1

u

1

+ . . .+βi

u

i

−β j

αu

i

+ . . .+β j

u

j

−β j

αu

i

+βr

u

r


P r o f . E s p . :

T h i a g o


β + + β + + β + + β

http://find/

http://goback/



V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

u = β1

u

1

+ . . . + βi

u

i

+ . . . + β j

u

j

+ . . . + βr

u

r



u = β

1

u

1

+ . . .+βi

u

i

−β j

αu

i

+ . . .+β j

u

j

−β j

αu

i

+βr

u

r

o u a i n d a


P r o f . E s p . :

T h i a g o


β + + β + + β + + β

http://find/

http://goback/



V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

u = β1

u

1

+ . . . + βi

u

i

+ . . . + β j

u

j

+ . . . + βr

u

r



u = β

1

u

1

+ . . .+βi

u

i

−β j

αu

i

+ . . .+β j

u

j

−β j

αu

i

+βr

u

r

o u a i n d a :

u = β

1

u

1

+ . . .+ (βi

−β j

α)u

i

+ . . .+β j

(u

j

+αu

i

) +βr

u

r

L o g o


P r o f . E s p . :

T h i a g o


= β + + β + + β + + β

http://find/

http://goback/



V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

u = β1

u

1

+ . . . + βi

u

i

+ . . . + β j

u

j

+ . . . + βr

u

r



u = β

1

u

1

+ . . .+βi

u

i

−β j

αu

i

+ . . .+β j

u

j

−β j

αu

i

+βr

u

r

o u a i n d a :

u = β

1

u

1

+ . . .+ (βi

−β j

α)u

i

+ . . .+β j

(u

j

+αu

i

) +βr

u

r

L o g o :

u ∈ [u

1 , . . . , u

i , . . . , u

j + α u

i , . . . , u

r ]

M o s t r e q u e o s u b e s p a ç o V c o n t é m o s u b e s p a ç o g e r a d o p o r

u

1

, . . . ,u

i

, . . . ,u

j

+ αu

i

, . . . ,u

r

.


P r o f . E s p . :

T h i a g o

http://find/

http://goback/



V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

S e u

1

, . . . ,u

r

s e a p r e s e n t a m n a f o r m a e s c a l o n a d a , e n t ã o

é f á c i l m o s t r a r q u e o s v e t o r e s u

1 , . . . , u

r

f o r m a m u m

c o n j u n t o L . I .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

http://find/

http://goback/



V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

S e u

1

, . . . ,u

r



1 , . . . , u

r

f o r m a m u m

c o n j u n t o L . I . e , p o r t a n t o d i m V =

r


P r o f . E s p . :

T h i a g o

http://find/

http://goback/



V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

S e u

1

, . . . ,u

r



1 , . . . , u

r

f o r m a m u m

c o n j u n t o L . I . e , p o r t a n t o d i m V =

r . S e o s g e r a d o r e s d e

V n ã o f o r m a s s e m u m c o n j u n t o L . I . , e n t ã o t e r í a m o s a l g o

c o m o :

u

1

= α2

u

2

+ . . . + αr

u

r

. M a s i s s o n ã o é p o s s í v e l p o i s o n ú m e r o d e z e r o s i n i c i a i s

d e u

1

é c e r t a m e n t e d i f e r e n t e d o n ú m e r o d e z e r o s i n i c i a i s

d e α

2

u

2

+ . . . + αr

u

r

, d e v i d o à n o s s a h i p ó t e s e a r e s p e i t o

d e s s e s v e t o r e s .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

http://find/

http://goback/



V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

E x a m p l e

S e j a V = [(

2 ,

1 ,

1 ,

0 ), (

1 ,

0 ,

1 ,

2 ), (

0 ,−1

,1 ,

4 )] ⊂ R

4


P r o f . E s p . :

T h i a g o

http://find/

http://goback/



V e d o V a t t o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

E x a m p l e

S e j a V = [(

2 ,

1 ,

1 ,

0 ), (

1 ,

0 ,

1 ,

2 ), (

0 ,−1

,1 ,

4 )] ⊂ R

4

.

F o r m a m o s c o m e s s e s v e t o r e s a s l i n h a s d e u m a m a t r i z

s i m b ó l i c a d a s e g u i n t e m a n e i r a


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

http://find/

http://goback/



D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

E x a m p l e

S e j a V = [(

2 ,

1 ,

1 ,

0 ), (

1 ,

0 ,

1 ,

2 ), (

0 ,−1

,1 ,

4 )] ⊂ R

4

.

F o r m a m o s c o m e s s e s v e t o r e s a s l i n h a s d e u m a m a t r i z

s i m b ó l i c a d a s e g u i n t e m a n e i r a :

2 1 1 0

1 0 1 2

0 −1 1 4


P r o f . E s p . :

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V e d o V a t t o

E x a m p l e

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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

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T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e

A g o r a e s c a l o n e m o s e s t a m a t r i z :

2 1 1 0

1 0 1 2

0 −1 1 4


P r o f . E s p . :

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V e d o V a t t o

E x a m p l e

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D i m e n s ã o

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D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e


2 1 1 0

1 0 1 2

0 −1 1 4

L

1

L

2

∼

1 0 1 2

2 1 1 0

0 −1 1 4


P r o f . E s p . :

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V e d o V a t t o

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D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

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T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e


2 1 1 0

1 0 1 2

0 −1 1 4

L

1

L

2

∼

1 0 1 2

2 1 1 0

0 −1 1 4

L

2

→L

2

−2 L

1 ∼

1 0 1 2

0 1 −1 −4

0 −1 1 4


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

E x a m p l e

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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a d o




P r o c e s s o d e


u m a B a s e


2 1 1 0

1 0 1 2

0 −1 1 4

L

1

L

2

∼

1 0 1 2

2 1 1 0

0 −1 1 4

L

2

→L

2

−2 L

1 ∼

1 0 1 2

0 1 −1 −4

0 −1 1 4

L

3

→L

3

+L

2 ∼

1 0 1 2

0 1 − 1 − 4

0 0 0 0


P r o f . E s p . :

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V e d o V a t t o

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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


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P r o c e s s o d e


u m a B a s e


2 1 1 0

1 0 1 2

0 −1 1 4

L

1

L

2

∼

1 0 1 2

2 1 1 0

0 −1 1 4

L

2

→L

2

−2 L

1 ∼

1 0 1 2

0 1 −1 −4

0 −1 1 4

L

3

→L

3

+L

2 ∼

1 0 1 2

0 1 − 1 − 4

0 0 0 0

A s l i n h a s e m d e s t a q u e i n d i c a m o s v e t o r e s (1 , 0 , 1 , 2 ) e

(0 ,

1 ,−1

,−4 )

c o m o u m a b a s e d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l

V = [( 2 , 1 , 1 , 0 ), ( 1 , 0 , 1 , 2 ), ( 0 ,−1 , 1 , 4 )] ⊂ R4

.

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http://goback/

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Aula de Álgebra Linear - 6 de Outubro